ЕГЭ 2019. Математика. Книга 1. Базовый и профильный уровни. Мальцев Д.А. и др.

М.: 2019. - 416 с.

Данное пособие содержит задачник, в который включены все типы заданий с кратким ответом из банка заданий ЕГЭ, а также тематические контрольные работы. Общее число задач пособия, включая задания контрольных работ, составляет более 2600! Пособие состоит из трёх разделов: «Алгебра и начала анализа», «Геометрия», «Задачи с практическим содержанием». Каждый из этих трёх разделов разбит на несколько параграфов (общее число параграфов во всех трёх разделах равно 12). Внутри каждого параграфа сначала приводится список упражнений на одну из тем школьного курса математики, затем приводятся решения наиболее сложных из этих упражнений, а в конце параграфа даётся одна или несколько контрольных работ, каждая из которых содержит по 10 вариантов.

Формат: pdf (ознакомительный фрагмент, 96 стр .)

Размер: 913 Кб

Файл:

Купить эту книгу на сайте издательства

Содержание
Предисловие 6
Раздел I. Алгебра и начала анализа 9
§ 1. Преобразования выражений 9
Рациональные выражения 9
Арифметический корень 12
Выражения, содержащие степень 14
Тригонометрические выражения 18
Логарифмические выражения 21
Работа с формулами 25
Решения 27
Контрольные работы 33
Работа №1. Рациональные выражения, корень, степень 33
Работа №2. Тригонометрические выражения 37
Работа №3. Логарифмические выражения 41
§ 2. Уравнения 45
Рациональные уравнения 45
Иррациональные уравнения 47
Показательные уравнения 49
Логарифмические уравнения 52
Тригонометрические уравнения 55
Решения 56
Контрольные работы 61
Работа №1. Рациональные и иррациональные уравнения 61
Работа №2. Показательные уравнения 65
Работа №3. Логарифмические уравнения 69
Работа №4. Тригонометрические уравнения 72
§ 3. Анализ и чтение графиков функций 77
Решения 95
Контрольная работа 98
§ 4. Производная и её применение к исследованию функций 113
Нахождение экстремума функции, заданной формулой 126
Решения 129
Контрольная работа 143
§ 5. Первообразная и интеграл 151
Решения 155
Контрольная работа 163
Раздел II. Геометрия 169
§ 1. Планиметрия 169
Площадь и периметр 169
Координаты и вектора 180
Вычисление углов и метрические соотношения 185
Трапеция и параллелограмм 190
Подобие фигур 192
Вписанная и описанная окружности 194
Решения 201
Контрольные работы 212
Работа №1. Площадь и периметр 212
Работа №2. Координаты и вектора 218
Работа №3. Вычисление углов и метрические соотношения.223
Работа №4. Трапеция и параллелограмм. Подобие фигур. Вписанная и описанная окружности 227
§ 2. Стереометрия 233
Нахождение элементов пирамиды и призмы 233
Площадь поверхности и объём 237
Решения 249
Контрольная работа 253
Раздел III. Задачи с практическим содержанием 260
§ 1. Вычислительные задачи 260
Числа и проценты 260
Выбор оптимального варианта 268
Решения 288
Контрольная работа 290
§ 2. Задачи с физической формулировкой 299
Решения 306
Контрольная работа 314
§ 3. Текстовые задачи 322
Задачи на движение 322
Нахождение средней скорости 324
Задачи на работу 325
Задачи на смеси 326
Задачи на арифметическую прогрессию 327
Задачи на «сложные» проценты 328
Задачи на проценты 329
Решения 330
Контрольная работа 339
§ 4. Теория вероятности 345
Решения 360
Контрольная работа 383
§ 5. Геометрические задачи с практическим содержанием 390
Решения 399
Контрольная работа 401
Ответы к упражнениям 408

