انخفض عمودي من نقطة معينة إلى طائرة معينة، يسمى الجزء المتصل هذه النقطةبنقطة في المستوى ومستلقية على الخط، عمودي على الطائرة. تسمى نهاية هذا الجزء الواقع في المستوى بقاعدة الخط المتعامد. المسافة من نقطة إلى مستوى هي طول العمودي المرسوم من هذه النقطة إلى المستوى.

الميل المرسوم من نقطة معينة إلى مستوى معين هو أي قطعة تصل نقطة معينة بنقطة على المستوى وليست عمودية على هذا المستوى. تسمى نهاية القطعة الواقعة في المستوى بالقاعدة المائلة. يسمى الجزء الذي يصل بين قاعدتي متعامد ومائل من نفس النقطة بإسقاط مائل.

في الشكل 136، من النقطة A، يتم رسم عمودي AB وAC مائل على المستوى. النقطة B هي قاعدة العمودي، والنقطة C هي قاعدة العمود المائل، وBC هي إسقاط التيار المتردد المائل على المستوى أ.

وبما أن المسافات من نقاط الخط إلى المستوى الموازي له هي نفسها، فإن المسافة من الخط إلى المستوى الموازي له هي المسافة من أي نقطة منه إلى هذا المستوى.

الخط المستقيم المرسوم على المستوى عبر قاعدة المستوى المائل عموديًا على مسقطه يكون أيضًا عموديًا على المستوى المائل نفسه. والعكس صحيح: إذا كان الخط المستقيم في المستوى عموديًا على خط مائل، فهو أيضًا عمودي على إسقاط الخط المائل (نظرية الثلاثة المتعامدين).

في الشكل 137، يتم رسم AB المتعامد وAC المائل إلى المستوى a. الخط المستقيم o، الواقع في المستوى a، متعامد مع BC - إسقاط التيار المتردد المائل على المستوى a. وفقًا لـ T.2.12، فإن الخط المستقيم a متعامد مع التيار المتردد المائل. إذا علم أن الخط المستقيم a متعامد مع AC المائل، فإنه وفقًا لـ T.2.12 سيكون عموديًا على إسقاطه - BC.

مثال. أرجل مستطيلة المثلث ABCتساوي 16 ومن الأعلى الزاوية اليمنىيتم رسم C بشكل عمودي على مستوى هذا المثلث CD = 35 م (الشكل 138). أوجد المسافة من النقطة D إلى الوتر AB.

حل. دعونا نفعل ذلك. وفقًا للشرط، يكون DC عموديًا على المستوى، أي أن DE مائل، وCE هو إسقاطه، وبالتالي، وفقًا للنظرية حول ثلاثة خطوط متعامدة، فإنه يتبع من الشرط أن

من نجد للعثور على الارتفاع CE نجد

ومن جهة أخرى أين

من نظرية فيثاغورس

46. ​​عمودي الطائرات.

يطلق على مستويين متقاطعين اسم عمودي إذا كان أي مستوى متعامد مع خط تقاطع هذه الطائرات يتقاطع بينهما على طول خطوط متعامدة.

يوضح الشكل 139 مستويين يتقاطعان على طول خط مستقيم أ. المستوى y عمودي على الخط a ويتقاطع، وفي هذه الحالة يتقاطع المستوى y مع المستوى a على طول الخط المستقيم c، ويتقاطع المستوى على طول الخط المستقيم d، أي بحكم التعريف.

ت 2.13. إذا مر مستوى عبر خط عمودي على مستوى آخر، فإن هذه المستويات تكون متعامدة (علامة تعامد المستويات).

في الشكل 140، يمر المستوى بخط مستقيم، أي أن المستوى متعامد.

الهندسة

القياس المجسم

عمودي ومائل

عمودييسقط من نقطة معينة على مستوى معين قطعة تصل نقطة معينة بنقطة على المستوى وتقع على خط مستقيم عمودي على المستوى. تسمى نهاية هذا الجزء الموجود في المستوى قاعدة المتعامدة. المسافة من النقطة إلى المستوىهو طول العمود العمودي الذي يسقط من هذه النقطة على المستوى.
في الصورة أ.ب- عمودي. تيار متردد.- يميل؛ قبل الميلاد- الإسقاط.

