Lihtsale küsimusele "Kuidas leida trapetsi kõrgust?" Vastuseid on mitu, kuna saab anda erinevaid lähteväärtusi. Seetõttu on valemid erinevad.
Neid valemeid saab pähe õppida, kuid nende tuletamine pole keeruline. Peate lihtsalt rakendama varem õpitud teoreeme.
Valemites kasutatavad tähistused
Kõigis allpool toodud matemaatilistes märkustes on need tähtede näidud õiged.
Lähteandmetes: kõik pooled
Üldjuhul trapetsi kõrguse leidmiseks peate kasutama järgmist valemit:
n = √(c 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2)/(2(a - c))) 2). Number 1.
Mitte kõige lühem, kuid ka probleemides esineb üsna harva. Tavaliselt saate kasutada muid andmeid.
Valem, mis ütleb teile, kuidas samas olukorras võrdhaarse trapetsi kõrgust leida, on palju lühem:
n = √(c 2 - (a - c) 2/4). Number 2.
Probleem annab: külgmised küljed ja nurgad alumise aluse juures
Eeldatakse, et nurk α külgneb vastavalt tähisega “c” küljega, nurk β on küljega d. Siis on trapetsi kõrguse leidmise valem üldkujul:
n = c * sin α = d * sin β. Number 3.
Kui joonis on võrdhaarne, saate kasutada järgmist valikut:
n = c * sin α= ((a - b) / 2) * tan α. Number 4.
Tuntud: diagonaalid ja nendevahelised nurgad
Tavaliselt kaasnevad nende andmetega ka muud teadaolevad kogused. Näiteks alused või keskmine joon. Kui põhjused on esitatud, on trapetsi kõrguse leidmise küsimusele vastamiseks kasulik järgmine valem:
n = (d 1 * d 2 * sin γ) / (a + b) või n = (d 1 * d 2 * sin δ) / (a + b). Number 5.
See on mõeldud figuuri üldiseks väljanägemiseks. Kui on antud võrdhaarne, muutub tähistus järgmiselt:
n = (d 1 2 * sin γ) / (a + b) või n = (d 1 2 * sin δ) / (a + b). Number 6.
Kui ülesanne käsitleb trapetsi keskjoont, on selle kõrguse leidmise valemid järgmised:
n = (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m või n = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. Number 5a.
n = (d 1 2 * sin γ) / 2m või n = (d 1 2 * sin δ) / 2m. Number 6a.
Teadaolevate koguste hulgas: ala alustega või keskjoonega
Need on ehk kõige lühemad ja lihtsamad valemid trapetsi kõrguse leidmiseks. Suvalise kujundi korral on see järgmine:
n = 2S/(a+b). Number 7.
See on sama, kuid teadaoleva keskjoonega:
n = S/m. Number 7a.
Kummaline küll, kuid võrdhaarse trapetsi puhul näevad valemid välja samad.
Ülesanded
nr 1. Trapetsi alumise aluse nurkade määramiseks.
Seisund. Antud on võrdhaarne trapets, mille küljed on 6 ja 12 cm, tuleb leida teravnurga siinus.
Lahendus. Mugavuse huvides peaksite sisestama nimetuse. Olgu alumine vasak tipp A, kõik ülejäänud päripäeva: B, C, D. Seega alumine alus on tähistatud AD, ülemine - BC.
Tippudest B ja C on vaja tõmmata kõrgused. Kõrguste otste tähistavad punktid tähistatakse vastavalt H 1 ja H 2. Kuna kõik joonisel BCH 1 H 2 olevad nurgad on täisnurgad, on tegemist ristkülikuga. See tähendab, et segment H 1 H 2 on 6 cm.
Nüüd peame arvestama kahe kolmnurgaga. Need on võrdsed, kuna need on ristkülikukujulised, samade hüpotenuuside ja vertikaalsete jalgadega. Sellest järeldub, et nende väiksemad jalad on võrdsed. Seetõttu saab neid määratleda erinevuse jagatisena. Viimane saadakse, kui lahutada alumisest alusest ülemine. See jagatakse 2-ga. See tähendab, et 12–6 tuleb jagada 2-ga. AN 1 = N 2 D = 3 (cm).
