Vaatleme tavaliste murdude korrutamist mitmes võimalikus variandis.
Hariliku murru korrutamine murdosaga
See on kõige lihtsam juhtum, mille puhul peate kasutama järgmist murdude korrutamise reeglid.
To korrutada murdosa murdosaga, vajalik:
- korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja kirjutage nende korrutis uue murru lugejasse;
- korrutage esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga ja kirjutage nende korrutis uue murru nimetajasse;
- Sarnaste nimetajatega murdude lisamine
- Erinevate nimetajatega murdude liitmine
Enne lugejate ja nimetajate korrutamist kontrollige, kas murde saab vähendada. Murdude vähendamine arvutustes muudab teie arvutused palju lihtsamaks.
Murru korrutamine naturaalarvuga
Et teha murdosa korrutada naturaalarvuga Peate korrutama murdosa lugeja selle arvuga ja jätma murdosa nimetaja muutmata.
Kui korrutamise tulemus on vale murd, ärge unustage muuta seda segaarvuks, st tõstke esile kogu osa.
Segaarvude korrutamine
Segaarvude korrutamiseks peate need esmalt muutma valedeks murdudeks ja seejärel korrutama vastavalt tavaliste murdude korrutamise reeglile.
Teine võimalus murdosa korrutamiseks naturaalarvuga
Mõnikord on arvutuste tegemisel mugavam kasutada mõnda muud meetodit hariliku murru arvuga korrutamiseks.
Murru korrutamiseks naturaalarvuga peate jagama murdosa nimetaja selle arvuga ja jätma lugeja samaks.
Nagu näitest näha, on seda reegli versiooni mugavam kasutada, kui murdosa nimetaja jagub naturaalarvuga ilma jäägita.
Tehted murdudega
Sarnaste nimetajatega murdude lisamine
Murdude liitmist on kahte tüüpi:
Esiteks õpime sarnase nimetajaga murdude liitmist. Siin on kõik lihtne. Samade nimetajatega murdude liitmiseks tuleb lisada nende lugejad ja nimetaja muutmata jätta. Näiteks liidame murrud ja . Lisage lugejad ja jätke nimetaja muutmata:
Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutada pitsat, mis on jagatud neljaks osaks. Kui lisate pitsale pitsa, saate pizza:
Näide 2. Lisage fraktsioonid ja .
Jällegi liidame lugejad kokku ja jätame nimetaja muutmata:
Vastuseks osutus vale murd. Kui ülesande lõpp saabub, on kombeks valedest murdudest lahti saada. Ebaõigest murdosast vabanemiseks peate valima kogu selle osa. Meie puhul on kogu osa kergesti eraldatav - kaks jagatud kahega võrdub ühega:
Seda näidet saab hõlpsasti mõista, kui meenutame pitsat, mis on jagatud kaheks osaks. Kui lisate pitsale rohkem pitsat, saate ühe terve pitsa:
Näide 3. Lisage fraktsioonid ja .
Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutame pitsat, mis on jagatud kolmeks osaks. Kui lisate pitsale rohkem pitsat, saate pizza:
Näide 4. Leidke avaldise väärtus 
See näide on lahendatud täpselt samamoodi nagu eelmised. Lugejad tuleb lisada ja nimetaja jätta muutmata:
Proovime oma lahendust joonise abil kujutada. Kui lisate pitsale pitsad ja lisate rohkem pitsasid, saate 1 terve pitsa ja rohkem pitsasid.
Nagu näete, pole samade nimetajatega murdude liitmises midagi keerulist. Piisab, kui mõistad järgmisi reegleid:
- Sama nimetajaga murdude liitmiseks peate lisama nende lugejad ja jätma nimetaja samaks;
- Kui vastus osutub valeks murdarvuks, peate esile tõstma kogu selle osa.
- Leia murdude nimetajate LCM;
- Jagage LCM iga murdosa nimetajaga ja hankige iga murdosa jaoks lisategur;
- Korrutage murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega;
- Lisa murrud, millel on samad nimetajad;
- Kui vastus osutub valeks murruks, valige selle kogu osa;
- Sarnaste nimetajatega murdude lahutamine
- Erinevate nimetajatega murdude lahutamine
Erinevate nimetajatega murdude liitmine
Nüüd õpime, kuidas lisada erinevate nimetajatega murde. Murdude liitmisel peavad murdude nimetajad olema samad. Kuid need ei ole alati ühesugused.
Näiteks võib murde lisada, kuna neil on samad nimetajad.
Kuid murde ei saa kohe lisada, kuna neil murdudel on erinevad nimetajad. Sellistel juhtudel tuleb murded taandada sama (ühise) nimetajani.
Murdude samale nimetajale taandamiseks on mitu võimalust. Täna vaatleme neist ainult ühte, kuna teised meetodid võivad algajale tunduda keerulised.
Selle meetodi olemus seisneb selles, et esmalt otsime mõlema murdosa nimetajate vähim ühiskorda (LCM). Seejärel jagatakse LCM esimese murru nimetajaga, et saada esimene lisategur. Nad teevad sama ka teise murdosaga – LCM jagatakse teise murdosa nimetajaga ja saadakse teine lisategur.
Seejärel korrutatakse murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega. Nende toimingute tulemusel muutuvad erineva nimetajaga murrud samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lisada.
Näide 1. Liidame kokku murrud ja
Nendel murdudel on erinevad nimetajad, seega peate need taandama samale (ühise) nimetajale.
Kõigepealt leiame mõlema murru nimetajate väikseima ühiskordse. Esimese murru nimetaja on arv 3 ja teise murru nimetaja on arv 2. Nende arvude vähim ühiskordne on 6
LCM (2 ja 3) = 6
Nüüd pöördume tagasi murdude ja . Esiteks jagage LCM esimese murru nimetajaga ja hankige esimene lisategur. LCM on arv 6 ja esimese murru nimetaja on arv 3. Jagage 6 3-ga, saame 2.
Saadud arv 2 on esimene lisakordaja. Kirjutame selle esimese murruni. Selleks tehke murru kohale väike kaldus joon ja kirjutage üles selle kohal leitud lisategur:
Teeme sama teise murdosaga. Jagame LCM-i teise murru nimetajaga ja saame teise lisateguri. LCM on arv 6 ja teise murdosa nimetaja on arv 2. Jagage 6 2-ga, saame 3.
Saadud arv 3 on teine lisakordaja. Kirjutame selle teise murruni. Jällegi teeme teise murru kohale väikese kaldus joone ja kirjutame üles selle kohal leitud lisateguri:
Nüüd on meil kõik lisamiseks valmis. Jääb üle korrutada murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega:
Vaadake hoolikalt, milleni oleme jõudnud. Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lisada. Toome selle näite lõpuni:
See lõpetab näite. Selgub, et lisada.
Proovime oma lahendust joonise abil kujutada. Kui lisate pitsale pitsa, saate ühe terve pitsa ja veel kuuendiku pitsast:
Murdude taandamist samale (ühis)nimetajale saab kujutada ka pildi abil. Vähendades murde ja ühise nimetaja, saime murrud ja . Neid kahte fraktsiooni esindavad samad pitsatükid. Ainus erinevus seisneb selles, et seekord jagatakse need võrdseteks osadeks (vähendatud samale nimetajale).
Esimene joonis kujutab murdosa (neli tükki kuuest) ja teine joonis kujutab murdosa (kolm tükki kuuest). Lisades need tükid saame (seitse tükki kuuest). See murd on vale, seetõttu tõstsime esile kogu selle osa. Tulemuseks saime (ühe terve pitsa ja teise kuuenda pitsa).
Pange tähele, et oleme seda näidet liiga üksikasjalikult kirjeldanud. Haridusasutustes pole kombeks nii detailselt kirjutada. Peate suutma kiiresti leida mõlema nimetaja ja nende lisategurite LCM-i, samuti kiiresti korrutama leitud lisategurid lugejate ja nimetajatega. Kui oleksime koolis, peaksime selle näite kirjutama järgmiselt:
Kuid mündil on ka teine külg. Kui te matemaatika õppimise esimestel etappidel üksikasjalikke märkmeid ei tee, hakkavad ilmnema omalaadsed küsimused. “Kust see arv tuleb?”, “Miks muutuvad murrud järsku täiesti erinevateks murdudeks? «.
Erinevate nimetajatega murdude lisamise hõlbustamiseks võite kasutada järgmisi samm-sammulisi juhiseid.
Näide 2. Leidke avaldise väärtus 
.
Kasutame ülaltoodud diagrammi.
1. samm. Leidke murdude nimetajate jaoks LCM
Leidke mõlema murru nimetajate LCM. Murdude nimetajad on numbrid 2, 3 ja 4. Peate leidma nende arvude LCM-i:
2. samm. Jagage LCM iga murdosa nimetajaga ja hankige iga murdosa jaoks lisategur
Jagage LCM esimese murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja esimese murru nimetaja on arv 2. Jagage 12 2-ga, saame 6. Saime esimese lisateguri 6. Kirjutame selle esimese murru kohale:
Nüüd jagame LCM-i teise murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja teise murru nimetaja on arv 3. Jagage 12 3-ga, saame 4. Saame teise lisateguri 4. Kirjutame selle teise murru kohale:
Nüüd jagame LCM-i kolmanda murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja kolmanda murru nimetaja on arv 4. Jagage 12 4-ga, saame 3. Saame kolmanda lisateguri 3. Kirjutame selle kolmanda murru kohale:
Etapp 3. Korrutage murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega
Korrutame lugejad ja nimetajad nende lisateguritega:
4. samm. Lisage samade nimetajatega murded
Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade (ühiste) nimetajatega murdudeks. Jääb vaid need murded lisada. Lisage see:
Lisand ei mahtunud ühele reale, nii et teisaldasime ülejäänud avaldise järgmisele reale. See on matemaatikas lubatud. Kui avaldis ühele reale ei mahu, liigutatakse see järgmisele reale ning esimese rea lõppu ja uue rea algusesse on vaja panna võrdusmärk (=). Võrdsusmärk teisel real näitab, et see on esimesel real olnud avaldise jätk.
5. samm. Kui vastus osutub valeks murdeks, siis tõstke esile kogu selle osa
Meie vastus osutus valeks murdarvuks. Peame esile tõstma terve osa sellest. Toome esile:
Saime vastuse
Sarnaste nimetajatega murdude lahutamine
Murdude lahutamist on kahte tüüpi:
Esiteks õpime, kuidas lahutada murde sarnaste nimetajatega. Siin on kõik lihtne. Ühest murrust teise lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja, kuid jätma nimetaja samaks.
Näiteks leiame avaldise väärtuse. Selle näite lahendamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja ja jätma nimetaja samaks. Teeme ära:
Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutada pitsat, mis on jagatud neljaks osaks. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad:
Näide 2. Leidke avaldise väärtus.
Jällegi lahutage esimese murru lugejast teise murru lugeja ja jätke nimetaja samaks:
Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutame pitsat, mis on jagatud kolmeks osaks. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad:
Näide 3. Leidke avaldise väärtus 
See näide on lahendatud täpselt samamoodi nagu eelmised. Esimese murru lugejast tuleb lahutada ülejäänud murdude lugejad:
Vastus oli vale murd. Kui näide on lõpetatud, on tavaks valest murdest lahti saada. Vabaneme vastuses valemurdust. Selleks valime selle kogu osa:
Nagu näete, pole samade nimetajatega murdude lahutamises midagi keerulist. Piisab, kui mõistad järgmisi reegleid:
Erinevate nimetajatega murdude lahutamine
Näiteks võite murdosast lahutada murdosa, kuna murdudel on samad nimetajad. Kuid te ei saa murdosast murda lahutada, kuna neil murdudel on erinevad nimetajad. Sellistel juhtudel tuleb murded taandada sama (ühise) nimetajani.
Ühine nimetaja leitakse samal põhimõttel, mida kasutasime erinevate nimetajatega murdude liitmisel. Kõigepealt leidke mõlema murru nimetajate LCM. Seejärel jagatakse LCM esimese murru nimetajaga ja saadakse esimene lisategur, mis kirjutatakse esimese murru kohale. Samamoodi jagatakse LCM teise murru nimetajaga ja saadakse teine lisategur, mis kirjutatakse teise murru kohale.
Seejärel korrutatakse fraktsioonid nende lisateguritega. Nende toimingute tulemusena teisendatakse erineva nimetajaga murrud samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada.
Näide 1. Leidke väljendi tähendus:
Kõigepealt leiame mõlema murru nimetajate LCM-i. Esimese murru nimetaja on arv 3 ja teise murru nimetaja on arv 4. Nende arvude vähim ühiskordne on 12
LCM (3 ja 4) = 12
Nüüd pöördume tagasi murdude ja
Leiame esimese murru jaoks lisateguri. Selleks jagage LCM esimese murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja esimese murru nimetaja on arv 3. Jagage 12 3-ga, saame 4. Kirjutage esimese murru kohale neli:
Teeme sama teise murdosaga. Jagage LCM teise murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja teise murru nimetaja on arv 4. Jagage 12 4-ga, saame 3. Kirjutage teise murru kohale kolm:
Nüüd oleme lahutamiseks valmis. Jääb üle korrutada fraktsioonid nende lisateguritega:
Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada. Toome selle näite lõpuni:
Saime vastuse
Proovime oma lahendust joonise abil kujutada. Kui lõikad pitsast pitsa, saad pizza
See on lahenduse üksikasjalik versioon. Kui oleksime koolis, peaksime selle näite lühemalt lahendama. Selline lahendus näeks välja järgmine:
Murdude taandamist ühisele nimetajale saab kujutada ka pildi abil. Nende murdude taandamisel ühiseks nimetajaks saime murrud ja . Neid murde esindavad samad pitsaviilud, kuid seekord jagatakse need võrdseteks osadeks (vähendatud samale nimetajale):
Esimesel pildil on murdosa (kaheksa tükki kaheteistkümnest) ja teisel pildil murdosa (kolm tükki kaheteistkümnest). Lõikates kaheksast tükist kolm tükki, saame kaheteistkümnest viis tükki. Murd kirjeldab neid viit tükki.
Näide 2. Leidke avaldise väärtus 
Nendel murdudel on erinevad nimetajad, nii et kõigepealt peate need taandama samale (ühisnimetajale).
Leiame nende murdude nimetajate LCM.
Murdude nimetajateks on arvud 10, 3 ja 5. Nende arvude vähim ühiskordne on 30
LCM(10; 3; 5) = 30
Nüüd leiame iga murdosa jaoks täiendavaid tegureid. Selleks jagage LCM iga murdosa nimetajaga.
Leiame esimese murru jaoks lisateguri. LCM on arv 30 ja esimese murru nimetaja on arv 10. Jagage 30 10-ga, saame esimese lisateguri 3. Kirjutame selle esimese murru kohale:
Nüüd leiame teise murru jaoks lisateguri. Jagage LCM teise murru nimetajaga. LCM on arv 30 ja teise murru nimetaja on arv 3. Jagage 30 3-ga, saame teise lisateguri 10. Kirjutame selle teise murru kohale:
Nüüd leiame kolmanda murru jaoks lisateguri. Jagage LCM kolmanda murru nimetajaga. LCM on arv 30 ja kolmanda murru nimetaja on arv 5. Jagage 30 5-ga, saame kolmanda lisateguri 6. Kirjutame selle kolmanda murru kohale:
Nüüd on kõik lahutamiseks valmis. Jääb üle korrutada fraktsioonid nende lisateguritega:
Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade (ühiste) nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada. Lõpetame selle näite.
Näite jätk ei mahu ühele reale, seega liigume jätku järgmisele reale. Ärge unustage uuel real võrdusmärki (=):
Vastuseks osutus tavaline murd ja kõik tundub meile sobivat, kuid see on liiga tülikas ja kole. Seda oleks vaja lihtsamaks ja esteetilisemaks muuta. Mida saaks teha? Saate seda murdosa lühendada. Tuletame meelde, et murdosa vähendamine on lugeja ja nimetaja jagamine lugeja ja nimetaja suurima ühise jagajaga.
Murru õigeks vähendamiseks peate jagama selle lugeja ja nimetaja arvude 20 ja 30 suurima ühisjagajaga (GCD).
GCD-d ei tohiks segi ajada NOC-ga. Paljude algajate levinuim viga. GCD on suurim ühine jagaja. Leiame, et see vähendab murdosa.
Ja LCM on vähim ühine kordne. Leiame selle selleks, et tuua murded samale (ühisele) nimetajale.
Nüüd leiame arvude 20 ja 30 suurima ühisjagaja (GCD).
Niisiis, leiame GCD numbrite 20 ja 30 jaoks:
GCD (20 ja 30) = 10
Nüüd pöördume tagasi oma näite juurde ja jagame murdosa lugeja ja nimetaja 10-ga:
Saime ilusa vastuse
Murru korrutamine arvuga
Murru korrutamiseks arvuga peate korrutama antud murdosa lugeja selle arvuga ja jätma nimetaja samaks.
Näide 1. Korrutage murdarvuga 1.
Korrutage murdosa lugeja arvuga 1
Salvestusest võib aru saada, et võtab pool 1 korda. Näiteks kui võtad pizza üks kord, saad pizza
Korrutamise seadustest teame, et kui korrutis ja tegur vahetada, siis korrutis ei muutu. Kui avaldis on kirjutatud kujul , on korrutis ikkagi võrdne . Jällegi töötab täisarvu ja murdarvu korrutamise reegel:
Seda tähistust võib mõista nii, et see võtab poole ühest. Näiteks kui on 1 terve pitsa ja me võtame sellest poole, siis saame pitsa:
Näide 2. Leidke avaldise väärtus
Korrutage murdosa lugeja 4-ga
Väljendit võib mõista nii, et see võtab kaks veerandit 4 korda. Näiteks kui võtad 4 pitsat, saad kaks tervet pitsat
Ja kui vahetame kordaja ja kordaja, saame avaldise . See on samuti võrdne 2-ga. Seda väljendit võib mõista nii, et neljast tervest pitsast võetakse kaks pitsat:
Murdude korrutamine
Murdude korrutamiseks peate korrutama nende lugejad ja nimetajad. Kui vastus osutub valeks murdarvuks, peate esile tõstma kogu selle osa.
Näide 1. Leidke avaldise väärtus.
Saime vastuse. Soovitav on seda osa vähendada. Fraktsiooni saab vähendada 2 võrra. Seejärel saab lõpplahus järgmise kuju:
Väljendit võib mõista kui pizza võtmist poole pitsa pealt. Oletame, et meil on pool pitsat:
Kuidas sellest poolest kaks kolmandikku võtta? Kõigepealt peate selle poole jagama kolmeks võrdseks osaks:
Ja võtke nendest kolmest tükist kaks:
Teeme pitsat. Pidage meeles, kuidas pitsa kolmeks osaks jagatuna välja näeb:
Üks tükk sellest pitsast ja kahel meie võetud tükil on samad mõõtmed:
Teisisõnu, me räägime sama suurusega pitsast. Seetõttu on avaldise väärtus
Näide 2. Leidke avaldise väärtus
Korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga:
Vastus oli vale murd. Toome esile kogu selle osa:
Näide 3. Leidke avaldise väärtus
Vastuseks osutus tavaline murd, aga hea oleks, kui seda lühendaks. Selle murdosa vähendamiseks tuleb see jagada lugeja ja nimetaja gcd-ga. Niisiis, leiame numbrite 105 ja 450 gcd:
GCD (105 ja 150) on 15
Nüüd jagame oma vastuse lugeja ja nimetaja gcd-ga:
Täisarvu esitamine murruna
Mis tahes täisarvu saab esitada murdarvuna. Näiteks numbrit 5 saab esitada kui . See ei muuda viie tähendust, kuna väljend tähendab "arvu viis jagatud ühega" ja see, nagu me teame, võrdub viiega:
Vastastikused numbrid
Nüüd tutvume väga huvitava matemaatika teemaga. Seda nimetatakse "tagurpidi numbriteks".
Definitsioon. Tagurpidi numbrile a on arv, mis korrutatuna a annab ühe.
Asendame selles definitsioonis muutuja asemel a number 5 ja proovige definitsiooni lugeda:
Tagurpidi numbrile 5 on arv, mis korrutatuna 5 annab ühe.
Kas on võimalik leida arvu, mis 5-ga korrutades annab ühe? Selgub, et see on võimalik. Kujutagem ette viit murdosana:
Seejärel korrutage see murdosa iseendaga, vahetage lihtsalt lugeja ja nimetaja. Teisisõnu, korrutage murdosa iseendaga, ainult tagurpidi:
Mis selle tulemusena saab? Kui jätkame selle näite lahendamist, saame ühe:
See tähendab, et arvu 5 pöördväärtus on arv , sest kui korrutate 5-ga, saate ühe.
Arvu pöördarvu võib leida ka mis tahes muu täisarvu kohta.
- 3 pöördväärtus on murd
- 4 pöördväärtus on murd
Samuti saate leida mis tahes muu murru pöördarvu. Selleks keerake see lihtsalt ümber.
) ja nimetaja nimetaja kaupa (saame korrutise nimetaja).
Murdude korrutamise valem:
Näiteks:
Enne lugejate ja nimetajate korrutamist peate kontrollima, kas murdosa saab vähendada. Kui saate murdosa vähendada, on teil lihtsam edasisi arvutusi teha.
Hariliku murru jagamine murruga.
Naturaalarvudega murdude jagamine.
See pole nii hirmutav, kui tundub. Nagu liitmise puhul, teisendame täisarvu murduks, mille nimetajas on üks. Näiteks:
Segamurdude korrutamine.
Murdude (segatud) korrutamise reeglid:
- teisendada segafraktsioonid valedeks fraktsioonideks;
- murdude lugejate ja nimetajate korrutamine;
- vähendada murdosa;
- Kui saate valemurru, teisendame valemurru segamurruks.
Märge! Segamurru korrutamiseks teise segamurruga peate need esmalt teisendama valede murdude kujule ja seejärel korrutama vastavalt tavaliste murdude korrutamise reeglile.
Teine viis murdosa korrutamiseks naturaalarvuga.
Võib-olla on mugavam kasutada teist meetodit hariliku murru arvuga korrutamiseks.
Märge! Murru korrutamiseks naturaalarvuga peate jagama murdosa nimetaja selle arvuga ja jätma lugeja muutmata.
Ülaltoodud näitest on selge, et seda võimalust on mugavam kasutada, kui murdosa nimetaja jagatakse ilma jäägita naturaalarvuga.
Mitmekorruselised murded.
Keskkoolis kohtab sageli kolmekorruselisi (või enamaid) murde. Näide:
Sellise murru tavapärasele kujule viimiseks kasutage jagamist kahe punktiga:
Märge! Murdude jagamisel on jagamise järjekord väga oluline. Olge ettevaatlik, siin on lihtne segadusse sattuda.
Märge, Näiteks:
Kui jagate ühe mis tahes murdosaga, on tulemuseks sama murd, mis on ainult ümberpööratud:
Praktilised näpunäited murdude korrutamiseks ja jagamiseks:
1. Murdlausetega töötamisel on kõige olulisem täpsus ja tähelepanelikkus. Tehke kõik arvutused hoolikalt ja täpselt, kontsentreeritult ja selgelt. Parem on kirjutada oma mustandisse paar lisarida, kui eksida peastesse arvutustesse.
2. Erinevat tüüpi murrudega ülesannetes minge harilike murdude tüübi juurde.
3. Vähendame kõiki murde, kuni redutseerimine pole enam võimalik.
4. Teisendame mitmetasandilised murdavaldised tavalisteks, kasutades jagamist läbi 2 punkti.
5. Jagage ühik oma peas murdosaga, keerates lihtsalt murdosa ümber.
Eelmisel korral õppisime murdude liitmist ja lahutamist (vt õppetundi “Murdude liitmine ja lahutamine”). Nende toimingute kõige keerulisem osa oli murdude ühise nimetajani viimine.
Nüüd on aeg tegeleda korrutamise ja jagamisega. Hea uudis on see, et need toimingud on veelgi lihtsamad kui liitmine ja lahutamine. Esmalt vaatleme lihtsaimat juhtumit, kui on kaks positiivset murdu ilma eraldatud täisarvuta.
Kahe murru korrutamiseks peate nende lugejad ja nimetajad eraldi korrutama. Esimene number on uue murru lugeja ja teine on nimetaja.
Kahe murru jagamiseks peate korrutama esimese murdosa "ümberpööratud" teise murruga.
Määramine:
Definitsioonist järeldub, et murdude jagamine taandub korrutamiseks. Murru ümberpööramiseks vahetage lihtsalt lugeja ja nimetaja. Seetõttu käsitleme kogu õppetunni jooksul peamiselt korrutamist.
Korrutamise tulemusena võib tekkida (ja sageli tekib) taandatav murd – seda tuleb loomulikult vähendada. Kui pärast kõiki vähendamisi osutub murdosa valeks, tuleks kogu osa esile tõsta. Mida aga korrutamisega kindlasti ei juhtu, on taandamine ühisele nimetajale: ei mingeid ristimeetodeid, suurimaid tegureid ja väikseimaid ühiseid kordusi.
Definitsiooni järgi on meil:
Murdude korrutamine täisosadega ja negatiivsete murdudega
Kui murrud sisaldavad täisarvu, tuleb need teisendada sobimatuteks osadeks ja alles seejärel korrutada vastavalt ülaltoodud skeemidele.
Kui murdosa lugejas, nimetajas või selle ees on miinus, saab selle korrutisest välja võtta või üldse eemaldada vastavalt järgmistele reeglitele:
- Pluss miinusega annab miinuse;
- Kaks negatiivset teevad jaatava.
Seni on neid reegleid kohanud vaid negatiivsete murdude liitmisel ja lahutamisel, kui oli vaja tervest osast lahti saada. Teose puhul saab neid üldistada, et "põletada" mitu puudust korraga:
- Negatiivid kriipsutame paarikaupa maha, kuni need täielikult kaovad. Äärmuslikel juhtudel võib ellu jääda üks miinus - see, mille jaoks polnud kaaslast;
- Kui miinuseid ei jää, on toiming lõpetatud - võite hakata korrutama. Kui viimast miinust ei kriipsutata maha, sest selle jaoks polnud paari, võtame selle korrutamise piiridest välja. Tulemuseks on negatiivne murd.
Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:
Teisendame kõik murrud valedeks ja seejärel võtame korrutamisest välja miinused. Korrutame järelejäänud tavapäraste reeglite järgi. Saame:
Tuletan teile veel kord meelde, et esiletõstetud täisosaga murru ette ilmuv miinus viitab konkreetselt kogu murrule, mitte ainult selle tervele osale (see kehtib kahe viimase näite kohta).
Pöörake tähelepanu ka negatiivsetele arvudele: korrutamisel on need sulgudes. Seda tehakse selleks, et eraldada miinused korrutusmärkidest ja muuta kogu tähistus täpsemaks.
Murdude vähendamine lennult
Korrutamine on väga töömahukas toiming. Siin olevad numbrid osutuvad üsna suurteks ja probleemi lihtsustamiseks võite proovida murdosa veelgi vähendada enne korrutamist. Tõepoolest, sisuliselt on murdude lugejad ja nimetajad tavalised tegurid ja seetõttu saab neid taandada, kasutades murdosa põhiomadust. Heitke pilk näidetele:
Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:
Definitsiooni järgi on meil:
Kõikides näidetes on punasega märgitud numbrid, mida on vähendatud ja mis neist järele jääb.
Pange tähele: esimesel juhul vähendati kordajaid täielikult. Nende asemele jäävad üksused, mida üldiselt ei pea kirjutama. Teise näite puhul ei olnud võimalik saavutada täielikku vähendamist, kuid arvutuste kogusumma siiski vähenes.
Kuid ärge kunagi kasutage seda tehnikat murdude liitmisel ja lahutamisel! Jah, mõnikord on sarnaseid numbreid, mida soovite lihtsalt vähendada. Vaata siit:
Sa ei saa seda teha!
Viga tekib seetõttu, et liitmisel annab murdosa lugeja summa, mitte arvude korrutise. Järelikult on võimatu rakendada murru põhiomadust, kuna see omadus käsitleb konkreetselt arvude korrutamist.
Murdude vähendamiseks pole lihtsalt muid põhjuseid, seega näeb eelmise probleemi õige lahendus välja järgmine:
Õige lahendus:
Nagu näha, osutus õige vastus mitte nii ilus. Üldiselt olge ettevaatlik.
§ 87. Murdude liitmine.
Murdude lisamisel on palju sarnasusi täisarvude liitmisega. Murdude liitmine on toiming, mis seisneb selles, et mitu antud arvu (terminit) liidetakse üheks arvuks (summaks), mis sisaldab kõiki terminite ühikute ühikuid ja murde.
Vaatleme järjestikku kolme juhtumit:
1. Sarnaste nimetajatega murdude liitmine.
2. Erinevate nimetajatega murdude liitmine.
3. Segaarvude liitmine.
1. Sarnaste nimetajatega murdude liitmine.
Vaatleme näidet: 1/5 + 2/5.
Võtame lõigu AB (joonis 17), võtame selle üheks ja jagame 5 võrdseks osaks, siis selle lõigu osa AC võrdub 1/5 segmendiga AB ja osa samast lõigust CD on võrdne 2/5 AB.
Jooniselt on selge, et kui võtame lõigu AD, võrdub see 3/5 AB; kuid segment AD on täpselt segmentide AC ja CD summa. Nii et võime kirjutada:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Arvestades neid termineid ja saadud summat, näeme, et summa lugeja saadi liikmete lugejate liitmisel ja nimetaja jäi muutumatuks.
Sellest saame järgmise reegli: Samade nimetajatega murdude liitmiseks tuleb lisada nende lugejad ja jätta sama nimetaja.
Vaatame näidet:
2. Erinevate nimetajatega murdude liitmine.
Liidame murrud: 3 / 4 + 3 / 8 Kõigepealt tuleb need taandada väikseima ühisnimetajani:
Vahelinki 6/8 + 3/8 ei saanud kirjutada; oleme selle selguse huvides siia kirjutanud.
Seega tuleb erinevate nimetajatega murdude liitmiseks need esmalt taandada väikseima ühisnimetajani, lisada nende lugejad ja märgistada ühisnimetaja.
Vaatleme näidet (vastavate murdude kohale kirjutame täiendavad tegurid):
3. Segaarvude liitmine.
Liidame numbrid kokku: 2 3/8 + 3 5/6.
Toome esmalt meie arvude murdosad ühise nimetaja juurde ja kirjutame need uuesti ümber:
Nüüd lisame järjestikku täisarvu ja murdosa:
§ 88. Murdude lahutamine.
Murdude lahutamine on defineeritud samamoodi nagu täisarvude lahutamine. See on toiming, mille abil leitakse kahe liikme ja neist ühe summa summast teine liige. Vaatleme kolme juhtumit järjest:
1. Sarnaste nimetajatega murdude lahutamine.
2. Erinevate nimetajatega murdude lahutamine.
3. Segaarvude lahutamine.
1. Sarnaste nimetajatega murdude lahutamine.
Vaatame näidet:
13 / 15 - 4 / 15
Võtame lõigu AB (joonis 18), võtame selle ühikuna ja jagame 15 võrdseks osaks; siis selle lõigu osa AC moodustab 1/15 AB-st ja sama segmendi osa AD vastab 13/15 AB-le. Jätame kõrvale teise lõigu ED, mis on võrdne 4/15 AB.
Peame 13/15-st lahutama murdosa 4/15. Joonisel tähendab see, et lõigust AD tuleb lahutada segment ED. Selle tulemusena jääb alles segment AE, mis moodustab 9/15 segmendist AB. Nii et võime kirjutada:
Meie tehtud näide näitab, et erinevuse lugeja saadi lugejate lahutamisel, kuid nimetaja jäi samaks.
Seetõttu peate sarnaste nimetajatega murdude lahutamiseks lahutama alaosa lugeja minuendi lugejast ja jätma sama nimetaja.
2. Erinevate nimetajatega murdude lahutamine.
Näide. 3/4 - 5/8
Esiteks vähendame need murded väikseima ühisnimetajani:
Vahetase 6 / 8 - 5 / 8 on siia kirjutatud selguse huvides, kuid selle võib hiljem vahele jätta.
Seega tuleb murdosast murdosa lahutamiseks need esmalt taandada väikseima ühisnimetajani, seejärel lahutada minuendi lugejast minuendi lugeja ja kirjutada nende erinevuse alla ühisnimetaja.
Vaatame näidet:
3. Segaarvude lahutamine.
Näide. 10 3/4 - 7 2/3.
Vähendame minuendi ja lahutamise murdosad väikseima ühisnimetajani:
Lahutasime tervikust terviku ja murdosast murdosa. Kuid on juhtumeid, kus alamjaotuse murdosa on suurem kui minulõpu murdosa. Sellistel juhtudel tuleb kogu minuendi osast võtta üks ühik, jagada see osadeks, milles väljendatakse murdosa, ja lisada see minuendi murdosale. Ja siis tehakse lahutamine samamoodi nagu eelmises näites:
§ 89. Murdude korrutamine.
Murru korrutamise uurimisel kaalume järgmisi küsimusi:
1. Murru korrutamine täisarvuga.
2. Antud arvu murdosa leidmine.
3. Täisarvu korrutamine murdosaga.
4. Murru korrutamine murdosaga.
5. Segaarvude korrutamine.
6. Huvi mõiste.
7. Antud arvu protsendi leidmine. Vaatleme neid järjestikku.
1. Murru korrutamine täisarvuga.
Murru korrutamisel täisarvuga on sama tähendus kui täisarvu korrutamisel täisarvuga. Murru (kordisti) korrutamine täisarvuga (teguriga) tähendab identsete liikmete summa loomist, milles iga liige on võrdne korrutisega ja liikmete arv on võrdne kordajaga.
See tähendab, et kui teil on vaja 1/9 korrutada 7-ga, saab seda teha järgmiselt:
Tulemuse saime hõlpsasti, kuna tegevus taandus samade nimetajatega murdude lisamisele. Seega
Selle toimingu arvessevõtmine näitab, et murdosa korrutamine täisarvuga võrdub selle murdosa suurendamisega nii mitu korda, kui täisarvus on ühikuid. Ja kuna murdosa suurendamine saavutatakse kas selle lugeja suurendamisega
või selle nimetaja vähendamisega 
, siis saame lugeja kas korrutada täisarvuga või jagada nimetaja sellega, kui selline jagamine on võimalik.
Siit saame reegli:
Murru korrutamiseks täisarvuga korrutage lugeja selle täisarvuga ja jätke nimetaja samaks või jagage nimetaja võimalusel selle arvuga, jättes lugeja muutmata.
Korrutamisel on võimalikud lühendid, näiteks:
2. Antud arvu murdosa leidmine. On palju probleeme, mille puhul peate leidma või arvutama antud arvu osa. Nende ülesannete erinevus teistest seisneb selles, et need annavad mõne objekti arvu või mõõtühikute arvu ja tuleb leida osa sellest numbrist, mida siin ka teatud murdosa tähistab. Mõistmise hõlbustamiseks toome esmalt selliste probleemide näiteid ja seejärel tutvustame nende lahendamise meetodit.
Ülesanne 1. Mul oli 60 rubla; Kulutasin 1/3 sellest rahast raamatute ostmisele. Kui palju raamatud maksid?
2. ülesanne. Rong peab sõitma linnade A ja B vahel 300 km kaugusele. 2/3 sellest distantsist on ta juba läbinud. Mitu kilomeetrit see on?
3. ülesanne. Külas on 400 maja, neist 3/4 on telliskivi, ülejäänud puit. Mitu telliskivimaja on kokku?
Need on mõned paljudest probleemidest, millega me etteantud numbri osa leidmisel kokku puutume. Tavaliselt nimetatakse neid ülesanneteks antud arvu murdosa leidmiseks.
Probleemi lahendus 1. Alates 60 rubla. Kulutasin 1/3 raamatutele; See tähendab, et raamatute maksumuse leidmiseks peate jagama arvu 60 3-ga:
Probleemi lahendamine 2. Probleemi mõte on selles, et peate leidma 2/3 300 km-st. Arvutame esmalt 1/3 300-st; see saavutatakse 300 km jagamisel 3-ga:
300: 3 = 100 (see on 1/3 300-st).
Kahe kolmandiku 300 leidmiseks peate saadud jagatise kahekordistama, st korrutama 2-ga:
100 x 2 = 200 (see on 2/3 300-st).
Probleemi lahendamine 3. Siin peate määrama telliskivimajade arvu, mis moodustavad 3/4 400-st. Leiame kõigepealt 1/4 400-st,
400: 4 = 100 (see on 1/4 400-st).
Kolmveerand 400 arvutamiseks tuleb saadud jagatis kolmekordistada, st korrutada 3-ga:
100 x 3 = 300 (see on 3/4 400-st).
Nende probleemide lahenduse põhjal saame tuletada järgmise reegli:
Et leida antud arvust murdosa väärtus, tuleb see arv jagada murdosa nimetajaga ja korrutada saadud jagatis selle lugejaga.
3. Täisarvu korrutamine murdosaga.
Varem (§ 26) on kehtestatud, et täisarvude korrutamise all tuleb mõista identsete liikmete liitmist (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Selles lõigus (punkt 1) tehti kindlaks, et murdosa korrutamine täisarvuga tähendab selle murdosaga võrdsete liikmete summa leidmist.
Mõlemal juhul seisnes korrutamine identsete liikmete summa leidmises.
Nüüd jätkame täisarvu korrutamist murdosaga. Siin kohtame näiteks korrutamist: 9 2/3. On selge, et eelmine korrutamise definitsioon antud juhul ei kehti. See ilmneb sellest, et me ei saa sellist korrutamist asendada võrdsete arvude liitmisega.
Seetõttu peame andma korrutamise uue definitsiooni, st vastama küsimusele, mida tuleks mõista murdosaga korrutamise all, kuidas seda toimingut mõista.
Täisarvu murdosaga korrutamise tähendus on selge järgmisest määratlusest: täisarvu (korrutise) korrutamine murdosaga (korrutis) tähendab korrutis selle murdosa leidmist.
Nimelt tähendab 9 korrutamine 2/3-ga 2/3 leidmist üheksast ühikust. Eelmises lõigus sellised probleemid lahendati; seega on lihtne aru saada, et saame lõpuks 6.
Nüüd aga tekib huvitav ja oluline küsimus: miks nimetatakse selliseid pealtnäha erinevaid tehteid, nagu võrdsete arvude summa leidmine ja arvu murdosa leidmine, aritmeetikas sama sõnaga “korrutamine”?
See juhtub seetõttu, et eelmine toiming (arvu mitmekordne kordamine terminitega) ja uus tegevus (arvu murdosa leidmine) annavad vastused homogeensetele küsimustele. See tähendab, et lähtume siin kaalutlustest, et homogeensed küsimused või ülesanded lahendatakse ühe ja sama tegevusega.
Selle mõistmiseks kaaluge järgmist probleemi: "1 m riiet maksab 50 rubla. Kui palju maksab 4 m sellist riiet?
See probleem lahendatakse, korrutades rublade arvu (50) meetrite arvuga (4), st 50 x 4 = 200 (rubla).
Võtame sama probleemi, kuid selles väljendatakse riide kogust murdosana: "1 m riiet maksab 50 rubla. Kui palju maksab 3/4 m sellist riiet?
Ka see probleem tuleb lahendada, korrutades rublade arvu (50) meetrite arvuga (3/4).
Saate selles olevaid numbreid veel mitu korda muuta, ilma ülesande tähendust muutmata, näiteks võtta 9/10 m või 2 3/10 m jne.
Kuna need ülesanded on sama sisuga ja erinevad vaid numbrite poolest, nimetame nende lahendamisel kasutatavaid toiminguid sama sõnaga – korrutamine.
Kuidas korrutada täisarvu murdosaga?
Võtame viimases ülesandes esinenud numbrid:
Definitsiooni järgi peame leidma 3/4 50-st. Leiame esmalt 1/4 50-st ja seejärel 3/4.
1/4 50-st on 50/4;
3/4 arvust 50 on .
Seega.
Vaatleme teist näidet: 12 5 / 8 =?
1/8 arvust 12 on 12/8,
5/8 arvust 12 on .
Seega
Siit saame reegli:
Täisarvu korrutamiseks murdosaga peate korrutama täisarvu murru lugejaga ja muutma selle korrutise lugejaks ning nimetama selle murdosa nimetaja.
Kirjutame selle reegli tähtede abil:
Et see reegel oleks täiesti selge, tuleb meeles pidada, et murdosa võib pidada jagatiseks. Seetõttu on kasulik võrrelda leitud reeglit arvu jagatisega korrutamise reegliga, mis oli sätestatud §-s 38
Oluline on meeles pidada, et enne korrutamist peaksite tegema (võimaluse korral) vähendamised, Näiteks:
4. Murru korrutamine murdosaga. Murru korrutamisel murdosaga on sama tähendus, mis täisarvu korrutamisel murdosaga, st murdosa korrutamisel murdosaga tuleb leida murdosa, mis on teguris esimesest murrust (korrutis).
Nimelt tähendab 3/4 korrutamine 1/2-ga (poolega) poole 3/4 leidmist.
Kuidas korrutada murdosa murdosaga?
Võtame näite: 3/4 korrutatakse 5/7-ga. See tähendab, et peate leidma 5/7 3/4-st. Leiame esmalt 1/7 3/4-st ja seejärel 5/7
1/7 arvust 3/4 väljendatakse järgmiselt:
5/7 numbrid 3/4 väljendatakse järgmiselt:
Seega
Teine näide: 5/8 korrutatud 4/9-ga.
1/9/5/8 on ,
4/9 arvust 5/8 on .
Seega 
Nendest näidetest saab järeldada järgmise reegli:
Murru korrutamiseks murdosaga peate korrutama lugeja lugejaga ja nimetaja nimetajaga ning muutma esimese korrutise lugejaks ja teise korrutise korrutise nimetajaks.
Selle reegli võib üldkujul kirjutada järgmiselt:
Korrutamisel on vaja (võimalusel) teha vähendusi. Vaatame näiteid:
5. Segaarvude korrutamine. Kuna segaarvusid saab kergesti asendada valede murdudega, kasutatakse seda asjaolu tavaliselt segaarvude korrutamisel. See tähendab, et juhtudel, kui kordaja, kordaja või mõlemad tegurid on väljendatud segaarvudena, asendatakse need valede murdudega. Korrutame näiteks segaarvud: 2 1/2 ja 3 1/5. Muutkem igaüks neist valeks murdeks ja seejärel korrutame saadud murrud vastavalt reeglile murdosa korrutamiseks:
Reegel. Segaarvude korrutamiseks peate need esmalt teisendama valedeks murdudeks ja seejärel korrutama vastavalt murdude murdude korrutamise reeglile.
Märge. Kui üks teguritest on täisarv, saab jaotusseaduse alusel korrutada järgmiselt:
6. Huvi mõiste.Ülesannete lahendamisel ja erinevate praktiliste arvutuste tegemisel kasutame kõikvõimalikke murde. Kuid tuleb meeles pidada, et paljud kogused võimaldavad nende jaoks mitte suvalist, vaid loomulikku jaotust. Näiteks võite võtta ühe sajandiku (1/100) rubla, see on kopikas, kaks sajandikku on 2 kopikat, kolm sajandikku on 3 kopikat. Võite võtta 1/10 rubla, see on "10 kopikat ehk kümnekopikaline tükk. Võite võtta veerand rubla, s.o 25 kopikat, pool rubla, s.o 50 kopikat (viiskümmend kopikat). Aga nad praktiliselt ei võta seda näiteks 2/7 rubla, sest rubla ei jagune seitsmendikuteks.
Kaaluühik ehk kilogramm võimaldab eelkõige kümnendjagamist, näiteks 1/10 kg või 100 g. Ja sellised kilogrammi murdosad nagu 1/6, 1/11, 1/13 pole levinud.
Üldiselt on meie (meetrilised) mõõdud kümnendkohad ja võimaldavad kümnendjagamist.
Siiski tuleb märkida, et väga erinevatel juhtudel on äärmiselt kasulik ja mugav kasutada sama (ühtset) koguste osadeks jagamise meetodit. Paljude aastate kogemused on näidanud, et selline hästi põhjendatud jaotus on “sajas” jaotus. Vaatleme mitmeid näiteid, mis on seotud inimtegevuse kõige erinevamate valdkondadega.
1. Raamatute hind on langenud 12/100 varasemast hinnast.
Näide. Raamatu eelmine hind oli 10 rubla. See vähenes 1 rubla võrra. 20 kopikat
2. Hoiupangad maksavad hoiustajatele aasta jooksul säästmiseks hoiustatud summast 2/100.
Näide. Kassasse kantakse 500 rubla, aasta tulu sellest summast on 10 rubla.
3. Ühe kooli lõpetajate arv oli 5/100 õpilaste üldarvust.
NÄIDE Koolis õppis vaid 1200 õpilast, kellest 60 lõpetas.
Arvu sajandat osa nimetatakse protsendiks.
Sõna "protsent" on laenatud ladina keelest ja selle tüvi "cent" tähendab sada. Koos eessõnaga (pro centum) tähendab see sõna "saja eest". Selle väljendi tähendus tuleneb asjaolust, et algselt nimetati Vana-Roomas intressi rahale, mille võlgnik maksis laenuandjale "iga saja eest". Sõna "sent" kuuleb sellistes tuttavates sõnades: sentimeeter (sada kilogrammi), sentimeeter (ütleme sentimeeter).
Näiteks selle asemel, et öelda, et viimase kuu jooksul tootis tehas 1/100 kõigist tema toodetud toodetest oli defektne, ütleme nii: viimase kuu jooksul tootis tehas ühe protsendi defektidest. Selle asemel, et öelda: tehas tootis 4/100 toodet rohkem kui kehtestatud plaan, ütleme: tehas ületas plaani 4 protsendiga.
Ülaltoodud näiteid saab väljendada erinevalt:
1. Raamatute hind on langenud 12 protsenti varasemast hinnast.
2. Hoiupangad maksavad hoiustajatele hoiustesse hoiustatud summalt 2 protsenti aastas.
3. Ühe kooli lõpetajate arv oli 5 protsenti kõigist kooliõpilastest.
Tähe lühendamiseks on tavaks kirjutada sõna “protsent” asemel sümbol %.
Siiski tuleb meeles pidada, et arvutustes % märki tavaliselt ei kirjutata, selle saab kirjutada ülesandepüstitusse ja lõpptulemusesse. Arvutuste tegemisel peate selle sümboliga täisarvu asemel kirjutama murdosa, mille nimetaja on 100.
Peate suutma asendada täisarvu näidatud ikooniga murdosaga, mille nimetaja on 100:
Ja vastupidi, peate harjuma täisarvu kirjutama näidatud sümboliga, mitte murdosa, mille nimetaja on 100:
7. Antud arvu protsendi leidmine.
Ülesanne 1. Kool sai 200 kuupmeetrit. m küttepuid, millest 30% moodustab kaseküttepuid. Kui palju kaseküttepuid oli?
Selle probleemi mõte seisneb selles, et kaseküttepuud moodustasid vaid osa kooli tarnitud küttepuudest ja seda osa väljendatakse murdarvus 30/100. See tähendab, et meil on ülesanne leida arvu murd. Selle lahendamiseks peame korrutama 200 30/100-ga (arvu murdosa leidmise ülesanded lahendatakse arvu korrutamisel murdosaga.).
See tähendab, et 30% 200-st võrdub 60-ga.
Selles ülesandes esinevat murdosa 30/100 saab vähendada 10 võrra. Seda vähendamist oleks võimalik teha algusest peale; probleemi lahendus poleks muutunud.
2. ülesanne. Laagris oli 300 erinevas vanuses last. 11-aastased lapsed moodustasid 21%, 12-aastased lapsed 61% ja lõpuks 13-aastased lapsed 18%. Mitu last igas vanuses laagris oli?
Selles ülesandes peate tegema kolm arvutust, st leidma järjestikku 11-aastaste, seejärel 12-aastaste ja lõpuks 13-aastaste laste arvu.
See tähendab, et siin peate leidma arvu murdosa kolm korda. Teeme seda:
1) Mitu 11-aastast last oli seal?
2) Mitu 12-aastast last seal oli?
3) Mitu 13-aastast last seal oli?
Pärast ülesande lahendamist on kasulik leitud numbrid liita; nende summa peaks olema 300:
63 + 183 + 54 = 300
Samuti tuleb märkida, et ülesandepüstituses antud protsentide summa on 100:
21% + 61% + 18% = 100%
See viitab sellele, et laste koguarvuks laagris võeti 100%.
3 ja d a h a 3. Tööline sai 1200 rubla kuus. Sellest 65% kulutas ta toidule, 6% korteritele ja küttele, 4% gaasile, elektrile ja raadiole, 10% kultuurivajadustele ja 15% säästmisele. Kui palju raha kulus ülesandes märgitud vajadustele?
Selle ülesande lahendamiseks peate leidma 5-kordse murdosa 1200. Teeme nii.
1) Kui palju raha kulus toidule? Probleem ütleb, et see kulu on 65% kogutulust, st 65/100 arvust 1200. Teeme arvutuse:
2) Kui palju raha maksite küttega korteri eest? Põhjendades sarnaselt eelmisele, jõuame järgmise arvutuseni:
3) Kui palju raha maksite gaasi, elektri ja raadio eest?
4) Kui palju raha kulus kultuurivajadustele?
5) Kui palju töötaja raha säästis?
Kontrollimiseks on kasulik nendes 5 küsimuses leitud numbrid kokku liita. Summa peaks olema 1200 rubla. Kõik sissetulekud on 100%, mida on lihtne kontrollida, liites kokku probleemiavalduses toodud protsentuaalsed numbrid.
Lahendasime kolm probleemi. Vaatamata sellele, et need probleemid käsitlesid erinevaid asju (küttepuude koolile tarnimine, erinevas vanuses laste arv, töömehe kulud), lahendati need ühtemoodi. See juhtus seetõttu, et kõigi ülesannete puhul oli vaja leida mitu protsenti etteantud arvudest.
§ 90. Murdude jagamine.
Murdude jagamist uurides kaalume järgmisi küsimusi:
1. Jagage täisarv täisarvuga.
2. Murru jagamine täisarvuga
3. Täisarvu jagamine murdosaga.
4. Murru jagamine murdosaga.
5. Segaarvude jagamine.
6. Arvu leidmine selle etteantud murdarvust.
7. Arvu leidmine selle protsendi järgi.
Vaatleme neid järjestikku.
1. Jagage täisarv täisarvuga.
Nagu täisarvude osakonnas märgitud, on jagamine toiming, mis seisneb selles, et kahe teguri (dividend) ja ühe neist teguritest (jagaja) korrutises leitakse teine tegur.
Vaatasime täisarvude jagamist täisarvudega. Seal kohtasime kahte jagamise juhtumit: jagamine ilma jäägita ehk "täielikult" (150: 10 = 15) ja jagamine jäägiga (100: 9 = 11 ja 1 jääk). Seega võime öelda, et täisarvude valdkonnas ei ole alati täpne jagamine võimalik, sest dividend ei ole alati jagaja korrutis täisarvuga. Pärast murdosaga korrutamist võime pidada võimalikuks iga täisarvude jagamise juhtu (ainult nulliga jagamine on välistatud).
Näiteks 7 jagamine 12-ga tähendab sellise arvu leidmist, mille korrutis 12-ga oleks võrdne 7-ga. Selline arv on murd 7/12, sest 7/12 12 = 7. Teine näide: 14: 25 = 14/25, sest 14/25 25 = 14.
Seega tuleb täisarvu jagamiseks täisarvuga luua murd, mille lugeja on võrdne dividendiga ja nimetaja jagajaga.
2. Murru jagamine täisarvuga.
Jagage murd 6/7 3-ga. Vastavalt ülaltoodud jagamise definitsioonile on siin korrutis (6/7) ja üks teguritest (3); tuleb leida teine tegur, mis korrutades 3-ga annaks antud korrutisele 6/7. Ilmselgelt peaks see olema kolm korda väiksem kui see toode. See tähendab, et meie ees oli ülesanne vähendada murdosa 6/7 3 korda.
Teame juba, et murdosa saab vähendada kas selle lugejat vähendades või nimetajat suurendades. Seetõttu võite kirjutada:
Sel juhul jagub lugeja 6 3-ga, seega tuleks lugejat 3 korda vähendada.
Võtame veel ühe näite: 5/8 jagatud 2-ga. Siin lugeja 5 ei jagu 2-ga, mis tähendab, et nimetaja tuleb selle arvuga korrutada:
Selle põhjal saab koostada reegli: Murru jagamiseks täisarvuga peate jagama murdosa lugeja selle täisarvuga.(kui võimalik), jättes sama nimetaja või korrutage murdosa nimetaja selle arvuga, jättes sama lugeja.
3. Täisarvu jagamine murdosaga.
Olgu vaja jagada 5 1/2-ga, st leida arv, mis pärast 1/2-ga korrutamist annab korrutiseks 5. Ilmselgelt peab see arv olema suurem kui 5, kuna 1/2 on õige murd , ja arvu korrutamisel peab õige murru korrutis olema väiksem kui korrutatav korrutis. Selle selgemaks muutmiseks kirjutame oma toimingud järgmiselt: 5: 1 / 2 = X , mis tähendab x 1/2 = 5.
Peame sellise numbri leidma X , mis korrutades 1/2-ga annaks 5. Kuna teatud arvu korrutamine 1/2-ga tähendab 1/2 leidmist sellest arvust, siis seega 1/2 tundmatust arvust X on võrdne 5 ja täisarvuga X kaks korda rohkem, st 5 2 = 10.
Seega 5: 1/2 = 5 2 = 10
Kontrollime: 
Vaatame teist näidet. Oletame, et soovite 6 jagada 2/3-ga. Proovime esmalt leida soovitud tulemust kasutades joonist (joonis 19).
Joonis 19
Joonistame lõigu AB, mis on võrdne 6 ühikuga, ja jagame iga ühiku 3 võrdseks osaks. Igas üksuses on kolm kolmandikku (3/3) kogu segmendist AB 6 korda suurem, s.o. e. 18/3. Väikeste sulgude abil ühendame 18 saadud segmenti 2; Seal on ainult 9 segmenti. See tähendab, et murdosa 2/3 sisaldub 6 ühikus 9 korda ehk teisisõnu, murdosa 2/3 on 9 korda väiksem kui 6 täisühikut. Seega
Kuidas saada see tulemus ilma jooniseta, kasutades ainult arvutusi? Arutleme nii: peame jagama 6 2/3-ga, st vastama küsimusele, mitu korda 2/3 sisaldub 6-s. Uurime kõigepealt välja: mitu korda 6 sisaldab 1/3? Terves üksuses on 3 kolmandikku ja 6 ühikus 6 korda rohkem, s.o 18 kolmandikku; selle arvu leidmiseks peame korrutama 6 3-ga. See tähendab, et 1/3 sisaldub b ühikus 18 korda ja 2/3 sisaldub b ühikus mitte 18 korda, vaid poole vähem, st 18: 2 = 9 Seetõttu tegime 6 jagamisel 2/3-ga järgmist:
Siit saame reegli täisarvu murdosaga jagamiseks. Täisarvu jagamiseks murdosaga peate selle täisarvu korrutama antud murru nimetajaga ja muutes selle korrutise lugejaks, jagama selle antud murru lugejaga.
Kirjutame reegli tähtede abil:
Et see reegel oleks täiesti selge, tuleb meeles pidada, et murdosa võib pidada jagatiseks. Seetõttu on kasulik võrrelda leitud reeglit arvu jagatisega jagamise reegliga, mis oli sätestatud §-s 38. Pange tähele, et seal saadi sama valem.
Jagamisel on võimalikud lühendid, näiteks:
4. Murru jagamine murdosaga.
Oletame, et peame jagama 3/4 3/8-ga. Mida tähendab jagamisel saadud arv? See vastab küsimusele, mitu korda sisaldub murdosa 3/8 murdosas 3/4. Selle probleemi mõistmiseks teeme joonise (joonis 20).
Võtame lõigu AB, võtame selle üheks, jagame 4 võrdseks osaks ja märgime 3 sellist osa. Segment AC on võrdne 3/4 segmendist AB. Jagame nüüd kõik neli algset lõiku pooleks, siis segment AB jagatakse 8 võrdseks osaks ja iga selline osa on võrdne 1/8 lõigust AB. Ühendagem 3 sellist lõiku kaaredega, siis on iga segment AD ja DC võrdne 3/8 segmendiga AB. Joonis näitab, et segment, mis võrdub 3/8, sisaldub segmendis, mis on võrdne 3/4 täpselt 2 korda; See tähendab, et jagamise tulemuse saab kirjutada järgmiselt:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Vaatame teist näidet. Oletame, et peame jagama 15/16 3/32-ga:
Võime arutleda järgmiselt: peame leidma arvu, mis pärast 3/32-ga korrutamist annab korrutise 15/16. Kirjutame arvutused järgmiselt:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 tundmatu number X on 15/16
1/32 tundmatust numbrist X on ,
32/32 numbrid X meik .
Seega
Seega, murdosa jagamiseks murdosaga peate korrutama esimese murru lugeja teise nimetajaga ja korrutama esimese murru nimetaja teise lugejaga ning muutma lugejaks esimese korrutise, ja teine nimetaja.
Kirjutame reegli tähtede abil:
Jagamisel on võimalikud lühendid, näiteks:
5. Segaarvude jagamine.
Segaarvude jagamisel tuleb need esmalt teisendada ebaõigeteks murdudeks ja seejärel jagada saadud murrud vastavalt murdude jagamise reeglitele. Vaatame näidet:
Teisendame segaarvud valedeks murdudeks:
Nüüd jagame:
Seega peate segaarvude jagamiseks teisendama need valedeks murdudeks ja seejärel jagama, kasutades murdude jagamise reeglit.
6. Arvu leidmine selle etteantud murdarvust.
Erinevate murdosaülesannete hulgas on mõnikord selliseid, kus on antud tundmatu arvu murdosa väärtus ja see arv tuleb leida. Seda tüüpi ülesanne on antud arvu murdosa leidmise ülesande pöördväärtus; seal anti arv ja nõuti selle arvu murdosa leidmist, siin anti murdosa arvust ja nõuti selle arvu enda leidmist. See mõte saab veelgi selgemaks, kui asume seda tüüpi probleemide lahendamisele.
Ülesanne 1. Esimesel päeval lasid klaasijad 50 akent, mis on 1/3 kõigist ehitatud maja akendest. Mitu akent sellel majal on?
Lahendus. Probleem ütleb, et 50 klaasitud akent moodustavad 1/3 kõigist maja akendest, mis tähendab, et aknaid on kokku 3 korda rohkem, st.
Majal oli 150 akent.
2. ülesanne. Poes müüdi 1500 kg jahu, mis moodustab 3/8 kogu poe jahuvarust. Milline oli poe esialgne jahuvaru?
Lahendus. Probleemi tingimustest selgub, et 1500 kg müüdud jahu moodustab 3/8 koguvarust; See tähendab, et 1/8 sellest reservist on 3 korda väiksem, st selle arvutamiseks peate 1500 vähendama 3 korda:
1500: 3 = 500 (see on 1/8 reservist).
Ilmselgelt on kogu pakkumine 8 korda suurem. Seega
500 8 = 4000 (kg).
Jahu esialgne varu poes oli 4000 kg.
Selle probleemi kaalumisel võib tuletada järgmise reegli.
Arvu leidmiseks selle murru antud väärtusest piisab, kui jagada see väärtus murru lugejaga ja korrutada tulemus murdosa nimetajaga.
Arvu leidmisel, võttes arvesse selle murdosa, lahendasime kaks ülesannet. Sellised probleemid, nagu viimasest eriti selgelt näha, lahendatakse kahe toiminguga: jagamine (kui leitakse üks osa) ja korrutamine (kui leitakse täisarv).
Kuid pärast seda, kui oleme õppinud murdude jagamist, saab ülaltoodud ülesandeid lahendada ühe toiminguga, nimelt: murdosaga jagamine.
Näiteks saab viimase ülesande lahendada ühe toiminguga järgmiselt:
Tulevikus lahendame selle murdosast arvu leidmise ülesanded ühe toiminguga - jagamisega.
7. Arvu leidmine selle protsendi järgi.
Nende ülesannete puhul peate leidma numbri, mis teab sellest arvust mõnda protsenti.
Ülesanne 1. Selle aasta alguses sain hoiukassast 60 rubla. tulu summast, mille ma aasta tagasi säästudesse panin. Kui palju raha olen hoiukassasse pannud? (Kassad annavad hoiustajatele 2% tulu aastas.)
Probleemi mõte on selles, et panin teatud summa raha hoiukassasse ja jäin sinna aastaks. Aasta pärast sain temalt 60 rubla. sissetulekust, mis on 2/100 rahast, mille ma sisse panin. Kui palju raha ma sisse panin?
Järelikult, teades osa sellest rahast, väljendatuna kahel viisil (rublades ja murdosades), peame leidma kogu seni teadmata summa. See on tavaline probleem arvu leidmisel, arvestades selle murdosa. Järgmised probleemid lahendatakse jagamise teel:
See tähendab, et hoiukassasse pandi 3000 rubla.
2. ülesanne. Kalurid täitsid kuuplaani kahe nädalaga 64%, saades 512 tonni kala. Mis oli nende plaan?
Probleemi tingimustest on teada, et kalurid täitsid osa plaanist. See osa võrdub 512 tonniga, mis on 64% plaanist. Me ei tea, mitu tonni kala tuleb plaani järgi ette valmistada. Selle numbri leidmine on probleemi lahendus.
Sellised probleemid lahendatakse jagamise teel:
See tähendab, et plaani järgi on vaja ette valmistada 800 tonni kala.
3. ülesanne. Rong sõitis Riiast Moskvasse. Kui ta 276. kilomeetrit läbis, küsis üks sõitjatest mööduvalt konduktorilt, kui suure osa teekonnast on nad juba läbinud. Selle peale vastas dirigent: "Me oleme juba läbinud 30% kogu teekonnast." Kui kaugel on Riia Moskvast?
Probleemoludest selgub, et 30% marsruudist Riiast Moskvasse on 276 km. Peame leidma kogu nende linnade vahelise kauguse, st selle osa jaoks leidma terviku:
§ 91. Vastastikused numbrid. Jagamise asendamine korrutamisega.
Võtame murdosa 2/3 ja asendame nimetaja asemel lugeja, saame 3/2. Saime selle murru pöördväärtuse.
Antud murru pöördväärtuse saamiseks peate nimetaja asemele panema selle lugeja ja lugeja asemel nimetaja. Sel viisil saame mis tahes murru pöördarvu. Näiteks:
3/4, tagurpidi 4/3; 5/6, tagurpidi 6/5
Nimetatakse kahte murdu, millel on omadus, et esimese lugeja on teise nimetaja ja esimese nimetaja on teise lugeja. vastastikku pöördvõrdeline.
Nüüd mõtleme, milline murdosa on 1/2 pöördväärtus. Ilmselgelt on see 2/1 või lihtsalt 2. Otsides antud pöördmurdu, saime täisarvu. Ja see juhtum ei ole üksik; vastupidi, kõigi murdude puhul, mille lugeja on 1 (üks), on pöördarvud täisarvud, näiteks:
1/3, tagurpidi 3; 1/5, tagurpidi 5
Kuna pöördmurdude leidmisel kohtasime ka täisarve, siis edaspidi räägime mitte pöördmurdudest, vaid pöördarvudest.
Mõelgem välja, kuidas kirjutada täisarvu pöördväärtust. Murdude puhul saab selle lihtsalt lahendada: lugeja asemele tuleb panna nimetaja. Samamoodi saate täisarvu pöördväärtuse, kuna iga täisarvu nimetaja võib olla 1. See tähendab, et 7 pöördväärtus on 1/7, sest 7 = 7/1; arvu 10 puhul on pöördväärtus 1/10, kuna 10 = 10/1
Seda ideed saab väljendada erinevalt: antud arvu pöördväärtus saadakse ühe jagamisel antud arvuga. See väide kehtib mitte ainult täisarvude, vaid ka murdude kohta. Tegelikult, kui meil on vaja kirjutada murdosa 5/9 pöördväärtus, siis võime võtta 1 ja jagada selle 5/9-ga, s.t.
Nüüd juhime tähelepanu ühele asjale vara vastastikused numbrid, mis on meile kasulikud: pöördarvude korrutis on võrdne ühega. Tõepoolest:
Seda omadust kasutades saame pöördarvud leida järgmisel viisil. Oletame, et peame leidma 8 pöördväärtuse.
Tähistame seda tähega X , siis 8 X = 1, seega X = 1/8. Leiame veel ühe arvu, mis on 7/12 pöördväärtus, ja tähistame seda tähega X , siis 12.07 X = 1, seega X = 1:7/12 või X = 12 / 7 .
Tutvustame siin pöördarvude mõistet, et veidi täiendada teavet murdude jagamise kohta.
Kui jagame arvu 6 3/5-ga, teeme järgmist:
Pöörake erilist tähelepanu väljendile ja võrrelge seda antud väljendiga: .
Kui võtta avaldis eraldi, ilma seoseta eelmisega, siis on võimatu lahendada küsimust, kust see tuli: 6 jagamisest 3/5-ga või 6 korrutamisest 5/3-ga. Mõlemal juhul juhtub sama. Seetõttu võime öelda et ühe arvu jagamise teisega saab asendada dividendi korrutamisega jagaja pöördarvuga.
Allpool toodud näited kinnitavad seda järeldust täielikult.
Täisarvu korrutamine murdosaga pole keeruline ülesanne. Kuid on peensusi, millest te ilmselt koolis aru saite, kuid mille olete vahepeal unustanud.
Kuidas korrutada täisarvu murdosaga - paar liiget
Kui mäletate, mis on lugeja ja nimetaja ning kuidas õige murd erineb valest murdest, jätke see lõik vahele. See on mõeldud neile, kes on teooria täielikult unustanud.
Lugeja on murdosa ülemine osa – see, mida me jagame. Nimetaja on väiksem. Sellega me jagame.
Õige murd on selline, mille lugeja on nimetajast väiksem. Vale murd on selline, mille lugeja on selle nimetajast suurem või sellega võrdne.
Kuidas korrutada täisarvu murdosaga
Täisarvu murdosaga korrutamise reegel on väga lihtne – korrutame lugeja täisarvuga, kuid nimetajat ei puuduta. Näiteks: kaks korrutatuna viiendikuga – saame kaks viiendikku. Neli korrutatuna kolme kuueteistkümnendikuga võrdub kaheteistkümne kuueteistkümnendikuga.
Vähendamine
Teises näites saab saadud fraktsiooni vähendada.
Mida see tähendab? Pange tähele, et nii selle murdosa lugeja kui ka nimetaja jaguvad neljaga. Mõlema arvu jagamist ühise jagajaga nimetatakse murdosa vähendamiseks. Saame kolm neljandikku.
Valed murrud
Kuid oletame, et korrutame neli kahe viiendikuga. Selgus, et kaheksa viiendikku. See on vale murd.
See tuleb kindlasti õigesse vormi viia. Selleks tuleb sealt valida terve osa.
Siin peate kasutama jäägiga jagamist. Jäägina saame ühe ja kolm.
Üks tervik ja kolm viiendikku on meie õige murd.
Kolmekümne viie kaheksandiku õigesse vormi viimine on veidi keerulisem. Lähim arv kolmekümne seitsmele, mis jagub kaheksaga, on kolmkümmend kaks. Jagades saame neli. Lahutage kolmekümne viiest kolmkümmend kaks ja saame kolm. Tulemus: neli tervet ja kolm kaheksandikku.
Lugeja ja nimetaja võrdsus. Ja siin on kõik väga lihtne ja ilus. Kui lugeja ja nimetaja on võrdsed, on tulemus lihtsalt üks.