Перед Вами одна из трёх книг, входящих в учебно-методический комплект «Математика. Подготовка к ЕГЭ 2019». Этот учебно-методический комплект поможет выпускнику добиться необходимого ему результата на ЕГЭ по математике.
В соответствии с целями, которые ставят перед собой выпускники на экзамене, можно выделить среди них три основные группы:
1) выпускники, которым достаточно получить по математике «зачёт», т.е. сдать экзамен не на двойку;
2) выпускники, которым необходимо набрать не менее 65 сертификационных баллов, что является проходным баллом по математике в большинство ВУЗов;
3) выпускники, которым необходимо набрать не менее 80 сертификационных баллов - это достаточно высокие баллы, позволяющие поступить в самые престижные ВУЗы с большим конкурсом (при условии столь же успешной сдачи других экзаменов).
Если переводить сертификационные баллы в школьную пятибалльную систему, то в первую группу следует отнести тех выпускников, чья обычная оценка по математике не превышает отметки «удовлетворительно». А во вторую и третью группы относятся те выпускники, чья средняя оценка по математике, соответственно, «хорошо» и «отлично».
Не секрет, что с делением ЕГЭ на «Базовый» и «Профильный» экзамены, и без того непростая работа учителей выпускных классов значительно усложнилась. Ведь практически в любом классе встречаются как ученики первой из вышеуказанных групп, так и второй и третьей. Причём выпускники первой группы чаще выбирают «Базовый» экзамен, а второй и третьей группе обязательно нужен сертификат «Профильного» ЕГЭ.
Как же быть педагогу, если в одном и том же классе часть учеников сдаёт «Базовый» ЕГЭ, а часть - «Профильный»? В процессе подготовки такого класса к ЕГЭ учителю очень пригодится именно данное пособие - ведь оно реально трёхуровневое!
Для школьников, выбравших «Базовый» ЕГЭ, предназначены те задания, прототипы1 которых не отмечены никаким дополнительным символом.

В пособии приведены полные решения заданий с развёрнутым ответом для всех тестов с нечётными номерами (т.е. решения тестов №1, №3, №5 и т.д.), а также решения всех заданий с нечётными номерами из Задачника книги «Математика. ЕГЭ 2017. Профильный уровень».
Кроме того, в этом Решебнике даны указания к решениям задач №16 (планиметрия) и №19 (олимпиадная тематика) тестов с чётными номерами.
Все решения написаны достаточно подробно, в стиле беседы с читателем.
Данное пособие поможет ученикам приобрести устойчивые навыки в решении ряда заданий и существенно повысить уровень математической культуры.

Примеры.
Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 5 млн. рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 35 млн. рублей.

В мае 2015 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. рублей, где S - целое число. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 28% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по апрель каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в мае каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 82 млн. рублей.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Математика, ЕГЭ 2017, Книга 2, Профильный уровень, Решебник, Мальцев Д.А., Мальцев А.А., Мальцева Л.И. - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

• Математика, ЕГЭ, Книга 1, Мальцев Д.А., Мальцев А.А., Мальцева Л.И., 2017
• Математика, Подготовка к ЕГЭ 2018, Профильный уровень, Решебник, Мальцев Д.А., Мальцев А.А., Мальцева Л.И.
• Математика, Подготовка к ЕГЭ 2018, Профильный уровень, Мальцев Д.А., Мальцев А.А., Мальцева Л.И.
• Математика, Подготовка к ЕГЭ 2018, Базовый уровень, Мальцев Д.А., Мальцев А.А., Мальцева Л.И.

Следующие учебники и книги:

• ЕГЭ 2018, Математика, Задачи прикладного содержания, Задача 10, Профильный уровень, Рабочая тетрадь, Гордин Р.К., Ященко И.В.

Размер: px

Начинать показ со страницы:

Транскрипт

1 Учебные пособия АНО «Издательский дом «Народное образование» допущены к использованию в общеобразовательных учреждениях Приказом Минобрнауки России 16 от ДА Мальцев, АА Мальцев, ЛИ Мальцева МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2017 Книга 2 Профильный уровень 50 тестов по Демоверсии ЕГЭ 2017 Задачник: более 150 заданий с развёрнутым ответом Издатель Мальцев ДА Ростов-на-Дону Народное образование Москва 2017

2 ББК 221 М 21 Рецензенты: Т И Бутенко, заслуженный учитель России; К Э Каибханов, к ф-м н, доцент ЮФУ; Г А Монастырская, учитель высшей категории; Авторы: Д А Мальцев, А А Мальцев, Л И Мальцева М 21 Математика ЕГЭ 2017 Книга 2 Профильный уровень / ДА Мальцев, АА Мальцев, ЛИ Мальцева Ростов н/д: Издатель Мальцев ДА; М: Народное образование, c Данное пособие является второй книгой учебно-методического комплекта «Математика ЕГЭ 2017», предназначенной для учащихся, сдающих профильный ЕГЭ по математике Оно состоит из двух глав Глава I содержит 50 тестов Все тесты данного пособия попарно подобны тест 2 подобен тесту 1, тест 4 подобен тесту 3, и тд В главе II приведён задачник, в котором отражены основные идеи заданий с развёрнутым ответом, использовавшихся при проведении ЕГЭ в предшествующие годы Регулярные занятия по этому пособию помогут учащимся освоить школьный курс математики на более глубоком уровне, что, в свою очередь, будет способствовать успешной сдаче итогового экзамена ЕГЭ по математике Одновременно с данным пособием выпускается его Решебник, в котором приведены полные решения заданий с развёрнутым ответом для всех тестов с нечётными номерами (те решения тестов 1, 3, 5 и тд), а также решения всех заданий с нечётными номерами из Задачника Самые демократичные цены! Цена пособия всего 170 рублей! При заказе пособий на класс (более 20 штук) один экземпляр в подарок + бесплатная доставка С полным ассортиментом книг, выпускаемых нашим издательством, можно ознакомиться на сайте wwwafina-rru Учебные пособия АНО «Издательский дом «Народное образование» допущены к использованию в общеобразовательных учреждениях Приказом Минобрнауки России 16 от ISBN ББК 221 ИП Мальцев ДА, 2016

3 Содержание От авторов 4 Глава I Экзаменационно-тренировочные тесты 7 Тесты Тесты Тесты Тесты Тесты Тесты Тесты Тесты Тесты Тесты Глава II Задачник 180 Уравнения и системы уравнений (задание 13) 180 Стереометрия (задание 14) 182 Неравенства и системы неравенств (задание 15) 184 Планиметрия (задание 16) 188 Задачи с практическим содержанием (задание 17) 191 Уравнения и неравенства с параметром (задание 18) 194 Математические модели Теория чисел (задание 19) 197 Ответы к тестам 200 Ответы к задачнику 212 Список литературы 215 От авторов Данное пособие является второй книгой учебно-методического комплекта «Математика ЕГЭ 2017», предназначенной для учащихся, сдающих Профильный ЕГЭ по математике Пособие состоит из двух глав Глава I содержит 50 тестов На взгляд авторов, для успешной сдачи любого экзамена полезно знакомство с «историей вопроса», те с теми задачами, которые предлагались на этом экзамене в предшествующие годы Поэтому в тестах данной книги, условно названных «экзаменационнотренировочными», авторы, проанализировав материал ЕГЭ по математике предшествующих лет, отобразили все основные идеи, заложенные в экзаменационные задания В главе II приведён задачник, содержащий более 150 заданий с развёрнутым ответом Все тесты данного пособия попарно подобны тест 2 подобен тесту 1, тест 4 подобен тесту 3, и тд Одновременно с данной книгой выходит её Решебник В этом Решебнике приведены полные решения заданий с развёрнутым ответом для всех тестов с нечётными номерами (те решения тестов 1, 3, 5 и тд), а также решения всех заданий с нечётными номерами из Задачника Кроме того, в Решебнике даны указания к решениям задач 16 (планиметрия) и 19 (олимпиадная тематика) тестов с чётными номерами Об оценивании результатов тестирования Поясним некоторые термины, связанные с оцениванием результатов ЕГЭ «Первичные баллы» баллы, выставляемые за каждое выполненное задание За верно выполненное задание с кратким ответом выставляется 1 первичный балл Баллы за задания с развёрнутым ответом (задания 13 19) выставляются в зависимости от степени верности их выполнения В 2017 году задания 13,14,15 оцениваются по шкале от 0 до 2 баллов, задания 16,17 по шкале от 0 до 3 баллов, а задания 18,19 по шкале от 0 до 4 баллов Таким образом, максимальное количество первичных баллов, которое может получить выпускник, составляет 32 балла: за все задания с кратким ответом 12 баллов; за задания с развёрнутым ответом 20 баллов

4 3 От авторов «Сертификационный балл» балл, выставляемый в свидетельство о сдаче ЕГЭ Ниже приведена таблица, использовавшаяся при оценивании результатов выпускников 2016 года Перв балл Таблица перевода первичных баллов в сертификационные баллы Сертиф балл Перв балл Сертиф балл Перв балл Сертиф балл Никаких изменений в плане экзаменационной работы 2017 года, по сравнению с 2016 годом, нет Поэтому при тренировках по тестам данного пособия для примерного оценивания своих результатов вполне можно использовать приведённую выше таблицу Отметим, что на реальном экзамене при оценивании заданий с развёрнутым ответом учитывается не только правильность окончательного ответа, но и сам ход рассуждений Поэтому для определения баллов, которые могут быть выставлены за приведённые вами решения этих заданий, рекомендуем обращаться к учителю математики или другому специалисту О возможной системе подготовки к ЕГЭ Для того чтобы получить общее представление о структуре экзаменационной работы, прорешайте тесты 1,2 данного пособия А затем начните устранение пробелов в своих знаниях, которые обнаружатся при прорешивании этих двух тестов В этом Вам поможет первая книга данного учебно-методического комплекта «Математика ЕГЭ 2017 Книга 1» От авторов 4 Обратите внимание! Даже если Вы очень уверены в «своих силах», необходимо прорешать все различные типы заданий с кратким ответом Как показывает практика, многие «сильные» ученики допускают на экзамене несколько досадных ошибок в решении заданий 1 12 При этом для получения баллов, позволяющих поступить практически в любой ВУЗ страны, вовсе не обязательно приступать к решению каждого из заданий с развёрнутым ответом Правильное решение всех заданий с кратким ответом и заданий 13,15,17 соответствует 19-ти первичным баллам, но 96% выпускников 2016 года набрали меньшее число баллов А это означает, что, «отшлифовав» решение всех заданий с кратким ответом и научившись решать задания 13,15,17, Вы можете претендовать на то, чтобы попасть в число тех 4% выпускников, которые напишут ЕГЭ по математике с весьма хорошим результатом (Задания 13,15,17 выделены здесь не случайно! На взгляд авторов, среди всех заданий с развёрнутым ответом именно эти задачи наиболее доступны «среднему» ученику) Полностью проработав задания с кратким ответом по книге «Математика ЕГЭ 2017 Книга 1», приступайте к решению тестов данной книги Рекомендуем Вам построить свои занятия по тестам пособия таким образом, чтобы учебные занятия чередовались с тренировочными На учебном занятии знакомьтесь с методами решения тех заданий, которые Вы планируете решать на экзамене Решения задач с развёрнутым ответом приведены в Решебнике к данной книге Если же возникает вопрос по одному из заданий 1 12, то рекомендуем Вам обращаться к своему учителю Для проведения тренировочного занятия необходимо отвести 2-3 часа За это время попытайтесь решить самостоятельно те задания, к выполнению которых Вы рассчитываете приступить на экзамене Решайте задачи так, словно Вы уже на экзамене, не заглядывая в ответы В конце занятия сверьте свои ответы с ответами, данными в книге Не вдаваясь в детали, скажем, что польза от подобных тренировок огромна! Желаем Вам успеха!

5 5 Математика ЕГЭ 2017 Книга 2 Профильный уровень Вариант 1 Часть 1 1 Билет в музей стоит 350 рублей Стоимость билета для школьника составляет 40% от полной стоимости билета Сколько рублей нужно заплатить за билеты на группу, состоящую из 42 школьников и 2 учителей? 2 Посев семян свеклы рекомендуется проводить в мае при дневной температуре воздуха не менее +16 C На рисунке показан прогноз дневной температуры воздуха во 2-ой и 3-ей декадах мая (точки, указывающие значение температуры, для наглядности соединены линией) Определите, в течение скольких дней за этот период можно производить посев свеклы? Пробное тестирование Вариант Найдите корень уравнения 2 3x 4 = В равнобедренном треугольнике ABC основание AC равно 12, а боковая сторона AB = 10 Найдите sin A 7 Функция y = f(x) определена на промежутке (5; 3) На рисунке изображён её график и касательная к этому графику в точке с абсциссой x 0 = 4 Вычислите значение производной f (x) в точке x 0 = 4 3 Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами Площади трёх из них, начиная с левого нижнего и далее по часовой стрелке, равны 14, 7 и 21, см рисунок Найдите площадь исходного прямоугольника 4 В женском спринте на этапе кубка мира по биатлону участвуют 80 спортсменок, среди которых 6 биатлонисток из России Порядок старта определяется жеребьёвкой Найдите вероятность того, что пятнадцатой будет стартовать спортсменка из России 8 В цилиндрический сосуд налили 6000 см 3 воды Уровень воды при этом достигал высоты 30 см В жидкость полностью погрузили деталь При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 8 см Чему равен объём детали? Ответ выразите в см 3 Часть 2 9 Найдите значение выражения 77,5 49 2,25 10 Если автомобиль, имеющий скорость v 0 (м/с), осуществляет торможение с постоянным ускорением a (м/с 2), a < 0, то время t (в секундах), прошедшее с момента начала торможения до момента полной остановки автомобиля, определяется формулой t = v 0 Какую наименьшую a скорость мог иметь автомобиль, если при a = 8 м/с 2 время от начала торможения до момента полной остановки составило не менее 5 секунд? Ответ дайте в км/ч

6 7 Математика ЕГЭ 2017 Книга 2 Профильный уровень 11 Предприятие получило заказ на изготовление партии деталей Два токаря, работая вместе, могут выполнить этот заказ за семь дней Производительности труда первого и второго токарей относятся как 3: 2 По причине болезни первого токаря в течении пяти дней над заказом работал лишь второй Сколько дней совместной работы потребуется токарям, чтобы закончить выполнение заказа? 12 Найдите наибольшее значение функции y = 3x x + 13 на отрезке [ 6; 5] Задания с развёрнутым ответом 13 a) Решите уравнение ctg x ctg x = 4 cosx б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (3π 2 ; 3π) 14 В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S и основанием ABC сторона основания равна 9, а высота равна 3 На рёбрах AB, AC и AS отмечены соответственно точки M, N и K такие, что AM = AN = AS, AK = 4 а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны б) Найдите объём пирамиды KSBC 15 Решите неравенство (4 x 3) log4 (17 2 x) log 16 x log 4 2 tg x 2 0 Пробное тестирование Вариант В августе 2017 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс рублей, где S целое число Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июль каждого года необходимо выплатить часть долга; в августе 2018, 2019, 2020 годов долг остаётся равным S тыс рублей; выплаты в 2021 и 2022 годах равны по 500 тыс рублей; к августу 2022 года долг будет выплачен полностью Найдите общую сумму выплат за пять лет 18 Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x x 1 + x x 1 = a имеет корень, принадлежащий отрезку 19 Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и тд) выписывают на доску в порядке неубывания Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются Например, если задуманы числа 1, 1, 3, 3, то на доске будет выписан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет выписан набор 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет выписан набор 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13,14? в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет выписан набор 5, 7, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 19, 21,22,24, 26, Две окружности с центрами в точках O 1 и O 2, радиусы которых равны 10 и 17 соответственно, пересекаются в точках P и Q Через точку Q проведена касательная к большей окружности, пересекающая вторично меньшую окружность в точке L а) Докажите, что треугольник LPQ подобен треугольнику O 1 PO 2 б) Найдите площадь треугольника LPQ, если O 1 O 2 = 21

7 9 Математика ЕГЭ 2017 Книга 2 Профильный уровень Вариант 2 Часть 1 1 Билет в театр стоит 650 рублей Школьникам предоставляется скидка в размере 35% от полной стоимости билета Сколько рублей нужно заплатить за билеты на группу, состоящую из 35 школьников и 3 учителей? 2 Посев семян редиса рекомендуется проводить в мае при дневной температуре воздуха не менее +12 C На рисунке показан прогноз дневной температуры воздуха в первые три недели мая (точки, указывающие значение температуры, для наглядности соединены линией) Определите, в течение скольких дней за этот период можно производить посев редиса? Пробное тестирование Вариант Найдите корень уравнения 3 5 4x = В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC tg A = 4 3, а высота, проведённая к основанию, равна 3 Найдите AB 7 Функция y = f(x) определена на промежутке (6; 3) На рисунке изображён её график и касательная к этому графику в точке с абсциссой x 0 = 5 Вычислите значение производной f (x) в точке x 0 = 5 3 Прямоугольник, площадь которого равна 65, разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами Площади двух верхних из них равны 8 и 18, см рисунок Найдите площадь правого нижнего прямоугольника 4 Перед первой игрой в шахматном турнире участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия Всего в турнире участвует 17 шахматистов, среди которых 3 участника из России Найдите вероятность того, что в первом туре российский шахматист Александр Дружинин не будет играть с другим шахматистом из России 8 В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1750 см 3 воды и полностью погрузили в воду деталь При этом уровень воды поднялся с отметки 35 см до отметки 39,5 см Найдите объём детали Ответ выразите в см 3 Часть 2 9 Найдите значение выражения 272,5 3 3,5 10 Если автомобиль, имеющий скорость v 0 (м/с), осуществляет торможение с постоянным ускорением a (м/с 2), a < 0, то время t (в секундах), прошедшее с момента начала торможения до момента полной остановки автомобиля, определяется формулой t = v 0 Какую наибольшую a скорость мог иметь автомобиль, если при a = 5 м/с 2 время от начала торможения до момента полной остановки составило не более 4 секунд? Ответ дайте в км/ч

8 11 Математика ЕГЭ 2017 Книга 2 Профильный уровень 11 Два маляра, работая вместе, могут покрасить забор за три часа Производительности труда первого и второго маляров относятся как 3: 5 Маляры договорились работать поочерёдно За сколько часов они покрасят забор, если второй маляр сменит первого после того, как тот покрасит половину всего забора? 12 Найдите наибольшее значение функции y = x 3 3x 2 45x + 60 на отрезке [ 10; 6] Задания с развёрнутым ответом 13 a) Решите уравнение 7 tg x tg x = 4 3 sinx б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (3π; π) 14 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S и основанием ABCD сторона основания равна 8, а высота равна 7 На рёбрах AS, AB и CD отмечены соответственно точки K, M и N такие, что SK = 6, BM = CN = 2DN а) Докажите, что плоскости KMN и SBC параллельны б) Найдите расстояние от точки K до плоскости SBC 15 Решите неравенство (2 x 72) log 5 (10 x) sin(x + π) lg(0,2x) 0 16 Окружности с центрами в точках O 1, O 2 и радиусами 20 и 13 пересекаются в точках P и Q Через точку P проведена касательная к большей окружности, пересекающая вторично меньшую окружность в точке L, а через точку Q проведена касательная к меньшей окружности, пересекающая вторично большую окружность в точке M а) Докажите, что треугольник LPQ подобен треугольнику QMP Пробное тестирование Вариант 2 12 б) Пусть K точка пересечения прямых PL и QM Найдите площадь треугольника KPQ, если O 1 O 2 = В июле 2014 года был взят кредит в банке на n лет в размере S тыс рублей, где S, n целые числа Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; в каждом июле первых нескольких лет кредита долг остаётся равным S тысрублей; выплаты в оставшиеся два года равны по 180 тыс рублей; к июлю последнего года кредита долг будет выплачен полностью; общая сумма выплат за n лет равна 690 тысрублей Определите, на сколько лет был взят кредит 18 Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 2 x x + 3 x x + 3 = a имеет на отрезке ровно один корень 19 Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и тд) выписывают на доску в порядке неубывания Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются Например, если задуманы числа 1, 2, 2, 3, то на доске будет выписан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет выписан набор 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет выписан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12, 13, 14? в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет выписан набор 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21,24

9 13 Математика ЕГЭ 2017 Книга 2 Профильный уровень Вариант 3 Часть 1 1 Брюки стоили 900 рублей Затем цена была снижена на 18% Сколько рублей сдачи с 1000 рублей должен получить покупатель при покупке этих брюк после снижения цены? 2 На рисунке показано изменение среднесуточной температуры в городе Орске в период с 1 по 11 марта 2001г По горизонтали указаны даты, по вертикали температура в градусах Цельсия Определите по рисунку, сколько дней из указанного периода среднесуточная температура была в пределах от 4 C до 8 C включительно Пробное тестирование Вариант В треугольнике ABC: C = 90, AC = 6, sin B = 0,6 Найдите длину стороны BC 7 Прямая, проходящая через точку A(6; 1), касается графика функции y = f(x) в точке B(2; 4) Найдите значение производной функции f(x) в точке с абсциссой x = 2 8 Основанием сосуда в форме прямоугольного параллелепипеда является квадрат со стороной 20 см Высота воды в сосуде достигала 15 см Пустую ёмкость, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда со сторонами основания 10 см и 15 см и высотой 30 см, погрузили на дно сосуда Вода в сосуде поднялась Какой высоты достигла вода в сосуде? Ответ выразите в сантиметрах Часть 2 3 В параллелограмме ABCD на диагонали AC взяты точки K и L так, что AK = CL = = 1 AC, см рисунок Найдите площадь четырёхугольника BLDK, если площадь параллело- 6 грамма ABCD равна 48 4 В коробке лежат 19 красных, 35 зелёных и 26 жёлтых бусин Бусины поочерёдно нанизываются на нить в случайном порядке Найдите вероятность того, что последняя бусина окажется зелёной или жёлтой 5 Найдите корень уравнения 6x + 4 = 2x A K B L D C 9 Найдите значение выражения В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплен кран После открытия крана вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в баке меняется по закону H(t) = 2,89 0,68t + 0,04t 2, где t время в минутах В течение какого времени вода будет вытекать из бака? 11 Токарь VI разряда и его ученик за час вместе изготавливают 50 деталей Ученику для изготовления 50 деталей требуется времени на 2 часа больше, чем требуется токарю для изготовления 120 деталей Сколько деталей в час изготавливает токарь? 12 Найдите наибольшее значение функции y = 0,6x x 2,7x + 8 на отрезке

10 15 Математика ЕГЭ 2017 Книга 2 Профильный уровень Задания с развёрнутым ответом 13 a) Решите уравнение sin6x cos3x = ctg 3x б) [ Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку π 3 ; π) 6 14 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 сторона основания AB равна 8, а боковое ребро AA 1 равно 3 На рёбрах A 1 B 1, AB и AC отмечены соответственно точки M, N и K такие, что B 1 M = AN = 2, CK = 4 а) Пусть L точка пересечения плоскости MNK с ребром B 1 C 1 Докажите, что MNKL прямоугольник б) Найдите площадь сечения данной призмы плоскостью MNK 15 Решите неравенство log 4 x(x + 5) log x+1 (log 2 10 x) sin x log x (2x) 0 16 Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AB в точке P а) Докажите, что AP = AB + AC BC 2 б) Прямая, параллельная стороне AB и касающаяся вписанной окружности, пересекает стороны AC и BC в точках M и N Найдите длину стороны AB, если известно, что периметр треугольника ABC равен 25, а MN = 3 Пробное тестирование Вариант 3 16 Месяц Октябрь Октябрь Октябрь Октябрь и год Долг S 0,9S 0,3S 0 (в тыс рублей) Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей 18 Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение [ 8 2x x = a 8 x + 6 не имеет корней на промежутке 1 3 ; 2) 3 19 Задумано несколько (не обязательно различных) целых чисел Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и тд) выписывают на доску в порядке неубывания Например, если задуманы числа 5, 1, 2, то на доске будет выписан набор 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3 а) На доске выписан набор 7, 4, 3, 2, 1, 2, 5 Определите, какие числа были задуманы б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет выписан набор 4, 2, 0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 6,6, 8, 10? в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа? 17 В октябре 2015 года был взят кредит в банке на три года в размере S тыс рублей, где S натуральное число Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по сентябрь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; в октябре каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей

11 17 Математика ЕГЭ 2017 Книга 2 Профильный уровень Вариант 4 Часть 1 1 Женская блузка стоила 1100 рублей Затем цена была снижена на 22% Сколько рублей сдачи с 5000 рублей должен получить покупатель при покупке трёх таких блузок после снижения цены? 2 На рисунке показано изменение среднесуточной температуры в городе Воронеж в период с 3 по 9 марта 1978 г По горизонтали указаны даты, по вертикали температура в градусах Цельсия Найдите по рисунку разность между максимальной и минимальной среднесуточными температурами в период с 4 по 8 марта 1978 г (Ответ дайте в градусах Цельсия) Пробное тестирование Вариант В треугольнике ABC: C = 90, AC = 9, AB = 15 Найдите значение ctg A 7 Прямая, проходящая через точку A(2; 5), касается графика функции y = f(x) в точке B(3; a) Найдите ординату точки касания данных прямой и графика функции f(x), если известно, что f (3) = 0,8 8 Основанием сосуда в форме прямоугольного параллелепипеда является квадрат со стороной 40 см Высота воды в сосуде достигала 10 см Пустую ёмкость, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда со сторонами основания 25 см и 20 см и высотой 14 см, погрузили на дно сосуда Вода в сосуде поднялась, и часть её перелилась в ёмкость Какой высоты достигла вода в ёмкости? Ответ выразите в сантиметрах Часть 2 3 В параллелограмме ABCD на диагонали BD взяты точки K и L так, что BK = DL = = 1 BD, см рисунок Найдите площадь четырёхугольника ALCK, если площадь параллело- 9 грамма ABCD равна 36 4 У Миши в копилке лежат 15 рублёвых, 19 двухрублёвых и 6 пятирублёвых монет Миша достаёт из копилки одну монету Найдите вероятность того, что он вытащит из копилки монету достоинством не менее двух рублей 5 Найдите корень уравнения 6(5x 4) = 3x A B K L D C 9 Найдите значение выражения Для некоторого предприятия зависимость объёма спроса на его продукцию q (единиц в месяц) от её цены p (в тыс руб) задаётся формулой: q = p Определите максимальный уровень цены p (в тыс руб), при котором значение выручки предприятия за месяц S = q p будет составлять не менее 1125 тыс руб 11 Двое каменщиков, работая вместе, за 1 час могут выложить участок стены площадью 2 м 2 Работая отдельно, второй каменщик выложит участок стены площадью 4,8 м 2 на 2 часа быстрее, чем это сделает первый За сколько часов, работая отдельно, первый каменщик выложит стену площадью 8 м 2?

12 19 Математика ЕГЭ 2017 Книга 2 Профильный уровень 12 Найдите наименьшее значение функции y = 6x x x на отрезке Задания с развёрнутым ответом 13 a) Решите уравнение sin12x = 3 (cos 2 3x sin 2 3x) б) (Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку π 6 ; π) 3 14 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 сторона основания AB равна 9, а боковое ребро AA 1 равно 3 2 На рёбрах A 1 B 1, A 1 C 1 и AC отмечены соответственно точки M, N и K такие, что B 1 M = A 1 N = = CK = 3 а) Пусть L точка пересечения плоскости MNK с ребром BC Докажите, что MNKL квадрат б) Найдите площадь сечения данной призмы плоскостью MNK 15 Решите неравенство log 3 x(4x 5) log 4x (log 2 7 x) cos(π + x) 0 16 Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AB в точке P Проведена окружность, касающаяся продолжений сторон AC и BC и касающаяся стороны AB в точке K так называемая «вневписанная» окружность а) Докажите, что AK = BP б) Найдите периметр треугольника ABC, если известно, что он равнобедренный, радиус его вписанной окружности равен 3, а радиус одной из вневписанных окружностей равен 27 Пробное тестирование Вариант 4 20 с февраля по май каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; в июне каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей Месяц Июнь Июнь Июнь Июнь Июнь и год Долг S 0,7S 0,6S 0,5S 0 (в тыс рублей) Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей 18 Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x 4 + 4x 2 10 = (a + 3) x 2 не имеет корней, принадлежащих промежутку [ 5; 2) 19 Задумано несколько (не обязательно различных) целых чисел Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и тд) выписывают на доску в порядке неубывания Например, если задуманы числа 2, 1, 2, то на доске будет выписан набор 2, 1, 0, 1, 1, 2, 3 а) На доске выписан набор 6, 3, 2, 1, 3, 4, 7 Определите, какие числа были задуманы б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет выписан набор 5, 2, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14? в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет выписан набор 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 17 В июне 2016 года был взят кредит в банке на четыре года в размере S тыс рублей, где S натуральное число Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

13 Ответы к заданиям 1 12 задание Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант,075 0,875 0,7625 0,8 3,75 8 0,75 7 0,6 3 0,5 49 Ответы к заданиям Вариант 1 13 a) x = π 2 + πn, x = 5π 6 + 2πn, где n Z ; б) 5π 2, 17π x (0; log 4 3] (π; 4) (4; log 2 17) a a) {2, 4, 8}; б) нет; в) {5, 7, 9, 10} или {5, 5, 5, 7, 9} Вариант 2 13 a) x = πn, x = π + 2πn, где n Z ; б) 2π, 11π x (0; π) (5; log 2 72] (2π; 9] (3π; 10) a = 2, 11 a (1; 7] 19 a) {3, 6, 12}; б) нет; в) {3, 3, 5, 6, 7} или {3, 3, 3, 3, 5, 7} Вариант 4 13 a) x = (1) n π 18 + πn 6, x = π 12 + πn 6, n Z ; б) π 18, π 9, ± π 12, π (] ,75 15 x (1,25; 1,5] π 2 ; log (2; log 2 7) 16 40,5 или a (; 2,5] (4; +) 7 19 a) 6, 3, 4; б) нет; в) 7, 1, 2, 4 или 4, 2, 1, 7 Решения заданий из вариантов 1 и 3 Вы можете найти в Решебнике к пособию «Математика ЕГЭ 2017 Книга 2 Профильный уровень» Для удобства тех, кто приобрёл этот Решебник, ниже приведено соответствие заданий задачам пособия «Математика ЕГЭ 2017 Книга 2 Профильный уровень»: Вариант 1 13 взято из теста 41; 14 взято из теста 1; 15 взято из теста 47; 16 взято из теста 23; 17 взято из Главы II «Задачник», раздел «Задания с практическим содержанием», задача 3; 18 взято из Главы II «Задачник», раздел «Уравнения и неравенства с параметром», задача 1; 19 взято из теста 19 Вариант 3 13 взято из теста 49; 14 взято из теста 3; 15 взято из теста 49; 16 взято из теста 25; 17 взято из Главы II «Задачник», раздел «Задания с практическим содержанием», задача 9; 18 взято из теста 15; 19 взято из теста 33 Вариант 3 13 a) x = (1) n+1 π 18 + πn 3, x = π 6 + πn, n Z ; б) 5π 3 18, π 18, π x (0,5; 1) }