Teoreemid ja tõestused. Mis on teoreem ja teoreemi tõestus? Pythagorase teoreemi tõestus

Vastavalt argumentide tingimusest järelduseni ühendamise meetodile jagatakse tõendid otse Ja kaudne.

Otsene tõestus tuginedes mingile kahtlemata printsiibile, millest teoreemi tõesus otseselt kindlaks tehakse.

- sünteetiline,

- analüütiline,

Sünteetiline meetod: süllogismide ahela konstrueerimisel liigub mõte teoreemi tingimustest selle järelduseni.

Õpikud pakuvad enamasti sünteetilisi tõestusi. Nende eelised on täielikkus, kokkuvõtlikkus, lühidus. Puudused - astmete motivatsiooni puudumine, lisakonstruktsioonide põhjendatus; need on palju formaalsemad kui analüütilised tõendid.

Näide

Teoreem. Kui ringjoone kaks kõõlu lõikuvad, siis on ühe kõõlu lõikude korrutis võrdne teise kõõlu lõikude korrutisega.

Antud on: AB ja CD on ringi akordid, E on nende lõikepunkt.

Tõesta: AE×BE = CE×DE. (1)

Tõestus (sünteetiline)

Vaatleme kolmnurki ADE ja CBE. Nendes kolmnurkades on nurgad 1 ja 2 võrdsed, kuna need on sisse kirjutatud ja toetuvad samale kaarele VMD ning nurgad 3 ja 4 on vertikaalsed. Kolmnurkade esimese sarnasuse märgi järgi DADE ~ DCBE. Sellest järeldub, et või AE × BE = CE × DE. Teoreem on tõestatud.

Analüütiline meetod : Tõestust otsides liigub mõte teoreemi järeldusest selle tingimuseni. Selle meetodi eelised on tõestuse lähtekoha olemasolu, motiveeritud lisakonstruktsioonid ja õpilaste loomingulise aktiivsuse tõus. Puudused: suured ajakadud, kunstlikud lisakonstruktsioonid on raskesti põhjendatavad.

Näide. Ringjoone akordide teoreem.

Tõestus (analüütiline)

Võrdsuse (1) tõestamiseks piisab, kui näidata, et (2).

Proportsiooni (2) leidmiseks piisab, kui tõestada kolmnurkade sarnasus, mille küljed on selle proportsiooni liikmed. Selliste kolmnurkade saamiseks ühendame punktid C ja B, A ja D.

Proportsiooni (2) õigsuse põhjendamiseks piisab, kui tõestada, et DADE ~ DCBE. Need kolmnurgad on sarnased vastavalt kolmnurkade esimesele sarnasuse kriteeriumile: Ð1 = Ð2 kui sissekirjutatud nurgad, mis põhinevad samal kaarel VMD, ja Ð3 = Ð4 kui vertikaalsed. Seetõttu on teoreem tõene.

Iga analüütilise tõestuse saab teisendada sünteetiliseks ja vastupidi. Seda kasutatakse laialdaselt haridusprotsess. Tehnoloogiad võivad olla:

1) sünteetilisele tõestusele eelneb selle plaani analüütiline otsing;

2) sünteetiline tõestus asendatakse analüütilisega, as kodutöö– sünteetilise tõestuse õppimine õpikust;

3) loengumeetodi kasutamisel (peamiselt väljaspool põhikooli kursust) kasutatakse sageli puhtsünteetilist tõestusmeetodit.

Matemaatilise induktsiooni meetod ei ole geomeetrias laialt levinud, kuna see põhineb hulga omadustel naturaalarvud, väljub põhikooli ulatusest, mistõttu me seda eriõppele ei alluta.

Kaudsed tõendid: Teoreemi tõesus tehakse kindlaks, lükates ümber mõned teoreemis sisalduvad väited.

Planimeetria kursusel on kõige levinum ja ainus rakendatav kaudse tõendamise meetod tõestus vastuoluga.

Meetodi loogilis-matemaatiline olemus on vastuolus: otsejoone (p Þ q) asemel tõestatakse pöördteoreem () vastupidise teoreemiga.

Seetõttu konstrueeritakse vastuoluline tõestus järgmise skeemi järgi:

1) olgu q väär, st tõene ;

2) tõestame, et p on väär, st tõene;

3) veendus, et alates ;

4) seega p Þ q (tänu implikatsioonide p Þ q ja ekvivalentsusele), mis oli see, mida oli vaja tõestada.

Põhikooli geomeetria kursusel kasutatakse laialdaselt tõestusi vastuoluga, alustades sõna otseses mõttes seitsmenda klassi esimestest tundidest. Sel juhul on vaja kasutada algoritmilist lähenemist.

Vastuoluga tõestamise algoritm.

1. Eeldame, et teoreemi järeldus on väär. Siis on vastuoluline väide tõene.

2. Tuvastame võimalikud juhtumid.

3. Veenduge, et igal juhul jõuame tulemuseni, mis on vastuolus:

– teoreemi tingimus,

– varem kindlaks tehtud matemaatilised faktid.

4. Vastuolu olemasolu sunnib omaksvõetud järeldusest loobuma.

5. Aktsepteerime tõestatava teoreemi järelduse paikapidavust.

Oleme kirjeldanud peamist loogilisi meetodeid teoreemide tõestused: otsesed ja kaudsed, mis omakorda võivad olla analüütilised ja sünteetilised, tõestused vastuoluga.

Võime rääkida peamistest matemaatilised meetodid teoreemide tõestused. Geomeetrias hõlmavad need järgmist põhimeetodid:

1) meetod geomeetrilised teisendused : tõhus, järjekindel kaasaegne kontseptsioon geomeetria õpetamine koolis, kuid eeldab arenenud abstraktset ja ruumilist mõtlemist; selle koolis kasutamise metoodika ei ole piisavalt välja töötatud;

2) kolmnurkade võrdsuse ja sarnasuse meetod vastab klassikalisele geomeetria õpetamise kontseptsioonile koolis, on tuntud Eukleidese ajast, seetõttu on selle metoodika hästi arenenud; selle rakendamise oskused kujunevad järk-järgult, probleemide lahendamise ja teoreemide tõestamise käigus.

Lisaks määratud põhi matemaatilised meetodid Planimeetria teoreemide tõestuseks saame rääkida konkreetsematest meetoditest: sümmeetriameetod, pöörlemismeetod, vektormeetod, algebraline meetod, sarnasuse meetod, koordinaatide meetod ja jne.

Põhikooli geomeetria kursusel kasutatud tõestusmeetodid saab kokku võtta skeem I kujul.

