Juhised
Kui algvektor on joonisel kujutatud ristkülikukujulises kahemõõtmelises koordinaatsüsteemis ja sinna on vaja konstrueerida risti, siis lähtu vektorite risti definitsioonist tasapinnal. Selles öeldakse, et sellise suunatud segmentide paari vaheline nurk peab olema 90°. Selliseid vektoreid saab konstrueerida lõpmatu arvu. Seetõttu tõmmake tasapinna mis tahes sobivasse kohta algvektoriga risti, asetage sellele segment, mis võrdub antud järjestatud punktide paari pikkusega, ja määrake selle üks ots risti vektori alguseks. Tehke seda nurganurga ja joonlaua abil.
Kui algvektor on antud kahemõõtmeliste koordinaatidega ā = (X₁;Y₁), siis eeldame, et risti vektorite paari skalaarkorrutis peab olema võrdne nulliga. See tähendab, et peate valima soovitud vektori ō = (X₂,Y₂) jaoks sellised koordinaadid, et kehtiks võrdus (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 Seda saab teha nii: vali ükskõik milline X2 koordinaadi nullist erinev väärtus ja arvutage Y2 koordinaat valemiga Y2 = -(X1*X2)/Y1. Näiteks vektori ā = (15;5) jaoks on vektor ō, mille abstsiss on võrdne ühega ja ordinaat -(15*1)/5 = -3, st. ō = (1;-3).
Kolmemõõtmelise ja mis tahes muu ortogonaalse koordinaatsüsteemi puhul kehtib sama vajalik ja piisav vektorite perpendikulaarsuse tingimus - nende skalaarkorrutis peab olema võrdne nulliga. Seega, kui esialgne suunatud segment on antud koordinaatidega ā = (X₁,Y₁,Z₁), valige sellega risti oleva järjestatud punktide paari jaoks ō = (X₂,Y₂,Z₂) sellised koordinaadid, mis vastavad tingimusele (ā,ō). ) = X1*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2 = 0. Lihtsaim viis on määrata X2-le ja Y2-le üksikud väärtused ning arvutada Z₂ lihtsustatud võrrandist Z₂ = -1*(X1*1 + Y1* 1)/Z1 = -(X1+Y1)/Z1. Näiteks vektori ā = (3,5,4) puhul on see järgmine kuju: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Seejärel võtke abstsiss ja ordinaat risti vektor kui üks ja sel juhul võrdub see -(3+5)/4 = -2.
Allikad:
- leida vektor, kui see on risti
Neid nimetatakse risti vektor, mille vaheline nurk on 90º. Perpendikulaarsed vektorid konstrueeritakse joonistustööriistade abil. Kui on teada nende koordinaadid, siis saab vektorite perpendikulaarsust kontrollida või leida analüütiliste meetoditega.
Sa vajad
- - kraadiklaas;
- - kompass;
- - joonlaud.
Juhised
Ehitage vektor, mis on antud vektoriga risti. Selleks taastage punktis, mis on vektori algus, sellega risti. Seda saab teha protraktori abil, mille nurk on 90º. Kui teil pole kraadiklaasi, kasutage selleks kompassi.
Määrake see vektori alguspunktiks. Joonistage suvalise raadiusega ring. Seejärel konstrueerige kaks, mille keskpunktid on punktides, kus esimene ring lõikub joonega, millel vektor asub. Nende ringide raadiused peavad olema üksteisega võrdsed ja suuremad kui esimene konstrueeritud ring. Ringide lõikepunktides konstrueerige sirgjoon, mis on algse vektori algpunktis risti, ja joonistage sellele vektor, mis on risti selle vektoriga.
Ühikvektor on: , kus 
- vektormoodul.
Vastus: 
.
Märge.Ühikvektori koordinaadid ei tohi olla rohkem kui üks.
6.3. Leia vektori pikkuse ja suuna koosinused 
. Võrrelge eelmise lõigu vastusega. Järeldusi tegema.
Vektori pikkus on selle moodul:
Ja suunakoosinused saame leida ühe vektorite määramise valemi abil:
Sellest näeme, et suunakoosinused on ühikvektori koordinaadid.
