Теорема

Пусть функция определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке , и пусть - множество её значений. Тогда на множестве обратная функция однозначна, строго монотонна и непрерывна.

Доказательство

Пусть для определённости функция возрастает на , т.е. для любых , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство:

(), ().

1. Докажем однозначность обратной функции.

Однозначность обратной функции следует из того, что в силу возрастания функции на справедливо неравенство:

При ,

и, значит, каждому соответствует единственное значение .

2. Докажем теперь, что обратная функция возрастает на .

Действительно, если , то и ( и ), так как если бы было , то из возрастания следовало бы, что , что противоречило бы предположению . Таким образом, факт строгой монотонности обратной функции установлен.

3. И, наконец, докажем, что обратная функция непрерывна на .

Так как монотонно возрастает на множестве , то она ограничена и принимает наибольшее и наименьшее значения на множестве . Множество является промежутком с концами и , где , .

Пусть , . Рассмотрим сначала случай, когда . В этом случае точка является, очевидно, внутренней точкой промежутка .

Выберем значение таким, чтобы и , и положим и . Тогда в силу возрастания получим:

.

Возьмём теперь таким, чтобы выполнялись неравенства:

и .

Тогда, если удовлетворяет неравенствам

,

то ,

и, следовательно, в силу возрастания имеем:

Учитывая, что и ,

получим: при условии
.

Таким образом, доказано, что для любого достаточно малого существует такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , т.е. обратная функция непрерывна в точке . Но - произвольная точка интервала . Значит, обратная функция непрерывна на .

Если или , то с помощью аналогичных рассуждений можно доказать непрерывность справа в точке и слева в точке . Итак, факт непрерывности обратной функции на доказан.

В случае убывания функции доказательство теоремы проводится аналогично.

Модуль

Тема №5

Непрерывность основных

Элементарных функций. Равномерная непрерывность функции на множестве

Лекция №17

1. Непрерывность функций: ; ; ; ;
;
;
; ; ; .

2. Показательная функция во множестве рациональных чисел.

3. Показательная функция во множестве действительных чисел.

ﻫНепрерывность элементарных функций

1. Доказать, что функция ,

Доказательство

1) Выберем произвольную точку R, так как определена на R.

2) Для этой точки R определим предел и значение функции в точке :

а)
,

б) .

3) Следовательно, , т.е. функция непрерывна в произволь­ной точке .

,

непрерывна в каждой точке числовой прямой.

5) Доказательство проведено на основании определения №1 непрерывности функции в точке. Ч.т.д.

2. Доказать, что функция непрерывна в любой точке числовой прямой, кроме нуля, т.е. R \0.

Доказательство

R \0, так как функция определена на R \0, и определим в ней приращение функции:

.

3) Вычислим предел

,

так как . Значит, функция

4) Так как точка выбиралась произвольно, то функция непрерывна в любой точке R \0. Ч.т.д.

3. Доказать, что функция непрерывна в любой точке множества действительных чисел.

Доказательство

1) Область определения функции – множество действительных чисел.

2) Выберем произвольную точку R и определим в ней приращение функции:

3) Вычислим предел
. Значит, функция непрерывна в произвольной точке .

4) Так как точка выбиралась произвольно, то функция непрерывна в любой точке множества действительных чисел.

5) Доказательство проведено на основании определения №5 непрерывности функции в точке на языке приращений. Ч.т.д.

4. Доказать, что функция непрерывна в любой точке множества R .

Доказательство

Доказательство следует из теоремы о непрерывности алгебраической суммы, произведения и частного непрерывных функций и непрерывности функции в любой точке числовой оси. Ч.т.д.

5. Доказать, что функция
непрерывна в любой точке множества действительных чисел, за исключением тех точек, где знаменатель дроби обращается в нуль.

Доказательство

Доказательство следует из теоремы о непрерывности алгебраической суммы, произведения и частного непрерывных функций и непрерывности функций

и .