Koolis õpitavate teoreemide (reeglid, valemid, identiteedid jne) sisu valdamine pole nii keeruline. Selleks on vaja süstemaatiliselt püüda mõista teoreemi tähendust (reeglid, valemid, identiteedid jne, rakendada neid nii sageli kui võimalik ülesannete lahendamisel, teiste teoreemide tõestamisel. Selline töö, nagu praktika näitab, viib nende sisu tahtmatu assimilatsioonini, nende sõnastuste päheõppimiseni.Teoreemide tõestamist on palju keerulisem õppida.Sel juhul ei räägi me konkreetse teoreemi tõestuse päheõppimisest, millest tunnis räägiti. Pole vaja. tõestuse konkreetseks päheõppimiseks tuleb õppida ise teoreeme tõestama.Õpikus olevaid teoreemide tõestusi tuleks väite tõestamisel käsitleda näidis(standard)arutlusena.

Mida tähendab teoreemi tõestamine, mis on tõestus?

Tõestus sisse laiemas mõttes- see on loogiline arutluskäik, mille käigus muude sätete abil põhjendatakse mõtte tõesust.

Seega, kui veenad oma sõpra milleski või kaitsed oma arvamust, seisukohta temaga vaidluses, siis toodad sisuliselt tõendi (oskuslikult või oskamatult – see on teine küsimus). Elus tuleb kogu aeg, iga päev teiste inimestega suheldes tõestada teatud mõtteid, väiteid, milleski veenda, s.t tõestada.

Tõestus matemaatilised teoreemid Seal on erijuhtum tõendid üldiselt. See erineb igapäevatingimustes või muudes teadustes tõestamisest selle poolest, et see on tehtud võimalikult puhtalt. deduktiivselt(alates Ladina sõna deduktsioon - järeldamine, s.o uue tõestatava mõtte (väite, hinnangu) tuletamine varem tõestatud või ilma tõestuseta aktsepteeritud mõtetest (aksioomidest) vastavalt loogikareeglitele ilma igasuguse viitamiseta näidetele või kogemustele. Teistes teadustes kasutame igapäevastes oludes tõestuseks sageli näiteid ja kogemusi. Me ütleme: "Vaata" ja see võib olla tõestuseks. Matemaatikas on selline tõestusviis vastuvõetamatu, näiteks joonisega illustreeritud ilmsetele seostele viitamine ei ole lubatud. Matemaatiline tõestus peaks olema loogiliste tagajärgede ahel algsetest aksioomidest, definitsioonidest, teoreemi tingimustest ja eelnevalt tõestatud teoreemidest kuni nõutud järelduseni.

Seega taandame teoreemi tõestamisel selle varem tõestatud teoreemideks ja need omakorda teistele jne. Ilmselgelt peab see redutseerimisprotsess olema lõplik ja seetõttu taandab igasugune tõestus lõpuks tõestatava teoreemi algmääratlustele ja aksioomid aktsepteeritakse ilma tõenditeta.

Järelikult ei teeni aksioomid mitte ainult kaudne määratlus esmased mõisted, aga ka kõigi matemaatikateoreemide tõestuse aluseks. Seetõttu on aksioomide hulgas ka neid, mis näitavad erilised omadused mõisted, millel on loogilised määratlused. Nii et näiteks paralleelsed sirged geomeetriakursusel ei ole esmane mõiste, vaid defineeritud. Kuid üks paralleelsete sirgete omadusi, nimelt seda, et punkti kaudu, mis ei asu antud sirgel, on võimalik tasapinnale tõmmata mitte rohkem kui üks antud sirgega paralleelne sirge, oleme sunnitud võtma aksioomina. , sest nagu tegi kindlaks suur vene geomeeter N. I. Lobatševski (1792-1856), samuti Saksa matemaatik K. F. Gaussi (1777-1855) ja Ungari matemaatiku J. Bolyai (1802-1860) sõnul on paralleelsete sirgete seda omadust võimatu tõestada ainult ülejäänud geomeetria aksioomide põhjal.

Iga tõestamise etapp koosneb kolmest osast:

1) väide (aksioom, teoreem, definitsioon), mille alusel see tõestuse samm läbi viiakse; seda tõestusastme alust nimetatakse eelduseks või argumendiks;

2) loogiline arutlus, mille käigus rakendatakse eeldust teoreemi tingimustele või varem saadud tagajärgedele;

3) eelduse tingimuste või varem saadud tagajärgede kohaldamise loogiline tagajärg.

Teoreemi tõestamise viimases etapis saame järeldusena väite, mis vajas tõestamist. Näidakem tõestusprotsessi, kasutades näitena järgmist teoreemi: "Ristküliku diagonaalid on võrdsed."

Selles teoreemis on meile antud suvaline (suvaline) ristkülik.Et tõestusprotsessi ajal oleks lihtsam arutleda, teeme järgmisel viisil. Joonistame täpselt määratletud ristküliku ABCD, kuid tõestuses ei kasuta me selle ristküliku mingeid eritunnuseid (näiteks et selle külg AB on ligikaudu 2 korda suurem rohkem külgi AD jne). Seetõttu kehtib meie arutlus selle konkreetse ristküliku kohta kõigi teiste ristkülikute kohta, st neil on üldine iseloom kõigi ristkülikute jaoks.

Joonistame diagonaalid AC ja BD. Arvestame saadud kolmnurgad ABC ja ABD. Need kolmnurgad nurgad ABC ja BAD on võrdsed sirgedena, haru AB on ühine ning jalad BC ja AD on võrdsed ristküliku vastaskülgedena. Seetõttu on need kolmnurgad kongruentsed. Sellest järeldub, et küljed AC ja BD on samuti võrdsed, mida oli vaja tõestada.

Kogu selle teoreemi tõestust saab kujutada järgmisel diagrammil.

Samm nr.	Ruumid (argumendid)	Tingimused	Tagajärjed
1.	Definitsioon: ristkülik on nelinurk, millel on kõik täisnurgad	ABCD - ristkülik	A - sirge B> - sirge.
2.	Teoreem: Täisnurgad on võrdsed.	A - sirge B - sirge.	A = B.
3.	Teoreem: ristküliku vastasküljed on võrdsed.	ABCD - ristkülik	BC = AD
4.	Kahe kolmnurga esimene võrdsuse märk.	BC=AD, AB=AB, B=A	ABC = HALB.
5.	Kolmnurkade võrdsuse määramine.	ABC = HALB AC ja BD on vastavad osapooled	AC=BD.

Tõestuses on kõige keerulisem leida eelduste jada (aksioomid, teoreemid, definitsioonid), mida teoreemi tingimustele või vahetulemustele (tagajärgedele) rakendades saate lõpuks soovitud tulemuse - tõestatava positsiooni.