Vastus: 
,
,
,
.
6.4. Otsi 
.
On vaja läbi viia vektori arvuga korrutamise, liitmise ja mooduli toimingud.
Korrutame vektorite koordinaadid arvuga termini kaupa.
Lisame vektorite koordinaadid termini kaupa.
Vektori mooduli leidmine.
Vastus: 
6.5. Määrake vektori koordinaadid 
, vektori suhtes kollineaarne 
, teades seda 
ja see on suunatud vektori vastassuunas 
.
Vektor 
vektori suhtes kollineaarne 
, mis tähendab, et selle ühikvektor on võrdne ühikvektoriga 
ainult miinusmärgiga, sest suunatud vastupidises suunas.
Ühikvektori pikkus on 1, mis tähendab, et kui korrutada see 5-ga, on selle pikkus võrdne viiega.
Leiame 
Vastus: 
6.6. Arvutage punktitooted 
Ja 
. Kas vektorid on risti? 
Ja 
,
Ja 
omavahel?
Teeme vektorite skalaarkorrutise.
Kui vektorid on risti, on nende skalaarkorrutis null.
Meie puhul näeme, et vektorid 
Ja 
risti.
Vastus: 
,
, vektorid ei ole risti.
Märge. Skalaarkorrutise geomeetrilisest tähendusest on praktikas vähe kasu, kuid see on siiski olemas. Sellise tegevuse tulemust saab kujutada ja arvutada geomeetriliselt.
6.7. Leidke töö, mille teeb materiaalne punkt, millele rakendatakse jõudu 
, kui liigutate seda punktist B punkti C.
Skalaarkorrutise füüsiline tähendus on töö. Jõuvektor on siin 
, nihkevektor on 
. Ja nende vektorite korrutis on vajalik töö.
Töö leidmine
6.8. Leidke tipu sisenurk A ja välise tipu nurk C kolmnurk ABC .
Vektorite skalaarkorrutise definitsioonist saame nurga leidmise valemi: .
IN 
Otsime sisenurka kui nurka ühest punktist lähtuvate vektorite vahel.
Välisnurga leidmiseks tuleb vektorid kombineerida nii, et need tuleksid ühest punktist välja. Pilt selgitab seda.
Väärib märkimist, et 
, neil on lihtsalt erinevad algkoordinaadid.
Vajalike vektorite ja nurkade leidmine
Vastus: sisenurk tipus A = 
, välisnurk tipus B = 
.
6.9. Leidke vektorite projektsioonid: ja
Tuletame meelde vektorvektorid: 
,
,
.
Projektsioon leitakse ka skalaarkorrutisest
-projektsioon b peal a.
Varem saadud vektorid
,
,
Projektsiooni leidmine
Teise projektsiooni leidmine
Vastus: 
,
Märge. Miinusmärk projektsiooni leidmisel tähendab, et projektsioon ei lasku mitte vektori enda peale, vaid vastupidises suunas, joonele, millel see vektor asub.
6.10. Arvutama 
.
Teeme vektorite vektorkorrutise
Leiame mooduli
Vektorite vahelise nurga siinuse leiame vektorite vektorkorrutise definitsioonist
Vastus: 
,
,
.
6.11. Leidke kolmnurga pindala ABC ja kõrguse pikkus langes punktist C.
Vektorkorrutise mooduli geomeetriline tähendus on see, et see on nende vektorite moodustatud rööpküliku pindala. Ja kolmnurga pindala on võrdne poolega rööpküliku pindalast.
Kolmnurga pindala võib leida ka kõrguse ja aluse jagatuna kahega, millest saab tuletada kõrguse leidmise valemi.
Seega leiame kõrguse
Vastus: 
,
.
6.12. Leidke vektoritega risti olev ühikvektor 
Ja 
.
Punktkorrutise tulemuseks on vektor, mis on kahe algse vektoriga risti. Ja ühikvektor on vektor, mis on jagatud selle pikkusega.
Varem leidsime:
,
Vastus: 
.
