Lihtsustamiseks kasutatakse väikseimat ühisnimetajat antud võrrand. Seda meetodit kasutatakse juhul, kui te ei saa kirjutada antud võrrandit ühe ratsionaalse avaldisega võrrandi mõlemal küljel (ja kasutada ristkorrutamise meetodit). Seda meetodit kasutatakse siis, kui teile antakse 3 või enama murruga ratsionaalne võrrand (kahe murru puhul on parem kasutada ristkorrutamist).
Leidke murdude väikseim ühisnimetaja (või vähim ühiskordne). NOZ on väikseim number, mis jagub ühtlaselt iga nimetajaga.
- Mõnikord on NPD ilmne number. Näiteks kui anda võrrand: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, siis on ilmne, et arvude 3, 2 ja 6 vähim ühiskordne on 6.
- Kui NCD ei ole ilmne, kirjutage üles suurima nimetaja kordsed ja leidke nende hulgast üks, mis on teiste nimetajate kordne. Sageli saab NOD-i leida lihtsalt kahe nimetaja korrutamisega. Näiteks kui võrrand on antud x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, siis NOS = 8*9 = 72.
- Kui üks või mitu nimetajat sisaldavad muutujat, muutub protsess mõnevõrra keerulisemaks (kuid mitte võimatuks). Sel juhul on NOC avaldis (sisaldab muutujat), mis jagatakse iga nimetajaga. Näiteks võrrandis 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), kuna see avaldis jagatakse iga nimetajaga: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).
Korrutage nii iga murru lugeja kui ka nimetaja arvuga, mis on võrdne NOC jagamise tulemusega iga murru vastava nimetajaga. Kuna korrutate nii lugeja kui ka nimetaja sama arvuga, korrutate murdosa 1-ga (näiteks 2/2 = 1 või 3/3 = 1).
- Nii et meie näites korrutage x/3 2/2-ga, et saada 2x/6, ja 1/2 korrutage 3/3-ga, et saada 3/6 (murru 3x +1/6 ei pea korrutama, kuna see nimetaja on 6).
- Kui muutuja on nimetajas, toimige samamoodi. Meie teises näites NOZ = 3x(x-1), seega korrutage 5/(x-1) väärtusega (3x)/(3x), et saada 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x korrutatuna 3(x-1)/3(x-1) ja saad 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) korrutatakse (x-1)/(x-1) ja saad 2(x-1)/3x(x-1).
Leia x. Nüüd, kui olete murdude arvu vähendanud ühine nimetaja, saate nimetajast lahti saada. Selleks korrutage võrrandi mõlemad pooled ühise nimetajaga. Seejärel lahendage saadud võrrand, st leidke "x". Selleks eraldage muutuja võrrandi ühel küljel.
- Meie näites: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Saate lisada 2 sama nimetajaga murdosa, seega kirjutage võrrand järgmiselt: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Korrutage võrrandi mõlemad pooled 6-ga ja vabanege nimetajatest: 2x+3 = 3x +1. Lahendage ja saage x = 2.
- Meie teises näites (nimetajas muutujaga) näeb võrrand välja (pärast ühiseks nimetajaks taandamist): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (x-1)/3x (x-1). Korrutades võrrandi mõlemad pooled N3-ga, vabanete nimetajast ja saate: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1) või 15x = 3x - 3 + 2x -2 või 15x = x - 5 Lahendage ja saage: x = -5/14.
Lahendus murdarvulised ratsionaalvõrrandid
Ratsionaalvõrrandid on võrrandid, milles on nii vasak kui ka parem pool ratsionaalsed väljendid.
(Tuletame meelde: ratsionaalsed avaldised on täisarvud ja murdosa avaldised ilma radikaalideta, mis hõlmab liitmise, lahutamise, korrutamise või jagamise tehteid – näiteks: 6x; (m – n)2; x/3 a jne)
Murdratsionaalvõrrandid taandatakse tavaliselt järgmisele kujule:
Kus P(x) Ja K(x) on polünoomid.
Selliste võrrandite lahendamiseks korrutage võrrandi mõlemad pooled Q(x)-ga, mis võib viia kõrvaliste juurte ilmnemiseni. Seetõttu tuleb murdratsionaalvõrrandite lahendamisel kontrollida leitud juuri.
Ratsionaalvõrrandit nimetatakse tervikuks ehk algebraliseks, kui see ei jaga muutujat sisaldava avaldisega.
Terve ratsionaalse võrrandi näited:
5x – 10 = 3 (10 – x)
3x
- = 2x - 10
4
Kui ratsionaalvõrrandis on jagamine muutujat (x) sisaldava avaldisega, siis nimetatakse võrrandit murdratsionaaliks.
Murdratsionaalvõrrandi näide:
15
x + - = 5x - 17
x
Murdratsionaalvõrrandid on tavaliselt lahendatud järgmisel viisil:
1) leida murdude ühisnimetaja ja korrutada sellega võrrandi mõlemad pooled;
2) lahendab saadud tervikvõrrandi;
3) jätab oma juurtest välja need, mis taandavad murdude ühisnimetaja nulli.
Täis- ja murdratsionaalvõrrandite lahendamise näited.
Näide 1. Lahendame kogu võrrandi
x - 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6
Lahendus:
Väikseima ühisnimetaja leidmine. See on 6. Jagage 6 nimetajaga ja korrutage saadud tulemus iga murdosa lugejaga. Saame sellega võrdväärse võrrandi:
3 (x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6
Sest vasakul ja paremal küljel sama nimetaja, võib selle ära jätta. Siis saame lihtsama võrrandi:
3 (x – 1) + 4x = 5x.
Lahendame selle, avades sulgud ja kombineerides sarnaseid termineid:
3x – 3 + 4x = 5x
3x + 4x - 5x = 3
Näide on lahendatud.
Näide 2. Lahendage murdarvuline ratsionaalvõrrand
x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)
Ühise nimetaja leidmine. See on x(x – 5). Niisiis:
x 2 – 3 x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)
Nüüd vabaneme nimetajast uuesti, kuna see on kõigi avaldiste jaoks sama. Vähendame sarnaseid termineid, võrdsustame võrrandi nulliga ja saame ruutvõrrand:
x 2 – 3x + x – 5 = x + 5
x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0
x 2 – 3x – 10 = 0.
Olles lahendanud ruutvõrrandi, leiame selle juured: –2 ja 5.
Kontrollime, kas need arvud on algse võrrandi juured.
Kui x = –2, ühisnimetaja x(x – 5) ei kao. See tähendab, et –2 on algse võrrandi juur.
Kui x = 5, läheb ühisnimetaja nulliks ja kaks avaldist kolmest muutuvad mõttetuks. See tähendab, et arv 5 ei ole algse võrrandi juur.
Vastus: x = –2
Veel näiteid
Näide 1.
x 1 = 6, x 2 = - 2,2.
Vastus: -2,2;6.
Näide 2.
\(\bullet\) Ratsionaalvõrrand on võrrand, mis on esitatud kujul \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] kus \(P(x), \Q(x)\ ) - polünoomid (erinevate astmetega X-de summa, korrutatuna erinevate arvudega).
Võrrandi vasakul küljel olevat avaldist nimetatakse ratsionaalseks avaldiseks.
ODZ (piirkond vastuvõetavad väärtused Ratsionaalvõrrandi ) on kõik \(x\) väärtused, mille nimetaja EI kao, see tähendab \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) Näiteks võrrandid \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] on ratsionaalsed võrrandid.
Esimesel ODZ võrrand– need kõik on \(x\) nii, et \(x\ne 3\) (kirjuta \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); teises võrrandis – need kõik on \(x\) nii, et \(x\ne -1; x\ne 1\) (kirjutage \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); ja kolmandas võrrandis pole ODZ-le piiranguid, see tähendab, et ODZ on kõik \(x\) (nad kirjutavad \(x\in\mathbb(R)\)). \(\bullet\) Teoreemid:
1) Kahe teguri korrutis on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui üks neist võrdne nulliga, ja teine ei kaota tähendust, seetõttu on võrrand \(f(x)\cdot g(x)=0\) samaväärne süsteemiga \[\begin(cases) \left[ \begin(kogutud)\begin(joondatud) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(joondatud) \end(kogutud) \right.\\ \ tekst (ODZ võrrandid)\end(juhtumid)\] 2) Murd on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui lugeja on võrdne nulliga ja nimetaja ei ole võrdne nulliga, seega võrrand \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) on samaväärne võrrandisüsteemiga \[\begin(cases) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(cases)\]\(\bullet\) Vaatame mõnda näidet.
1) Lahendage võrrand \(x+1=\dfrac 2x\) . Leiame selle võrrandi ODZ - see on \(x\ne 0\) (kuna \(x\) on nimetajas).
See tähendab, et ODZ saab kirjutada järgmiselt: .
Liigutame kõik terminid ühte ossa ja viime need ühise nimetaja juurde: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightrow\quad \begin( juhtumid) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(juhtumid)\] Süsteemi esimese võrrandi lahendus on \(x=-2, x=1\) . Näeme, et mõlemad juured on nullist erinevad. Seetõttu on vastus: \(x\in \(-2;1\)\) .
2) Lahenda võrrand \(\left(\dfrac4x - 2\right)\cdot (x^2-x)=0\). Leiame selle võrrandi ODZ. Näeme, et \(x\) ainus väärtus, mille vasakpoolsel küljel pole mõtet, on \(x=0\) . Niisiis, ODZ saab kirjutada järgmiselt: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Seega on see võrrand samaväärne süsteemiga:
\[\begin(cases) \left[ \begin(kogutud)\begin(joondatud) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(joondatud) \end(kogutud) \right. ' 0 \end(joondatud) \lõpp(kogutud) \paremale.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightnarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(kogutud)\begin(joondatud) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(joondatud) \end(kogutud) \paremal.\\ x\ne 0 \end(juhtumid) \neli \Leftrightnool \quad \left[ \begin(kogutud) \begin(joonatud) &x=2\\ &x=1 \end(joondatud) \end(kogutud) \paremale.\] Tõepoolest, hoolimata asjaolust, et \(x=0\) on teise teguri juur, ei ole sellel mõtet, kui asendate algsesse võrrandisse \(x=0\), sest avaldis \(\dfrac 40\) pole määratletud.
Seega on selle võrrandi lahendus \(x\in \(1;2\)\) .
3) Lahenda võrrand \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] Meie võrrandis \(4x^2-1\ne 0\) , millest \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , see tähendab \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .
Liigume kõik tingimused edasi vasak pool ja tooge see ühise nimetaja juurde:
\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Vasakparemnool \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftparemnool\)
\(\Leftrightnarrow \quad \begin(cases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftright nool \quad \begin(cases) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(juhtumid) \quad \Leftrightnarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(kogutud) \begin( joondatud) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(joondatud)\end(kogutud) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ vasakparemnool \quad x=-3\)
Vastus: \(x\in \(-3\)\) .
Kommenteeri. Kui vastus koosneb lõplikust arvude hulgast, saab need kirjutada semikooloniga eraldatuna lokkis sulgudesse, nagu on näidatud eelmistes näidetes.
Ratsionaalvõrrandite lahendamist nõudvate probleemidega puututakse matemaatika ühtsel riigieksamil igal aastal kokku, seega tuleks atestaadiksami sooritamiseks valmistudes kindlasti selleteemalist teooriat omal käel korrata. Lõpetajad võttes nii põhi- kui profiili tase eksam. Olles omandanud teooria ja tegelenud praktilisi harjutusi teemal "Ratsionaalvõrrandid" saavad õpilased lahendada ülesandeid mis tahes arvu toimingutega ja loota ühtse riigieksami sooritamise tulemuste põhjal võistlusskooride saamisele.
Kuidas valmistuda eksamiks, kasutades Shkolkovo haridusportaali?
Mõnikord võite leida allika, mis esitab täielikult lahendamise põhiteooria matemaatilisi probleeme osutub üsna keeruliseks. Õpik ei pruugi lihtsalt käepärast olla. Ja leida vajalikud valemid mõnikord võib see isegi Internetis olla üsna keeruline.
Shkolkovo haridusportaal vabastab teid otsimise vajadusest vajalik materjal ja aitab teil sertifitseerimistesti läbimiseks hästi valmistuda.
Kõik vajalik teooria teemal “Ratsionaalvõrrandid” valmistasid meie spetsialistid ette ja esitasid neid maksimaalselt juurdepääsetav vorm. Pärast esitatud teabe uurimist saavad õpilased teadmistes lünki täita.
Sest edukas ettevalmistus To Lõpetajate ühtne riigieksam on vaja mitte ainult harjata põhi teoreetiline materjal teemal “Ratsionaalvõrrandid”, vaid harjutada ülesannete täitmist edasi konkreetsed näited. Suur valik ülesandeid on esitatud jaotises "Kataloog".
Iga saidi harjutuse jaoks on meie eksperdid kirjutanud lahendusalgoritmi ja näidanud õige vastuse. Õpilased saavad harjutada probleemide lahendamist erineval määral raskused olenevalt ettevalmistustasemest. Vastava jaotise ülesannete loetelu täieneb ja uuendatakse pidevalt.
Õppida teoreetilist materjali ja lihvida probleemilahendusoskusi teemal “Ratsionaalvõrrandid” sarnaselt Ühtse riigieksami testid, saab teha Internetis. Vajadusel saab mis tahes esitatud ülesannetest lisada jaotisesse "Lemmikud". Uuesti kordamine põhiteooria teemal “Ratsionaalvõrrandid” saab gümnaasiumiõpilane edaspidi probleemi juurde tagasi pöörduda, et algebratunnis õpetajaga selle lahendamise edenemist arutada.
Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, nagu auditeerimine, andmete analüüs ja erinevaid uuringuid et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Teabe avaldamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Vajadusel vastavalt seadusele, kohtumenetlus, V kohtuprotsess ja/või avalike taotluste või taotluste alusel valitsusagentuurid Vene Föderatsiooni territooriumil - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.
Isikuandmete kaitse
Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.