Значит, заданная функция непрерывна в любой точке множестваR , исключая те точки, в которых знаменатель равен нулю. Ч.т.д.

6. Доказать, что функция непрерывна в любой точке числовой прямой.

Доказательство

1) Доказательство проведем на основании определения №5 непрерывности функции в точке на языке приращений.

2) Функция определена в любой точке числовой прямой.

3) Выберем произвольную точку R и определим приращение функции в этой точке:

4) Вычислим предел от приращения функции:

Значит, функция непрерывна в произвольной точке .

5) Так как точка выбиралась произвольно, то функция непрерывна в любой точке числовой прямой. Ч.т.д.

7. Аналогично доказывается непрерывность функции в любой точке числовой оси. Провести доказательство самостоятельно.

8. Из непрерывности функций и в любой точке числовой прямой по теореме о непрерывности частного непрерывных функций в точке следует непрерывность функции

а) ; во всех точках числовой прямой, кроме точек

, - любое целое число;

б) а также непрерывность функции и во всех точках, кроме точек , где - любое целое число.

9. Доказать, что функция непрерывна на всей числовой прямой.

Доказательство

1) На интервале функция имеет вид , так как . А эта функция непрерывна в каждой точке числовой прямой.

2) На интервале функция имеет вид , так как . А эта функция непрерывна как произведение двух непрерывных функций и .

3) Остаётся установить непрерывность функции в точке .

4) Для этого вычислим односторонние пределы в точке :

а) ; б) .

5) Так как
и , то функция непрерывна в точке . А, следовательно, она непрерывна на всей числовой прямой.

Вывод:

1.Все рассмотренные функции непрерывны в областях их существования.

2.На основании теорем непрерывности суммы, разности, произведения и частного непрерывных функций можно утверждать, что функции, получаемые при помощи конечного числа арифметических действий над непрерывными функциями, также являются непрерывными функциями в области их существования.

Показательная функция во множестверациональных чисел

Определение 1.Пусть , тогда для любого рационального числа будет определено значение . Тем самым определена функция . Эту функцию называют показательной на множестве рациональных чисел.

Свойства показательной функции

I. , , , т.е. , где , .1.Пусть . Тогда:a) если , то ;б) если , то .2.а) ;б) ;в) .3. .4. .5. , для любого рационального числа : .

Док-во: 5-ого свойства1. Если и , то в силу первого свойства: .

2. Так как , а , то .3. На основании второго свойства: , и , следовательно, .4. Аналогично доказывается неравенство при .

II.Лемма 1.Пусть . Тогда существует , что для всех рациональных чисел , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство: . Справка: при .

Док-во: I.1. Пусть .

2. Так как , то : и .3. Так как , то на основании первого свойства , следовательно, два двойных неравенства можно переписать так:

4. Пусть -- рациональное число такое, что , то есть .5.Тогда на основании первого свойства показательной функции можно написать: или или .II. При лемма очевидна.III. При лемма доказывается аналогично, только в соответствии с неравенством первого свойства знак надо заменить на обратный (случай 1б).

2 Показательная функция во множестве действительных чисел

Определение2.Пусть , а -- произвольное действительное число, то есть . Пусть -- последовательность рациональных чисел, сходящаяся к . Очевидно, что для такая последовательность всегда существует. Тогда всегда существует и не зависит от выбора последовательности , , .

Случай не представляет интереса для изучения, так как .

Теорема1.Показательная функция во множестве действительных чисел , , обладает следующими свойствами:1) непрерывна в каждой точке числовой прямой;2) при строго возрастает, а при строго убывает на всей числовой прямой;3) , ;4) , ;5)а) при ;б) при ;6)а) при ;б) при .

Док-во: 1-ого свойства1. Известно, что : .2. Это утверждение справедливо и для действительных чисел.3. Пусть -- произвольное действительное число, , и , , -- показательная функция во множестве действительных чисел.4. Найдем приращение функции в точке при изменении аргумента на : .

