ستتعلم في هذه المقالة كيفية العثور على مساحة الشكل المحدد بخطوط باستخدام الحسابات التكاملية. لأول مرة نواجه صياغة مثل هذه المشكلة في المدرسة الثانوية، عندما انتهينا للتو من دراسة التكاملات المحددة وحان الوقت لبدء التفسير الهندسي للمعرفة المكتسبة في الممارسة العملية.
إذن، ما هو المطلوب لحل مشكلة إيجاد مساحة الشكل باستخدام التكاملات بنجاح:
- القدرة على عمل رسومات مختصة؛
- القدرة على حل تكامل محدد باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز المعروفة؛
- القدرة على "رؤية" خيار الحل الأكثر ربحية - أي. هل تفهم كيف سيكون تنفيذ التكامل أكثر ملاءمة في حالة أو أخرى؟ على طول المحور السيني (OX) أو المحور الصادي (OY)؟
- حسنًا، أين سنكون بدون الحسابات الصحيحة؟) وهذا يتضمن فهم كيفية حل هذا النوع الآخر من التكاملات والحسابات الرقمية الصحيحة.
خوارزمية حل مشكلة حساب مساحة الشكل المحدد بالخطوط:
1. نبني الرسم. من المستحسن القيام بذلك على قطعة من الورق متقلب، على نطاق واسع. نوقع اسم هذه الوظيفة بقلم رصاص فوق كل رسم بياني. يتم التوقيع على الرسوم البيانية فقط لتسهيل إجراء المزيد من الحسابات. بعد الحصول على رسم بياني للشكل المطلوب، سيكون من الواضح في معظم الحالات على الفور حدود التكامل التي سيتم استخدامها. وهكذا نحل المشكلة بيانيا. ومع ذلك، يحدث أن تكون قيم النهايات كسرية أو غير منطقية. لذلك، يمكنك إجراء حسابات إضافية، انتقل إلى الخطوة الثانية.
2. إذا لم يتم تحديد حدود التكامل بشكل صريح، فإننا نجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية مع بعضها البعض ونرى ما إذا كان حلنا الرسومي يتطابق مع الحل التحليلي.
3. بعد ذلك، تحتاج إلى تحليل الرسم. اعتمادًا على كيفية ترتيب الرسوم البيانية للدالة، هناك طرق مختلفة للعثور على مساحة الشكل. دعونا نلقي نظرة على أمثلة مختلفة لإيجاد مساحة الشكل باستخدام التكاملات.
3.1.
النسخة الأكثر كلاسيكية وبسيطة من المشكلة هي عندما تحتاج إلى العثور على مساحة شبه منحرف منحني. ما هو شبه منحرف منحني؟ هذا شكل مسطح محدد بالمحور x (y = 0)، والخطوط المستقيمة x = a، x = b وأي منحنى مستمر في الفترة من a إلى b. علاوة على ذلك، فإن هذا الرقم غير سلبي ولا يقع تحت المحور السيني. في هذه الحالة، فإن مساحة شبه المنحرف المنحني تساوي عدديًا تكاملًا معينًا، يتم حسابه باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز:مثال 1
ص = س2 - 3س + 3، س = 1، س = 3، ص = 0.
ما هي الخطوط التي يحدها الشكل؟ لدينا قطع مكافئ y = x2 - 3x + 3، والذي يقع فوق المحور OX، وهو غير سالب، لأن جميع نقاط هذا القطع المكافئ لها قيم موجبة. بعد ذلك، يتم إعطاء الخطوط المستقيمة x = 1 وx = 3، والتي تعمل بالتوازي مع محور المرجع أمبير وهي الخطوط الحدودية للشكل على اليسار واليمين. حسنًا، y = 0، وهو أيضًا المحور x، والذي يحد الشكل من الأسفل. الشكل الناتج مظلل، كما يمكن رؤيته من الشكل الموجود على اليسار. في هذه الحالة، يمكنك البدء فورًا في حل المشكلة. أمامنا مثال بسيط على شبه منحرف منحني، والذي يمكننا حله أيضًا باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز.
3.2.في الفقرة 3.1 السابقة، قمنا بدراسة الحالة عندما يقع شبه منحرف منحني فوق المحور السيني. الآن فكر في الحالة التي تكون فيها شروط المشكلة هي نفسها، فيما عدا أن الدالة تقع تحت المحور السيني. تتم إضافة علامة ناقص إلى صيغة نيوتن-لايبنتز القياسية. سننظر في كيفية حل هذه المشكلة أدناه.
