Kuidas lahendada murdarvudega ratsionaalseid võrrandeid. Videotund “Ratsionaalvõrrandid

Tunni eesmärgid:

Hariduslik:

murdratsionaalvõrrandite mõiste moodustamine;
kaaluda erinevaid võimalusi murdratsionaalvõrrandite lahendamiseks;
kaaluda murdartsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi, sealhulgas tingimust, et murd on võrdne nulliga;
õpetada murdratsionaalvõrrandite lahendamist algoritmi abil;
teema valdamise taseme kontrollimine testi läbiviimisega.

Arenguline:

arendada oskust omandatud teadmistega õigesti opereerida ja loogiliselt mõelda;
intellektuaalsete oskuste arendamine ja vaimsed operatsioonid- analüüs, süntees, võrdlus ja süntees;
algatusvõime, otsustusvõime arendamine ja mitte sellega peatuda;
arengut kriitiline mõtlemine;
uurimisoskuste arendamine.

Harivad:

kasvatus kognitiivne huvi teemale;
iseseisvuse edendamine otsuste tegemisel hariduslikud ülesanded;
tahte ja visaduse kasvatamine lõpptulemuste saavutamiseks.

Tunni tüüp: õppetund - uue materjali selgitus.

Tundide ajal

1. Organisatsioonimoment.

Tere kutid! Tahvlile on kirjutatud võrrandid, vaadake neid hoolikalt. Kas saate kõik need võrrandid lahendada? Millised ei ole ja miks?

Võrratusi, mille vasak ja parem pool on murdarvulised ratsionaalsed avaldised, nimetatakse murdratsionaalvõrranditeks. Mis te arvate, mida me täna tunnis uurime? Sõnastage tunni teema. Niisiis, avage märkmikud ja kirjutage üles tunni teema "Murdratsionaalvõrrandite lahendamine".

2. Teadmiste uuendamine. Frontaalne uuring, suuline töö klassiga.

Ja nüüd kordame peamist teoreetilist materjali, mida peame õppima uus teema. Palun vastake järgmistele küsimustele:

Mis on võrrand? ( Võrdsus muutuja või muutujatega.)
Mis on võrrandi number 1 nimi? ( Lineaarne.) Lahendus lineaarvõrrandid. (Kandke kõik koos tundmatuga üle vasak pool võrrandid, kõik numbrid on paremal. Plii sarnased terminid. Leidke tundmatu tegur).
Mis on võrrandi number 3 nimi? ( Ruut.) Lahendused ruutvõrrandid. (Valik täisruut, valemite abil, kasutades Vieta teoreemi ja selle tagajärgi.)
Mis on proportsioon? ( Kahe suhte võrdsus.) Proportsiooni põhiomadus. ( Kui proportsioon on õige, siis on selle äärmiste liikmete korrutis võrdne keskmiste liikmete korrutisega.)
Milliseid omadusi kasutatakse võrrandite lahendamisel? ( 1. Kui liigutada võrrandis liige ühest osast teise, muutes selle märki, saad võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga. 2. Kui võrrandi mõlemad pooled korrutatakse või jagatakse sama nullist erineva arvuga, saate võrrandi, mis on samaväärne antud arvuga.)
Millal võrdub murd nulliga? ( Murd on võrdne nulliga, kui lugeja võrdne nulliga, ja nimetaja ei ole null.)

3. Uue materjali selgitus.

Lahendage oma vihikutes ja tahvlil võrrand nr 2.

Vastus: 10.

Milline murdosa ratsionaalvõrrand Kas saate proovida lahendada proportsiooni põhiomaduse abil? (nr 5).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Lahendage oma vihikutes ja tahvlil võrrand nr 4.

Vastus: 1,5.

Millist murdosa ratsionaalvõrrandit saate proovida lahendada, korrutades võrrandi mõlemad pooled nimetajaga? (nr 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Vastus: 3;4.

Nüüd proovige võrrandit number 7 lahendada, kasutades ühte järgmistest meetoditest.


(x 2-2x-5)x(x-5)=x(x-5) (x+5)
(x 2-2x-5)x(x-5)-x (x-5) (x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 = 0 x 2 = 5 D = 49
x 3 = 5 x 4 = -2			x 3 = 5 x 4 = -2
Vastus: 0;5;-2.			Vastus: 5;-2.

Selgitage, miks see juhtus? Miks on ühel juhul kolm juurt ja teisel kaks? Millised arvud on selle murdarvulise ratsionaalvõrrandi juured?

Siiani pole õpilased kõrvalise juure mõistega kokku puutunud, neil on tõepoolest väga raske mõista, miks see juhtus. Kui keegi klassis ei oska antud olukorrale selget selgitust anda, esitab õpetaja suunavaid küsimusi.

Mille poolest võrrandid nr 2 ja 4 erinevad võrranditest nr 5,6,7? ( Valemites nr 2 ja 4 on nimetajas numbrid, nr 5-7 on muutujaga avaldised.)
Mis on võrrandi juur? ( Muutuja väärtus, mille juures võrrand muutub tõeline võrdsus .)
Kuidas teada saada, kas arv on võrrandi juur? ( Tehke kontroll.)

Testimisel märkab mõni õpilane, et peab jagama nulliga. Nad järeldavad, et arvud 0 ja 5 ei ole juured antud võrrand. Tekib küsimus: kas on olemas viis murdartsionaalvõrrandite lahendamiseks, mis võimaldab meil kõrvaldada see viga? Jah, see meetod põhineb tingimusel, et murdosa on võrdne nulliga.

x 2 -3x-10 = 0, D = 49, x 1 = 5, x 2 = -2.

Kui x=5, siis x(x-5)=0, mis tähendab, et 5 on kõrvaline juur.

Kui x=-2, siis x(x-5)≠0.

Vastus: -2.

Proovime niimoodi sõnastada murdartsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi. Lapsed koostavad algoritmi ise.

Murdratsionaalvõrrandite lahendamise algoritm:

Liigutage kõik vasakule küljele.
Vähendage murrud ühise nimetajani.
Loo süsteem: murd on võrdne nulliga, kui lugeja on võrdne nulliga ja nimetaja ei ole võrdne nulliga.
Lahenda võrrand.
Kontrollige ebavõrdsust, et välistada kõrvalised juured.
Kirjutage vastus üles.

Arutelu: kuidas vormistada lahendus, kui kasutatakse proportsiooni põhiomadust ja võrrandi mõlemad pooled korrutatakse ühine nimetaja. (Lisage lahendusele: jäta selle juurtest välja need, mis panevad ühisnimetaja kaduma).

4. Uue materjali esmane mõistmine.

Paaris töötama. Õpilased valivad võrrandi lahendamise viisi ise olenevalt võrrandi tüübist. Ülesanded õpikust “Algebra 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: nr 600(b,c,i); nr 601(a,e,g). Õpetaja jälgib ülesande täitmist, vastab tekkivatele küsimustele ja osutab abi vähestest tulemustest õpilastele. Enesekontroll: vastused kirjutatakse tahvlile.

b) 2 – kõrvaljuur. Vastus: 3.

c) 2 – kõrvaljuur. Vastus: 1.5.

a) Vastus: -12,5.

g) Vastus: 1;1,5.

5. Kodutööde seadmine.

Lugege õpikust lõiget 25, analüüsige näiteid 1-3.
Õppige murdartsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi.
Lahenda vihikutes nr 600 (a, d, e); 601(g,h).
Proovige lahendada nr 696(a) (valikuline).

6. Kontrollülesande täitmine õpitud teemal.

Tööd tehakse paberilehtedel.

Näidisülesanne:

A) Millised võrrandid on murdratsionaalsed?

B) Murd on võrdne nulliga, kui lugeja on ______________________ ja nimetaja on _______________________.

K) Kas arv -3 on võrrandi number 6 juur?

D) Lahenda võrrand nr 7.

