Намерете най-голямата или най-малката стойност на функция. Как да намерим най-голямата стойност на функция на интервал


Изявление на проблем 2:

Дадена е функция, която е дефинирана и непрекъсната на определен интервал. Трябва да намерите най-голямата (най-малката) стойност на функцията на този интервал.

Теоретична основа.
Теорема (втора теорема на Вайерщрас):

Ако една функция е дефинирана и непрекъсната в затворен интервал, тогава тя достига своите максимални и минимални стойности в този интервал.

Функцията може да достигне своите най-големи и най-малки стойности или с вътрешни точкипразнина или в нейните граници. Нека илюстрираме всички възможни варианти.

Обяснение:
1) Функцията достига най-голямата си стойност на лявата граница на интервала в точка , а минималната си стойност на дясната граница на интервала в точка .
2) Функцията достига най-голямата си стойност в точката (това е максималната точка), а минималната си стойност на дясната граница на интервала в точката.
3) Функцията достига максималната си стойност на лявата граница на интервала в точка , а минималната си стойност в точка (това е минималната точка).
4) Функцията е постоянна на интервала, т.е. тя достига своите минимални и максимални стойности във всяка точка от интервала, а минималните и максималните стойности са равни една на друга.
5) Функцията достига най-голямата си стойност в точка , а минималната си стойност в точка (въпреки факта, че функцията има както максимум, така и минимум на този интервал).
6) Функцията достига най-голямата си стойност в точка (това е максималната точка), а минималната си стойност в точка (това е минималната точка).
коментар:

"Максимум" и " максимална стойност" - Различни неща. Това следва от определението за максимум и интуитивното разбиране на израза „максимална стойност“.

Алгоритъм за решаване на задача 2.



4) Изберете най-голямата (най-малката) от получените стойности и запишете отговора.

Пример 4:

Определете най-голямата и най-малката стойност на функция на сегмента.
Решение:
1) Намерете производната на функцията.

2) Намерете стационарни точки (и точки, предполагаеми екстремуми) чрез решаване на уравнението. Обърнете внимание на точките, в които няма двустранна крайна производна.

3) Изчислете стойностите на функцията в стационарни точки и в границите на интервала.



4) Изберете най-голямата (най-малката) от получените стойности и запишете отговора.

Функцията на този сегмент достига най-голямата си стойност в точката с координати .

Функцията на този сегмент достига минималната си стойност в точката с координати .

Можете да проверите правилността на изчисленията, като погледнете графиката на изследваната функция.


коментар:Функцията достига най-голямата си стойност в максималната точка, а минималната си на границата на отсечката.

Специален случай.

Да предположим, че трябва да намерите максималните и минималните стойности на някаква функция в сегмент. След завършване на първата точка от алгоритъма, т.е. производно изчисление, става ясно, че например отнема само отрицателни стойностивърху целия разглеждан сегмент. Не забравяйте, че ако производната е отрицателна, тогава функцията намалява. Установихме, че функцията намалява в целия сегмент. Тази ситуация е показана на графика No1 в началото на статията.

Функцията намалява на сегмента, т.е. няма крайни точки. От снимката става ясно, че функцията ще приеме най-малката си стойност на дясната граница на сегмента и най-висока стойност- наляво. ако производната на сегмента е положителна навсякъде, тогава функцията нараства. Най-малката стойност е на лявата граница на сегмента, най-голямата е на дясната.

Миниатюрен и доста прост проблем от вида, който служи като спасителен пояс за плаващ ученик. В природата е средата на юли, така че е време да се настаните с лаптопа си на плажа. Играе се рано сутринта слънчево зайчетеория, за да се съсредоточи скоро върху практиката, която въпреки претендираната лекота съдържа стъклени парчета в пясъка. В тази връзка ви препоръчвам да разгледате съвестно няколкото примера на тази страница. За решения практически задачитрябва да може да намерете производнии разбират материала на статията Интервали на монотонност и екстремуми на функцията.

Първо, накратко за основното. В урока за непрекъснатост на функциятаДадох определението за непрекъснатост в точка и непрекъснатост в интервал. По подобен начин се формулира примерното поведение на функция върху сегмент. Една функция е непрекъсната на интервал, ако:

1) тя е непрекъсната на интервала ;
2) непрекъснато в точка на дяснои в точката наляво.

Във втория параграф говорихме за т.нар едностранна приемственостфункции в точка. Има няколко подхода за дефинирането му, но аз ще се придържам към линията, която започнах по-рано:

Функцията е непрекъсната в точката на дясно, ако е дефинирана в дадена точка и дясната й граница съвпада със стойността на функцията в дадена точка: . То е непрекъснато в точката наляво, ако е дефиниран в дадена точка и лявата му граница е равна на стойността в тази точка:

Представете си, че зелените точки са пирони с магическа еластична лента, прикрепена към тях:

Мислено вземете червената линия в ръцете си. Очевидно е, че колкото и да разтеглим графиката нагоре и надолу (по оста), функцията пак ще остане ограничен– ограда отгоре, ограда отдолу, а нашият продукт пасе в падока. По този начин, функция, непрекъсната на интервал, е ограничена върху него. В хода на математическия анализ този на пръв поглед прост факт се констатира и строго доказва. Първата теорема на Вайерщрас....Много хора се дразнят, че в математиката досадно се обосновават елементарни твърдения, но това има важно значение. Да предположим, че определен жител на средновековието е изтеглил графика в небето отвъд границите на видимост, това е вмъкнато. Преди изобретяването на телескопа, ограничената функция в космоса изобщо не беше очевидна! Наистина, откъде знаеш какво ни очаква зад хоризонта? Все пак Земята някога се е смятала за плоска, така че днес дори обикновеното телепортиране изисква доказателство =)

Според Втората теорема на Вайерщрас, непрекъснат на сегментфункцията достига своята точен горния ръб а твоя? И твоя точен долен ръб .

Извиква се и номерът максималната стойност на функцията върху сегментаи са означени с , а числото е минималната стойност на функцията върху сегментаотбелязани.

В нашия случай:

Забележка : на теория записите са често срещани .

Грубо казано, най-голямата стойност е там, където най-много висока точкаграфика, а най-малката – къде е най-много ниска точка.

важно!Както вече беше подчертано в статията за екстремуми на функцията, най-голяма функционална стойностИ най-малката стойност на функцията – НЕ СЪЩОТО, Какво максимална функцияИ минимална функция. Така че в разглеждания пример числото е минимумът на функцията, но не и минималната стойност.

Между другото, какво се случва извън сегмента? Да, дори и наводнение, в контекста на разглеждания проблем, това изобщо не ни интересува. Задачата включва само намиране на две числа и това е!

Освен това решението е чисто аналитично, следователно няма нужда да правите чертеж!

Алгоритъмът лежи на повърхността и се подсказва от горната фигура:

1) Намерете стойностите на функцията в критични точки, които принадлежат този сегмент .

Хванете още една кифла: тук няма нужда да проверявате достатъчно условиеекстремум, тъй като, както току-що беше показано, наличието на минимум или максимум все още не гарантира, каква е минималната или максималната стойност. Демонстрационната функция достига максимум и по волята на съдбата същото число е най-голямата стойност на функцията на сегмента. Но, разбира се, такова съвпадение не винаги се случва.

Така че в първата стъпка е по-бързо и по-лесно да се изчислят стойностите на функцията в критични точки, принадлежащи на сегмента, без да се притеснявате дали има екстремуми в тях или не.

2) Изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента.

3) Сред стойностите на функцията, намерени в 1-ви и 2-ри параграф, изберете най-малката и най-много голямо число, запишете отговора.

Сядаме на брега синьо мореи ударихме плитката вода с петите си:

Пример 1

Намерете най-великите и най-малка стойностфункции на интервал

Решение:
1) Нека изчислим стойностите на функцията в критични точки, принадлежащи на този сегмент:

Нека изчислим стойността на функцията във втората критична точка:

2) Нека изчислим стойностите на функцията в краищата на сегмента:

3) Получени са „удебелени“ резултати с експоненти и логаритми, което значително усложнява тяхното сравнение. Поради тази причина нека се въоръжим с калкулатор или Excel и да изчислим приблизителните стойности, като не забравяме, че:

Сега всичко е ясно.

Отговор:

Дробна рационална инстанция за независимо решение:

Пример 6

Намерете максимума и минимална стойностфункции на интервал

И за да го решите, ще ви трябват минимални познания по темата. Следващият свършва академична година, всеки иска да отиде на почивка и за да доближа този момент, ще премина направо към въпроса:

Да започнем с района. Посочената в условието площ е ограничен затворен набор от точки на равнина. Например множеството точки, ограничени от триъгълник, включително ЦЕЛИЯ триъгълник (ако от граници„извадете“ поне една точка, тогава регионът вече няма да бъде затворен). На практика има и области, които са правоъгълни, кръгли и малко по-големи. сложни форми. Трябва да се отбележи, че на теория математически анализдадени са строги определения ограничения, изолация, граници и др., но мисля, че всеки е наясно с тези понятия на интуитивно ниво и сега не е необходимо нищо повече.

Плоската област стандартно се обозначава с буквата и като правило се определя аналитично - чрез няколко уравнения (не непременно линеен); по-рядко неравенства. Типично многословие: „затворена зона, ограничени с линии ».

Неразделна частВъпросната задача е да се построи област в чертежа. Как да го направим? Трябва да начертаете всички изброени линии (в в такъв случай 3 прав) и анализирайте случилото се. Търсената област обикновено е леко засенчена, а границата й е маркирана с дебела линия:


Същата област също може да бъде зададена линейни неравенства: , които по някаква причина често се записват като изброен списък, а не като система.
Тъй като границата принадлежи на региона, тогава всички неравенства, разбира се, отпуснат.

А сега същността на задачата. Представете си, че оста излиза право към вас от началото. Помислете за функция, която непрекъснато във всекиобластна точка. Графиката на тази функция представлява някои повърхност, а малкото щастие е, че за да решим днешния проблем, не е нужно да знаем как изглежда тази повърхност. Тя може да бъде разположена по-високо, по-ниско, да пресича равнината - всичко това няма значение. А важно е следното: съгл Теореми на Вайерщрас, непрекъснато V ограничено затворенплощ функцията достига най-голямата си стойност (най-високата")и най-малкото („най-ниската“)стойности, които трябва да бъдат намерени. Такива стойности се постигат или V стационарни точки, принадлежащи към регионад , илив точки, които лежат на границата на тази област. Това води до прост и прозрачен алгоритъм за решение:

Пример 1

В ограничени затворена зона

Решение: Първо, трябва да изобразите областта на чертежа. За съжаление, за мен е технически трудно да направя интерактивен модел на проблема и затова веднага ще представя окончателната илюстрация, която показва всички „подозрителни“ точки, открити по време на изследването. Те обикновено са изброени един след друг, когато бъдат открити:

Въз основа на преамбюла решението може удобно да се раздели на две точки:

I) Намерете стационарни точки. Това е стандартно действие, което изпълнявахме многократно в клас. за екстремуми на няколко променливи:

Намерена неподвижна точка принадлежиобласти: (маркирайте го на чертежа), което означава, че трябва да изчислим стойността на функцията в дадена точка:

- както е в статията Най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент, важни резултатиЩе подчертая с удебелен. Удобно е да ги очертаете в тетрадка с молив.

Обърнете внимание на второто ни щастие - няма смисъл да проверявате достатъчно условие за екстремум. Защо? Дори ако в даден момент функцията достигне, напр. местен минимум, то това НЕ ОЗНАЧАВА, че получената стойност ще бъде минималенв целия регион (вижте началото на урока за безусловните крайности) .

Какво да направите, ако стационарната точка НЕ ​​принадлежи към региона? Почти нищо! Трябва да се отбележи това и да преминете към следващата точка.

II) Изследваме границата на региона.

Тъй като границата се състои от страни на триъгълник, е удобно изследването да се раздели на 3 подраздела. Но е по-добре да не го правите така или иначе. От моя гледна точка е по-изгодно първо да разгледаме сегментите успоредни координатни оси, и на първо място тези, които лежат върху самите оси. За да разберете цялата последователност и логика на действията, опитайте се да изучите края „на един дъх“:

1) Нека се заемем с долната страна на триъгълника. За да направите това, заменете директно във функцията:

Като алтернатива можете да го направите по следния начин:

Геометрично това означава, че координатна равнина (което също е дадено от уравнението)"издълбава" от повърхности"пространствена" парабола, чийто връх веднага попада под съмнение. Нека разберем къде се намира тя:

– получената стойност „падна“ в зоната и може да се окаже, че в точката (отбелязано на чертежа)функцията достига най-голямата или най-малката стойност в целия регион. По един или друг начин, нека направим изчисленията:

Другите „кандидати” са, разбира се, края на сегмента. Нека изчислим стойностите на функцията в точки (отбелязано на чертежа):

Тук, между другото, можете да извършите устна мини-проверка, като използвате „съкратена“ версия:

2) За изследване правилната страназаместваме триъгълника във функцията и „подреждаме нещата“:

Тук веднага ще извършим груба проверка, „звънейки“ на вече обработения край на сегмента:
, Страхотен.

Геометричната ситуация е свързана предишна точка:

– получената стойност също „попадна в сферата на нашите интереси“, което означава, че трябва да изчислим на какво е равна функцията в появилата се точка:

Нека разгледаме втория край на сегмента:

Използване на функцията , нека направим контролна проверка:

3) Вероятно всеки може да се досети как да изследва останалата страна. Ние го заместваме във функцията и извършваме опростявания:

Краища на сегмента вече са проучени, но в черновата все още проверяваме дали сме намерили функцията правилно :
– съвпадна с резултата от алинея 1;
– съвпадна с резултата от 2-ра алинея.

Остава да разберем дали има нещо интересно вътре в сегмента:

- Има! Замествайки правата линия в уравнението, получаваме ординатата на тази „интересност“:

Маркираме точка на чертежа и намираме съответната стойност на функцията:

Нека проверим изчисленията с помощта на „бюджетната“ версия :
, поръчка.

И последната стъпка: Ние ВНИМАТЕЛНО преглеждаме всички „удебелени“ числа, препоръчвам на начинаещите дори да направят един списък:

от които избираме най-голямата и най-малката стойност. ОтговорНека запишем в стила на задачата за намиране най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент:

За всеки случай пак ще коментирам геометричен смисълрезултат:
– тук е най-високата точка на повърхността в района;
– тук е най-ниската точка на повърхността в района.

В анализираната задача идентифицирахме 7 „съмнителни“ точки, но техният брой варира от задача до задача. За триъгълен регион минималният "набор за изследване" се състои от три точки. Това се случва, когато функцията например указва самолет– напълно ясно е, че стационарни точки няма и функцията може да достигне своите максимални/най-малки стойности само във върховете на триъгълника. Но има само един или два подобни примера - обикновено трябва да се справите с някои повърхност от 2-ри ред.

Ако се опитате да решите малко такива задачи, тогава триъгълниците могат да ви замаят главата и затова подготвих за вас необичайни примеритака че да стане квадрат :))

Пример 2

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция в затворена зона, ограничена с линии

Пример 3

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция в ограничена затворена област.

Специално вниманиеОбърнете внимание на рационалния ред и техника на изучаване на границата на региона, както и на веригата от междинни проверки, които почти напълно ще избегнат изчислителните грешки. Най-общо казано, можете да го решите както искате, но в някои задачи, например в Пример 2, има всички шансове да направите живота си много по-труден. Приблизителна пробазавършване на задачите в края на урока.

Нека систематизираме алгоритъма за решение, иначе с моето старание като паяк някак си се изгуби в дългата нишка от коментари на 1-вия пример:

– На първата стъпка изграждаме зона, препоръчително е да я засенчваме и да подчертаем границата с удебелена линия. По време на решението ще се появят точки, които трябва да бъдат маркирани на чертежа.

– Намерете стационарни точки и изчислете стойностите на функцията само в тези от тяхкоито принадлежат към региона. Маркираме получените стойности в текста (например, кръгирайте ги с молив). Ако стационарна точка НЕ ​​принадлежи към региона, тогава отбелязваме този факт с икона или устно. Ако изобщо няма стационарни точки, тогава правим писмено заключение, че те липсват. Във всеки случай тази точка не може да бъде пропусната!

– Проучваме границата на региона. Първо, полезно е да разберете правите линии, които са успоредни на координатните оси (ако изобщо ги има). Ние също така подчертаваме стойностите на функцията, изчислени в „подозрителни“ точки. По-горе беше казано много за техниката на решение и още нещо ще бъде казано по-долу - четете, препрочитайте, задълбавайте в нея!

– От избраните числа изберете най-голямата и най-малката стойност и дайте отговора. Понякога се случва функцията да достигне такива стойности в няколко точки наведнъж - в този случай всички тези точки трябва да бъдат отразени в отговора. нека например и се оказа, че това е най-малката стойност. След това записваме това

Последните примери са посветени на др полезни идеикоито ще бъдат полезни на практика:

Пример 4

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция в затворена област .

Запазих формулировката на автора, в която площта е дадена под формата на двойно неравенство. Това условие може да бъде написано чрез еквивалентна система или в по-традиционна форма за този проблем:

Напомням ви, че с нелинейнисрещнахме неравенства и ако не разбирате геометричния смисъл на нотацията, моля, не отлагайте и изяснете ситуацията точно сега;-)

Решение, както винаги, започва с изграждането на област, която представлява един вид „подметка“:

Хм, понякога трябва да дъвчете не само гранита на науката...

I) Намерете стационарни точки:

Системата е мечта на идиот :)

Стационарна точка принадлежи на региона, а именно лежи на неговата граница.

И така, всичко е наред... урокът мина добре - ето какво означава да пиете правилния чай =)

II) Изследваме границата на региона. Без повече шум, нека започнем с оста x:

1) Ако , тогава

Нека намерим къде е върхът на параболата:
– ценете такива моменти – „уцелили“ сте точно до точката, от която вече всичко е ясно. Но все пак не забравяме проверката:

Нека изчислим стойностите на функцията в краищата на сегмента:

2) В отдолуНека да разберем „дъната“ „на едно заседание“ - ние ги заместваме във функцията без никакви комплекси и ще се интересуваме само от сегмента:

Контрол:

Това вече носи известно вълнение в монотонното шофиране по назъбената писта. Нека намерим критичните точки:

Нека решим квадратно уравнение, помниш ли още нещо по въпроса? ...Въпреки това, не забравяйте, разбира се, иначе нямаше да четете тези редове =) Ако в двата предишни примера изчисленията в десетични знаци(което, между другото, е рядкост), тогава тук ни очакват обичайните обикновени дроби. Намираме корените „X“ и използваме уравнението, за да определим съответните координати на „играта“ на точките „кандидат“:


Нека изчислим стойностите на функцията в намерените точки:

Проверете сами функцията.

Сега внимателно проучваме спечелените трофеи и ги записваме отговор:

Това са „кандидати“, това са „кандидати“!

За да го решите сами:

Пример 5

Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция в затворена зона

Запис с фигурни скоби гласи така: „набор от точки, такива, че.“

Понякога в подобни примериизползване Метод на умножителя на Лагранж, но едва ли ще има реална нужда от използването му. Така например, ако е дадена функция със същата площ „de“, то след заместване в нея – с производна от без затруднения; Освен това всичко е съставено в „един ред“ (със знаци), без да е необходимо да се разглеждат отделно горните и долните полукръгове. Но, разбира се, има и още сложни случаи, къде без функцията на Лагранж (където например е същото уравнение на кръг)Трудно е да минеш - както е трудно да минеш без добра почивка!

Приятно прекарване на всички и до скоро следващия сезон!

Решения и отговори:

Пример 2: Решение: Нека изобразим областта на чертежа:

Най-голямата (най-малката) стойност на функция е най-голямата (най-малката) приета стойност на ординатата на разглеждания интервал.

За да намерите най-голямата или най-малката стойност на функция, трябва да:

  1. Проверете кои неподвижни точки са включени в даден сегмент.
  2. Изчислете стойността на функцията в краищата на сегмента и в стационарни точки от стъпка 3
  3. Изберете най-голямата или най-малката стойност от получените резултати.

За да намерите максималните или минималните точки, трябва да:

  1. Намерете производната на функцията $f"(x)$
  2. Намерете стационарни точки, като решите уравнението $f"(x)=0$
  3. Разлагане на производната на функция.
  4. Начертайте координатна линия, поставете неподвижни точки върху нея и определете знаците на производната в получените интервали, като използвате нотацията в стъпка 3.
  5. Намерете максималните или минималните точки според правилото: ако в дадена точка производната промени знака от плюс на минус, тогава това ще бъде максималната точка (ако от минус на плюс, тогава това ще бъде минималната точка). На практика е удобно да се използва изображението на стрелки на интервали: на интервала, където производната е положителна, стрелката се изтегля нагоре и обратно.

Таблица с производни на някои елементарни функции:

функция Производна
$c$ $0$
$x$ $1$
$x^n, n∈N$ $nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$ $-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$ $-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$ $(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$ $cosx$
$cosx$ $-sinx$
$tgx$ $(1)/(cos^2x)$
$ctgx$ $-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$ $-sin2x$
$грех^2x$ $sin2x$
$e^x$ $e^x$
$a^x$ $a^xlna$
$lnx$ $(1)/(x)$
$log_(a)x$ $(1)/(xlna)$

Основни правила за диференциране

1. Производната на сбора и разликата е равна на производната на всеки член

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Намерете производната на функцията $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Производната на сбора и разликата е равна на производната на всеки член

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Производна на продукта.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Намерете производната $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Производна на частното

$((f(x))/(g(x)"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Намерете производната $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Производна сложна функцияравно на произведението на производната външна функциякъм производната на вътрешната функция

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Намерете минималната точка на функцията $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Да намерим ODZ функции: $x+11>0; x>-11$

2. Намерете производната на функцията $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Намерете стационарни точки чрез приравняване на производната на нула

$(2x+21)/(x+11)=0$

Дроб е равна на нула, ако числителят равно на нула, а знаменателят не е нула

$2x+21=0; x≠-11$

4. Нека да начертаем координатна линия, да поставим неподвижни точки върху нея и да определим знаците на производната в получените интервали. За да направите това, заменете произволно число от най-десния регион в производната, например нула.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. В минималната точка производната променя знака от минус на плюс, следователно точката $-10,5$ е минималната точка.

Отговор: $-10,5$

Намерете най-голямата стойност на функцията $y=6x^5-90x^3-5$ на отсечката $[-5;1]$

1. Намерете производната на функцията $y′=30x^4-270x^2$

2. Приравнете производната на нула и намерете стационарни точки

$30x^4-270x^2=0$

Ще го извадим общ множител$30x^2$ в скоби

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Нека приравним всеки фактор към нула

$x^2=0 ; х-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Изберете неподвижни точки, които принадлежат даден сегмент $[-5;1]$

Устройват ни стационарните точки $x=0$ и $x=-3$

4. Изчислете стойността на функцията в краищата на отсечката и в стационарни точки от стъпка 3


От практическа гледна точка най-голям интерес представлява използването на производната за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция. С какво е свързано това? Максимизиране на печалбите, минимизиране на разходите, определяне на оптималното натоварване на оборудването... С други думи, в много области на живота ни се налага да решаваме проблеми с оптимизирането на някои параметри. И това са задачите за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция.

Трябва да се отбележи, че най-големите и най-малките стойности на функция обикновено се търсят на определен интервал X, който е или цялата област на функцията, или част от областта на дефиниция. Самият интервал X може да бъде сегмент, отворен интервал , безкраен интервал.

В тази статия ще говорим за намирането на най-големите и най-малките стойности изрично дадена функцияедна променлива y=f(x) .

Навигация в страницата.

Най-голяма и най-малка стойност на функция - определения, илюстрации.

Нека разгледаме накратко основните определения.

Най-голямата стойност на функцията че за всеки неравенството е вярно.

Най-малката стойност на функцията y=f(x) на интервала X се нарича такава стойност че за всеки неравенството е вярно.

Тези дефиниции са интуитивни: най-голямата (най-малката) стойност на функция е най-голямата (най-малката) приета стойност на разглеждания интервал на абсцисата.

Стационарни точки– това са стойностите на аргумента, при които производната на функцията става нула.

Защо се нуждаем от стационарни точки, когато намираме най-големите и най-малките стойности? Отговор на този въпрос дава теоремата на Ферма. От тази теорема следва, че ако диференцируема функция има екстремум (локален минимум или локален максимум) в дадена точка, тогава тази точка е неподвижна. По този начин функцията често приема своята най-голяма (най-малка) стойност на интервала X в една от стационарните точки от този интервал.

Също така, една функция често може да приеме своите най-големи и най-малки стойности в точки, в които първата производна на тази функция не съществува и самата функция е дефинирана.

Нека веднага да отговорим на един от най-често срещаните въпроси по тази тема: „Винаги ли е възможно да се определи най-голямата (най-малката) стойност на функция“? Не винаги. Понякога границите на интервала X съвпадат с границите на областта на дефиниране на функцията или интервалът X е безкраен. И някои функции в безкрайност и на границите на областта на дефиницията могат да приемат както безкрайно големи, така и безкрайно малки стойности. В тези случаи не може да се каже нищо за най-голямата и най-малката стойност на функцията.

За яснота ще дадем графична илюстрация. Вижте снимките и много неща ще ви станат по-ясни.

На сегмента


На първата фигура функцията приема най-големите (max y) и най-малките (min y) стойности в стационарни точки, разположени вътре в сегмента [-6;6].

Разгледайте случая, изобразен на втората фигура. Нека променим сегмента на . В този пример най-малката стойност на функцията се постига при неподвижна точка, а най-голям - в точката с абсцисата, съответстваща на дясната граница на интервала.

На фигура 3 граничните точки на сегмента [-3;2] са абсцисите на точките, съответстващи на най-голямата и най-малката стойност на функцията.

На отворен интервал


На четвъртата фигура функцията приема най-големите (max y) и най-малките (min y) стойности в стационарни точки, разположени вътре отворен интервал (-6;6) .

На интервала не могат да се направят изводи за най-голямата стойност.

В безкрайност


В примера, представен на седмата фигура, функцията приема най-голямата стойност (max y) в стационарна точка с абциса x=1, а най-малката стойност (min y) се постига на дясната граница на интервала. При минус безкрайност стойностите на функцията асимптотично се доближават до y=3.

През интервала функцията не достига нито най-малката, нито най-голямата стойност. Когато x=2 се приближава отдясно, стойностите на функцията клонят към минус безкрайност (линията x=2 е вертикална асимптота), а когато абсцисата клони към плюс безкрайност, стойностите на функцията асимптотично се доближават до y=3. Графична илюстрация на този пример е показана на фигура 8.

Алгоритъм за намиране на най-големите и най-малките стойности на непрекъсната функция на сегмент.

Нека напишем алгоритъм, който ни позволява да намерим най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент.

  1. Намираме домейна на дефиниция на функцията и проверяваме дали съдържа целия сегмент.
  2. Намираме всички точки, в които първата производна не съществува и които се съдържат в сегмента (обикновено такива точки се намират във функции с аргумент под знака на модула и в мощностни функциис дробно-рационален показател). Ако няма такива точки, преминете към следващата точка.
  3. Определяме всички неподвижни точки, попадащи в сегмента. За да направите това, ние го приравняваме към нула, решаваме полученото уравнение и избираме подходящи корени. Ако няма стационарни точки или нито една от тях не попада в сегмента, преминете към следващата точка.
  4. Изчисляваме стойностите на функцията в избрани стационарни точки (ако има такива), в точки, в които първата производна не съществува (ако има такава), както и при x=a и x=b.
  5. От получените стойности на функцията избираме най-голямата и най-малката - те ще бъдат съответно необходимите най-големи и най-малки стойности на функцията.

Нека анализираме алгоритъма за решаване на пример за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция в сегмент.

Пример.

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция

  • на сегмента;
  • на отсечката [-4;-1] .

Решение.

Домейнът на функция е цялото множество реални числа, с изключение на нула, т.е. И двата сегмента попадат в областта на дефиницията.

Намерете производната на функцията по отношение на:

Очевидно производната на функцията съществува във всички точки на отсечките и [-4;-1].

Определяме стационарни точки от уравнението. Единствения истински корене x=2. Тази неподвижна точка попада в първия сегмент.

За първия случай изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента и в стационарната точка, т.е. за x=1, x=2 и x=4:

Следователно най-голямата стойност на функцията се постига при x=1 и най-малката стойност – при х=2.

За втория случай изчисляваме стойностите на функцията само в краищата на сегмента [-4;-1] (тъй като не съдържа нито една неподвижна точка):