مثال 2
. احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط y = x2 + 6x + 2، x = -4، x = -1، y = 0.
في هذا المثال لدينا قطع مكافئ y = x2 + 6x + 2، والذي ينشأ من تحت محور OX، الخطوط المستقيمة x = -4، x = -1، y = 0. هنا y = 0 يحد الرقم المطلوب من الأعلى. الخطوط المستقيمة x = -4 وx = -1 هي الحدود التي سيتم حساب التكامل المحدد ضمنها. يتطابق مبدأ حل مشكلة إيجاد مساحة الشكل بشكل كامل تقريبًا مع المثال رقم 1. والفرق الوحيد هو أن الوظيفة المعطاة ليست موجبة، وهي أيضًا مستمرة على الفاصل الزمني [-4؛ -1]. ماذا تقصد غير إيجابي؟ كما يتبين من الشكل، فإن الشكل الذي يقع ضمن علامة x المحددة له إحداثيات "سلبية" حصريًا، وهو ما نحتاج إلى رؤيته وتذكره عند حل المشكلة. نبحث عن مساحة الشكل باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز، مع وضع علامة الطرح في البداية فقط.
التكامل المزدوج يساوي عدديا مساحة الشكل المستوي (منطقة التكامل). هذا هو أبسط شكل من أشكال التكامل المزدوج، عندما تكون دالة متغيرين تساوي واحدًا: .
أولا، دعونا ننظر إلى المشكلة بشكل عام. الآن سوف تتفاجأ بمدى بساطة كل شيء حقًا! دعونا نحسب مساحة الشكل المسطح الذي يحده الخطوط. من أجل اليقين، ونحن نفترض أن على هذا الجزء. مساحة هذا الشكل تساوي عددياً:
لنرسم المنطقة في الرسم: 
دعنا نختار الطريقة الأولى لاجتياز المنطقة: 
هكذا: 
وعلى الفور خدعة فنية مهمة: يمكن حساب التكاملات المتكررة بشكل منفصل. أولا التكامل الداخلي، ثم التكامل الخارجي. أوصي بشدة بهذه الطريقة للمبتدئين في هذا الموضوع.
1) لنحسب التكامل الداخلي، ويتم التكامل على المتغير "y": 
التكامل غير المحدد هنا هو الأبسط، ومن ثم يتم استخدام صيغة نيوتن-لايبنتز المبتذلة، مع الاختلاف الوحيد وهو أن حدود التكامل ليست أرقامًا، بل وظائف. أولاً، قمنا باستبدال الحد الأعلى في "y" (دالة الاشتقاق العكسي)، ثم الحد الأدنى
2) يجب استبدال النتيجة التي تم الحصول عليها في الفقرة الأولى بالتكامل الخارجي: 
يبدو التمثيل الأكثر إحكاما للحل بأكمله كما يلي:
الصيغة الناتجة 
هي بالضبط صيغة العمل لحساب مساحة الشكل المستوي باستخدام التكامل المحدد "العادي"! شاهد الدرس حساب المساحة باستخدام تكامل محدد، وهو موجود في كل خطوة!
وهذا يعني أن مشكلة حساب المساحة باستخدام التكامل المزدوج لا يختلف كثيرامن مشكلة إيجاد المساحة باستخدام التكامل المحدد!
في الواقع، إنه نفس الشيء!
وبناء على ذلك، لا ينبغي أن تنشأ أي صعوبات! لن ألقي نظرة على العديد من الأمثلة، لأنك في الواقع واجهت هذه المهمة مرارًا وتكرارًا.
مثال 9 
الحل: لنرسم المنطقة في الرسم: 
دعونا نختار الترتيب التالي لاجتياز المنطقة:
هنا، لن أتطرق إلى كيفية اجتياز المنطقة، حيث تم تقديم تفسيرات مفصلة للغاية في الفقرة الأولى. 
هكذا:
كما أشرت سابقًا، من الأفضل للمبتدئين حساب التكاملات التكرارية بشكل منفصل، وسألتزم بنفس الطريقة: 
1) أولاً، باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز، نتعامل مع التكامل الداخلي: 
2) يتم استبدال النتيجة التي تم الحصول عليها في الخطوة الأولى بالتكامل الخارجي:
النقطة 2 هي في الواقع إيجاد مساحة الشكل المستوي باستخدام تكامل محدد.
