Mode е най-вероятната стойност на случайна променлива. При симетрично разпределение спрямо средната модата съвпада с математическото очакване. Ако стойностите на случайната променлива не се повтарят, няма режим.
Точката на оста x, съответстваща на максимума на кривата на плътността на разпределението, се нарича мода, т.е. модата е най-вероятната стойност на случайната променлива. Не всички дистрибуции обаче имат режим. Пример е равномерното разпределение. В този случай определянето на центъра на разпределението като мода е невъзможно. Мода обикновено се нарича Мо.
Има понятия мода и медиана случайна величина.
Очевидно при симетрична медиана тя съвпада с модата и математическото очакване.
Въз основа на факта, че модата се основава не на единични измервания, а на голям обемнаблюдения, не може да се счита за случайна променлива. Големината на режима няма ефект различни видовезабавяне на работата и загуба на нормалното й темпо.
Понякога по време на анализ емпирични разпределенияизползвайте концепциите за режим и медиана на разпределение, "...Режимът е най-вероятната стойност на случайна променлива,
Разширена вероятностно-теоретична интерпретация на феномена на лотарията е концепцията за вероятностно разпределение на случайна променлива. С негова помощ се определят вероятностите дадена случайна величина да приеме една или друга от възможните си стойности. Нека означим с y случайната променлива, а с y нейните възможни стойности. Тогава за дискретна случайна променлива , която може да приеме възможни стойности Y, y2, VZ,. .., yn удобна форма на вероятностното разпределение трябва да се счита за зависимостта P(y = y), която обикновено се нарича вероятностна серия, серия на разпределение. На практика за бърза обобщена оценка на вероятностното разпределение на рисковите стойности често се използват т. нар. числени и други характеристики на разпределението на случайни резултати: математическо очакване, дисперсия, средно квадратично (стандартно) отклонение, коефициент на вариация, режим, медиана и т.н. (вижте например и т.н.). С други думи, към бързо и цялостно възприемане предприемачът се стреми (или просто
Въз основа на данни от Държавния статистически комитет на СССР за разпределението на населението по среден общ доход на глава от населението ще се опитаме да сравним показателите за среден, среден и модален доход (Таблица 1). Таблицата показва, че средният доход в абсолютна стойност надвишава средния и модалния доход и растежът му се дължи главно на увеличаване на дела на хората с високи доходи, тоест използването на показателя среден доход води до значително надценяване на нивото на доходите на основната част от населението и до голяма степен прикрива процеса на тяхната диференциация. Стойностите на модалния доход гравитират към по-ниските групи на разпределението и се отклоняват от средния доход надолу. Появата на мода в един или друг интервал обаче често има доста случаен характер. дребни парив разпределението - и режимът вече ще бъде в съседния интервал. Например през 1989 г. най-често срещаното ниво на доходите е от 100 до 125 рубли (16,1% от населението е получило такъв доход), но поради незначителни промени в доходите, настъпили през 1989-1990 г., най-често срещаният интервал е следният интервал (125-150 рубли) , а стойността на самата мода се увеличи с 15,6 рубли. В допълнение, делът на населението в обхвата на модалния доход може леко да надвишава другите дялове.
За да характеризирате центъра на разпределението на логаритмично нормална случайна променлива a, можете да използвате, заедно с вече изчисленото математическо очакване Ma, режима (локална максимална плътност /(a a)) toc1a = exp(t-st2) и
Режим - мода. Най-вероятната стойност на случайна променлива.
МОДА - концепция
Очаквана стойност. Математическо очакванедискретна случайна променлива х, домакин крайно числостойности хiс вероятности Рi, сумата се нарича:
Математическо очакваненепрекъсната случайна променлива хсе нарича интеграл от произведението на неговите стойности хвърху плътността на разпределение на вероятностите f(х):
(6b)
Неправилен интеграл (6 b) се приема за абсолютно конвергентен (в в противен случайказват, че математическото очакване М(х) не съществува). Математическото очакване характеризира средна стойностслучайна величина х. Размерността му съвпада с размерността на случайната променлива.
Имоти математическо очакване:
дисперсия. Дисперсияслучайна величина хномерът се нарича:
Дисперсията е характеристика на разсейванестойности на случайни променливи хспрямо средната му стойност М(х). Размерността на дисперсията е равна на размерността на случайната променлива на квадрат. Въз основа на дефинициите на дисперсия (8) и математическо очакване (5) за дискретна случайна променлива и (6) за непрекъсната случайна променлива, получаваме подобни изрази за дисперсията:
(9)
Тук м = М(х).
Дисперсионни свойства:
Стандартно отклонение:
(11)
Тъй като размерът на средната квадратно отклонениесъщото като това на случайна променлива, по-често се използва като мярка за дисперсия, отколкото за дисперсия.
Моменти на разпространение. Понятията математическо очакване и дисперсия са специални случаи на повече обща концепцияза числени характеристики на случайни променливи – разпределителни моменти. Моментите на разпределение на случайна величина се въвеждат като математически очаквания на някои прости функции на случайна величина. И така, редовен момент кспрямо точката х 0 се нарича математическо очакване М(х–х 0 )к. Моменти за произхода х= 0 се извикват начални моменти и са обозначени:
(12)
Началният момент на първия ред е центърът на разпределението на разглежданата случайна променлива:
(13)
Моменти за центъра на разпространение х= мса наречени централни точкии са обозначени:
(14)
От (7) следва, че централният момент от първи ред е винаги равен на нула:
Централните моменти не зависят от произхода на стойностите на случайната променлива, тъй като при изместване с постоянна стойност СЪСнеговият разпределителен център се измества със същата стойност СЪС, а отклонението от центъра не се променя: х – м = (х – СЪС) – (м – СЪС).
Сега това е очевидно дисперсия- Това централен момент от втори ред:
Асиметрия. Централен момент от трети ред:
(17)
служи за оценка асиметрии на разпределение. Ако разпределението е симетрично спрямо точката х= м, тогава централният момент от трети ред ще бъде равен на нула (както всички централни моменти от нечетни редове). Следователно, ако централният момент от трети ред е различен от нула, тогава разпределението не може да бъде симетрично. Големината на асиметрията се оценява с помощта на безразмерна коефициент на асиметрия:
(18)
Знакът на коефициента на асиметрия (18) показва дясно- или ляво-странна асиметрия (фиг. 2).
Ориз. 2. Видове асиметрия на разпределението.
Излишък. Централен момент от четвърти ред:
(19)
служи за оценка на т.нар излишък, което определя степента на стръмност (заостреност) на кривата на разпределението близо до центъра на разпределението по отношение на кривата нормална дистрибуция. Тъй като за нормално разпределение стойността, взета като ексцес, е:
(20)
На фиг. 3 показва примери за криви на разпределение с различни значенияизлишък. За нормално разпределение д= 0. Кривите, които са по-заострени от нормалното, имат положителен ексцес, тези с по-плосък връх имат отрицателен ексцес.
Ориз. 3. Криви на разпределение с различни степенипрохлада (излишък).
Моменти от по-висок порядък в инженерните приложения математическа статистикаобикновено не се използва.
Мода
отделенслучайна променлива е нейната най-вероятна стойност. Мода непрекъснатослучайна променлива е нейната стойност, при която плътността на вероятността е максимална (фиг. 2). Ако кривата на разпределение има един максимум, тогава разпределението се нарича унимодален. Ако кривата на разпределение има повече от един максимум, тогава се извиква разпределението мултимодален. Понякога има разпределения, чиито криви имат минимум, а не максимум. Такива разпределения се наричат антимодални. IN общ случайрежимът и математическото очакване на случайна променлива не съвпадат. В специалния случай, за модален, т.е. имащ режим, симетрично разпределение и при наличие на математическо очакване, последното съвпада с мода и центъра на симетрия на разпределението.
Медиана случайна величина х- това е смисълът му мех, за които е изпълнено равенство: т.е. еднакво вероятно е случайната променлива хще бъде по-малко или повече мех. Геометрично Медианае абсцисата на точката, в която площта под кривата на разпределение е разделена наполовина (фиг. 2). В случай на симетрично модално разпределение медианата, модата и математическото очакване са еднакви.
Сред числените характеристики на случайните променливи е необходимо на първо място да се отбележат тези, които характеризират позицията на случайната променлива върху числовата ос, т.е. посочете някаква средна, приблизителна стойност, около която са групирани всички възможни стойности на случайна променлива.
Средната стойност на случайна променлива е определено число, което е неин „представител“ и го замества в грубо приблизителни изчисления. Когато казваме: „средното време на работа на лампата е 100 часа“ или „средната точка на удар е изместена спрямо целта с 2 м надясно“, ние посочваме определена числена характеристика на случайна променлива, която описва нейното местоположение на числовата ос, т.е. "позиционни характеристики".
От характеристиките на позицията в теорията на вероятностите жизненоважна роляиграе математическото очакване на случайна променлива, което понякога се нарича просто средна стойност на случайната променлива.
Нека разгледаме дискретна случайна променлива с възможни стойности с вероятности. Трябва да характеризираме с някакво число позицията на стойностите на случайна променлива по оста x, като вземем предвид факта, че тези стойности имат различни вероятности. За тази цел е естествено да се използва т. нар. „среднопретеглена” на стойностите, като всяка стойност при осредняването трябва да се вземе предвид с „тегло”, пропорционално на вероятността на тази стойност. Така ще изчислим средната стойност на случайната променлива, която ще обозначим с:
или предвид това,
. (5.6.1)
Тази среднопретеглена стойност се нарича математическо очакване на случайната променлива. Така ние въведохме в внимание един от най-важните понятиятеория на вероятностите - концепцията за математическото очакване.
Математическото очакване на случайна променлива е сумата от продуктите на всички възможни стойности на случайна променлива и вероятностите на тези стойности.
Имайте предвид, че в горната формулировка дефиницията на математическото очакване е валидна, строго погледнато, само за дискретни случайни променливи; По-долу ще обобщим тази концепция за случая на непрекъснати количества.
За да направим концепцията за математическото очакване по-ясна, нека се обърнем към механичната интерпретация на разпределението на дискретна случайна променлива. Нека по абсцисната ос има точки с абциси, в които са съсредоточени масите съответно и . Тогава, очевидно, математическото очакване, определено с формула (5.6.1), не е нищо повече от абсцисата на центъра на тежестта на дадена система от материални точки.
Математическото очакване на случайна променлива е свързано чрез особена зависимост със средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайната променлива при голямо числоексперименти. Тази зависимост е от същия тип като зависимостта между честота и вероятност, а именно: при голям брой експерименти средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива се доближава (конвергира по вероятност) до нейното математическо очакване. От наличието на връзка между честотата и вероятността може да се изведе като следствие наличието на подобна връзка между средното аритметично и математическото очакване.
Наистина, разгледайте дискретна случайна променлива, характеризираща се със серия на разпределение:
Където 
.
Нека се проведат независими експерименти, във всеки от които количеството приема определена стойност. Да приемем, че стойността се появи веднъж, стойността се появи веднъж и стойността се появи веднъж. очевидно,
Нека изчислим средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на величината, която, за разлика от математическото очакване, означаваме:
Но няма нищо повече от честотата (или статистическата вероятност) на дадено събитие; тази честота може да бъде обозначена. Тогава
,
тези. средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива е равна на сумата от продуктите на всички възможни стойности на случайната променлива и честотите на тези стойности.
Тъй като броят на експериментите се увеличава, честотите ще се доближават (сближават по вероятност) до съответните вероятности. Следователно средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива ще се доближи (сближи по вероятност) до нейното математическо очакване с увеличаване на броя на експериментите.
Формулираната по-горе връзка между средното аритметично и математическото очакване съставлява съдържанието на една от формите на закона големи числа. Ще дадем строго доказателство за този закон в Глава 13.
Вече знаем, че всички форми на закона за големите числа посочват факта, че някои средни стойности са стабилни за голям брой експерименти. Тук ние говорим завърху стабилността на средното аритметично от серия от наблюдения на една и съща величина. При малък брой експерименти средноаритметичната стойност на техните резултати е случайна; с достатъчно увеличаване на броя на експериментите, той става „почти неслучаен“ и, стабилизирайки се, се приближава постоянна стойност– математическо очакване.
Стабилността на средните стойности за голям брой експерименти може лесно да се провери експериментално. Например претегляне на тяло в лаборатория при точни везни, в резултат на претеглянето всеки път получаваме нова стойност; За да намалим грешката на наблюдение, претегляме тялото няколко пъти и използваме средноаритметичната стойност на получените стойности. Лесно е да се види, че с по-нататъшно увеличаване на броя на експериментите (претегляния), средноаритметичната стойност реагира на това увеличение все по-малко и по-малко и при достатъчно голям брой експерименти практически престава да се променя.
Формула (5.6.1) за математическото очакване отговаря на случая на дискретна случайна величина. За непрекъсната стойностматематическото очакване естествено се изразява не чрез сума, а чрез интеграл:
, (5.6.2)
където е плътността на разпределение на количеството.
Формула (5.6.2) се получава от формула (5.6.1), ако я заменим индивидуални ценностинепрекъснато променящ се параметър x, съответните вероятности са вероятностният елемент, крайна сума– интегрална. В бъдеще често ще използваме този метод за разширяване на формулите, получени за прекъснати количества към случая на непрекъснати количества.
В механичната интерпретация математическото очакване на непрекъсната случайна променлива запазва същото значение - абсцисата на центъра на тежестта в случая, когато масата е разпределена по абсцисата непрекъснато, с плътност. Тази интерпретация често позволява да се намери математическото очакване, без да се изчислява интегралът (5.6.2), от прости механични съображения.
По-горе въведохме нотация за математическото очакване на количеството. В редица случаи, когато количеството е включено във формулите като конкретно число, е по-удобно да се обозначи с една буква. В тези случаи ще обозначим математическото очакване на стойност с:
Нотацията и за математическото очакване ще се използват паралелно в бъдеще, в зависимост от удобството на конкретен запис на формулите. Нека също така се съгласим, ако е необходимо, да съкращаваме думите „математическо очакване“ с буквите m.o.
Трябва да се отбележи, че най-важната характеристика на позицията - математическото очакване - не съществува за всички случайни величини. Възможно е да се съставят примери за такива случайни променливи, за които не съществува математическо очакване, тъй като съответната сума или интеграл се разминават.
Помислете например за прекъсната случайна променлива със серия на разпределение:
Лесно е да се провери, че т.е. серия за разпространение има смисъл; обаче сумата в в такъв случайсе разминава и следователно няма математическо очакване на стойността. Такива случаи обаче не представляват съществен интерес за практиката. Обикновено случайните променливи, с които работим, имат ограничена площ възможни стойностии, разбира се, има математическо очакване.
По-горе дадохме формули (5.6.1) и (5.6.2), изразяващи съответно математическото очакване за прекъсната и непрекъсната случайна променлива.
Ако количеството принадлежи на количествата смесен тип, тогава неговото математическо очакване се изразява с формула от вида:
, (5.6.3)
където сумата се простира до всички точки, в които функцията на разпределение е прекъсната, а интегралът се простира до всички области, в които функцията на разпределение е непрекъсната.
В допълнение към най-важната характеристика на позицията - математическото очакване - на практика понякога се използват и други характеристики на позицията, по-специално модата и медианата на случайна променлива.
Режимът на случайна променлива е нейната най-вероятна стойност. Терминът "най-вероятна стойност" строго погледнато се прилага само за прекъснати количества; за непрекъснато количество режимът е стойността, при която плътността на вероятността е максимална. Нека се съгласим да обозначим режима с буквата . На фиг. 5.6.1 и 5.6.2 показват режима съответно за прекъснати и непрекъснати случайни променливи.
Ако полигонът на разпределение (кривата на разпределение) има повече от един максимум, разпределението се нарича „мултимодално“ (фиг. 5.6.3 и 5.6.4).
Понякога има разпределения, които имат минимум в средата, а не максимум (фиг. 5.6.5 и 5.6.6). Такива разпределения се наричат „антимодални“. Пример за антимодално разпределение е разпределението, получено в Пример 5, № 5.1.
В общия случай модата и математическото очакване на една случайна величина не съвпадат. В конкретния случай, когато разпределението е симетрично и модално (т.е. има мода) и има математическо очакване, то то съвпада с модата и центъра на симетрия на разпределението.
Често се използва и друга характеристика на позицията - така наречената медиана на случайна величина. Тази характеристика обикновено се използва само за непрекъснати случайни променливи, въпреки че може да бъде формално дефинирана за прекъсната променлива.
Медианата на случайна променлива е нейната стойност, за която
тези. еднакво вероятно е случайната променлива да бъде по-малка или по-голяма от . Геометрично медианата е абсцисата на точката, в която площта, ограничена от кривата на разпределение, е разделена наполовина (фиг. 5.6.7).
Мода- стойността в набор от наблюдения, която се среща най-често
Mo = X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo+1)),
тук X Mo е лявата граница на модалния интервал, h Mo е дължината на модалния интервал, f Mo-1 е честотата на премодалния интервал, f Mo е честотата на модалния интервал, f Mo+1 е честота на постмодалния интервал.
Режимът на абсолютно непрекъснато разпределение е всяка точка от локалния максимум на плътността на разпределението. За дискретни разпределенияза режим се счита всяка стойност a i, чиято вероятност p i е по-голяма от вероятностите на съседни стойности
Медиананепрекъсната случайна променлива хнеговата стойност Me се нарича, за която е еднакво вероятно случайната променлива да бъде по-малка или по-голяма мех, т.е.
M e = (n+1)/2 P(X < Me) = P(X > мех)
Равномерно разпределен NSV
Равномерно разпределение.Непрекъсната случайна променлива се нарича равномерно разпределена върху сегмента (), ако нейната функция на плътност на разпределение (фиг. 1.6, А) има формата:
Обозначение: – SW се разпределя равномерно върху .
Съответно функцията на разпределение на сегмента (фиг. 1.6, b):
Ориз. 1.6. Функции на случайна променлива, разпределени равномерно върху [ а,b]: А– плътности на вероятностите f(х); b– разпределения Е(х)
Математическото очакване и дисперсията на даден SV се определят от изразите:
Поради симетрията на функцията на плътността тя съвпада с медианата. Модификации равномерно разпределениеняма
Пример 4. Време за изчакване за отговор телефонно обаждане– случайна величина, която се подчинява на равномерен закон на разпределение в интервала от 0 до 2 минути. Намерете интеграла и диференциална функцияразпределение на тази случайна променлива.
27. Нормален закон за разпределение на вероятностите
Непрекъсната случайна променлива x има нормално разпределение с параметри: m,s > 0, ако плътността на разпределението на вероятността има формата:
където: m – математическо очакване, s – стандартно отклонение.
Нормалното разпределение се нарича още гаусово по име немски математикГаус. Фактът, че една случайна променлива има нормално разпределение с параметри: m, , се означава по следния начин: N (m,s), където: m=a=M[X];
Доста често във формулите математическото очакване се означава с А . Ако една случайна променлива се разпределя по закона N(0,1), тогава тя се нарича нормализирана или стандартизирана нормален размер. Функцията на разпределение за него има формата:
Графиката на плътността на нормално разпределение, която се нарича нормална крива или крива на Гаус, е показана на фиг. 5.4.
Ориз. 5.4. Нормална плътност на разпределение
Имотислучайна променлива имаща нормален законразпределения.
1. Ако , тогава да се намери вероятността тази стойност да попадне в даден интервал ( x 1; x 2) се използва формулата:
2. Вероятността отклонението на случайна променлива от нейното математическо очакване да не надвишава стойността (с абсолютна стойност), е равно.