Nüüd peate Pythagorase teoreemist leidma trapetsi kõrguse. On vaja leida nurga siinus. VN 1 = √(5 2 - 3 2) = 4 (cm).
Kasutades teadmisi selle kohta, kuidas täisnurgaga kolmnurgas leitakse teravnurga siinus, saame kirjutada järgmise avaldise: sin α = ВН 1 / AB = 0,8.
Vastus. Nõutav siinus on 0,8.
nr 2. Trapetsi kõrguse leidmiseks teadaoleva puutuja abil.
Seisund. Võrdhaarse trapetsi jaoks peate arvutama kõrguse. Teatavasti on selle alused 15 ja 28 cm Teranurga puutuja on antud: 11/13.
Lahendus. Tippude tähistus on sama, mis eelmises ülesandes. Jällegi peate ülemistest nurkadest joonistama kaks kõrgust. Analoogiliselt esimese ülesande lahendusega peate leidma AN 1 = N 2 D, mis on defineeritud kui 28 ja 15 erinevus jagatud kahega. Pärast arvutusi selgub: 6,5 cm.
Kuna puutuja on kahe jala suhe, saame kirjutada järgmise võrrandi: tan α = AH 1 / VN 1 . Pealegi on see suhe võrdne 11/13 (vastavalt tingimusele). Kuna AN 1 on teada, saab kõrguse arvutada: BH 1 = (11 * 6,5) / 13. Lihtsad arvutused annavad tulemuseks 5,5 cm.
Vastus. Nõutav kõrgus on 5,5 cm.
nr 3. Kõrguse arvutamiseks teadaolevate diagonaalide abil.
Seisund. Trapetsi kohta on teada, et selle diagonaalid on 13 ja 3 cm Kui aluste summa on 14 cm, peate välja selgitama selle kõrguse.
Lahendus. Olgu kujundi tähistus sama, mis varem. Oletame, et AC on väiksem diagonaal. Tipust C peate joonistama soovitud kõrguse ja määrama selle CH.
Nüüd peate tegema täiendavaid ehitustöid. Nurgast C tuleb tõmmata sirge, mis on paralleelne suurema diagonaaliga ja leida selle lõikepunkt külje AD jätkuga. See saab olema D1. Tulemuseks on uus trapets, mille sisse on joonistatud kolmnurk ASD 1. Seda on probleemi edasiseks lahendamiseks vaja.
Soovitud kõrgus on samuti kolmnurgas. Seetõttu võite kasutada teises teemas uuritud valemeid. Kolmnurga kõrgus on defineeritud kui arvu 2 ja pindala korrutis, mis on jagatud küljega, millele see on tõmmatud. Ja külg osutub võrdseks algse trapetsi aluste summaga. See tuleneb reeglist, mille järgi lisakonstruktsioon tehti.
Vaadeldavas kolmnurgas on kõik küljed teada. Mugavuse huvides võtame kasutusele tähised x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm.
Nüüd saate arvutada pindala Heroni teoreemi abil. Poolperimeeter on võrdne p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (cm). Seejärel näeb pindala valem pärast väärtuste asendamist välja selline: S = √(15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (cm 2).
Vastus. Kõrgus on 6√10 / 7 cm.
nr 4. Külgede kõrguse leidmiseks.
Seisund. Arvestades trapetsi, mille kolm külge on 10 cm ja neljas on 24 cm, peate välja selgitama selle kõrguse.
Lahendus. Kuna joonis on võrdhaarne, vajate valemit number 2. Peate lihtsalt kõik väärtused sellesse asendama ja loendama. See näeb välja selline:
n = √(10 2 - (10 - 24) 2 /4) = √51 (cm).
Vastus. n = √51 cm.
Võrdhaarse trapetsi nurgad. Tere! See artikkel keskendub trapetsidega seotud probleemide lahendamisele. See ülesannete rühm on osa eksamist, ülesanded on lihtsad. Arvutame välja trapetsi, aluse ja kõrguse nurgad. Paljude probleemide lahendamine taandub lahendamisele, nagu öeldakse: kus me oleme ilma Pythagorase teoreemita?
