Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ning eelseisvate sündmustega.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Teabe avaldamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni valitsusasutuste avalike taotluste või taotluste alusel - avaldada oma isikuandmeid. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.
Isikuandmete kaitse
Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.
“Ratsionaalvõrrandid polünoomidega” on matemaatika ühtse riigieksami testiülesannete üks levinumaid teemasid. Sel põhjusel tuleks nende kordamisele pöörata erilist tähelepanu. Paljud õpilased seisavad silmitsi probleemiga leida diskrimineerija, kanda näitajaid paremalt poolt vasakule ja viia võrrand ühisele nimetajale, mistõttu selliste ülesannete täitmine tekitab raskusi. Ratsionaalsete võrrandite lahendamine meie veebisaidil ühtseks riigieksamiks valmistumisel aitab teil kiiresti toime tulla mis tahes keerukuse probleemidega ja sooritada testi suurepäraselt.
Valige Shkolkovo haridusportaal, et edukalt valmistuda ühtseks matemaatikaeksamiks!
Tundmatute arvutamise reeglite tundmiseks ja õigete tulemuste hõlpsaks saamiseks kasutage meie võrguteenust. Shkolkovo portaal on ainulaadne platvorm, kuhu kogutakse ühtseks riigieksamiks valmistumiseks vajalikke materjale. Meie õpetajad süstematiseerisid ja esitasid arusaadaval kujul kõik matemaatikareeglid. Lisaks kutsume kooliõpilasi kätt proovima standardsete ratsionaalvõrrandite lahendamisel, mille aluseid pidevalt uuendatakse ja laiendatakse.
Tõhusamaks testimiseks valmistumiseks soovitame järgida meie erimeetodit ning alustada reeglite kordamisest ja lihtsate ülesannete lahendamisest, liikudes järk-järgult keerukamate juurde. Seega oskab lõpetaja enda jaoks kõige raskemad teemad välja selgitada ja keskenduda nende uurimisele.
Alustage Shkolkovoga lõpukatseks valmistumist juba täna ja tulemused ei lase end kaua oodata! Valige toodud näidete hulgast kõige lihtsam näide. Kui omandate väljendi kiiresti, liikuge edasi raskema ülesande juurde. Nii saate täiendada oma teadmisi kuni matemaatika USE ülesannete lahendamiseni spetsialiseeritud tasemel.
Koolitus on saadaval mitte ainult Moskva lõpetajatele, vaid ka teiste linnade koolilastele. Kuluta paar tundi päevas näiteks meie portaalis õppides ja peagi saad hakkama igasuguse keerukusega võrranditega!
Oleme juba õppinud ruutvõrrandeid lahendama. Nüüd laiendame uuritud meetodeid ratsionaalsetele võrranditele.
Mis on ratsionaalne väljend? Oleme selle kontseptsiooniga juba kokku puutunud. Ratsionaalsed väljendid on avaldised, mis koosnevad arvudest, muutujatest, nende astmetest ja matemaatiliste tehete sümbolitest.
Vastavalt sellele on ratsionaalvõrrandid võrrandid kujul: , kus 
- ratsionaalsed väljendid.
Varem käsitlesime ainult neid ratsionaalseid võrrandeid, mida saab taandada lineaarseteks. Vaatame nüüd neid ratsionaalseid võrrandeid, mida saab taandada ruutvõrranditeks.
Näide 1
Lahendage võrrand:.
Lahendus:
Murd on võrdne 0-ga siis ja ainult siis, kui selle lugeja on 0 ja nimetaja ei ole 0.
Saame järgmise süsteemi:
Süsteemi esimene võrrand on ruutvõrrand. Enne selle lahendamist jagame kõik selle koefitsiendid 3-ga.
Saame kaks juurt: ; .
Kuna 2 ei võrdu kunagi 0-ga, peavad olema täidetud kaks tingimust: 
. Kuna ükski ülaltoodud võrrandi juurtest ei lange kokku teise võrratuse lahendamisel saadud muutuja kehtetute väärtustega, on need mõlemad selle võrrandi lahendid.
Vastus:.
Niisiis, formuleerime ratsionaalsete võrrandite lahendamise algoritmi:
1. Liigutage kõik terminid vasakule, nii et parem pool on 0.
2. Teisenda ja lihtsusta vasak pool, vii kõik murrud ühisele nimetajale.
3. Võrdsusta saadud murd 0-ga, kasutades järgmist algoritmi: 
.