المسافة من الخط المستقيمإلى مستوى موازٍ له هي المسافة من أي نقطة على هذا الخط المستقيم إلى المستوى.
المسافة بين الطائرات المتوازيةهي المسافة من أي نقطة على مستوى إلى مستوى آخر.
يميلالمرسوم من نقطة معينة إلى مستوى معين هو أي قطعة تصل نقطة معينة بنقطة على المستوى وليست عمودية على المستوى. تسمى نهاية القطعة الموجودة في المستوى قاعدة مائلة.
يسمى الجزء الذي يربط بين قاعدتي متعامد ومائل مرسوم من نفس النقطة الإسقاط المائل.

خصائص الخطوط المائلة المرسومة من نقطة واحدة إلى مستوى واحد

1. المنحدرات المرسومة إلى المستوى من نقطة واحدة (الشكل أدناه على اليسار) تكون متساوية إذا وفقط إذا كانت لها إسقاطات متساوية.
2. إذا رسم منحدران مائلان من نقطة إلى مستوى، فإن المائل الأكبر يكون أكبر، والعكس، المائل الأكبر هو المسقط الأكبر.
يرجى ملاحظة أن هذه الخصائص محفوظة للخطوط المائلة المرسومة على المستوى نقاط مختلفةولكن قد نفس الطولعمودي (الصورة على اليمين).

إذا قمنا برسم خط عمودي عليه عبر نقطة ما خارج الخط، فللإيجاز يتم استدعاء القطعة من هذه النقطة إلى الخط بكلمة واحدة عمودي.

القطعة CO متعامدة مع الخط AB. تسمى النقطة O قاعدة المتعامدةثاني أكسيد الكربون (الأرز).

إذا كان الخط المرسوم من نقطة معينة يتقاطع مع خط آخر ولكنه ليس متعامداً عليه فإن قطعته من نقطة معينة إلى نقطة التقاطع مع خط آخر تسمى يميلإلى هذا الخط.

الجزء BC - يميل إلى الخط المستقيم AO. تسمى النقطة C أساسيميل (الشكل).

إذا أسقطنا عموديًا من طرفي قطعة ما على خط عشوائي، فإن القطعة المستقيمة المحصورة بين قاعدتي المتعامدين تسمى إسقاط الجزءإلى هذا الخط المستقيم.

الجزء AB - إسقاط الجزء AB على EC. يُطلق على الجزء OM أيضًا اسم إسقاط الجزء OM على المجموعة الأوروبية.

سيكون إسقاط الجزء KP المتعامد مع EC هو النقطة K (الشكل).

2. خصائص العمودي والمائل.

النظرية 1. العمودي المرسوم من نقطة على خط مستقيم أقل من أي خط مائل يرسم من نفس النقطة على هذا الخط المستقيم.

القطعة AC (الشكل) متعامدة مع الخط المستقيم OB، والقطعة AM هي أحد الخطوط المائلة المرسومة من النقطة A إلى الخط المستقيم OB. مطلوب إثبات أن AM> AC.

في ΔMAC، القطعة AM هي الوتر، والوتر أكبر من كل ساق من هذا المثلث. وبالتالي، AM > AC. وبما أننا أخذنا AM المائل بشكل اعتباطي، فيمكننا القول أن أي خط مائل على خط مستقيم يكون أكبر من العمودي على هذا الخط (والعمودي أقصر من أي خط مائل) إذا تم رسمهما عليه من نفس النقطة.

والعكس صحيح أيضًا، وهو: إذا كان المقطع AC (الشكل) أقل من أي مقطع آخر يصل النقطة AC بأي نقطة على الخط المستقيم OB، فهو عمودي على OB. في الواقع، لا يمكن للقطعة AC أن تميل إلى OB، حيث أنها لن تكون الأقصر بين القطع التي تربط النقطة A بنقاط الخط المستقيم OB. وهذا يعني أنه يمكن أن يكون عموديًا على OB فقط.

طول العمودي الذي يسقط من نقطة معينة على خط مستقيم يؤخذ على أنه المسافة من نقطة معينة إلى هذا الخط المستقيم.

النظرية 2. إذا كان الخطان المائلان المرسومان على خط من نفس النقطة متساويين، فإن إسقاطاتهما متساوية.

لنفترض أن BA وBC خطان مائلان مرسومان من النقطة B إلى الخط المستقيم AC (الشكل)، وAB = BC. من الضروري إثبات أن توقعاتهم متساوية أيضًا.

لإثبات ذلك، دعونا نخفض الخط العمودي BO من النقطة B إلى النقطة AC. بعد ذلك، سيكون AO وOS عبارة عن إسقاطات مائلة لـ AB وBC على خط مستقيم AC. المثلث ABC متساوي الساقين وفقا للنظرية. VO هو ارتفاع هذا المثلث. لكن الارتفاع في مثلث متساوي الساقين المرسوم على القاعدة هو في نفس الوقت متوسط ​​هذا المثلث.

لذلك AO = نظام التشغيل.

النظرية 3 (العكس). إذا كان لخطين مائلين مرسومين على خط مستقيم من نفس النقطة إسقاطات متساوية، فإنهما متساويان.

دع AC و CB يميلان إلى الخط المستقيم AB (الشكل). CO ⊥ AB و AO = OB.

مطلوب إثبات أن AC = BC.

في المثلثين القائمين AOC وBOC، الأرجل AO وOB متساوية. CO هو الساق المشتركة لهذه المثلثات. ولذلك، ΔAOC = ΔBOC. ومن تساوي المثلثات يترتب على ذلك أن AC = BC.

النظرية 4. إذا رسم خطان مائلان من نفس النقطة إلى خط مستقيم، فإن الذي له بروز أكبر على هذا الخط المستقيم يكون أكبر.

دع AB وBC يميلان إلى الخط المستقيم AO؛ VO ⊥ AO و AO>CO. يشترط إثبات أن AB > BC.

1) تقع المائلة على جانب واحد من العمودي.

الزاوية ACE خارجية بالنسبة إلى المثلث القائم COB (الشكل)، وبالتالي ∠ACV > ∠COV، أي أنها منفرجة. ويترتب على ذلك أن AB > CB.

2) تقع المائلة على جانبي العمودي. لإثبات ذلك، دعونا نرسم القطعة OK = OS على AO من النقطة O ونربط النقطة K بالنقطة B (الشكل). ثم، حسب النظرية 3، لدينا: VC = BC، ولكن AB > VC، وبالتالي، AB > BC، أي أن النظرية صالحة في هذه الحالة أيضًا.

النظرية 5 (العكس). إذا تم رسم خطين مائلين من نفس النقطة إلى خط مستقيم، فإن الخط المائل الأكبر له أيضًا إسقاط أكبر على هذا الخط المستقيم.

دع KS وVS يميلان إلى الخط المستقيم KV (الشكل)، SO ⊥ KV وKS > VS. مطلوب إثبات أن KO> OB.

بين المقطعين KO وOB يمكن أن تكون هناك علاقة واحدة فقط من ثلاث علاقات:

1) كو< ОВ,

2) كو = أوف،

3) كو> أوف.

لا يمكن أن يكون KO أقل من OB، منذ ذلك الحين، وفقًا للنظرية 4، سيكون KS المائل أقل من BC المائل، وهذا يتعارض مع شروط النظرية.

وبنفس الطريقة، لا يمكن أن تساوي KO OB، لأنه في هذه الحالة، وفقًا للنظرية 3، KS = BC، وهو ما يتعارض أيضًا مع شروط النظرية.

وبالتالي، تظل العلاقة الأخيرة فقط صحيحة، وهي KO > OB.

خصائص الخطوط المائلة الخارجة من نقطة واحدة. 1. يكون العمودي دائمًا أقصر من العمود المائل إذا تم رسمهما من نفس النقطة. 2. إذا تساوت المائلات، كانت إسقاطاتهن متساوية، والعكس صحيح. 3. المائل الأكبر يتوافق مع إسقاط أكبر والعكس صحيح.

الشريحة 10من العرض "عمودي ومائل على المستوى".

حجم الأرشيف مع العرض التقديمي هو 327 كيلو بايت.

الهندسة الصف العاشرملخص

العروض الأخرى زاوية حادة. مساحة متوازي الأضلاع. أقطار متوازي الأضلاع. قطري. رباعي الزوايا. مثلثات.

"طرق بناء الأقسام" - تكوين مهارات بناء الأقسام. دعونا ننظر في أربع حالات لبناء أقسام متوازية. بناء أقسام من رباعي الاسطح. طريقة التصميم الداخلي. العمل مع الأقراص. متوازي السطوح له ستة وجوه. طائرة القطع. بناء أقسام متعددات الوجوه. الأثر هو الخط المستقيم لتقاطع مستوى المقطع ومستوى أي وجه من وجوه متعدد السطوح. طريقة التتبع. مذكرة.

""متعددات الوجوه العادية" الصف العاشر" - النتيجة المتوقعة. رباعي السطوح موصوف بالقرب من المجال المداري للمريخ. المركز O، المحور A والمستوى. وجوه متعدد السطوح. شعاعي. محتوى. متعددات الوجوه العادية. متعددات الوجوه المنتظمة في صورة أفلاطون الفلسفية للعالم. فيوداريا. تم العثور على متعددات الوجوه العادية في الطبيعة الحية. تقدم الدرس. تسمى النقطة (الخط المستقيم، المستوى) بالمركز (المحور، المستوى). أي مما يلي الهيئات الهندسيةليس متعدد السطوح منتظم.

"تحديد الزوايا ثنائية السطوح" - تتم إزالة النقطة K من كل جانب. تقع النقطتان M و K وجوه مختلفة. قياس الدرجةركن. ملكية زاوية ثلاثية السطوح. ملاحظات حول حل المشكلات. على أحد الحواف زاوية ثنائي السطوحيساوي 30، وتقع النقطة M بناء زاوية خطية. ارسم عموديًا. خط مستقيم مرسوم في مستوى معين. الزوايا ثنائية السطوح في الأهرامات. حل المشكلة. نقطة ك. هذا الهرم. يمكن أن تكون النقطة الموجودة على الحافة تعسفية.

"طرق بناء مقاطع متعددات الوجوه" - أي مستوى. الفنانين. قوانين الهندسة. مسح بليتز. الموقف المتبادلالطائرة ومتعدد السطوح. بناء مقطع من متعدد السطوح. المضلعات. الطريقة البديهية. المهام. سفينة. مهمة. البديهيات. بناء أقسام متعددات الوجوه. أقسام بمستويات مختلفة. عتيق المثل الصيني. عمل مستقل. أقسام قطرية. توحيد المعرفة المكتسبة. طائرة القطع.

"المضلعات متساوية الأضلاع" - السداسي (المكعب) يتكون المكعب من ستة مربعات. المجسم الثماني يتكون المجسم الثماني من ثمانية مثلثات متساوية الأضلاع. رباعي الاسطح له 4 وجوه و4 رؤوس و6 حواف. هناك 5 أنواع متعددات الوجوه العادية. المضلعات العادية. يحتوي المجسم الاثني عشري على 12 وجهًا و20 رأسًا و30 حرفًا. يحتوي المجسم العشروني على 20 وجهًا و12 رأسًا و30 حرفًا. وبالتالي، فإن المكعب له 6 وجوه و8 رؤوس و12 حرفًا. رباعي السطوح يتكون رباعي السطوح من أربعة مثلثات متساوية الأضلاع.

عمودي ومائل

نظرية. إذا رسم خط متعامد ومائل من نقطة واحدة خارج المستوى فإن:

1) تلك المائلة ذات الإسقاطات المتساوية متساوية؛

2) من المائلين، الذي كان برزخه أكبر هو أكبر؛

3) المائلة المتساوية لها إسقاطات متساوية؛

4) من الإسقاطين، الذي يقابل المائل الأكبر هو الأكبر.

ثلاثة نظرية متعامدة. لكي يكون الخط المستقيم الموجود في المستوى عموديًا على الخط المائل، من الضروري والكافي أن يكون هذا الخط المستقيم عموديًا على إسقاط الخط المائل (الشكل 3).

نظرية المساحة الإسقاط المتعامدمضلع على مستوى.مساحة الإسقاط المتعامد للمضلع على المستوى تساوي ناتج مساحة المضلع وجيب التمام للزاوية بين مستوى المضلع ومستوى الإسقاط.

بناء.

1. على متن طائرة أنقوم بإجراء مباشر أ.

3. في الطائرة بمن خلال النقطة أدعونا نجعل مباشرة ب، موازيًا للخط أ.

4. تم بناء خط مستقيم بموازية للطائرة أ.

دليل.بناءً على توازي الخط المستقيم والمستوى، خط مستقيم بموازية للطائرة أ، لأنه موازي للخط أ, تابعة للطائرة أ.

يذاكر.المهمة لديها مجموعة لا نهائيةالحلول، منذ الخط المستقيم أفي الطائرة أيتم اختياره عشوائيا.

مثال 2.حدد على أي مسافة تقع النقطة من المستوى أ، إذا كان مستقيما أ.بيتقاطع مع المستوى بزاوية 45 درجة، المسافة من النقطة أإلى هذه النقطة فيتنتمي إلى الطائرة يساوي سم؟

حل.لنقم بعمل رسم (الشكل 5):

تكييف- عمودي على الطائرة أ, أ.ب- مائل، زاوية اي بي سي- الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم أ.بوالطائرة أ. مثلث اي بي سي- مستطيلة لأن تكييف- عمودي. المسافة المطلوبة من النقطة أإلى الطائرة - هذه هي الساق تكييف المثلث الأيمن. بمعرفة الزاوية والوتر سم، سنجد الساق تكييف:

إجابة: 3 سم.

مثال 3.تحديد على أي مسافة من الطائرة مثلث متساوي الساقينهل هناك نقطة تبعد 13 سم عن كل رءوس من رؤوس المثلث إذا كانت قاعدة المثلث وارتفاعه يساوي 8 سم؟

حل.لنقم بعمل رسم (الشكل 6). نقطة سبعيدا عن النقاط أ, فيو مععلى نفس المسافة. لذلك، يميل S. A., إس بي.و SC.متساوي، لذا- المتعامد المشترك لهذه المائلة. بواسطة نظرية المائل والإسقاطات AO = VO = CO .

نقطة عن- مركز الدائرة المحاطة بالمثلث اي بي سي. لنجد نصف قطرها:

أين شمس- قاعدة؛

إعلان- ارتفاع مثلث متساوي الساقين.

العثور على جوانب المثلث اي بي سيمن المثلث الأيمن عبدوفقا لنظرية فيثاغورس:

الآن نجد أوب:

النظر في مثلث تنهد: إس بي.= 13 سم، أوب= = 5 سم أوجد طول العمودي لذاوفقا لنظرية فيثاغورس:

إجابة: 12 سم.

مثال 4.دانس طائرات متوازية أو ب. من خلال النقطة مالتي لا تنتمي إلى أي منهم، يتم رسم خطوط مستقيمة أو بهذا الصليب أفي النقاط أ 1 و في 1 والطائرة ب- في النقاط أ 2 و في 2. يجد أ 1 في 1 إذا علم ذلك ماجستير 1 = 8 سم، أ 1 أ 2 = 12 سم، أ 2 في 2 = 25 سم.

حل.نظرًا لأن الشرط لا يوضح كيفية تحديد موقع النقطة بالنسبة لكلا المستويين م، ثم هناك خياران ممكنان: (الشكل 7، أ) و (الشكل 7، ب). دعونا ننظر إلى كل واحد منهم. خطين متقاطعين أو بتحديد الطائرة. يتقاطع هذا المستوى مع مستويين متوازيين أو بعلى طول خطوط متوازية أ 1 في 1 و أ 2 في 2 حسب النظرية 5 حول الخطوط المتوازية والمستويات المتوازية.

مثلثات ماجستير 1 في 1 و ماجستير 2 في 2 متشابهان (الزوايا أ 2 إم في 2 و أ 1 إم في 1- عمودي، زوايا ماجستير 1 في 1 و ماجستير 2 في 2- عرضي داخلي مع خطوط متوازية أ 1 في 1 و أ 2 في 2 وقاطع أ 1 أ 2). من تشابه المثلثات يتبع تناسب الجوانب:

من هنا

الخيار أ):

الخيار ب):

إجابة: 10 سم و 50 سم.

مثال 5.من خلال النقطة أطائرة زتم رسم خط مباشر أ.ب، يشكل زاوية مع المستوى أ. عبر المباشر أ.بيتم رسم الطائرة ص، تشكيل مع الطائرة زركن ب. أوجد الزاوية بين إسقاط الخط المستقيم أ.بالى الطائرة زوالطائرة ص.

حل.لنقم بعمل رسم (الشكل 8). من هذه النقطة فيإسقاط عمودي على الطائرة ز. زاوية خطيةزاوية ثنائية السطوح بين الطائرات زو ص- هذه زاوية قائمة إعلان دي بي سي، بناءً على عمودي الخط المستقيم والمستوى، كما و بناءً على عمودي الطائرات، المستوى صعمودي على مستوى المثلث دي بي سيلأنه يمر عبر الخط إعلان. نقوم ببناء الزاوية المطلوبة بإسقاط العمودي من النقطة معالى الطائرة ص، دعنا نشير إلى ذلك أوجد جيب هذه الزاوية للمثلث القائم الزاوية نفسي. دعونا نقدم الجزء المساعد أ = قبل الميلاد. من مثلث اي بي سي: من مثلث البحريةسوف نجد