При изчисляване на площите на полигоните се използва проста техника, наречена метод на разделяне. Разгледайте полигоните и показаните на фиг. 1, която показва как да разделим тези полигони на същия номерсъответно равни части (маркирани са равни части същите числа). Казват, че многоъгълниците са еднакви. Най-общо многоъгълниците се наричат равносъставни, ако полигонът е разрязан на крайно числочасти, можете, като подредите тези части по различен начин, да направите многоъгълник от тях. Лесно се вижда, че следната теорема е вярна: многоъгълници с равни пропорции имат еднаква площ или, както се казва, са с еднакъв размер. Например, успоредник е еквивалентен на правоъгълник (фиг. 2) и следователно, знаейки формулата за площта на правоъгълник, откриваме, че площта на успоредник е равна на произведението на дължините на неговата страна и съответната височина.
Този пример илюстрира метода на разделяне, който се състои в изчисляване на площта на многоъгълник, като се опитвате да го разделите на краен брой части по такъв начин, че тези части да могат да се използват за създаване на по-прост многоъгълник, чиято площ вече знаем. Например триъгълник е еквивалентен на успоредник със същата основа и половината от височината (фиг. 3); От това лесно се извлича формулата за площта на триъгълник. Този метод за изчисляване на площите на многоъгълници е бил известен на Евклид, който е живял преди повече от 2000 години.
Забележително е, че за горната теорема е вярна и обратната теорема: ако два многоъгълника са еднакви по размер, тогава те са еднакви по размер. Тази теорема, доказана през първата половина на 19в. Унгарският математик Ф. Болай и немски офицери любителя на математиката П. Гервин, може да се обясни по следния начин: ако има меденка във формата на многоъгълник и многоъгълна кутия със съвсем различна форма, но със същата площ, тогава меденката може да се нареже на краен брой парчета, така че да могат да бъдат поставени в тази кутия.
Във връзка с теоремата на Болай-Гервин възниква въпросът за налагането на допълнителни ограничения върху броя или разположението на частите, от които са съставени многоъгълници с еднаква площ. Например, представете си самолет под формата на лист цветна хартия, чиято една страна е червена, а другата бяла. Ако от такава хартия се изрежат два равни червени многоъгълника, тогава възниква въпросът дали единият от тях може да бъде нарязан на парчета, от които ще бъде възможно да се образува червен многоъгълник, равен на втория. Частите могат да се прехвърлят, без да се обръщат на грешната бяла страна. Отговорът на този въпрос също е положителен.
Версия на този проблем беше предложена в един от московските математически олимпиадив следната комична форма. Ексцентричен сладкар изпече торта (а тортата, за разлика от меденките, има горна страна, покрита със сметана) във формата на мащабен триъгълник. Направиха и кутия за тортата, но поради недоглеждане я залепиха неправилно, така че тортата и кутията се оказаха симетрични една на друга (фиг. 4). Необходимо е (възможно най-икономично) да нарежете тортата на парчета, които да могат да се поставят в тази кутия. Разбира се, части от тортата не могат да се поставят с крема надолу.
Интересен резултат, свързан с наслагване допълнителни изискваниявърху подреждането на частите, е получено през 1952 г. от швейцарските математици G. Hadwiger и P. Glür: еквивалентността на два многоъгълника с еднакъв размер може да се установи с помощта на дялове, в които съответните части имат успоредни страни. На пръв поглед това дори изглежда неправдоподобно: трудно е да се повярва, че два равни триъгълника, завъртяни един спрямо друг на произволен ъгъл (фиг. 5), винаги могат да бъдат разделени на равни части със съответно успоредни страни. Въпреки това има такова разделение на тези триъгълници, че частите, на които е разделен един триъгълник, се получават от съответните части на втория триъгълник паралелни трансфериили централни симетрии. Същото важи и за всеки два многоъгълника с еднакъв размер. Само паралелни прехвърляния на части обаче не могат да бъдат направени. Например, без значение как разрязваме успоредник на части, невъзможно е да образуваме триъгълник от тези части, като използваме паралелни транслации.
Интересът към тези въпроси е събуден известен доклад"Математически задачи", която беше прочетена изключителен математикД. Хилберт на Втория международен конгрес на математиците, проведен в началото на 19 веки 20 век От двадесет и трите проблема, поставени от Хилберт, повечето се отнасят до нови, бързо развиващи се области на математиката. И само един проблем - третият - е свързан с въпросите на училищната геометрия. Хилберт посочва, че при изчисляване на обема триъгълна пирамидаОт времето на Евклид се използва доста сложен преминаване към границата (виж Граница) (и понастоящем интеграция), докато при изчисляване на площта на триъгълник правим без подобно преминаване към границата. Същността на проблема на Хилберт е да обоснове използването на този „допълнителен“ (в сравнение с планиметрията) преминаване към границата, т.е. докажете, че без него не може да се изгради теорията на обемите на полиедрите. През 1900 г. М. Ден решава третия проблем на Хилберт, доказвайки това правилен тетраедъри куб с еднакъв размер не са еквивалентни. Хилберт предвиди, че този въпрос може да доведе до създаването на математически интересна и богата на резултати теория за равномерната композиция на многоъгълници и полиедри. Предсказанието на Хилберт се сбъдна брилянтно; Красивата сграда на съвременната теория на равносъстава е достоен паметник на учения.
Назад напред
внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако си заинтересован тази работа, моля, изтеглете пълната версия.
Цели на урока:Прегледайте темата „Площ на успоредник“. Изведете формулата за площта на триъгълник, въведете концепцията за фигури с еднакъв размер. Решаване на задачи по темата „Площи на фигури с еднаква площ“.
По време на часовете
I. Повторение.
1) Устно чрез завършен чертеж Изведете формулата за лицето на успоредник.
2) Каква е връзката между страните на успоредника и височините, паднали върху тях?
(според готовия чертеж)
връзката е обратно пропорционална.
3) Намерете втората височина (според готовия чертеж)
4) Намерете площта на успоредника, като използвате готовия чертеж.
Решение:
5) Сравнете повърхнините на успоредниците S1, S2, S3. (Те имат равни повърхнини, всички имат основа a и височина h).
Определение: Фигури, които имат равни повърхнини, се наричат равни по площ.
II. Разрешаване на проблем.
1) Докажете, че всяка права, минаваща през пресечната точка на диагоналите, я разделя на 2 равни части.
Решение:
2) IN успоредник ABCD CF и CE височини. Докажете, че AD ∙ CF = AB ∙ CE.
3) Даден е трапец с основи a и 4a. Възможно ли е през един от върховете му да се прекарат прави, които да разделят трапеца на 5 равни триъгълника?
Решение:Мога. Всички триъгълници са еднакви по размер.
4) Докажете, че ако вземете точка А от страната на успоредника и го свържете с върховете, тогава площта на получения триъгълник ABC е равна на половината от площта на успоредника.
Решение:
5) Тортата има формата на успоредник. Хлапето и Карлсън го разделят по следния начин: Хлапето посочва точка на повърхността на тортата, а Карлсон разрязва тортата на 2 парчета по права линия, минаваща през тази точка, и взема едно от парчетата за себе си. Всеки иска да вземе по-голямо парче. Къде трябва да постави точка Детето?
Решение:В точката на пресичане на диагоналите.
6) Изберете точка на диагонала на правоъгълника и начертайте прави линии през нея, успоредни на странитеправоъгълник. от различни страниОформиха се 2 правоъгълника. Сравнете площите им.
Решение:
III. Изучаване на темата „Площ на триъгълник“
започнете със задачата:
„Намерете лицето на триъгълник, чиято основа е a и височина h.“
Момчетата, използвайки концепцията за фигури с еднакъв размер, доказват теоремата.
Нека завършим триъгълника в успоредник.
Площта на триъгълник е равна на половината от площта на успоредник.
Упражнение: Начертайте еднакви триъгълници.
Използва се модел (3 цветни триъгълника се изрязват от хартия и се залепват в основите).
Упражнение No474. „Сравнете площите на двата триъгълника, в които даден триъгълникнеговата медиана."
На триъгълници идентични основания a и същата височина h. Триъгълниците имат еднаква площ
Извод: Фигури, които имат равни повърхнини, се наричат равни по площ.
Въпроси към класа:
- Еднаквите фигури еднакви ли са по размер?
- Формулирайте обратното твърдение. Вярно ли е?
- Вярно ли е:
а) Равностранни триъгълнициравни по размер?
б) Еднакви ли са по големина равностранните триъгълници с равни страни?
в) Еднакви ли са по големина квадратите с равни страни?
г) Докажете, че успоредниците са образувани от пресичането на две ленти с еднаква ширина под различни ъглинаклонени един към друг, еднакви по размер. Намерете успоредника с най-малка площ, образуван от пресечната точка на две ленти с еднаква ширина. (Показва се на модела: ивици с еднаква ширина)
IV. Стъпка напред!
Написано на дъската задачи по избор:
1. „Нарежете триъгълника на две прави линии, така че частите да могат да се сгънат в правоъгълник.“
Решение:
2. „Нарежете правоъгълника по права линия на 2 части, които могат да бъдат оформени в правоъгълен триъгълник.“
Решение:
3) В правоъгълника е начертан диагонал. В един от получените триъгълници се начертава медианата. Намерете съотношенията между площите на фигурите 
.
Решение:
Отговор: 
3. От олимпиадните задачи:
„В четириъгълника ABCD точка E е средата на AB, свързана с върха D, а F е средата на CD с върха B. Докажете, че площта на четириъгълника EBFD е 2 пъти по-малко площчетириъгълник ABCD.
Решение: начертайте диагонала BD.
Упражнение No475.
„Начертайте триъгълник ABC. Начертайте 2 прави линии през връх B, така че да разделят този триъгълник на 3 триъгълника с равни площи.”
Използвайте теоремата на Талес (разделете AC на 3 равни части).
V. Задача на деня.
За нея отделям най-дясната страна на дъската, на която пиша задачата. днес. Момчетата може или не могат да го решат. На урока тази задачаНие не решаваме днес. Просто тези, които се интересуват от тях, могат да го отпишат, да го решат у дома или в междучасието. Обикновено по време на междучасието много деца започват да решават задачата; ако я решат, те показват решението и аз го записвам в специална таблица. В следващия урок определено ще се върнем към този проблем, като отделим малка част от урока за решаването му (и на дъската може да бъде написан нов проблем).
„Успоредник се изрязва от успоредник. Разделете останалата част на 2 фигури с еднакъв размер.”
Решение:Секущата AB минава през пресечната точка на диагоналите на успоредници O и O1.
Допълнителни задачи (от олимпиадните задачи):
1) „В трапеца ABCD (AD || BC) върховете A и B са свързани с точка M – средата на страната CD. Площта на триъгълника ABM е m. Намерете лицето на трапеца ABCD.”
Решение:
Триъгълниците ABM и AMK са равни фигури, т.к AM – медиана.
S ∆ABK = 2m, ∆BCM = ∆MDK, S ABCD = S ∆ABK = 2m.
Отговор: S ABCD = 2m.
2) „В трапеца ABCD (AD || BC) диагоналите се пресичат в точка O. Докажете, че триъгълниците AOB и COD са еднакви по размер.“
Решение:
S ∆BCD = S ∆ABC , защото те имат общо основаниепр.н.е. и същата височина.
3) Страна AB произволен триъгълник ABC е удължено отвъд върха B, така че BP = AB, страната AC отвъд върха A, така че AM = CA, страната BC отвъд върха C, така че KS = BC. Колко пъти площта на триъгълника RMK повече площ триъгълник ABC?
Решение:
В триъгълник MVS: MA = AC, което означава, че площта на триъгълника BAM е равна на площта на триъгълника ABC. В триъгълник AWS: BP = AB, което означава, че площта на триъгълника BAM е равна на площта на триъгълника ABP. В триъгълник ARS: AB = BP, което означава, че площта на триъгълника BAC е равна на площта на триъгълника HRS. В триъгълник VRK: BC = SC, което означава, че площта на триъгълника VRS е равна на площта на триъгълника RKS. В триъгълник АВК: BC = SK, което означава, че площта на триъгълника BAC е равна на площта на триъгълника ASC. В триъгълника MSC: MA = AC, което означава, че площта на триъгълника KAM е равна на площта на триъгълника ASK. Получаваме 7 равни триъгълника. означава,
Отговор: Площта на триъгълника MRC е 7 пъти по-голяма от площта на триъгълника ABC.
4) Заключващи се успоредници.
2 успоредника са разположени, както е показано на фигурата: те имат общ връх и още един връх за всеки от успоредниците лежи отстрани на другия успоредник. Докажете, че повърхнините на успоредниците са равни.
Решение:
И
, означава,
Списък на използваната литература:
- Учебник „Геометрия 7-9” (автори Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев (Москва, „Просвещение”, 2003 г.).
- Олимпийски задачи различни години, по-специално от учебно помагало « Най-добрите проблемиМатематически олимпиади" (съставител А.А. Корзняков, Перм, " Книжен свят“, 1996).
- Селекция от задачи, натрупани в продължение на много години работа.
Геометричните фигури се считат за равни, ако са точно копие една на друга, тоест трябва да бъдат изпълнени следните условия:
- фигурите имат еднаква форма;
- фигурите са с еднакви размери;
- има такова припокриване (движение) на една фигура върху друга, че те съвпадат във всичките си точки.
Какво означава, че формите са еднакви?
Говорейки за формата на фигура, имаме предвид на първо място класа геометрични фигури, както и броя на ъглите, посоката на изпъкналости (вдлъбнатини) и други визуални детайли на контура на плоска фигура.
Например, овал и правоъгълник имат ясно различна форма. И ако вземете фигури от един и същи клас, да речем 2 триъгълника, тогава трябва да сравните елементите, които изграждат контура. IN в такъв случай ние говорим заза ъгли и страни. Така че, ако единият триъгълник има прав ъгъл, а другият не, тогава веднага се забелязва, че те имат различна форма. Ако дължините на трите страни на един триъгълник не се различават много една от друга, но друг има една страна много по-дълга от другите две, ние също ще забележим на пръв поглед, че техните форми са различни.
Защо съответствието на размера на фигурите е важно?
Ами ако разликите в размера не се забелязват визуално? След това е необходимо да се направят точни измервания на двете фигури. Също така равенството на размера разделя понятията за подобни и равни фигури. Например, 2 квадрата с различни областище бъдат подобни, но не равни (което означава, когато едното е по-голямо от другото).
Какво се разбира под „припокриващи се“ фигури една върху друга?
Понякога е трудно да се направят точни измервания. Особено ако фигурата е оформена от затворена произволна крива или прекъсната линия. След това трябва да намерите начин да наслагвате една форма върху друга.
Така че, ако са нарисувани на лист хартия, трябва да изрежете един от тях точно по контура и да го поставите върху другия. Можете да го завъртите във всяка посока и дори да го обърнете с главата надолу. Ако има начин тези фигури да се комбинират така, че да съвпадат точно по контурите, значи са равни.
Винаги ли е възможно да се докаже равенството на фигурите?
Понякога това не е възможно. Например, ако говорим за прави линии. Всички те са безкрайни. Същото важи и за лъчите.
Равни фигури са тези, които могат да се комбинират с помощта на някакъв вид движение (централно и аксиална симетрия, въртене и паралелен трансфер).
В такива фигури всички страни и ъгли са съответно равни.
Например, ако са дадени триъгълници ABC и A₁B₁C₁, тогава те са равни, ако страните (AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁) и ъглите (ъгъл A = ъгъл A₁, ъгъл B = ъгъл B₁, ъгъл C) са равен = ъгъл C₁).
Също така при равни цифри са равни и съответни точкии линии. Например в едни и същи равни триъгълници ABC и A₁B₁C₁ ъглополовящите, медианите, надморските височини, радиусите на вписаната и описаната окръжност, центроидите и т.н. ще бъдат равни.
VIII клас: Тема 3. Площи на фигурите. Питагорова теорема.
1. Понятието площ. Фигури с еднакъв размер.
Ако дължината е числена характеристикалиния, тогава площта е числова характеристика на затворена фигура. Въпреки факта, че сме добре запознати с понятието площ от Ежедневието, не е лесно да се даде стриктна дефиниция на това понятие. Оказва се, че площта на затворена фигура може да се нарече всяко неотрицателно количество, което има следното свойства за измерване на площите на фигурите:
Еднаквите фигури имат равни площи. 
Ако дадена затворена фигура е разделена на няколко затворени фигури, тогава площта на фигурата е равна на сумата от площите на съставните й фигури (фигурата на фигура 1 е разделена на нфигури; в този случай площта на фигурата, където Si- квадрат аз-та фигура).
По принцип би било възможно да се излезе с набор от количества, които имат формулираните свойства и следователно характеризират площта на фигурата. Но най-познатата и удобна стойност е тази, която характеризира площта на квадрата като квадрата на неговата страна. Нека наречем това „съгласие“ третото свойство за измерване на площите на фигурите:
Площта на квадрат е равна на квадрата на неговата страна (Фигура 2).
С тази дефиниция площта на фигурите се измерва в квадратни единици (см 2, км 2, ха=100м 2).
Фигури с равни площи се наричат равни по размер .
коментар:
Еднаквите фигури имат равни площи, тоест равните фигури са еднакви по размер. Но фигури с еднакъв размер не винаги са еднакви (например Фигура 3 показва квадрат и равнобедрен триъгълник, съставен от равни правоъгълни триъгълници (между другото, такива фигури
Наречен еднакво съставен
); ясно е, че квадратът и триъгълникът са равни по размер, но не са равни, тъй като не се припокриват).
След това ще изведем формули за изчисляване на площите на всички основни типове многоъгълници (включително всички добре позната формулаза намиране на площта на правоъгълник), въз основа на формулираните свойства за измерване на площите на фигурите.
2. Площ на правоъгълник. Площ на успоредник.
Формула за изчисляване на площта на правоъгълник:
Площта на правоъгълник е равна на произведението на двете му съседни страни (Фигура 4).
дадени:
ABCD- правоъгълник;
AD=а, AB=b.
Докажи: SABCD=а× b.
Доказателство:
1. Разширете страната ABза сегмент Б.П.=а, и отстрани AD- за сегмент Д.В.=b. Нека построим успоредник ГПР(Фигура 4). Тъй като Ð А=90°, ГПР- правоъгълник. При което AP=а+b=AV, Þ ГПР– квадрат със страна ( а+b).
2. Нека обозначим пр.н.е.Ç RV=T, CDÇ PR=Q. Тогава BCQP– квадрат със страна а, CDVT– квадрат със страна b, CQRT- правоъгълник със страни аИ b.
Формула за изчисляване на площта на успоредник: Площта на успоредник е равна на произведението на неговата височина и неговата основа (Фигура 5).
коментар: Основата на успоредника обикновено се нарича страната, към която е начертана височината; Ясно е, че всяка страна на успоредник може да служи като основа.
дадени:
ABCD– p/g;
Б.Х.^AD, зÎ AD.
Докажи: SABCD=AD× Б.Х..
Доказателство:
1. Да го занесем в основата ADвисочина CF(Фигура 5).
2. пр.н.е.ïê HF, Б.Х.ïê CF, Þ BCFH- p/g по дефиниция. Д з=90°, Þ BCFH- правоъгълник.
3. BCFH– p/g, Þ според свойството p/g Б.Х.=CF, Þ D BAH=D CDFпо хипотенузата и крака ( AB=CDпо св. п/г, Б.Х.=CF).
4. SABCD=SABCF+Сд CDF=SABCF+Сд BAH=SBCFH=Б.Х.× пр.н.е.=Б.Х.× AD. #
3. Площ на триъгълник.
Формула за изчисляване на площта на триъгълник: Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на неговата височина и основата му (Фигура 6).
коментар: В този случай основата на триъгълника е страната, към която е начертана надморската височина. Всяка от трите страни на триъгълника може да служи за негова основа.
дадени:
BD^A.C., дÎ A.C..
Докажи: 
.
Доказателство:
1. Да завършим D ABCкъм п/г ABKCчрез преминаване през върха бправ Б.К.ïê A.C., и през върха ° С- прав CKïê AB(Фигура 6).
2. 
д ABC=D KCBот три страни ( пр.н.е.- общ, AB=KCИ A.C.=К.Б.според St. p/g), Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_34.gif" width="107" height="36">).
Следствие 2: Ако вземем предвид p/u D ABCс височина А.Х., начертан към хипотенузата пр.н.е., Че . По този начин, в п/у Височината на D-ke, изтеглена към хипотенузата, е равна на съотношението на произведението на неговите крака към хипотенузата . Тази връзка се използва доста често при решаване на задачи.
4. Следствия от формулата за намиране на площта на триъгълник: съотношението на площите на триъгълниците с еднакви височиниили основания; равни триъгълници във фигури; свойство на площите на триъгълници, образувани от диагонали изпъкнал четириъгълник.
От формулата за изчисляване на площта на триъгълник по елементарен начинСледват две последствия:
1. Съотношение на площите на триъгълници с равни височини
равно на съотношението на техните основи (на фигура 8 
).
2. 
Съотношение на площите на триъгълниците с по равно
равно на съотношението на техните височини (на фигура 9 
).
коментар:
При решаване на задачи много често се срещат триъгълници с обща височина. В този случай, като правило, техните основи лежат на една и съща права линия, а върхът срещу основите е общ (например на фигура 10 С 1:С 2:С 3=а:b:° С). Трябва да се научите да виждате общата височина на такива триъгълници.
Също така, от формулата за изчисляване на площта на триъгълник следва полезни факти, което ви позволява да намерите равни триъгълници във фигури:
1. 
Медианата на произволен триъгълник го разделя на два равни триъгълника
(на фигура 11 в D A.B.M.и Д ACMвисочина А.Х.– общо и на основание Б.М.И СМ.равен по дефиниция на медиана; следва, че Д A.B.M.и Д ACMравни по размер).
2. 
Диагоналите на успоредник го разделят на четири равни триъгълника
(на фигура 12 А.О.– медиана на триъгълника ABDпо свойството на диагоналите p/g, Þ поради предишните свойства на триъгълниците ABOИ ADOравни по размер; защото Б.О.– медиана на триъгълника ABC, триъгълници ABOИ BCOравни по размер; защото CO– медиана на триъгълника BCD, триъгълници BCOИ DCOравни по размер; По този начин, Сд ADO=Сд ABO=Сд BCO=Сд DCO).
3. 
Диагоналите на трапец го разделят на четири триъгълника; две от тях, съседни на страничните страни, са еднакви по размер
(Фигура 13).
дадени:
ABCD– трапец;
пр.н.е.ïê AD; A.C.Ç BD=О.
Докажи: Сд ABO=Сд DCO.
Доказателство:
1. Да начертаем височините Б.Ф.И CH(Фигура 13). Тогава Д ABDи Д ACDбаза AD– общ, и вис Б.Ф.И CHравен; Þ Сд ABD=Сд ACD.
2. Сд ABO=Сд ABD ‑ Сд AOD=Сд ACD ‑ Сд AOD=Сд DCO. #
Ако начертаете диагоналите на изпъкнал четириъгълник (Фигура 14), се образуват четири триъгълника, чиито площи са свързани с много лесно за запомняне съотношение. Извеждането на тази връзка се основава единствено на формулата за изчисляване на площта на триъгълник; обаче се среща доста рядко в литературата. Като полезна при решаването на проблеми, връзката, която ще бъде формулирана и доказана по-долу, заслужава специално внимание:
Свойство на площите на триъгълниците, образувани от диагоналите на изпъкнал четириъгълник: Ако диагоналите на изпъкнал четириъгълник ABCDпресичат се в точка О, след това (Фигура 14).
ABCD– изпъкнал четириъгълник;
https://pandia.ru/text/78/214/images/image025_28.gif" width="149" height="20">.
Доказателство:
1. Б.Ф.– обща височина D AOBи Д BOC; Þ Сд AOB:Сд BOC=А.О.:CO.
2. Д.Х.– обща височина D AODи Д C.O.D.; Þ Сд AOD:Сд C.O.D.=А.О.:CO.
5. Съотношение на площите на триъгълници, имащи всеки равен ъгъл.
Теорема за отношението на площите на триъгълници с равни ъгли: Площите на триъгълници, които имат равни ъгли, се отнасят като произведенията на страните, обхващащи тези ъгли (Фигура 15).
дадени:
д ABC, Д А 1б 1° С 1;
Ð BAC=Ð б 1А 1° С 1.
Докажи:
.
Доказателство:
1. Поставете го върху лъча ABлинейна отсечка AB 2=А 1б 1, и на гредата A.C.- линеен сегмент A.C. 2=А 1° С 1 (Фигура 15). Тогава Д AB 2° С 2=D А 1б 1° С 1 от двете страни и ъгъла между тях ( AB 2=А 1б 1 и A.C. 2=А 1° С 1 по конструкция, и Р б 2A.C. 2=р б 1А 1° С 1 по условие). Означава,.
2. Свържете точките ° СИ б 2.
3. CH– обща височина D AB 2° Си Д ABC, Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image033_22.gif" width="81" height="43 src=">.
6. Свойство на ъглополовящата на триъгълник.
Използвайки теоремите за съотношението на площите на триъгълници с еднакви ъгли и за съотношението на площите на триъгълници с еднакви височини, ние просто доказваме факт, който е изключително полезен при решаването на задачи и не е пряко свързан с площите на фигурите :
Свойство на ъглополовяща триъгълник:Симетралата на триъгълник разделя страната, към която е начертан, на сегменти, пропорционални на страните, съседни на тях.
дадени:
https://pandia.ru/text/78/214/images/image036_22.gif" width="61" height="37">.
Доказателство:
1..gif" width="72 height=40" height="40">.
3. От точки 1 и 2 получаваме: 
, Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image041_19.gif" width="61" height="37">. #
коментар:Тъй като крайните членове или средните членове могат да бъдат разменени в правилната пропорция, по-удобно е да запомните свойството на ъглополовящата на триъгълник в следната форма(Фигура 16): .
7. Площ на трапец.
Формула за изчисляване на площта на трапец: Площта на трапец е равна на произведението от неговата височина и половината от сбора на неговите основи.
дадени:
ABCD– трапец;
пр.н.е.ïê AD;
Б.Х.- височина.
https://pandia.ru/text/78/214/images/image044_21.gif" width="127" height="36">.
Доказателство:
1. Нека начертаем диагонал BDи височина DF(Фигура 17). БХДФ– правоъгълник, Þ Б.Х. = DF.
Последица: Съотношението на площите на трапеци с равни височини е равно на съотношението на средните им линии (или съотношението на сумите на основите).
8. Площ на четириъгълник с взаимно перпендикулярни диагонали.
Формула за изчисляване на площта на четириъгълник с взаимно перпендикулярни диагонали:
Площта на четириъгълник с взаимно перпендикулярни диагонали е равна на половината от произведението на неговите диагонали.
ABCD– четириъгълник;
A.C.^BD.
https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_20.gif" width="104" height="36">.
Доказателство:
1. Нека обозначим A.C.Ç BD=О. Тъй като A.C.^BD, А.О.– височина D ABD, А CO– височина D CBD(Фигури 18a и 18b съответно за случаите на изпъкнали и неизпъкнали четириъгълници).
2. 
(знаците “+” или “-” съответстват съответно на случаите на изпъкнали и неизпъкнали четириъгълници). #
Питагоровата теорема играе изключителна роля важна роляпри решаването на най-много различни задачи; ви позволява да намерите непозната страна правоъгълен триъгълникот двете му известни страни. Има много известни доказателства на Питагоровата теорема. Нека представим най-простия от тях, базиран на формули за изчисляване на площите на квадрат и триъгълник:
Питагорова теорема: В правоъгълен триъгълник, квадратът на хипотенузата равно на суматаквадрати на краката.
дадени:
д ABC– п/у;
Ð А=90°.
Докажи:
пр.н.е. 2=AB 2+A.C. 2.
Доказателство:
1. Нека обозначим A.C.=а, AB=b. Нека го поставим на лъча ABлинейна отсечка Б.П.=а, и на гредата A.C.- линеен сегмент CV=b(Фигура 19). Нека начертаем през точката Пдиректен PRïê AV, и през точката V– прав VRïê AP. Тогава ГПР- p/g по дефиниция. Освен това, тъй като Р А=90°, ГПР- правоъгълник. И защото AV=а+b=AP, ГПР– квадрат със страна а+b, И САПРВ=(а+b)2. След това ще разделим страната PRточка Qна сегменти PQ=bИ QR=а, и отстрани RV– точка Tна сегменти RT=bИ телевизор=а.
2. Д ABC=D PQB=D RTQ=D ДКТот двете страни, Þ Ð ACB=Ð PBQ=Ð RQT=Ð VTC, пр.н.е.=QB=T.Q.=C.T.и https://pandia.ru/text/78/214/images/image055_17.gif" width="115" height="36">.
3. Защото пр.н.е.=QB=T.Q.=C.T., CBQT- ромб По същото време QBC=180°-(р ABC+Ð PBQ)=180°-(Р ABC+Ð ACB)=Ð BAC=90°; Þ CBQT- квадрат, и SCBQT=пр.н.е. 2.
4. . Така, пр.н.е. 2=AB 2+A.C. 2. #
Обратната теорема на Питагор е знак за правоъгълен триъгълник, т.е. позволява три известни партиитриъгълник, за да проверите дали е правоъгълен триъгълник.
Обратна теорема на Питагор:
Ако квадратът на една страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите му две страни, тогава този триъгълник е правоъгълен и неговият голяма странае хипотенузата.
дадени:
пр.н.е. 2=AB 2+A.C. 2.
Докажи:д ABC– п/у;
Ð А=90°.
Доказателство:
1. Построяване на прав ъгъл А 1 и поставете сегментите отстрани А 1б 1=ABИ А 1° С 1=A.C.(Фигура 20). В полученото п/у Г А 1б 1° С 1 по Питагоровата теорема б 1° С 12=А 1б 12+А 1° С 12=AB 2+A.C. 2; но според състоянието AB 2+A.C. 2=пр.н.е. 2; Þ б 1° С 12=пр.н.е. 2, Þ б 1° С 1=пр.н.е..
2. Д ABC=D А 1б 1° С 1 от три страни ( А 1б 1=ABИ А 1° С 1=A.C.по конструкция, б 1° С 1=пр.н.е.от точка 1), Þ Ð А=Ð А 1=90°, Þ D ABC- п/у. #
Наричат се правоъгълни триъгълници, чиито дължини на страните са изразени с естествени числа Питагорови триъгълници , и тройките на съответните естествени числа – Питагорови тройки . Питагорови тройкиполезно за запомняне (по-голямото от тези числа е равно на сумата от квадратите на другите две). Ето някои питагорови тройки:
3, 4, 5;
5, 12, 13;
8, 15, 17;
7, 24, 25;
20, 21, 29;
12, 35, 37;
9, 40, 41.
Правоъгълен триъгълник със страни 3, 4, 5 е бил използван в Египет за конструиране на прави ъгли и следователно такъв триъгълник Наречен египетски .
10. Формула на Херон.
Формулата на Heron ви позволява да намерите площта на произволен триъгълник от трите му известни страни и е незаменима при решаването на много проблеми.
Формула на Херон:
Площ на триъгълник със страни а, bИ ° Сизчислено от следната формула: , където е полупериметърът на триъгълника.
дадени:
пр.н.е.=а; A.C.=b; AB=° С.). Тогава 
.
4. Заменете получения израз за височина във формулата за изчисляване на площта на триъгълника: . #
Кои фигури се наричат равни?
Фигурите се наричат равни, които съвпадат при наслагване.
Често срещана грешка при отговора на този въпрос е отговор, който споменава равни странии ъгли на геометрична фигура. Това обаче не отчита, че страните на една геометрична фигура не са непременно прави. Следователно само съвпадението на геометричните фигури при наслагване може да бъде знак за тяхното равенство.
На практика това е лесно да се провери с помощта на наслагване;
Всичко е много просто и достъпно, обикновено равни фигури се виждат веднага.
Еднакви фигури са тези, чиито геометрични параметри съвпадат. Тези параметри са: дължина на страните, размер на ъглите, дебелина.
Най-лесният начин да разберете, че фигурите са равни, е да използвате наслагване. Ако размерите на фигурите са еднакви, те се наричат равни.
Равенсамо тези се наричат геометрични фигури, които имат абсолютно същите параметри:
1) периметър;
2) площ;
4) размери.
Тоест, ако една фигура се насложи върху друга, те ще съвпаднат.
Грешка е да се приеме, че ако фигурите имат еднакъв периметър или площ, тогава те са равни. Всъщност геометричните фигури, които имат еднаква площ, се наричат еднакви по площ.
Фигурите се наричат равни, ако съвпадат, когато са насложени една върху друга. Еднакви фигури имат еднакъв размер, форма, площ и периметър. Но фигури, които са еднакви по площ, може да не са равни една на друга.
В геометрията според правилата еднаквите фигури трябва да имат еднаква площ и периметър, тоест да имат абсолютно еднакви форми и размери. И те трябва напълно да съвпадат, когато се наслагват един върху друг. Ако има някакви несъответствия, тогава тези цифри вече не могат да се нарекат равни.
Фигурите могат да се нарекат равни, при условие че напълно съвпадат, когато се наслагват една върху друга, т.е. те имат еднакъв размер, форма и следователно площ и периметър, както и други характеристики. IN в противен случайне може да се говори за равенство на фигурите.
Самата дума равен съдържа същността.
Това са фигури, които са напълно еднакви една с друга. Тоест напълно съвпадат. Ако една фигура е поставена една върху друга, тогава фигурите ще се припокриват от всички страни.
Те са еднакви, тоест равни.
За разлика от равни триъгълници(за да се определи кое е достатъчно да е изпълнено едно от условията - знаци за равенство), равни фигуриНаричат се тези, които имат еднаква не само форма, но и размер.
Можете да определите дали една фигура е равна на друга, като използвате метода на суперпозиция. В този случай фигурите трябва да съвпадат с двете страни и ъглите. Това ще бъдат равни фигури.
Само такива фигури могат да бъдат равни, ако при наслагване техните страни и ъгли напълно съвпадат. Всъщност за всички най-прости многоъгълници равенството на техните площи също показва равенството на самите фигури. Пример: квадрат със страна a винаги ще бъде равен на друг квадрат със същата страна a. Същото важи и за правоъгълници и ромби - ако страните им са равни на страните на друг правоъгълник, те са равни. | Повече ▼ сложен пример: Триъгълниците ще бъдат равни, ако имат равни страни и съответни ъгли. Но това са само специални случаи. В повече общи случаи, равенството на фигурите все още се доказва чрез суперпозиция и тази суперпозиция в планиметрията се нарича помпозно движение.