6.13. Määrake jõumomendi suurus- ja suunakoosinused 
, rakendatakse A-le punkti C suhtes.
Vektorkorrutise füüsikaline tähendus on jõumoment. Toome selle ülesande jaoks illustratsiooni.
Jõumomendi leidmine
Vastus: 
.
6.14. Kas vektorid valetavad 
,
Ja 
samas lennukis? Kas need vektorid võivad olla ruumi aluseks? Miks? Kui nad saavad, laiendage vektorit sellele alusele 
.
Et kontrollida, kas vektorid asuvad samal tasapinnal, on vaja sooritada nende vektorite segakorrutis.
Segatud korrutis ei ole võrdne nulliga, seetõttu ei asu vektorid samal tasapinnal (mitte tasapinnal) ja võivad moodustada aluse. Laguneme 
sellel alusel.
Laiendame võrrandit lahendades aluse kaupa
Vastus: Vektorid 
,
Ja 
ära lama samas tasapinnas. 
.
6.15. Otsi 
. Kui suur on tippudega A, B, C, D püramiidi ruumala ja selle kõrgus, mis on langetatud punktist A alusele BCD.
G 
Segakorrutise geomeetriline tähendus seisneb selles, et see on nende vektorite poolt moodustatud rööptahuka ruumala.
Püramiidi ruumala on kuus korda väiksem kui rööptahuka ruumala.
Püramiidi ruumala võib leida ka järgmiselt:
Saame kõrguse leidmise valemi
Kõrguse leidmine
Vastus: maht = 2,5, kõrgus = 
.
6.16. Arvutama 
Ja 
.
– Kutsume teid selle ülesande üle ise järele mõtlema.
- Teeme tööd.
Varem saadud
Vastus: 
.
6.17. Arvutama
Teeme samme osade kaupa
3)
Võtame saadud väärtused kokku
Vastus: 
.
6.18. Otsi vektorit 
, teades, et see on vektoritega risti 
Ja 
, ja selle projektsioon vektorile 
võrdub 5.
Jagame selle ülesande kaheks alamülesandeks
1) Leia vektor, mis on risti vektoritega 
Ja 
suvaline pikkus.
Perpendikulaarse vektori saame vektorkorrutise tulemusena
Varem leidsime:
Vajalik vektor erineb saadud vektorist ainult pikkuse poolest
2) leiame 
võrrandi kaudu
6.19. Otsi vektorit 
, mis vastab tingimustele 
,
,
.
Vaatleme neid tingimusi üksikasjalikumalt.
See on lineaarsete võrrandite süsteem. Koostame ja lahendame selle süsteemi.
Vastus: 
6.20. Määrake vektori koordinaadid 
, vektoritega samatasandiline 
Ja 
, ja vektoriga risti 
.
Selles ülesandes on kaks tingimust: vektorite koplanaarsus ja perpendikulaarsus, esmalt täidame esimese tingimuse ja seejärel teise.
1) Kui vektorid on tasapinnalised, siis on nende segakorrutis võrdne nulliga.
Siit saame vektori koordinaatide teatud sõltuvuse
Leiame vektori 
.
2) Kui vektorid on risti, siis on nende skalaarkorrutis null
Oleme saanud soovitud vektori koordinaatide teise sõltuvuse
Iga väärtuse eest 
vektor vastab tingimustele. Asendame 
.
Vastus: 
.
Analüütiline geomeetria
Küsimuse osas leidke vektor, mis on risti kahe autori antud vektoriga Anna Afanasjeva parim vastus on: Kahe mitteparalleelse vektori suhtes risti olev vektor leitakse nende vektorkorrutisena xb, selle leidmiseks tuleb koostada determinant, mille esimene rida koosneb ühikvektoritest I, j, k, teine vektori a koordinaatidest, kolmas vektori b koordinaatidest. Determinandiks loetakse laiendust piki esimest rida, sinu puhul saad akhv=20i-10k ehk ahv=(20,0,-10).
Vastus alates 22 vastust[guru]
Tere! Siin on valik teemasid koos vastustega teie küsimusele: leidke vektor, mis on risti kahe antud vektoriga
Vastus alates venitama[algaja]
Kahe mitteparalleelse vektori suhtes risti olev vektor leitakse nende vektorkorrutisena xb, selle leidmiseks tuleb koostada determinant, mille esimene rida koosneb ühikvektoritest I, j, k, teine - koordinaatidest. vektori a, kolmas - vektori b koordinaatidest. Determinandiks loetakse laiendust piki esimest rida, sinu puhul saad akhv=20i-10k ehk ahv=(20,0,-10).
Vastus alates HAYKA[guru]
Lahendage see umbes nii; Aga kõigepealt lugege ise kõik läbi!! !
Arvutage vektorite d ja r skalaarkorrutis, kui d=-c+a+2b; r=-b+2a.
Vektori a moodul on 4, vektori b moodul on 6. Nurk vektorite a ja b vahel on 60 kraadi, vektor c on risti vektoritega a ja b.
Punktid E ja F asuvad vastavalt rööpküliku ABCD külgedel AD ja BC, kusjuures AE = ED, BF: FC = 4: 3. a) Avaldage vektorit EF vektoritega m = vektor AB ja vektor n = vektor AD. b) Kas võrdusvektor EF = x korrutatuna vektoriga CD kehtib mis tahes x väärtuse korral? .
See artikkel paljastab kahe vektori perpendikulaarsuse tähenduse tasapinnal kolmemõõtmelises ruumis ja ühe või terve vektoripaariga risti oleva vektori koordinaatide leidmise. Teema on rakendatav sirgete ja tasandite võrranditega seotud ülesannete lahendamisel.
Vaatleme kahe vektori perpendikulaarsuse vajalikku ja piisavat tingimust, lahendame antud vektori suhtes risti oleva vektori leidmise meetodi ning puudutame olukordi, kus leitakse kahe vektori suhtes risti asetsev vektor.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kahe vektori perpendikulaarsuse vajalik ja piisav tingimus
Rakendame reeglit risti vektorite kohta tasapinnal ja kolmemõõtmelises ruumis.
Definitsioon 1
Kui kahe nullist erineva vektori vaheline nurk on 90 ° (π 2 radiaani), nimetatakse seda risti.
Mida see tähendab ja millistes olukordades on nende perpendikulaarsust vaja teada?
Perpendikulaarsuse määramine on võimalik joonise abil. Vektorit joonistades tasapinnale etteantud punktidest, saab geomeetriliselt mõõta nende vahelist nurka. Isegi kui vektorite perpendikulaarsus on kindlaks tehtud, ei ole see täiesti täpne. Enamasti ei võimalda need ülesanded seda protraktori abil teha, seega on see meetod rakendatav ainult siis, kui vektorite kohta pole midagi muud teada.
Enamik juhtumeid kahe nullist erineva vektori perpendikulaarsuse tõestamiseks tasapinnal või ruumis tehakse kasutades vajalik ja piisav tingimus kahe vektori perpendikulaarsuse jaoks.
1. teoreem
Kahe nullist erineva vektori a → ja b → skalaarkorrutis, mis on võrdne nulliga, et rahuldada võrdsust a → , b → = 0, on nende perpendikulaarsuse jaoks piisav.
Tõendid 1
Olgu antud vektorid a → ja b → risti, siis tõestame võrdsuse a ⇀ , b → = 0 .
Määratlusest vektorite punktkorrutis me teame, et see on võrdne antud vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutis. Tingimuse järgi on a → ja b → risti, mis tähendab definitsiooni põhjal, et nendevaheline nurk on 90°. Siis on meil a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .
Tõestuse teine osa
Eeldusel, et a ⇀, b → = 0, tõestavad a → ja b → perpendikulaarsust.
Tegelikult on tõend eelnevale vastupidine. On teada, et a → ja b → on nullist erinevad, mis tähendab, et võrrandist a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ leiame koosinuse. Siis saame cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Kuna koosinus on null, võime järeldada, et vektorite a → ja b → nurk a →, b → ^ on 90 °. Definitsiooni järgi on see vajalik ja piisav omadus.
Perpendikulaarsuse tingimus koordinaattasandil
Peatükk skalaarkorrutis koordinaatides demonstreerib ebavõrdsust (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , mis kehtib vektoritele koordinaatidega a → = (a x , a y) ja b → = (b x , b y), tasapinnal ja (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y ruumivektorite a → = (a x , a y , a z) ja b → = (b x , b y , b z) jaoks. Kahe vektori perpendikulaarsuse vajalik ja piisav tingimus koordinaattasandil on a x · b x + a y · b y = 0, kolmemõõtmelise ruumi puhul a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.
Rakendame seda praktikas ja vaatame näiteid.
Näide 1
Kontrollige kahe vektori a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4) perpendikulaarsuse omadust.
Lahendus
Selle probleemi lahendamiseks peate leidma skalaarkorrutise. Kui tingimuse järgi on see võrdne nulliga, siis on need risti.
(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Tingimus on täidetud, mis tähendab, et antud vektorid on tasandiga risti.
Vastus: jah, antud vektorid a → ja b → on risti.
Näide 2
Koordinaatide vektorid i → , j → , k → on antud. Kontrollige, kas vektorid i → - j → ja i → + 2 · j → + 2 · k → võivad olla risti.
Lahendus
Selleks, et meeles pidada, kuidas vektori koordinaadid määratakse, peate lugema artiklit selle kohta vektori koordinaadid ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Seega leiame, et antud vektoritel i → - j → ja i → + 2 · j → + 2 · k → on vastavad koordinaadid (1, - 1, 0) ja (1, 2, 2). Asendame arvväärtused ja saame: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .
Avaldis ei ole võrdne nulliga, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, mis tähendab, et vektorid i → - j → ja i → + 2 j → + 2 k → ei ole risti, kuna tingimus ei ole täidetud.
Vastus: ei, vektorid i → - j → ja i → + 2 · j → + 2 · k → ei ole risti.
Näide 3
Antud vektorid a → = (1, 0, - 2) ja b → = (λ, 5, 1). Leidke λ väärtus, mille juures need vektorid on risti.
Lahendus
Kasutame kahe ruumivektori perpendikulaarsuse tingimust ruudu kujul, siis saame
a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2
Vastus: vektorid on risti väärtusega λ = 2.
On juhtumeid, kus perpendikulaarsuse küsimus on võimatu isegi vajalikul ja piisaval tingimusel. Arvestades teadaolevaid andmeid kolmnurga kolme külje kohta kahel vektoril, on võimalik leida nurk vektorite vahel ja kontrollige seda.
Näide 4
Antud kolmnurga A B C külgedega A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm Kontrollige vektorite A B → ja A C → risti.
Lahendus
Kui vektorid A B → ja A C → on risti, loetakse kolmnurk A B C ristkülikukujuliseks. Seejärel rakendame Pythagorase teoreemi, kus B C on kolmnurga hüpotenuus. Võrdsus B C 2 = A B 2 + A C 2 peab olema tõene. Sellest järeldub, et 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. See tähendab, et A B ja A C on kolmnurga A B C jalad, seega on A B → ja A C → risti.
Oluline on õppida, kuidas leida antud vektoriga risti oleva vektori koordinaate. See on võimalik nii tasapinnal kui ka ruumis, eeldusel, et vektorid on risti.
Antud vektoriga risti oleva vektori leidmine tasapinnal.
Nullist erineval vektoril a → võib tasapinnal olla lõpmatu arv risti vektoreid. Kujutame seda koordinaatide sirgel.
Antud nullist erinev vektor a → asub sirgel a. Siis saab antud b →, mis asub sirgega a risti asetseval sirgel, risti a →ga. Kui vektor i → on risti vektoriga j → või mis tahes vektoriga λ · j → kus λ on võrdne mis tahes reaalarvuga, mis ei ole null, siis tuleb leida vektori b → koordinaadid, mis on risti a → = (a x , a y ) taandatakse lõpmatuks lahenduste hulgaks. Kuid on vaja leida a → = (a x , a y) risti oleva vektori koordinaadid. Selleks on vaja üles kirjutada vektorite perpendikulaarsuse tingimus järgmisel kujul: a x · b x + a y · b y = 0. Meil on b x ja b y, mis on risti vektori soovitud koordinaadid. Kui a x ≠ 0, on b y väärtus nullist erinev ja b x saab arvutada võrratusest a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. Kui x = 0 ja a y ≠ 0, omistame b x-le mis tahes väärtuse, mis ei ole null, ja leiame b y avaldisest b y = - a x · b x a y .
Näide 5
Antud vektor koordinaatidega a → = (- 2 , 2) . Leidke vektor, mis on sellega risti.
Lahendus
Tähistame soovitud vektorit b → (b x , b y) . Selle koordinaadid saab leida tingimusest, et vektorid a → ja b → on risti. Siis saame: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Määrame b y = 1 ja asendame: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Seega saame valemist b x = - 2 - 2 = 1 2. See tähendab, et vektor b → = (1 2 , 1) on vektor, mis on risti vektoriga a → .
Vastus: b → = (1 2 , 1) .
Kui tõstatatakse küsimus kolmemõõtmelise ruumi kohta, lahendatakse probleem sama põhimõtte järgi. Antud vektori a → = (a x , a y , a z) jaoks on lõpmatu arv risti vektoreid. Parandab selle kolmemõõtmelisel koordinaattasandil. Antud a → lamades joonel a. Tasapinda, mis on risti sirgega a, tähistatakse α-ga. Sel juhul on iga nullist erinev vektor b → tasapinnast α risti a →ga.
Tuleb leida b → koordinaadid, mis on risti nullist erineva vektoriga a → = (a x , a y , a z) .
Olgu b → antud koordinaatidega b x , b y ja b z . Nende leidmiseks on vaja rakendada kahe vektori perpendikulaarsuse tingimuse definitsiooni. Võrdsus a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 peab olema täidetud. Tingimusest a → on nullist erinev, mis tähendab, et ühe koordinaadi väärtus ei ole nulliga võrdne. Oletame, et a x ≠ 0, (a y ≠ 0 või a z ≠ 0). Seetõttu on meil õigus selle koordinaadiga jagada kogu võrratus a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0, saame avaldise b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . Koordinaatidele b y ja b x omistame suvalise väärtuse, arvutame valemi alusel b x väärtuse, b x = - a y · b y + a z · b z a x. Soovitud risti vektori väärtus on a → = (a x, a y, a z).
Vaatame tõestust näite abil.
Näide 6
Antud vektor koordinaatidega a → = (1, 2, 3) . Leia vektor, mis on antud vektoriga risti.
Lahendus
Tähistame soovitud vektorit b → = (b x , b y , b z) . Tingimusel, et vektorid on risti, peab skalaarkorrutis olema võrdne nulliga.
a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)
Kui b y väärtus on 1, b z = 1, siis b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Sellest järeldub, et vektori b → (- 5 , 1 , 1) koordinaadid . Vektor b → on üks antud vektoritest risti.
Vastus: b → = (- 5, 1, 1) .
Kahe etteantud vektoriga risti oleva vektori koordinaatide leidmine
Peame leidma vektori koordinaadid kolmemõõtmelises ruumis. See on risti mittekollineaarsete vektoritega a → (a x , a y , a z) ja b → = (b x , b y , b z) . Eeldusel, et vektorid a → ja b → on kollineaarsed, piisab ülesandes a → või b → vektori leidmisest.
Lahendamisel kasutatakse vektorite vektorkorrutise mõistet.
Vektorite vektorkorrutis a → ja b → on vektor, mis on samaaegselt risti nii a → kui ka b → suhtes. Selle ülesande lahendamiseks kasutatakse vektorkorrutist a → × b →. Kolmemõõtmelise ruumi jaoks on see kujul a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z
Vaatame vektorkorrutist üksikasjalikumalt näiteülesande abil.
Näide 7
Vektorid b → = (0, 2, 3) ja a → = (2, 1, 0) on antud. Leidke samaaegselt mis tahes andmetega risti oleva vektori koordinaadid.