4. Kirjuta üles need juured, mis saadi esimeses võrrandis ja rahulda vastuses teine võrratus.
Vaatame teist näidet.
Näide 2
Lahendage võrrand:.
Lahendus
Kohe alguses nihutame kõik terminid vasakule, nii et paremale jääb 0. Saame:
Toome nüüd võrrandi vasaku poole ühise nimetaja juurde:
See võrrand on samaväärne süsteemiga:
Süsteemi esimene võrrand on ruutvõrrand.
Selle võrrandi koefitsiendid: . Arvutame diskriminandi:
Saame kaks juurt: ; .
Nüüd lahendame teise võrratuse: tegurite korrutis ei ole 0-ga siis ja ainult siis, kui ükski tegur ei ole võrdne 0-ga.
Täidetud peavad olema kaks tingimust: 
. Leiame, et esimese võrrandi kahest juurest sobib ainult üks - 3.
Vastus:.
Selles tunnis meenutasime, mis on ratsionaalne avaldis, ja õppisime ka lahendama ratsionaalseid võrrandeid, mis taanduvad ruutvõrranditeks.
Järgmises õppetükis vaatleme ratsionaalvõrrandeid kui reaalsete olukordade mudeleid ning vaatleme ka liikumisprobleeme.
Bibliograafia
- Bashmakov M.I. Algebra, 8. klass. - M.: Haridus, 2004.
- Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovitš E.A. ja teised Algebra, 8. 5. väljaanne. - M.: Haridus, 2010.
- Nikolski S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Ševkin A.V. Algebra, 8. klass. Õpik üldharidusasutustele. - M.: Haridus, 2006.
- Pedagoogiliste ideede festival "Avatud õppetund" ().
- School.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com ().
Kodutöö
Murdudega võrrandid ise ei ole keerulised ja on väga huvitavad. Vaatame murdvõrrandite tüüpe ja kuidas neid lahendada.
Kuidas lahendada võrrandeid murdarvudega - x lugejas
Kui on antud murdvõrrand, kus lugejas on tundmatu, ei nõua lahendus lisatingimusi ja lahendatakse ilma asjatute probleemideta. Sellise võrrandi üldkuju on x/a + b = c, kus x on tundmatu, a, b ja c on tavaarvud.
Leidke x: x/5 + 10 = 70.
Võrrandi lahendamiseks tuleb murdudest lahti saada. Korrutage võrrandi iga liige 5-ga: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x ja 5 tühistatakse, 10 ja 70 korrutatakse 5-ga ja saame: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.
Leidke x: x/5 + x/10 = 90.
See näide on veidi keerulisem versioon esimesest. Siin on kaks võimalikku lahendust.
- 1. võimalus: vabaneme murdudest, korrutades kõik võrrandi liikmed suurema nimetajaga, st 10-ga: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300.
- 2. valik: lisage võrrandi vasak pool. x/5 + x/10 = 90. Ühine nimetaja on 10. Jagage 10 5-ga, korrutage x-ga, saame 2x. Jagage 10 10-ga, korrutage x-ga, saame x: 2x+x/10 = 90. Seega 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.
Tihti kohtame murdvõrrandeid, milles x-id asuvad võrdusmärgi vastaskülgedel. Sellistes olukordades on vaja nihutada kõik X-ga murrud ühele ja arvud teisele poole.
- Leidke x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
- Liikuge 2x/5 paremale vastupidise märgiga: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
- Vähendame 5x/5 ja saame: x = 130.
Kuidas lahendada võrrandit murdudega - x nimetajas
Seda tüüpi murdvõrrandid nõuavad lisatingimuste kirjutamist. Nende tingimuste täpsustamine on õige otsuse kohustuslik ja lahutamatu osa. Neid lisamata jättes riskite, kuna vastust (isegi kui see on õige) ei pruugita lihtsalt arvesse võtta.
Murdvõrrandite üldvorm, kus x on nimetajas, on: a/x + b = c, kus x on tundmatu, a, b, c on tavaarvud. Pange tähele, et x ei pruugi olla suvaline arv. Näiteks x ei saa võrduda nulliga, kuna seda ei saa jagada 0-ga. See on just see lisatingimus, mille peame täpsustama. Seda nimetatakse lubatud väärtuste vahemikuks, lühendatult VA.
