Какво е площ?
Площта е характеристика на затворена геометрична фигура (кръг, квадрат, триъгълник и др.), която показва нейния размер. Площ, измерена в квадратни сантиметри, метри и др. Означава се с буквата С(квадрат).
Как да намерите площта на триъгълник?
S= а ч
Къде а– дължина на основата, ч– височината на триъгълника, начертана към основата.
Освен това основата не трябва да е отдолу. Това също ще свърши работа.
Ако триъгълник тъп, тогава височината се понижава до продължението на основата:
Ако триъгълник правоъгълен, тогава основата и височината са неговите крака:
2. Друга формула, която е не по-малко полезна, но по някаква причина винаги се забравя:
S= a b sinα
Къде аи b- две страни на триъгълника, sinαе синусът на ъгъла между тези страни.
Основното условие е ъгълът да е взет между две известни страни.
3. Формула за площ от три страни (формула на Херон):
S=
Къде а, bи сса страните на триъгълника и r –полупериметър стр = (a+b+c)/2.
4. Формула за площта на триъгълник по отношение на радиуса на описаната окръжност:
S=
Къде а, bи сса страните на триъгълника и R –радиус на описаната окръжност.
5. Формула за площта на триъгълник по отношение на радиуса на вписания кръг:
S= p · r
Къде r –полупериметър на триъгълник и r –радиус на вписаната окръжност.
Как да намерите площта на правоъгълник?
1. Площта на правоъгълник се намира доста просто:
S=а b
Без трикове.
Как да намерите площта на квадрат?
1. Тъй като квадратът е правоъгълник с равни страни, за него се прилага същата формула:
S=а · а = а 2
2. Също така, площта на квадрат може да се намери чрез неговия диагонал:
S= d 2
Как да намерите площта на успоредник?
1. Площта на успоредник се намира по формулата:
S=а ч
Това се дължи на факта, че ако изрежете правоъгълен триъгълник от него отдясно и го поставите отляво, ще получите правоъгълник:
2. Също така площта на успоредник може да се намери чрез ъгъла между двете страни:
S=а · b · sinα
Как да намерите площта на ромб?
Ромбът по същество е успоредник с равни страни. Следователно за него се прилагат същите формули за площ.
1. Площ на ромб през височина:
S=а ч
Всички формули за площ плоски фигури
Площ на равнобедрен трапец
1. Формула за площта на равнобедрен трапец, използвайки страни и ъгли
а - долна основа
b - горна основа
c - равен страни
α - ъгъл при долната основа
Формула за площта на равнобедрен трапец през страните, (S):
Формула за площта на равнобедрен трапец, използвайки страни и ъгли, (S):
2. Формула за площта на равнобедрен трапец по отношение на радиуса на вписания кръг
R - радиус на вписаната окръжност
D - диаметър на вписаната окръжност
O - център на вписана окръжност
α, β - ъгли на трапец
Формула за площта на равнобедрен трапец по отношение на радиуса на вписаната окръжност, (S):
FAIR, за вписана окръжност в равнобедрен трапец:
3. Формула за площта на равнобедрен трапец през диагоналите и ъгъла между тях
d- диагонал на трапец
α,β- ъгли между диагоналите
Формула за площта на равнобедрен трапец през диагоналите и ъгъла между тях, (S):
4. Формула за площта на равнобедрен трапец през средна линия, страна и ъгъл в основата
c- страна
m - средна линия на трапец
α, β - ъгли при основата
Формула за площта на равнобедрен трапец, използвайки средната линия, страничната страна и основния ъгъл,
(S): 
5. Формула за площта на равнобедрен трапец, използвайки основи и височина
а - долна основа
b - горна основа
h - височина на трапеца
Формула за площта на равнобедрен трапец, използвайки основи и височина, (S):
Площ на триъгълник, базиран на страна и два ъгъла, формула.
a, b, c - страни на триъгълника
α, β, γ - противоположни ъгли
Площ на триъгълник през страна и два ъгъла (S):
Формула за площта на правилен многоъгълник
a - страна на многоъгълника
n - брой страни
Площ на правилен многоъгълник, (S):
Формула (Heron) за площта на триъгълник през полупериметъра (S):
Площта на равностранен триъгълник е:
Формули за изчисляване на площта на равностранен триъгълник.
a - страна на триъгълника
h – височина
Как да изчислим площта на равнобедрен триъгълник?
b - основа на триъгълника
а - равни страни
h – височина
3. Формула за площта на трапец с четири страни
а - долна основа
b - горна основа
c, d - страни
Радиус на описаната окръжност на трапец по страните и диагоналите
a - странични страни на трапеца
c - долна основа
b - горна основа
d - диагонал
h - височина
Формула за кръгов радиус на трапец, (R)
намерете радиуса на описаната около него равнобедрен триъгълник, като използвате страните
Познавайки страните на равнобедрен триъгълник, можете да използвате формулата, за да намерите радиуса на описаната окръжност около този триъгълник.
a, b - страни на триъгълника
Радиус на обкръжението на равнобедрен триъгълник (R):
Радиус на вписаната окръжност в шестоъгълник
a - страна на шестоъгълника
Радиус на вписаната окръжност в шестоъгълник, (r):
Радиус на вписаната окръжност в ромб
r - радиус на вписаната окръжност
a - страна на ромба
D, d - диагонали
h - височина на ромба
Радиус на вписаната окръжност в равностранен трапец
c - долна основа
b - горна основа
а - страни
h - височина
Радиус на вписаната окръжност в правоъгълен триъгълник
a, b - катети на триъгълника
c - хипотенуза
Радиус на вписаната окръжност в равнобедрен триъгълник
a, b - страни на триъгълника
Докажете, че лицето на вписан четириъгълник е
\/(р - а)(р - b) (р - с) (р - d),
където p е полупериметърът, а a, b, c и d са страните на четириъгълника.
Докажете, че площта на четириъгълник, вписан в окръжност, е равна на
1/2 (ab + cb) · sin α, където a, b, c и d са страните на четириъгълника, а α е ъгълът между страните a и b.
S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Прочетете повече на FB.ru:
Квадрат произволен четириъгълник(фиг. 1.13) може да се изрази чрез неговите страни a, b, c и сумата от двойка противоположни ъгли:
където p е полупериметърът на четириъгълника.
Площта на четириъгълник, вписан в кръг () (фиг. 1.14, а) се изчислява по формулата на Брахмагупта
и описан (фиг. 1.14, b) () - съгласно формулата
Ако четириъгълникът е вписан и описан едновременно (фиг. 1.14, c), тогава формулата става много проста:
Формулата на Пик
За да оцените площта на многоъгълник върху карирана хартия, достатъчно е да преброите колко клетки покрива този многоъгълник (приемаме площта на клетката като една). По-точно, ако S е площта на многоъгълника, е броят на клетките, които лежат изцяло вътре в многоъгълника, и е броят на клетките, които имат поне една обща точка с вътрешността на многоъгълника.
По-долу ще разгледаме само тези многоъгълници, чиито върхове лежат във възлите на карираната хартия - тези, където линиите на мрежата се пресичат. Оказва се, че за такива многоъгълници може да се посочи следната формула:
където е площта, r е броят на възлите, които лежат строго вътре в многоъгълника.
Тази формула се нарича "формула на избор" - на името на математика, който я открива през 1899 г.
За да решавате геометрични задачи, трябва да знаете формули - като площта на триъгълник или площта на успоредник - както и прости техники, за които ще говорим.
Първо, нека научим формулите за площите на фигурите. Специално сме ги събрали в удобна таблица. Отпечатайте, научете и прилагайте!
Разбира се, не всички геометрични формули са в нашата таблица. Например за решаване на задачи по геометрия и стереометрия във втората част профил Единен държавен изпитВ математиката се използват и други формули за площта на триъгълник. Определено ще ви разкажем за тях.
Но какво ще стане, ако трябва да намерите не площта на трапец или триъгълник, а площта на някаква сложна фигура? Яжте универсални методи! Ще ги покажем с помощта на примери от банката задачи на FIPI.
1. Как да намерите площта на нестандартна фигура? Например произволен четириъгълник? Проста техника - нека разделим тази фигура на тези, за които знаем всичко, и да намерим нейната площ - като сумата от площите на тези фигури.
Нека разделим този четириъгълник хоризонтална линияна два триъгълника обща основа, равно на . Височините на тези триъгълници са равни на и . Тогава площта на четириъгълника е равна на сумата от площите на двата триъгълника: .
Отговор: .
2. В някои случаи площта на фигура може да бъде представена като разлика на някои области.
Не е толкова лесно да се изчисли на какво са равни основата и височината на този триъгълник! Но можем да кажем, че неговата площ е равна на разликата между площите на квадрат със страна и три правоъгълнитриъгълници. Виждате ли ги на снимката? Получаваме: .
Отговор: .
3. Понякога в задача трябва да намерите площта не на цялата фигура, а на част от нея. Обикновено говорим за площта на сектор - част от кръг. Намерете площта на сектор от кръг с радиус, чиято дъга е равна на .
На тази снимка виждаме част от кръг. Площта на целия кръг е равна на. Остава да разберете коя част от кръга е изобразена. Тъй като дължината на цялата окръжност е равна (тъй като) и дължината на дъгата на даден сектор е равна, следователно дължината на дъгата е един път по-малка от дължината на цялата окръжност. Ъгълът, под който лежи тази дъга, също е няколко пъти по-малък от пълен кръг(тоест градуси). Това означава, че площта на сектора ще бъде няколко пъти по-малка от площта на целия кръг.
Квадрати геометрични форми - числови стойности, характеризиращи размера им в двумерното пространство. Тази стойност може да бъде измерена в системни и несистемни единици. Така, например, несистемна единица площ е стотна, хектар. Такъв е случаят, ако повърхността, която се измерва, е парче земя. Системната единица за площ е квадратът на дължината. В системата SI е общоприето, че единицата площ на равна повърхност е квадратен метър. IN GHS единицаплощта се изразява в квадратен сантиметър.
Формулите за геометрия и площ са неразривно свързани. Тази връзка се състои в това, че изчисляването на площите на равнинните фигури се основава именно на тяхното приложение. За много фигури се извличат няколко опции, от които се изчисляват техните квадратни размери. Въз основа на данните от постановката на задачата можем да определим най-простото възможно решение. Това ще улесни изчислението и ще намали до минимум вероятността от изчислителни грешки. За да направите това, помислете за основните области на фигурите в геометрията.
Формулите за намиране на площта на всеки триъгълник са представени в няколко варианта:
1) Площта на триъгълник се изчислява от основата a и височината h. За основа се счита страната на фигурата, върху която се спуска височината. Тогава площта на триъгълника е:
2) Площ правоъгълен триъгълниксе изчислява по абсолютно същия начин, ако хипотенузата се счита за основа. Ако вземем крака като основа, тогава площта на правоъгълния триъгълник ще бъде равна на произведението на краката наполовина.
Формулите за изчисляване на площта на всеки триъгълник не свършват дотук. Друг израз съдържа страни a,bи синусоидална функция на ъгъла γ между a и b. Стойността на синуса се намира в таблиците. Можете също да го намерите с помощта на калкулатор. Тогава площта на триъгълника е:
Използвайки това равенство, можете също да се уверите, че площта на правоъгълен триъгълник се определя чрез дължините на краката. защото ъгъл γ е прав ъгъл, така че площта на правоъгълен триъгълник се изчислява без умножаване по функцията синус.
3) Помислете специален случай - правилен триъгълник, чиято страна a е известна по условие или чиято дължина може да бъде намерена в решението. Нищо повече не се знае за фигурата в геометричната задача. Тогава как да намерим площта при това условие? В този случай се прилага формулата за площта на правилен триъгълник:
Правоъгълник
Как да намерим площта на правоъгълник и да използваме размерите на страните, които имат общ връх? Изразът за изчисление е:
Ако трябва да използвате дължините на диагоналите, за да изчислите площта на правоъгълник, тогава ще ви трябва функция на синуса на ъгъла, образуван при пресичането им. Тази формула за площта на правоъгълник е:
Квадрат
Площта на квадрат се определя като втора степен на дължината на страната:
Доказателството следва от определението, че квадратът е правоъгълник. Всички страни, които образуват квадрат, имат еднакви размери. Следователно изчисляването на площта на такъв правоъгълник се свежда до умножаване един по друг, т.е. до втората степен на страната. И формулата за изчисляване на площта на квадрат ще приеме желаната форма.
Площта на квадрат може да се намери по друг начин, например, ако използвате диагонала:
Как да изчислим площта на фигура, която е образувана от част от равнина, ограничено от кръг? За да изчислите площта, формулите са:
Успоредник
За успоредник формулата съдържа линейните размери на страната, височината и математическата операция - умножение. Ако височината е неизвестна, тогава как да намерите площта на паралелограма? Има и друг начин за изчисляване. Ще се изисква специфична стойност, което ще отнеме тригонометрична функцияъгълът, образуван от съседните страни, както и тяхната дължина.
Формулите за площта на успоредник са:
Ромб
Как да намерим площта на четириъгълник, наречен ромб? Площта на ромба се определя с помощта на проста математически операциис диагонали. Доказателството се основава на факта, че диагоналните отсечки в d1 и d2 се пресичат под прав ъгъл. От таблицата на синусите се вижда, че за прав ъгъл тази функцияравно на едно. Следователно площта на ромба се изчислява, както следва:
Площта на ромба може да се намери и по друг начин. Това също не е трудно за доказване, като се има предвид, че страните му са еднакви по дължина. След това заменете техния продукт в подобен израз за успоредник. В края на краищата, специален случай на тази конкретна фигура е ромб. Тук γ - вътрешен ъгълромб Площта на ромба се определя, както следва:
Трапец
Как да намерим площта на трапец през основите (a и b), ако задачата показва техните дължини? Тук без известна стойностдължина на височина h, няма да е възможно да се изчисли площта на такъв трапец. защото тази стойност съдържа израза за изчисление:
Квадратен размер правоъгълен трапецсъщо може да се изчисли по същия начин. Взема се предвид, че в правоъгълен трапец се комбинират понятията височина и страна. Следователно за правоъгълен трапец трябва да посочите дължината на страничната страна вместо височината.
Цилиндър и паралелепипед
Нека разгледаме какво е необходимо за изчисляване на повърхността на целия цилиндър. Площта на дадена фигура е чифт кръгове, наречени основи, и странична повърхност. Окръжностите, образуващи окръжности, имат дължини на радиуса, равни на r. За площта на цилиндър се извършва следното изчисление:
Как да намерим площта на паралелепипед, който се състои от три чифта лица? Размерите му отговарят на конкретния чифт. Противоположните лица имат еднакви параметри. Първо, намерете S(1), S(2), S(3) - квадратните размери на неравните лица. Тогава повърхността на паралелепипеда е:
Пръстен
Два кръга с общ центъробразуват пръстен. Те също така ограничават площта на пръстена. В същото време и двете формули за изчислениевземете предвид размерите на всеки кръг. Първият от тях, изчисляващ площта на пръстена, съдържа по-големия R и по-малкия r радиус. По-често те се наричат външни и вътрешни. Във втория израз площта на пръстена се изчислява чрез по-големия D и по-малкия d диаметър. По този начин площта на пръстена въз основа на известни радиуси се изчислява, както следва:
Площта на пръстена, като се използват дължините на диаметрите, се определя, както следва:
Многоъгълник
Как да намерим площта на многоъгълник, чиято форма не е правилна? Обща формулаНяма такива цифри за площ. Но ако тя е изобразена на координатна равнинанапример може да бъде карирана хартия, тогава как да намерим повърхността в този случай? Тук те използват метод, който не изисква приблизително измерване на фигурата. Те правят това: ако намерят точки, които попадат в ъгъла на клетката или имат цели координати, тогава само те се вземат предвид. За да разберете каква е площта, използвайте формулата, доказана от Peake. Необходимо е да добавите броя на точките, разположени вътре в прекъснатата линия с половината точки, лежащи върху нея, и да извадите една, т.е. изчислява се по следния начин:
където B, G са броят точки, разположени съответно вътре и върху цялата начупена линия.