5. Согласно лемме для показательной функции во множестве рациональных чисел: , удовлетворяющих неравенству ), выпоняется неравенство: , причем при , .6. Умножим обе части неравенства пункта 5 на положительное число : .7. Сравним приращение функции и последнее неравенство, очевидно, что при , т.е. , то есть на основании определения №5 непрерывности функции в точке, функция непрерывна в точке .8. Так как точка выбиралась произвольно, то функция непрерывна в любой точке числовой прямой.

Док-во: 2-ого свойства1. Пусть для определенности и .2. В силу плотности рациональных чисел во множестве действительных чисел существуют такие рациональные числа и , что

3. Выберем некоторые две последовательности рациональных чисел и так, чтобы и , и чтобы для .4. При на основании первого свойства показательной функции во множестве рациональных чисел можно записать:

5. Перейдем к пределу при (в показателях степеней) в последнем неравенстве: ; ; ; , следовательно, на основании определения показательной функции во множестве действительных чисел: ; ; .6. Неравенство пункта 4 примет вид: или при .7. А на основании определения возрастающей функции при , следовательно, строго возрастает при .

Замечание1.Случай рассматривается аналогично.

Замечание2.Графики функции имеют вид:

Док-во: 3-его свойства1. Пусть и такие последовательности рациональных чисел, что , и, следовательно, на основании теоремы о пределе суммы двух сходящихся последовательностей.2. Тогда в силу определения показательной функции во множестве действительных чисел .3. По свойству №2 показательной функции во множестве рациональных чисел , следовательно, , a>0 .

Следствие 1. Для любых действительных чисел справедливо равенство: , следовательно, . 2. Поэтому .

Док-во: 4-ого свойства

I.1. Пусть -- целое положительное число, , т.е. .2. Применим раз свойство №2 показательной функции во множестве рациональных чисел: Следовательно, .

II.1. Пусть , , где -- целое положительное число, .2. Докажем, что: , т.е. что -- есть корень степени из числа : .3. На основании равенства и по определению корня: если , то . Или . Следовательно, .

III.1. Пусть , , где .2. По раннее доказанному можно написать: . Следовательно, .

IV. Пусть теперь , , то . Следовательно, .

V. Очевидно, что .Вывод: таким образом, доказано, что , : .

VI.1. Пусть .2. Рассмотрим произвольную последовательность рациональных чисел , сходящуюся к : .3. Тогда в силу равенства будет иметь место:

4. Поскольку , то в соответствии с определением показательной функции во множестве действительных чисел можно записать:а) ;б) , так как .5. Перейдем к пределу в равенстве пункта 3 при :

6. В соответствии с пунктом 4 перепишем записанное равенство: , .

Док-во: 5-ого свойстваI.1. Докажем, что при .2. Пусть .3. Тогда , .4.Так как , то (в соответствии с неравенством Бернулли).5. Для , , что .6. Если , а , то при , следовательно, -- определение бесконечно большой функции при (бесконечный предел функции на бесконечности) равносильно .

II.1. Если , то выполняется .2. Так как , то , т.е. .3. Поэтому .4. Если и , то , следовательно, подавно на основании теоремы о сжатой переменной.

Док-во: 6-ого свойства1. При .2. При .Доказательство проводится аналогично доказательству свойства №5.

Модуль

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Определение 1. Пусть f – соответствие между множествами X и Y . Множество всех пар {(y,x )| (x,y )Îf } называется соотвтетствием обратным для соответствия f и обозначается f –1 .

Определение 2. Если соответствия f и f –1 являются функциями, то функция f называется обратимой , а f –1 –обратной для функции f .

Функции f и f –1 являются взаимно обратными, т.к. (f –1) –1 = f , а отображение

f: Х Y является взаимно однозначным.

Свойства взаимно обратных функций:

1. D (f -1) = E (f ), E (f -1) = D (f ).

2. f –1 (f (x )) = x "x ÎD(f ); f (f –1 (y )) = y "y ÎE (f ).

3. Графики функций f и f –1 – симметричны относительно прямой y = x .

Примем без док-ва следующую теорему

Теорема 1. Если функция f является взаимно однозначным отображением области определения D (f ) на область значений E (f ), то обратое ей соответствие f –1 – функция.

Теорема 2 (о существовании и непрерывности обратной функции) . Пусть функция f строго возрастает (убывает) и непрерывная на области определения D(f), являющейся промежутком. Тогда обратное соответствие f –1 является функцией возрастающей (убывающей) и непрерывной в своей области определения D(f –1 ) = E(f), которая также является промежутком .

Заметим , что согласно следствию из ІІ теоремы Больцано-Коши область значений непрерывной на промежутке функции E(f) = D(f –1) – промежуток.

Доказательство проведём для возрастающей функции в 3 этапа.

1 этап. Пусть f – возрастающая, докажем, что f –1 – функция , т.е. покажем, что каждому

y Î D (f –1) = E (f ) соответствует единственное значение х Î E (f –1) = D(f ).

Допустим противное, что некоторому у о ÎE (f ) соответствуют два х 1 , х 2 ÎD (f ) такие, что f(x 1) = y o і f(x 2) = y o , но х 1 ≠ х 2 . Пусть для определённости х 1 < х 2 . Из условия возрастания функции f следует, что f(x 1) < f(x 2) Û y o < y o , а это невозможно.

2 этап. Докажем, что f –1 – возрастающая функция в области определения D (f –1) = E (f ). В множестве E (f ) возьмем любые у 1 и у 2 такие, что у 1 < у 2 и покажем, что f –1 (у 1 )< f –1 (у 2 ).

Допустим противное: f –1 (у 1) ³ f –1 (у 2). Всилу возрастания функции f будем меть

f(f –1 (y 1)) ³ f(f –1 (у 2)) Þ у 1 ³ у 2 , что противоречит условию у 1 < у 2 . Это и доказывает возрастание функции f –1 .

3 этап. Дакажам, што функция f –1 непрерывная на E (f ).

Мы доказали, что f –1 – возрастающая на промежутке E (f ) функция, множество её значений E (f -1) = D (f ) по условию теоремы – промежуток. Тогда по Т.2 §4 f –1 –непрерывная функция на E(f) . ◄

Пример 1. Найти функцию обратную для функции функция f (х ) = 2x - 4.

Решение. Функция f (х ) = 2x - 4 – непрерывная и возрастающая на D (f ) = R . По Т. 2 существует обратная функция, которая также является непрерывной и возрастающей на Е (f ) = R. Найдём формулу для функции f –1 (у ), для этого выразим х = у /2 + 2, или

y = x /2 + 2 (х и у поменяли местами).

Пример 2. Найти функцию обратную для функции

и построить её график.

Решение. D (f ) = R – промежуток. Перепишем функцию (1) в виде Þ Þ e y -e –y = 2x Þ e y - 1/e y = 2x Þ e 2y - 2xe y - 1 = 0 ½обозначим e y = t > 0½Þ

Теорема (о существовании и непрерывности обратной функции). Пусть на интервале (a,b) определена непрерывная возрастающая (убывающая)функция y=f(x). Обозначим

Тогда на интервале (А, В) определена обратная функция , которая возрастает(убывает) на этом интервале и является непрерывной в каждой точке этого интервала.

ВОПРОС№22: Дифференцируемые функции. Критерий дифференцируемости

Определение . Функция f, определенная в окрестности точки x , называется дифференцируемой в этой точке, если верна формула

f (x штрих + ▲x штрих) - f (x штрих) =S Ai ▲xi +Sai (▲x штрих) ▲xi (3)

где i A – числа, а функции ai (▲ x штрих) удовлетворяют условию

ai(▲ x штрих)→ 0 (i =1,2 ,…, n ) при ▲ x →0 . (4)

Теорема . Пусть функция f дифференцируема в точке x . Тогда в этой точке у нее существуют частные производные и выполнены равенства

(df(x штрих))/ (dxi)= Ai(i=1,2,…,n).

Доказательство . Из формулы (3) следует, что

(f (x1 ,...,xi-1 ,xi+▲ xi ,xi+1,...,xn)- f (x1 ,...,xi-1 ,xi ,xi+1 ,...,x n))/(▲Xi)= Ai+αi(▲Xi).

Переходя к пределу при ▲xi → 0, получим равенство (5).

Теорема (достаточные условия дифференцируемости функции) . Если функция f имеет частные производные по всем переменным в некоторой окрестности точки x штрих , причем все эти частные производные непрерывны в самой

точке x штрих , то указанная функция дифференцируема в этой точке.

Теорема (критерий дифференцируемости функции ). Функция f (x ), определенная в окрестности точки x , дифференцируема в этой точке тогда и только тогда, когда существует производная f ׳(x ). При этом F = f ׳(x ).

Доказательство . Пусть существует производная f ׳(x ). Обозначим

a(t) =(((f(t)-f(x)) /(t-x)) -f׳ (x )

f(t) =f (x)+ (t-x) f׳(x)+ (t-x)α (t),(α(t)→0). (2)

Пусть теперь выполнено равенство (1) . Тогда

((f(t)-f(x)) /(t-x) = F+ α(t) ,limα(t) = 0.

Следовательно, существует производная f ׳(x )= F .

ВОПРОС№23: Производная суммы, разности, произведения и частного двух функций.

Производная суммы и разности

Пусть даны функции f(x) и g(x), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’

2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, (f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность f − g можно переписать как сумму f + (−1) · g, и тогда останется лишь одна формула - производная суммы.

· Задача . Найти производные функций: f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Решение . Функция f(x) - это сумма двух элементарных функций, поэтому:

f ’(x) = (x 2 + sin x)’ = (x 2)’ + (sin x)’ = 2x + cos x;

Аналогично рассуждаем для функции g(x). Только там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · (x 2 + 1).

Ответ :
f ’(x) = 2x + cos x;
g ’(x) = 4x · (x 2 + 1).

Производная произведения

Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат - неправильно решенные задачи.

· Задача . Найти производные функций: f(x) = x 3 · cos x; g(x) = (x 2 + 7x − 7) · e x .

Решение

Ответ :
g ’(x) = x(x + 9) · e x .

Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.

Производная частного

Если есть две функции f(x) и g(x), причем g(x) ≠ 0 на интересующем нас множестве, можно определить новую функцию h(x) = f(x)/g(x). Для такой функции тоже можно найти производную:

Неслабо, да? Откуда взялся минус? Почему g 2 ? А вот так! Это одна из самых сложных формул - без бутылки не разберешься. Поэтому лучше изучать ее на конкретных примерах.

Задача. Найти производные функций: f(x) = x 3 · cos x; g(x) = (x 2 + 7x − 7) · e x .

Решение . Функция f(x) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:

f ’(x) = (x 3 · cos x)’ = (x 3)’ · cos x + x 3 · (cos x)’ = 3x 2 · cos x + x 3 · (− sin x) = x 2 · (3cos x − x · sin x)

У функции g(x) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g(x) представляет собой многочлен, и его производная - это производная суммы. Имеем:

g ’(x) = ((x 2 + 7x − 7) · e x)’ = (x 2 + 7x − 7)’ · e x + (x 2 + 7x − 7) · (e x)’ = (2x + 7) · e x + (x 2 + 7x − 7) · e x = e x · (2x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x + 9) · e x .

Ответ :
f ’(x) = x 2 · (3cos x − x · sin x);
g ’(x) = x(x + 9) · e x