прости числапредставляват едно от най-интересните математически явления, което привлича вниманието на учени и обикновени граждани повече от две хиляди години. Въпреки факта, че сега живеем в ерата на компютрите и най-модерните информационни програми, много загадки на простите числа все още не са разгадани, дори има такива, към които учените не знаят как да подходят.

Прости числа са, както е известно от курса на елементарната аритметика, тези, които се делят без остатък само на единица и себе си. Между другото, ако едно естествено число се дели, в допълнение към изброените по-горе, на всяко друго число, тогава то се нарича съставно. Една от най-известните теореми гласи, че всяко съставно число може да бъде представено като уникален възможен продукт на прости числа.

Някои интересни факти. Първо, единицата е уникална в смисъл, че всъщност не принадлежи към прости или съставни числа. В същото време в научна общноствъпреки това е обичайно да се приписва специално на първата група, тъй като формално тя напълно отговаря на нейните изисквания.

Второ, единственото четно число, притиснато в групата „прости числа“, естествено е две. Всяко друго четно число просто не може да стигне до тук, тъй като по дефиниция, освен на себе си и на единица, то се дели и на две.

Простите числа, чийто списък, както е посочено по-горе, може да започне с едно, представляват безкрайна серия, безкрайна като серията естествени числа. Въз основа на основната теорема на аритметиката можем да стигнем до заключението, че простите числа никога не се прекъсват и никога не свършват, тъй като в в противен случайПоредицата от естествени числа неизбежно ще бъде прекъсната.

Простите числа не се появяват произволно в естествената серия, както може да изглежда на пръв поглед. След като ги анализирате внимателно, можете веднага да забележите няколко характеристики, най-интересните от които са свързани с така наречените числа „близнаци“. Наричат ​​се така, защото по някакъв непонятен начин са се озовали един до друг, разделени само с четен разделител (пет и седем, седемнадесет и деветнадесет).

Ако ги разгледате внимателно, ще забележите, че сборът на тези числа винаги е кратен на три. Освен това при разделянето на лявото едно на три остатъкът винаги остава две, а десният винаги остава едно. В допълнение, самото разпределение на тези числа по естествената серия може да се предвиди, ако си представим цялата тази серия под формата на осцилаторни синусоиди, чиито основни точки се образуват, когато числата се разделят на три и две.

Простите числа не само са обект на внимателно разглеждане от математиците по целия свят, но отдавна се използват успешно при композиране различни редовечисла, което е основата, наред с други неща, за шифрографията. Трябва да се признае, че огромен брой мистерии, свързани с тези прекрасни елементи, все още чакат да бъдат разрешени; много въпроси имат не само философско, но и практическо значение.

Числата са различни: естествени, рационални, рационални, цели и дробни, положителни и отрицателни, сложни и прости, нечетни и четни, реални и т.н. От тази статия можете да разберете какво представляват простите числа.

Кои числа се наричат ​​„прости“ на английски?

Много често учениците не знаят как да отговорят на един от най-простите на пръв поглед въпроси в математиката за това какво е просто число. Те често бъркат простите числа с естествените числа (т.е. числата, които хората използват, когато броят предмети, докато в някои източници започват с нула, а в други с единица). Но са напълно две различни концепции. Простите числа са естествени числа, тоест цели и положителни числа, които са по-големи от единица и имат само 2 естествени делителя. Освен това един от тези делители е даден номер, а второто е едно. Например, три е просто число, защото не може да бъде разделено без остатък на друго число, освен себе си и едно.

Съставни числа

Обратното на простите числа са съставните числа. Те също са естествени повече от един, но имат не две, а голямо количестворазделители. Така например числата 4, 6, 8, 9 и т.н. са естествени, съставни, но не и прости числа. Както можете да видите, това са предимно четни числа, но не всички. Но „две“ е четно число и „първото число“ в поредица от прости числа.

Последователност

За да конструирате поредица от прости числа, е необходимо да изберете от всички естествени числа, като вземете предвид тяхната дефиниция, тоест трябва да действате от противоречие. Необходимо е всяко от положителните естествени числа да се изследва дали има повече от два делителя. Нека се опитаме да изградим редица (последователност), която се състои от прости числа. Списъкът започва с две, следвани от три, тъй като се дели само на себе си и на едно. Помислете за числото четири. Има ли делители, различни от четири и едно? Да, това число е 2. Така че четири не е просто число. Пет също е просто (не се дели на друго число, освен на 1 и 5), но шест се дели. И като цяло, ако проследите всички четни числа, ще забележите, че освен "две", нито едно от тях не е просто. От това заключаваме, че четните числа, с изключение на две, не са прости. Друго откритие: всички числа, които се делят на три, с изключение на самата тройка, независимо дали са четни или нечетни, също не са прости (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 и т.н.). Същото важи и за числата, които се делят на пет и седем. Цялото им множество също не е просто. Нека да обобщим. И така, към простите едноцифрени числаВсички нечетни числа са включени с изключение на едно и девет, а дори „две“ са четни числа. Самите десетки (10, 20,... 40 и т.н.) не са прости. Двуцифрените, трицифрените и т.н. прости числа могат да бъдат определени въз основа на горните принципи: ако нямат делители, различни от себе си и единица.

Теории за свойствата на простите числа

Има наука, която изучава свойствата на целите числа, включително простите числа. Това е клон на математиката, наречен висша. В допълнение към свойствата на целите числа, тя се занимава и с алгебрични, трансцендентални числа и функции от различен произходсвързани с аритметиката на тези числа. В тези изследвания, освен елементарни и алгебрични методи, аналитични и геометрични също се използват. По-конкретно, „Теория на числата“ се занимава с изучаването на прости числа.

Простите числа са „градивните елементи“ на естествените числа

В аритметиката има една теорема, наречена фундаментална теорема. Според него всяко естествено число, с изключение на едно, може да бъде представено като произведение, чиито множители са прости числа, а редът на множителите е уникален, което означава, че методът на представяне също е уникален. Нарича се разлагане на естествено число на основни фактори. Има и друго име за този процес - факторизация на числата. Въз основа на това простите числа могат да бъдат наречени „ строителен материал”, „блокове” ​​за конструиране на естествени числа.

Търсене на прости числа. Тестове за простота

Много учени от различни времена се опитват да намерят някои принципи (системи) за намиране на списък от прости числа. Науката познава системи, наречени сито на Аткин, сито на Сундартам и сито на Ератостен. Те обаче не предоставят никакви значителни резултати, и се използва прост тест за намиране на прости числа. Математиците също създават алгоритми. Те обикновено се наричат ​​тестове за първичност. Например, има тест, разработен от Рабин и Милър. Използва се от криптографи. Съществува и тестът Kayal-Agrawal-Sasquena. Въпреки достатъчната точност обаче е много трудно да се изчисли, което намалява практическото му значение.

Наборът от прости числа има ли ограничение?

Древногръцкият учен Евклид пише в книгата си „Елементи“, че множеството от прости числа е безкрайно. Той каза следното: „Нека си представим за момент, че простите числа имат ограничение. След това нека ги умножим един с друг и добавим едно към произведението. Числото, получено от тези прости действия, не може да бъде разделено на никоя от серията прости числа, тъй като остатъкът винаги ще бъде едно. Това означава, че има друго число, което все още не е включено в списъка с прости числа. Следователно нашето предположение не е вярно и това множество не може да има граница. Освен доказателството на Евклид, има още модерна формула, дадена от швейцарския математик от осемнадесети век Леонхард Ойлер. По думите му сумата реципрочна на суматаот първите n числа нараства неограничено с нарастването на числото n. А ето и формулата на теоремата относно разпределението на простите числа: (n) расте като n/ln (n).

Кое е най-голямото просто число?

Същият Леонард Ойлер успя да намери най-голямото просто число на своето време. Това е 2 31 - 1 = 2147483647. До 2013 г. обаче беше изчислено друго най-точно най-голямо в списъка с прости числа - 2 57885161 - 1. Нарича се числото на Мерсен. Съдържа около 17 милиона десетични цифри. Както можете да видите, числото, открито от учен от осемнадесети век, е няколко пъти по-малко от това. Трябваше да е така, защото Ойлер извърши това изчисление ръчно, но нашият съвременник вероятно е бил подпомогнат от Изчислителна машина. Освен това това число е получено в Математическия факултет на един от американските отдели. Числата, кръстени на този учен, преминават теста за простота на Luc-Lemaire. Науката обаче не иска да спре дотук. Electronic Frontier Foundation, която е основана през 1990 г. в Съединените американски щати (EFF), предложи парична награда за намиране на големи прости числа. И ако до 2013 г. наградата се присъждаше на тези учени, които биха ги намерили измежду 1 и 10 милиона десетични числа, то днес тази цифра е достигнала от 100 милиона до 1 милиард. Наградите варират от 150 до 250 хиляди щатски долара.

Имена на специални прости числа

Тези числа, които са намерени благодарение на алгоритми, създадени от определени учени и преминали теста за простота, се наричат ​​специални. Ето някои от тях:

1. Мерсен.

4. Кълън.

6. Mills et al.

Простотата на тези числа, кръстени на горните учени, се установява с помощта на следните тестове:

1. Люк-Льометр.

2. Пепина.

3. Ризел.

4. Billhart – Lemaire – Selfridge и др.

Съвременната наука не спира дотук и вероятно в близко бъдеще светът ще научи имената на тези, които са успели да спечелят наградата от $250 000, като са намерили най-голямото просто число.

Още от времето на древните гърци простите числа са били много привлекателни за математиците. Постоянно търсят различни начиниместоположението им, но повечето ефективен начин„хващането“ на прости числа се счита за метод, открит от александрийския астроном и математик Ератостен. Този метод е вече на около 2000 години.

Кои числа са прости

Как да определим просто число? Много числа се делят на други числа без остатък. Числото, на което се дели едно цяло число, се нарича делител.

IN в такъв случайговорим за деление без остатък. Например числото 36 може да бъде разделено на 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 и на себе си, тоест на 36. Това означава, че 36 има 9 делителя. Числото 23 се дели само на себе си и на 1, тоест това число има 2 делителя - това число е просто.

Числата, които имат само два делителя, се наричат ​​прости числа. Тоест число, което се дели без остатък само на себе си и единица, се нарича просто.

За математиците откриването на модели в поредица от числа, които след това могат да бъдат използвани за формулиране на хипотези, е много възнаграждаващо преживяване. Но простите числа отказват да се подчиняват на какъвто и да е модел. Но има начин да се определят прости числа. Този метод е открит от Ератостен, той се нарича „ситото на Ератостен“. Нека да разгледаме версия на такова „сито“, представена под формата на таблица с числа до 48, и да разберем как се компилира.

В тази таблица са отбелязани всички прости числа, по-малки от 48 оранжево . Намерени са така:

• 1 – има един делител и следователно не е просто число;
• 2 е най-малкото просто число и единственото четно, тъй като всички други четни числа се делят на 2, тоест имат поне 3 делителя, тези числа се свеждат до лилава колона;
• 3 е просто число, има два делителя, всички други числа, които се делят на 3, са изключени - тези числа са обобщени в жълтата колона. Колоната, маркирана в лилаво и жълто, съдържа числа, които се делят на 2 и 3;
• 5 е просто число, всички числа, които се делят на 5 са ​​изключени - тези числа са оградени в зелен овал;
• 7 е просто число, всички числа, които се делят на 7 са оградени в червен овал - не са прости;

Всички числа, които не са прости, са маркирани в синьо. След това можете сами да съставите тази таблица по образ и подобие.

• Превод

Свойствата на простите числа за първи път са изследвани от математиците Древна Гърция. Математиците от питагорейската школа (500 - 300 г. пр.н.е.) се интересуват предимно от мистичните и нумерологични свойства на простите числа. Те бяха първите, които излязоха с идеи за перфектни и приятелски числа.

Съвършеното число има сума от собствените си делители, равна на себе си. Например правилните делители на числото 6 са 1, 2 и 3. 1 + 2 + 3 = 6. Делителите на числото 28 са 1, 2, 4, 7 и 14. Освен това 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Числата се наричат ​​приятелски, ако сумата от правилните делители на едно число е равна на друго, и обратно - например 220 и 284. Можем да кажем, че перфектното число е приятелско на себе си.

По времето на Евклидовите Елементи през 300 г. пр.н.е. няколко вече са доказани важни фактиотносно простите числа. В книга IX от Елементите Евклид доказва, че простите числа безкраен брой. Между другото, това е един от първите примери за използване на доказателство от противно. Той също така доказва основната теорема на аритметиката - всяко цяло число може да бъде представено уникално като произведение на прости числа.

Той също така показа, че ако числото 2n-1 е просто, тогава числото 2n-1 * (2n-1) ще бъде перфектно. Друг математик, Ойлер, успя да покаже през 1747 г., че всички са четни перфектни числаможе да се напише в тази форма. До ден днешен не е известно дали съществуват нечетни перфектни числа.

През 200 г. пр.н.е. Гъркът Ератостен измисли алгоритъм за намиране на прости числа, наречен Ситото на Ератостен.

И тогава имаше голяма пауза в историята на изучаването на простите числа, свързана със Средновековието.

Следните открития са направени още в началото на 17 век от математика Ферма. Той доказа хипотезата на Албер Жирар, че всяко просто число от формата 4n+1 може да бъде записано уникално като сбор от два квадрата, а също така формулира теоремата, че всяко число може да бъде записано като сбор от четири квадрата.

Той се разви нов методфакторизация големи числа, и го демонстрира върху числото 2027651281 = 44021 × 46061. Той също така доказва малката теорема на Ферма: ако p е просто число, тогава за всяко цяло число a ще е вярно, че a p = a по модул p.

Това твърдение доказва половината от това, което беше известно като " Китайска хипотеза“ и датира отпреди 2000 години: цяло число n е просто тогава и само ако 2 n -2 се дели на n. Втората част от хипотезата се оказа невярна - например 2341 - 2 се дели на 341, въпреки че числото 341 е съставно: 341 = 31 × 11.

Малката теорема на Ферма послужи като основа за много други резултати в теорията на числата и методи за тестване дали числата са прости - много от които се използват и днес.

Ферма кореспондира много със своите съвременници, особено с монах на име Марен Мерсен. В едно от писмата си той изказва хипотезата, че числата от формата 2 n +1 винаги ще бъдат прости, ако n е степен на две. Той тества това за n = 1, 2, 4, 8 и 16 и е уверен, че в случая, когато n не е степен на две, числото не е непременно просто. Тези числа се наричат ​​числа на Ферма и само 100 години по-късно Ойлер показа това следващото число, 2 32 + 1 = 4294967297 се дели на 641 и следователно не е просто число.

Числата от формата 2 n - 1 също са били обект на изследване, тъй като е лесно да се покаже, че ако n е съставно, тогава самото число също е съставно. Тези числа се наричат ​​числа на Мерсен, защото той ги е изучавал задълбочено.

Но не всички числа от формата 2 n - 1, където n е просто, са прости. Например 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Това е открито за първи път през 1536 г.

В продължение на много години числата от този вид предоставяха на математиците най-големите известни прости числа. Това M 19 е доказано от Каталди през 1588 г. и в продължение на 200 години е най-голямото известно просто число, докато Ойлер не доказва, че M 31 също е просто. Този рекорд остана още сто години, а след това Лукас показа, че M 127 е просто число (и това вече е число от 39 цифри) и след това изследванията продължиха с появата на компютрите.

През 1952 г. е доказана простотата на числата М 521, М 607, М 1279, М 2203 и М 2281.

До 2005 г. бяха открити 42 прости числа на Мерсен. Най-големият от тях, M 25964951, се състои от 7816230 цифри.

Работата на Ойлер има огромно влияние върху теорията на числата, включително простите числа. Той разшири малката теорема на Ферма и въведе φ-функцията. Факторизира 5-то число на Ферма 2 32 +1, намери 60 двойки приятелски числа и формулира (но не можа да докаже) закона за квадратичната реципрочност.

Той е първият, който въвежда методите математически анализи развити аналитична теориячисла. Той доказа, че не само хармоничната серия ∑ (1/n), но и серия от формата

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Резултатът, получен от сумата на реципрочните стойности на простите числа, също се различава. Сума от n члена хармонична сериярасте приблизително като log(n), а вторият ред се отклонява по-бавно като log[ log(n)]. Това означава, че например сумата от реципрочните стойности на всички прости числа, намерени до момента, ще даде само 4, въпреки че серията все още се разминава.

На пръв поглед изглежда, че простите числа са разпределени доста произволно между цели числа. Например сред 100-те числа непосредствено преди 10000000 има 9 прости числа, а сред 100-те числа непосредствено след тази стойност има само 2. Но върху големи сегменти простите числа са разпределени доста равномерно. Лежандр и Гаус се занимават с въпросите на тяхното разпространение. Веднъж Гаус казал на приятел, че във всеки свободни 15 минути той винаги брои броя на простите числа в следващите 1000 числа. До края на живота си той е преброил всички прости числа до 3 милиона. Legendre и Gauss също така изчисляват, че за голямо n простата плътност е 1/log(n). Лежандр оценява броя на простите числа в диапазона от 1 до n като

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

А Гаус е като логаритмичен интеграл

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

С интервал на интегриране от 2 до n.

Твърдението за плътността на простите числа 1/log(n) е известно като Теорема за простото разпределение. Те се опитват да го докажат през целия 19 век и напредъкът е постигнат от Чебишев и Риман. Те го свързват с хипотезата на Риман, все още недоказана хипотеза за разпределението на нулите на дзета функцията на Риман. Плътността на простите числа е доказана едновременно от Адамар и Вале-Пусен през 1896 г.

Все още има много нерешени въпроси в теорията на простите числа, някои от които са на стотици години:

• Хипотезата за двойните прости числа е за безкраен брой двойки прости числа, които се различават едно от друго с 2
• Хипотезата на Голдбах: всяка четен брой, започвайки с 4, може да се представи като сбор от две прости числа
• Има ли безкраен брой прости числа от формата n 2 + 1?
• Винаги ли е възможно да се намери просто число между n 2 и (n + 1) 2? (фактът, че винаги има просто число между n и 2n е доказан от Чебишев)
• Безкраен ли е броят на простите числа на Ферма? Има ли прости числа на Ферма след 4?
• съществува ли аритметична прогресияот последователни прости числа за всяко дадена дължина? например за дължина 4: 251, 257, 263, 269. Максималната намерена дължина е 26.
• Има ли безкраен брой набори от три последователни прости числа в една аритметична прогресия?
• n 2 - n + 41 е просто число за 0 ≤ n ≤ 40. Има ли безкраен брой такива прости числа? Същият въпрос за формулата n 2 - 79 n + 1601. Тези числа са прости за 0 ≤ n ≤ 79.
• Има ли безкраен брой прости числа от формата n# + 1? (n# е резултат от умножаване на всички прости числа, по-малки от n)
• Има ли безкраен брой прости числа от формата n# -1?
• Има ли безкраен брой прости числа от формата n? + 1?
• Има ли безкраен брой прости числа от формата n? - 1?
• ако p е просто число, винаги ли 2 p -1 не съдържа прости квадрати сред своите множители?
• редицата на Фибоначи съдържа ли безкраен брой прости числа?

Най-големите двойни прости числа са 2003663613 × 2 195000 ± 1. Те ​​се състоят от 58711 цифри и са открити през 2007 г.

Най-голямото факторно просто число (от типа n! ± 1) е 147855! - 1. Състои се от 142891 цифри и е открит през 2002 г.

Най-голямото първично просто число (число във формата n# ± 1) е 1098133# + 1.

Определение 1. просто число− е естествено число, по-голямо от едно, което се дели само на себе си и на 1.

С други думи, едно число е просто, ако има само два различни естествени делителя.

Определение 2. Всяко естествено число, което има други делители освен себе си и единица, се нарича съставно число.

С други думи, естествените числа, които не са прости числа, се наричат ​​съставни числа. От дефиниция 1 следва, че едно съставно число има повече от две естествени делители. Числото 1 не е нито просто, нито съставно, защото има само един делител 1 и в допълнение много теореми относно простите числа не важат за единица.

От определения 1 и 2 следва, че всяко цяло число положително числопо-голямо от 1 е или просто, или съставно число.

По-долу има програма за показване на прости числа до 5000. Попълнете клетките, щракнете върху бутона "Създаване" и изчакайте няколко секунди.

Таблица с прости числа

Изявление 1. Ако стр- просто число и апроизволно цяло число, тогава едно от двете аразделена на стр, или стрИ авзаимно прости числа.

Наистина ли. Ако стрПростото число се дели само на себе си и на 1 ако ане се дели на стр, тогава най-великият общ делител аИ стре равно на 1. Тогава стрИ авзаимно прости числа.

Изявление 2. Ако продуктът на няколко числа от числа а 1 , а 2 , а 3, ... се дели на просто число стр, тогава поне едно от числата а 1 , а 2 , а 3, ...делимо на стр.

Наистина ли. Ако нито едно от числата не се дели на стр, след това числата а 1 , а 2 , а 3, ... биха били взаимно прости числа по отношение на стр. Но от следствие 3 () следва, че техният продукт а 1 , а 2 , а 3, ... също е относително просто по отношение на стр, което противоречи на условието на изявлението. Следователно поне едно от числата се дели на стр.

Теорема 1. Всяко съставно число винаги може да бъде представено и освен това, единствения начинкато произведение на краен брой прости числа.

Доказателство. Позволявам ксъставно число и нека а 1 е един от неговите делители, различен от 1 и себе си. Ако а 1 е съставно, тогава има в допълнение към 1 и а 1 и друг делител а 2. Ако а 2 е съставно число, тогава то има в допълнение към 1 и а 2 и друг делител а 3. Разсъждавайки по този начин и отчитайки, че числата а 1 , а 2 , а 3 , ... намаляват и тази серия съдържа крайно числочленове, ще достигнем до някакво просто число стр 1. Тогава кмогат да бъдат представени във формата

Да предположим, че има две разложения на число к:

защото k=p 1 стр 2 стр 3 ...делимо на просто число р 1, тогава поне един от факторите, напр стр 1 се дели на р 1. Но стр 1 е просто число и се дели само на 1 и на себе си. Следователно стр 1 =р 1 (защото р 1 ≠1)

Тогава от (2) можем да изключим стр 1 и р 1:

По този начин ние сме убедени, че всяко просто число, което се появява като фактор в първото разширение един или повече пъти, също се появява във второто разширение поне толкова пъти и обратно, всяко просто число, което се появява като фактор във второто разширение или повече пъти също се появява в първото разширение поне същия брой пъти. Следователно всяко просто число е фактор и в двете разширения същия номерпъти и по този начин тези две разширения са еднакви.■

Разграждане съставно число кможе да се запише в следната форма

(3)

Където стр 1 , стр 2, ... различни прости числа, α, β, γ ... положителни цели числа.

Извиква се разширение (3). канонично разширениечисла.

Простите числа се срещат неравномерно в редицата от естествени числа. В някои части на редицата те са повече, в други - по-малко. Колкото повече се движим числова серия, по-рядко срещаните прости числа са. Възниква въпросът има ли най-голямо просто число? Древногръцкият математик Евклид доказа, че има безкрайно много прости числа. Представяме това доказателство по-долу.

Теорема 2. Броят на простите числа е безкраен.

Доказателство. Да предположим, че има краен брой прости числа и нека най-голямото просто число е стр. Нека считаме, че всички числа са по-големи стр. Според предположението на твърдението, тези числа трябва да са съставни и трябва да се делят на поне едно от простите числа. Нека изберем число, което е произведение на всички тези прости числа плюс 1:

Номер zПовече ▼ стрзащото 2твече повече стр. стрне се дели на нито едно от тези прости числа, защото при разделяне на всеки от тях дава остатък 1. Така стигаме до противоречие. Следователно има безкраен брой прости числа.

Тази теорема е частен случай на по-обща теорема:

Теорема 3. Нека е дадена аритметична прогресия

Тогава всяко просто число, включено в н, трябва да бъдат включени в м, следователно в ндруги основни фактори, които не са включени в ми освен това тези основни фактори в нса включени не повече пъти от в м.

Обратното също е вярно. Ако всеки прост множител на число нвключени поне толкова пъти в числото м, Че мразделена на н.

Изявление 3. Позволявам а 1 ,а 2 ,а 3,... различни прости числа, включени в мТака

Където аз=0,1,...α , й=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . забележи това αiприема α +1 стойности, β j приема β +1 стойности, γ k приема γ +1 стойности, ... .