Lahendus
Lahendamiseks tuleb leida vektorite vektorkorrutis. (Palun vaadake lõiku maatriksi determinandi arvutamine vektori leidmiseks). Saame:
a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →
Vastus: (3 , - 6 , 4) - vektori koordinaadid, mis on samaaegselt risti antud a → ja b → .
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
ohm Selleks tutvustame esmalt segmendi mõistet.
Definitsioon 1
Lõikeks nimetatakse sirge osa, mis on mõlemalt poolt piiratud punktidega.
2. definitsioon
Lõigu otsad on punktid, mis seda piiravad.
Vektori definitsiooni tutvustamiseks nimetame lõigu ühte lõppu selle alguseks.
3. definitsioon
Vektoriks (suunatud lõiguks) nimetatakse lõiku, milles on näidatud, milline piiripunkt on selle algus ja milline on selle lõpp.
Märkus: \overline(AB) on vektor AB, mis algab punktist A ja lõpeb punktis B.
Muidu ühe väikese tähega: \overline(a) (joon. 1).
4. definitsioon
Nullvektoriks nimetatakse mis tahes punkti, mis kuulub tasapinnale.
Sümbol: \overline(0) .
Tutvustame nüüd otse kollineaarsete vektorite määratlust.
Tutvustame ka skalaarkorrutise definitsiooni, mida hiljem vajame.
Definitsioon 6
Kahe antud vektori skalaarkorrutis on skalaar (või arv), mis võrdub nende kahe vektori pikkuste korrutisega nende vektori vahelise nurga koosinusega.
Matemaatiliselt võib see välja näha selline:
\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))
Punktkorrutise saab leida ka vektori koordinaatide abil järgmiselt
\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3
Perpendikulaarsuse märk proportsionaalsuse kaudu
1. teoreem
Et nullist erinevad vektorid oleksid üksteisega risti, on vajalik ja piisav, et nende vektorite skalaarkorrutis oleks võrdne nulliga.
Tõestus.
Vajadus: Antakse vektorid \overline(α) ja \overline(β), millel on vastavalt (α_1,α_2,α_3) ja (β_1,β_2,β_3) koordinaadid ja need on üksteisega risti. Siis peame tõestama järgmist võrdsust
Kuna vektorid \overline(α) ja \overline(β) on risti, on nendevaheline nurk 90^0. Leiame nende vektorite skalaarkorrutise, kasutades 6. definitsiooni valemit.
\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0
Piisavus: olgu võrdsus tõsi \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Tõestame, et vektorid \overline(α) ja \overline(β) on üksteisega risti.
Definitsiooni 6 järgi on võrdsus tõene
|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
Cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ
Seetõttu on vektorid \overline(α) ja \overline(β) üksteisega risti.
Teoreem on tõestatud.
Näide 1
Tõesta, et vektorid koordinaatidega (1,-5,2) ja (2,1,3/2) on risti.
Tõestus.
Leiame nende vektorite skalaarkorrutise ülaltoodud valemi abil
\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0
See tähendab, et teoreemi 1 kohaselt on need vektorid risti.
Kahe antud vektoriga risti oleva vektori leidmine ristkorrutise abil
Tutvustame esmalt vektorkorrutise mõistet.
Definitsioon 7
Kahe vektori vektorkorrutis on vektor, mis on risti mõlema antud vektoriga ja selle pikkus on võrdne nende vektorite pikkuste korrutisega nende vektorite vahelise nurga siinusega ja ka see vektor kahe esialgsetel on sama orientatsioon kui Descartes'i koordinaatsüsteemil.
Määramine: \overline(α)x\overline(β)x.
Vektorkorrutise leidmiseks kasutame valemit
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x
Kuna kahe vektori ristkorrutise vektor on mõlema vektori suhtes risti, on see vektor. See tähendab, et kahe vektoriga risti oleva vektori leidmiseks peate lihtsalt leidma nende vektorkorrutise.
Näide 2
Leidke vektor, mis on risti vektoritega koordinaatidega \overline(α)=(1,2,3) ja \overline(β)=(-1,0,3)
Leiame nende vektorite vektorkorrutise.
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x