لتكن الدالة غير سالبة ومستمرة على الفترة. بعد ذلك، وفقًا للمعنى الهندسي للتكامل المحدد، فإن مساحة شبه منحرف منحني يحدها من الأعلى الرسم البياني لهذه الوظيفة، ومن الأسفل بالمحور، ومن اليسار واليمين بخطوط مستقيمة و (انظر الشكل 2) هي تحسب بواسطة الصيغة
مثال 9.أوجد مساحة الشكل الذي يحده خط 
والمحور.
حل. الرسم البياني الوظيفي 
هو القطع المكافئ الذي تتجه فروعه نحو الأسفل. دعونا نبنيه (الشكل 3). ولتحديد حدود التكامل نجد نقاط تقاطع الخط (القطع المكافئ) مع المحور (الخط المستقيم). للقيام بذلك، نقوم بحل نظام المعادلات
نحصل على: 
، أين ، ؛ لذلك، ، .
أرز. 3
نجد مساحة الشكل باستخدام الصيغة (5):
إذا كانت الدالة غير موجبة ومستمرة على القطعة، فإن مساحة شبه المنحرف المنحني التي يحدها من الأسفل الرسم البياني لهذه الدالة، من الأعلى بالمحور، من اليسار واليمين بخطوط مستقيمة و، يتم حسابها بواسطة صيغة
. (6)
إذا كانت الدالة متصلة على قطعة وتغير الإشارة عند عدد محدود من النقاط، فإن مساحة الشكل المظلل (الشكل 4) تساوي المجموع الجبري للتكاملات المحددة المقابلة:
أرز. 4
مثال 10.احسب مساحة الشكل الذي يحده المحور والرسم البياني للدالة عند .
أرز. 5
حل. لنقم بعمل رسم (الشكل 5). المساحة المطلوبة هي مجموع المساحات و . دعونا نجد كل من هذه المجالات. أولا، نحدد حدود التكامل من خلال حل النظام 
نحصل على . لذلك:
;
.
وبالتالي فإن مساحة الشكل المظلل هي
(وحدات مربعة).
أرز. 6
أخيرًا، دع شبه المنحرف المنحني يكون محدودًا من الأعلى والأسفل بواسطة الرسوم البيانية للدوال المستمرة على القطعة و،
وعلى اليسار واليمين - خطوط مستقيمة و (الشكل 6). ثم يتم حساب مساحتها بالصيغة
. (8)
مثال 11.أوجد مساحة الشكل الذي يحده الخطوط و.
حل.يظهر هذا الرقم في الشكل. 7. دعونا نحسب مساحتها باستخدام الصيغة (8). حل نظام المعادلات نجد ; لذلك، ، . في المقطع لدينا : . وهذا يعني أنه في الصيغة (8) نأخذ ك س، وكنوعية - . نحصل على:
(وحدات مربعة).
يتم حل المشكلات الأكثر تعقيدًا لحساب المساحات عن طريق تقسيم الشكل إلى أجزاء غير متداخلة وحساب مساحة الشكل بالكامل كمجموع مساحات هذه الأجزاء.
أرز. 7
مثال 12.أوجد مساحة الشكل المحدد بالخطوط , , .
حل. لنقم بعمل رسم (الشكل 8). يمكن اعتبار هذا الشكل شبه منحرف منحني الأضلاع، يحده من الأسفل المحور، إلى اليسار واليمين - بخطوط مستقيمة، ومن الأعلى - بالرسوم البيانية للوظائف و. نظرًا لأن الشكل يقتصر من الأعلى على الرسوم البيانية لوظيفتين، لحساب مساحته، نقسم هذا الشكل المستقيم إلى جزأين (1 هو الإحداثي لنقطة تقاطع الخطوط و ). تم العثور على مساحة كل جزء من هذه الأجزاء باستخدام الصيغة (4):
(وحدات مربعة)؛ 
(وحدات مربعة). لذلك:
(وحدات مربعة).