إجابة:
هذه مهمة غبية وساذجة.
مثال مثير للاهتمام لحل مستقل:
باستخدام التكامل المزدوج، احسب مساحة الشكل المستوي المحدد بالخطوط، ،،
مثال تقريبي للحل النهائي في نهاية الدرس.
في الأمثلة 9-10، يكون استخدام الطريقة الأولى لاجتياز المنطقة أكثر ربحية؛ وبالمناسبة، يمكن للقراء الفضوليين تغيير ترتيب الاجتياز وحساب المناطق باستخدام الطريقة الثانية. إذا لم ترتكب أي خطأ، فمن الطبيعي أن تحصل على نفس قيم المنطقة.
لكن في بعض الحالات، تكون الطريقة الثانية لاجتياز المنطقة أكثر فعالية، وفي نهاية دورة الطالب الذي يذاكر كثيرا، دعونا نلقي نظرة على بضعة أمثلة أخرى حول هذا الموضوع:
مثال 11
باستخدام التكامل المزدوج، حساب مساحة الشكل المستوي المحدد بخطوط،
الحل: نحن نتطلع إلى قطعتين مكافئتين بهما خاصية غريبة تقعان على جانبيهما. ليست هناك حاجة للابتسام؛ فأشياء مماثلة تحدث غالبًا في تكاملات متعددة.
ما هي أسهل طريقة لعمل الرسم؟
دعونا نتخيل القطع المكافئ في شكل وظيفتين:
- الفرع العلوي و - الفرع السفلي.
وبالمثل، تخيل القطع المكافئ على شكل العلوي والسفلي 
الفروع.
بعد ذلك، الرسم البياني لقواعد الرسوم البيانية، مما أدى إلى مثل هذا الشكل الغريب: 
نحسب مساحة الشكل باستخدام التكامل المزدوج وفقًا للصيغة:
ماذا يحدث إذا اخترنا الطريقة الأولى لعبور المنطقة؟ أولاً، يجب تقسيم هذه المنطقة إلى قسمين. وثانياً سنلاحظ هذه الصورة الحزينة: 
. التكاملات، بالطبع، ليست بمستوى فائق التعقيد، ولكن... هناك مقولة رياضية قديمة: أولئك الذين يقتربون من جذورهم لا يحتاجون إلى اختبار.
لذلك، من سوء الفهم الوارد في الشرط، نعبر عن الوظائف العكسية: 
تتميز الدوال العكسية في هذا المثال بأنها تحدد القطع المكافئ بالكامل مرة واحدة دون أي أوراق أو جوز أو فروع أو جذور.
ووفقا للطريقة الثانية، فإن اجتياز المنطقة سيكون على النحو التالي: 
هنا، لن أتطرق إلى كيفية اجتياز المنطقة، حيث تم تقديم تفسيرات مفصلة للغاية في الفقرة الأولى. 
كما يقولون، اشعر بالفرق.
1) نتعامل مع التكامل الداخلي :
نعوض بالنتيجة في التكامل الخارجي:
التكامل على المتغير "y" لا ينبغي أن يكون مربكًا؛ إذا كان هناك حرف "zy"، فسيكون من الرائع التكامل فوقه. على الرغم من أن أي شخص قرأ الفقرة الثانية من الدرس كيفية حساب حجم الجسم الدوراني لم يعد يواجه أدنى صعوبة في التكامل باستخدام طريقة "Y".
انتبه أيضًا إلى الخطوة الأولى: التكامل زوجي، وفترة التكامل متماثلة حوالي الصفر. لذلك يمكن خفض المقطع إلى النصف، ويمكن مضاعفة النتيجة. تم التعليق على هذه التقنية بالتفصيل في الدرس الطرق الفعالة لحساب التكامل المحدد.
ماذا تضيف... الجميع!
النقطة 2 هي في الواقع إيجاد مساحة الشكل المستوي باستخدام تكامل محدد.
لاختبار تقنية التكامل الخاصة بك، يمكنك محاولة الحساب . يجب أن تكون الإجابة هي نفسها تمامًا.
