عند التحضير لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات، يتعين على الطلاب تنظيم معرفتهم بالجبر والهندسة. أود أن أجمع كل المعلومات المعروفة، على سبيل المثال، حول كيفية حساب مساحة الهرم. علاوة على ذلك، بدءًا من القاعدة والحواف الجانبية وحتى مساحة السطح بأكملها. إذا كان الوضع مع الوجوه الجانبية واضحا، بما أنها مثلثات، فإن القاعدة تكون دائما مختلفة.
كيف تجد مساحة قاعدة الهرم؟
يمكن أن يكون على الإطلاق أي شخصية: من مثلث تعسفيإلى ن غون. وهذه القاعدة، بالإضافة إلى الاختلاف في عدد الزوايا، يمكن أن تكون شكلًا منتظمًا أو غير منتظم. في مهام امتحان الدولة الموحدة التي تهم تلاميذ المدارس، لا توجد سوى مهام ذات أرقام صحيحة في القاعدة. لذلك سنتحدث عنهم فقط.
مثلث منتظم
وهذا هو، متساوي الأضلاع. الذي تكون فيه جميع الأطراف متساوية ويشار إليها بالحرف "أ". وفي هذه الحالة يتم حساب مساحة قاعدة الهرم بالصيغة:
س = (أ ٢ * √٣) / ٤.
مربع
إن صيغة حساب مساحتها هي الأبسط، هنا "a" هو الضلع مرة أخرى:
التعسفي العادية ن غون
جانب المضلع له نفس التدوين. بالنسبة لعدد الزوايا المستخدمة حرف لاتينين.
S = (ن * أ 2) / (4 * تيراجرام (180 درجة/ن)).
ماذا تفعل عند حساب مساحة السطح الجانبية والإجمالية؟
لأنه في القاعدة يكمن الرقم الصحيح، فتتبين أن جميع وجوه الهرم متساوية. علاوة على ذلك، كل واحد منهم مثلث متساوي الساقين، منذ ذلك الحين الأضلاع الجانبيةمتساوون. ثم من أجل حساب المنطقة الجانبيةالهرم، ستحتاج إلى صيغة تتكون من مجموع أحاديات الحد المتطابقة. يتم تحديد عدد الحدود بعدد جوانب القاعدة.
مربع مثلث متساوي الساقينيتم حسابه باستخدام صيغة يتم فيها ضرب نصف منتج القاعدة في الارتفاع. ويسمى هذا الارتفاع في الهرم apothem. تسميتها "أ". صيغة عامةبالنسبة لمساحة السطح الجانبية فتبدو كما يلي:
S = ½ P*A، حيث P هو محيط قاعدة الهرم.
هناك حالات لا تكون فيها جوانب القاعدة معروفة، ولكن يتم تحديد الحواف الجانبية (ج) والزاوية المسطحة عند قمتها (α). ثم عليك استخدام الصيغة التالية لحساب المساحة الجانبية للهرم:
S = ن/2 * في 2 خطيئة α .
المهمة رقم 1
حالة.يجد المساحة الكليةالهرم، إذا كان طول ضلع قاعدته 4 سم، وقيمة الارتفاع √3 سم.
حل.عليك أن تبدأ بحساب محيط القاعدة. لأن هذا مثلث منتظم، إذن P = 3*4 = 12 سم، وبما أن القياس معروف، فيمكننا على الفور حساب مساحة السطح الجانبي بالكامل: ½*12*√3 = 6√3 سم 2.
بالنسبة للمثلث الموجود في القاعدة، تحصل على قيمة المساحة التالية: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 سم 2.
لتحديد المساحة بأكملها، ستحتاج إلى جمع القيمتين الناتجتين: 6√3 + 4√3 = 10√3 سم2.
إجابة. 10√3 سم2.
المشكلة رقم 2
حالة. يوجد هرم رباعي الزوايا منتظم. طول جانب القاعدة 7 ملم والحافة الجانبية 16 ملم. من الضروري معرفة مساحة سطحه.
حل.وبما أن متعدد السطوح رباعي الزوايا ومنتظم، فإن قاعدته مربعة. بمجرد معرفة مساحة القاعدة والأوجه الجانبية، ستتمكن من حساب مساحة الهرم. صيغة المربع موضحة أعلاه. وبالنسبة للأوجه الجانبية فإن جميع أضلاع المثلث معروفة. لذلك، يمكنك استخدام صيغة هيرون لحساب مناطقهم.
الحسابات الأولى بسيطة وتؤدي إلى الرقم التالي: 49 ملم2. بالنسبة للقيمة الثانية، ستحتاج إلى حساب نصف المحيط: (7 + 16*2): 2 = 19.5 ملم. يمكنك الآن حساب مساحة المثلث المتساوي الساقين: √(19.5*(19.5-7)*(19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 مم2. لا يوجد سوى أربعة مثلثات من هذا القبيل، لذلك عند حساب الرقم النهائي سوف تحتاج إلى ضربه في 4.
اتضح: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 مم 2.
إجابة. القيمة المطلوبة 267.576 مم2.
المهمة رقم 3
حالة. الشي الصحيح الهرم الرباعيتحتاج إلى حساب المنطقة. ومن المعروف أن طول ضلع المربع 6 سم وارتفاعه 4 سم.
حل.أسهل طريقة هي استخدام الصيغة مع حاصل ضرب المحيط والقياس. من السهل العثور على القيمة الأولى. والثاني هو أكثر تعقيدا قليلا.
علينا أن نتذكر نظرية فيثاغورس ونأخذ في الاعتبار أنها تتكون من ارتفاع الهرم والقياس، وهو الوتر. المحطة الثانية يساوي النصفجوانب المربع، لأن ارتفاع متعدد السطوح يقع في وسطه.
القياس المطلوب (الوتر مثلث قائم) يساوي √(3 2 + 4 2) = 5 (سم).
الآن يمكنك حساب القيمة المطلوبة: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (سم2).
إجابة. 96 سم2.
المشكلة رقم 4
حالة.دانا الجانب الصحيحقواعدها 22 ملم، وأضلاعها الجانبية 61 ملم. ما هي مساحة السطح الجانبية لهذا متعدد السطوح؟
حل.المنطق فيه هو نفسه الموضح في المهمة رقم 2. هناك فقط أُعطي هرمًا بمربع في القاعدة، وهو الآن مسدس.
أولًا، يتم حساب مساحة القاعدة باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه: (6*22 2) / (4*tg (180°/6)) = 726/(tg30°) = 726√3 سم 2.
أنت الآن بحاجة إلى معرفة نصف محيط المثلث المتساوي الساقين، وهو الوجه الجانبي. (22+61*2):2 = 72 سم، كل ما تبقى هو استخدام صيغة هيرون لحساب مساحة كل مثلث، ثم ضربها في ستة وإضافتها إلى تلك التي تم الحصول عليها للقاعدة.
الحسابات باستخدام صيغة هيرون: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 سم2. الحسابات التي تعطي مساحة السطح الجانبية: 660 * 6 = 3960 سم2. يبقى إضافتها لمعرفة السطح بأكمله: 5217.47≈5217 سم 2.
إجابة.مساحة القاعدة 726√3 سم2، والسطح الجانبي 3960 سم2، والمساحة الكاملة 5217 سم2.
الأسطوانة عبارة عن شكل يتكون من سطح أسطواني ودائرتين متوازيتين. يعد حساب مساحة الأسطوانة مشكلة في الفرع الهندسي للرياضيات، ويمكن حلها بكل بساطة. هناك عدة طرق لحلها، والتي تنتهي دائمًا في النهاية بصيغة واحدة.
كيفية العثور على مساحة الاسطوانة - قواعد الحساب
- لمعرفة مساحة الأسطوانة عليك إضافة مساحتي القاعدة مع مساحة السطح الجانبي: S = Sside + 2Sbase. في نسخة أكثر تفصيلاً، تبدو هذه الصيغة كما يلي: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
- يمكن حساب مساحة السطح الجانبية لجسم هندسي معين إذا كان ارتفاعه ونصف قطر الدائرة الواقعة عند قاعدته معلومين. في في هذه الحالةيمكن التعبير عن نصف القطر من محيط الدائرة، إذا كان معطى. يمكن معرفة الارتفاع إذا تم تحديد قيمة المولد في الشرط. في هذه الحالة، فإن المولد سيكون مساوياً للارتفاع. صيغة السطح الجانبي الجسم المعطىيبدو مثل هذا: S = 2 π ر.
- يتم حساب مساحة القاعدة باستخدام صيغة إيجاد مساحة الدائرة: S osn= π r 2 . في بعض المسائل، قد لا يتم تحديد نصف القطر، ولكن قد يتم تحديد المحيط. باستخدام هذه الصيغة، يتم التعبير عن نصف القطر بسهولة تامة. С=2π ص، ص= С/2π. يجب أن تتذكر أيضًا أن نصف القطر هو نصف القطر.
- عند إجراء كل هذه الحسابات، لا يُترجم الرقم π عادةً إلى 3.14159... بل يجب فقط إضافته بجوار القيمة العدديةوالتي تم الحصول عليها نتيجة للحسابات.
- بعد ذلك، تحتاج فقط إلى ضرب المساحة الموجودة للقاعدة في 2 وإضافة المساحة المحسوبة للسطح الجانبي للشكل إلى الرقم الناتج.
- إذا كانت المشكلة تشير إلى أن الاسطوانة تحتوي على القسم المحوريوهذا مستطيل، فالحل سيكون مختلفًا بعض الشيء. في هذه الحالة، سيكون عرض المستطيل هو قطر الدائرة الواقعة عند قاعدة الجسم. سيكون طول الشكل مساويا للمولد أو ارتفاع الاسطوانة. بحاجة لحساب القيم المطلوبةواستبدالها بالفعل صيغة معروفة. وفي هذه الحالة يجب قسمة عرض المستطيل على اثنين لإيجاد مساحة القاعدة. للعثور على السطح الجانبي، يتم ضرب الطول في نصفي قطرين والرقم π.
- يمكنك حساب مساحة جسم هندسي معين من خلال حجمه. للقيام بذلك، تحتاج إلى استخلاص القيمة المفقودة من الصيغة V=π r 2 h.
- لا يوجد شيء معقد في حساب مساحة الاسطوانة. كل ما تحتاجه هو معرفة الصيغ والقدرة على استخلاص الكميات اللازمة منها لإجراء العمليات الحسابية.
هرم- أحد أصناف متعدد السطوح المتكون من المضلعات والمثلثات التي تقع عند القاعدة وهي وجوهه.
علاوة على ذلك، في قمة الهرم (أي عند نقطة واحدة) تتحد جميع الوجوه.
من أجل حساب مساحة الهرم، يجدر تحديد ما هو عليه السطح الجانبييتكون من عدة مثلثات. ويمكننا بسهولة العثور على مناطقهم باستخدام
صيغ مختلفة. اعتمادًا على البيانات التي نعرفها عن المثلثات، نبحث عن مساحتها.
ندرج بعض الصيغ التي يمكن استخدامها للعثور على مساحة المثلثات:
- س = (أ*ح)/2 . في هذه الحالة، نعرف ارتفاع المثلث ح ، والذي يتم إنزاله إلى الجانب أ .
- S = أ*ب*الخطيئةβ . وهنا جوانب المثلث أ , ب ، والزاوية بينهما هي β .
- س = (ص*(أ + ب + ج))/2 . وهنا جوانب المثلث أ، ب، ج . نصف قطر الدائرة المدرج في المثلث هو ص .
- ص = (أ*ب*ج)/4*ر . نصف قطر الدائرة المحددة حول المثلث هو ر .
- ص = (أ*ب)/2 = ص² + 2*ص*ر . هذه الصيغةيجب استخدامه فقط عندما يكون المثلث مثلثًا قائمًا.
- س = (أ²*√3)/4 . نطبق هذه الصيغة على مثلث متساوي الأضلاع.
فقط بعد أن نحسب مساحات جميع المثلثات التي هي وجوه هرمنا، يمكننا حساب مساحة سطحه الجانبي. للقيام بذلك، سوف نستخدم الصيغ المذكورة أعلاه.
من أجل حساب مساحة السطح الجانبي للهرم، لا توجد صعوبات: تحتاج إلى معرفة مجموع مساحات جميع المثلثات. دعنا نعبر عن ذلك بالصيغة:
س = Σسي
هنا سي هي مساحة المثلث الأول، و س ص - مساحة السطح الجانبي للهرم .
لنلقي نظرة على مثال. دانا الهرم المنتظم، ها وجوه جانبيةمكونة من عدة مثلثات متساوية الأضلاع،
« الهندسة هي أقوى أداة لصقل قدراتنا العقلية».
جاليليو جاليلي.
والمربع هو قاعدة الهرم. علاوة على ذلك، يبلغ طول حافة الهرم 17 سم.
نحن نفكر بهذه الطريقة: نحن نعلم أن وجوه الهرم مثلثة، وهي متساوية الأضلاع. ونعرف أيضًا طول حافة هذا الهرم. ويترتب على ذلك أن جميع المثلثات متساوية الجانبينطولها 17 سم.
لحساب مساحة كل من هذه المثلثات، يمكنك استخدام الصيغة التالية:
ص = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 سم²
وبما أننا نعلم أن المربع يقع عند قاعدة الهرم، فسيتبين أن لدينا أربعة مثلث متساوي الاضلاع. وهذا يعني أنه يمكن حساب مساحة السطح الجانبي للهرم بسهولة باستخدام الصيغة التالية: 125.137 سم² * 4 = 500.548 سم²
وإجابتنا هي كما يلي: 500.548 سم² - هذه هي مساحة السطح الجانبي لهذا الهرم.
متوازي السطوح هو منشور رباعي الزوايا مع متوازي أضلاع في قاعدته. هناك صيغ جاهزة لحساب الجوانب و منطقة كاملةأسطح شكل ما، والتي تتطلب فقط أطوال ثلاثة أبعاد لمتوازي السطوح.
كيفية العثور على مساحة السطح الجانبية لمتوازي مستطيل
من الضروري التمييز بين المستطيل والمتوازي المستقيم. يمكن أن تكون قاعدة الشكل المستقيم أي متوازي أضلاع. يجب حساب مساحة هذا الشكل باستخدام صيغ أخرى.
يتم حساب مجموع S للأوجه الجانبية لمتوازي مستطيل باستخدام الصيغة البسيطة P*h، حيث P هو المحيط وh هو الارتفاع. يوضح الشكل أن الجوانب المتقابلة لمتوازي السطوح المستطيل متساوية، وأن الارتفاع h يتزامن مع طول الحواف المتعامدة مع القاعدة.
مساحة سطح مكعبة
المساحة الكلية للشكل تتكون من الضلع ومساحة القاعدتين. كيفية العثور على مساحة متوازي المستطيلات:
حيث a وb وc هي أبعاد الجسم الهندسي.
الصيغ الموصوفة سهلة الفهم ومفيدة في حل العديد من المشاكل الهندسية. مثال مهمة نموذجيةالمعروضة في الصورة التالية.
عند حل مشاكل من هذا النوع، ينبغي أن نتذكر أن الأساس المنشور الرباعييتم اختياره عشوائيا. إذا أخذنا الوجه ذو الأبعاد x و 3 كقاعدة فإن قيم Sside ستكون مختلفة، وسيبقى Stotal 94 سم2.
مساحة سطح المكعب
المكعب هو مكعباني شبيه بالمكعبحيث تكون جميع الأبعاد الثلاثة متساوية مع بعضها البعض. وفي هذا الصدد، تختلف صيغ المساحة الكلية والجانبية للمكعب عن الصيغ القياسية.
محيط المكعب هو 4a، وبالتالي فإن الجانب S = 4*a*a = 4*a2. هذه التعبيرات ليست مطلوبة للحفظ، ولكنها تسرع بشكل كبير في حل المهام.
الاسطوانة هي جسم هندسي، يقتصر على اثنين طائرات متوازيةو سطح اسطواني. سنتحدث في المقالة عن كيفية إيجاد مساحة الأسطوانة، وباستخدام الصيغة سنحل عدة مسائل على سبيل المثال.
للأسطوانة ثلاثة أسطح: سطح علوي، وقاعدة، وسطح جانبي.
الجزء العلوي والقاعدة للأسطوانة عبارة عن دوائر ويسهل التعرف عليها.
ومن المعروف أن مساحة الدائرة تساوي πr 2. ولذلك فإن صيغة مساحة الدائرتين (أعلى وقاعدة الاسطوانة) ستكون πr 2 + πr 2 = 2πr 2.
السطح الجانبي الثالث للأسطوانة هو الجدار المنحني للأسطوانة. لكي نتخيل هذا السطح بشكل أفضل، دعونا نحاول تحويله للحصول على شكل يمكن التعرف عليه. تخيل أن الأسطوانة عبارة عن علبة صفيح عادية ليس لها غطاء علوي أو سفلي. لنقم بعمل قطع رأسي على الجدار الجانبي من الأعلى إلى قاعدة العلبة (الخطوة 1 في الشكل) وحاول فتح (تصويب) الشكل الناتج قدر الإمكان (الخطوة 2).
بعد فتح الجرة الناتجة بالكامل، سنرى شكلًا مألوفًا (الخطوة 3)، هذا مستطيل. من السهل حساب مساحة المستطيل. ولكن قبل ذلك، دعونا نعود للحظة إلى الاسطوانة الأصلية. رأس الأسطوانة الأصلية عبارة عن دائرة، ونعلم أن محيطها يتم حسابه بالصيغة: L = 2πr. تم وضع علامة باللون الأحمر في الشكل.
عندما يتم فتح الجدار الجانبي للأسطوانة بالكامل، نرى أن المحيط يصبح طول المستطيل الناتج. ستكون جوانب هذا المستطيل هي المحيط (L = 2πr) وارتفاع الأسطوانة (h). مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب أضلاعه - S = الطول × العرض = L × h = 2πr x h = 2πrh. ونتيجة لذلك، حصلنا على صيغة لحساب مساحة السطح الجانبي للأسطوانة.
صيغة مساحة السطح الجانبية للأسطوانة
الجانب S = 2πrh
إجمالي مساحة سطح الاسطوانة
وأخيرًا، إذا أضفنا مساحة الكل ثلاثة أسطح، نحصل على صيغة المنطقة سطح كاملاسطوانة. مساحة سطح الاسطوانة تساوي مساحة أعلى الاسطوانة + مساحة قاعدة الاسطوانة + مساحة السطح الجانبي للاسطوانة أو S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. في بعض الأحيان يتم كتابة هذا التعبير مطابقًا للصيغة 2πr (r + h).
صيغة لمساحة السطح الإجمالية للأسطوانة
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
ص - نصف قطر الاسطوانة، ح - ارتفاع الاسطوانة
أمثلة لحساب مساحة سطح الاسطوانة
لفهم الصيغ المذكورة أعلاه، دعونا نحاول حساب مساحة سطح الاسطوانة باستخدام الأمثلة.
1. نصف قطر قاعدة الاسطوانة 2، الارتفاع 3. تحديد مساحة السطح الجانبي للأسطوانة.
يتم حساب مساحة السطح الإجمالية باستخدام الصيغة: الجانب S. = 2πrh
الجانب S = 2*3.14*2*3
الجانب S = 6.28*6
الجانب S = 37.68
تبلغ مساحة السطح الجانبية للأسطوانة 37.68.
2. كيف تجد مساحة سطح الأسطوانة إذا كان الارتفاع 4 ونصف القطر 6؟
يتم حساب إجمالي مساحة السطح باستخدام الصيغة: S = 2πr 2 + 2πrh
س = 2 * 3.14 * 6 2 + 2 * 3.14 * 6 * 4
س = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24