أرز. 8
|
أرز. 9
في الختام، نلاحظ أنه إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع محدودًا بخطوط مستقيمة ومحور ومستمر على المنحنى (الشكل 9)، فسيتم العثور على مساحته بالصيغة
حجم جسد الثورة
دع شبه منحرف منحني الأضلاع، يحده الرسم البياني لدالة مستمرة على قطعة، والمحور، والخطوط المستقيمة، و، يدور حول المحور (الشكل 10). ثم يتم حساب حجم جسم الدوران الناتج بواسطة الصيغة
. (9)
مثال 13.احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من خلال الدوران حول محور شبه منحرف منحني الأضلاع يحده القطع الزائد والخطوط المستقيمة والمحور.
حل. لنقم بعمل رسم (الشكل 11).
ويترتب على شروط المشكلة أن . من الصيغة (9) نحصل على
.
أرز. 10
أرز. 11
حجم الجسم الناتج عن دورانه حول محور أوهشبه منحرف منحني الأضلاع تحده خطوط مستقيمة ص = جو ص = د، المحور أوهورسم بياني لدالة مستمرة على مقطع (الشكل 12)، تحدده الصيغة
. (10)
|
أرز. 12
مثال 14. احسب حجم الجسم الناتج عن دورانه حول محور أوهشبه منحرف منحني الأضلاع تحده خطوط X 2 = 4في, ص = 4, س = 0 (الشكل 13).
حل. ووفقاً لشروط المشكلة نجد حدود التكامل: , . باستخدام الصيغة (10) نحصل على:
أرز. 13
طول قوس منحنى المستوى
دع المنحنى الذي تعطيه المعادلة حيث يقع في المستوى (الشكل 14).
أرز. 14
تعريف. يُفهم طول القوس على أنه الحد الذي يميل إليه طول الخط المتقطع المدرج في هذا القوس، عندما يميل عدد وصلات الخط المتقطع إلى ما لا نهاية، ويميل طول الحلقة الأكبر إلى الصفر.
إذا كانت الدالة ومشتقتها متصلتين على القطعة، فسيتم حساب طول قوس المنحنى بواسطة الصيغة
. (11)
مثال 15. احسب طول قوس المنحنى المحصور بين النقاط التي عندها 
.
حل. من الظروف المشكلة لدينا 
. باستخدام الصيغة (11) نحصل على:
.
4. التكاملات غير الصحيحة
مع حدود لا نهاية لها من التكامل
عند تقديم مفهوم التكامل المحدد، تم افتراض توافر الشرطين التاليين:
أ) حدود التكامل أوهي محدودة؛
ب) التكامل يحده الفاصل الزمني.
إذا لم يتم استيفاء أحد هذه الشروط على الأقل، فسيتم استدعاء التكامل ليس بنفسك.
دعونا نفكر أولاً في التكاملات غير الصحيحة ذات حدود التكامل اللانهائية.
تعريف. دع الدالة تكون محددة ومستمرة على الفترة إذنوغير محدود على اليمين (الشكل 15).
إذا تقارب التكامل غير الحقيقي، فإن هذه المساحة محدودة؛ إذا تباعد التكامل غير الحقيقي، فإن هذه المنطقة لا نهاية لها.
أرز. 15
يتم تعريف التكامل غير الصحيح مع الحد الأدنى اللانهائي للتكامل بالمثل:
. (13)
ويتقارب هذا التكامل إذا كانت النهاية على الجانب الأيمن من المساواة (13) موجودة ومنتهية؛ وإلا يقال أن التكامل متباعد.
يتم تعريف التكامل غير الصحيح مع حدين لا نهائيين من التكامل على النحو التالي:
, (14)
حيث c هي أي نقطة من الفاصل الزمني. لا يتقارب التكامل إلا إذا تقارب التكاملان على الجانب الأيمن من المساواة (14).
;ز) 
= [اختر مربعًا كاملاً في المقام: ] = 
[استبدال:
] = 
وهذا يعني أن التكامل غير الصحيح يتقارب وقيمته تساوي .
أي تكامل محدد (موجود) له معنى هندسي جيد جدًا. قلت في الصف أن التكامل المحدد هو رقم. والآن حان الوقت لذكر حقيقة مفيدة أخرى. من وجهة نظر الهندسة، التكامل المحدد هو المنطقة.
إنه، التكامل المحدد (إن وجد) يتوافق هندسيًا مع مساحة شكل معين. على سبيل المثال، النظر في التكامل المحدد. يحدد التكامل منحنى معين على المستوى (يمكن رسمه دائمًا إذا رغبت في ذلك)، والتكامل المحدد نفسه يساوي عدديًا مساحة شبه المنحرف المنحني المقابل.
مثال 1
هذا هو بيان مهمة نموذجية. النقطة الأولى والأكثر أهمية في القرار هي بناء الرسم. علاوة على ذلك، يجب بناء الرسم يمين.
عند إنشاء الرسم، أوصي بالترتيب التالي: في البدايةفمن الأفضل بناء جميع الخطوط المستقيمة (إذا كانت موجودة) وفقط ثم- القطع المكافئ، القطع الزائد، الرسوم البيانية للوظائف الأخرى. يعد بناء الرسوم البيانية للوظائف أكثر ربحية نقطة بنقطة، يمكن العثور على تقنية البناء نقطة بنقطة في المادة المرجعية.
هناك يمكنك أيضًا العثور على مادة مفيدة جدًا لدرسنا - كيفية بناء القطع المكافئ بسرعة.
في هذه المشكلة، قد يبدو الحل هكذا.
لنرسم الرسم (لاحظ أن المعادلة تحدد المحور):
لن أقوم بتظليل شبه المنحرف المنحني، فمن الواضح هنا ما هي المنطقة التي نتحدث عنها. ويستمر الحل هكذا:
يوجد على المقطع رسم بياني للوظيفة فوق المحور، لهذا السبب:
إجابة:
من يواجه صعوبات في حساب التكامل المحدد وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز 
، راجع المحاضرة تكامل محدد. أمثلة على الحلول.
بعد اكتمال المهمة، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على الرسم ومعرفة ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه الحالة، نحسب عدد الخلايا في الرسم "بالعين" - حسنًا، سيكون هناك حوالي 9، يبدو أن هذا صحيح. من الواضح تمامًا أنه إذا حصلنا على الإجابة، على سبيل المثال: 20 وحدة مربعة، فمن الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن 20 خلية لا تتناسب مع الشكل المعني، على الأكثر عشرات. إذا كانت الإجابة سلبية، فقد تم حل المهمة بشكل غير صحيح.
مثال 2
حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط، و، والمحور
هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.
ماذا تفعل إذا كان شبه المنحرف المنحني موجودًا تحت المحور؟
مثال 3
احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ومحاور الإحداثيات.
الحل: لنقم بالرسم: 
إذا كان شبه منحرف منحني تقع بالكامل تحت المحور، فيمكن إيجاد مساحتها باستخدام الصيغة:
في هذه الحالة: 
انتباه! ولا ينبغي الخلط بين نوعي المهام:
1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد دون أي معنى هندسي، فقد يكون سالبًا.
2) إذا طلب منك إيجاد مساحة شكل ما باستخدام تكامل محدد، فإن المساحة تكون موجبة دائمًا! ولهذا السبب يظهر الطرح في الصيغة التي تمت مناقشتها للتو.
في الممارسة العملية، غالبا ما يقع الرقم في كل من المستوى العلوي والسفلي، وبالتالي، من أبسط المهام المدرسية ننتقل إلى أمثلة أكثر وضوحا.
مثال 4
أوجد مساحة الشكل المستوي المحدود بالخطوط .
الحل: أولا تحتاج إلى رسم. بشكل عام، عند إنشاء رسم في مسائل المساحة، فإننا نهتم أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. دعونا نجد نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط المستقيم. يمكن القيام بذلك بطريقتين. الطريقة الأولى هي التحليلية. نحن نحل المعادلة:
وهذا يعني أن الحد الأدنى للتكامل هو الحد الأعلى للتكامل.
ومن الأفضل عدم استخدام هذه الطريقة إن أمكن.