Milliseid reegleid peaksite selle järjestuse otsimisel järgima? Ilmselgelt ei saa need reeglid olla kohustuslikud, vaid näitavad võimalikud viisid otsing. Seetõttu nimetatakse neid heuristilisteks reegliteks või lihtsalt heuristikaks (alates Kreeka sõna eureka - leian, leidsin). Palju silmapaistvad matemaatikud, nagu Papp (3. sajandil elanud Vana-Kreeka matemaatik), Blaise Pascal (1623-1662), René Descartes (1596-1650), Jacques Hadamard (1865-1963), Derge Poya (1887) ja paljud teised, uuris heuristika arendamist teoreemide tõestuste leidmiseks ja ülesannete lahendamiseks. Siin on mõned heuristikad, mida on kasulik meeles pidada.

1. Kasulik on asendada nende objektide nimed, mille kohta me räägime teoreemis (ülesandes), nende definitsioonid või tunnused.

Näiteks eelpool käsitletud teoreem puudutas ristkülikut ja selle tõestamiseks kasutasime ristküliku definitsiooni.

2. Võimalusel tuleks tõestatav positsioon jagada osadeks ja iga osa eraldi tõestada.

Nii võib näiteks teoreemi tõestuse: "Kui nelinurga diagonaalid lõikuvad ja jagatakse pooleks lõikepunktiga, siis see nelinurk on rööpkülik" võib jagada kaheks osaks: kõigepealt tõestage, et üks paar. vastasküljed antud nelinurk on paralleelne, ja seejärel tõestada, et ka teine vastaskülgede paar on paralleelne.

Seda tuleks teha alati, kui tõestatavat väidet on võimalik jagada mitmeks osaks lihtsamatest väidetest.

3. Teoreemi tõestust otsides on kasulik liikuda kahest suunast: teoreemi tingimustest järelduseni ja järeldusest tingimusteni.

Näiteks peate tõestama järgmist teoreemi: "Kui teatud jada on selline, et mõni selle liige, alates teisest, on eelneva ja järgneva liikme aritmeetiline keskmine, siis on see jada aritmeetiline progressioon».

Alustame teoreemi tingimustest. Mis meile on antud? On antud, et jada iga liige, alates teisest (tähistame seda a n, kus n ³ 2), on eelnevate ja järgnevate terminite aritmeetiline keskmine, s.o.

a n- 1 ja a n+1. Seega kehtib järgmine võrdsus:
(1)

Liigume nüüd järeldusest edasi. Mida me peame tõestama? Peame tõestama, et see jada on aritmeetiline progressioon. Millist jada nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks? Meenutagem määratlust:

a n = a n-1 + d, Kus n 2, d — konstantne arv. (2)

Võrdleme meile antud tingimust (1) järeldusega (2). Selleks, et tingimus saaks järelduse vormi, tuleb see teisendada järgmiselt:

2a n = a n-1 + a n+1, (3)

Siit a n — a n-1 = a n+1 — a n . (4)

(4) vasak ja parem pool tähendavad sama asja, nimelt erinevust kahe järjestikuse termini vahel antud järjestus. Kui on võrdne (4) P anna järjestikused väärtused 2, 3 jne, saame: a 2 -a 1 = a 3 -a 2, siis a 3 - a 2 = a 4 - a 3 jne Järelikult on kõik need erinevused üksteisega võrdsed, mis tähendab, et erinevus a p - a p-1 on konstantne arv, mida saab tähistada tähega, näiteks täht d:

a n - a n-1 = d.

Siit saame: a n = a n-1 + d, mis tähendab, et vastavalt definitsioonile (2) antud järjestus on aritmeetiline progressioon, mida me pidime tõestama.

Seda heuristikat saab sõnastada nii: me peame püüdma teoreemi tingimust ja järeldust üksteisele lähendada, neid teisendades või tagajärgedega asendades.

On ka mitmeid spetsiifilisemaid heuristlikke reegleid, mida kasutatakse ainult mõne teoreemi otsimisel. Näiteks see heuristika: mis tahes lõikude võrdsuse tõestamiseks on vaja leida või konstrueerida kujundid, mille vastavad küljed on need lõigud; kui arvud osutuvad võrdseks, on vastavad segmendid võrdsed.

Teoreemide õppimisel ei pea te nende tõestust lihtsalt pähe õppima, vaid iga kord mõtlema ja kindlaks tegema, milliste meetoditega need on tõestatud, milliseid heuristlikke reegleid nende tõestuste leidmiseks kasutati, kuidas te neid tõestusi arvasite (tuli välja).

Paljudel juhtudel kasutatakse seda teoreemide tõestamiseks eriline teretulnud, mida nimetatakse "vastuolu tõestamiseks" või "absurdiks taandamiseks".

Selle tehnika olemus seisneb selles, et nad eeldavad antud teoreemi järelduse ebaõiglust (valet) ja tõestavad, et selline eeldus viib vastuoluni tingimusega või varem tõestatud teoreemide või aksioomidega. Ja kuna iga väide võib olla kas tõene või väär (miski muu ei saa olla), näitab sellest tulenev vastuolu, et eeldus, et teoreemi järeldus on väär ja järelikult ka järeldus on tõene, tõestades sellega teoreemi.

Toome näite.

Teoreem. Kaks joont, mis on eraldi paralleelsed kolmandaga, on üksteisega paralleelsed.

Antud: a||c, b||c.
Tõesta: a||b.

Tõestame seda teoreemi vastuoluga. Oletame, et teoomi järeldus on vale, st sirge a ei ole paralleelne sirgega b. Seejärel lõikuvad nad teatud punktis M. Ja kuna tingimuse kohaselt on kõik need sirged paralleelsed sirgega c, siis selgub, et läbi punkti M tõmmatakse kaks sirget a ja b, paralleelselt sama sirgega c. Ja paralleelsuse aksioomist teame, et joonest väljaspool asuva punkti kaudu ei saa tõmmata rohkem kui ühte antud sirgega paralleelset sirget. Jõudsime aksioomiga vastuoluni. See näitab, et meie eeldus, et sirged a ja b ei ole paralleelsed, on vale, seega a||b, mida me pidime tõestama.

Veel üks näide.

Teoreem. Kahe aritmeetiline keskmine positiivsed numbrid mitte väiksem (tähendab: suurem või võrdne) nende arvude geomeetrilise keskmisega.

Selle teoreemi saab kirjutada järgmiselt:

Kus a>0, b>0, (1)

Seda saab tõestada kas otseselt või vastuoluliselt. Tõestame seda vastuoluga.

Selleks oletame, et see on vale, see tähendab, et aritmeetiline keskmine on väiksem kui kahe positiivse arvu geomeetriline keskmine: ; (2)

Korrutage (2) mõlemad küljed 2-ga ja ruudustage, saame: a 2 + 2ab + b 2<.4ab или a 2 — 2ab + b 2 < 0. По формуле квадрата разности двух чисел получаем: (а — b) 2 < 0.

Tulemuseks oli ilmselge absurd: teatud arvu (a - b) ruut on negatiivne, mis ei saa olla. Järelikult viis eeldus, et teoreem on väär, vastuoluni, mis tõestab teoreemi paikapidavust.

Seega seisneb teatud teoreemi vastuoluline tõestamine selles, et me eeldame, et teoreemi järeldus on vale. Seejärel teeme selle eelduse põhjal rea loogilisi järeldusi, mille tulemusena jõuame selgelt absurdsele seisukohale (vastuolu tingimusega või varem tõestatud teoreemidega, aksioomidega). Järgmisena arutleme nii: kui meie oletus oleks tõene, siis saaksime jõuda ainult õigele järeldusele ja kuna jõudsime vale järelduseni, tähendab see, et meie oletus oli vale, seega olime veendunud, et järeldus teoreem on tõsi.

Pange tähele, et kui me arutluse tulemusena ei saanud absurdsust (vastuolu), ei tähenda see, et oletus on tõene. Teisisõnu, kui lähtume teoreemi järelduse õigsusest (õiglusest) ja saame sellest eeldusest õige (ilmse) tagajärje, ei tähenda see, et eeldus on tõene: võib juhtuda, et algne teoreem on lihtsalt vale.

Sellele on üles ehitatud palju sofisme (tahtlikult valekonstrueeritud järeldused, mis tunduvad ainult õiged), see seletab paljusid probleemide lahendamisel tehtud vigu.

Vaatleme näiteks järgmist võrdsust: a - b = b - a(1), kus A Ja b- suvalised arvud. Oletame, et (1) on tõene, siis paneme ruudu (1) mõlemad pooled ja saame:

a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2

Kõiki liikmeid ühele poole nihutades ja sarnaseid tuues jõuame täiesti õige võrdsuseni: 0 = 0. Aga sellest ei saa järeldada, et ka algne võrdsus (1) on tõene. Kui teeksime sellise järelduse, jõuaksime järgmise sofismini: 2a = 2b või a = b, see tähendab, et suvalised arvud on üksteisega võrdsed. Viga on selles, et kahe arvu ruutude võrdsus ei tähenda nende arvude endi võrdsust. Näiteks (-2) 2 = 2 2, aga -2 2.

Siin on näide probleemi ekslikust lahendusest.

Ülesanne. Lahendage võrrand 3 + x + 2 = 0 (1).

Oletame, et võrrandil (1) on lahendus ja seetõttu on võrdsus (1) tõene. Siis saame: 3 = - x - 2. Võrdsuse mõlemad pooled ruudustage: 9x = x 2 + 4x + 4 või x 2 -5x + 4 = 0, seega x 1 = 4, x 2 = 1. Kas leitud x väärtusi saab lugeda võrrandi (1) juurteks? Mõned õpilased vastavad sellele küsimusele jaatavalt, sest kõik võrrandi teisendused on õiged. Ja ometi ei ole ükski x leitud väärtustest (1) juur. Seda kinnitab kontroll. Asendades leitud väärtused x-ga (1), saame selgelt absurdsed võrrandid: 12 = 0 ja 6 = 0.

Aga kuidas seda võrrandit lahendada? Pange tähele, et võrrandi vasakpoolsel küljel olev avaldis on mõttekas, kui x 0. Siis võtab võrrandi vasak pool kõigi x lubatud väärtuste korral ainult positiivseid väärtusi ega saa mingil juhul olla võrdne 0-ga, seetõttu pole sellel võrrandil juuri.

Seega tuleb õppida tõestama teoreeme (valemid, identiteedid jne), valdama üldisi teoreemide tõestuste otsimise meetodeid.

Algebra peab perioodiliselt teoreeme tõestama. Tõestatud teoreem aitab teil lahendada. Seetõttu on äärmiselt oluline mitte mehhaaniliselt tõestust pähe õppida, vaid mõista teoreemi olemust, et saaksite sellest praktikas juhinduda.

Kõigepealt joonistage teoreemi selge ja puhas diagramm. Märkige sellele ladina tähtedega, mida te alguses teate. Kirjutage veergu "Antud" kõik teadaolevad kogused. Järgmisena sõnastage veerus "Tõesta", mida tõestada. Nüüd saame alustada tõestamist. See on loogiliste mõtete ahel, mille tulemusena näidatakse väite tõesust. Teoreemi tõestamisel saate (ja mõnikord isegi peate) kasutama erinevaid sätteid, aksioome, vastuolusid ja isegi muid varem tõestatud teoreeme.

Seega on tõestus toimingute jada, mille tulemusena saate vaieldamatu. Suurim raskus teoreemi tõestamisel on leida täpselt see loogiliste arutluste jada, mis viib tõestamist vajava otsinguni.

Jagage teoreem osadeks ja seda eraldi tõestades jõuate lõpuks soovitud tulemuseni. Kasulik on omandada "vastuoluga tõestamise" oskus, mõnel juhul on see teoreemi tõestamiseks lihtsaim viis. Need. alustage oma tõestust sõnadega "oletame vastupidist" ja tõestage järk-järgult, et see ei saa olla. Lõpetage tõestus sõnadega "Seetõttu on algne väide tõene. Teoreem on tõestatud."

Francois Viète on kuulus prantsuse matemaatik. Vieta teoreem võimaldab lahendada ruutvõrrandid lihtsustatud skeemi abil, mis selle tulemusena säästab arvutustele kuluvat aega. Kuid selleks, et teoreemi olemust paremini mõista, tuleks tungida sõnastuse olemusse ja seda tõestada.

Vieta teoreem

Selle tehnika põhiolemus on juurte leidmine ilma diskrimineerija abita. Võrrandi puhul kujul x2 + bx + c = 0, kus on kaks erinevat reaaljuurt, on tõesed kaks väidet.

Esimene väide ütleb, et selle võrrandi juurte summa on võrdne muutuja x koefitsiendi väärtusega (in sel juhul see on b), kuid vastupidise märgiga. Visuaalselt näeb see välja selline: x1 + x2 = −b.

Teine väide ei ole enam seotud summaga, vaid nende samade kahe juure korrutisega. See korrutis on võrdsustatud vaba koefitsiendiga, st. c. Või x1 * x2 = c. Mõlemad näited on süsteemis lahendatud.