Töötame võrdhaarse trapetsiga. Sellel on alustel võrdsed küljed ja nurgad. Blogis on artikkel trapetsi kohta.
Märgime väikese ja olulise nüansi, mida me ülesannete enda lahendamise protsessis üksikasjalikult ei kirjelda. Vaata, kui meile antakse kaks alust, siis suurem alus, mille kõrgused on langetatud, jagatakse kolmeks segmendiks - üks on võrdne väiksema alusega (need on ristküliku vastasküljed), ülejäänud kaks on võrdsed. muu (need on võrdsete täisnurksete kolmnurkade jalad):
Lihtne näide: antud on kaks võrdhaarse trapetsi alust 25 ja 65. Suurem alus jagatakse segmentideks järgmiselt:
*Ja edasi! Tähtsümbolid ei sisaldu ülesannetes. Seda tehti teadlikult, et mitte koormata lahendust algebraliste täpsustustega. Olen nõus, et see on matemaatiliselt kirjaoskamatu, kuid eesmärk on mõte selgeks teha. Ja alati saab tippude ja muude elementide tähistused ise teha ja matemaatiliselt õige lahenduse kirja panna.
Vaatleme ülesandeid:
27439. Võrdhaarse trapetsi alused on 51 ja 65. Külged on 25. Leidke trapetsi teravnurga siinus.
Nurga leidmiseks peate konstrueerima kõrgused. Visandil tähistame andmeid kogusetingimuses. Alumine alus on 65, kõrgustega jagatud segmentideks 7, 51 ja 7:
Täisnurkses kolmnurgas tunneme hüpotenuusi ja jalga, saame leida teise jala (trapetsi kõrguse) ja seejärel arvutada nurga siinuse.
Pythagorase teoreemi kohaselt on näidatud jalg võrdne:
Seega:
Vastus: 0,96
27440. Võrdhaarse trapetsi alused on 43 ja 73. Trapetsi teravnurga koosinus on 5/7. Leia külg.
Konstrueerime kõrgused ja märgime andmed üles suurusjärgus, alumine alus on jagatud segmentideks 15, 43 ja 15:
27441. Võrdhaarse trapetsi suurem alus on 34. Külg on 14. Teravnurga siinus on (2√10)/7. Otsige üles väiksem alus.
Ehitame kõrgusi. Väiksema aluse leidmiseks peame leidma, millega võrdub segment, mis on täisnurkse kolmnurga jalg (tähistatud sinisega):
Saame arvutada trapetsi kõrguse ja seejärel leida jala:
Pythagorase teoreemi abil arvutame jala:
Nii et väiksem alus on:
27442. Võrdhaarse trapetsi alused on 7 ja 51. Teravnurga puutuja on 5/11. Leidke trapetsi kõrgus.
Konstrueerime kõrgused ja märgime andmed suurusjärgus. Alumine alus on jagatud segmentideks:
Mida teha? Avaldame meile teadaoleva nurga puutuja põhjas täisnurkses kolmnurgas:
27443. Võrdhaarse trapetsi väiksem alus on 23. Trapetsi kõrgus on 39. Teravnurga puutuja on 13/8. Otsige suurem alus.
Ehitame kõrgused ja arvutame, millega jalg võrdub:
Seega on suurem alus võrdne:
27444. Võrdhaarse trapetsi alused on 17 ja 87. Trapetsi kõrgus on 14. Leidke teravnurga puutuja.
Ehitame kõrgused ja märgime eskiisile teadaolevad väärtused. Alumine alus on jagatud segmentideks 35, 17, 35:
Tangensi määratluse järgi:
77152. Võrdhaarse trapetsi alused on 6 ja 12. Trapetsi teravnurga siinus on 0,8. Leia külg.
Koostame eskiisi, konstrueerime kõrgused ja märgime teadaolevad väärtused, suurem alus jagatakse segmentideks 3, 6 ja 3:
Avaldame hüpotenuusi, mis on tähistatud kui x, koosinuse kaudu:
Peamisest trigonomeetrilisest identiteedist leiame cosα
Seega:
27818. Mis on võrdhaarse trapetsi suurem nurk, kui on teada, et vastasnurkade vahe on 50 0? Esitage oma vastus kraadides.
