• Systemer m lineære ligninger Med n ukendt.
  Løsning af et system af lineære ligninger- dette er sådan et sæt tal ( x 1, x 2, …, x n), når den substitueres i hver af systemets ligninger, opnås den korrekte lighed.
  Hvor aij, i = 1, …, m; j = 1, …, n— systemkoefficienter;
  b i, i = 1, …, m- gratis medlemmer;
  x j, j = 1, …, n- ukendt.
  Ovenstående system kan skrives i matrixform: A X = B,
  
  
  
  
  Hvor ( EN|B) er systemets hovedmatrix;
  EN— udvidet systemmatrix;
  x— kolonne af ukendte;
  B— kolonne af gratis medlemmer.
  Hvis matrix B er altså ikke en nulmatrix ∅ dette system lineære ligninger kaldes inhomogene.
  Hvis matrix B= ∅, så kaldes dette system af lineære ligninger homogent. Et homogent system har altid en nul (triviel) løsning: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
  Fælles system af lineære ligninger er et system af lineære ligninger, der har en løsning.
  Inkonsekvent system af lineære ligninger er et uløseligt system af lineære ligninger.
  Et bestemt system af lineære ligninger er et system af lineære ligninger, der har en unik løsning.
  Ubestemt system af lineære ligninger- har uendeligt sæt løsninger til et system af lineære ligninger.
• Systemer med n lineære ligninger med n ukendte
  Hvis antallet af ukendte er lig med antallet af ligninger, så er matrixen kvadratisk. Determinanten af ​​en matrix kaldes hoveddeterminanten af ​​et system af lineære ligninger og er betegnet med symbolet Δ.
  Cramer metode til løsning af systemer n lineære ligninger med n ukendt.
  Cramers regel.
  Hvis hoveddeterminant systemer af lineære ligninger er ikke lig med nul, så er systemet konsistent og defineret, og den eneste løsning beregnes ved hjælp af Cramers formler:
  hvor Δ i er determinanter opnået fra hoveddeterminanten af ​​systemet Δ ved at erstatte jeg kolonne til kolonnen af ​​gratis medlemmer. .
• Systemer af m lineære ligninger med n ukendte
  Kronecker-Capelli teorem.
  
  
  For at et givet system af lineære ligninger skal være konsistent, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at rangeringen af ​​systemmatricen er lig med rangordenen for systemets udvidede matrix, rang(Α) = rang(Α|B).
  Hvis rang(Α) ≠ rang(Α|B), så har systemet åbenbart ingen løsninger.
  Hvis rang(Α) = rang(Α|B), så er to tilfælde mulige:
  1) rang(Α) = n(antal ukendte) - løsningen er unik og kan fås ved hjælp af Cramers formler;
  2) rang(Α)< n - der er uendeligt mange løsninger.
• Gauss metode til løsning af lineære ligningssystemer
  
  
  Lad os skabe en udvidet matrix ( EN|B) af et givet system fra koefficienterne for de ukendte og højre side.
  Den Gaussiske metode eller metoden til at eliminere ukendte består i at reducere den udvidede matrix ( EN|B) ved hjælp af elementære transformationer over dens rækker til en diagonal form (til den øvre trekantet udsigt). Vender vi tilbage til ligningssystemet, bestemmes alle ukendte.
  TIL elementære transformationer over linjerne er følgende:
  1) skift to linjer;
  2) at gange en streng med et andet tal end 0;
  3) tilføje en anden streng til en streng, ganget med et vilkårligt tal;
  4) at smide en nullinje ud.
  Den udvidede matrix reduceret til diagonal form svarer til lineært system, svarende til denne, hvis løsning ikke volder vanskeligheder. .
• System af homogene lineære ligninger.
  Et homogent system har formen:
  
  svarer til det matrix ligning A X = 0.
  1) Et homogent system er altid konsistent, da r(A) = r(A|B), eksisterer altid nul løsning (0, 0, …, 0).
  2) For at et homogent system skal have en ikke-nul løsning, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at r = r(A)< n , hvilket svarer til Δ = 0.
  3) Hvis r< n , så åbenbart Δ = 0, så opstår der frie ukendte c 1, c 2, …, c n-r, systemet har ikke-trivielle løsninger, og dem er der uendeligt mange af.
  4) Generel løsning x på r< n kan skrives i matrixform på følgende måde:
  X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
  hvor er løsningerne X 1, X 2, …, X n-r danne et grundlæggende system af løsninger.
  5) Det grundlæggende system af løsninger kan hentes fra generel løsning homogent system:
  