Vieta teoreem lihtsustab oluliselt lahendust, kuid sellel on üks piirang. Ruutvõrrandit, mille juured saab seda tehnikat kasutades leida, tuleb taandada. Ülaltoodud võrrandis on koefitsient a, üks x2 ees, võrdne ühega. Mis tahes võrrandi saab viia sarnasele kujule, jagades avaldise esimese koefitsiendiga, kuid see tehe ei ole alati ratsionaalne.

Teoreemi tõestus

Alustuseks peaksime meeles pidama, kui traditsiooniliselt on kombeks ruutvõrrandi juuri otsida. Leitakse esimene ja teine juur, nimelt: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Üldiselt jagub see 2a-ga, kuid nagu juba mainitud, saab teoreemi rakendada ainult siis, kui a=1.

Vieta teoreemist on teada, et juurte summa võrdub teise miinusmärgiga koefitsiendiga. See tähendab, et x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.

Sama kehtib ka tundmatute juurte korrutise kohta: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Omakorda D = b2-4c (taas a=1). Selgub, et tulemus on: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

Esitatud lihtsast tõendist saab teha ainult ühe järelduse: Vieta teoreem on täielikult kinnitatud.

Teine sõnastus ja tõestus

Vieta teoreemil on teine tõlgendus. Täpsemalt öeldes pole see tõlgendus, vaid sõnastus. Fakt on see, et kui on täidetud samad tingimused, mis esimesel juhul: on kaks erinevat reaaljuurt, siis saab teoreemi kirjutada teise valemiga.

See võrdsus näeb välja selline: x2 + bx + c = (x - x1) (x - x2). Kui funktsioon P(x) lõikub kahes punktis x1 ja x2, siis saab selle kirjutada kujul P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). Juhul, kui P-l on teine aste ja just selline näeb välja algne avaldis, siis R on algarv, nimelt 1. See väide on tõene põhjusel, et muidu võrdsus ei kehti. Koefitsient x2 ei tohiks sulgude avamisel olla suurem kui üks ja avaldis peaks jääma ruudukujuliseks.

Induktsioon- mõtlemisvorm, mille kaudu mõte on suunatud mõnele üldreeglile, üldisele positsioonile, mis on omane mis tahes klassi kõikidele konkreetsetele objektidele.
Mahaarvamine- mõtlemisvorm, kui uus mõte tuletatakse puhtloogiliselt eelmistest mõtetest. Seda mõtete jada nimetatakse järelduseks ja selle järelduse iga komponent on kas eelnevalt tõestatud mõte, aksioom või hüpotees.
Deduktiivne tõestus- üks tõendite vorme, kui väitekiri, mis on mingi individuaalne või konkreetne otsustus, on allutatud üldreeglile.
Iga tõend koosneb kolmest osast:
lõputöö, argumendid, demonstratsioonid.
Tõendite esitamise reeglid:
1. Tees ja argumendid peavad olema selged ja kindlad.
2. Lõputöö peab jääma samaks kogu tõestuse vältel.
3. Lõputöö ei tohiks sisaldada loogilist vastuolu.
4. Tõestatav tees ei tohiks olla loogilises vastuolus varem avaldatud hinnangutega.
5. Lõputöö toetuseks esitatud argumendid ei tohiks olla üksteisega vastuolus.
6. Taandamine absurdini. Ühe või teise teesi tõesust saab põhjendada vastupidise teesi vääruse tõestamisega.
7. Teesi ja argumente peavad toetama faktid.
8. Tõend peab olema täielik.
9. Töö tõepärasuse kinnitamiseks esitatud argumendid peavad olema selle lõputöö jaoks piisavad.
10. Teesi tõesuse tõestamiseks esitatud argumendid peavad ise olema tõesed.
11. Argumendid peavad olema hinnangud, mille tõesus on tõestatud iseseisvalt, sõltumata teesist.
MÄRKUS: Lõputöö - idee või ettepanek, mille tõesus vajab tõestamist.

Õpime tõestama teoreemi.

Mida tähendab teoreemi tõestamine, mis on tõestus?

Tõestus laiemas mõttes on loogiline arutluskäik, mille käigus muude sätete abil põhjendatakse mõtte tõesust.

Matemaatiliste teoreemide tõestamine on tõestamise erijuhtum üldiselt. See erineb igapäevatingimustes või muudes teadustes tõestamisest selle poolest, et see viiakse läbi võimalikult puhtalt deduktiivselt (ladina sõnast deduktsioon - järeldamine), s.t tuletades uue tõestatava mõtte (väite, hinnangu) varem tõestatud või ilma aktsepteeritud mõtteviisist. tõestada mõtteid (aksioome) loogikareeglite järgi ilma ühegi viiteta näidetele või kogemustele. Teistes teadustes kasutame igapäevastes oludes tõestuseks sageli näiteid ja kogemusi. Me ütleme: "Vaata" - ja see võib olla tõend. Matemaatikas on selline tõestusviis vastuvõetamatu, näiteks joonisega illustreeritud ilmsetele seostele viitamine ei ole lubatud. Matemaatiline tõestus peab olema loogiliste tagajärgede ahel algsetest aksioomidest, definitsioonidest, teoreemi tingimustest ja eelnevalt tõestatud teoreemidest kuni nõutud järelduseni.

Järelikult ei kasuta aksioomid mitte ainult esmaste mõistete kaudset määratlemist, vaid ka kõigi matemaatikateoreemide tõestust. Seetõttu on aksioomide hulgas ka neid, mis näitavad loogilisi definitsioone omavate mõistete eriomadusi. Nii et näiteks paralleelsed sirged geomeetriakursusel ei ole esmane mõiste, vaid defineeritud. Paralleelsete sirgete üks omadusi, nimelt see h läbi punkti, mis ei asu antud sirgel, on võimalik tasapinnale tõmmata mitte rohkem kui üks antud sirgega paralleelne sirge, oleme sunnitud seda võtma aksioomina, sest nagu on kindlaks tehtud suure Vene geomeetriga N. I. Lobatševski (1792-1856), aga ka saksa matemaatiku K. F. Gaussi (1777-1855) ja ungari matemaatiku J. Bolyai (1802-1860) poolt on võimatu tõestada seda paralleelsirgete omadust ainult ülejäänud joonte põhjal. geomeetria aksioomid.

Iga tõestamise etapp koosneb kolmest osast:

1) väide (aksioom, teoreem, definitsioon), mille alusel see tõestuse samm läbi viiakse; seda tõestusastme alust nimetatakse eelduseks või argumendiks;

2) loogiline arutlus, mille käigus rakendatakse eeldust teoreemi tingimustele või varem saadud tagajärgedele;

3) eelduse tingimuste või varem saadud tagajärgede kohaldamise loogiline tagajärg.

Teoreemi tõestamise viimases etapis saame järeldusena väite, mis vajas tõestamist. Näidakem tõestusprotsessi, kasutades näitena järgmist teoreemi: "Ristküliku diagonaalid on võrdsed."

Selles teoreemis on meile antud suvaline (suvaline) ristkülik.. Tõestuse käigus arutlemise hõlbustamiseks toimi järgmiselt. Joonistame täpselt määratletud ristküliku ABCD, kuid tõestuses ei kasuta me selle ristküliku eritunnuseid (näiteks et selle külg AB on ligikaudu 2 korda suurem kui külg AD jne). Seetõttu kehtib meie arutlus selle konkreetse ristküliku kohta kõigi teiste ristkülikute kohta, see tähendab, et see on kõigi ristkülikute puhul üldine.

Joonistame diagonaalid AC ja BD. Vaatleme saadud kolmnurki ABC ja ABD. Nende kolmnurkade puhul on nurgad ABC ja BAD võrdsed täisnurkadena, haru AB on ühine ning jalad BC ja AD on võrdsed ristküliku vastaskülgedena. Seetõttu on need kolmnurgad kongruentsed. Sellest järeldub, et küljed AC ja BD on samuti võrdsed, mida oli vaja tõestada.

Kogu selle teoreemi tõestust saab kujutada järgmisel diagrammil.

Samm nr.	Ruumid (argumendid)	Tingimused	Tagajärjed
1.	Definitsioon: ristkülik on nelinurk, millel on kõik täisnurgad	ABCD - ristkülik	A - sirge B> - sirge.
2.	Teoreem: Täisnurgad on võrdsed.	A - sirge B - sirge.	A=B.
3.	Teoreem: ristküliku vastasküljed on võrdsed.	ABCD - ristkülik	BC = AD
4.	Kahe kolmnurga esimene võrdsuse märk.	BC=AD, AB=AB,B=A	ABC = HALB.
5.	Kolmnurkade võrdsuse määramine.	ABC = HALB AC ja BD on vastavad osapooled	AC=BD.

Milliseid reegleid peaksite selle järjestuse otsimisel järgima? Ilmselgelt ei saa need reeglid olla kohustuslikud, need näitavad ainult võimalikke otsinguteid. Seetõttu nimetatakse neid heuristilisteks reegliteks või lihtsalt heuristikaks (kreeka sõnast eureka – leian, leidsin). Paljud silmapaistvad matemaatikud, nagu Pappus (Vana-Kreeka matemaatik, kes elas 3. sajandil), Blaise Pascal (1623-1662), René Descartes (1596-1650), Jacques Hadamard (1865-1963), Derge Polya (1887) ja paljud teised arendasid heuristikat teoreemitõestuste leidmiseks ja probleemide lahendamiseks. Siin on mõned heuristikad, mida on kasulik meeles pidada.

1. Kasulik on asendada teoreemis (ülesandes) käsitletud objektide nimetused nende definitsioonide või tunnustega.

Näiteks eelpool käsitletud teoreem puudutas ristkülikut ja selle tõestamiseks kasutasime ristküliku definitsiooni.

2. Võimalusel tuleb tõestatav positsioon osadeks jagada ja iga osa eraldi tõestada.

Nii näiteks saab teoreemi tõestuse: "Kui nelinurgas lõikuvad diagonaalid ja jagatakse lõikepunktiga pooleks, siis see nelinurk on rööpkülik" - võib jagada kaheks osaks: kõigepealt tõestage, et üks paar selle nelinurga vastaskülgedest on paralleelsed, ja seejärel tõesta, et teine paar vastaskülgi on samuti paralleelsed.

Seda tuleks teha alati, kui tõestatavat väidet on võimalik jagada mitmeks osaks lihtsamatest väidetest.

3. Teoreemi tõestust otsides on kasulik liikuda kahest suunast: teoreemi tingimustest järelduseni ja järeldusest tingimusteni.

Alustame teoreemi tingimustest. Mis meile on antud? On antud, et jada iga liige, alates teisest (tähistame seda a n, kus n³ 2), on eelnevate ja järgnevate terminite aritmeetiline keskmine, s.o.

a n- 1 ja a n+1. Seega kehtib järgmine võrdsus:
(1)

a n = a n-1 + d, Kus n2, d- konstantne arv. (2)

Võrdleme meile antud tingimust (1) järeldusega (2). Selleks, et tingimus saaks järelduse vormi, tuleb see teisendada järgmiselt:

2a n = a n-1 + a n+1, (3)

Siit a n- a n-1= a n+1 - a n . (4)

(4) vasak ja parem pool tähendavad sama asja, nimelt erinevust antud jada kahe järjestikuse liikme vahel. Kui on võrdne (4) P anna järjestikused väärtused 2, 3 jne, saame: a 2 -a 1 = a 3 - a 2, siis a 3 - a 2 = a 4 - a 3 jne Järelikult on kõik need erinevused üksteisega võrdsed, mis tähendab, et erinevus a p - a p-1 on konstantne arv, mida saab tähistada tähega, näiteks täht d:

a n - a n-1 = d.

Siit saame: a n = a n-1 + d, ja see tähendab, et definitsiooni (2) kohaselt on see jada aritmeetiline progressioon, mida me pidime tõestama.

Seda heuristikat saab sõnastada nii: me peame püüdma teoreemi tingimust ja järeldust üksteisele lähendada, neid teisendades või tagajärgedega asendades.

Paljudel juhtudel kasutatakse teoreemide tõestamiseks spetsiaalset tehnikat, mida nimetatakse "vastuolu tõestamiseks" või "absurdiks taandamiseks".

Toome näite.

Teoreem. Kaks joont, mis on eraldi paralleelsed kolmandaga, on üksteisega paralleelsed.

Antud: a||c, b||c.
Tõesta: a||b.

Veel üks näide.

Teoreem. Kahe positiivse arvu aritmeetiline keskmine ei ole väiksem (tähendab: suurem või võrdne) nende arvude geomeetrilise keskmisega.

Selle teoreemi saab kirjutada järgmiselt:

Kus a>0, b>0, (1)

Seda saab tõestada kas otseselt või vastuoluliselt. Tõestame seda vastuoluga.

Selleks oletame, et see on vale, see tähendab, et aritmeetiline keskmine on väiksem kui kahe positiivse arvu geomeetriline keskmine:; (2)

Korrutage (2) mõlemad küljed 2-ga ja ruudustage, saame: a 2 + 2ab + b 2<.4ab или a 2 - 2ab + b 2 < 0. По формуле квадрата разности двух чисел получаем: (а - b) 2 < 0.

Tulemuseks oli ilmselge absurd: teatud arvu (a - b) ruut on negatiivne, mis ei saa olla. Järelikult viis eeldus, et teoreem on väär, vastuoluni, mis tõestab teoreemi paikapidavust.

Sellele on üles ehitatud palju sofisme (tahtlikult valekonstrueeritud järeldused, mis tunduvad ainult õiged), see seletab paljusid probleemide lahendamisel tehtud vigu.

Vaatleme näiteks järgmist võrdsust: a - b = b - a(1), kus A Ja b- suvalised arvud. Oletame, et (1) on tõene, siis paneme ruudu (1) mõlemad pooled ja saame:

a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2

Siin on näide probleemi ekslikust lahendusest.

Ülesanne. Lahendage võrrand 3+ x + 2 = 0 (1).

Aga kuidas seda võrrandit lahendada? Pange tähele, et võrrandi vasakul küljel olev avaldis on mõttekas, kui x0. Siis võtab võrrandi vasak pool kõigi x lubatud väärtuste korral ainult positiivseid väärtusi ja ei saa mingil juhul olla 0-ga võrdne, seetõttu pole sellel võrrandil juuri.

Seega tuleb õppida tõestama teoreeme (valemid, identiteedid jne), valdama üldisi teoreemide tõestuste otsimise meetodeid.

Õpetaja töö teoreemiga on mitmeetapiline. Toome välja peamised nendest etappidest: 1) teadmiste uuendamine, teoreemi õppimise motivatsioon; 2) teoreemi sõnastamine ja selle sisu assimilatsioon; 3) teoreemi tõestus; 4) teoreemi kinnistamine ja rakendamine

Pange tähele, et igal konkreetsel juhul otsustab õpetaja ise, milliseid etappe millises ulatuses kasutada ja millistest saab loobuda. See sõltub klassi omadustest, õpetaja varasemast kogemusest, tajumise teoreemi keerukusest jne.

1. etapp – teadmiste uuendamine(põhikordus) ja motivatsioon teoreemi õppimiseks.

Võrdluskorduste korraldamise tehnoloogia: õpetaja

– jagab tõestuse maksimaalseks arvuks sammudeks;

– tuvastab kõik tõestuse aluseks olevad matemaatilised faktid;

– analüüsib, kas ja mil määral on need kõik õpilastele teada;

- korraldab põhilise kordamise vestluse, frontaalküsitluse, ettevalmistavate ülesannete süsteemi vormis (enamasti "valmis joonistel" - vt allpool).

Õpetaja seostab teoreemi õppimise motivatsiooni kõige sagedamini praktilise ülesande lahendamisega, mis eeldab teoreemis kajastatud fakti (vt näide lk 30).

2. etapp – teoreemi sõnastuse tutvustamine ja selle sisu valdamine.

Kirjeldame kahte peamist teoreemi sõnastuse sissejuhatamise viisi.

1. meetod. Õpetaja ise sõnastab teoreemi eelmotiveeritult või ilma.

Koostamisega pole vaja kiirustada. Ainult siis, kui see on lihtne ja arusaadav, võite alustada sõnastusest. Kui sõnastus pole lihtne, joonistab õpetaja kõigepealt joonise, selgitab välja ja kirjutab tahvlile tingimuse, teoreemi järelduse ning alles pärast seda sõnastab selle täielikult.

Meetodi eelisteks on lühidus, selgus, aja kokkuhoid; puudus - võimalikud on formalism ja dogmatism.

2. meetod. Õpilased on valmis teoreemi iseseisvalt formuleerima.

Planimeetrias kasutatakse selleks sageli harjutusi vastavate kujundite konstrueerimiseks ja mõõtmiseks.

Näide. Selleks, et õpilased saaksid iseseisvalt avastada teoreemi ringi akordide kohta, pakub õpetaja järgmisi küsimusi ja ülesandeid:

– Joonistage ringis kaks ebavõrdset akordi.

– Tehke silma järgi kindlaks, kumb on keskmele lähemal.

– Sõnastage oma järeldus.

Meetodi eelisteks on õpilaste loominguliste võimete arendamine, huvi suurenemine geomeetria õppimise vastu; Puudused - palju aega, võimalik tähelepanu hajumine ebaolulistele detailidele.

Pärast teoreemi sõnastamist tegeleme täpsustamisega: täpsustame terminoloogiat, tõstame esile teoreemi tingimuse ja järelduse. Samal ajal tehakse andmete ja tõestamist vajava lühiülevaade; joonist ehitatakse.

Joonistamise nõuded:

– kujutada tuleks üldist, mitte konkreetset juhtumit;

– joonise mõõtmed peavad olema optimaalsed;

– andmed ja otsitavad on joonisel värviliselt esile tõstetud, tähistamiseks kasutatakse spetsiaalseid märke ja sümboleid.

3. etapp – teoreemi tõestamine.

Varem (vt 3.2) kirjeldasime teoreemide tõestamise põhilisi loogilisi ja matemaatilisi meetodeid.

Õpik määrab suures osas ära tõestusmeetodi valiku: loogiline (otsene või kaudne, analüütiline, sünteetiline või vastuoluline meetod) ja matemaatiline (geomeetriliste teisenduste meetod või kolmnurkade võrdsuse või sarnasuse meetod).

Õpetaja peab mõistma hästi igat tüüpi tõestuse ülesehitust ja suutma tõlkida sünteetilise tõestuse analüütiline ja vastupidi; vali tunnis teadlikult analüütiline või sünteetiline arutlusviis (olenevalt õpilaste vanusest ja treenituse tasemest, klassi profiilist, võimalikust ajakulust jne).

Õpilased peavad mõistma, et tõestamisprotsess seisneb järjepideva arutlusahela konstrueerimises, mis on põhjendatud juba teadaolevate matemaatiliste faktidega. Järeldus on selle viimane link.

Nagu me teame, on selle ahela iga samm süllogism. Koolis ei ole võimalust ega ka vajadust võtta kasutusele mõisteid "süllogism", "peamine eeldus", "väike eeldus". Tavaliselt kasutatakse põhikoolis geomeetria õpetamisel mõisteid “samm”, “etapp”: igas tõestamise etapis märgitakse väide ja selle põhjendus.

Algul on tõestuse ülesehituse mõistmiseks kasulik pärast selle leidmist kujundada see kahe veeru kujul, millest üks sisaldab väiteid ja teine põhjendust.

Näide. Paralleelsete joonte märk.

Teoreem: Kui kaks sirget ristuvad ristiga, on vastavad nurgad võrdsed, siis on sirged paralleelsed.

