Ъгли на равнобедрен трапец. здравей Тази статия ще се съсредоточи върху решаването на задачи с трапец. Тази група задачи е част от изпита, задачите са прости. Ще изчислим ъглите на трапеца, основата и височината. Решаването на редица проблеми се свежда до решаването, както се казва: закъде сме без Питагоровата теорема?
Ще работим с равнобедрен трапец. Има равни страни и ъгли в основите. В блога има статия за трапеца.
Нека отбележим малък и важен нюанс, който няма да описваме подробно в процеса на решаване на самите задачи. Вижте, ако са ни дадени две основи, тогава по-голямата основа със спуснатите към нея височини се разделя на три сегмента - единият е равен на по-малката основа (това са срещуположните страни на правоъгълника), другите две са равни на всяка други (това са катетите на равни правоъгълни триъгълници):
Прост пример: дадени са две основи на равнобедрен трапец 25 и 65. По-голямата основа е разделена на сегменти, както следва:
*И още! В задачите не са включени буквени символи. Това беше направено умишлено, за да не се претовари решението с алгебрични уточнения. Съгласен съм, че това е математически неграмотно, но целта е да се разбере идеята. И винаги можете сами да направите обозначенията за върхове и други елементи и да запишете математически правилно решение.
Нека разгледаме задачите:
27439. Основите на равнобедрен трапец са 51 и 65. Страните са 25. Намерете синуса на острия ъгъл на трапеца.
За да намерите ъгъла, трябва да построите височините. В скицата отбелязваме данните в условието за количество. Долната основа е 65, с височини е разделена на сегменти 7, 51 и 7:
В правоъгълен триъгълник знаем хипотенузата и катета, можем да намерим втория катет (височината на трапеца) и след това да изчислим синуса на ъгъла.
Според Питагоровата теорема посоченият крак е равен на:
Така:
Отговор: 0,96
27440. Основите на равнобедрен трапец са 43 и 73. Косинусът на остър ъгъл на трапец е 5/7. Намерете страната.
Нека построим височините и отбележим данните в условието за величина, долната основа е разделена на сегменти 15, 43 и 15:
27441. По-голямата основа на равнобедрен трапец е 34. Страната е 14. Синусът на остър ъгъл е (2√10)/7. Намерете по-малката основа.
Да строим височини. За да намерим по-малката основа, трябва да намерим на какво е равен сегментът, който е катет в правоъгълния триъгълник (посочен в синьо):
Можем да изчислим височината на трапеца и след това да намерим крака:
Използвайки теоремата на Питагор, изчисляваме крака:
Така че по-малката основа е:
27442. Основите на равнобедрен трапец са 7 и 51. Тангенсът на остър ъгъл е 5/11. Намерете височината на трапеца.
Нека построим височините и маркираме данните в условието за величина. Долната основа е разделена на сегменти:
какво да правя Изразяваме тангенса на познатия ни ъгъл в основата в правоъгълен триъгълник:
27443. По-малката основа на равнобедрен трапец е 23. Височината на трапеца е 39. Тангенсът на остър ъгъл е 13/8. Намерете по-голяма основа.
Изграждаме височините и изчисляваме на какво е равен кракът:
Така по-голямата база ще бъде равна на:
27444. Основите на равнобедрен трапец са 17 и 87. Височината на трапеца е 14. Намерете тангенса на острия ъгъл.
Изграждаме височини и отбелязваме известни стойности на скицата. Долната основа е разделена на сегменти 35, 17, 35:
По дефиниция на допирателната:
77152. Основите на равнобедрен трапец са 6 и 12. Синусът на остър ъгъл на трапец е 0,8. Намерете страната.
Нека изградим скица, конструираме височини и маркираме известни стойности, по-голямата основа е разделена на сегменти 3, 6 и 3:
Нека изразим хипотенузата, обозначена като x, през косинуса:
От основното тригонометрично тъждество намираме cosα
Така:
27818. Колко е по-големият ъгъл на равнобедрен трапец, ако се знае, че разликата между срещуположните ъгли е 50 0? Дайте отговора си в градуси.
От курса по геометрия знаем, че ако имаме две успоредни прави и една напречна, сумата от вътрешните едностранни ъгли е равна на 180 0. В нашия случай е така
Условието казва, че разликата между противоположните ъгли е 50 0, т.е
От точки D и C спускаме две височини:
Както бе споменато по-горе, те разделят по-голямата основа на три сегмента: единият е равен на по-малката основа, другите два са равни един на друг.
В случая те са 3, 9 и 3 (общо 15). Освен това отбелязваме, че правоъгълните триъгълници са отрязани от височини и те са равнобедрени, тъй като ъглите в основата са равни на 45 0. От това следва, че височината на трапеца ще бъде равна на 3.
Това е всичко! Успех на теб!
С най-добри пожелания, Александър.
Инструкции
Ако са известни дължините на двете основи (b и c) и еднаквите по дефиниция странични страни (a) на равнобедрен, тогава може да се използва правоъгълен триъгълник за изчисляване на стойността на един от неговите остри ъгли (γ). За да направите това, намалете височината от всеки ъгъл, съседен на късата основа. Правоъгълният триъгълник ще бъде образуван от височина (), страна (хипотенуза) и сегмент от дългата основа между височината и близката страна (втория катет). Дължината на този сегмент може да се намери, като се извади дължината на по-малкия от дължината на по-голямата основа и резултатът се раздели наполовина: (c-b)/2.
След като получите дължините на две съседни страни на правоъгълен триъгълник, преминете към изчисляване на ъгъла между тях. Съотношението на дължината на хипотенузата (a) към дължината на катета ((c-b)/2) дава стойността на косинуса на този ъгъл (cos(γ)), и функцията аркосинус ще помогне да го преобразувате в ъгъл в градуси: γ=arccos(2*a/(c-b )). По този начин ще получите стойността на един от острите ъгли и тъй като е равнобедрен, вторият остър ъгъл ще има същата стойност. Сумата от всички ъгли трябва да бъде 360°, което означава, че сумата от два ъгъла ще бъде равна на разликата между този и два пъти по-големия остър ъгъл. Тъй като и двата тъпи ъгъла ще бъдат еднакви, за да се намери стойността на всеки от тях (α), тази разлика трябва да се раздели наполовина: α = (360°-2*γ)/2 = 180°-arccos(2* a/(c-b)) . Сега имате изчисления на всички ъгли на равнобедрен трапец при известните дължини на страните му.
Ако дължините на страните на фигурата са неизвестни, но е дадена нейната височина (h), тогава трябва да продължите по същата схема. В този случай в правоъгълен триъгълник, съставен от , страна и къс сегмент от дълга основа, ще знаете дължините на два крака. Тяхното съотношение определя тангенса на нужния ви ъгъл, като тази тригонометрична функция има и свой собствен антипод, който преобразува стойността на тангенса в стойността на ъгъла - арктангенс. Трансформирайте съответно формулите за остри и тъпи ъгли, получени в предишната стъпка: γ = arctg(2*h/(c-b)) и α = 180°-arctg(2*h/(c-b)).
За да разрешите този проблем с помощта на методите на векторната алгебра, трябва да знаете следните понятия: геометрична векторна сума и скаларно произведение на вектори, а също така трябва да запомните свойството на сумата от вътрешните ъгли на четириъгълник.
Ще ви трябва
- - хартия;
- - писалка;
- - владетел.
Инструкции
Векторът е насочен сегмент, т.е. величина, която се счита за напълно определена, ако са дадени неговата дължина и посока (ъгъл) спрямо дадена ос. Позицията на вектора вече не е ограничена от нищо. Два вектора с дължини и еднаква посока се считат за равни. Следователно, когато се използват координати, векторите се представят чрез радиус вектори на точките от неговия край (началото е в началото на координатите).
По дефиниция: резултантният вектор на геометрична сума от вектори е вектор, който започва от началото на първия и има края на втория, при условие че краят на първия е комбиниран с началото на втория. Това може да бъде продължено по-нататък, като се изгради верига от подобно разположени вектори.
Начертайте даденото ABCD с вектори a, b, c и d на фиг. 1. Очевидно при тази подредба резултантният вектор е d=a+ b+c.
В този случай скаларното произведение е по-удобно въз основа на векторите a и d. Точково произведение, означено с (a, d)= |a||d|cosф1. Тук φ1 е ъгълът между векторите a и d.
Точковият продукт на вектори, дадени от координати, се определя от следното:
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, тогава
cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).
Свойства на правоъгълен трапец
- U правоъгълен трапеци два ъгъла трябва да са прави
- И двата прави ъгълана правоъгълен трапец задължително принадлежат на съседни върхове
- И двата прави ъгълав правоъгълен трапец те задължително са съседни на една и съща страна
- Диагонали на правоъгълен трапецобразуват правоъгълен триъгълник от едната страна
- Странична дължинана трапец, перпендикулярен на основите, е равен на неговата височина
- При правоъгълен трапец основите са успоредни, едната страна е перпендикулярна на основите, а втората страна е наклонена към основите
- При правоъгълен трапец два ъгъла са прави, а другите два са остри и тъпи
Задача
IN правоъгълен трапецнай-голямата страна е равна на сбора от основите, височината е 12 см. Намерете площта на правоъгълник, чиито страни са равни на основите на трапеца.Решение.
Нека означим трапеца като ABCD. Нека означим дължините на основите на трапеца като a (по-голямата основа AD) и b (по-малката основа BC). Нека е прав ъгъл
Площта на правоъгълник, чиито страни са равни на основите на трапеца, ще бъде равна на
S = ab
От върха C на горната основа на трапеца ABCD спускаме височината CK към долната основа. Височината на трапеца е известна от условията на задачата. Тогава, според Питагоровата теорема
CK 2 + KD
Тъй като най-голямата странична страна на трапец е равна на сумата от основите, тогава CD = a + b
Тъй като трапецът е правоъгълен, височината, изтеглена от горната основа на трапеца, разделя долната основа на два сегмента
това е
12 2 + (a - b) 2 = (a + b) 2
където
144 + a 2 - 2ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
144 = 4ab
Тъй като площта на правоъгълника е S = ab (виж по-горе), тогава
144 = 4S
S = 144 / 4 = 36
Отговор: 36 см
2 .