Geomeetria kursusest teame, et kui meil on kaks paralleelset sirget ja põik, on sisemiste ühekülgsete nurkade summa võrdne 180 0. Meie puhul on
Tingimus ütleb, et vastasnurkade vahe on 50 0, st
Juhised
Kui mõlema aluse (b ja c) ja samade külgmiste külgede (a) pikkused on definitsiooni järgi teada, siis saab täisnurkse kolmnurga abil arvutada selle ühe teravnurga (γ) väärtuse. Selleks langetage kõrgust mis tahes lühikese aluse kõrval asuvast nurgast. Täisnurkse kolmnurga moodustavad kõrgus (), külg (hüpotenuus) ja pika aluse segment kõrguse ja lähikülje vahel (teine jalg). Selle lõigu pikkuse saab leida, lahutades suurema aluse pikkusest väiksema pikkuse ja jagades tulemuse pooleks: (c-b)/2.
Olles saanud täisnurkse kolmnurga kahe külgneva külje pikkuse, jätkake nendevahelise nurga arvutamisega. Hüpotenuusi pikkuse (a) ja jala pikkuse ((c-b)/2) suhe annab selle nurga koosinusväärtuse (cos(γ)) ja arkosiini funktsioon aitab selle teisendada nurk kraadides: γ=arccos(2*a/(c-b )). Nii saate ühe teravnurga väärtuse ja kuna see on võrdhaarne, on ka teisel teravnurgal sama väärtus. Kõikide nurkade summa peab olema 360°, mis tähendab, et kahe nurga summa võrdub selle ja kahekordse teravnurga vahega. Kuna mõlemad nürinurgad on samuti samad, tuleb nende väärtuse (α) leidmiseks jagada see erinevus pooleks: α = (360°-2*γ)/2 = 180°-arccos(2*) a/(c-b)) . Nüüd on teil arvutatud kõik võrdhaarse trapetsi nurgad, arvestades selle külgede teadaolevaid pikkusi.
Kui joonise külgede pikkused on teadmata, kuid selle kõrgus (h) on antud, peate jätkama sama skeemi järgi. Sel juhul saate täisnurksel kolmnurgal, mis koosneb küljest ja pika aluse lühikesest lõigust, teada kahe jala pikkused. Nende suhe määrab vajaliku nurga puutuja ja sellel trigonomeetrilisel funktsioonil on ka oma antipood, mis teisendab puutuja väärtuse nurga väärtuseks - arctangensiks. Teisendage eelmises etapis saadud terav- ja nürinurkade valemid vastavalt: γ = arctg(2*h/(c-b)) ja α = 180°-arctg(2*h/(c-b)).
Selle probleemi lahendamiseks vektoralgebra meetodite abil peate teadma järgmisi mõisteid: vektorite geomeetriline summa ja skalaarkorrutis, samuti peaksite meeles pidama nelinurga sisenurkade summa omadust.
Sa vajad
- - paber;
- - pliiats;
- - joonlaud.
Juhised
Vektor on suunatud segment, st suurus, mis loetakse täielikult määratletuks, kui on antud selle pikkus ja suund (nurk) antud telje suhtes. Vektori asukohta ei piira enam miski. Kaks vektorit, mille pikkus ja suund on samad, loetakse võrdseteks. Seetõttu on koordinaatide kasutamisel vektorid esindatud selle lõpu punktide raadiusvektoritega (algokoht on koordinaatide alguspunktis).
Definitsiooni järgi: vektorite geomeetrilise summa saadud vektor on vektor, mis algab esimese algusest ja millel on teise lõpp, eeldusel, et esimese lõpp on ühendatud teise algusega. Seda saab jätkata, luues sarnaselt paiknevate vektorite ahela.
Joonistage antud ABCD vektoritega a, b, c ja d joonisel fig. 1. Ilmselgelt on selle paigutuse korral saadud vektor d=a+ b+c.
Sel juhul on skalaarkorrutis mugavam vektorite a ja d põhjal. Punktkorrutis, mida tähistatakse (a, d)= |a||d|cosф1. Siin on φ1 nurk vektorite a ja d vahel.
Koordinaatidega antud vektorite punktkorrutis määratakse järgmisega:
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, siis
cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).