Cтраница 2
Конечные последовательности базовых символов называются выражениями теории S.
Произвольная конечная последовательность символов алфавита (в том числе и пустая) называется цепочкой, Произвольное подмножество LA множества всех возможных цепа -, чек называется языком над А.
В рассматриваемой СПД реализован режим коммутации пакетов, представляющей собой такой способ передачи, при котором данные из сообщений пользователей разбиваются на отдельные пакеты, маршруты передачи которых в сети от источника к получателю определяются в каждом УК, куда пакеты поступают. Под сообщениями понимается конечная последовательность символов, имеющая смысловое содержание. Пакет - это блок данных с заголовком, представленный в установленном формате и имеющий ограниченную максимальную длину. Отметим, что СПД с коммутацией пакетов обладают высокой эффективностью благодаря возможности быстрой перестройки путей передачи данных (маршрутизации) при возникновении перегрузок и повреждении элементов СПД. Эффективность различных вариантов построения СПД и ее фрагментов оценивается средними временами доставки данных пользователям и вероятностями отказа в установлении требуемого пользователю соединения в данный момент времени.
Разумеется, не всякая конечная последовательность символов является высказыванием; например, (S0 Л (55)) - высказывание, а л л) S3 и S0 л - нет.
F - множество всех конечных последовательностей символов, которые являются образующими или их обратными. Все слова из F делятся на классы следующим образом: если Wi и W2 - эквивалентные слова из F, то Wi и W2 принадлежат одному классу; если Wi и W2 - не эквивалентные слова из F, то Wi и W2 не лежат в одном классе. Иначе говоря, слова Wi и W2 лежат в одном классе тогда н только тогда, когда они эквивалентны. Общая проблема, состоящая в том, чтобы решить в случае произвольной группы, будут ли два слова эквивалентны, крайне трудна.
Метаматематика - это теория, изучающая формализованные математические теории. Формализованная теория-это, грубо говоря, множество некоторых конечных последовательностей символов, называемых формулами и термами, и множество некоторых простых операций, производимых над этими последовательностями. Формулы и термы, получаемые с помощью pie - скольких простых правил, служат заменой для предложений и функций интуитивной математической теории. Операции над формулами соответствуют элементарным шагам дедукции в математических рассуждениях. Формулы, соответствующие аксиомам интуитивной теории, играют особую роль - они являются аксиомами формализованной теории. Формулы, которые могут быть выведены из аксиом посредством принятых операций, соответствуют теоремам теории.
Метаматематика - это теория, изучающая формализованные математические теории. Формализованная теория-это, грубо говоря, множество некоторых конечных последовательностей символов, называемых формулами и термами, и множество некоторых простых операций, производимых над этими последовательностями. Формулы и термы, получаемые с помощью нескольких простых правил, служат заменой для предложений и функций интуитивной математической теории. Операции над формулами соответствуют элементарным шагам дедукции в математических рассуждениях. Формулы, соответствующие аксиомам интуитивной теории, играют особую роль - они являются аксиомами формализованной теории.
Во-вторых, можно отказаться от требования счетно-сти сигнатуры и сказать так: для всякого подмножества А С М найдется элементарная подструктура М С М, содержащая А, мощность которой не превосходит максимума из NQ, мощности множества А и мощности сигнатуры. В самом деле, и конструкция замыкания относительно сигнатурных операций, и конструкция экзистенциального замыкания, и счетное объединение возрастающей цепи не выводят мощность за пределы указанного максимума, поскольку и формулы, и термы являются конечными последовательностями символов сигнатуры и счетного числа других символов (см. подробнее в ); то же самое можно сказать о числе возможных наборов значений параметров.
В рассматриваемой ИВС реализован режим коммутации пакетов, подставляющий такой способ передачи, при котором данные из сообщений пользователей разбиваются на отдельные пакеты. Маршруты передачи пакетов в сети от источника к получателю определяются в каждом УК, куда они поступают. Под сообщениями понимается конечная последовательность символов, имеющая смысловое содержание. Пакет - это блок данных с заголовком, представленный в установленном формате и имеющий ограниченную максимальную длину. Отметим, что ИВС с коммутацией пакетов обладают высокой эффективностью благодаря возможности быстрой перестройки путей передачи данных (маршрутизации) при возникновении перегрузок и повреждении элементов ИВС. Эффективность различных вариантов построения ИВС и ее фрагментов оценивается средними временами доставки данных пользователям и вероятностями отказа в установлении в данный момент времени требуемого пользователю соединения.
При рассмотрении (конечного или бесконечного) счетного множества числа, соответствующие его элементам в некотором фиксированном пересчете, можно употреблять в качестве индивидуальных обозначений или названий этих элементов. Но и обратно, если название или явное выражение в некоторой заранее данной недвусмысленной системе обозначений может быть индивидуальным образом сопоставлено каждому элементу некоторого множества, то это множество (конечное или бесконечное) счетно при том условии, что название или выражение должно быть конечной последовательностью символов, выбранных из данного конечного алфавита доступных нам символов. Например, алгебраические уравнения с целыми коэффициентами могут быть записаны с помощью десятичных обозначений для коэффициентов и показателей. Запись показателей вверху является несущественной особенностью наших обозначений, которую можно устранить с помощью подходящего соглашения.
Рассмотрим, например, задачу об умножении двух многочленов с целыми коэффициентами. Проблема в том, как записать эти многочлены, чтобы их можно было ввести в компьютер. Машины Тьюринга, которые мы рассматриваем ниже, понимают лишь конечные последовательности символов (слова) из некоторого конечного множества А, называемого внешним алфавитом. Поэтому строгая формулировка вычислительной задачи должна включать в себя алфавит и способ кодировки входных данных.
С каждым алфавитным оператором связывается интуитивное представление о его сложности. Наиболее простыми являются алфавитные операторы, осуществляющие посимвольные отображения. Посимвольное отображение состоит в том, что каждый символ s входного слова а заменяется некоторым символом выходного алфавита В. Большое значение имеют так называемые кодирующие отображения. Под кодирующим отображением понимается соответствие, сопоставляющее каждому символу входного алфавита некоторую конечную последовательность символов в выходном алфавите, называемую кодом.
Они образуют несчетное множество. Вычислимые функции образуют очень важное подмножество, к изучению которого мы приступаем. Действительно, при использованииу любого алгоритмического языка всякая программа состоит из конечной последовательности символов конечного или счетного алфавита. Отсюда следует, что множество программ счетно-бесконечное.
Рассмотрим несколько отличную форму проблем индуктивного вывода. Предположим, что нам дана достаточно длинная последовательность символов и что задача состоит в предсказании последующих символов этой последовательности. Это обычная задача для тех случаев, где требуется оценивать вероятности по индукции. Задача эта несколько освежена введением современного понятия универсальной вычислительной машины и составленного для нее языка программирования. Программа называется допустимой, если, получив ее, машина печатает последовательность, пусть даже бесконечную, которая начинается с заданной конечной последовательности символов. Таким образом, каждая допустимая программа осуществляет предсказание.
Красив сам по себе натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …. Он демонстрирует упорядочение по возрастанию в чистейшем виде. Принцип построения следующей цепочки чисел не так очевиден: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, хотя они тоже стоят не хаотично: каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предшествующих. Этому ряду натуральных чисел, имеющему своё историческое название – ряд Фибоначчи, присуща своя логика и красота, постижение которой возможно только при целенаправленном изучении.
ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ. Леонардо Фибоначчи (). Крупный итальянский математик, автор «Книги абака». Эта книга несколько веков оставалась основным хранилищем сведений по арифметике и алгебре. Именно по трудам Л. Фибоначчи вся Европа осваивала арабские цифры, систему счета, а также практическую геометрию. Они оставались настольными учебниками, чуть ли не до эпохи Декарта (а это уже 17 век!).
Правило составления последовательности выражается словесным описанием. Примеры. 1) Последовательность простых двузначных чисел, меньших 50, есть конечная последовательность: 11, 13, 17, 19, 23, 43, 47; 2) Бесконечная последовательность приближений иррационального числа = =1, …: 2, 1,7, 1,73, 1,732, 1, 7321, … Словесный
Указывается правило позволяющее вычислить n -й член данной последовательности, если известны все её предыдущие члены. Пример. У 1 =1, у n = у n-1 n, если n2. Вычислим несколько первых членов этой последовательности: 1, 2, 6, 24, 120, …. Можно убедиться в том, что n- й член данной последовательности равен произведению первых n натуральных чисел: у n = n ! Рекуррентный
Задача 2 Найдите первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно: у 1 =2, у n =у n Ответ: 2, 7, 12, 17, 22. Тренировочный диктант Вариант 1 (2) 1.Является ли конечной или бесконечной последовательность делителей числа 1200? (Кратных числа 8?) 2. Является ли конечной или бесконечной последовательность чисел, кратных 6? (Делителей числа 2400?) 3.Последовательность задана формулой a n =5n+2 (b n =n 2 -3). Чему равен её третий член? 4.Запишите последний член последовательности всех трёхзначных (двузначных) чисел. 5.Дана рекуррентная формула последовательности a n+1 =a n -4, а 1 =5 (b n+1 =b n /4, b 1 =8). Найдите a 2 (b 2).
Вариант Конечной. 2. Бесконечной Вариант Бесконечной. 2. Конечной
Последовательность - это набор элементов некоторого множества. Бесконечная последовательность - последовательность, которая задается функцией с областью определения N . В том случае, когда эта функция числовая, то бесконечной числовой последовательностью . Далее будем рассматривать числовые последовательности. Значение f (n ), которое соответствует натуральному числу n , называется n -м членом последовательности. Иногда вместо f (n ) используются обозначения a n , x n .
Примеры числовой последовательности:
f (n ) = 3n + 2, откуда f (1) = 5, f (2) = 8,..., f (100) = 302,... ;
f (n ) = 1 + (-1) n , откуда f (1) = 0, f (2) = 2,... или, в общем случае, f (2k - 1) = 0, f (2k ) = 2 (k ∈ N ).
Как функцию числовую последовательность можно задавать различными способами. Формула, которая задает числовую последовательность, называется формулой n -го (или общего) члена. С ее помощью можно получить значение любого элемента последовательности, подставив в формулу ее номер. Например: a n = 2 n .
Существует еще один способ задания числовой последовательности - рекуррентный. Он выражает любой член последовательности через предыдущие. Например: a n = 2(a n -1 + 3), a 1 = 2. Тогда a 2 = 10, a 3 = 26,...
Если последовательность имеет конечное количество членов, она называется конечной. Например, конечной является последовательность трехзначных чисел: 100, 101, ... , 999. Она состоит из 900 элементов.
Последовательность называется возрастающей , если для любого n ∈ N выполняется неравенство a n a n +1 .
Последовательность называется спадающей , если для любого n ∈ N выполняется неравенство a n > a n +1 .
Возрастающие и спадающие последовательности называются монотонными .
Например, последовательность заданная формулой a n = n /(n + 1), является монотонной, возрастающей, т.к. разница a n +1 - a n = (n + 1)/(n + 2) - n /(n + 1) = 1/(n + 1)(n + 2) > 0. То есть a n a n +1 . Последовательность с общим членом a n = 1 + (-1) n не является монотонной, т.к. a 1 a 2 , а a 2 > a 3 .
Последовательность называется ограниченной сверху M ∈ R , что a n ≤ M .
Последовательность называется ограниченной снизу , если существует такое число m ∈ R , что a n ≥ m .
Например, последовательность a n = n ограничена снизу, но не ограничена сверху. Последовательность a n = (-1) n n не ограничена ни сверху, ни снизу.
Последовательность называется ограниченной , если она одновременно ограничена и сверху, и снизу.
Число a называется границей последовательности (a n ), если для любого ε > 0 существует натуральное число N , такое, что для всех n > N выполняется неравенство |a n - a | limn →∞ a n = a или a n → a .
Последовательность, которая имеет границу, называется сходящейся . Последовательность, которая не имеет границу, называется расходящейся .
Если lim n →∞ a n = 0, то последовательность (a n ) называется бесконечно малой.
Свойства пределов числовой последовательности:
1. Если lim n →∞ a n = a и lim n →∞ b n = b , то lim n →∞ (a n + b n ) = a + b ;
2. Если lim n →∞ a n = a и lim n →∞ b n = b , то lim n →∞ (a n b n ) = a b ;
3. Если lim n →∞ a n = a и lim n →∞ b n = b ≠ 0, то lim n →∞ (a n /b n ) = a /b ;
4. lim n →∞ c a n = c lim n →∞ a n , где c ∈ R ;
5. Если lim n →∞ a n = lim n →∞ b n = a и a n ≤ c n ≤ b n , то lim n →∞ c n = a .
6. Если lim n →∞ a n = a , lim n →∞ b n = b и a n b n при n ∈ N , то a ≤ b .
Последовательность - одно из основных понятий математики. Последовательность может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д. Последовательность считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу ставится в соответствие элемент некоторого множества. Последовательность записывается в виде , или кратко . Элементы называются членами последовательности, - первым, - вторым, - общим (-м) членом последовательности.
Наиболее часто рассматривают числовые последовательности, т.е. последовательности, члены которых - числа. Аналитический способ - самый простой способ задания числовой последовательности. Это делают с помощью формулы, выражающей -й член последовательности через его номер . Например, если
Другой способ - рекуррентный (от латинского слова recurrens - «возвращающийся»), когда задают несколько первых членов последовательности и правило, позволяющее вычислять каждый следующий член через предыдущие. Например:
Примеры числовых последовательностей - арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия.
Интересно проследить поведение членов последовательности при неограниченном возрастании номера (то, что неограниченно возрастает, записывается в виде и читается: « стремится к бесконечности»).
Рассмотрим последовательность с общим членом : , , , …, , …. Все члены этой последовательности отличны от нуля, но чем больше , тем меньше отличается от нуля. Члены этой последовательности при неограниченном возрастании стремятся к нулю. Говорят, что число нуль есть предел этой последовательности.
Другой пример: - определяет последовательность
Члены этой последовательности также стремятся к нулю, но они то больше нуля, то меньше нуля - своего предела.
Рассмотрим
еще пример: 
.
Если представить в виде
то станет понятно, что эта последовательность стремится к единице.
Дадим определение предела последовательности. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа можно указать такой номер , что при всех выполняется неравенство .
Если есть предел последовательности , то пишут , или ( - три первые буквы латинского слова limes - «предел»).
Это определение станет понятнее, если ему придать геометрический смысл. Заключим число в интервал (рис. 1). Число есть предел последовательности , если независимо от малости интервала все члены последовательности с номерами, большими некоторого , будут лежать в этом интервале. Иными словами, вне любого интервала может находиться лишь конечное число членов последовательности.
Для рассмотренной последовательности в -окрестность точки нуль при попадают все члены последовательности, кроме первых десяти, а при - все члены последовательности, кроме первых ста.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела - расходящейся. Вот пример расходящейся последовательности: . Ее члены попеременно равны и и не стремятся ни к какому пределу.
Если последовательность сходится, то она ограничена, т.е. существуют такие числа и , что все члены последовательности удовлетворяют условию . Отсюда следует, что все неограниченные последовательности расходящиеся. Таковы последовательности:
«Пристальное, глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики». Ж. Фурье
Стремящаяся к нулю последовательность называется бесконечно малой. Понятие бесконечно малой может быть положено в основу общего определения предела последовательности, так как предел последовательности равен тогда, и только тогда, когда представимо в виде суммы , где - бесконечно малая.
Рассмотренные последовательности являются бесконечно малыми. Последовательность , как следует из (2), отличается от 1 на бесконечно малую , и потому предел этой последовательности равен 1.