Ülesande hindamiskriteeriumid:

“5” antakse, kui õpilane täitis õigesti üle 90% ülesandest.
"4" – 75%-89%
"3" – 50%-74%
“2” saab õpilane, kes on täitnud alla 50% ülesandest.
Hinnet 2 ajakirjas ei anta, 3 on vabatahtlik.

7. Peegeldus.

Iseseisvatele töölehtedele kirjutage:

1 – kui tund oli teile huvitav ja arusaadav;
2 – huvitav, kuid ebaselge;
3 – mitte huvitav, aga arusaadav;
4 – pole huvitav, pole selge.

8. Õppetunni kokkuvõtte tegemine.

Niisiis tutvusime tänases tunnis murdratsionaalvõrranditega, õppisime neid võrrandeid lahendama erinevatel viisidel, panid oma teadmised koolituse abil proovile iseseisev töö. Iseseisva töö tulemused saad teada järgmises tunnis ning kodus on võimalus oma teadmisi kinnistada.

Milline murdratsionaalvõrrandite lahendamise meetod on teie arvates lihtsam, kättesaadavam ja ratsionaalsem? Mida peaksite meeles pidama, olenemata murdosa ratsionaalvõrrandite lahendamise meetodist? Mis on murdratsionaalvõrrandite "kavalus"?

Aitäh kõigile, tund on läbi.

Selle võrrandi lihtsustamiseks kasutatakse väikseimat ühisnimetajat. Seda meetodit kasutatakse juhul, kui te ei saa kirjutada antud võrrandit ühe ratsionaalse avaldisega võrrandi mõlemal küljel (ja kasutada ristkorrutamise meetodit). Seda meetodit kasutatakse siis, kui teile antakse 3 või enama murruga ratsionaalne võrrand (kahe murru puhul on parem kasutada ristkorrutamist).

Leidke murdude väikseim ühisnimetaja (või vähim ühiskordne). NOZ on väikseim number, mis jagub ühtlaselt iga nimetajaga.

Mõnikord on NPD ilmne number. Näiteks kui anda võrrand: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, siis on ilmne, et arvude 3, 2 ja 6 vähim ühiskordne on 6.
Kui NCD ei ole ilmne, kirjutage üles suurima nimetaja kordsed ja leidke nende hulgast üks, mis on teiste nimetajate kordne. Sageli saab NOD-i leida lihtsalt kahe nimetaja korrutamisega. Näiteks kui võrrand on antud x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, siis NOS = 8*9 = 72.
Kui üks või mitu nimetajat sisaldavad muutujat, muutub protsess mõnevõrra keerulisemaks (kuid mitte võimatuks). Sel juhul on NOC avaldis (sisaldab muutujat), mis jagatakse iga nimetajaga. Näiteks võrrandis 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), kuna see avaldis jagatakse iga nimetajaga: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Korrutage nii iga murru lugeja kui ka nimetaja arvuga, mis on võrdne NOC jagamise tulemusega iga murru vastava nimetajaga. Kuna korrutate nii lugeja kui ka nimetaja sama arvuga, korrutate murdosa 1-ga (näiteks 2/2 = 1 või 3/3 = 1).

Nii et meie näites korrutage x/3 2/2-ga, et saada 2x/6, ja 1/2 korrutage 3/3-ga, et saada 3/6 (murru 3x +1/6 ei pea korrutama, kuna see nimetaja on 6).
Kui muutuja on nimetajas, toimige samamoodi. Meie teises näites NOZ = 3x(x-1), seega korrutage 5/(x-1) väärtusega (3x)/(3x), et saada 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x korrutatuna 3(x-1)/3(x-1) ja saad 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) korrutatakse (x-1)/(x-1) ja saad 2(x-1)/3x(x-1).

Leia x. Nüüd, kui olete murded ühiseks nimetajaks taandanud, saate nimetajast lahti saada. Selleks korrutage võrrandi mõlemad pooled ühise nimetajaga. Seejärel lahendage saadud võrrand, st leidke "x". Selleks eraldage muutuja võrrandi ühel küljel.

Meie näites: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Saate lisada 2 fraktsiooni koos sama nimetaja, kirjutage võrrand järgmiselt: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Korrutage võrrandi mõlemad pooled 6-ga ja vabanege nimetajatest: 2x+3 = 3x +1. Lahendage ja saage x = 2.
Meie teises näites (nimetajas muutujaga) näeb võrrand välja (pärast ühiseks nimetajaks taandamist): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (x-1)/3x (x-1). Korrutades võrrandi mõlemad pooled N3-ga, vabanete nimetajast ja saate: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1) või 15x = 3x - 3 + 2x -2 või 15x = x - 5 Lahendage ja saage: x = -5/14.

Smirnova Anastasia Jurievna

Tunni tüüp:õppetund uue materjali õppimiseks.

Organisatsiooni vorm haridustegevus : eesmine, individuaalne.

Tunni eesmärk: tutvustada uut tüüpi võrrandeid - murdratsionaalvõrrandeid, anda ettekujutus murdratsionaalvõrrandite lahendamise algoritmist.

Tunni eesmärgid.

Hariduslik:

murdratsionaalvõrrandi mõiste moodustamine;
kaaluda murdartsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi, sealhulgas tingimust, et murd on võrdne nulliga;
õpetada murdartsionaalvõrrandite lahendamist algoritmi abil.

Arenguline:

luua tingimused omandatud teadmiste rakendamise oskuste arendamiseks;
soodustada õpilaste tunnetusliku huvi kujunemist aine vastu;
arendada õpilaste analüüsi-, võrdlemis- ja järelduste tegemise oskust;
vastastikuse kontrolli ja enesekontrolli oskuste arendamine, tähelepanu, mälu, suulise ja kirjutamine, iseseisvus.

Harivad:

kognitiivse huvi edendamine aine vastu;
iseseisvuse edendamine haridusprobleemide lahendamisel;
tahte ja visaduse kasvatamine lõpptulemuste saavutamiseks.

Varustus:õpik, tahvel, värvipliiatsid.

Õpik "Algebra 8". Yu.N. Makarychev, N.G Mindyuk, K.I.Neshkov, toimetanud S.A. Telyakovsky. Moskva "valgustus". 2010. aasta

Peal see teema on ette nähtud viis tundi. See on esimene õppetund. Peamine on uurida murdartsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi ja harjutada seda algoritmi harjutustes.

Tundide ajal

1. Organisatsioonimoment.

Tere kutid! Täna tahaksin alustada meie õppetundi neljahäälikuga:
Et kõigi elu lihtsamaks teha,
Mis oleks otsustatud, mis oleks võimalik,
Naeratage, palju õnne kõigile,
Et probleeme ei tekiks,
Naeratasime üksteisele ja lõime hea tuju ja asus tööle.

Tahvlile on kirjutatud võrrandid, vaadake neid hoolikalt. Kas saate kõik need võrrandid lahendada? Millised ei ole ja miks?

2. Teadmiste uuendamine. Frontaalküsitlus, suuline töö klassiga.

Ja nüüd kordame peamist teoreetilist materjali, mida vajame uue teema uurimiseks. Palun vastake järgmistele küsimustele:

Mis on võrrand? ( Võrdsus muutuja või muutujatega.)
Mis on võrrandi number 1 nimi? ( Lineaarne.) Meetod lineaarvõrrandite lahendamiseks. ( Liigutage kõik, kus on tundmatu, võrrandist vasakule, kõik numbrid paremale. Esitage sarnased terminid. Leidke tundmatu tegur).
Mis on võrrandi number 3 nimi? ( Ruut.) Ruutvõrrandite lahendamise meetodid. (P valemite kohta)
Mis on proportsioon? ( Kahe suhte võrdsus.) Proportsiooni põhiomadus. ( Kui proportsioon on õige, siis on selle äärmiste liikmete korrutis võrdne keskmiste liikmete korrutisega.)
Milliseid omadusi kasutatakse võrrandite lahendamisel? ( 1. Kui liigutada võrrandis liige ühest osast teise, muutes selle märki, saad võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga. 2. Kui võrrandi mõlemad pooled korrutatakse või jagatakse sama nullist erineva arvuga, saate võrrandi, mis on samaväärne antud arvuga.)
Millal võrdub murd nulliga? ( Murd on võrdne nulliga, kui lugeja on null ja nimetaja ei ole null..)

3. Uue materjali selgitus.

Lahendage oma vihikutes ja tahvlil võrrand nr 2.

Vastus: 10.

Millist murdratsionaalvõrrandit saate proportsiooni põhiomaduse abil lahendada? (nr 5).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Lahendage oma vihikutes ja tahvlil võrrand nr 4.

Vastus: 1,5.

Millist murdosa ratsionaalvõrrandit saate proovida lahendada, korrutades võrrandi mõlemad pooled nimetajaga? (nr 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Vastus: 3;4.

Vaatleme võrrandite nagu võrrandi nr 7 lahendamist järgmistes õppetundides.

Selgitage, miks see juhtus? Miks on ühel juhul kolm juurt ja teisel kaks? Millised arvud on selle murdarvulise ratsionaalvõrrandi juured?

Mille poolest võrrandid nr 2 ja 4 erinevad võrranditest nr 5 ja 6? ( Valemites nr 2 ja 4 on nimetajas numbrid, nr 5-6 - muutujaga avaldised.)
Mis on võrrandi juur? ( Muutuja väärtus, mille juures võrrand muutub tõeseks.)
Kuidas teada saada, kas arv on võrrandi juur? ( Tehke kontroll.)

Testimisel märkab mõni õpilane, et peab jagama nulliga. Nad järeldavad, et arvud 0 ja 5 ei ole selle võrrandi juured. Tekib küsimus: kas on olemas viis murdartsionaalvõrrandite lahendamiseks, mis võimaldab meil selle vea kõrvaldada? Jah, see meetod põhineb tingimusel, et murdosa on võrdne nulliga.

Proovime niimoodi sõnastada murdartsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi. Lapsed koostavad algoritmi ise.

Murdratsionaalvõrrandite lahendamise algoritm:

Liigutage kõik vasakule küljele.
Vähendage murrud ühise nimetajani.
Loo süsteem: murd on võrdne nulliga, kui lugeja on võrdne nulliga ja nimetaja ei ole võrdne nulliga.
Lahenda võrrand.
Kontrollige ebavõrdsust, et välistada kõrvalised juured.
Kirjutage vastus üles.

4. Uue materjali esmane mõistmine.

Paaris töötama. Õpilased valivad võrrandi lahendamise viisi ise olenevalt võrrandi tüübist. Ülesanded õpikust “Algebra 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: nr 600(b,c); nr 601(a,e). Õpetaja jälgib ülesande täitmist, vastab tekkivatele küsimustele ja osutab abi vähestest tulemustest õpilastele. Enesekontroll: vastused kirjutatakse tahvlile.

b) 2 - kõrvaline juur. Vastus: 3.

c) 2 - kõrvaline juur. Vastus: 1.5.

a) Vastus: -12,5.

5. Kodutööde seadmine.

Lugege õpikust lõiget 25, analüüsige näiteid 1-3.
Õppige murdartsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi.
Lahenda vihikutes nr 600 (d, d); 601(g,h).

6. Õppetunni kokkuvõtte tegemine.

Niisiis tutvusime tänases tunnis murdratsionaalvõrranditega ja õppisime neid võrrandeid mitmel viisil lahendama. Sõltumata sellest, kuidas lahendate murdarvulisi ratsionaalvõrrandeid, mida peaksite meeles pidama? Mis on murdratsionaalvõrrandite "kavalus"?

Aitäh kõigile, tund on läbi.

Ettekanne ja õppetund teemal: "Ratsionaalvõrrandid. Ratsionaalvõrrandite lahendamise algoritm ja näited"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove! Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.

Õppevahendid ja simulaatorid Integrali veebipoes 8. klassile
Makarychev Yu.N. õpiku käsiraamat. Mordkovich A.G. õpiku käsiraamat.