مثال 12
باستخدام التكامل المزدوج، احسب مساحة الشكل المسطح الذي يحده الخطوط 
هذا مثال لك لحله بنفسك. ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أنه إذا حاولت استخدام الطريقة الأولى لاجتياز المنطقة، فلن يتعين بعد الآن تقسيم الشكل إلى قسمين، بل إلى ثلاثة أجزاء! وبناء على ذلك، نحصل على ثلاثة أزواج من التكاملات المتكررة. يحدث هذا أيضًا.
لقد انتهى الفصل الرئيسي، وحان الوقت للانتقال إلى مستوى المعلم الكبير - كيفية حساب التكامل المزدوج؟ أمثلة على الحلول. سأحاول ألا أكون مهووسًا جدًا في المقالة الثانية =)
أتمنى لك النجاح!
الحلول والأجوبة:
مثال 2:حل:
دعونا نصور المنطقة على الرسم:
دعونا نختار الترتيب التالي لاجتياز المنطقة:
هكذا: 
دعنا ننتقل إلى الوظائف العكسية:
هكذا: 
إجابة:
مثال 4:حل:
دعنا ننتقل إلى الوظائف المباشرة:
لنقم بالرسم:
دعونا نغير ترتيب اجتياز المنطقة:
إجابة:
أ)
حل.
النقطة الأولى والأكثر أهمية في القرار هي الرسم.
لنقم بالرسم:
معادلة ص=0يحدد المحور "س"؛
- س=-2و س = 1- مستقيم، موازي للمحور أوه؛
- ص=س 2 +2 -قطع مكافئ، فروعه متجهة نحو الأعلى، رأسه عند النقطة (0؛2).
تعليق. لبناء القطع المكافئ، يكفي العثور على نقاط تقاطعه مع محاور الإحداثيات، أي. وضع س = 0العثور على التقاطع مع المحور أوهوحل المعادلة التربيعية المقابلة لها، وأوجد التقاطع مع المحور أوه .
يمكن العثور على قمة القطع المكافئ باستخدام الصيغ: 
يمكنك أيضًا إنشاء خطوط نقطة بنقطة.
على الفاصل الزمني [-2;1] الرسم البياني للوظيفة ص=س 2 +2تقع فوق المحور ثور، لهذا السبب:
إجابة: س=9 وحدات مربعة
بعد اكتمال المهمة، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على الرسم ومعرفة ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه الحالة، "بالعين" نحسب عدد الخلايا في الرسم - حسنًا، سيكون هناك حوالي 9، يبدو أن هذا صحيح. من الواضح تمامًا أنه إذا حصلنا على الإجابة، على سبيل المثال: 20 وحدة مربعة، فمن الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن 20 خلية لا تتناسب مع الشكل المعني، على الأكثر عشرات. إذا كانت الإجابة سلبية، فقد تم حل المهمة بشكل غير صحيح.
ماذا تفعل إذا كان شبه منحرف منحني يقع تحت المحور أوه؟
ب) احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ص=-ه س , س = 1وتنسيق المحاور.
حل.
دعونا نجعل الرسم.
إذا كان شبه منحرف منحني يقع بالكامل تحت المحور أوه , ثم يمكن العثور على مساحتها باستخدام الصيغة:
إجابة: ق=(ه-1)وحدات مربعة "1.72 وحدة مربعة
انتباه! ولا ينبغي الخلط بين نوعي المهام:
1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد دون أي معنى هندسي، فقد يكون سالبًا.
2) إذا طلب منك إيجاد مساحة شكل ما باستخدام تكامل محدد، فإن المساحة تكون موجبة دائمًا! ولهذا السبب يظهر الطرح في الصيغة التي تمت مناقشتها للتو.
من الناحية العملية، غالبًا ما يقع الشكل في كل من النصف العلوي والسفلي.
ج) أوجد مساحة الشكل المسطح المحدد بخطوط ص=2س-س 2، ص=-س.
حل.
أولا تحتاج إلى إكمال الرسم. بشكل عام، عند إنشاء رسم في مسائل المساحة، فإننا نهتم أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. دعونا نجد نقاط تقاطع القطع المكافئ 
ومستقيم 
يمكن القيام بذلك بطريقتين. الطريقة الأولى هي التحليلية.