  ,
  hvis vi sekventielt sætter parameterværdierne lig med (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
  Udvidelse af den generelle løsning i grundlæggende system løsninger er en registrering af en generel løsning i form af en lineær kombination af løsninger, der hører til grundsystemet.
  Sætning. For det lineære system homogene ligninger havde en ikke-nul-løsning, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at Δ ≠ 0.
  Så hvis determinanten Δ ≠ 0, så har systemet en unik løsning.
  Hvis Δ ≠ 0, så har systemet af lineære homogene ligninger et uendeligt antal løsninger.
  Sætning. For at et homogent system skal have en løsning, der ikke er nul, er det nødvendigt og tilstrækkeligt r(A)< n .
  Bevis:
  1) r der kan ikke være mere n(matricens rang overstiger ikke antallet af kolonner eller rækker);
  2) r< n , fordi Hvis r = n, så er hoveddeterminanten for systemet Δ ≠ 0, og ifølge Cramers formler er der en unik triviel løsning x 1 = x 2 = … = x n = 0, hvilket strider mod betingelsen. Midler, r(A)< n .
  Følge. For at få et homogent system n lineære ligninger med n ukendte havde en ikke-nul løsning, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at Δ = 0.

Systemer af lineære ligninger

Ligningssystemet er som følger:

hvor a ij, b i er numeriske koefficienter, x i er variable, kaldet system af lineære ligninger.

At løse et system af lineære ligninger betyder at angive alle løsninger af systemet, det vil sige sådanne sæt af værdier af variable, der gør systemets ligninger til identiteter.

Systemet af lineære ligninger kaldes:

fælles, hvis det har mindst én løsning;

inkonsekvent, hvis det ikke har nogen løsninger;

bestemt, om det har en unik løsning;

homogen, hvis alle b i = 0;

heterogen, hvis alle b i ≠ 0.

Cramers regel

(Gabriel Cramer (1704-1752) schweizisk matematiker)

Denne metode er kun anvendelig i tilfælde af lineære ligningssystemer, hvor antallet af variable falder sammen med antallet af ligninger. Derudover er det nødvendigt at indføre restriktioner på systemkoefficienterne. Det er nødvendigt, at alle ligninger er lineært uafhængige, dvs. ingen ligning ville være en lineær kombination af de andre.

For at gøre dette er det nødvendigt, at determinanten af ​​systemmatricen ikke er lig med 0.

 = det A  0;

Sætning. (Cramers regel):

System af n ligninger med n ukendte

Hvis determinanten af ​​systemmatricen ikke er lig med nul, så har systemet en unik løsning, og denne løsning findes ved hjælp af formlerne:

x i = ;

Hvor  - hoveddeterminant, sammensat af numeriske koefficienter for ukendte, og  i – hjælpekvalifikation, opnået fra den vigtigste ved at erstatte den i-te kolonne med en kolonne med frie udtryk b i.

 i =

Eksempel. Løs systemet ved hjælp af Cramers regel.

;

 1 =
;  2 =
;  3 =
;

x 1 = ; x 2 = ; x 3 = ;

Eksempel. Find løsningen på ligningssystemet:

 =
= 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

 1 =
= (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

 2 =
= 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

 3 =
= 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

Hvis systemet er homogent, dvs. b i = 0, så har systemet ved 0 en unik nulløsning x 1 = x 2 = … = x n = 0.

Matrix metode

Matrixmetoden er anvendelig til at løse ligningssystemer, hvor antallet af ligninger er lig med antallet af ukendte.

Denne metode er praktisk til at løse lavordenssystemer. Det er baseret på anvendelsen af ​​egenskaber ved matrixmultiplikation.

Lad ligningssystemet være givet:

Lad os introducere følgende notation:

A=
- matrix af systemkoefficienter;

B = matrix – kolonne med frie led;

X = - matrix – kolonne af ukendte.

Ligningssystemet kan skrives i matrixform:

Lad os lave følgende transformation: A -1 AX = A -1 B,

fordi A -1 A = E, så EX = A -1 B, får vi

X = A -1  B - løsning af matrixligningen

Eksempel . Løs systemet ved hjælp af matrixmetoden

Løsning. Lad os betegne:

,
,
.

Vi får matrixligningen
.

Hans beslutning
, dvs.

(At finde den inverse matrix blev diskuteret tidligere).

Gauss metode

(Carl Friedrich Gauss (1777-1855) tysk matematiker)

I modsætning til matrix-metoden og Cramer-metoden kan Gauss-metoden anvendes på systemer af lineære ligninger med ethvert nummer ligninger og ukendte. Essensen af ​​metoden er konsekvent udelukkelse ukendt.

Overvej et system af lineære ligninger:

Definition: Matrix sammensat af koefficienter for ukendte systemer, kaldes systemmatricen.

Definition: En matrix kaldes en udvidet matrix af et system, hvis en søjle med frie termer i systemet tilføjes til matrix A.

Den udvidede matrix er en kodet registrering af systemet. Rækkerne i matrixen svarer til systemets ligninger. At multiplicere en ligning med et tal og tilføje dette produkt med en anden ligning svarer til at gange en matrixrække med dette tal og addere produktet termisk med en anden matrixrække. Arbejde med ligninger kan således erstattes af arbejde med matrixrækker.

Definition: Matrix A kaldes trinvis, hvis:

A) enhver af dens rækker har mindst ét ​​element, der ikke er nul,

B) det første ikke-nul-element af hver linje, startende fra den anden, er placeret til højre for det ikke-nul-element i den foregående linje.

Gauss-metoden er en effektiv metode til at løse og studere systemer af lineære ligninger. Det består i, at dette system af lineære ligninger omdannes til et ækvivalent system af en trintype, som let kan løses og studeres. Anvendelsen af ​​den Gaussiske metode afhænger ikke af hverken antallet af ligninger eller antallet af ukendte i systemet.

Lad os se på ideen om den Gaussiske metode ved hjælp af specifikke eksempler.

Eksempel. Løs et system af lineære ligninger ved hjælp af Gauss-metoden.

Lad os skabe en udvidet matrix af systemet og ved hjælp af elementære transformationer bringe det til formen:

, hvorfra vi får: x 3 = 2; x 2 = 5; x 1 = 1.

Eksempel. Løs systemet ved hjælp af Gauss-metoden.

Lad os skabe en udvidet matrix af systemet.

Således kan det oprindelige system repræsenteres som:

Kursusprojekt forklarende note

Kursusprojekt

Og den tredje kolonne i matricen, finder vi hjælpe kvalifikationer: Find koefficienterne for polynomiet: Således... produkt: Find produktet: Find hovedet determinant: Vi finder hjælpe kvalifikationer og erstatte matrixen en efter en i...

Metodiske anbefalinger til udførelse af uafhængigt arbejde af en studerende i disciplinen "Matematik" for specialet

Retningslinier

Eksempel: beregn determinant anden orden 1) 2) 2. Beregn determinant tredje orden Determinant tredje orden kaldes... fra koefficienterne for de ukendte Lad os komponere hjælpe kvalifikationer system som følger: ... Så ...

Den Russiske Føderation som lærebog for studerende fra højere uddannelsesinstitutioner, der studerer sproglige specialiteter Moskva "Higher School" 2002

Lærebog

Replenishers, hjælpe verber, aspekt- og faseverber, intensiverende adverbier, demonstrativer kvalifikationer; heterogen... ved at kombinere et "materiale" ord med " hjælpe-grammatisk" ord. I overensstemmelse hermed, og...

Side 1

Hoveddeterminanten kompileres således, at den første kolonne indeholder koefficienter for parameteren, der er plottet på den vandrette akse. I I dette tilfælde det accepteres, at klK er forsinket pr lodret akse, a & 2it - vandret.

Hoveddeterminanten er lig nul, og mindst én hjælpedeterminant er ikke lig nul.

Den vigtigste determinant - Hurwitz er kompileret som følger.

Graf /C4 - x og dens skeletter.

Hoveddeterminanten for matricen P (eller Q) er af størrelsesordenen m, og udtrykket tilsvarende hoveddeterminanter betyder, at søjlerne i matrixen P, der indgår i den pågældende determinant, har samme tal og samme rækkefølge som rækkerne i matrixen. Q inkluderet i den anden determinant.

Hoveddeterminanten D(p), kaldet karakteristik, afhænger hverken af ​​den ønskede variabel eller af placeringen af ​​påføringen af ​​den forstyrrende kraft.

Vi sammensætter hoveddeterminanten A.

Vi sammensætter systemets hoveddeterminant og sidestiller det til nul. Vi vurderer stabilitet ud fra røddernes natur. Graden af ​​den karakteristiske ligning bestemmes af antallet af energikrævende elementer, der uafhængigt akkumulerer energi, under hensyntagen til polerne for hver af de frekvensafhængige styrede kilder, der er tilgængelige i kredsløbet. I nogle tilfælde, når man studerer stabilitet, er det nødvendigt at tage hensyn til ikke kun den første dominerende pol af en op-amp eller transistor, men også de resterende poler.

Da hoveddeterminanten for systemet (3.50) er lig nul, bestemmes egenvektorerne ikke entydigt, men inden for en konstant faktor.

Lad os udtrykke hoveddeterminanten D [formel (8.35)] gennem kredsløbets parametre.

Hvis hoveddeterminanten for et system af n lineære ligninger med n ukendte ikke er lig med nul, så har systemet en unik løsning, men hvis denne determinant er lig nul, så er systemet enten usikkert eller inkonsistent.

Hvis hoveddeterminanten for et homogent system (9) ikke er lig med nul, så har systemet ifølge den foregående sætning en unik løsning. Denne løsning er triviel. Hvis hoveddeterminanten er lig nul, så kan systemet, i overensstemmelse med sætning 2, være enten inkonsistent eller ubestemt. Imidlertid kan ligningssystemet (9) ikke være inkonsekvent, da der er en triviel løsning.

Hvis hoveddeterminanten for et homogent system (9) ikke er lig med nul, så har systemet ifølge den foregående sætning en unik løsning. Denne løsning er triviel. Hvis hoveddeterminanten er lig nul, så er systemet. Imidlertid kan ligningssystemet (9) ikke være inkonsekvent, da der er en triviel løsning.

Hvis hoveddeterminanten for et homogent system (9) ikke er lig med nul, så har systemet ifølge den foregående sætning en unik løsning. Denne løsning er triviel. Hvis hoveddeterminanten er lig nul, så kan systemet, i overensstemmelse med sætning 2, være enten inkonsistent eller ubestemt. Imidlertid kan ligningssystemet (9) ikke være inkonsekvent, da der er en triviel løsning.

KOSTROMA AFDELING AF MILITÆRE UNIVERSITET FOR RCB-BESKYTTELSE

Afdeling for automatisering af troppekontrol

Kun for lærere

"Jeg godkender"

Afdelingsleder nr. 9

Oberst YAKOVLEV A.B.

"____"______________ 2004

Lektor A.I. SMIRNOVA

"KVALIFIKATIONER.

LØSNING AF SYSTEMER AF LINEÆRE LIGNINGER"

FOREDRAG nr. 2 / 1

Behandlet på afdelingsmøde nr. 9

"____"__________ 2004

Protokol nr.___________

Kostroma, 2004.

Introduktion

1. Anden og tredje ordens determinanter.

2. Determinanters egenskaber. Dekomponeringssætning.

3. Cramers sætning.

Konklusion

Litteratur

1. V.E. Schneider et al. Kort kursus Højere matematik, bind I, kap. 2, stk.

2. V.S. Shchipachev, Højere matematik, kapitel 10, stk.

INTRODUKTION

Foredraget diskuterer determinanter for anden og tredje orden og deres egenskaber. Og også Cramers sætning, som giver dig mulighed for at løse systemer af lineære ligninger ved hjælp af determinanter. Determinanter bruges også senere i emnet "Vektoralgebra" ved beregning vektor produkt vektorer.

1. undersøgelsesspørgsmål BESTEMMELSER FOR ANDEN OG TREDJE

BESTILLE

Overvej en tabel med fire tal i formen

Tallene i tabellen er angivet med et bogstav med to indekser. Det første indeks angiver rækkenummeret, det andet kolonnenummeret.

DEFINITION 1. Anden ordens determinant hedder udtryk venlig :

(1)

Tal EN 11, …, EN 22 kaldes elementer af determinanten.

Diagonal, dannet af elementer EN 11 ; EN 22 kaldes den vigtigste, og diagonalen dannet af elementerne EN 12 ; EN 21 - side om side.

Således er andenordens determinant lig med forskellen mellem produkterne af elementerne i hoved- og sekundærdiagonalerne.

Bemærk, at svaret er et tal.

EKSEMPLER. Beregn:

Overvej nu en tabel med ni tal, skrevet i tre rækker og tre kolonner:

DEFINITION 2. Tredje ordens determinant kaldes et udtryk for formen :

Elementer EN 11; EN 22 ; EN 33 – danner hoveddiagonalen.

Tal EN 13; EN 22 ; EN 31 – danner en sidediagonal.

Lad os skematisk afbilde, hvordan plus- og minusvilkårene dannes:

" + " " – "

Plusset inkluderer: produktet af elementerne på hoveddiagonalen, de resterende to led er produktet af elementerne placeret ved hjørnerne af trekanter med baser parallelle med hoveddiagonalen.

Minusvilkårene er dannet efter samme skema med hensyn til den sekundære diagonal.

Denne regel for beregning af tredjeordens determinant kaldes

Regel T reugolnikov.

EKSEMPLER. Beregn ved hjælp af trekantsreglen:

KOMMENTAR. Determinanter kaldes også determinanter.

2. undersøgelsesspørgsmål EGENSKABER AF DETERMINATIONER.

UDVIDELSESTEOREM

Ejendom 1. Værdien af ​​determinanten ændres ikke, hvis dens rækker ombyttes med de tilsvarende kolonner.

.

Ved at afsløre begge determinanter er vi overbeviste om gyldigheden af ​​ligheden.

Egenskab 1 etablerer ligheden mellem rækkerne og kolonnerne i determinanten. Derfor vil vi formulere alle yderligere egenskaber for determinanten for både rækker og kolonner.

Ejendom 2. Når du omarrangerer to rækker (eller kolonner), ændrer determinanten sit fortegn til det modsatte og bevarer sin absolutte værdi .

.

Ejendom 3. Samlet multiplikator række elementer (eller kolonne)kan udtages som et determinant tegn.

.

Ejendom 4. Hvis determinanten har to identiske rækker (eller kolonner), så er den lig nul.

Denne egenskab kan bevises ved direkte verifikation, eller du kan bruge ejendom 2.

Lad os betegne determinanten med D. Når to identiske første og anden række omarrangeres, vil den ikke ændre sig, men ifølge den anden egenskab skal den skifte fortegn, dvs.

D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.

Ejendom 5. Hvis alle elementer i en streng (eller kolonne)er lig nul, så er determinanten lig nul.

Denne ejendom kan betragtes som særlig situation ejendomme 3 kl

Ejendom 6. Hvis elementerne i to linjer (eller kolonner)determinanterne er proportionale, så er determinanten lig med nul.

.

Kan bevises ved direkte verifikation eller ved at bruge egenskaber 3 og 4.

Ejendom 7. Værdien af ​​determinanten ændres ikke, hvis de tilsvarende elementer i en anden række (eller kolonne) lægges til elementerne i en række (eller kolonne), ganget med det samme tal.

.

Bevist ved direkte verifikation.

Ansøgning angivne egenskaber kan i nogle tilfælde lette processen med at beregne determinanter, især af tredje orden.

Til det følgende skal vi bruge begreberne mindre og algebraisk komplement. Lad os overveje disse begreber for at definere den tredje orden.

DEFINITION 3. Mindre af et givet element af en tredjeordens determinant kaldes en andenordens determinant opnået fra et givet element ved at krydse rækken og kolonnen ud i skæringspunktet, hvor det givne element står.

Element mindre EN jeg j betegnet med M jeg j. Altså for elementet EN 11 mindre

Den opnås ved at krydse den første række og den første kolonne over i tredjeordens determinant.

DEFINITION 4. Algebraisk komplement af elementet af determinanten de kalder det mol ganget med (-1)k , Hvor k - summen af ​​række- og kolonnenumrene i skæringspunktet, hvor dette element står.

Algebraisk komplement til et element EN jeg j betegnet med EN jeg j .

Dermed, EN jeg j =

.

Lad os nedskrive de algebraiske tilføjelser for elementerne EN 11 og EN 12.

. .

En nyttig regel at huske: algebraisk komplement element af determinanten er lig med dens undertegnede minor plus, hvis summen af ​​række- og kolonnenumrene, som elementet optræder i, er også selvom, og med et skilt minus, hvis dette beløb ulige .

Matrix - rektangulært bord, der består af tal.

Lad det være givet kvadratisk matrix 2 ordrer:

Determinanten (eller determinanten) af orden 2 svarende til en given matrix er tallet

En 3. ordens determinant (eller determinant) svarende til en matrix er et tal

Eksempel 1: Find determinanter af matricer og

System af lineære algebraiske ligninger

Lad et system med 3 lineære ligninger med 3 ukendte være givet

System (1) kan skrives i matrix-vektorform

hvor A er koefficientmatrixen

B - udvidet matrix

X er den nødvendige komponentvektor;

Løsning af ligningssystemer ved hjælp af Cramers metode

Lad et system af lineære ligninger med to ubekendte være givet:

Lad os overveje at løse systemer af lineære ligninger med to og tre ubekendte ved hjælp af Cramers formler. Sætning 1. Hvis systemets hoveddeterminant er forskellig fra nul, så har systemet en løsning, og en unik. Løsningen af ​​systemet bestemmes af formlerne:

hvor x1, x2 er rødderne til ligningssystemet,

Systemets hoveddeterminant, x1, x2 er hjælpedeterminanter.

Hjælpe-kvalifikationer:

Løsning af systemer af lineære ligninger med tre ubekendte ved hjælp af Cramers metode.

Lad et system af lineære ligninger med tre ubekendte være givet:

Sætning 2. Hvis systemets hoveddeterminant er forskellig fra nul, så har systemet en løsning, og en unik. Løsningen af ​​systemet bestemmes af formlerne:

hvor x1, x2, x3 er rødderne til ligningssystemet,

Systemets vigtigste determinant,

x1, x2, x3 er hjælpedeterminanter.

Systemets hoveddeterminant bestemmes af:

Hjælpe-kvalifikationer:

• 1. Lav en tabel (matrix) over koefficienter for ukendte og beregn hoveddeterminanten.
• 2. Find - en yderligere determinant af x opnået ved at erstatte den første kolonne med en kolonne med frie led.
• 3. Find - en yderligere determinant af y opnået ved at erstatte den anden kolonne med en kolonne med frie led.
• 4. Find - en yderligere determinant af z, opnået ved at erstatte den tredje kolonne med en kolonne med frie udtryk. Hvis systemets hoveddeterminant ikke er lig med nul, udføres trin 5.
• 5. Find værdien af ​​variablen x ved hjælp af formlen x / .
• 6. Find værdien af ​​variablen y ved hjælp af formlen y /.
• 7. Find værdien af ​​variablen z ved hjælp af formlen z / .
• 8. Skriv svaret ned: x=...; y=…, z=….