Sissejuhatus irratsionaalvõrranditesse

Poisid, me õppisime ruutvõrrandi lahendama. Kuid matemaatika ei piirdu ainult nendega. Täna õpime ratsionaalseid võrrandeid lahendama. Ratsionaalvõrrandite mõiste sarnaneb paljuski mõistega ratsionaalsed arvud. Ainult lisaks numbritele oleme nüüd kasutusele võtnud ka mõne muutuja $x$. Ja nii saame avaldise, milles on olemas liitmise, lahutamise, korrutamise, jagamise ja täisarvuni tõstmise tehted.

Olgu $r(x)$ ratsionaalne väljendus. Selline avaldis võib olla lihtne polünoom muutujas $x$ või polünoomide suhe (kasutusele võetakse jagamistehte, nagu ratsionaalarvude puhul).
Nimetatakse võrrand $r(x)=0$ ratsionaalne võrrand.
Mis tahes võrrand kujul $p(x)=q(x)$, kus $p(x)$ ja $q(x)$ on ratsionaalsed väljendid, saab ka olema ratsionaalne võrrand.

Vaatame näiteid ratsionaalsete võrrandite lahendamisest.

Näide 1.
Lahendage võrrand: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Lahendus.
Liigutame kõik avaldised vasakule poole: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Kui võrrandi vasak pool oleks kujutatud tavalised numbrid, siis tooksime kaks murru ühise nimetaja juurde.
Teeme nii: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Saime võrrandi: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Murd on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui murdosa lugeja on null ja nimetaja on nullist erinev. Seejärel võrdsustame lugeja eraldi nulliga ja leiame lugeja juured.
$3(x^2+2x-3)=0$ või $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Nüüd kontrollime murdosa nimetajat: $(x-3)*x≠0$.
Kahe arvu korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks neist arvudest on võrdne nulliga. Siis: $x≠0$ või $x-3≠0$.
$x≠0$ või $x≠3$.
Lugejas ja nimetajas saadud juured ei lange kokku. Seega kirjutame vastusesse üles lugeja mõlemad juured.
Vastus: $x=1$ või $x=-3$.

Kui äkki ühtib lugeja üks juurtest nimetaja juurega, siis tuleks see välja jätta. Selliseid juuri nimetatakse kõrvalisteks!

Ratsionaalvõrrandite lahendamise algoritm:

1. Teisaldage kõik võrrandis sisalduvad avaldised vasak pool võrdusmärgist.
2. Teisenda see võrrandi osa järgmiseks algebraline murd: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Võrdsusta saadud lugeja nulliga, st lahenda võrrand $p(x)=0$.
4. Võrdsusta nimetaja nulliga ja lahenda saadud võrrand. Kui nimetaja juured langevad kokku lugeja juurtega, siis tuleks need vastusest välja jätta.

Näide 2.
Lahendage võrrand: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Lahendus.
Lahendame algoritmi punktide järgi.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Võrdsusta lugeja nulliga: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Võrdsusta nimetaja nulliga:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ ja $x=-1$.
Üks juurtest $x=1$ langeb kokku lugeja juurega, siis me seda vastusesse üles ei kirjuta.
Vastus: $x=-1$.

Ratsionaalvõrrandeid on mugav lahendada muutujate muutmise meetodil. Näitame seda.

Näide 3.
Lahendage võrrand: $x^4+12x^2-64=0$.

Lahendus.
Tutvustame asendust: $t=x^2$.
Siis saab meie võrrand järgmise kuju:
$t^2+12t-64=0$ - tavaline ruutvõrrand.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 dollarit.
Tutvustame pöördasendust: $x^2=4$ või $x^2=-16$.
Esimese võrrandi juurteks on arvupaar $x=±2$. Teine asi on see, et sellel pole juuri.
Vastus: $x=±2$.

Näide 4.
Lahendage võrrand: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Lahendus.
Tutvustame uut muutujat: $t=x^2+x+1$.
Siis on võrrand kujul: $t=\frac(15)(t+2)$.
Järgmisena jätkame algoritmi järgi.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 dollarit.
4. $t≠-2$ - juured ei lange kokku.
Tutvustame pöördasendust.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Lahendame iga võrrandi eraldi:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ei juured
Ja teine võrrand: $x^2+x-2=0$.
Selle võrrandi juurteks on numbrid $x=-2$ ja $x=1$.
Vastus: $x=-2$ ja $x=1$.