Большое значение в математическом анализе имеет также понятие бесконечно большой последовательности. Последовательность называется бесконечно большой, если последовательность бесконечно малая. Бесконечно большую последовательность записывают в виде , или , и говорят, что она «стремится к бесконечности». Вот примеры бесконечно больших последовательностей:
Подчеркнем, что бесконечно большая последовательность не имеет предела.
Рассмотрим последовательности и . Можно определить последовательности с общими членами , , и (если ) . Справедлива следующая теорема, которую часто называют теоремой об арифметических действиях с пределами: если последовательности и сходящиеся, то сходятся также последовательности , , , и имеют место равенства:
В последнем случае необходимо потребовать, кроме того, чтобы все члены последовательности были отличны от нуля, еще и чтобы выполнялось условие .
Применяя эту теорему, можно находить многие пределы. Найдем, например, предел последовательности с общим членом и невозрастающие. Вполне очевидно, что эта последовательность стремится к некоторому числу, которое либо меньше , либо равно . В курсе математического анализа доказывается теорема, что неубывающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел (аналогичное утверждение справедливо для невозрастающей и ограниченной снизу последовательности). Эта замечательная теорема дает достаточные условия существования предела. Из нее, например, следует, что последовательность площадей правильных -угольников, вписанных в окружность единичного радиуса, имеет предел, так как является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Предел этой последовательности обозначается .
С помощью предела монотонной ограниченной последовательности определяется играющее большую роль в математическом анализе число - основание натуральных логарифмов:
.
Последовательность (1), как уже отмечалось, монотонная и, кроме того, ограничена сверху. Она имеет предел. Мы легко найдем этот предел. Если он равен , то число должно удовлетворять равенству . Решая это уравнение, получаем .
Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число x n , то говорят, что задана числовая последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
Число x 1 называют членом последовательности с номером 1 или первым членом последовательности , число x 2 - членом последовательности с номером 2 или вторым членом последовательности, и т.д. Число x n называют членом последовательности с номером n .
Существуют два способа задания числовых последовательностей – с помощью и с помощью рекуррентной формулы .
Задание последовательности с помощью формулы общего члена последовательности – это задание последовательности
x 1 , x 2 , … x n , …
с помощью формулы, выражающей зависимость члена x n от его номера n .
Пример 1 . Числовая последовательность
1, 4, 9, … n 2 , …
задана с помощью формулы общего члена
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …
Задание последовательности с помощью формулы, выражающей член последовательности x n через члены последовательности с предшествующими номерами, называют заданием последовательности с помощью рекуррентной формулы .
x 1 , x 2 , … x n , …
называют возрастающей последовательностью, больше предшествующего члена.
Другими словами, для всех n
x n + 1 > x n
Пример 3 . Последовательность натуральных чисел
1, 2, 3, … n , …
является возрастающей последовательностью .
Определение 2. Числовую последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
называют убывающей последовательностью, если каждый член этой последовательности меньше предшествующего члена.
Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
x n + 1 < x n
Пример 4 . Последовательность
заданная формулой
является убывающей последовательностью .
Пример 5 . Числовая последовательность
1, - 1, 1, - 1, …
заданная формулой
x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …
не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.
Определение 3. Возрастающие и убывающие числовые последовательности называют монотонными последовательностями .
Ограниченные и неограниченные последовательности
Определение 4. Числовую последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что каждый член этой последовательности меньше числа M .
Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
Определение 5. Числовую последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что каждый член этой последовательности больше числа m .
Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
Определение 6. Числовую последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.
Другими словами, существуют такие числа M и m, что для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
m < x n < M
Определение 7. Числовые последовательности, которые не являются ограниченными , называют неограниченными последовательностями .
Пример 6 . Числовая последовательность
1, 4, 9, … n 2 , …
заданная формулой
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,
ограничена снизу , например, числом 0. Однако эта последовательность неограничена сверху .
Пример 7 . Последовательность
заданная формулой
является ограниченной последовательностью , поскольку для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике .
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
| подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов |