Homogen

I denne lektion vil vi se på den såkaldte første ordens homogene differentialligninger. Sammen med adskillelige ligninger Og lineære inhomogene ligninger Denne type fjernbetjening findes i næsten ethvert testarbejde om emnet diffusorer. Hvis du kom til siden fra en søgemaskine eller ikke er særlig sikker på at forstå differentialligninger, så anbefaler jeg først på det kraftigste at gennemgå en indledende lektion om emnet - Første ordens differentialligninger. Faktum er, at mange af principperne for løsning af homogene ligninger og de anvendte teknikker vil være nøjagtig de samme som for de simpleste ligninger med adskillelige variable.

Hvad er forskellen mellem homogene differentialligninger og andre typer differentialligninger? Den nemmeste måde at forklare dette på er med et specifikt eksempel.

Eksempel 1

Løsning:
Hvad for det første skal analyseres, når der tages stilling nogen differentialligning første ordre? Først og fremmest er det nødvendigt at kontrollere, om det er muligt straks at adskille variablerne ved hjælp af "skole"-handlinger? Normalt udføres denne analyse mentalt eller ved at forsøge at adskille variablerne i et udkast.

I dette eksempel variabler kan ikke adskilles(du kan prøve at smide udtryk fra del til del, hæve faktorer ud af parentes osv.). Forresten, i dette eksempel er det faktum, at variablerne ikke kan opdeles, ret indlysende på grund af tilstedeværelsen af ​​multiplikatoren.

Spørgsmålet opstår: hvordan løser man dette diffuse problem?

Skal tjekke og Er denne ligning ikke homogen?? Verifikationen er enkel, og selve verifikationsalgoritmen kan formuleres som følger:

Til den oprindelige ligning:

i stedet for vi erstatter, i stedet for vi erstatter, vi rører ikke ved derivatet:

Bogstavet lambda er en betinget parameter, og her spiller det følgende rolle: hvis det som følge af transformationer er muligt at "ødelægge" ALLE lambdaer og få den oprindelige ligning, så er denne differentialligning er homogen.

Det er indlysende, at lambdas straks reduceres med eksponenten:

Nu på højre side tager vi lambdaen ud af beslag:

og divider begge dele med den samme lambda:

Som resultat Alle Lambdaerne forsvandt som en drøm, som en morgentåge, og vi fik den oprindelige ligning.

Konklusion: Denne ligning er homogen

Hvordan løser man en homogen differentialligning?

Jeg har meget gode nyheder. Absolut alle homogene ligninger kan løses ved hjælp af en enkelt (!) standardsubstitution.

Funktionen "spil" skal være erstatte arbejde en eller anden funktion (også afhængig af "x") og "x":

De skriver næsten altid kort:

Vi finder ud af, hvad derivatet bliver til med en sådan udskiftning, vi bruger reglen om differentiering af produktet. Hvis så:

Vi erstatter i den oprindelige ligning:

Hvad vil sådan en erstatning give? Efter denne udskiftning og forenklinger har vi garanteret får vi en ligning med adskillelige variable. HUSK som første kærlighed :) og følgelig .

Efter substitution udfører vi maksimale forenklinger:

Da en funktion er afhængig af "x", kan dens afledede skrives som en standardbrøk: .
Dermed:

Vi adskiller variablerne, mens du på venstre side kun skal samle "te", og på højre side - kun "x":

Variablerne er adskilt, lad os integrere:


Ifølge mit første tekniske tip fra artiklen Første ordens differentialligninger i mange tilfælde er det tilrådeligt at "formulere" en konstant i form af en logaritme.

Efter at ligningen er blevet integreret, skal vi udføre omvendt udskiftning, den er også standard og unik:
Hvis så
I dette tilfælde:

I 18-19 tilfælde ud af 20 skrives løsningen til en homogen ligning som et generelt integral.

Svar: generelt integral:

Hvorfor er svaret på en homogen ligning næsten altid givet i form af et generelt integral?
I de fleste tilfælde er det umuligt at udtrykke "spillet" eksplicit (for at opnå en generel løsning), og hvis det er muligt, så viser den generelle løsning sig oftest at være besværlig og klodset.

Så for eksempel, i det betragtede eksempel, kan en generel løsning opnås ved at veje logaritmer på begge sider af det generelle integral:

- Nå, det er i orden. Selvom du må indrømme, at den stadig er lidt skæv.

Forresten, i dette eksempel skrev jeg ikke det generelle integral helt "anstændigt". Det er ikke en fejl, men i en "god" stil minder jeg dig om, at det generelle integral normalt skrives i formen . For at gøre dette, umiddelbart efter integration af ligningen, skal konstanten skrives uden nogen logaritme (her er undtagelsen fra reglen!):

Og efter den omvendte substitution, få det generelle integral i den "klassiske" form:

Det modtagne svar kan kontrolleres. For at gøre dette skal du differentiere det generelle integral, det vil sige finde afledet af en funktion specificeret implicit:

Vi slipper af med brøker ved at gange hver side af ligningen med:

Den oprindelige differentialligning er opnået, hvilket betyder, at løsningen er fundet korrekt.

Det er tilrådeligt altid at tjekke. Men homogene ligninger er ubehagelige, fordi det normalt er svært at kontrollere deres generelle integraler - dette kræver en meget, meget anstændig differentieringsteknik. I det betragtede eksempel var det allerede under verifikationen nødvendigt at finde ikke de enkleste derivater (selvom selve eksemplet er ret simpelt). Hvis du kan tjekke det, så tjek det!

Eksempel 2

Tjek ligningen for homogenitet og find dens generelle integral.

Skriv svaret i skemaet

Dette er et eksempel, som du selv kan bestemme - så du bliver fortrolig med selve handlingsalgoritmen. Du kan udføre kontrollen i ro og mag, fordi... her er det ret kompliceret, og jeg gad ikke engang præsentere det, ellers kommer du ikke til sådan en galning igen :)

Og nu det lovede vigtige punkt, nævnt i begyndelsen af ​​emnet,
Jeg vil fremhæve med fede sorte bogstaver:

Hvis vi under transformationer "nulstiller" multiplikatoren (ikke en konstant)ind i nævneren, så RISIKKER vi at miste løsninger!

Og faktisk stødte vi på dette i det første eksempel indledende lektion om differentialligninger. I processen med at løse ligningen viste "y" sig at være i nævneren: , men er naturligvis en løsning til DE, og som et resultat af en ulige transformation (division) er der enhver chance for at miste den! En anden ting er, at den blev inkluderet i den generelle løsning ved nulværdien af ​​konstanten. Nulstilling af "X" i nævneren kan også ignoreres, fordi opfylder ikke den originale diffuser.

En lignende historie med den tredje ligning i samme lektion, i løbet af hvilken løsning vi "faldt" ind i nævneren. Her var det strengt taget nødvendigt at tjekke om denne diffuser er løsningen? Det er det trods alt! Men selv her "viste alt fint", da denne funktion var inkluderet i det generelle integral kl.

Og hvis dette ofte virker med "adskillelige" ligninger, så virker det måske ikke med homogene og nogle andre diffusere. Højst sandsynligt.

Lad os analysere de problemer, der allerede er løst i denne lektion: in Eksempel 1 der var en "nulstilling" af X, men det kan ikke være en løsning på ligningen. Men i Eksempel 2 vi delte os i , men han slap også afsted med det: Da løsningerne ikke kunne være gået tabt, er de simpelthen ikke her. Men jeg skabte selvfølgelig "glade lejligheder" med vilje, og det er ikke et faktum, at det i praksis er dem, der vil støde på:

Eksempel 3

Løs differentialligning

Er det ikke et simpelt eksempel? ;-)

Løsning: homogeniteten af ​​denne ligning er indlysende, men stadig - på første trin Vi tjekker ALTID om det er muligt at adskille variablerne. For ligningen er også homogen, men variablerne i den adskilles let. Ja, der er nogle!

Efter at have tjekket for "adskillelighed", laver vi en erstatning og forenkler ligningen så meget som muligt:

Vi adskiller variablerne, samler "te" til venstre og "x" til højre:

Og STOP her. Når vi dividerer med, risikerer vi at miste to funktioner på én gang. Siden , disse er funktionerne:

Den første funktion er åbenbart en løsning på ligningen . Vi tjekker den anden - vi erstatter også dens derivat i vores diffuser:

– den korrekte lighed opnås, hvilket betyder, at funktionen er en løsning.

OG vi risikerer at miste disse beslutninger.

Derudover viste nævneren sig at være "X", udskiftningen indebærer dog, at den ikke er nul. Husk dette faktum. Men! Sørg for at tjekke, er løsningen til den ORIGINALE differentialligning. Nej er ikke.

Lad os notere alt dette og fortsætte:

Jeg må sige, jeg var heldig med integralet af venstre side; det kan være meget værre.

Vi samler en enkelt logaritme på højre side og smider lænkerne:

Og nu bare den omvendte udskiftning:

Lad os gange alle led med:

Nu skal du tjekke - om "farlige" løsninger indgik i det generelle integral. Ja, begge løsninger blev inkluderet i det generelle integral ved nulværdien af ​​konstanten: , så de behøver ikke at angives yderligere i svar:

generelt integral:

Undersøgelse. Ikke engang en test, men ren fornøjelse :)

Den oprindelige differentialligning er opnået, hvilket betyder, at løsningen er fundet korrekt.

For at løse det selv:

Eksempel 4

Udfør homogenitetstest og løs differentialligning

Tjek det generelle integral ved differentiering.

Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

Lad os overveje et par eksempler, når der gives en homogen ligning med færdige differentialer.

Eksempel 5

Løs differentialligning

Dette er et meget interessant eksempel, en hel thriller!

Løsning Vi vil vænne os til at designe det mere kompakt. Først mentalt eller på et udkast sørger vi for, at variablerne ikke kan adskilles her, hvorefter vi udfører en test for homogenitet - dette udføres normalt ikke på et endeligt udkast. (medmindre det er specifikt påkrævet). Løsningen begynder således næsten altid med indtastningen: " Denne ligning er homogen, lad os erstatte: ...».

Hvis en homogen ligning indeholder færdige differentialer, kan den løses ved en modificeret substitution:

Men jeg anbefaler ikke at bruge en sådan substitution, da det vil vise sig at være en kinesisk mur af kinesiske forskelle, hvor du har brug for et øje og et øje. Fra et teknisk synspunkt er det mere fordelagtigt at skifte til den "stiplede" betegnelse af derivatet; For at gøre dette deler vi alle ligningens udtryk med:

Og her har vi allerede lavet en "farlig" transformation! Nuldifferensen svarer til en familie af rette linjer parallelt med aksen. Er de rødderne til vores DU? Lad os erstatte i den oprindelige ligning:

Denne lighed er gyldig, hvis det vil sige, når vi dividerer med, risikerer vi at miste løsningen, og vi mistede ham- siden det ikke længere tilfredsstiller den resulterende ligning .

Det skal bemærkes, at hvis vi i første omgang ligningen blev givet , så ville der ikke være tale om roden. Men vi har det, og vi fangede det i tide.

Vi fortsætter løsningen med en standardudskiftning:
:

Efter substitution forenkler vi ligningen så meget som muligt:

Vi adskiller variablerne:

Og her STOP igen: Når vi dividerer med, risikerer vi at miste to funktioner. Siden , disse er funktionerne:

Det er klart, at den første funktion er en løsning på ligningen . Vi tjekker den anden - vi erstatter også dens afledte:

- modtaget ægte ligestilling, hvilket betyder, at funktionen også er en løsning på differentialligningen.

Og når vi dividerer med risikerer vi at miste disse løsninger. De kan dog indgå i det generelle integral. Men de kommer måske ikke ind

Lad os tage dette til efterretning og integrere begge dele:

Integralet af venstre side løses på en standard måde vha fremhæve en komplet firkant, men det er meget mere praktisk at bruge i diffusorer metode til usikre koefficienter:

Ved hjælp af metoden med ubestemte koefficienter udvider vi integranden til en sum af elementære brøker:


Dermed:

Find integralerne:

– da vi kun har tegnet logaritmer, skubber vi også konstanten under logaritmen.

Før udskiftning igen forenkle alt, hvad der kan forenkles:

Nulstilling af kæder:

Og den omvendte udskiftning:

Lad os nu huske på de "tabte ting": Løsningen var inkluderet i det generelle integral på , men den "fløj forbi kasseapparatet", fordi viste sig at være nævneren. Derfor tildeles det i svaret en separat sætning, og ja - glem ikke den tabte løsning, som i øvrigt også viste sig at være nedenfor.

Svar: generelt integral: . Flere løsninger:

Det er ikke så svært at udtrykke den generelle løsning her:
, men dette er allerede et show-off.

Praktisk dog til kontrol. Lad os finde den afledede:

og erstatning til venstre side af ligningen:

– som et resultat blev den højre side af ligningen opnået, hvilket var det, der skulle kontrolleres.

Følgende diffuser er alene:

Eksempel 6

Løs differentialligning

Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen. Prøv at udtrykke den generelle løsning her på samme tid til praksis.

I den sidste del af lektionen vil vi overveje et par mere typiske opgaver om emnet:

Eksempel 7

Løs differentialligning

Løsning: Lad os gå ad den slagne vej. Denne ligning er homogen, lad os lave erstatningen:

"X" er fint her, men hvad med det kvadratiske trinomium? Da det ikke kan nedbrydes i faktorer: , så mister vi absolut ikke løsninger. Sådan ville det altid være! Vælg den komplette firkant i venstre side og integrer:

Der er intet at forenkle her, og derfor den omvendte erstatning:

Svar: generelt integral:

Eksempel 8

Løs differentialligning

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd.

Så:

For ulige konverteringer, tjek ALTID (i hvert fald verbalt), Mister du dine løsninger? Hvad er disse transformationer? Typisk at forkorte eller dele noget. Så når du for eksempel dividerer med, skal du tjekke om funktionerne er løsninger på differentialligningen. Samtidig er der ikke længere behov for et sådant tjek, når man dividerer med - på grund af at denne divisor ikke går i nul.

Her er en anden farlig situation:

Her, for at slippe af med , bør du tjekke, om DE er en løsning. Ofte bruges "x" og "y" som en sådan multiplikator, og ved at reducere dem mister vi funktioner, der kan vise sig at være løsninger.

På den anden side, hvis noget I INDLEDNING er i nævneren, så er der ingen grund til en sådan bekymring. I en homogen ligning behøver du således ikke bekymre dig om funktionen, da den er "erklæret" i nævneren.

De anførte finesser mister ikke deres relevans, selvom problemet kræver kun at finde en bestemt løsning. Der er, omend en lille, chance for, at vi mister præcis den krævede særlige løsning. Er det sandt Cauchy problem i praktiske opgaver med homogene ligninger spørges det ret sjældent. Der er dog sådanne eksempler i artiklen Ligninger reduceres til homogene, som jeg anbefaler at studere “hot on the heels” for at styrke dine løsningsevner.

Der er også mere komplekse homogene ligninger. Vanskeligheden ligger ikke i variable ændringer eller simplifikationer, men i de ret vanskelige eller sjældne integraler, der opstår som følge af adskillelse af variable. Jeg har eksempler på løsninger på sådanne homogene ligninger - skræmmende integraler og skræmmende svar. Men vi vil ikke tale om dem, for i de næste lektioner (se nedenunder) Jeg har stadig tid til at torturere dig, jeg vil gerne se dig frisk og optimistisk!

God forfremmelse!

Løsninger og svar:

Eksempel 2: Løsning: Lad os kontrollere ligningen for homogenitet til dette formål i den oprindelige ligning i stedet for lad os erstatte , og i stedet for lad os erstatte:

Som et resultat opnås den oprindelige ligning, hvilket betyder, at denne DE er homogen.

For eksempel funktionen
er en homogen funktion af den første dimension, da

er en homogen funktion af den tredje dimension, da

er en homogen funktion af nuldimensionen, da

, dvs.
.

Definition 2. Første ordens differentialligning y" = f(x, y) kaldes homogen, hvis funktionen f(x, y) er en homogen funktion af nuldimensionen mht x Og y eller, som man siger, f(x, y) er en homogen funktion af grad nul.

Det kan repræsenteres i formen

hvilket giver os mulighed for at definere en homogen ligning som en differentialligning, der kan transformeres til formen (3.3).

Udskiftning
reducerer en homogen ligning til en ligning med adskillelige variable. Faktisk efter udskiftning y =xz vi får
,
Ved at adskille variablerne og integrere, finder vi:

,

Eksempel 1. Løs ligningen.

Δ Vi antager y =zx,
Erstat disse udtryk y Og D y ind i denne ligning:
eller
Vi adskiller variablerne:
og integrere:
,

Udskiftning z på , vi får
.

Eksempel 2. Find den generelle løsning af ligningen.

Δ I denne ligning P (x,y) =x 2 -2y 2 ,Q(x,y) =2xy er homogene funktioner af den anden dimension, derfor er denne ligning homogen. Det kan repræsenteres i formen
og løse det samme som ovenfor. Men vi bruger en anden form for optagelse. Lad os sætte y = zx, hvor D y = zdx + xdz. At erstatte disse udtryk i den oprindelige ligning, vil vi have

dx+2 zxdz = 0 .

Vi adskiller variablerne ved at tælle

.

Lad os integrere denne ligning led for led

, hvor

det er
. Vende tilbage til den forrige funktion
finde en generel løsning


Eksempel 3 . Find den generelle løsning til ligningen
.

Δ Kæde af transformationer: ,y = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

Foredrag 8.

4. Lineære differentialligninger af første orden En lineær differentialligning af første orden har formen

Her er det frie led, også kaldet højre side af ligningen. Vi vil overveje den lineære ligning i denne form i det følgende.

Hvis
0, så kaldes ligning (4.1a) lineær inhomogen. Hvis
0, så tager ligningen formen

og kaldes lineær homogen.

Navnet på ligning (4.1a) forklares ved, at den ukendte funktion y og dets afledte indtast det lineært, dvs. i første grad.

I en lineær homogen ligning er variablerne adskilt. Genskriver det i formularen
hvor
og ved at integrere får vi:
,de der.

Når divideret med vi mister beslutningen
. Det kan dog indgå i den fundne familie af løsninger (4.3), hvis vi antager det MED kan også tage værdien 0.

Der er flere metoder til løsning af ligning (4.1a). Ifølge Bernoullis metode, søges løsningen i form af et produkt af to funktioner af x:

En af disse funktioner kan vælges vilkårligt, da kun produktet uv skal opfylde den oprindelige ligning, bestemmes den anden ud fra ligning (4.1a).

Differentiering af begge sider af lighed (4.4), finder vi
.

Erstatning af det resulterende udtryk for derivatet , samt værdien på ind i ligning (4.1a), får vi
, eller

de der. som en funktion v Lad os tage løsningen af ​​den homogene lineære ligning (4.6):

(Her C Det er nødvendigt at skrive, ellers får du ikke en generel, men en bestemt løsning).

Vi ser således, at som et resultat af den anvendte substitution (4.4), er ligning (4.1a) reduceret til to ligninger med adskillelige variable (4.6) og (4.7).

Erstatning
Og v(x) ind i formel (4.4), får vi endelig

,

.

Eksempel 1. Find den generelle løsning til ligningen

 Lad os sætte
, Derefter
. Erstatning af udtryk Og ind i den oprindelige ligning, får vi
eller
(*)

Lad os sætte koefficienten til nul lig med :

Ved at adskille variablerne i den resulterende ligning har vi


(vilkårlig konstant C vi skriver ikke), herfra v= x. Fundet værdi v erstatte i ligning (*):

,
,
.

Derfor,
generel løsning til den oprindelige ligning.

Bemærk, at ligning (*) kunne skrives i en tilsvarende form:

.

Tilfældigt valg af en funktion u, men ikke v, kunne vi tro
. Denne løsning adskiller sig fra den, der kun overvejes ved at erstatte den v på u(og derfor u på v), så den endelige værdi på viser sig at være det samme.

På baggrund af ovenstående får vi en algoritme til løsning af en lineær differentialligning af første orden.

Bemærk yderligere, at nogle gange bliver en førsteordens ligning lineær if på betragtes som en uafhængig variabel, og x– afhængig, dvs. skifte roller x Og y. Dette kan gøres forudsat at x Og dx indtast ligningen lineært.

Eksempel 2 . Løs ligningen
.

Tilsyneladende er denne ligning ikke lineær i forhold til funktionen på.

Men hvis vi overvejer x som funktion af på, så givet det
, kan det bringes til formularen

(4.1 b)

Udskiftning på ,vi får
eller
. At dividere begge sider af den sidste ligning med produktet ydy, lad os bringe det til form

, eller
. (**)

Her P(y)=,
. Dette er en lineær ligning mht x. Vi tror
,
. Ved at erstatte disse udtryk med (**), får vi

eller
.

Lad os vælge v så
,
, hvor
;
. Næste har vi
,
,
.

Fordi
, så kommer vi til en generel løsning på denne ligning i formen

.

Bemærk, at i ligning (4.1a) P(x) Og Q (x) kan indgå ikke kun i form af funktioner fra x, men også konstanter: P= -en,Q= b. Lineær ligning

kan også løses ved hjælp af substitutionen y= uv og adskillelse af variabler:

;
.

Herfra
;
;
; Hvor
. Når vi frigør os fra logaritmen, får vi en generel løsning på ligningen

(Her
).

På b= 0 kommer vi til løsningen af ​​ligningen

(se eksponentiel vækstligning (2.4) ved
).

Først integrerer vi den tilsvarende homogene ligning (4.2). Som nævnt ovenfor har dens løsning formen (4.3). Vi vil overveje faktoren MED i (4.3) som funktion af x, dvs. i det væsentlige foretage en ændring af variabel

hvorfra, integrerende, vi finder

Bemærk, at ifølge (4.14) (se også (4.9)), er den generelle løsning af en inhomogen lineær ligning lig med summen af ​​den generelle løsning af den tilsvarende homogene ligning (4.3) og den særlige løsning af den inhomogene ligning defineret af det andet led inkluderet i (4.14) (og i (4.9)).

Når du løser specifikke ligninger, bør du gentage ovenstående beregninger i stedet for at bruge den besværlige formel (4.14).

Lad os anvende Lagrange-metoden på den ligning, der betragtes i eksempel 1 :

.

Vi integrerer den tilsvarende homogene ligning
.

Ved at adskille variablerne får vi
og frem
. Løsning af udtrykket med formel y = Cx. Vi leder efter en løsning på den oprindelige ligning i skemaet y = C(x)x. Ved at indsætte dette udtryk i den givne ligning får vi
;
;
,
. Den generelle løsning til den oprindelige ligning har formen

.

Afslutningsvis bemærker vi, at Bernoulli-ligningen er reduceret til en lineær ligning

, ( )

som kan skrives i formen

.

Udskiftning
det reducerer til en lineær ligning:

,
,
.

Bernoullis ligninger kan også løses ved hjælp af metoderne skitseret ovenfor.

Eksempel 3 . Find den generelle løsning af ligningen
.

 Kæde af transformationer:
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,


Færdiglavede svar på eksempler på homogene differentialligninger Mange elever leder efter den første orden (controllere af 1. orden er de mest almindelige i undervisningen), så kan du analysere dem i detaljer. Men før du går videre til at overveje eksempler, anbefaler vi, at du omhyggeligt læser det korte teoretiske materiale.
Ligninger af formen P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, hvor funktionerne P(x,y) og Q(x,y) er homogene funktioner af samme orden kaldes homogen differentialligning(ODR).

Skema til løsning af en homogen differentialligning

1. Først skal du anvende substitutionen y=z*x, hvor z=z(x) er en ny ukendt funktion (således er den oprindelige ligning reduceret til en differentialligning med adskillelige variable.
2. Produktets afledte er lig med y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z eller i differentialer dy=d(zx)=z*dx+ x*dz.
3. Dernæst erstatter vi den nye funktion y og dens afledte y" (eller dy) i DE med adskillelige variable i forhold til x og z.
4. Efter at have løst differentialligningen med separerbare variable, foretager vi den omvendte ændring y=z*x, derfor z= y/x, og vi får generel løsning (generelt integral) af en differentialligning.
5. Hvis startbetingelsen y(x 0)=y 0 er givet, så finder vi en særlig løsning på Cauchy-problemet. Det lyder let i teorien, men i praksis er det ikke alle, der har det så sjovt med at løse differentialligninger. Derfor, for at uddybe vores viden, lad os se på almindelige eksempler. Der er ikke meget at lære dig om nemme opgaver, så lad os gå videre til mere komplekse opgaver.

Beregninger af homogene differentialligninger af første orden

Eksempel 1.

Løsning: Divider højre side af ligningen med den variabel, der er en faktor ved siden af ​​den afledede. Som følge heraf ankommer vi kl homogen differentialligning af 0. orden

Og her blev der måske mange interesserede, hvordan bestemmer man rækkefølgen af ​​en funktion af en homogen ligning?
Spørgsmålet er ret relevant, og svaret på det er som følger:
på højre side erstatter vi værdien t*x, t*y i stedet for funktionen og argumentet. Ved forenkling opnås parameteren "t" til en vis grad k, som kaldes ligningens rækkefølge. I vores tilfælde vil "t" blive reduceret, hvilket svarer til 0. potens eller nulte orden af ​​en homogen ligning.
Dernæst kan vi på højre side flytte til den nye variabel y=zx; z=y/x.
Glem samtidig ikke at udtrykke den afledte af "y" gennem den afledede af den nye variabel. Ved reglen om dele finder vi

Ligninger i differentialer vil tage formen

Vi annullerer de almindelige vilkår på højre og venstre side og går videre til differentialligning med adskilte variable.

Lad os integrere begge sider af DE

For at lette yderligere transformationer indtaster vi straks konstanten under logaritmen

Ifølge logaritmernes egenskaber svarer den resulterende logaritmiske ligning til følgende

Denne post er ikke en løsning (svar) endnu; det er nødvendigt at vende tilbage til den udførte udskiftning af variabler

På denne måde finder de generel løsning af differentialligninger. Hvis du omhyggeligt læste de foregående lektioner, så sagde vi, at du frit skulle kunne bruge skemaet til beregning af ligninger med adskilte variable, og denne form for ligninger skal beregnes for mere komplekse typer fjernbetjening.

Eksempel 2. Find integralet af en differentialligning

Løsning: Ordningen til beregning af homogene og kombinerede styresystemer er nu bekendt for dig. Vi flytter variablen til højre side af ligningen, og udtager også x 2 i tæller og nævner som en fælles faktor

Således får vi en homogen differentialligning af nulte orden.
Næste trin er at introducere erstatningen af ​​variablerne z=y/x, y=z*x, som vi hele tiden vil minde dig om, så du husker det

Herefter skriver vi fjernbetjeningen i differentialer

Dernæst transformerer vi afhængigheden til differentialligning med adskilte variable

og vi løser det ved integration.

Integralerne er enkle, de resterende transformationer udføres ud fra logaritmens egenskaber. Det sidste trin involverer blotlæggelse af logaritmen. Til sidst vender vi tilbage til den oprindelige erstatning og skriver den i formularen

Konstanten "C" kan have en hvilken som helst værdi. Alle, der læser ved korrespondance, har problemer med denne type ligninger til eksamen, så kig venligst godt efter og husk regnediagrammet.

Eksempel 3. Løs differentialligning

Løsning: Som følger af ovenstående metode løses differentialligninger af denne type ved at indføre en ny variabel. Lad os omskrive afhængigheden, så den afledede er uden en variabel

Yderligere, ved at analysere højre side, ser vi, at fragmentet -ee er til stede overalt og betegner det som en ny ukendt
z=y/x, y=z*x.
Find den afledede af y

Under hensyntagen til udskiftningen omskriver vi den originale DE i formularen

Vi forenkler de identiske udtryk og reducerer alle de resulterende til DE med adskilte variable

Ved at integrere begge sider af ligestillingen

vi kommer til en løsning i form af logaritmer

Ved at afsløre de afhængigheder, vi finder generel løsning til differentialligning

som, efter at have erstattet den indledende ændring af variabler i den, tager formen

Her er C en konstant, der kan bestemmes yderligere ud fra Cauchy-tilstanden. Hvis Cauchy-problemet ikke er specificeret, får det en vilkårlig reel værdi.
Det er al visdommen i beregningen af ​​homogene differentialligninger.

Funktionen f(x,y) kaldes homogen funktion af dens argumenter for dimension n, hvis identiteten er sand f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).

For eksempel er funktionen f(x,y)=x^2+y^2-xy en homogen funktion af den anden dimension, da

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).

Når n=0 har vi en nuldimensionsfunktion. For eksempel, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2) er en homogen funktion af nul dimension, da

(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^ 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)

Formens differentialligning \frac(dy)(dx)=f(x,y) siges at være homogen med hensyn til x og y, hvis f(x,y) er en homogen funktion af dens nuldimensionsargumenter. En homogen ligning kan altid repræsenteres som

\frac(dy)(dx)=\varphi\!\venstre(\frac(y)(x)\højre).

Ved at introducere den nye påkrævede funktion u=\frac(y)(x) , kan ligning (1) reduceres til en ligning med adskillende variable:

X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.

Hvis u=u_0 er roden af ​​ligningen \varphi(u)-u=0, så vil løsningen til den homogene ligning være u=u_0 eller y=u_0x (den rette linje, der går gennem origo).

Kommentar. Ved løsning af homogene ligninger er det ikke nødvendigt at reducere dem til (1). Du kan straks foretage substitutionen y=ux .

Eksempel 1. Løs homogen ligning xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.

Løsning. Lad os skrive ligningen i formen y"=\sqrt(1-(\venstre(\frac(y)(x)\højre)\^2}+\frac{y}{x} !} så denne ligning viser sig at være homogen med hensyn til x og y. Lad os sætte u=\frac(y)(x) , eller y=ux . Derefter y"=xu"+u . Ved at erstatte udtryk for y og y" i ligningen får vi x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). Vi adskiller variablerne: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). Herfra finder vi ved integration

\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), eller \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).

Da C_1|x|=\pm(C_1x) , så, der angiver \pm(C_1)=C , får vi \arcsin(u)=\ln(Cx), Hvor |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2) eller e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). Ved at erstatte u med \frac(y)(x) , har vi det generelle integral \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).

Derfor den generelle løsning: y=x\sin\ln(Cx) .

Når vi adskiller variabler, dividerede vi begge sider af ligningen med produktet x\sqrt(1-u^2) , så vi kunne miste løsningen, hvilket får dette produkt til at forsvinde.

Lad os nu sætte x=0 og \sqrt(1-u^2)=0 . Men x\ne0 på grund af substitutionen u=\frac(y)(x) , og fra relationen \sqrt(1-u^2)=0 får vi det 1-\frac(y^2)(x^2)=0, hvorfra y=\pm(x) . Ved direkte verifikation er vi overbevist om, at funktionerne y=-x og y=x også er løsninger på denne ligning.

Eksempel 2. Overvej familien af ​​integralkurver C_\alfa af en homogen ligning y"=\varphi\!\venstre(\frac(y)(x)\højre). Vis, at tangenterne i de tilsvarende punkter til kurverne defineret af denne homogene differentialligning er parallelle med hinanden.

Bemærk: Vi ringer passende de punkter på kurverne C_\alpha, der ligger på den samme stråle, der udgår fra oprindelsen.

Løsning. Per definition af de tilsvarende punkter har vi \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), så i kraft af selve ligningen y"=y"_1, hvor y" og y"_1 er vinkelkoefficienterne for tangenterne til integralkurverne C_\alpha og C_(\alpha_1), i henholdsvis punkterne M og M_1 (Fig. 12).

Ligninger reduceres til homogene

EN. Overvej en differentialligning af formen

\frac(dy)(dx)=f\!\venstre(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\right).

hvor a,b,c,a_1,b_1,c_1 er konstanter, og f(u) er en kontinuerlig funktion af dets argument u.

Hvis c=c_1=0, så er ligning (3) homogen, og den integreres som angivet ovenfor.

Hvis mindst et af tallene c,c_1 er forskelligt fra nul, skal der skelnes mellem to tilfælde.

1) Determinant \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. Ved at introducere nye variable \xi og \eta efter formlerne x=\xi+h,~y=\eta+k, hvor h og k stadig er ubestemte konstanter, reducerer vi ligning (3) til formen

\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\venstre(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\højre).

At vælge h og k som en løsning til et system af lineære ligninger

\begin(cases)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end(cases)~(\Delta\ne0),

får vi en homogen ligning \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\venstre(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\højre). Efter at have fundet dets generelle integral og erstattet \xi i det med x-h og \eta med y-k, får vi det generelle integral af ligning (3).

2) Determinant \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. System (4) har i det generelle tilfælde ingen løsninger, og metoden skitseret ovenfor er ikke anvendelig; I dette tilfælde \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda, og derfor har ligning (3) formen \frac(dy)(dx)=f\!\venstre(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\right). Substitutionen z=ax+by fører til en ligning med adskillelige variable.

Eksempel 3. Løs ligningen (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.

Løsning. Overvej et system af lineære algebraiske ligninger \begin(cases)x+y-2=0,\\x-y+4=0.\end(cases)

Determinant for dette system \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.

Systemet har en unik løsning x_0=-1,~y_0=3. Vi foretager erstatningen x=\xi-1,~y=\eta+3 . Så vil ligning (5) antage formen

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.

Denne ligning er en homogen ligning. Indstilling \eta=u\xi , får vi

(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, hvor (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.

Adskillelse af variabler \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.

Integrering, finder vi \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C) eller \xi^2(1+2u-u^2)=C .

Lad os vende tilbage til variablerne x,~y:

(x+1)^2\venstre=C_1 eller x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).

Eksempel 4. Løs ligningen (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.

Løsning. System af lineære algebraiske ligninger \begin(cases)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end(cases) uforenelig. I dette tilfælde er metoden anvendt i det foregående eksempel ikke egnet. For at integrere ligningen bruger vi substitutionen x+y=z, dy=dz-dx. Ligningen vil tage formen

(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.

Ved at adskille variablerne får vi

Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0 derfor x-2z-3\ln|z-2|=C.

Vender vi tilbage til variablerne x,~y, får vi det generelle integral af denne ligning

X+2y+3\ln|x+y-2|=C.

B. Nogle gange kan ligningen gøres homogen ved at erstatte variablen y=z^\alpha . Dette sker, når alle led i ligningen er af samme dimension, hvis variablen x er tildelt dimension 1, variablen y - dimension \alpha og den afledte \frac(dy)(dx) - dimension \alpha-1.

Eksempel 5. Løs ligningen (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.

Løsning. At lave en udskiftning y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dz, hvor \alpha er et vilkårligt tal for nu, som vi vælger senere. Ved at indsætte udtryk for y og dy i ligningen får vi

\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0 eller \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,

Bemærk, at x^2z^(3\alpha-1) har dimensionen 2+3\alpha-1=3\alpha+1, z^(\alpha-1) har dimension \alpha-1, xz^(3\alpha) har dimension 1+3\alpha. Den resulterende ligning vil være homogen, hvis målingerne af alle led er ens, dvs. hvis betingelsen er opfyldt 3\alpha+1=\alpha-1, eller \alpha-1.

Lad os sætte y=\frac(1)(z) ; den oprindelige ligning har formen

\venstre(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\right)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0 eller (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.

Lad os nu sætte z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. Så vil denne ligning tage formen (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, hvor u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.

Adskillelse af variablerne i denne ligning \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. Integrering, finder vi

\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C) eller \frac(x(u^2+1))(u)=C.

Ved at erstatte u gennem \frac(1)(xy) får vi det generelle integral af denne ligning 1+x^2y^2=Cy.

Ligningen har også en åbenlys løsning y=0, som fås fra det generelle integral ved C\to\infty, hvis integralet er skrevet på formen y=\frac(1+x^2y^2)(C), og gå derefter til grænsen ved C\to\infty . Funktionen y=0 er således en særlig løsning til den oprindelige ligning.

JavaScript er deaktiveret i din webbrowser.
For at udføre beregninger skal du aktivere ActiveX-kontroller!