شكل، محدودة بالجدول الزمنيالدالة المستمرة غير السالبة $f(x)$ على القطعة $$ والخطوط المستقيمة $y=0، \ x=a$ و $x=b$ تسمى شبه منحرف منحني الخطوط.
المنطقة المقابلة شبه منحرف منحنيتحسب بواسطة الصيغة:
$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)
سنقوم بتقسيم مشاكل العثور على مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع بشكل مشروط إلى أنواع بقيمة 4 دولارات. دعونا ننظر إلى كل نوع بمزيد من التفصيل.
النوع الأول: شبه منحرف منحني محدد بشكل صريح.ثم قم بتطبيق الصيغة (*) على الفور.
على سبيل المثال، ابحث عن مساحة شبه منحرف منحني يحدها الرسم البياني للدالة $y=4-(x-2)^(2)$ والخطوط $y=0, \ x=1$ و $x =3$.
دعونا نرسم هذا شبه المنحرف المنحني.
باستخدام الصيغة (*)، نجد مساحة شبه المنحرف المنحني هذا.
$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\يمين|_(1)^(3)=$
$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\يسار((1)^(3)-(-1)^(3)\يمين) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$
$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (الوحدات$^(2)$).
النوع الثاني: شبه المنحرف المنحني محدد ضمنيا.في هذه الحالة، الخطوط المستقيمة $x=a, \ x=b$ عادةً ما تكون غير محددة أو محددة جزئيًا. في هذه الحالة، تحتاج إلى العثور على نقاط تقاطع الدالتين $y=f(x)$ و$y=0$. ستكون هذه النقاط هي النقاط $a$ و$b$.
على سبيل المثال، ابحث عن مساحة الشكل المحدود بالرسوم البيانية للدالتين $y=1-x^(2)$ و$y=0$.
دعونا نجد نقاط التقاطع. للقيام بذلك، نساوي الأطراف اليمنى للدوال.
وبالتالي، $a=-1$ و$b=1$. دعونا نرسم هذا شبه المنحرف المنحني.
دعونا نجد مساحة هذا شبه المنحرف المنحني.
$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$
$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\يمين)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (الوحدات$^(2)$).
النوع الثالث: مساحة الشكل المحدد بتقاطع دالتين متصلتين غير سالبتين.لن يكون هذا الشكل شبه منحرف منحني، مما يعني أنه لا يمكنك حساب مساحته باستخدام الصيغة (*). كيف تكون؟وتبين أنه يمكن إيجاد مساحة هذا الشكل بالفرق بين مساحات شبه المنحرف المنحني التي تحدها الدالة العلوية و$y=0$ ($S_(uf)$)، والدالة السفلية و$y =0$ ($S_(lf)$)، حيث يتم لعب دور $x=a, \ x=b$ بواسطة إحداثيات $x$ لنقاط تقاطع هذه الوظائف، أي.
$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)
الشيء الأكثر أهمية عند حساب هذه المناطق هو عدم "تفويت" اختيار الوظائف العلوية والسفلية.
على سبيل المثال، ابحث عن مساحة الشكل المحدود بالدالتين $y=x^(2)$ و$y=x+6$.
دعونا نجد نقاط التقاطع لهذه الرسوم البيانية:
وفقا لنظرية فييتا،
$x_(1)=-2,\x_(2)=3.$
أي $a=-2,\b=3$. دعونا نرسم الشكل:
وبالتالي، فإن الدالة العلوية هي $y=x+6$، والدالة السفلية هي $y=x^(2)$. بعد ذلك، نجد $S_(uf)$ و$S_(lf)$ باستخدام الصيغة (*).
$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\يمين|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (الوحدات$^(2)$).
$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (الوحدات$^(2)$).
لنعوض بما وجدناه في (**) ونحصل على:
$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (الوحدات$^(2)$).
النوع الرابع: مساحة الشكل، وظيفة محدودة(ق) التي لا تستوفي شرط عدم السلبية.من أجل العثور على مساحة هذا الشكل، عليك أن تكون متناظرا حول محور $Ox$ ( بعبارة أخرى،ضع "سلبيات" أمام الوظائف) واعرض المنطقة، وباستخدام الطرق الموضحة في الأنواع من الأول إلى الثالث، ابحث عن مساحة المنطقة المعروضة. ستكون هذه المنطقة هي المنطقة المطلوبة. أولاً، قد يتعين عليك العثور على نقاط التقاطع في الرسوم البيانية للدالة.
على سبيل المثال، ابحث عن مساحة الشكل المحدود بالرسوم البيانية للدالتين $y=x^(2)-1$ و$y=0$.