نحن نحل المعادلة:
وهذا يعني أن الحد الأدنى للتكامل أ = 0، الحد الأعلى للتكامل ب = 3 .
|
نبني الخطوط المعطاة: 1. القطع المكافئ - الرأس عند النقطة (1؛1)؛ تقاطع المحور أوه -النقاط (0;0) و (0;2). 2. الخط المستقيم - منصف زاويتي الإحداثيات الثانية والرابعة. والآن انتبه! إذا كان على الجزء [ أ ؛ ب] بعض الوظائف المستمرة و (خ)أكبر من أو يساوي بعض الوظائف المستمرة ز (خ)، فيمكن إيجاد مساحة الشكل المقابل باستخدام الصيغة: ولا يهم أين يقع الشكل - فوق المحور أو أسفل المحور، ولكن ما يهم هو الرسم البياني الأعلى (بالنسبة إلى رسم بياني آخر)، والذي هو أدناه. في المثال قيد النظر، من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق الخط المستقيم، وبالتالي من الضروري الطرح منه |
.يمكنك بناء خطوط نقطة نقطة، وتصبح حدود التكامل واضحة "بذاتها". ومع ذلك، لا يزال يتعين في بعض الأحيان استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود، على سبيل المثال، إذا كان الرسم البياني كبيرًا بدرجة كافية، أو إذا لم يكشف البناء التفصيلي عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية).
الشكل المطلوب محدود بقطع مكافئ في الأعلى وخط مستقيم في الأسفل.
على الجزء 
، وفقا للصيغة المقابلة:
إجابة: س= 4.5 وحدة مربعة
كيفية إدراج الصيغ الرياضية على موقع على شبكة الانترنت؟
إذا كنت بحاجة إلى إضافة واحدة أو اثنتين من الصيغ الرياضية إلى صفحة ويب، فإن أسهل طريقة للقيام بذلك هي كما هو موضح في المقالة: يتم إدراج الصيغ الرياضية بسهولة على الموقع في شكل صور يتم إنشاؤها تلقائيًا بواسطة Wolfram Alpha . بالإضافة إلى البساطة، ستساعد هذه الطريقة العالمية في تحسين ظهور الموقع في محركات البحث. لقد كان يعمل لفترة طويلة (وأعتقد أنه سيعمل إلى الأبد)، لكنه عفا عليه الزمن بالفعل من الناحية الأخلاقية.
إذا كنت تستخدم الصيغ الرياضية بانتظام على موقعك، فإنني أوصي باستخدام MathJax - وهي مكتبة JavaScript خاصة تعرض الرموز الرياضية في متصفحات الويب باستخدام علامات MathML أو LaTeX أو ASCIMathML.
هناك طريقتان لبدء استخدام MathJax: (1) باستخدام رمز بسيط، يمكنك توصيل البرنامج النصي MathJax بسرعة بموقعك على الويب، والذي سيتم تحميله تلقائيًا من خادم بعيد في الوقت المناسب (قائمة الخوادم)؛ (2) قم بتنزيل البرنامج النصي MathJax من خادم بعيد إلى الخادم الخاص بك وقم بتوصيله بجميع صفحات موقعك. الطريقة الثانية - الأكثر تعقيدًا وتستغرق وقتًا طويلاً - ستعمل على تسريع تحميل صفحات موقعك، وإذا أصبح خادم MathJax الأصلي غير متاح مؤقتًا لسبب ما، فلن يؤثر ذلك على موقعك بأي شكل من الأشكال. ورغم هذه المزايا إلا أنني اخترت الطريقة الأولى لأنها أبسط وأسرع ولا تتطلب مهارات فنية. اتبع مثالي، وفي 5 دقائق فقط ستتمكن من استخدام جميع ميزات MathJax على موقعك.
يمكنك توصيل البرنامج النصي لمكتبة MathJax من خادم بعيد باستخدام خيارين للتعليمات البرمجية مأخوذة من موقع MathJax الرئيسي أو من صفحة الوثائق:
يجب نسخ أحد خيارات التعليمات البرمجية هذه ولصقها في التعليمات البرمجية الخاصة بصفحة الويب الخاصة بك، ويفضل أن يكون ذلك بين العلامات و/أو بعد العلامة مباشرة. وفقًا للخيار الأول، يتم تحميل MathJax بشكل أسرع ويبطئ الصفحة بشكل أقل. لكن الخيار الثاني يقوم تلقائيًا بمراقبة وتحميل أحدث إصدارات MathJax. إذا قمت بإدراج الرمز الأول، فسوف تحتاج إلى تحديثه بشكل دوري. إذا قمت بإدخال الكود الثاني، فسيتم تحميل الصفحات بشكل أبطأ، لكنك لن تحتاج إلى مراقبة تحديثات MathJax باستمرار.