إن بناء الخطوط نقطة تلو الأخرى أكثر ربحية وأسرع بكثير، وتصبح حدود التكامل واضحة "في حد ذاتها". تمت مناقشة تقنية البناء نقطة بنقطة لمختلف الرسوم البيانية بالتفصيل في المساعدة الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الأولية. ومع ذلك، لا يزال يتعين في بعض الأحيان استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود، على سبيل المثال، إذا كان الرسم البياني كبيرًا بدرجة كافية، أو إذا لم يكشف البناء التفصيلي عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية). وسننظر أيضًا في مثل هذا المثال.
دعنا نعود إلى مهمتنا: من الأكثر عقلانية أن نبني أولاً خطًا مستقيمًا وبعد ذلك فقط قطعًا مكافئًا. لنقم بالرسم: 
أكرر أنه عند البناء النقطي، غالبًا ما يتم اكتشاف حدود التكامل "تلقائيًا".
والآن صيغة العمل:إذا كان هناك بعض الوظائف المستمرة على قطعة ما أكبر من أو يساويبعض الوظائف المستمرة، ثم يمكن العثور على مساحة الشكل المقابل باستخدام الصيغة:
هنا لم تعد بحاجة إلى التفكير في مكان وجود الشكل - فوق المحور أو أسفله، وبشكل تقريبي، يهم الرسم البياني الذي هو أعلى(نسبة إلى رسم بياني آخر)، وأيهما أدناه.
في المثال قيد النظر، من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق الخط المستقيم، وبالتالي من الضروري الطرح منه
قد يبدو الحل المكتمل كما يلي:
الشكل المطلوب محدود بقطع مكافئ في الأعلى وخط مستقيم في الأسفل.
على المقطع حسب الصيغة المقابلة:
إجابة:
وفي الحقيقة فإن الصيغة المدرسية لمساحة شبه المنحرف المنحني في النصف السفلي من المستوى (انظر المثال البسيط رقم 3) هي حالة خاصة من الصيغة 
. بما أن المحور محدد بالمعادلة ويقع الرسم البياني للدالة أسفل المحور 
والآن بعض الأمثلة للحل الخاص بك
مثال 5
مثال 6
أوجد مساحة الشكل المحدد بالخطوط .
عند حل المسائل التي تتضمن حساب المساحة باستخدام تكامل محدد، تحدث أحيانًا حادثة مضحكة. لقد تم الرسم بشكل صحيح، وكانت الحسابات صحيحة، ولكن بسبب الإهمال... تم العثور على منطقة الشكل الخطأهذا هو بالضبط ما أخطأ فيه خادمك المتواضع عدة مرات. هنا حالة من الحياة الحقيقية:
مثال 7
احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط , , .
أولاً لنقم بالرسم: 
الشكل الذي نريد إيجاد مساحته مظلل باللون الأزرق(انظر بعناية إلى الحالة - كيف أن الرقم محدود!). ولكن من الناحية العملية، وبسبب عدم الانتباه، غالبًا ما تحتاج إلى العثور على مساحة الشكل المظلل باللون الأخضر!
هذا المثال مفيد أيضًا لأنه يحسب مساحة الشكل باستخدام تكاملين محددين. حقًا:
1) يوجد في الجزء الموجود فوق المحور رسم بياني لخط مستقيم؛
2) يوجد في المقطع الموجود فوق المحور رسم بياني للقطع الزائد.
من الواضح تمامًا أنه يمكن (ويجب) إضافة المناطق، وبالتالي:
إجابة:
مثال 8
حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط،
لنعرض المعادلات في صورة "مدرسة" ونرسم نقطة بنقطة: 
ومن الرسم يتضح أن الحد الأعلى لدينا هو "جيد": .
ولكن ما هو الحد الأدنى؟! من الواضح أن هذا ليس عددا صحيحا، ولكن ما هو؟ ربما ؟ ولكن أين هو الضمان بأن الرسم تم بدقة تامة، فقد يتبين أن... أو الجذر. ماذا لو بنينا الرسم البياني بشكل غير صحيح؟
في مثل هذه الحالات، عليك قضاء وقت إضافي وتوضيح حدود التكامل تحليليا.
دعونا نجد نقاط تقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ.
للقيام بذلك، نحل المعادلة: 
لذلك، .
الحل الإضافي تافه، والشيء الرئيسي هو عدم الخلط بين البدائل والعلامات؛ الحسابات هنا ليست أبسط.
على الجزء 
، وفقا للصيغة المقابلة: 
إجابة: 
حسنًا، في ختام الدرس، دعونا نلقي نظرة على مهمتين أكثر صعوبة.
مثال 9
احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط , ,
الحل: لنرسم هذا الشكل في الرسم. 
لإنشاء رسم نقطة بنقطة، تحتاج إلى معرفة مظهر الشكل الجيوب الأنفي (وبشكل عام من المفيد معرفة ذلك) الرسوم البيانية لجميع الوظائف الأولية)، بالإضافة إلى بعض القيم الجيبية، التي يمكن العثور عليها في الجدول المثلثي. في بعض الحالات (كما في هذه الحالة)، من الممكن إنشاء رسم تخطيطي، حيث يجب عرض الرسوم البيانية وحدود التكامل بشكل صحيح بشكل أساسي.
لا توجد مشاكل مع حدود التكامل هنا؛ فهي تتبع مباشرة الشرط: يتغير "x" من صفر إلى "pi". دعونا نتخذ قرارًا آخر:
في المقطع، يقع الرسم البياني للدالة فوق المحور، وبالتالي:
(1) يمكن رؤية كيفية تكامل الجيب وجيب التمام في القوى الفردية في الدرس تكاملات الدوال المثلثية. هذه تقنية نموذجية، حيث نقوم بقص أحد الجيوب الأنفية.
(2) نستخدم الهوية المثلثية الرئيسية في النموذج 
(3) لنغير المتغير إذن:
مجالات التكامل الجديدة:
أي شخص سيء حقًا في البدائل، يرجى أخذ درس. طريقة الاستبدال في التكامل غير المحدد. بالنسبة لأولئك الذين لا يفهمون تمامًا خوارزمية الاستبدال في تكامل محدد، قم بزيارة الصفحة تكامل محدد. أمثلة على الحلول.
مثال1 . احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: x + 2y – 4 = 0، y = 0، x = -3، و x = 2
دعونا نبني شكلاً (انظر الشكل) نبني خطًا مستقيمًا x + 2y - 4 = 0 باستخدام النقطتين A(4;0) وB(0;2). بالتعبير عن y خلال x، نحصل على y = -0.5x + 2. باستخدام الصيغة (1)، حيث f(x) = -0.5x + 2، a = -3، b = 2، نجد
S = = [-0.25=11.25 متر مربع وحدات
مثال 2. احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: x – 2y + 4 = 0، x + y – 5 = 0 و y = 0.
حل. دعونا نبني هذا الرقم.
دعونا نبني خطًا مستقيمًا x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); س = 0، ص = 2، ب(0؛ 2).
دعونا نبني خطًا مستقيمًا x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
لنجد نقطة تقاطع الخطوط عن طريق حل نظام المعادلات:
س = 2، ص = 3؛ م (2 ؛ 3).
لحساب المساحة المطلوبة نقسم المثلث AMC إلى مثلثين AMN و NMC، حيث أنه عندما تتغير x من A إلى N تكون المساحة محدودة بخط مستقيم، وعندما تتغير x من N إلى C - بخط مستقيم
بالنسبة للمثلث AMN لدينا: ; ص = 0.5س + 2، أي و(س) = 0.5س + 2، أ = - 4، ب = 2.
بالنسبة للمثلث NMC لدينا: y = - x + 5، أي f(x) = - x + 5، a = 2، b = 5.
وبحساب مساحة كل مثلث وإضافة النتائج نجد:
مربع وحدات
مربع وحدات
9 + 4، 5 = 13.5 متر مربع وحدات تحقق: = 0.5AC = 0.5 متر مربع. وحدات
مثال 3. احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y = x 2 ، ص = 0، س = 2، س = 3.
في هذه الحالة، تحتاج إلى حساب مساحة شبه منحرف منحني يحده القطع المكافئ y = x 2 ، الخطوط المستقيمة x = 2 و x = 3 ومحور الثور (انظر الشكل) باستخدام الصيغة (1) نجد مساحة شبه المنحرف المنحني
= = 6 متر مربع وحدات
مثال 4. احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y = - x 2 + 4 و ص = 0
دعونا نبني هذا الرقم. المساحة المطلوبة محصورة بين القطع المكافئ y = - x 2 + 4 ومحور الثور.
دعونا نجد نقاط تقاطع القطع المكافئ مع محور الثور. بافتراض y = 0، نجد x = بما أن هذا الشكل متماثل حول محور Oy، فإننا نحسب مساحة الشكل الواقع على يمين محور Oy، ونضاعف النتيجة التي تم الحصول عليها: = +4x]sq. وحدات 2 = 2 متر مربع وحدات
مثال 5. احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y 2 = س، ص = 1، س = 4
هنا تحتاج إلى حساب مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع يحدها الفرع العلوي من القطع المكافئ 2 = x، المحور Ox والخطوط المستقيمة x = 1 и x = 4 (انظر الشكل)
وفقًا للصيغة (1)، حيث f(x) = a = 1 وb = 4، لدينا = (= وحدات مربعة.
مثال 6 . احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
المساحة المطلوبة محدودة بنصف موجة الشكل الجيبي ومحور الثور (انظر الشكل).
لدينا - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 مربع. وحدات
مثال 7. احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y = - 6x، y = 0 و x = 4.
يقع الشكل تحت محور الثور (انظر الشكل).
ولذلك نجد مساحتها باستخدام الصيغة (3)
= =
مثال 8. احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y = و x = 2. أنشئ منحنى y = من النقاط (انظر الشكل). وهكذا نجد مساحة الشكل باستخدام الصيغة (4)
مثال 9 .
X 2 + ص 2 = ص 2 .
هنا تحتاج إلى حساب المساحة المحاطة بالدائرة x 2 + ص 2 = ص 2 أي مساحة دائرة نصف قطرها r ومركزها نقطة الأصل. لنجد الجزء الرابع من هذه المساحة بأخذ حدود التكامل من 0
قبل؛ لدينا: 1 = = [
لذلك، 1 =
مثال 10. احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y= x 2 و ص = 2س
هذا الرقم محدود بالقطع المكافئ y = x 2 والخط المستقيم y = 2x (انظر الشكل) لتحديد نقاط تقاطع الخطوط المعطاة، نحل نظام المعادلات: x 2 – 2س = 0 س = 0 و س = 2
وباستخدام الصيغة (5) لإيجاد المساحة نحصل على
= \- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l-Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* مثال 2. لنحسب المساحة المحددة بالجيب y = sinXy، الثور المحور والخط المستقيم (الشكل 87). بتطبيق الصيغة (I)، نحصل على A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf المثال 3. احسب المساحة المحددة بقوس الشكل الجيبي ^у = sin jc، المحاط بين نقطتي تقاطع متجاورتين مع محور الثور (على سبيل المثال، بين نقطة الأصل والنقطة ذات الإحداثي السيني i). لاحظ أنه من الاعتبارات الهندسية يتضح أن هذه المساحة ستكون ضعف مساحة المثال السابق. ومع ذلك، دعونا نقوم بالحسابات: I 5= | s\nxdx= [ - cosx)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o بالفعل، تبين أن افتراضنا صحيح. مثال 4. احسب المساحة التي يحدها المحور الجيبي والثور في فترة واحدة (الشكل 88). تشير الحسابات الأولية إلى أن المساحة ستكون أكبر بأربع مرات مما كانت عليه في المثال 2. ومع ذلك، بعد إجراء الحسابات، نحصل على "i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. هذه النتيجة تتطلب التوضيح. لتوضيح جوهر الأمر، نحسب أيضًا المساحة المحدودة بنفس الجيوب الأنفية y = sin l: ومحور الثور في المدى من l إلى 2i. بتطبيق الصيغة (I)، نحصل على 2l $2l sin xdx=[ - cosx]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. وهكذا نرى أن هذه المنطقة أصبحت سلبية. وبمقارنتها بالمساحة المحسوبة في التمرين 3 نجد أن قيمها المطلقة هي نفسها ولكن الإشارات مختلفة. إذا طبقنا الخاصية V (انظر الفصل الحادي عشر، § 4)، فسنحصل على 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0 ما حدث في هذا المثال ليس حادثًا. دائمًا ما يتم الحصول على المساحة الواقعة أسفل محور الثور، بشرط أن يتغير المتغير المستقل من اليسار إلى اليمين، عند حسابها باستخدام التكاملات. في هذه الدورة سنأخذ بعين الاعتبار دائمًا المناطق التي لا تحتوي على علامات. ولذلك، فإن الإجابة في المثال الذي ناقشناه للتو ستكون: المساحة المطلوبة هي 2 + |-2| = 4. مثال 5. لنحسب مساحة BAB الموضحة في الشكل. 89. هذه المنطقة محدودة بمحور الثور، والقطع المكافئ y = - xr والخط المستقيم y - = -x+\. مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع المنطقة المطلوبة OAB تتكون من جزأين: OAM وMAV. بما أن النقطة A هي نقطة تقاطع القطع المكافئ مع الخط المستقيم، فسنجد إحداثياتها من خلال حل نظام المعادلات 3 2 Y = mx. (نحن بحاجة فقط إلى العثور على نهاية النقطة أ). بحل النظام نجد l; = ~. ولذلك، لا بد من حساب المساحة في أجزاء، المربع الأول. OAM ثم رر. المركبة الفضائية: .... جي 3 2، 3 جي x بي 3 1/2 يو 2. وظيفة QAM-^x. رقم يحده منحنى؟ (؟) والأشعة؟ = ؟, ؟ = ؟، يسمى قطاع منحني الأضلاع. مساحة القطاع المنحني تساوي
إيجاد طول قوس المنحنى
إحداثيات مستطيلة
دع منحنى المستوي AB يعطى بإحداثيات مستطيلة، معادلتها هي y = f(x)، أين a؟ س؟ ب. (الشكل 2)
يُفهم طول القوس AB على أنه الحد الذي يميل إليه طول الخط المتقطع المدرج في هذا القوس عندما يزداد عدد وصلات الخط المتقطع إلى ما لا نهاية، ويميل طول رابطه الأكبر إلى الصفر.
دعونا نطبق المخطط الأول (طريقة المجموع).
باستخدام النقاط X = a، X، …، X = b (X ؟ X؟ … ؟ X) نقسم القطعة إلى n أجزاء. لتتوافق هذه النقاط مع النقاط M = A، M، …، M = B على المنحنى AB. دعونا نرسم الأوتار MM، MM، …، MM، والتي سيتم الإشارة إلى أطوالها بـ؟L،؟L، …،؟L، على التوالي.
نحصل على خط متقطع MMM ... MM، طوله يساوي L = ?L+ ?L+... + ?L = ?L.
يمكن إيجاد طول الوتر (أو وصلة الخط المتقطع) L باستخدام نظرية فيثاغورس من مثلث ذو أرجل X وY:
L = , أين?X = X - X, ?Y = f(X) - f(X).
بواسطة نظرية لاغرانج على الزيادة المحدودة للدالة
Y = (C) ؟X، حيث C (X، X).
وطول الخط المتقطع بأكمله MMM...MM يساوي
طول المنحنى AB، حسب التعريف، يساوي
لاحظ أنه عندما يكون ?L 0 أيضًا ?X 0 (?L = وبالتالي | ?X |< ?L). Функция непрерывна на отрезке , так как, по условию, непрерывна функция f (X). Следовательно, существует предел интегральной суммы L=?L= , кода max ?X 0:
وهكذا L = دس.
مثال: أوجد محيط دائرة نصف قطرها R. (الشكل 3)
هل سنجده؟ جزء من طوله من النقطة (0;R) إلى النقطة (R;0). لأن