Näide 5.
Lahendage võrrand: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Lahendus.
Tutvustame asendust: $t=x+\frac(1)(x)$.
Seejärel:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ või $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Saime võrrandi: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Selle võrrandi juured on paar:
$t=-3$ ja $t=2$.
Tutvustame pöördasendust:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Otsustame eraldi.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Lahendame teise võrrandi:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Selle võrrandi juur on arv $x=1$.
Vastus: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Iseseisvalt lahendatavad probleemid

Lahenda võrrandid:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

"Murdratsionaalvõrrandite lahendamine"

Tunni eesmärgid:

Hariduslik:

murdratsionaalvõrrandite mõiste moodustamine; kaaluda erinevaid võimalusi murdratsionaalvõrrandite lahendamiseks; kaaluda murdartsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi, sealhulgas tingimust, et murd on võrdne nulliga; õpetada murdratsionaalvõrrandite lahendamist algoritmi abil; teema valdamise taseme kontrollimine testi läbiviimisega.

Arenguline:

arendada oskust omandatud teadmistega õigesti opereerida ja loogiliselt mõelda; intellektuaalsete oskuste ja vaimsete operatsioonide arendamine - analüüs, süntees, võrdlemine ja üldistamine; algatusvõime, otsustusvõime arendamine ja mitte sellega peatuda; kriitilise mõtlemise arendamine; uurimisoskuste arendamine.

Harivad:

kognitiivse huvi edendamine aine vastu; iseseisvuse edendamine haridusprobleemide lahendamisel; tahte ja visaduse kasvatamine lõpptulemuste saavutamiseks.

Tunni tüüp: õppetund - uue materjali selgitus.

Tundide ajal

1. Organisatsioonimoment.

Tere kutid! Tahvlile on kirjutatud võrrandid, vaadake neid hoolikalt. Kas saate kõik need võrrandid lahendada? Millised ei ole ja miks?

2. Teadmiste uuendamine. Frontaalküsitlus, suuline töö klassiga.

Ja nüüd kordame peamist teoreetilist materjali, mida vajame uue teema uurimiseks. Palun vastake järgmistele küsimustele:

1. Mis on võrrand? ( Võrdsus muutuja või muutujatega.)

2. Mis on võrrandi nr 1 nimi? ( Lineaarne.) Meetod lineaarvõrrandite lahendamiseks. ( Liigutage kõik, kus on tundmatu, võrrandist vasakule, kõik numbrid paremale. Esitage sarnased terminid. Leidke tundmatu tegur).

3. Mis on võrrandi nr 3 nimi? ( Ruut.) Ruutvõrrandite lahendamise meetodid. ( Täieliku ruudu eraldamine valemite abil, kasutades Vieta teoreemi ja selle tagajärgi.)

4. Mis on proportsioon? ( Kahe suhte võrdsus.) Proportsiooni põhiomadus. ( Kui proportsioon on õige, siis on selle äärmiste liikmete korrutis võrdne keskmiste liikmete korrutisega.)

5. Milliseid omadusi kasutatakse võrrandite lahendamisel? ( 1. Kui liigutada võrrandis liige ühest osast teise, muutes selle märki, saad võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga. 2. Kui võrrandi mõlemad pooled korrutatakse või jagatakse sama nullist erineva arvuga, saate võrrandi, mis on samaväärne antud arvuga.)

6. Millal võrdub murd nulliga? ( Murd on võrdne nulliga, kui lugeja on null ja nimetaja ei ole null..)

3. Uue materjali selgitus.

Lahendage oma vihikutes ja tahvlil võrrand nr 2.

Vastus: 10.

Millist murdratsionaalvõrrandit saate proportsiooni põhiomaduse abil lahendada? (nr 5).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Lahendage oma vihikutes ja tahvlil võrrand nr 4.

Vastus: 1,5.

Millist murdosa ratsionaalvõrrandit saate proovida lahendada, korrutades võrrandi mõlemad pooled nimetajaga? (nr 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Vastus: 3;4.

Nüüd proovige võrrandit number 7 lahendada, kasutades ühte järgmistest meetoditest.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5) (x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5) (x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Vastus: 0;5;-2.			Vastus: 5;-2.

Selgitage, miks see juhtus? Miks on ühel juhul kolm juurt ja teisel kaks? Millised arvud on selle murdarvulise ratsionaalvõrrandi juured?

Valemites nr 2 ja 4 on nimetajas numbrid, nr 5-7 on muutujaga avaldised

Muutuja väärtus, mille juures võrrand muutub tõeseks

Tehke kontroll

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Kui x=5, siis x(x-5)=0, mis tähendab, et 5 on kõrvaline juur.

Kui x=-2, siis x(x-5)≠0.

Vastus: -2.

Proovime niimoodi sõnastada murdartsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi. Lapsed koostavad algoritmi ise.

Murdratsionaalvõrrandite lahendamise algoritm:

1. Liigutage kõik vasakule küljele.

2. Vähendage murrud ühise nimetajani.

3. Loo süsteem: murd on võrdne nulliga, kui lugeja on võrdne nulliga ja nimetaja ei ole nulliga.

4. Lahenda võrrand.

5. Kontrollige ebavõrdsust, et välistada kõrvalised juured.

6. Kirjuta vastus üles.

Arutelu: kuidas vormistada lahendus, kui kasutada proportsiooni põhiomadust ja võrrandi mõlema poole korrutamist ühise nimetajaga. (Lisage lahendusele: jäta selle juurtest välja need, mis panevad ühisnimetaja kaduma).

4. Uue materjali esmane mõistmine.

Paaris töötama. Õpilased valivad võrrandi lahendamise viisi ise olenevalt võrrandi tüübist. Ülesanded õpikust “Algebra 8”, 2007: nr 000 (b, c, i); nr 000(a, d, g). Õpetaja jälgib ülesande täitmist, vastab tekkivatele küsimustele ja osutab abi vähestest tulemustest õpilastele. Enesekontroll: vastused kirjutatakse tahvlile.

b) 2 – kõrvaljuur. Vastus: 3.

c) 2 – kõrvaljuur. Vastus: 1.5.

a) Vastus: -12,5.

g) Vastus: 1;1,5.

5. Kodutööde seadmine.

2. Õppige murdratsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi.

3. Lahenda vihikutes nr 000 (a, d, e); Nr 000 (g, h).

4. Proovige lahendada nr 000(a) (valikuline).

6. Kontrollülesande täitmine õpitud teemal.

Tööd tehakse paberilehtedel.

Näidisülesanne:

A) Millised võrrandid on murdratsionaalsed?

B) Murd on võrdne nulliga, kui lugeja on ______________________ ja nimetaja on _______________________.

K) Kas arv -3 on võrrandi number 6 juur?

D) Lahenda võrrand nr 7.

Ülesande hindamiskriteeriumid:

“5” antakse, kui õpilane täitis õigesti üle 90% ülesandest. “4” - 75%-89% “3” - 50%-74% “2” saab õpilane, kes on täitnud alla 50% ülesandest. Hinnet 2 ajakirjas ei anta, 3 on vabatahtlik.

7. Peegeldus.

Iseseisvatele töölehtedele kirjutage:

1 – kui tund oli teile huvitav ja arusaadav; 2 – huvitav, kuid ebaselge; 3 – mitte huvitav, aga arusaadav; 4 – pole huvitav, pole selge.

8. Õppetunni kokkuvõtte tegemine.

Niisiis tutvusime tänases tunnis murdratsionaalvõrranditega, õppisime neid võrrandeid mitmekülgselt lahendama ning iseseisva õppetöö abil oma teadmisi proovile panema. Iseseisva töö tulemused saad teada järgmises tunnis ning kodus on võimalus oma teadmisi kinnistada.

Aitäh kõigile, tund on läbi.