لنجد نقاط التقاطع للرسوم البيانية للوظائف:
أولئك. $a=-1$، و$b=1$. دعونا نرسم المنطقة.
دعونا نعرض المنطقة بشكل متماثل:
$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$
$y=x^(2)-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.
والنتيجة هي شبه منحرف منحني الأضلاع يحده الرسم البياني للدالة $y=1-x^(2)$ و $y=0$. هذه مشكلة للعثور على شبه منحرف منحني من النوع الثاني. لقد قمنا بحلها بالفعل. كانت الإجابة: $S= 1\frac(1)(3)$ (الوحدات $^(2)$). وهذا يعني أن مساحة شبه المنحرف المنحني المطلوب تساوي:
$S=1\frac(1)(3)$ (الوحدات$^(2)$).
يشترط حساب مساحة شبه منحرف منحني تحده خطوط مستقيمة، 
,
والمنحنى 
.
دعونا نقسم الجزء 
دوتمينا 
الأجزاء الأولية، الطول 
الجزء الرابع 
. دعونا نستعيد الخطوط المتعامدة من نقاط تقسيم القطعة إلى التقاطع مع المنحنى 
، يترك 
. ونتيجة لذلك نحصل 
شبه منحرف أولي، من الواضح أن مجموع مساحاته يساوي مجموع شبه منحرف منحني الأضلاع.
دعونا نحدد القيم الأكبر والأصغر للدالة في كل فترة أولية؛ 
، في الثاني 
وما إلى ذلك وهلم جرا. دعونا نحسب المبالغ
يمثل المجموع الأول مساحة كل الموصوف، والثاني هو مساحة جميع المستطيلات المدرج في شبه منحرف منحني.
من الواضح أن المبلغ الأول يعطي قيمة تقريبية لمنطقة شبه المنحرف "مع وجود فائض"، والثاني - "مع نقص". ويسمى المبلغ الأول مجموع دربوكس العلوي، والثاني - وفقا لذلك، مجموع دربوكس السفلي. وبالتالي فإن مساحة شبه المنحرف المنحني هي 
يرضي عدم المساواة 
. دعونا نكتشف كيف تتصرف مجاميع داربوكس مع زيادة عدد نقاط تقسيم القطعة 
. دع عدد نقاط التقسيم يزيد بمقدار واحد، ويكون في منتصف الفاصل الزمني 
.
الآن الرقم مثل 
زادت المستطيلات المنقوشة والمحدودة بمقدار واحد. دعونا نفكر في كيفية تغير مجموع داربوكس السفلي. بدلا من مربع 
المستطيل المنقوش، يساوي 
نحصل على مجموع مساحات مستطيلين 
، منذ الطول 
لا يمكن أن يكون أقل 
أصغر قيمة للدالة في 
. على الجانب الآخر، 
، بسبب ال 
لا يمكن أن يكون هناك المزيد 
أكبر قيمة للدالة في الفترة . لذلك، فإن إضافة نقاط جديدة لتقسيم القطعة يزيد من قيمة مجموع دربوكس السفلي ويقلل مجموع دربوكس العلوي. في هذه الحالة، لا يمكن أن يتجاوز مجموع داربوكس السفلي، مع أي زيادة في عدد نقاط التقسيم، قيمة أي مجموع أعلى، حيث أن مجموع مساحات المستطيلات الموصوفة يكون دائمًاأكثر من المبلغ
مساحات المستطيلات المدرجه في شبه منحرف منحني.
وهكذا فإن تسلسل مجاميع داربوكس الأدنى يزداد مع عدد نقاط تجزيء القطعة ويحدها من الأعلى حسب النظرية المعروفة، ولها حد. هذا الحد هو مساحة شبه منحرف منحني معين.
وبالمثل، فإن تسلسل مجاميع دربوكس العلوي يتناقص مع زيادة عدد نقاط تجزيء المجال ويحد من الأسفل بأي مجموع دربوكس أقل، مما يعني أن له حدًا أيضًا، كما أنه يساوي مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع. 
لذلك، لحساب مساحة شبه منحرف المنحني، يكفي 
تقسيم الفاصل الزمني، وحدد إما مجموع داربوكس السفلي أو العلوي، ثم قم بالحساب 
.
، أو ومع ذلك، فإن مثل هذا الحل للمشكلة يفترض مسبقا أي شخص، بشكل تعسفيعدد كبير 
أقسام
، العثور على أكبر أو أصغر قيمة للدالة في كل فترة زمنية أولية، وهي مهمة كثيفة العمالة.
يتم الحصول على حل أبسط باستخدام مجموع ريمان التكاملي، وهو 
نقطة ما من كل فترة أولية، وهذا هو 
. وبالتالي، فإن مجموع تكامل ريمان هو مجموع مساحات جميع المستطيلات الممكنة، و 
. كما هو موضح أعلاه، فإن حدود مجموعي داربوكس العلوي والسفلي هي نفسها وتساوي مساحة شبه المنحرف المنحني. وباستخدام إحدى خصائص نهاية الدالة (قاعدة الشرطتين)، نحصل على ذلك لأي قسم من القطعة 
واختيار النقاط 
يمكن حساب مساحة شبه المنحرف المنحني باستخدام الصيغة 
.
العودة إلى الأمام
انتباه! معاينات الشرائح هي لأغراض إعلامية فقط وقد لا تمثل جميع ميزات العرض التقديمي. إذا كنت مهتم هذا العمل، يرجى تنزيل النسخة الكاملة.
الكلمات الدالة:شبه منحرف متكامل، منحني الأضلاع، مساحة من الأشكال يحدها الزنابق
معدات: لوحة العلامات، الكمبيوتر، جهاز عرض الوسائط المتعددة
نوع الدرس: الدرس المحاضرة
أهداف الدرس:
- التعليمية:تشكيل الثقافة العمل العقليخلق حالة من النجاح لكل طالب، وخلق الدافع الإيجابي للتعلم؛ تنمية القدرة على التحدث والاستماع للآخرين.
- النامية:تشكيل التفكير المستقل للطالب في تطبيق المعرفة في حالات مختلفة، القدرة على التحليل واستخلاص النتائج، تطوير المنطقتنمية القدرة على طرح الأسئلة بشكل صحيح والعثور على إجابات لها. تحسين تكوين المهارات الحسابية، وتطوير تفكير الطلاب أثناء إكمال المهام المقترحة، وتطوير الثقافة الخوارزمية.
- التعليمية: صياغة مفاهيم حول شبه منحرف منحني، متكامل، إتقان مهارات حساب المناطق شخصيات مسطحة
طريقة التعليم:توضيحية وتوضيحية.
خلال الفصول الدراسية
تعلمنا في الدروس السابقة حساب مساحات الأشكال التي تكون حدودها عبارة عن خطوط متعددة الأضلاع. في الرياضيات، هناك طرق تسمح لك بحساب مساحات الأشكال المحاطة بالمنحنيات. تسمى هذه الأشكال شبه منحرف منحني الأضلاع، ويتم حساب مساحتها باستخدام المشتقات العكسية.
شبه منحرف منحني ( شريحة 1)
شبه المنحرف المنحني هو شكل يحده الرسم البياني للدالة، ( ش.م.)، مستقيم س = أو س = بوالمحور السيني
أنواع مختلفة من شبه المنحرف المنحني ( الشريحة 2)
نحن نفكر أنواع مختلفةشبه منحرف منحني الأضلاع وملاحظة: أحد الخطوط المستقيمة ينحدر إلى نقطة ما، ويلعب الخط المستقيم دور الدالة المحددة
مساحة شبه منحرف منحني (الشريحة 3)
دعونا نصلح الطرف الأيسر من الفاصل الزمني أ،والصحيح Xسوف نتغير، أي أننا نحرك الجدار الأيمن لشبه المنحرف المنحني ونحصل على شكل متغير. مساحة شبه منحرف منحني متغير ويحدها الرسم البياني للدالة هي مشتق عكسي Fللوظيفة F
وعلى المقطع [ أ؛ ب] مساحة شبه منحرف منحني الشكل مكونة من الوظيفة F،يساوي زيادة المشتق العكسي لهذه الوظيفة:
التمرين 1:
أوجد مساحة شبه منحرف منحني يحدها الرسم البياني للوظيفة: و(خ) = س 2ومستقيم ص = 0، س = 1، س = 2.
حل: ( وفقًا لشريحة الخوارزمية 3)
لنرسم رسمًا بيانيًا للدالة والخطوط
دعونا نجد واحدة من وظائف المشتقات المضادة و(خ) = س 2 :
شريحة الاختبار الذاتي
أساسي
خذ بعين الاعتبار شبه منحرف منحني الأضلاع تحدده الدالة Fعلى المقطع [ أ؛ ب]. دعونا نقسم هذا الجزء إلى عدة أجزاء. سيتم تقسيم مساحة شبه المنحرف بالكامل إلى مجموع مساحات شبه المنحرف الأصغر حجمًا. ( الشريحة 5). يمكن اعتبار كل شبه منحرف تقريبًا مستطيلًا. مجموع مساحات هذه المستطيلات يعطي فكرة تقريبية عن كامل مساحة شبه المنحرف المنحني. أصغر نقوم بتقسيم الجزء [ أ؛ ب]، كلما قمنا بحساب المنطقة بشكل أكثر دقة.
دعونا نكتب هذه الحجج في شكل صيغ.
تقسيم القطعة [ أ؛ ب] إلى أجزاء n بالنقاط س 0 = أ، x1،…، xn = ب.طول ك-ذ للدلالة به س ك = س ك – س ك-1. دعونا نجعل المبلغ
هندسياً، يمثل هذا المجموع مساحة الشكل المظلل في الشكل ( ش.م.)
تسمى مجاميع النموذج مجاميع متكاملة للدالة F. (ش.م.)
تعطي المبالغ المتكاملة قيمة تقريبية للمنطقة. القيمة الدقيقةيتم الحصول عليها عن طريق المرور إلى الحد الأقصى. لنتخيل أننا نقوم بتحسين قسم المقطع [ أ؛ ب] بحيث تميل أطوال جميع القطع الصغيرة إلى الصفر. ثم مساحة الشكل المكون ستقترب من مساحة شبه المنحرف المنحني. يمكننا القول أن مساحة شبه المنحرف المنحني تساوي نهاية المجاميع التكاملية، SC.t. (ش.م.)أو متكامل، أي
تعريف:
جزء لا يتجزأ من وظيفة و (خ)من أقبل بتسمى نهاية المجاميع التكاملية
= (ش.م.)
صيغة نيوتن-لايبنتز.
نتذكر أن نهاية المجاميع التكاملية تساوي مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع، مما يعني أنه يمكننا كتابة:
SC.t. = (ش.م.)
من ناحية أخرى، يتم حساب مساحة شبه المنحرف المنحني بواسطة الصيغة
إس كيه تي. (ش.م.)
وبمقارنة هذه الصيغ نحصل على:
= (ش.م.)وتسمى هذه المساواة بصيغة نيوتن-لايبنتز.
ولتسهيل الحساب يتم كتابة الصيغة على النحو التالي:
= = (ش.م.)المهام: (ش.م.)
1. احسب التكامل باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز: ( تحقق من الشريحة 5)
2. قم بتكوين التكاملات حسب الرسم ( تحقق من الشريحة 6)
3. أوجد مساحة الشكل، محدودة بالخطوط: ص = س 3، ص = 0، س = 1، س = 2. ( الشريحة 7)
إيجاد مساحات الأشكال المستوية ( الشريحة 8)
كيف تجد مساحة الأشكال التي ليست شبه منحرفة منحنية؟
دعونا نعطي وظيفتين، الرسوم البيانية التي تراها على الشريحة . (ش.م.)أوجد مساحة الشكل المظلل . (ش.م.). هل الشكل المعني شبه منحرف منحني؟ كيف يمكنك العثور على مساحتها باستخدام خاصية جمع المساحة؟ خذ بعين الاعتبار شبه منحرفين منحنيين واطرح مساحة الآخر من مساحة أحدهما ( ش.م.)
لنقم بإنشاء خوارزمية للعثور على المنطقة باستخدام الرسوم المتحركة على الشريحة:
- وظائف الرسم البياني
- قم بإسقاط نقاط تقاطع الرسوم البيانية على المحور السيني
- قم بتظليل الشكل الذي تم الحصول عليه عند تقاطع الرسوم البيانية
- أوجد شبه المنحرف المنحني الأضلاع الذي يكون تقاطعه أو اتحاده هو الشكل الموضح.
- احسب مساحة كل منهم
- أوجد الفرق أو مجموع المساحات
المهمة الشفهية: كيفية الحصول على مساحة الشكل المظلل (أخبر باستخدام الرسوم المتحركة، الشريحة 8 و9)
العمل في المنزل:العمل من خلال الملاحظات رقم 353 (أ) ورقم 364 (أ).
فهرس
- الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 9-11 من المدرسة المسائية (المناوبة) / إد. ج.د. جلاسر. - م: التنوير، 1983.
- باشماكوف م. الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10-11 بالمدرسة الثانوية / باشماكوف م. - م: التنوير، 1991.
- باشماكوف م. الرياضيات: كتاب مدرسي للمؤسسات بداية. والأربعاء البروفيسور التعليم / م. باشماكوف. - م: الأكاديمية، 2010.
- كولموغوروف أ.ن. الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10-11. المؤسسات التعليمية / أ.ن.كولموغوروف. - م: التربية، 2010.
- أوستروفسكي إس. كيفية تقديم عرض تقديمي للدرس؟ / S.L. أوستروفسكي. – م.: الأول من سبتمبر 2010.
مثال 1 . احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: x + 2y – 4 = 0، y = 0، x = -3، و x = 2
دعونا نبني شكلاً (انظر الشكل) نبني خطًا مستقيمًا x + 2y - 4 = 0 باستخدام النقطتين A(4;0) وB(0;2). بالتعبير عن y خلال x، نحصل على y = -0.5x + 2. باستخدام الصيغة (1)، حيث f(x) = -0.5x + 2، a = -3، b = 2، نجد
S = = [-0.25=11.25 متر مربع وحدات
مثال 2. احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: x – 2y + 4 = 0، x + y – 5 = 0 و y = 0.
حل. دعونا نبني هذا الرقم.
دعونا نبني خطًا مستقيمًا x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); س = 0، ص = 2، ب(0؛ 2).
دعونا نبني خطًا مستقيمًا x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
لنجد نقطة تقاطع الخطوط عن طريق حل نظام المعادلات:
س = 2، ص = 3؛ م (2 ؛ 3).
لحساب المساحة المطلوبة نقسم المثلث AMC إلى مثلثين AMN و NMC، حيث أنه عندما تتغير x من A إلى N تكون المساحة محدودة بخط مستقيم، وعندما تتغير x من N إلى C - بخط مستقيم
بالنسبة للمثلث AMN لدينا: ; ص = 0.5س + 2، أي و(س) = 0.5س + 2، أ = - 4، ب = 2.
بالنسبة للمثلث NMC لدينا: y = - x + 5، أي f(x) = - x + 5، a = 2، b = 5.
وبحساب مساحة كل مثلث وإضافة النتائج نجد:
مربع وحدات
مربع وحدات
9 + 4، 5 = 13.5 متر مربع وحدات تحقق: = 0.5AC = 0.5 قدم مربع. وحدات
مثال 3. احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y = x 2 ، ص = 0، س = 2، س = 3.
في في هذه الحالةتحتاج إلى حساب مساحة شبه منحرف منحني، محدودة بواسطة القطع المكافئص = س 2 ، الخطوط المستقيمة x = 2 و x = 3 ومحور الثور (انظر الشكل) باستخدام الصيغة (1) نجد مساحة شبه المنحرف المنحني
= = 6 متر مربع وحدات
مثال 4. احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y = - x 2 + 4 و ص = 0
دعونا نبني هذا الرقم. المساحة المطلوبة محصورة بين القطع المكافئ y = - x 2 + 4 ومحور الثور.
دعونا نجد نقاط تقاطع القطع المكافئ مع محور الثور. بافتراض y = 0، نجد x = بما أن هذا الشكل متماثل حول محور Oy، فإننا نحسب مساحة الشكل الواقع على يمين محور Oy، ونضاعف النتيجة التي تم الحصول عليها: = +4x]sq. وحدات 2 = 2 متر مربع وحدات
مثال 5. احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y 2 = س، ص = 1، س = 4
هنا تحتاج إلى حساب مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع يحدها الفرع العلوي من القطع المكافئ 2 = x، محور الثور والخطوط المستقيمة x = 1 وx = 4 (انظر الشكل)
وفقًا للصيغة (1)، حيث f(x) = a = 1 وb = 4، لدينا = (= وحدات مربعة.
مثال 6 . احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
المساحة المطلوبة محدودة بنصف موجة الشكل الجيبي ومحور الثور (انظر الشكل).
لدينا - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 مربع. وحدات
مثال 7. احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y = - 6x، y = 0 و x = 4.
يقع الشكل تحت محور الثور (انظر الشكل).
ولذلك نجد مساحتها باستخدام الصيغة (3)
= =
مثال 8. احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y = و x = 2. أنشئ منحنى y = من النقاط (انظر الشكل). وهكذا نجد مساحة الشكل باستخدام الصيغة (4)
مثال 9 .
X 2 + ص 2 = ص 2 .
هنا تحتاج إلى حساب المنطقة، تحدها دائرة X 2 + ص 2 = ص 2 أي مساحة دائرة نصف قطرها r ومركزها نقطة الأصل. لنجد الجزء الرابع من هذه المساحة بأخذ حدود التكامل من 0
قبل؛ لدينا: 1 = = [
لذلك، 1 =
مثال 10. احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y= x 2 و ص = 2س
هذا الرقممحدودة بالقطع المكافئ y=x 2 والخط المستقيم y = 2x (انظر الشكل) لتحديد نقاط تقاطع الخطوط المعطاة، نحل نظام المعادلات: x 2 – 2س = 0 س = 0 و س = 2
وباستخدام الصيغة (5) لإيجاد المساحة نحصل على
= }