Suurim raskus on tõestusloogika valdamine. Siin võivad suureks abiks olla spetsiaalsed kaardid, mida saab kasutada iseseisva tööna, kodutöödena, ülesandena individuaalküsitlustele jne. 1

Nende valmistamise tehnika on lihtne: jättes mõned punktid veerust “avaldus” ja “põhjendus” välja, saame ühe võimaluse individuaalse kaardi jaoks, mida saab kasutada prinditud alusele poognana (õpilane sisestab puuduva tõendite killud).

Kaartide kasutamise metoodika: antakse kaart ja palutakse täita lüngad; erinevatele õpilaste rühmadele pakutakse erineva tekstisisuga kaarte, individualiseerides nii matemaatikaõpetust.

Sest õpilaste ettevalmistamine tõestust õppima paljud õpetajad kasutavad teoreeme tõendite kava koostamise meetod. Tavaliselt on kaks etappi.

1 lähenemine. Antud valmis plaan uue teoreemi tõestuseks, palutakse õpilastel see ise kava abil tõestada.

Näide. Teoreemi "Kui nelinurga vastasküljed on paarikaupa võrdsed, siis on see rööpkülik" jaoks pakutakse välja järgmine plaan:

1. Joonista diagonaal

2. Tõesta saadud kolmnurkade võrdsus

3. Tõesta nelinurga vastaskülgede paralleelsus

4. Tee järeldus. ⁬

Kava näidatakse klassile näiteks ekraanil interaktiivse tahvli, multimeediaprojektori või grafoprojektori abil. Õpilased tajuvad seda uut ülesannete vormi erakordse huviga. Niipea kui plaan ekraanile ilmub, muutuvad nad vaikseks – mõtlevad. Paljud inimesed avaldavad seejärel soovi vastata. Kuidas seda suurenenud huvi seletada?

Esiteks jagab plaan teoreemi tõestuse lihtsateks elementaarseteks sammudeks, mida õpilased saavad juba järgida. Kui nad pole veel õppinud, kuidas neid rakendada, siis pole mõtet neile plaani anda.

Teiseks tunnevad õpilased, et nad saavad seda plaani kasutada uue teoreemi tõestamiseks. Ärge kuulake ja jätke pähe, vaid tõestage seda ise. See meeldib neile tõesti.

Kolmandaks võimaldab plaan katta kogu tõestuse tervikuna ja saavutada täieliku arusaamise. Järelikult nõrgeneb negatiivne mõju, kui meeldejätmise mõtteviis muudab mõistmise keeruliseks. See toob kaasa enesekindluse ja töötegemise soovi.

2. lähenemine. Õpilasi õpetatakse koostage juba tõestatud teoreemi plaan. Esiteks tehakse seda tööd kollektiivselt ja seejärel iseseisvalt. Pealegi peab õpetaja siin korduvalt näitama kava koostamise näiteid. Õpilased tajuvad valmis plaani vabalt, kuid plaani koostamise oskusi neil kohe ei teki. Väga häid tulemusi saadakse juhtudel, kui mitme teoreemi tõestamiseks antakse üks üldplaan. Selliseid teoreeme, mida ühendab ühine idee, õpitakse eriti produktiivselt.

Nagu me juba ütlesime, esitavad planimeetriaõpikud teoreemide lühidalt sünteetilisi tõestusi. Õpetaja peab õpilastele süstemaatiliselt õpetama:

1) konstrueerida sammudest tõendeid;

2) muuta lühendatud raamatutõestused üksikasjalikeks põhjendusi näitavateks sammude ahelateks;

3) koostab üksikute teoreemide tõestamise täielikud protokollid.

Toome näite teoreemi täielikust tõestamisest samm-sammult.

Näide. Sirgede paralleelsuse testi täielik tõestus (tõestuse sõnastus ja kokkuvõte on toodud eelmisel lehel).

Laske joonte ristumiskohas A Ja V sekant Koos meil on näiteks nurgad 2 ja 3 – vertikaalne, 1 ja 3 – risti asetsevad.

1. Kuna 3 ja 2 on vertikaalnurgad, siis 3 = 2 (vertikaalsed nurgad on võrdsed).

2. Kuna 1 = 2 ja 3 = 2, siis 1 = 3 (kui tõelistes võrdustes on paremad küljed võrdsed, siis on nende vasakpoolsed küljed võrdsed).

3. Kuna 1 ja 3 on sirgete ristumiskohas ristnurgad A Ja V sekant Koos ja 1 = 3, siis A V(kui kui kaks sirget ristuvad ristiga, on lamamisnurgad võrdsed, siis sirged on paralleelsed).

Teoreem on tõestatud .

Tõestusprotsessis on vaja teoreemi tingimusi täielikult kasutada. Üks võimalus on arutada, millistel etappidel ja kuidas seda või teist tingimuse osa rakendatakse ning kas neid kõiki kasutatakse tõestuses.

Tõendite assimilatsiooni tagamiseks kasutatakse seda laialdaselt kahekordse tõendi vastuvõtmine: esiteks arutatakse ainult ideed, plaani; tõestus esitatakse fragmentidena. Pärast seda esitatakse tõend tervikuna koos kõigi peensuste ja nüanssidega.

Eksperimendis V.F. Šatalov kasutab tõestuse ülimitmekordset kordamist, sageli idee või plaani tasandil.

4. etapp – teoreemi kinnistamine ja rakendamine

Teoreemi kinnistamise etapp hõlmab tööd selle nimel, et teha kindlaks, kas teoreemi enda olemust, ideed, tõestusmeetodit ja selle üksikuid etappe mõistetakse. Kinnitustehnikad võivad olla järgmised:

– õpilastega vesteldes tõsta veel kord esile tõestamise põhiidee, meetod ja sammud;

– pakkuda selgitusi tõendamise üksikute etappide kohta;

– loetlege kõik tõestuses kasutatud aksioomid, teoreemid ja definitsioonid;

– uurige, kus seda või teist tingimust kasutatakse, kas neid kõiki kasutati;

– kas on muid tõendamisviise;

– kinnitamisel on kasulik varieerida joonisel olevaid tähistusi, samuti joonist ennast jne.

Teoreemi rakendamine on organiseeritud probleemide lahendamise protsessis, milles seda kasutatakse. Arvestada tuleb, et õpikus ei pakuta alati konkreetse teoreemi rakendamiseks ülesannete süsteemi, sagedamini on antud üksikud ülesanded, mida kogenud õpetaja saab täiendada. Teoreeme kasutatakse ka teiste teoreemide tõestamiseks järgneval planimeetria ja stereomeetria kursusel.