أسهل طريقة للاتصال بـ MathJax هي في Blogger أو WordPress: في لوحة تحكم الموقع، أضف أداة مصممة لإدراج كود JavaScript لجهة خارجية، وانسخ الإصدار الأول أو الثاني من كود التنزيل الموضح أعلاه، ثم ضع الأداة في مكان أقرب إلى بداية القالب (بالمناسبة، هذا ليس ضروريًا على الإطلاق، حيث يتم تحميل البرنامج النصي MathJax بشكل غير متزامن). هذا كل شيء. تعرف الآن على بناء الجملة الترميزي لـ MathML، وLaTeX، وASCIIMathML، وستكون جاهزًا لإدراج الصيغ الرياضية في صفحات الويب الخاصة بموقعك.
يتم إنشاء أي فراكتل وفقًا لقاعدة معينة، والتي يتم تطبيقها باستمرار لعدد غير محدود من المرات. كل مرة من هذا القبيل تسمى التكرار.
الخوارزمية التكرارية لبناء إسفنجة Menger بسيطة للغاية: يتم تقسيم المكعب الأصلي ذو الجانب 1 بواسطة مستويات موازية لوجهه إلى 27 مكعبًا متساويًا. تتم إزالة مكعب مركزي واحد و 6 مكعبات مجاورة له على طول الوجوه. والنتيجة هي مجموعة تتكون من المكعبات العشرين الأصغر المتبقية. وبفعل الشيء نفسه مع كل مكعب من هذه المكعبات، نحصل على مجموعة مكونة من 400 مكعب أصغر. مواصلة هذه العملية إلى ما لا نهاية، نحصل على اسفنجة Menger.
في الواقع، من أجل العثور على مساحة الشكل، لا تحتاج إلى الكثير من المعرفة بالتكامل غير المحدد والمحدد. تتضمن مهمة "حساب المساحة باستخدام تكامل محدد" دائمًا إنشاء رسم، لذا فإن معرفتك ومهاراتك في إنشاء الرسومات ستكون سؤالًا أكثر إلحاحًا. في هذا الصدد، من المفيد تحديث ذاكرتك بالرسوم البيانية للوظائف الأولية الأساسية، وعلى الأقل، تكون قادرًا على إنشاء خط مستقيم وقطع زائد.
شبه المنحرف المنحني هو شكل مسطح يحده محور وخطوط مستقيمة ورسم بياني لدالة مستمرة على قطعة لا تتغير الإشارة في هذه الفترة. دع هذا الرقم يكون موجودا ليس أقلالمحور السيني:
ثم مساحة شبه المنحرف المنحني تساوي عدديا التكامل المحدد. أي تكامل محدد (موجود) له معنى هندسي جيد جدًا.
من وجهة نظر هندسية، التكامل المحدد هو المساحة.
أي أن تكاملًا معينًا (إن وجد) يتوافق هندسيًا مع مساحة شكل معين. على سبيل المثال، النظر في التكامل المحدد. يحدد التكامل منحنى على المستوى الموجود فوق المحور (أولئك الذين يرغبون في ذلك يمكنهم رسم رسم)، والتكامل المحدد نفسه يساوي عدديًا مساحة شبه المنحرف المنحني المقابل.
مثال 1
هذا هو بيان مهمة نموذجية. النقطة الأولى والأكثر أهمية في القرار هي الرسم. علاوة على ذلك، يجب أن يتم بناء الرسم بشكل صحيح.
عند إنشاء رسم، أوصي بالترتيب التالي: أولاً، من الأفضل إنشاء جميع الخطوط المستقيمة (إن وجدت) وعندها فقط - القطع المكافئة والقطع الزائدة والرسوم البيانية للوظائف الأخرى. يعد إنشاء الرسوم البيانية للوظائف نقطة بنقطة أكثر ربحية.
في هذه المشكلة، قد يبدو الحل هكذا.
لنرسم الرسم (لاحظ أن المعادلة تحدد المحور):
في المقطع، يقع الرسم البياني للدالة فوق المحور، وبالتالي:
إجابة:
بعد اكتمال المهمة، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على الرسم ومعرفة ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه الحالة، "بالعين" نحسب عدد الخلايا في الرسم - حسنًا، سيكون هناك حوالي 9، يبدو أن هذا صحيح. من الواضح تمامًا أنه إذا حصلنا على الإجابة، على سبيل المثال: 20 وحدة مربعة، فمن الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن 20 خلية لا تتناسب مع الشكل المعني، على الأكثر عشرات. إذا كانت الإجابة سلبية، فقد تم حل المهمة بشكل غير صحيح.
مثال 3
احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ومحاور الإحداثيات.
الحل: لنقم بالرسم:
إذا كان شبه المنحرف المنحني يقع تحت المحور (أو على الأقل لا أعلىالمحور المحدد)، فيمكن إيجاد مساحتها باستخدام الصيغة:
في هذه الحالة:
انتباه! ولا ينبغي الخلط بين نوعي المهام:
1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد دون أي معنى هندسي، فقد يكون سالبًا.
2) إذا طلب منك إيجاد مساحة شكل ما باستخدام تكامل محدد، فإن المساحة تكون موجبة دائمًا! ولهذا السبب يظهر الطرح في الصيغة التي تمت مناقشتها للتو.
في الممارسة العملية، غالبا ما يقع الرقم في كل من المستوى العلوي والسفلي، وبالتالي، من أبسط المهام المدرسية ننتقل إلى أمثلة أكثر وضوحا.
مثال 4
أوجد مساحة الشكل المستوي المحدود بالخطوط .
الحل: أولا تحتاج إلى رسم. بشكل عام، عند إنشاء رسم في مسائل المساحة، فإننا نهتم أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. دعونا نجد نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط المستقيم. يمكن القيام بذلك بطريقتين. الطريقة الأولى هي التحليلية. نحن نحل المعادلة:
وهذا يعني أن الحد الأدنى للتكامل هو الحد الأعلى للتكامل.
ومن الأفضل، إن أمكن، عدم استخدام هذه الطريقة.
إن بناء الخطوط نقطة تلو الأخرى أكثر ربحية وأسرع بكثير، وتصبح حدود التكامل واضحة "في حد ذاتها". ومع ذلك، لا يزال يتعين في بعض الأحيان استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود، على سبيل المثال، إذا كان الرسم البياني كبيرًا بدرجة كافية، أو إذا لم يكشف البناء التفصيلي عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية). وسننظر أيضًا في مثل هذا المثال.
دعنا نعود إلى مهمتنا: من الأكثر عقلانية أن نبني أولاً خطًا مستقيمًا وبعد ذلك فقط قطعًا مكافئًا. لنقم بالرسم:
والآن صيغة العمل: إذا كانت بعض الوظائف المستمرة في مقطع ما أكبر من أو تساوي بعض الوظائف المستمرة، فيمكن العثور على مساحة الشكل المحددة بالرسوم البيانية لهذه الوظائف والخطوط المستقيمة باستخدام الصيغة: 
هنا لم تعد بحاجة إلى التفكير في مكان وجود الشكل - فوق المحور أو أسفل المحور، وبشكل تقريبي، من المهم أي رسم بياني أعلى (بالنسبة إلى رسم بياني آخر) وأي رسم بياني أدناه.
في المثال قيد النظر، من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق الخط المستقيم، وبالتالي من الضروري الطرح منه
قد يبدو الحل المكتمل كما يلي:
الشكل المطلوب محدود بقطع مكافئ في الأعلى وخط مستقيم في الأسفل.
على المقطع حسب الصيغة المقابلة:
إجابة:
مثال 4
احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط , , .
الحل: أولاً، لنرسم:
الشكل الذي نحتاج إلى إيجاد مساحته مظلل باللون الأزرق (انظر بعناية إلى الحالة - كيف أن الشكل محدود!). لكن من الناحية العملية، وبسبب عدم الانتباه، غالباً ما يحدث "خلل" يجعلك بحاجة إلى العثور على مساحة الشكل المظلل باللون الأخضر!
هذا المثال مفيد أيضًا لأنه يحسب مساحة الشكل باستخدام تكاملين محددين.
حقًا :
1) يوجد في الجزء الموجود فوق المحور رسم بياني لخط مستقيم؛
2) يوجد في المقطع الموجود فوق المحور رسم بياني للقطع الزائد.
من الواضح تمامًا أنه يمكن (ويجب) إضافة المناطق، وبالتالي:
