Оглядевшись, Михаил Брадо убедился, что коридор пуст, взялся за ручку двери и вдруг замер.
Что это? Нет, даже не запах, а скорее след от запаха гари. Обычный человек его почувствовать не мог. Но Михаил был не совсем обычным человеком.
«Наверное, - подумал он, - это лучемет со специальной насадкой. Ни в коем случае не бластер. После выстрела из бластера здесь было бы не продохнуть».
Михаил осторожно вошел в номер и плотно закрыл за собой дверь. Сделав шаг в сторону, он прижался спиной к стене и, посмотрев на кровать, чертыхнулся.
Шикарная двуспальная кровать с балдахином Бог весть каким образом попала в эту занюханную гостиницу. Скорее всего из разорившегося борделя. Бетулиец лежал на ней, раскинув тонкие, суставчатые лапки, и здорово смахивал на раздавленного жука. В грудном панцире зияла большущая, с оплавленными краями дыра. Из ротового отверстия натекла лужица синеватой крови.
Центурион инопланетного квартала
Автор: Леонид Кудрявцев Серия: Вне серии Жанры: ФантастикаОтпуск галактического авантюриста Веска Маршевича сложился крайне неудачно.
Ограбив очередной банк, он собирался культурно отдохнуть на планете Невинных развлечений, но наперекор своим планам попал на Бриллиантовую планету.
Репутация, украшенная немалым количеством темных дел, не помешала ему стать там центурионом инопланетного квартала.
Занявшись по долгу новой службы расследованием серии загадочных убийств, Маршевич внезапно обнаружил, что приютившая его Бриллиантовая планета вполне оправдывает свое название: личинки местных муравьев - бесценный товар, представляющий интерес для многих цивилизаций во Вселенной…
Лабиринт снов
Автор: Леонид Кудрявцев Серия: Вне серии Жанры: ФентезиВ настоящей женщине должно быть что-то от волчицы. А эта...
Ну, не важно.
Может быть, именно поэтому она и ушла.
Я вытащил из ящика письменного стола пистолет и, положив его перед собой, закурил сигарету.
Вороны за окном орали как оглашенные.
Академия Шекли
Автор: Игорь Алимов , Андрей Лазарчук , Даниэль Клугер Серия: Вне серии Жанры: ФантастикаСборник, который вы держите в руках, - дань памяти замечательному американскому писателю и большому другу нашей страны Роберту Шекли.
Его книги стали для отечественных фантастов настоящей литературной академией, в которой учат писательскому мастерству, тонкой иронии, безудержной фантазии и особому взгляду на мир.
Фантастические рассказы, собранные в эту книгу, - не подражание произведениям мэтра.
Это своеобразные дипломные работы, созданные писателями, окончившими «академию Шекли».
Мир ведьмаков
Автор: Леонид Кудрявцев Серия: Вне серии Жанры: Боевая фантастикаМир погрузился в хаос.
Ведьмы охотятся на людей, а люди - друг на друга.
Человек человеку давно не уже серый волк, а мутант-ордынец.
Булочники в провинциальных городках - и те с автоматами ходят!
И вот посреди этого безобразия храбрый мужик Ларион и разумный говорящий кот-баюн - Шестилап пытаются, во-первых, выжить, и, во-вторых, понять, что можно сделать для исправления ситуации.
Похоже, надеяться можно только на детей, лишь с юных и чистых душ может начаться возрождение человеческой расы: «Их должно быть много, грамотных, умелых, способных верить в идеалы, во все то, что мы потеряли…».
Фантастический детектив (Антология)
Автор: Святослав Логинов , Владимир Пузий , Александр Золотько Серия: Вне серии Жанры: Детектив ФантастикаНастоящий детектив отвечает хотя бы на один из трех вопросов: «Кто?
Зачем?» И не важно, где и когда происходит действие: в паропанковской Британии, в современной России, которой правят вампиры, или во Франции XIX века.
Будь ты хоть галактический полицейский, хоть германский ландскнехт – пока не отыщешь ответы на эти «вечные вопросы», преступника тебе не найти.Десять увлекательных историй от лучших фантастов нескольких поколений.
Десять головоломок, действие которых происходит в невообразимых мирах.
Только новые рассказы, написанные специально для этого сборника.
Вперёд, читатель!
Пуля для контролера
Автор: Леонид Кудрявцев Серия: S.T.A.L.K.E.R. Жанры: Боевая фантастикаСталкер, охотник на людей, ведьма…
Зона свела их вместе и бросила навстречу тайне, способной пропеть колыбельную смерти целому отряду солдат.
Их ждут чудовища, ловушки, опасные аномалии, настоящий ливень из пуль, а так же - испытание любовью и ненавистью, выбор между жизнью и смертью.
Они обязаны победить, поскольку Зона отметила их, одарила необычными способностями.
Правда, за них придется платить, но это отправившимся в погоню за очень могущественным контролером еще предстоит узнать.
Русская фантастика 2008
Автор: Игорь Ткаченко , Сергей Чекмаев , Евгений Гаркушев Серия: Антология #2008 Жанры: Боевая фантастикаСамые невероятные события происходят на страницах этой книги.Подразделение американского диверсионного спецназа противостоит выпущенным на свободу силам Тьмы.
Разведрота бесстрашных красноармейцев из революционной бригады имени товарища Энгельса высаживается на космической станции «Мир».
Виртуальная военная игра проникает в реальность, превращая ее в смертельное безумие.
Межпространственные бродяги охотятся с аркебузами на динозавров, марсиане собираются наладить с Земли регулярные поставки изысканного деликатеса - человеческой крови, враждебные инопланетные расы ведут ожесточенные войны на улицах земных городов, незримые для простых людей.
Но даже в разрушенных страшными эпидемиями и социальным хаосом поселениях существуют вещи, ради которых стоит жить.
А в обычном московском парке, если очень постараться, можно увидеть сказочное существо…Об этих и многих других удивительных историях - в ежегодной антологии отечественных писателей-фантастов «Русская фантастика-2008».
Волчонок
Автор: Леонид Кудрявцев Серия: Волчонок #1 Жанры: Боевая фантастикаНа Земле экологическая катастрофа.
Уровень океана повысился, и большая часть суши скрылась под водой.
Границы между государствами уничтожены, произошло смешение народов.
С неба падают ядовитые дожди, на земле расплодились мутанты, в морях рыщут разумные акулы.
Война, вечная война всех со всеми - за оставшееся жизненное пространство, за каждый клочок суши, пригодный для жизни.И посреди этого безумия - он, Волчонок, получивший свое имя потому, что его вырастила и воспитала стая волков, тот, для кого война является нормальным образом жизни.А судьба уже уготовила ему случай, удачу, выпадающую только одному из многих и многих, шанс шагнуть в небо, начать путешествие по тысячам существующих в космосе обитаемых миров.
Если, конечно, для этого хватит силы, ловкости и сообразительности, если для этого хватит воли и желания помочь Земле, помочь всей планете.Начало новой саги от Леонида Кудрявцева - создателя «МАГОВ» и «КРЫСИНОГО КОРОЛЯ».
Звездный порт
Автор: Леонид Кудрявцев Серия: Волчонок #2 Жанры: Боевая фантастикаИх встреча была неизбежна.
Он - воин, воспитанник стаи волков, умудрившийся шагнуть с отравленной ядовитыми отходами Земли к звездам, готовый на все для спасения своей родины.
Она - авантюристка, наделенная даром предвидеть будущее.
Что их объединяет?
Тайна, способная потрясти мир тысяч рас до основания.
Что их может сделать врагами?
Та же тайна.
Что им нужно?
Пока совсем немного.
Выжить и попасть на Летающий остров.
Будет видно.
А сейчас есть лишь маленький космопорт на окраинной планете, арена, на которой им придется спина к спине вести бой с толпами врагов.
И существует еще некто, получивший приказ их убить, идущий за ними по пятам, умелый, страшный, безжалостный, наделенный очень необычным талантом.
Схватки с ним не избежать.
Тень мага
Автор: Леонид Кудрявцев Серия: Маги #2 Жанры: ФентезиЧерные маги, умеющие управлять людьми с помощью нитей судьбы, захватывают город за городом.
Об этом никто даже не подозревает, кроме горстки людей, способных, также как и черные маги, видеть нити судьбы.
Книги. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно. Бесплатная электронная библиотека
Л.Д. Кудрявцев, Математический анализ (Том 1)
Вы можете (программа отметит желтым цветом)
Вы можете посмотреть список книг по высшей математике с сортировкой по алфавиту.
Вы можете посмотреть список книг по высшей физике с сортировкой по алфавиту.
Уважаемые дамы и господа!! Для того, чтобы без "глюков" скачать файлы электронных публикаций, нажмите на подчеркнутую ссылку с файлом ПРАВОЙ кнопкой мыши , выберите команду "Save target as ..." ("Сохранить объект как..." ) и сохраните файл электронной публикации на локальный компьютер. Электронные публикации обычно представлены в форматах Adobe PDF и DJVU.
Глава первая. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
§ 1. Вещественные числа
1.1. Свойства вещественных чисел
1.2. Обозначения
§ 2. Верхние и нижние грани множеств
2.1. Свойства верхних и нижних граней множеств
2.2. Сечения в множестве вещественных чисел
§ 3. Предел последовательности
3.1. Определение предела последовательности и некоторые его свойства
3.2. Пределы монотонных последовательностей
3.3. Теорема Больцано-Вейерштрасса и критерий Коши
3.4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
3.5. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями
3.6. Изображение вещественных чисел бесконечными десятичными дробями
3.7. Счетность рациональных чисел. Несчетность вещественных чисел
3.8. Верхний и нижний пределы последовательностей
§ 4. Функции и их пределы
4.1. Понятие функции
4.2. Способы задания функции
4.3. Элементарные функции и их классификация
4.4. Первое определение предела функции
4.5. Второе определение предела функции
4.6. Свойства пределов функций
4.7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
4.8. Пределы монотонных функций
4.9. Критерий Коши существования предела функции
§ 5. Непрерывность функции в точке
5.1. Точки непрерывности и точки разрыва функции
5.2. Свойство функций, непрерывных в точке
§ 6. Свойства функций, непрерывных на промежутках
6.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений
6.2. Промежуточные значения непрерывной функции
6.3. Обратные функции
§ 7. Непрерывность элементарных функций
7.1. Многочлены и рациональные
7.2. Показательная, логарифмическая и степенная функции
7.3. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции
§ 8. Сравнение функций. Вычисление пределов
8.1. Некоторые замечательные пределы
8.2. Сравнение функций
8.3. Эквивалентные функции
8.4. Метод выделения главной части функции. Применение к вычислению пределов
§ 9. Производная и дифференциал
9.1. Определение производной
9.2. Дифференциал функции
9.3. Геометрический смысл производной и дифференциала
9 4. Физический смысл производной и дифференциала
9.5. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями
9.6. Производная обратной функции
9.7. Производная и дифференциал сложной функции
9.8. Гиперболические функции и их производные
§ 10. Производные и дифференциалы высших порядков
10.1. Производные высших порядков
10.2. Свойства производных высших порядков
10.3. Производные высших порядков от сложных функций, от обратных функций и от функций, заданных параметрически.
10.4. Дифференциалы высших порядков.
§11, Теоремы о среднем для дифференцируемых функций
11.1. Теорема Ферма
11.2. Теоремы Ролпя, Лагранжаи Коши о средних значениях
§ 12. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
12.1. Неопределенности вида оо Неопределенности вида
§ 13. Формула Тейлора
13.1. Вывод формулы Тейлора
13.2. Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки
13.3. Примеры разложения по формуле Тейлора
13.4. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (метод выделения главной части
§ 14. Исследование поведения функции
14.1. Критерий монотонности функции
14.2. Экстремумы функций. Определение наибольших и наименьших значений функций
14.3. Выпуклость и точки перегиба
14.4. Асимптоты
14.5. Построение графиков функций
§ 15. Вектор-функция
15.1. Понятие предела и непрерывности для вектор-функции
15.2. Производная и дифференциал вектор-функции.
§ 16. Длина дуги кривой
16.1. Понятие кривой
16.2. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной вектор-функции
16.3. Длина дуги кривой и дифференциал длины дуги
16.4. Плоские кривые
16.5. Физический смысл производной вектор-функции
§ 17. Кривизна кривой
17.1. Две леммы. Радиальная и трансверсальная составляющие
17.2. Определение кривизны кривой и ее вычисление
17.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость
17.4. Центр кривизны и эволюта кривой
17.5. Формулы для кривизны и эволюты плоских кривых
Глава вторая. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
§ 18. Множества на плоскости и в пространстве
18.1. Окрестности и пределы последовательностей точек
18.2. Различные типы множеств
§ 19. Предел и непрерывность функций многих переменных
19.1. Предел функции
19.2. Непрерывность функций
19.3. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций
19.4. Теоремы о функциях, непрерывных на множествах
19.5. Равномерная непрерывность функций. Модуль непрерывности
§ 20. Частные производные. Дифференцируемость функций многих переменных
20.1. Частные производные и частные дифференциалы
20.2. Дифференцируемость функции в точке
20.3. Дифференцирование сложной функции
20.4. Инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных, Правила вычисления дифференциалов
20.5. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала
20.6. Производная по направлению
§ 21. Частные производные и дифференциалы высших порядков
21.1. Частные производные высших порядков
21.2. Дифференциалы высших порядков
21.2.
Глава третья. Интегральное исчисление функций одного переменного
§ 22. Определение и свойства неопределенного интеграла
22.1. Первообразная и неопределенный интеграл
22.2. Табличные интегралы
22.3. Интегрирование подстановкой
22.4. Интегрирование по частям
§ 23. Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах
23.1. Комплексные числа
23.2. Некоторые понятия анализав области комплексных чисел
23.3. Разложение многочленов на множители
23.4. Общий наибольший делитель многочленов.
23.5. Разложение правильных рациональных дробей на элементарные
§ 24. Интегрирование рациональных дробей
24.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей
24.2. Общий случай
24.3. Метод Остроградского
§ 25. Интегрирование некоторых иррациональностей
25.1. Интегралы вида...
25.2. Подстановка Эйлера
25.3. Интегралы от дифференциального бинома
25.4. Интегралы вида
§ 26. Интегрирование некоторых классов трансцендентных функций
26.1. Интегралы вида sin x, cos
26.4. Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям
26.5. Интегралы вида I R(shx,chx)dx
26.6. Замечания об интегралах, не выражающихся через элементарные функции
§ 27. Определенный интеграл
27.1. Определение интеграла по Риману
27.2. Ограниченность интегрируемой
27.3. Верхние и нижние интегральные суммы Дарбу Верхний и нижний интегралы Дарбу
27.4. Необходимые и достаточные условия интегрируемости
27.5. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций
§ 29. Свойства интегрируемых функций
28.1. Свойства определенного интеграла
28.2. Теорема о среднем для определенного интеграла
28.3. Интегрируемость кусочио- непрерывных функций
§ 29. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
29.1. Непрерывность интеграла по верхнему пределу.
29.2. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу. Существование первообразной у непрерывной функции
29.3. Формула Ньютона-Лейбница
§ 30. Методы вычисления определенного интеграла
30.1. Замена переменного
30.2. Интегрирование по частям
§ 31. Мера плоских открытых множеств
31.1. Определение меры (площади) открытых множеств
31.2. Монотонность меры открытых множеств
§ 32. Некоторые геометрические и физические приложения определенного интеграла
32.1. Вычисление площадей
32.2. Объем тел вращения
32.3. Вычисление длины кривой
32.4. Площадь поверхности вращения
32.5. Работа силы
32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой
§ 33. Интегралы от неограниченных
33.1. Определение интеграла от неограниченной функции
33.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов на конечном промежутке
Несобственные интегралы от неотрицательных на конечном промежутке функций
33.4. Критерий Коши. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы на конечном промежутке
§ 34. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
34.1. Определение несобственных интегралов с бесконечными пределами.
34.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов
34.3. Несобственные интегралы с бесконечными пределами от неотрицательных функций
34.4. Критерий Коши. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы с бесконечными пределами. Метод улучшения сходимости интегралов
Глава четвертая. Ряды
§ 35. Числовые ряды
35.1. Определение ряда и его сходимость
35.2. Свойства сходящихся рядов
35.3. Критерии сходимости рядов
35.4. Критерии сходимости рядов с неотрицательными членами. Метод выделения главной части n-го члена ряда
35.5. Знакопеременные ряды
35.6. Абсолютно сходящиеся ряды. Использование этих рядов для исследования сходимости произвольных рядов
35.7. Сходящиеся ряды, не сходящиеся абсолютно. Признак Дирихле
§ 36. Функциональные последовательности и ряды.
36.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов
36.2. Равномерная сходимость последовательностей и рядов
36.3. Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей
§ 37. Степенные ряды
37.1. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара
37.2. Аналитические функции
37.3. Вещественные аналитические
37.4. Разложение функций в степенные ряды. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора
37.5. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора
37.6. Разложение в степенные ряды и суммирование степенных рядов методом почленного дифференцирования и интегрирования
§ 38. Кратные ряды
38.1. Кратные числовые ряды
38.2. Кратные функциональные ряды
Краткая аннотация книги
Учебник предназначен для вузов с повышенной математической подготовкой. Его задачей является не только изложение основных сведений из математического анализа, но и подготовка учащихся к чтению современной математической литературы. Особое внимание обращено на изложение аналитических методов, вместе о тем в книге нашли свое отражение и некоторые геометрические вопросы теории функций. В первом томе излагаются дифференциальное и интегральное исчисление функций одного переменного, простейшие сведения о функциях многих переменных и теория рядов. Учебник предназначен для студентов физических и инженерно-физических специальностей высших учебных заведений.
В учебнике излагаются основные сведения из математического анализа. Рассматриваются как классические вопросы, так и более новые, подготавливающие учащегося к чтению современной математической литературы. Во втором томе содержится интегральное и дифференциальное исчисление функций многих переменных, теория рядов Фурье и преобразования Фурье, элементы функционального анализа и теория обобщенных функций. Учебник предназначен для студентов физических и инженерно-физических специальностей высших учебных заведений.
Математические методы исследования всегда играли и играют огромную роль в естествознании. Математика неустанно продолжает развиваться и находит все новые и новые области своего применения. Задачи практики в свою очередь приводят к созданию новых направлений математики и ее приложений. Развитие математики в целом определяет уровень ее приложений и оказывает существенное влияние на развитие других наук и техники.
Математика является точной абстрактной наукой, изучающей количественные соотношения и пространственные формы реального мира. Точность математики означает, что методом исследования в математике являются строгие логические рассуждения, а результаты исследований формулируются в строгой логической форме. Абстрактность же математики означает, что объектами ее изучения являются логические модели, построенные для описания и исследования того или иного явления. В этих моделях математика изучает соотношения между их элементами, количественные связи между ними, их форму. Одна и та же математическая модель может описывать свойства очень далеких друг от друга по своему физическому содержанию реальных процессов. Для математики важна не природа рассматриваемых объектов, а лишь существующие между ними соотношения. С абстрактностью математики связана, с одной стороны, определенная трудность ее усвоения, а с другой-ее сила, универсализм и общность.
В последнее время, благодаря появлению быстродействующих вычислительных машин, произошел большой качественный скачок в использовании математических методов, которые стали применяться не только в тех областях, где математика использовалась уже давно (например, в механике, физике), но и в тех областях человеческого знания, где математика еще совсем недавно либо применялась мало, либо ее применение даже не представлялось возможным (медицина, экономика, лингвистика, социология и т. п.). Современный научный работник или инженер должен в достаточной степени хорошо владеть как классическими, так и современными математическими методами исследования, которые могут применяться в его области. Для того чтобы иметь возможность с успехом применять математические методы при изучении того или иного вопроса, нужно, конечно, прежде всего уметь правильно обращаться с математическим аппаратом, знать границы допустимого использования рассматриваемой математической модели. Вместе с тем, указанными обстоятельствами не исчерпываются характерные особенности решения задач математическими методами, да и вообще математического творчества, т. е. познания объективно существующих математических истин.
Для правильной постановки задачи, для оценки ее данных, для выделения существенных из них и для выбора способа ее решения необходимо обладать еще математической интуицией, фантазией и чувством гармонии, позволяющими предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен. Однако интуитивно почувствовать ожидаемый результат и наметить путь исследований - это далеко не все. Интуитивное чувство гармонии является в математике лишь первой, хотя и весьма важной ступенью: интуитивные соображения отдаются на суд холодного рассудка для их изучения, доказательства или опровержения. При этом в математике справедливость рассматриваемого факта доказывается не проверкой его на ряде примеров, не проведением ряда экспериментов в узком смысле этого слова, а чисто логическим путем, по законам формальной логики. Эксперимент или пример могут дать лишь иллюстрацию утверждения или его опровержение или натолкнуть на какую-либо идею. При математическом доказательстве гипотезы, при математическом решении задачи правильный выбор аппарата и метода-залог успеха и, более того, часто залог того, что в результате будет получено больше полезной информации об изучаемом предмете, чем можно было заранее предвидеть. Это связано с тем, что математический аппарат таит в себе много скрытой информации и скрытого богатства, накапливавшихся в нем в течение веков. Формулы могут оказаться "умнее" применяющего их и дать больше, чем от них ожидалось. Результат математического исследования часто записывается с помощью длинных, и однообразных формул, подобно тому как прекрасная симфония может быть записана с помощью многочисленных рядов однообразных нотных знаков.
Конечно, эта схема весьма идеализирована. Было бы большим заблуждением думать, что для математики имеют значение только доказанные утверждения, только исследования, доведенные в известном смысле до логического завершения. Можно привести много примеров математических теории и положений, которые, будучи сформулированы лишь в виде гипотез, тем не менее оказывали или оказывают существенное влияние на развитие математики.
Свободное владение математическими методами, знания и интуиция приобретаются, накапливаются и развиваются в процессе систематических занятий, в результате длительной и настойчивой работы. Тот, кто последовательно овладевает математическим аппаратом, кто последовательно приобретает твердое и точное знание математических фактов легко и просто двигается дальше; усвоив одно, усваивает и последующее. Для него деревья не загораживают леса, он легко оценивает силу и красоту математических методов, приобретает уверенность в способности и умении справиться с встречающейся ему задачей, и математика делается послушным инструментом в его руках.
При изучении математики весьма важно, чтобы учащийся понял и хорошо усвоил основные математические понятия, а не составил о них приближенное расплывчатое представление. То что понято и освоено, входнт в плоть и кровь, делается естественным и очевидным, а следовательно, и простым в обращении. При изучении математики важно также, чтобы учащийся стремился овладеть процессом творческого мышления, чтобы он освоил сущность идей и понятий, понял их взаимосвязь, а не усвоил лишь их внешнюю окончательную форму, записанную с помощью символов. Часто мнение о трудности изучения математики связано с туманным и нечетким ее изложением на интуитивном уровне. Кажущаяся трудность тех или иных математических методов нередко связана с тем, что эти методы не были своевременно, достаточно хорошо разъяснены учащемуся и потому остались им не понятыми. Полное освещение понятия, как правили, не требует больше времени, чем создание о нем интуитивного описательного представления, нуждающегося в дополнительных пояснениях, и оправдьшает себя при применении этого понятия, позволяя его правильно использовать.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, Т. 1. Кудрявцев Л. Д. Учебник предназначен для вузов с повышенной математической подготовкой. Его задачей является не только изложение основных сведений из математического анализа, но и подготовка учащихся к чтению современной математической литературы. Особое внимание обращено на изложение аналитических методов, вместе о тем в книге нашли свое отражение и некоторые геометрические вопросы теории функций. В первом томе излагаются дифференциальное и интегральное исчисление функций одного переменного, простейшие сведения о функциях многих переменных и теория рядов. Учебник предназначен для студентов физических и инженерно-физических специальностей высших учебных заведений. ОГЛАВЛЕНИЕ Стр. Глава первая. Дифференциальное исчисление функций одного переменного § 1. Вещественные числа 11 1.1. Свойства вещественных чисел 11 1.2. Обозначения 20 § 2. Верхние и нижние грани множеств 22 2.1. Свойства верхних и нижних граней множеств 22 2.2. Сечения в множестве вещественных чисел 27 § 3. Предел последовательности 28 3.1. Определение предела последовательности и некоторые его свойства 28 3.2. Пределы монотонных последовательностей 31 3.3. Теорема Больцано-Вейерштрасса и критерий Коши 35 3.4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности 39 3.5. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями 41 3.6. Изображение вещественных чисел бесконечными десятичными дробями 47 3.7. Счетность рациональных чисел. Несчетность вещественных чисел 52 3.8. Верхний и нижний пределы последовательностей 55 § 4. Функции и их пределы 60 4.1. Понятие функции 60 4.2. Способы задания функции 64 4.3. Элементарные функции и их классификация 68 4.4. Первое определение предела функции 69 4.5. Второе определение предела функции 72 4.6. Свойства пределов функций 76 4.7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 78 4.8. Пределы монотонных функций 80 4.9. Критерий Коши существования предела функции 81 § 5. Непрерывность функции в точке 84 5.1. Точки непрерывности и точки разрыва функции 84 5.2. Свойство функций, непрерывных в точке 88 § 6. Свойства функций, непрерывных на промежутках 89 6.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений 89 6.2. Промежуточные значения непрерывной функции 91 6.3. Обратные функции 93 § 7. Непрерывность элементарных функций 96 7.1. Многочлены и рациональные функции 96 7.2. Показательная, логарифмическая и степенная функции 97 7.3. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции 105 § 8. Сравнение функций. Вычисление пределов 106 8.1. Некоторые замечательные пределы 106 8.2. Сравнение функций 111 8.3. Эквивалентные функции 116 8.4. Метод выделения главной части функции. Применение к вычислению пределов 117 § 9. Производная и дифференциал 121 9.1. Определение производной 121 9.2. Дифференциал функции 124 9.3. Геометрический смысл производной и дифференциала 127 9 4. Физический смысл производной и дифференциала 131 9.5. Правила вычисления производных,133 связанные с арифметическими действиями над функциями 9.6. Производная обратной функции 137 9.7, Производная и дифференциал сложной функции 139 9.8. Гиперболические функции и их производные 145 § 10. Производные и дифференциалы высших порядков 148 10.1. Производные высших порядков 148 10.2. Свойства производных высших порядков. ... 149 10.3. Производные высших порядков от сложных функций, от обратных функций и от функций, заданных параметрически. 151 10.4. Дифференциалы высших порядков.154 §11, Теоремы о среднем для дифференцируемых функций 156 11.1. Теорема Ферма 156 11.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях 158 § 12. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя 164 12.1. Неопределенности вида 0 0 165 12.2. Неопределенности вида ∞ ∞ 168 § 13. Формула Тейлора 173 13.1. Вывод формулы Тейлора 173 13.2. Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки 176 13.3. Примеры разложения по формуле Тейлора 179 13.4. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (метод выделения главной части 181 § 14. Исследование поведения функции 184 14.1. Критерий монотонности функции 184 14.2. Экстремумы функций. Определение наибольших и наименьших значений функций 184 14.3. Выпуклость и точки перегиба 190 14.4. Асимптоты 196 14.5. Построение графиков функций 198 § 15. Вектор-функция 209 15.1. Понятие предела и непрерывности для вектор-функции 209 15.2. Производная и дифференциал вектор-функции. 212 § 16. Длина дуги кривой 216 16.1. Понятие кривой 216 16.2. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной вектор-функции 221 16.3. Длина дуги кривой и дифференциал длины дуги 224 16.4. Плоские кривые 231 16.5. Физический смысл производной вектор-функции 233 § 17. Кривизна кривой 234 17.1. Две леммы. Радиальная и трансверсальная составляющие 234 17.2. Определение кривизны кривой и ее вычисление 237 17.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость 239 17.4. Центр кривизны и эволюта кривой 241 17.5. Формулы для кривизны и эволюты плоских кривых 241 Глава вторая. Дифференциальное исчисление функций многих переменных § 18. Множества на плоскости и в пространстве 247 18.1. Окрестности и пределы последовательностей точек 247 18.2. Различные типы множеств 261 § 19. Предел и непрерывность функций многих переменных 265 19.1. Предел функции 265 19.2. Непрерывность функций 270 19.3. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций 272 19.4. Теоремы о функциях, непрерывных на множествах 273 19.5. Равномерная непрерывность функций. Модуль непрерывности 276 § 20. Частные производные. Дифференцируемость функций многих переменных 283 20.1. Частные производные и частные дифференциалы 283 20.2, Дифференцируемость функции в точке 286 20.3. Дифференцирование сложной функции 293 20.4. Инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных, Правила вычисления дифференциалов 296 20.5. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала 302 20,6. Производная по направлению 305 § 21. Частные производные и дифференциалы высших порядков 310 21.1. Частные производные высших порядков 310 21.2. Дифференциалы высших порядков 313 Глава третья. Интегральное исчисление функций одного переменного § 22. Определение и свойства неопределенного интеграла 318 22.1. Первообразная и неопределенный интеграл 318 22.2. Табличные интегралы 321 22.3. Интегрирование подстановкой 323 22.4. Интегрирование по частям 325 § 23. Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах 327 23.1. Комплексные числа 327 23.2. Некоторые понятия анализа в области комплексных чисел 332 23.3. Разложение многочленов на множители 336 23.4. Общий наибольший делитель многочленов. 338 23.5. Разложение правильных рациональных дробей на элементарные 343 § 24. Интегрирование рациональных дробей 350 24.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей 350 24.2. Общий случай 352 24.3. Метод Остроградского 354 § 25. Интегрирование некоторых иррациональностей 359 25.1. Интегралы вида dx dcx bax dcx bax xR s r r ])(,...,)(,[ 1 + + + + ∫ 360 25.2. Интегралы вида ∫ ++ dxcbxaxxR),(2 363 Подстановка Эйлера 363 25.3. Интегралы от дифференциального бинома 366 25.4. Интегралы вида ∫ ++ dx cbxax xP n 2)(369 § 26. Интегрирование некоторых классов трансцендентных функций 371 26.1. Интегралы вида ∫ dxxxR)cos,(sin 371 26.2. Интегралы вида ∫ xdxx mn cossin 373 26.3. Интегралы вида ∫ βα xdxx cossin, ∫ βα xdxxsinsin, ∫ βα xdxx coscos 374 26.4. Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям 375 26.5. Интегралы вида ∫ dxchxshxR),(376 26.6. Замечания об интегралах, не выражающихся через элементарные 377 функции § 27. Определенный интеграл 379 27.1. Определение интеграла по Риману 379 27.2. Ограниченность интегрируемой функции 382 27.3. Верхние и нижние интегральные суммы Дарбу Верхний и нижний интегралы Дарбу 383 27.4. Необходимые и достаточные условия интегрируемости 386 27.5. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций... 388 § 29. Свойства интегрируемых функций 390 28.1. Свойства определенного интеграла 390 28.2. Теорема о среднем для определенного интеграла. 399 28.3. Интегрируемость кусочно- непрерывных функций 403 § 29. Определенный интеграл с переменным верхним пределом 405 29.1. Непрерывность интеграла по верхнему пределу. 405 29.2. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу. Существование первообразной у непрерывной функции 406 29.3. Формула Ньютона-Лейбница 408 § 30. Методы вычисления определенного интеграла 409 30.1. Замена переменного 409 30.2. Интегрирование по частям 411 § 31. Мера плоских открытых множеств 413 31.1. Определение меры (площади) открытых множеств 413 31.2. Монотонность меры открытых множеств 415 § 32. Некоторые геометрические и физические приложения определенного интеграла 423 32.1. Вычисление площадей 423 32.2. Объем тел вращения 429 32.3. Вычисление длины кривой 431 32.4. Площадь поверхности вращения 434 32.5. Работа силы 438 32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой 439 § 33. Интегралы от неограниченных функций 442 33.1, Определение интеграла от неограниченной функции 442 33.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов на конечном промежутке 447 33.3. Несобственные интегралы от неотрицательных на конечном промежутке функций 449 33.4. Критерий Коши. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы на конечном промежутке 457 § 34, Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования 459 34.1. Определение несобственных интегралов с бесконечными пределами. 459 34.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов 461 34.3. Несобственные интегралы с бесконечными пределами от неотрицательных функций 465 34.4. Критерий Коши. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы с бесконечными пределами. Метод улучшения сходимости интегралов 469 Глава четвертая. Ряды § 35. Числовые ряды 477 35.1. Определение ряда и его сходимость 477 35.2. Свойства сходящихся рядов 480 35.3. Критерии сходимости рядов 482 35.4. Критерии сходимости рядов с неотрицательными членами. Метод выделения главной части n-го члена ряда 484 35.5. Знакопеременные ряды 496 35.6. Абсолютно сходящиеся ряды. Использование абсолютно сходящихся рядов для исследования сходимости произвольных рядов 499 35.7. Сходящиеся ряды, не сходящиеся 506 абсолютно. Признак Дирихле 506 § 36. Функциональные последовательности и ряды. 514 36.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов 514 36.2. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 518 36.3. Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей 529 § 37. Степенные ряды 536 37.1. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара 536 37.2. Аналитические функции 543 37.3. Вещественные аналитические функции 544 37.4. Разложение функций в степенные ряды. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора 547 37.5. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора 552 37.6. Разложение в степенные ряды и суммирование степенных рядов методом почленного дифференцирования и интегрирования 560 § 38. Кратные ряды 562 38.1. Кратные числовые ряды 38.2. Кратные функциональные ряды 562 568 Алфавитный указатель Математические методы исследования всегда играли и играют огромную роль в естествознании. Математика неустанно продолжает развиваться и находит все новые и новые области своего применения. Задачи практики в свою очередь приводят к созданию новых направлений математики и ее приложений. Развитие математики в целом определяет уровень ее приложений и оказывает существенное влияние на развитие других наук и техники. Математика является точной абстрактной наукой, изучающей количественные соотношения и пространственные формы реального мира. Точность математики означает, что методом исследования в математике являются строгие логические рассуждения, а результаты исследований формулируются в строгой логической форме. Абстрактность же математики означает, что объектами ее изучения являются логические модели, построенные для описания и исследования того или иного явления. В этих моделях математика изучает соотношения между их элементами, количественные связи между ними, их форму. Одна и та же математическая модель может описывать свойства очень далеких друг от друга по своему физическому содержанию реальных процессов. Для математики важна не природа рассматриваемых объектов, а лишь существующие между ними соотношения. С абстрактностью математики связана, с одной стороны, определенная трудность ее усвоения, а с другой-ее сила, универсализм и общность. В последнее время, благодаря появлению быстродействующих вычислительных машин, произошел большой качественный скачок в использовании математических методов, которые стали применяться не только в тех областях, где математика использовалась уже давно (например, в механике, физике), но и в тех областях человеческого знания, где математика еще совсем недавно либо применялась мало, либо ее применение даже не представлялось возможным (медицина, экономика, лингвистика, социология и т. п.). Современный научный работник или инженер должен в достаточной степени хорошо владеть как классическими, так и современными математическими методами исследования, которые могут применяться в его области. Для того чтобы иметь возможность с успехом применять математические методы при изучении того или иного вопроса, нужно, конечно, прежде всего уметь правильно обращаться с математическим аппаратом, знать границы допустимого использования рассматриваемой математической модели. Вместе с тем, указанными обстоятельствами не исчерпываются характерные особенности решения задач математическими методами, да и вообще математического творчества, т. е. познания объективно существующих математических истин. Для правильной постановки задачи, для оценки ее данных, для выделения существенных из них и для выбора способа ее решения необходимо обладать еще математической интуицией, фантазией и чувством гармонии, позволяющими предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен. Однако интуитивно почувствовать ожидаемый результат и наметить путь исследований - это далеко не все. Интуитивное чувство гармонии является в математике лишь первой, хотя и весьма важной ступенью: интуитивные соображения отдаются на суд холодного рассудка для их изучения, доказательства или опровержения. При этом в математике справедливость рассматриваемого факта доказывается не проверкой его на ряде примеров, не проведением ряда экспериментов в узком смысле этого слова, а чисто логическим путем, по законам формальной логики. Эксперимент или пример могут дать лишь иллюстрацию утверждения или его опровержение или натолкнуть на какую-либо идею. При математическом доказательстве гипотезы, при математическом решении задачи правильный выбор аппарата и метода-залог успеха и, более того, часто залог того, что в результате будет получено больше полезной информации об изучаемом предмете, чем можно было заранее предвидеть. Это связано с тем, что математический аппарат таит в себе много скрытой информации и скрытого богатства, накапливавшихся в нем в течение веков. Формулы могут оказаться «умнее» применяющего их и дать больше, чем от них ожидалось. Результат математического исследования часто записывается с помощью длинных, и однообразных формул, подобно тому как прекрасная симфония может быть записана с помощью многочисленных рядов однообразных нотных знаков. Конечно, эта схема весьма идеализирована. Было бы большим заблуждением думать, что для математики имеют значение только доказанные утверждения, только исследования, доведенные в известном смысле до логического завершения. Можно привести много примеров математических теории и положений, которые, будучи сформулированы лишь в виде гипотез, тем не менее оказывали или оказывают существенное влияние на развитие математики. Свободное владение математическими методами, знания и интуиция приобретаются, накапливаются и развиваются в процессе систематических занятий, в результате длительной и настойчивой работы. Тот, кто последовательно овладевает математическим аппаратом, кто последовательно приобретает твердое и точное знание математических фактов легко и просто двигается дальше; усвоив одно, усваивает и последующее. Для него деревья не загораживают леса, он легко оценивает силу и красоту математических методов, приобретает уверенность в способности и умении справиться с встречающейся ему задачей, и математика делается послушным инструментом в его руках. При изучении математики весьма важно, чтобы учащийся понял и хорошо усвоил основные математические понятия, а не составил о них приближенное расплывчатое представление. То что понято и освоено, входит в плоть и кровь, делается естественным и очевидным, а следовательно, и простым в обращении. При изучении математики важно также, чтобы учащийся стремился овладеть процессом творческого мышления, чтобы он освоил сущность идей и понятий, понял их взаимосвязь, а не усвоил лишь их внешнюю окончательную форму, записанную с помощью символов. Часто мнение о трудности изучения математики связано с туманным и нечетким ее изложением на интуитивном уровне. Кажущаяся трудность тех или иных математических методов нередко связана с тем, что эти методы не были своевременно, достаточно хорошо разъяснены учащемуся и потому оста- лись им не понятыми. Полное освещение понятия, как правили, не требует больше времени, чем создание о нем интуитивного описательного представления, нуждающегося в дополнительных пояснениях, и оправдывает себя при применении этого понятия, позволяя его правильно использовать. Лучший и кратчайший способ разъяснить какое-либо математическое понятие-это дать его точную формулировку. Лучший способ на первом этапе обучения объяснить теорему, выявить ее смысл, установить ее связь с ранее изученными фактами-это доказать теорему. Безусловно, при приобретении достаточно хорошей математической культуры вполне допустимо знакомство с рядом утверждений, ограничиваясь лишь их формулировкой без проведения доказательства. Однако на первом этапе обучения это явно нецелесообразно. Косвенная польза от изучения математики состоит в том, что оно (изучение) совершенствует общую культуру мышления, дисциплинирует ее, приучает человека логически рассуждать, воспитывает точность и обстоятельность аргументации. Математика учит не загромождать исследование ненужными подробностями, не влияющими на сущность дела, и, наоборот, не пренебрегать тем, что имеет принципиальное значение для существа изучаемого вопроса. Все это дает возможность эффективно исследовать и осмысливать новые задачи, возникающие в различных областях человеческой деятельности. Умение логически мыслить, владение математическим аппаратом, правильное использование математических методов дают большую экономию мышления, дают в руки человека мощный метод исследования. Овладеть в достаточной мере математическим методом, математической культурой мышления- далеко не простая задача. Но для того, кто сумеет этого достичь, труд не пропадет зря. Для него откроются новые перспективы человеческой деятельности, заманчивые дороги в неизвестное, откроются качественно новые возможности творчества, качественно новые возможности познания мира. Причем важно отметить, что все это доступно для каждого, кто хочет овладеть математикой, кто серьезно и последовательно займется ее изучением. ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящий курс является учебником, в котором излагаются основные разделы математического анализа: дифференциальное и интегральное исчисление и теория рядов. Курс написан на основе лекций по математическому анализу, которые читаются автором с 1956 г. в Московском физико-техническом институте. Математический анализ изучает функциональные зависимости и является той частью классической математики, которая является основой почти для любой математической дисциплины. Поэтому не случайно, что он обычно является первым серьезным курсом высшей математики, с которым приходится сталкиваться учащемуся. Задачей этого курса является не только сообщение известного запаса сведений (определений, теорем, их доказательств, связей между ними, методов решения задач) и обучение их применению. В его задачу входят развитие у учащихся логического мышления и математической культуры, необходимых для изучения математики (да и вообще для проведения научно-исследовательской работы), развитие математической (аналитической и геометрической) интуиции. Наконец, курс математического анализа идейно готовит читателя к изучению других математических методов, других математических дисциплин. Запас сведений, сообщаемых в предлагаемой книге, автор старался сделать по возможности минимальным. Он состоит из изложения лишь тех фактов, которые рассматриваются обычно на лекциях, и необходимых дополнений к ним, которые предназначены ответить на вопросы и рассеять неясности, могущие возникнуть у части слушателей лекций, и этим помочь преодолеть неизбежные затруднения. Материал в книге автор старался изложить так, чтобы максимально помочь учащемуся овладеть различными математическими методами, сделать их простыми и естественными, научить свободно их применять. С этой целью в учебнике довольно много места отводится разбору решения задач на основе рассмотренных общих методов. Имеется также много упражнений, которые позволяют лучше усвоить изложенный материал, по существу разобраться в его содержании, проконтролировать его понимание, развить математическую культуру мышления, научить применять математический аппарат к решению простейших задач. В упражнениях формулируются факты, которые могут быть легко доказаны методами разобранными в курсе, причем эти факты иногда используются в дальнейшем. К упражнениям отнесены такие задания, которые посильны каждому учащемуся. Весьма рекомендуется при изучении курса делать все упражнения по мере того, как они появляются в тексте, ибо они составляют неотъемлемую часть всего изложения. Если какое-либо из упражнений вызывает затруднение, это означает, что соответствующая часть курса не усвоена и целесообразно вернуться назад. Кроме упражнений, в курсе изредка попадаются и задачи, решения которых, в отличие от упражнений, отнюдь не являются необходимым условием усвоения курса. Они предназначаются для тех учащихся, у которых появится желание померить свои силы на решении более серьезных и глубоких вопросов, часто требующих новых идей и методов, не рассматриваемых в курсе. Эти задачи весьма различны по своей трудности, и среди них имеются такие, решение которых может потребовать весьма длительного времени. Некоторые упражнения и задачи в известной мере имеют своей целью ответить на вопросы, которые могут возникнуть у учащегося при изучении основных понятий математического анализа. Примеров на применение методов математического анализа к решению задач из смежных дисциплин приводится лишь небольшое количество, поскольку курсы этих дисциплин читаются в высших учебных заведениях параллельно с курсом математического анализа и предполагается, что последний используется в них в достаточной степени. Изложение материала ведется на уровне строгости, принятом в настоящее время в классической математике. Исключение сделано лишь для некоторых вопросов теории поля, связанных, например, с так называемым правилом штопора, изложенным менее строю. Наведение здесь математической строгости существенно увеличило бы объем изложения этого круга вопросов. Понятие математической строгости в определенном смысле следует считать пока историческим понятием. Уровень строгости при изложении математических методов определяется потребностью практики в широком смысле слова. Невозможность решить ту или иную задачу на прежнем уровне строгости или возникающие противоречия приводят к возникновению новых логических концепций, нового понятия строгости. Во всяком случае, мы в нашем курсе нигде не останавливаемся на вопросах существования (непротиворечивости) возникающих в процессе наших рассуждений множеств и понятий, не подвергаем сомнению принцип произвольного выбора. Мы не будем приводить соответствующих примеров, дабы не посеять у неискушенного учащегося излишних сомнений, которые могут затруднить на первых порах изучение предлагаемого курса. Отметим некоторые особенности построения нашего курса. Начинается он, как обычно, с изучения основных понятий анализа: числа, функции, предела, непрерывности, производной, интеграла и т. д. Теория вещественного числа излагается аксиоматическим методом. Этот метод, являясь наиболее коротким, логически равноправен другим методам введения понятия числа: с помощью ли бесконечных десятичных дробей, с помощью ли классов фундаментальных последовательностей рациональных чисел, с помощью ли сечений в множестве рациональных чисел. Равноправен в том смысле, что ни при одном из этих способов не доказывается существование (непротиворечивость) множества вещественных чисел. При изучении свойств функций большое внимание обращается на метод выделения главной части: показывается, что этот метод является универсальным для решения многих задач анализа; он применяется, например, при исследовании поведения функции (пределы, экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т. п), при исследовании сходимости рядов, как числовых, так и функциональных, при исследовании сходимости интегралов, при изучении отображений многомерных областей, при приближенных вычислениях и т. п. По возможности в курсе производится ознакомление учащегося с методами, выходящими, собственно говоря, за рамки классического анализа и находящими свое дальнейшее развитие в других отделах математики. Это делается там, где это полезно, где это в какой-то мере лучше разъясняет рассматриваемые свойства и, конечно, принципиально не усложняет изложения. Сюда относятся идеи теории функций вещественной переменной, метрической топологии, функционального анализа. Благодаря этому учащемуся будет легче в дальнейшем усваивать другие математические дисциплины, которые ему встретятся в процессе обучения или работы. Существенным для последней части курса является введение пространства L 2 , как пополнения пространства непрерывных функций в соответствующей метрике. Такой подход к пространству L 2 является достаточно коротким. Его недостаток, состоящий в том, что исходное пространство непрерывных функций дополняется некоторыми идеальными элементами, уменьшается за счет доказательства того, что всякая кусочно-непрерывная функция с интегрируемым квадратом (вообще говоря, в несобственном смысле) может быть рассматриваема как элемент пространства L 2 Этого вполне достаточно для широкого круга прикладных задач. Введение пространств L 2 позволяет с достаточной полнотой изложить теорию рядов Фурье по ортогональным системам и сказывается полезным во многих дальнейших математических курсах (интегральные уравнения, уравнения с частными производными, теория вероятностей и др.). Порядок изложения материала максимально приближен к порядку изложения его на лекциях в МФТИ. Этим объясняется, например, то, что дифференциальное исчисление функций многих переменных излагается в двух разных главах (гл. II и V). Автор считает своим приятным долгом поблагодарить профессора С. М. Никольского, в беседах с которым в продолжение многих лет совместной работы обсуждалось преподавание различных вопросов математического анализа. Автор приносит глубокую и искреннюю благодарность профессору В. С. Владимирову и преподавателям кафедры математики Московского физико-технического института К. А. Бежанову, И. А. Борачинскому, Б. И. Голубову, В. Б. Демьянову, Ю. П. Иванилову, С. И. Колесниковой, А. А. Крумингу, В. Ю. Крылову, Ф. Г. Маслова, Б. В, Федосову, Т. X. Яковлевой и студентке МГУ И. Ф. Бывшевой, взявших на себя труд прочитать рукопись отдельных глав и параграфов. Автор особенно благодарит рецензентов профессора В. А. Ильина и доцента И. С. Аршона, прочитавших рукопись всей книги. Большую благодарность автор приносит редакторам книги А. И. Селиверстовой и доценту Г. Н. Яковлеву, проделавшим большую работу по ее улучшению. Все сделанные замечания были учтены автором при окончательном редактировании книги. Трудную работу по подготовке рукописи проделали ст. лаборанты кафедры Г. Е. Пономарева и Е. З. Лобанова, за что автор выражает им свою сердечную благодарность. Автор считает также своим долгом отметить, что на него безусловно оказал влияние ряд курсов математического анализа, с которыми он знакомился в то или иное время. Из них следует отметить курсы Ш. Ж. де ла Валле-Пуссена «Курс математического. анализа бесконечно малых (Москва, ГТТИ, 1933), Г. П. Толстова «Курс математического анализа» (Москва, ГИТТЛ, 1954), Г. М. Фихтенгольца «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (Москва, ГИТТЛ, 1947). АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абеля неравенство 511 - преобразование 511 - теорема о сходимости степенного ряда 536 Абсолютная величина числа 16 Абсолютно сходящийся интеграл 458, 469 - - ряд 499, 516, 565 Аддитивность интеграла 320 Аксиоматическое определение вещественных чисел 19 Алгебраическая функция 68 Алгоритм Евклида 342 Аналитическая функция 543 Аргумент (независимая переменная) 61 - комплексного числа 328 Архимеда свойство вещественных чисел 17 - спираль 442 Асимптота 196, 201, 203 - вертикальная 197, 198 - наклонная 196, 198 Ассоциативный (сочетательный) закон сложения 12 - - - умножения 14 Астроида 244, 433, 434, 442 Безу теорема 336 Бесконечная геометрическая прогрессия 479, 483 - десятичная дробь 47, 49, 50 - - - допустимая 49 - производная 122 Бесконечно большая последовательность 40 - - функция 79 - малая последовательность 39, 333, 334 - - функция 78, 114 Бесконечность 20 Бесконечный промежуток 20 Бесконечный предел 40 - частичный предел 55 Билинейная форма 313 Бином дифференциальный 366 Больцано - Вейерштрасса теорема 36, 256 Бореля лемма (о покрытии) 417 Вейерштрасса признак равномерной сходимости 522, 524 - теорема об ограниченности непрерывной функции 90, 274 - - об экстремальных значениях непрерывной функции 90 Векторное представление (вектор- представление) кривой 216 Вектор-функция (векторная функция) 209, 210 - - дифференцируемая 213 - - непрерывная 212 Величина мгновенной скорости 132 - скорости 131 - средней скорости 131, 132 Вертикальная асимптота 197, 198 - касательная 128 Верхний интеграл Дарбу 386 - предел последовательности 56 Верхняя грань множества 22, 23 - - последовательности 32 - - функции 63 Верхняя подходящая десятичная дробь 48 - сумма Дарбу 384 Вещественная функция одного переменного 61 - часть комплексного числа 327 Вещественные (действительные) числа 11, 19, 52 Винтовая линия 230 Внутренняя точка множества 257 Вторая производная 148 Второй дифференциал, 154, 315 Выпуклая область 265 - функция 191 Гамильтона символ (набла) 307 Гармонический ряд 483 Геометрическая прогрессия 479, 483 Гиперболические функции 145, 146 Гиперболический косинус 145, 146 - котангенс 146 - синус 145, 146 - тангенс 146 Главная нормаль 239 - часть функции 117, 118 Гладкая кривая 224 Годограф вектор-функции 216 Градиент функции 171, 196 Граница множества 262 Граничная точка множества 262 График функции 65, 198, 266 Даламбера признак 493 Дарбу интегралы 386 - интегральные суммы 384 Дедекинда принцип 27 Действительные (вещественные) числа 11, 19 Декарта лист 209 Деление вещественных чисел 14 - комплексных чисел 330 Делитель многочлена 338 Десятичная дробь 47, 49, 50 - - допустимая 49 Диаметр множества 282 Дини теорема 532 Дирихле признак 472, 473, 512, 528 - функция 65, 383 Дистрибутивный (распределительный) закон умножения 15 Дифференциал вектор-функции 213 - функции 124, 141, 287, 293, 300 - - полный 287 - - частный 284 Дифференциалы высших порядков 154, 315, 317 Дифференциальный бином 366 Дифференцируемая вектор-функция 213 - функция 124, 127, 286 Длина кривой 225, 431 Допустимое преобразование параметра 218 Дуга простая 216 е (число) 34, 108 Евклида алгоритм 342 Евклидово пространство 248 Единица 14 Единичная сфера 260 Единичный шар 260 Жордана теорема 217 Зависимая переменная 61 Зависимость функциональная 60 Замкнутая кривая (контур) 217 - область 265 Замкнутое множество 259 Замкнутый шар 258 Замыкание множества 258 Знакопеременный ряд 496 Знакочередующийся ряд 496 Изолированная точка множества 258 Изоморфизм 52 Инвариантность формы первого дифференциала 141, 299 Интеграл неопределенный 319 - несобственный 443-446, 459- 462 - определенный 380, 381 - с переменным верхним пределом 405 Интеграл табличный 322 Интегралы Дарбу 386 - эллиптические 377, 378 Интегральная сумма Римана 380 - теорема о среднем 400, 402, 403 Интегральные суммы Дарбу 384 Интегральный признак сходимости рядов 485 Интегрирование подстановкой 323 - по частям 325, 411 Интегрируемая функция 380 Интервал 20 - выпуклости вверх 191 - - вниз 191 - сходимости ряда 545 Иррациональное число 11 Кантора теорема о несчетности вещественных чисел 55 - - о равномерной непрерывности 277 Кардиоида 246, 429 Касательная 128, 222 - вертикальная 128 - наклонная 128 - плоскость 304 Квадратичная форма 314 Квадраты ранга m 413 Квадрильяж плоскости 413 Колебание функции на множестве 282 Коммутативный (переместительный) закон сложения 12 Коммутативность умножения 14 Комплексное число 11, 327 - - сопряженное 31 Комплекснозначная функция комплексного переменного 62 Конечная производная 122 Конечное покрытие 417 Контур (замкнутая кривая) 217 - простой 217 Концевой экстремум 189 Координатное представление кривой 216 Координаты полярные 244 Корень многочлена 336 Косинус гиперболический 145, 146 Котангенс гиперболический 146 Коши-Адамара формула 540 Коши критерий для последовательностей 37 - - для функций 82 - - равномерной сходимости 521, 524 - - для несобственных интегралов 457, 469 - - для рядов 482 - признак 495 - теорема о промежуточных значениях непрерывной функции 91 - - о среднем 163 - условие для последовательностей 37 - - для функций 82, 84 - форма остаточного члена формулы Тейлора 176, 549 - формула конечных приращений 164 Коши - Шварца неравенство 248 Коэффициенты степенного ряда 536 Кратная точка кривой 216 Кратность корня 336 Кратный ряд 562, 568, 569 Кривая 216, 218, 263 - гладкая 224 - кусочно-гладкая 224 - непрерывно дифференцируемая 219 - ориентированная 217 - - противоположно 220 - открытая 221 - параметрически заданная 216 - плоская 217, 231 - спрямляемая 225 Кривизна кривой 237 Круг сходимости степенного ряда 577 Куб n-мерный 252 Кубильяж пространства 423 Кусочно-гладкая кривая 224 Кусочно непрерывная функция 403 Кусочно-непрерывно дифференцируемая функция 411 Лагранжа теорема о среднем 159 - форма остаточного члена формулы Тейлора 176, 549 - формула конечных приращений 161 Левая производная 122 Лейбница признак 496 - формула 149 Лемма Бореля (о покрытии) 417 - о сохранении знака 271 Лемниската 442 Линейная плотность 133, 439 Линейная функция n-переменных 292 - - точки 292 Лист Декарта 269 Логарифмическая производная 144 - функция 104 Логарифмическая спираль 434 Ломаная, вписанная в кривую 225 Лопиталия правило 165-168 Луч 264 Маклорена формула 175 Максимальный (наибольший) элемент множества 23 Мгновенная скорость, величина 132 Мелкость разбиения 379 Мера (площадь) открытого множества 414 Метод выделения главной части 117, 118, 176, 181, 182 - неопределенных коэффициентов 348 - Остроградского 354, 357 - улучшения сходимости 472 Минимальный (наименьший) элемент множества 23 Мнимая часть комплексного числа 327 Многозначная функция 64 Многочлен (полином) 68, 96 - Тейлора 175 Множество 20 - замкнутое 258 - значений функции 61 - - элементов последовательности 31 - неограниченное 22 - ограниченное 22, 256 Множество, ограниченное сверху 22 Множество, ограниченное снизу 22 - открытое 257 - пустое 20 - связное 264 - счетное 53 - элементов последовательности 31 Модуль комплексного числа 327 Модуль непрерывности 279 Момент кривой относительно оси 440 Моменты точки 439 Монотонная последовательность 33 Монотонно возрастающая последовательность 33 - - функция 80, 93, 184 - убывающая последовательность 33 - - функция 80, 93, 184 Монотонность меры 415 Набла (символ Гамильтона) 307 Наибольший (максимальный) элемент множества 23 Наибольшее значение функции 63, 64 Наименьший (минимальный) элемент множества 23 Наименьшее значение функции 63, 64 Наклонная асимптота 196, 198 - касательная 128 Направление касательной 223 Направляющие косинусы прямой 309 Натуральные числа 14 Натуральный ряд чисел 11 Независимая переменная (аргумент) 61 Необходимое условие сходимости ряда 483 - - равномерной сходимости ряда 524 Неограниченная последовательность 32 Неопределенный интеграл 319 Неособая точка кривой 224 Непрерывная функция 83, 85, 86, 270, 335 - вектор-функция 212 Непрерывно дифференцируемая кривая 219 - - функция 148, 290 Непрерывность вещественных чисел 17, 18, 27, 28 Неравенство Абеля 511 - Коши-Шверца 248 - треугольника 248 Несобственный интеграл 443-446, 459-462 Несчетность вещественных чисел 55 Неявная функция 66, 67 Неявное представление кривой 220 Нижний интеграл Дарбу 386 - предел последовательности 56 Нижняя грань множества 22, 23 - - последовательности 32 - - функции 63 - подходящая десятичная дробь 48 - сумма Дарбу 384 Нормаль (к кривой) 239 - главная 239 Носитель кривой 216 - точки кривой 216 Нуль 12 Ньютона - Лейбница формула 408 Область 264 - выпуклая 265 - замкнутая 265 - определения функции 61 Образ множества 61 Обратная функция 64, 93 Обратное число 14 Обратные тригонометрические функции 106 Общий делитель 339 - наибольший делитель 339 Объединение (сумма) множеств 21 Ограниченная последовательность 32 - функция 63 Ограниченное множество 22, 256 - сверху множество 22 - снизу множество 22 Однозначная функция 64 Однородная кривая 439 Односторонние окрестности 81 - пределы 72, 74 Окрестность числа (точки) 29 - односторонняя 81 - символов ∞ , + ∞ , - ∞ 41 - точки 250, 251, 252, 257 - - прямоугольная 252 - сферическая 251 Окружность соприкасающаяся 246, 159 Операция дифференцирования 122 - интегрирования 321 Определение позитивное 30 Определенный интеграл 380, 381 Ориентированная кривая 217 Особая точка кривой 224 Остаток ряда 477, 516 Остаточный член формулы Тейлора 175 - - - - в форме Коши 176, 549 - - - - - Лагранжа 176, 549 - - - - - Пеано 175 - - - - - Шлемиха - Роша 176 Остроградского метод 354, 357 - формула 355 Открытая кривая 221 Открытое множество 257 - покрытие множества 417 Открытый шар n-мерный 259 Отображение 61 Отрезок (числовой) 17 - разбиения 379 Отрицательное число 11, 13 Параллепипед n-мерный 251 Параметрически заданная кривая 216 Параметр кривой 216, 263 Пеано форма остаточного члена формулы Тейлора 175 Первообразная 318 Переменная 60 - зависимая 61 - независимая (аргумент) 61 Переместительный (коммутативный) закон сложения 12 - - - умножения 14 Пересечение множеств 21 Плоская кривая 217, 231 Плоскость касательная 304 - соприкасающаяся 240 Плотность линейная 133, 439 Площадь (мера) открытого множества 414 - поверхности вращения 435 Повторный предел 268 Подпоследовательность 35 Подстановки Эйлера 363, 364, 365 Подходящая десятичная дробь, верхняя 48 - - -, нижняя 48 Позитивное определение 30 Показательная функция 97, 100, 101 Покрытие множества 417 Полином (многочлен) 68, 96 Полное приращение функции 286 Полнота системы аксиом вещественных чисел 52 Полный дифференциал 287 Положительное число 13 - направление касательной 223 Полуинтервал 20 Полукубическая парабола 244 Полуотрезок 20 Полярные координаты 244 Последовательность 28, 332 - бесконечно большая 40 - - малая 39, 334 - монотонная 33 - монотонно возрастающая 35 - - убывающая 33 - неограниченная 32 - ограниченная 32 - - сверху 32 - - снизу 32 - расходящаяся 29 - сходящаяся 29, 333 - - равномерно 518 - точек 253, 254 -фундаментальная 37 - функциональная 514 Последовательности одного порядка 334 - эквиваленгные 334 Правая производная 122 Правило Лопиталия 165-168 Правильная рациональная дробь 343 Предел вектор-функции 210 - последовательности 28, 29, 30, 41, 333, 563 - - верхний 56 - - нижний 56 - - точек 253 - частичный 36, 37 Предел функции 69, 73, 81, 267 - повторный 268 - функции по множеству 266 - -в данном направлении 266 - - по кривой 266 - - слева 71, 74, 81 - - справа 71, 74, 81 - - односторонний 72, 74, 81 Предельная точка множества 258 Представление кривой 216 - - неявное 220 Преобразование параметра 218 - - допустимое 218 Признак Вайерштрасса равномерной сходимости 522, 524 - Даламбера 493 - Дирихле 472, 473, 512 - - равномерной сходимости 528 - Коши 495 Признак Лейбница 496 - сходимости ряда, интегральный 485 Принцип вложенных отрезков 18 - Дедекинда 27 Приращение аргумента 85 - функции 85 - - полное 286 Прогрессия геометрическая 479, 483 Произведение вещественных чисел 14 - комплексных чисел 329 - последовательностей 39 - ряда на число 480 Производная 121 - вектор-функции 212 - высшего порядка 148, 310 - левая 122 - логарифмическая 144 - правая 122 - по направлению 305, 306, 309 - частная 283 Промежуток 20 - бесконечный 20 Прообраз множества 61 Простая дуга 216 Простой контур 217 Противоположное число 12 Противоположно ориентированная кривая 220 Пространство евклидово 248 Прямая в n-мерном пространстве 264 - числовая 20 Прямолинейный отрезок 264 Прямоугольная окрестность точки 252 Пустое множество 20 Работа силы вдоль кривой 439 - элементарная 438 Равномерная непрерывность 276 Равномерное стремление функции к нулю 291 Равномерно сходящаяся последовательность 518 - сходящийся ряд 522 Равномощные множества 53 Радиальная составляющая скорости 236 Радиус-вектор 216 Радиус кривизны 237 Радиус сходимости степенного ряда 537 Разбиение отрезка 224, 225, 379 Разность вещественных чисел 13 - комплексных чисел 328 - множеств 21 - последовательностей 39 Ролля теорема о среднем 158 Распределительный (дистрибутивный) закон умножения 15 Расстояние в евклидовом пространстве 248 - между множествами 261 Расходящаяся последовательность 29 Рациональная дробь правильная 343 - - элементарная 348 - функция (дробь) 68, 96, 359 Рациональное число 11, 15, 53 Римана интегральная сумма 380 - теорема о перестановке членов ряда 509 Ряд 477 - гармонический 483 - знакопеременный 496 - знакочередующийся 496 - кратный 562, 568, 569 - расходящийся 478, 563 - степенной 536, 568 - сходящийся 478, 563, 568 - - абсолютно 499, 516, 565 - Тейлора 547 - функциональный 568 Свойство Архимеда вещественных чисел 17 Связное множество 264 Сечение в множестве чисел 27 Сила тока 132 Символ Гамильтона (набла) 307 Синус гиперболический 145, 146 Система вложенных квадратов 416 - - отрезков 17 Скачок функции в точке 86 Скорость, величина 131 - вращения вектор-функции 234 - движения 233 Сложение вещественных чисел 12 Сложная функция 67, 88 Смешанная частная производная 310 Соответствие 61 - взаимно однозначное 50 Соприкасающаяся окружность 246 - плоскость 240 Сопряженное комплексное число 331 Сочетательный (ассоциативный) закон умножения 14 - - - сложения 12 Спираль Архимеда 442 - логарифмическая 434 Спрямляемая кривая 225 Средняя линейная плотность 133 - сила тока 132 - скорость, величина 131, 132 Статические моменты 440 Степенная функция 105 Степенный ряд 536, 569 Степень многочлена 336 Строго монотонно возрастающая функция 93 - - убывающая функция 93 - монотонные функции 93 Сумма вещественных чисел 12 - Дарбу, интегральная 384 - комплексных чисел 328 - кривых 220 - (объединение) множеств 21 - последовательностей 39 - Римана, интегральная 380 - ряда 478, 516, 563, 569 - - частичная 477, 516, 568 - рядов 481 Суперпозиция функций 67 Существенно комплексное число 327 Сфера единичная 26 - (n -1)-мерная 259 Сферическая окрестность точки 251 Сходящаяся последовательность 29, 333 - - точек 254 Сходящийся интеграл 458, 469 - ряд 478, 499, 516, 563, 565, 568 Счетное множество 53 Таблица поведения функции 200 Табличный интеграл 322 Тангенс гиперболический 146 Тейлора многочлен 175 - ряд 547 Тейлора формула 173, 175 Теорема Абеля о сходимости степенного ряда 536 - Больцано-Вейерштрасса 36, 256 - Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции 90, 274 - - об экстремальных значениях непрерывной функции 90 - Дини 532 - Жордана 217 - Кантора о несчетности вещественных чисел 55 - - о равномерной непрерывности 277 - Коши о среднем 163 - - о промежуточных значениях непрерывной функции 91 - Лагранжа о среднем 159 - Римана о перестановке членов ряда 509 - Ролл я о среднем 158 - о среднем интегральная 400, 402, 403 - Ферма 156Точка 20 - возрастная функции 186 - кривой 216 - - кратная 216 - - неособая 224 - - -особая 224 - максимума функции 184, 189 - минимума функции 184, 189 - множества, внутренняя 257 - -, граничная 262 - -, изолированная 258 - n-мерного пространства 247 - перегиба 191, 192 Точка прикосновения множества 258 - разрыва функции 87 - - первого рода 86 - - второго рода 86 - самопересечения кривой 216 - строго максимума функции 185, 189 - - минимума функции 185, 189 - убывания функции 186 - устранимого разрыва 87 - экстремума функции 185 Транзитивность упорядоченности вещественных чисел 12 Трансцендентная функция 69 Трапеция криволинейная 424 Тригонометрическая запись комплексного числа 328 Тригонометрические функции 105, 106 Умножение вещественных чисел 14 Упорядоченность вещественных чисел 12 Условие Коши для последовательностей 37 - - для функций 82, 84 Ферма теорема 156 Форма билинейная 313 - квадратичная 314 - Коши остаточного члена формулы Тейлора 176, 549 Форма Лагранжа остаточного члена формулы Тейлора 176, 549 - Пеано остаточного члена формулы Тейлора 175 - Шлемиха - Роша остаточного члена формулы Тейлора 176 Формула конечных приращений Лагранжа 161 - - -Коши 164 - Коши - Адамара 540 - Лейбница 149 - Маклорена 175 - Ньютона - Лейбница 408 - Тейлора 173, 175 - Остроградского 355 - Френе 239 Формулы Эйлера 555 Фундаментальная последовательность 37 Функциональная зависимость 60 Функциональная последовательность 514 - -, ограниченная на множестве 515 - -, сходящаяся в точке 515 - -, - на множестве 515 - -, - равномерно 518 Функциональный ряд 568 Функции одного порядка 112 - эквивалентные 113, 116 Функция 60, 61 - алгебраическая 68 - аналитическая 543 - бесконечно большая 79 - - малая 78 - - - по сравнению с другой функцией 114 - вещественная 61 - выпуклая вверх 191 - - вниз 191 - гиперболическая 145, 146 Функция Дирихле 65, 383 - дифференцируемая 124, 127, 286 - , заданная параметрически 152 - интегрируемая 380 Функция комплекснозначная 62 - кусочно непрерывная 403 - кусочно-непрерывно дифференцируемая 411 - логарифмическая 104 - многих переменных 62 - многозначная 64 - монотонно возрастающая 80, 184 - - убывающая 80, 184 - непрерывная в точке 84, 85, 86, 270, 335 - - - слева 87 - - - справа 87 - - на множестве 273 - - на отрезке 89 - непрерывно дифференцируемая 148, 290 - неявная 66 - обратная 64, 93 - ограниченная 63 - - сверху 63 - - снизу 63 - однозначная 64 - показательная 97, 100, 101 - рациональная 68, 96, 359 - сложная 67, 88 - сравнения 453 - степенная 105 Функция строго выпуклая вверх 191 - - - вниз 191 - строго монотонная 93 - - монотонно возрастающая 93, 184 - - - убывающая 93, 184 - трансцендентная 69 - тригонометрическая 105, 106 -числовая 62 - элементарная 68, 273 Целое число 14 Центр кривизны 241 - тяжести кривой 441 Цепная линия 431, 438, 441, 442 Циклоида 442 Частичная сумма ряда 477, 516, 562, 568 Частичный предел последовательности 36, 37 - - -, бесконечный 55 Частичная производная 283 - - высшего порядка 310 - - смешанная 310 - - чистая 310 Частное вещественных чисел 14 Частный дифференциал 284 Часть кривой 220 Числа вещественные (действительные) 11, 19 - иррациональные 11, 13 Числа комплексные 11, 327 - натуральные 14 - отрицательные 11, 13 - положительные 13 - рациональные 11, 15, 53 - целые 14 Число е 34, 108, 123 - обратное 14 - противоположное 12 Числовой отрезок 17 Числовая последовательность 28 - прямая 20 - функция 62 Шар единичный 260 - n-мерный замкнутый 259 - - открытый 259 Шлемиха - Роша форма остаточного члена формулы Тейлора 176 Эволюта кривой 214 Эйлера подстановки 363, 364, 365 - формулы 555 Эквивалентные вектор-функции 218 - последовательности 334 - функции 113, 116 Экстремум концевой 189 Экстремумы функций 184, 185 Элементарная работа 348 Элементарная рациональная дробь 348 Элементарная функция 68, 273 Элементарные статистические моменты 440 Элемент множества 20 Эллипс 434 Эллиптические интегралы 377, 378, 434 - - в форме Лежандра 378, 474
Агент Звездного корпуса Михаил Брадо горит желанием найти убийц своего напарника и наказать их. Следы преступников ведут в стан раднитов - злейших врагов человечества. Что ж - тем хуже для них! Ведь справедливая ненависть землянина, помноженная на жажду личной мести, будет пострашнее любого новейшего оружия. Однажды знаменитый бард Лютик решил отправиться в город Джакс, чтобы написать балладу о местном драконе. Только вот незадача по дороге вышла, да и пришлый проходимец оказался не так прост, как казалось. На Земле экологическая катастрофа. Уровень океана повысился, и большая часть суши скрылась под водой. Границы между государствами уничтожены, произошло смешение народов. С неба падают ядовитые дожди, на земле расплодились мутанты, в морях рыщут разумные акулы. Манипулятор утонченного уровня Хнор с планеты Драгоценность бросил вызов самому верховному манипулятор Эддуну. И все это ради красавицы Линьи, чью руку и сердце Хнор сможет получить только пройдя испытание - выиграв поединок с Эддуном. Но это будет непросто, ведь по слухам Эддун обладает Высшим Мастерством и благодаря ему не проиграл еще ни одного поединка... Новые приключения великолепного Беска Маршевича. Он должен поддерживать порядок и защищать закон в районе, где живет более сотни инопланетных рас. Сделать это нелегко, поскольку у каждой из них свои обычаи, своя мораль и частенько весьма своеобразные понятия о законах. А судьба, злорадно хихикая, уже приготовила встречу с самым ловким преступником во вселенной. И Беску нужно сразиться с ним не на жизнь, а на смерть, сорвать со злодея маску, до конца выполнить ДОЛГ ЦЕНТУРИОНА. Близится последняя битва. Охотники собираются вместе, для того чтобы нанести решительный удар по долине магов, покончить с владычеством сил тьмы, сразиться не только с черными магами, но и с теми, кто ими командует. Силы зла тоже не дремлют... Медленно, но верно охотники проигрывают войну черным магам. Слишком мало охотников и слишком много черных магов. Волею обстоятельств в руки Хантеру попал прибор, с помощью которого он может обнаружить долину магов - место, где живут те, кто отдает приказы черным магам, Хантеру и его ученику Христиану предстоит долгий путь, встречи с оборотнями, снежными гоблинами, кровожадными фанатиками и множеством других опасных противников. Повести и рассказы Леонида Кудрявцева - одного из редчайших и лучших отечественных мастеров жанра. Мир воображения поистине невозможного.