Leidke x: 15/x + 18 = 21.
Kirjutame kohe x jaoks ODZ: x ≠ 0. Nüüd, kui ODZ on näidatud, lahendame võrrandi standardskeemi järgi, vabanedes murdosadest. Korrutage kõik võrrandi liikmed x-ga. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.
Sageli esineb võrrandeid, kus nimetaja sisaldab mitte ainult x-i, vaid sellega ka mõnda muud tehtet, näiteks liitmist või lahutamist.
Leidke x: 15/(x-3) + 18 = 21.
Teame juba, et nimetaja ei saa olla võrdne nulliga, mis tähendab, et x-3 ≠ 0. Liigume -3 paremale poole, muutes märgi “-” märgiks “+” ja saame, et x ≠ 3. ODZ on näidatud.
Lahendame võrrandi, korrutame kõik x-3-ga: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.
Liigutage X-id paremale, numbrid vasakule: 24 = 3x => x = 8.
Jätkame juttu võrrandite lahendamine. Selles artiklis käsitleme üksikasjalikult ratsionaalsed võrrandid ja ühe muutujaga ratsionaalsete võrrandite lahendamise põhimõtted. Esiteks mõelgem välja, millist tüüpi võrrandeid nimetatakse ratsionaalseteks, andke definitsioon tervetele ratsionaalvõrranditele ja murdosalistele ratsionaalvõrranditele ning tooge näiteid. Järgmisena hangime ratsionaalvõrrandite lahendamise algoritmid ja loomulikult kaalume lahendusi tüüpnäidetele koos kõigi vajalike selgitustega.
Leheküljel navigeerimine.
Esitatud definitsioonide põhjal toome mitu näidet ratsionaalsetest võrranditest. Näiteks x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , on kõik ratsionaalsed võrrandid.
Näidatud näidetest on selge, et ratsionaalvõrrandid ja ka muud tüüpi võrrandid võivad olla ühe muutujaga või kahe, kolme jne võrrandid. muutujad. Järgmistes lõikudes räägime ratsionaalvõrrandite lahendamisest ühe muutujaga. Võrrandite lahendamine kahes muutujas ja nende suur hulk väärib erilist tähelepanu.
Lisaks ratsionaalsete võrrandite jagamisele tundmatute muutujate arvuga jagatakse need ka täis- ja murdosadeks. Anname vastavad definitsioonid.
Definitsioon.
Ratsionaalvõrrandit nimetatakse terve, kui selle vasak ja parem pool on täisarvulised ratsionaalsed avaldised.
Definitsioon.
Kui ratsionaalvõrrandi vähemalt üks osa on murdosa avaldis, siis sellist võrrandit nimetatakse murdosaliselt ratsionaalne(või murdartsionaalne).
On selge, et terved võrrandid ei sisalda muutujaga jagamist, vastupidi, murdarvulised ratsionaalvõrrandid sisaldavad tingimata jagamist muutujaga (või muutujaga nimetajas). Seega 3 x+2=0 ja (x+y)·(3·x2 −1)+x=−y+0,5– need on terved ratsionaalvõrrandid, nende mõlemad osad on terved avaldised. A ja x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 on näited murdratsionaalvõrranditest.
Selle punkti lõpetuseks pöörame tähelepanu asjaolule, et seni teadaolevad lineaarvõrrandid ja ruutvõrrandid on terved ratsionaalvõrrandid.
Tervete võrrandite lahendamine
Üks peamisi lähenemisviise tervete võrrandite lahendamisel on nende taandamine samaväärseteks algebralised võrrandid. Seda saab alati teha, sooritades võrrandi järgmised samaväärsed teisendused:
- esiteks kantakse algse täisarvu võrrandi parempoolsest küljest avaldis vastupidise märgiga vasakule poole, et saada paremal küljel null;
- pärast seda võrrandi vasakul küljel saadud standardvorm.
Tulemuseks on algebraline võrrand, mis on võrdne algse täisarvu võrrandiga. Seega taandatakse lihtsaimatel juhtudel tervete võrrandite lahendamine lineaar- või ruutvõrrandite lahendamiseks ning üldjuhul n-astme algebralise võrrandi lahendamiseks. Selguse huvides vaatame näite lahendust.
Näide.
Leidke kogu võrrandi juured 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.
Lahendus.
Taandagem kogu selle võrrandi lahend samaväärse algebralise võrrandi lahendiks. Selleks viime esiteks avaldise paremalt küljelt vasakule, mille tulemusena jõuame võrrandini 3·(x+1)·(x-3)-x·(2·x-1)+3=0. Ja teiseks teisendame vasakpoolsel küljel moodustatud avaldise standardvormi polünoomiks, täites vajaliku: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2-9 x+3 x-9-2 x 2 +x+3=x 2-5 x-6. Seega taandatakse algse täisarvu võrrandi lahendamine ruutvõrrandi x 2 −5·x−6=0 lahendamiseks.
Arvutame selle diskrimineerija D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, on see positiivne, mis tähendab, et võrrandil on kaks reaaljuurt, mille leiame ruutvõrrandi juurte valemi abil:
Et olla täiesti kindel, teeme seda võrrandi leitud juurte kontrollimine. Esmalt kontrollime juurt 6, asendame selle muutuja x asemel algses täisarvu võrrandis: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, mis on sama, 63=63. See on kehtiv arvvõrrand, mistõttu x=6 on tõepoolest võrrandi juur. Nüüd kontrollime juurt −1, meil on 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, kust, 0=0 . Kui x=−1, muutub ka algvõrrand õigeks arvuliseks võrrandiks, seetõttu on x=−1 ka võrrandi juur.
Vastus:
6 , −1 .
Siinkohal tuleb ka märkida, et mõiste "kogu võrrandi aste" on seotud kogu võrrandi esitamisega algebralise võrrandi kujul. Anname vastava määratluse:
Definitsioon.
Kogu võrrandi võimsus nimetatakse ekvivalentse algebralise võrrandi astmeks.
Selle määratluse kohaselt on kogu eelmise näite võrrandil teine aste.
See oleks võinud olla tervete ratsionaalsete võrrandite lahendamise lõpp, kui mitte üks asi…. Teatavasti on teisest kõrgema astme algebraliste võrrandite lahendamine seotud oluliste raskustega ja neljandast kõrgemate astmevõrrandite jaoks pole üldisi juurvalemeid üldse. Seetõttu on kolmanda, neljanda ja kõrgema astme võrrandite lahendamiseks sageli vaja kasutada muid lahendusviise.
Sellistel juhtudel lähenemine tervete ratsionaalsete võrrandite lahendamisele, mis põhineb faktoriseerimise meetod. Sel juhul järgitakse järgmist algoritmi:
- esiteks tagavad nad, et võrrandi paremal küljel on null, selleks kannavad nad avaldise kogu võrrandi paremalt küljelt vasakule;
- seejärel esitatakse vasakpoolsel küljel olev avaldis mitme teguri korrutisena, mis võimaldab liikuda edasi mitme lihtsama võrrandi komplekti.
Antud algoritm kogu võrrandi lahendamiseks faktoriseerimise teel nõuab üksikasjalikku selgitust näite abil.
Näide.
Lahendage kogu võrrand (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 -10 x+13) .
Lahendus.
Esiteks, nagu tavaliselt, viime avaldise võrrandi paremalt küljelt vasakule, unustamata märki muuta, saame (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 -10 x+13) = 0 . Siin on üsna ilmne, et saadud võrrandi vasakut poolt ei ole soovitatav teisendada standardkuju polünoomiks, kuna see annab vormi neljanda astme algebralise võrrandi x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, mille lahendamine on keeruline.
Teisest küljest on ilmne, et saadud võrrandi vasakul poolel saame x 2 −10 x+13 , esitades selle korrutisena. Meil on (x 2 -10 x+13) (x 2 -2 x -1)=0. Saadud võrrand on võrdne algse tervikvõrrandiga ja selle saab omakorda asendada kahe ruutvõrrandi hulgaga x 2 −10·x+13=0 ja x 2 −2·x−1=0. Nende juurte leidmine tuntud juurvalemite abil diskriminandi kaudu pole keeruline, juured on võrdsed. Need on algse võrrandi soovitud juured.
Vastus:
Kasulik ka tervete ratsionaalvõrrandite lahendamisel meetod uue muutuja sisestamiseks. Mõnel juhul võimaldab see liikuda võrrandite juurde, mille aste on madalam kui algse tervikvõrrandi aste.
Näide.
Leidke ratsionaalse võrrandi tegelikud juured (x 2 +3 x+1) 2 +10 = -2 (x 2 +3 x -4).
Lahendus.
Kogu selle ratsionaalse võrrandi taandamine algebraliseks võrrandiks ei ole pehmelt öeldes kuigi hea mõte, kuna sel juhul jõuame vajaduseni lahendada neljanda astme võrrand, millel pole ratsionaalseid juuri. Seetõttu peate otsima teist lahendust.
Siin on hästi näha, et saab sisse viia uue muutuja y ja asendada sellega avaldis x 2 +3·x. See asendus viib meid kogu võrrandini (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , mis pärast avaldise −2·(y−4) liigutamist vasakule ja sellele järgnevat avaldise teisendamist seal moodustatud, taandatakse ruutvõrrandiks y 2 +4·y+3=0. Selle võrrandi y=−1 ja y=−3 juured on kergesti leitavad, näiteks saab neid valida Vieta teoreemi pöördvõrdelise teoreemi alusel.
Nüüd liigume edasi uue muutuja sisseviimise meetodi teise osa juurde, st pöördasenduse teostamise juurde. Pärast pöördasenduse sooritamist saame kaks võrrandit x 2 +3 x=−1 ja x 2 +3 x=−3, mille saab ümber kirjutada x 2 +3 x+1=0 ja x 2 +3 x+3 =0. Kasutades ruutvõrrandi juurte valemit, leiame esimese võrrandi juured. Ja teisel ruutvõrrandil pole reaalseid juuri, kuna selle diskriminant on negatiivne (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).
Vastus:
Üldiselt, kui tegemist on tervete kõrge astme võrranditega, peame alati olema valmis nende lahendamiseks otsima ebastandardset meetodit või kunstlikku tehnikat.
Murdratsionaalvõrrandite lahendamine
Esiteks on kasulik mõista, kuidas lahendada murdartsionaalvõrrandid kujul , kus p(x) ja q(x) on täisarvulised ratsionaalsed avaldised. Ja siis näitame, kuidas taandada teiste murdratsionaalvõrrandite lahend näidatud tüüpi võrrandite lahendiks.
Üks lähenemisviis võrrandi lahendamiseks põhineb järgmisel väitel: arvuline murd u/v, kus v on nullist erinev arv (muidu kohtame , mis on määratlemata), on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui selle lugeja on võrdne nulliga, siis on siis ja ainult siis, kui u=0 . Selle väite kohaselt taandatakse võrrandi lahendamine kahe tingimuse p(x)=0 ja q(x)≠0 täitmiseks.
See järeldus vastab järgmisele murdarvulise ratsionaalvõrrandi lahendamise algoritm. Vormi murdosalise ratsionaalvõrrandi lahendamiseks on vaja
- lahendada kogu ratsionaalvõrrand p(x)=0 ;
- ja kontrollige, kas iga leitud juure tingimus q(x)≠0 on täidetud, while
- kui see on tõene, siis see juur on algvõrrandi juur;
- kui see ei ole rahuldatud, siis see juur on kõrvaline, st see ei ole algvõrrandi juur.
Vaatame näidet väljakuulutatud algoritmi kasutamisest murdratsionaalvõrrandi lahendamisel.
Näide.
Leidke võrrandi juured.
Lahendus.
See on murdosaline ratsionaalvõrrand kujul , kus p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.
Seda tüüpi murdratsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi järgi peame esmalt lahendama võrrandi 3 x−2=0. See on lineaarvõrrand, mille juur on x=2/3.
Jääb üle kontrollida selle juure olemasolu, st kontrollida, kas see vastab tingimusele 5 x 2 −2≠0. Asendame arvu 2/3 avaldisesse 5 x 2 −2 x asemel ja saame . Tingimus on täidetud, seega on x=2/3 algvõrrandi juur.
Vastus:
2/3 .
Murdarvulise ratsionaalvõrrandi lahendamisele saate läheneda veidi teisest positsioonist. See võrrand on samaväärne täisarvu võrrandiga p(x)=0 algse võrrandi muutujal x. See tähendab, et võite sellest kinni pidada murdarvulise ratsionaalvõrrandi lahendamise algoritm :
- lahendage võrrand p(x)=0 ;
- leida muutuja x ODZ;
- võtke juured, mis kuuluvad vastuvõetavate väärtuste piirkonda - need on algse murdarvulise ratsionaalvõrrandi soovitud juured.
Näiteks lahendame selle algoritmi abil murdarvulise ratsionaalvõrrandi.
Näide.
Lahenda võrrand.
Lahendus.
Esmalt lahendame ruutvõrrandi x 2 −2·x−11=0. Selle juured saab arvutada paaris teise koefitsiendi juurvalemiga, mis meil on D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Ja .
Teiseks leiame algse võrrandi muutuja x ODZ. See koosneb kõigist arvudest, mille puhul x 2 +3·x≠0, mis on sama kui x·(x+3)≠0, millest x≠0, x≠−3.
Jääb üle kontrollida, kas esimeses etapis leitud juured on ODZ-s kaasatud. Ilmselgelt jah. Seetõttu on algsel murdarvulisel ratsionaalvõrrandil kaks juurt.
Vastus:
Pange tähele, et see lähenemisviis on esimesest tulusam, kui ODZ-d on lihtne leida, ja see on eriti kasulik, kui võrrandi p(x) = 0 juured on näiteks irratsionaalsed või ratsionaalsed, kuid üsna suure lugejaga ja /või nimetaja, näiteks 127/1101 ja −31/59. See on tingitud asjaolust, et sellistel juhtudel nõuab tingimuse q (x) ≠0 kontrollimine märkimisväärset arvutuslikku pingutust ja ODZ abil on lihtsam välistada kõrvalisi juuri.
Muudel juhtudel on võrrandi lahendamisel, eriti kui võrrandi p(x) = 0 juured on täisarvud, tulusam kasutada etteantud algoritmidest esimest. See tähendab, et ODZ leidmise asemel on soovitatav kohe leida kogu võrrandi p(x)=0 juured ja seejärel kontrollida, kas tingimus q(x)≠0 on nende jaoks täidetud, mitte leida ODZ ja seejärel võrrand lahendada. p(x)=0 sellel ODZ-l. See on tingitud asjaolust, et sellistel juhtudel on tavaliselt lihtsam kontrollida kui DZ-d leida.
Vaatleme täpsustatud nüansside illustreerimiseks kahe näite lahendust.
Näide.
Leidke võrrandi juured.
Lahendus.
Esiteks leiame kogu võrrandi juured (2 x-1) (x-6) (x 2-5 x+14) (x+1)=0, mis on koostatud murru lugeja abil. Selle võrrandi vasak pool on korrutis ja parem külg on null, seetõttu on see võrrand võrdne faktoriseerimise teel võrrandite lahendamise meetodi kohaselt nelja võrrandi hulgaga 2 x−1=0 , x−6= 0, x 2 −5 x+ 14=0, x+1=0. Kolm neist võrranditest on lineaarsed ja üks ruutsuurused; me saame need lahendada. Esimesest võrrandist leiame x=1/2, teisest - x=6, kolmandast - x=7, x=−2, neljandast - x=−1.
Leitud juurte abil on üsna lihtne kontrollida, kas algse võrrandi vasakpoolsel küljel oleva murdosa nimetaja kaob, kuid ODZ määramine, vastupidi, pole nii lihtne, kuna selleks peate lahendama viienda astme algebraline võrrand. Seetõttu loobume ODZ leidmisest juurte kontrollimise kasuks. Selleks asendame need avaldises muutuja x asemel ükshaaval x 5 –15 x 4 +57 x 3 –13 x 2 +26 x+112, mis saadakse pärast asendamist, ja võrrelge neid nulliga: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112=
122+1/32≠0
;
6 5 -15,6 4 +57,6 3 -13,6 2 +26,6+112= 448≠0
;
7 5 -15,7 4 +57,7 3 -13,7 2 +26,7 + 112 = 0;
(−2) 5 −15 · (−2) 4 +57 · (−2) 3 −13 · (−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 · (−1) 4 +57 · (−1) 3 −13 · (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .
Seega on 1/2, 6 ja −2 algse murdarvulise ratsionaalvõrrandi soovitud juured ning 7 ja −1 on kõrvalised juured.
Vastus:
1/2 , 6 , −2 .
Näide.
Leia murdosa ratsionaalvõrrandi juured.
Lahendus.
Esiteks leiame võrrandi juured (5 x 2 −7 x −1) (x−2)=0. See võrrand on samaväärne kahe võrrandi komplektiga: ruut 5 x 2 −7 x−1=0 ja lineaarne x−2=0. Kasutades ruutvõrrandi juurte valemit, leiame kaks juurt ja teisest võrrandist saame x=2.
Üsna ebameeldiv on kontrollida, kas nimetaja läheb x leitud väärtuste juures nulli. Ja muutuja x lubatud väärtuste vahemiku määramine algses võrrandis on üsna lihtne. Seetõttu tegutseme ODZ-i kaudu.
Meie puhul koosneb algse murdratsionaalvõrrandi muutuja x ODZ kõigist arvudest, välja arvatud need, mille puhul on täidetud tingimus x 2 +5·x−14=0. Selle ruutvõrrandi juured on x=−7 ja x=2, millest teeme järelduse ODZ kohta: see koosneb kõigist x-dest, nii et .
Jääb üle kontrollida, kas leitud juured ja x=2 kuuluvad vastuvõetavate väärtuste vahemikku. Juured kuuluvad, seega on need algvõrrandi juured ja x=2 ei kuulu, seega on tegemist kõrvalise juurega.
Vastus:
Eraldi on kasulik peatuda ka juhtudel, kui vormi murdosalises ratsionaalvõrrandis on lugejas arv, st kui p(x) on esindatud mõne arvuga. Kus
- kui see arv on nullist erinev, siis võrrandil puuduvad juured, kuna murd on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui selle lugeja on võrdne nulliga;
- kui see arv on null, on võrrandi juur suvaline arv ODZ-st.
Näide.
Lahendus.
Kuna võrrandi vasakpoolses servas oleva murru lugeja sisaldab nullist erinevat arvu, siis ühegi x korral ei saa selle murru väärtus olla võrdne nulliga. Seetõttu pole sellel võrrandil juuri.
Vastus:
pole juuri.
Näide.
Lahenda võrrand.
Lahendus.
Murru lugeja selle murdarvulise ratsionaalvõrrandi vasakul küljel sisaldab nulli, seega on selle murru väärtus null iga x jaoks, mille puhul see on mõttekas. Teisisõnu, selle võrrandi lahendus on selle muutuja ODZ-st mis tahes x väärtus.
Jääb kindlaks määrata see vastuvõetavate väärtuste vahemik. See sisaldab kõiki x väärtusi, mille puhul x 4 +5 x 3 ≠0. Võrrandi x 4 +5 x 3 =0 lahendid on 0 ja -5, kuna see võrrand on võrdne võrrandiga x 3 (x+5)=0 ja see omakorda on samaväärne kahe võrrandi x kombinatsiooniga 3 =0 ja x +5=0, kust need juured on näha. Seetõttu on soovitud vastuvõetavate väärtuste vahemik suvaline x, välja arvatud x=0 ja x=−5.
Seega on murdarvulisel ratsionaalvõrrandil lõpmatult palju lahendeid, mis on mis tahes arvud, välja arvatud null ja miinus viis.
Vastus:
Lõpuks on aeg rääkida suvalise kujuga murdratsionaalvõrrandite lahendamisest. Neid saab kirjutada kujul r(x)=s(x), kus r(x) ja s(x) on ratsionaalsed avaldised ja vähemalt üks neist on murdosa. Tulevikku vaadates oletame, et nende lahendus taandub meile juba tuttava kujuga võrrandite lahendamisele.
Teada on, et ühe võrrandi ühest osast teise vastupidise märgiga liikme ülekandmine annab ekvivalentse võrrandi, mistõttu võrrand r(x)=s(x) on samaväärne võrrandiga r(x)−s(x) )=0.
Teame ka seda, et mis tahes , mis on identselt võrdne selle avaldisega, on võimalik. Seega saame alati teisendada võrrandi r(x)−s(x)=0 vasakul küljel oleva ratsionaalse avaldise vormi identselt võrdseks ratsionaalseks murruks.
Seega liigume algselt murdratsionaalvõrrandilt r(x)=s(x) võrrandile ja selle lahendus, nagu eespool selgus, taandub võrrandi p(x)=0 lahendamiseks.
Kuid siin on vaja arvestada asjaoluga, et kui asendada r(x)−s(x)=0 väärtusega , ja seejärel p(x)=0, võib muutuja x lubatud väärtuste vahemik laieneda. .
Järelikult võivad algne võrrand r(x)=s(x) ja võrrand p(x)=0, milleni jõudsime, osutuda ebavõrdseks ning võrrandi p(x)=0 lahendamisel saame juured mis on algse võrrandi r(x)=s(x) kõrvalised juured. Saate tuvastada ja vastusesse mitte lisada kõrvalisi juuri, tehes kontrolli või kontrollides, kas need kuuluvad algvõrrandi ODZ-sse.
Võtame selle teabe kokku murdartsionaalvõrrandi lahendamise algoritm r(x)=s(x). Murdratsionaalvõrrandi r(x)=s(x) lahendamiseks on vaja
- Parempoolse nulli saamiseks liigutage avaldist vastupidise märgiga paremalt küljelt.
- Tehke võrrandi vasakul poolel olevate murdude ja polünoomidega tehteid, muutes selle seeläbi vormi ratsionaalseks murdeks.
- Lahendage võrrand p(x)=0.
- Tuvastage ja kõrvaldage kõrvalised juured, mida tehakse, asendades need algsesse võrrandisse või kontrollides nende kuuluvust algvõrrandi ODZ-sse.
Suurema selguse huvides näitame kogu murdosa ratsionaalvõrrandite lahendamise ahelat:
.
Vaatame mitme näite lahendusi koos lahendusprotsessi üksikasjaliku selgitusega, et antud infoplokk selgust saada.
Näide.
Lahendage murdarvuline ratsionaalvõrrand.
Lahendus.
Tegutseme vastavalt äsja saadud lahendusalgoritmile. Ja kõigepealt liigume võrrandi paremalt küljelt vasakule, mille tulemusena liigume võrrandi juurde.
Teises etapis peame teisendama saadud võrrandi vasakpoolses osas oleva murdosalise ratsionaalse avaldise murdarvuks. Selleks taandame ratsionaalsed murrud ühise nimetajani ja lihtsustame saadud avaldist: . Seega jõuame võrrandini.
Järgmises etapis peame lahendama võrrandi −2·x−1=0. Leiame x=−1/2.
Jääb üle kontrollida, kas leitud arv −1/2 pole algse võrrandi kõrvaline juur. Selleks saate kontrollida või leida algse võrrandi muutuja x VA. Näitame mõlemat lähenemist.
Alustame kontrollimisega. Asendame algsesse võrrandisse muutuja x asemel arvu −1/2 ja saame sama, −1=−1. Asendus annab õige arvulise võrdsuse, seega x=−1/2 on algvõrrandi juur.
Nüüd näitame, kuidas algoritmi viimane punkt ODZ kaudu täidetakse. Algse võrrandi lubatud väärtuste vahemik on kõigi arvude hulk, välja arvatud −1 ja 0 (x=−1 ja x=0 korral kaovad murdude nimetajad). Eelmises etapis leitud juur x=−1/2 kuulub ODZ-i, seega on x=−1/2 algse võrrandi juur.
Vastus:
−1/2 .
Vaatame teist näidet.
Näide.
Leidke võrrandi juured.
Lahendus.
Peame lahendama murdarvulise ratsionaalvõrrandi, käime läbi kõik algoritmi etapid.
Esiteks liigutame termini paremalt küljelt vasakule, saame .
Teiseks teisendame vasakul pool moodustatud avaldise: . Selle tulemusena jõuame võrrandini x=0.
Selle juur on ilmne - see on null.
Neljandas etapis tuleb veel välja selgitada, kas leitud juur on algse murdratsionaalvõrrandi kõrval. Kui see asendatakse algsesse võrrandisse, saadakse avaldis. Ilmselgelt pole sellel mõtet, kuna see sisaldab nulliga jagamist. Siit järeldame, et 0 on kõrvaline juur. Seetõttu pole algsel võrrandil juuri.
7, mis viib võrrandini. Sellest võime järeldada, et avaldis vasaku poole nimetajas peab olema võrdne parempoolse külje omaga, see tähendab . Nüüd lahutame kolmiku mõlemast küljest: . Analoogia põhjal, kust ja edasi.
Kontroll näitab, et mõlemad leitud juured on algse murdratsionaalvõrrandi juured.
Vastus:
Bibliograafia.
- Algebra:õpik 8. klassi jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M.: Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovitš A.G. Algebra. 8. klass. 2 tunniga.1.osa.Õpik üldharidusasutuste õpilastele / A. G. Mordkovich. - 11. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Algebra: 9. klass: hariv. üldhariduse jaoks institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M.: Haridus, 2009. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-021134-5.