Пусть Г- график функции y=f(x). Рассмотрим на Г т. А(x0,f(x0)) и т. В (x0+Δx,f(x0+Δx))
Пусть γ – угол наклона секущей относительно оси ОХ. Если существует предел lim γ=γ0 при Δх→0, то прямая, проходящая через А и образующая с осью ОХ угол γ0, называется касательной к Г в точке А.
Пусть С(f(x0+Δх), f(x0)) – точка, дополняющая отрезок АВ до прямоуг. треугольника АВС. Т.к. АС//ОХ, то tgγ =Δу/Δх. Переходя к пределу, получим: tgγ0=f′(x0)
Т.е. геометрический смысл производной состоит в том, что f′(x0) – это тангенс угла наклона касательной к графику y=f(x) в точке (x0,f(x0)).
Уравнение касательной.
Найдем ур-е касательной к графику Г ф-и y=f(x) в точке А(х0, f(x0)): т.к. т. А принадлежит Г и ур-ю касательной, то f(x0)=kx0+b, откуда b= f(x0)-kx0, значит, касательная задается след. Ур-м:
y= kx+ f(x0)-kx0= f(x0)+k(х-x0)
Т.к. k= f′(x0), то
y=f(x0)+ f′(x0)(х-х0).
Определение эластичности функции.
функции y = f(x) в точке х0 называется следующий предел
Eyx(x0) = lim ((Δy/y): (Δx/x)).
Эластичность Ey – это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин y и x.)
Теорема Ролля.
Если функция, непрерывна на отрезке [a ;b ] и дифференцируема на интервале (a ;b ), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.
Теорема Лагранжа.
Пусть функция f (x )
1. непрерывна на отрезке [a , b ];
2. дифференцируема в интервале (a , b ).
Тогда существует точка с О (a , b ) такая, что
Формула (1) называется формулой Лагранжа , или формулой конечных приращений
Теорема Коши.
Пусть даны две функции f(x) и g(x)такие, что:
1. f(x) и g(x)определены и непрерывны на отрезке ;
2. производные и конечны на интервале ;
3. производные и не обращаются в нуль одновременно на интервале
(Если убрать условие 4, то необоходимо усилить условие 3: g"(x) не должна обращаться в нуль нигде в интервале (a ,b ).)
Правило Лопиталя.
Теорема (правило Лопиталя ). Пусть А – число, символ одностороннего предела (А=а±0) или символ бесконечности (А=±∞). Пусть функции ƒ(х) и g(х) либо обе бесконечно малые, либо обе бесконечно большие при х→А. Тогда, если существует предел
(конечный или бесконечный),
то существует и предел
при этом выполняется равенство:
Производные и дифференциалы высших порядков.
Если для функции y=f(x) определена производная у(к-1) порядка (к-1), то производную у(к) порядка к (при условии ее существования) определяют как производную от производной порядка (к-1), т.е. у(к) = (у(к-1))′ . В частности, у’’=(y’)’- производная второго порядка, y’’’=(y’’)’ – третьего и т.д.
Дифференциалы высших порядков ф-и y=f(v) последовательно определяются таким образом:
d2y=d(dy) – диф-л 2-го порядка
dny=d(d n-1 y) - диф-л n-го порядка
Формула Тейлора. Формула Маклорена.
Теорема Тейлора.
Пусть функция f (x ) имеет в точке x = a и некоторой ее окрестности производные порядка n+ 1. Тогда между точками a и x a найдется такая точка , что справедлива следующая формула:
 |
Формула (10) называется формулой Тейлора, а выражение
представляет остаточный член в форме Лагранжа. Заметим, что если функция f (n+ 1) (x ) ограничена в окрестности точки a, тогда остаточный член является бесконечно малой при x a более высокого порядка, чем (x-a ) n . Таким образом, остаточный член можно записать в виде
R n+ 1 (x ) = o ((x-a ) n ) при x a.
Данная форма записи остаточного члена называется формой Пеано.
Формулой Маклорена называется формула Тейлора при a = 0:
Остаточный член в форме Пеано для формулы Маклорена имеет вид
R n+ 1 = o (x n ) при x 0.
Приведем разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена
Найдите, исходя из
определения, производную функции f(x) в точке x 0:
26. f(x) = x 3 , x 0 - произвольное число.
f ’ (x)= =
f ′(x о)= = = = =3
27. f(x)=sinx, x о -произвольное число
Производной функции f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.
f ’ (x)= =
f ′(x о)= = = 
=
cosx 0
28. f (x)= , x о =9
Производной функции f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.
f ’ (x)= =
f ’ (x)= = = =1/6
29. f(x)= , x о =1
Производной функции f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.
f ’ (x)= =
f ’ (x)= = = = =-2
30. f(x)=x ½x½, x 0 =0
Производной функции f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.
f ’ (x)= =
Производной функции f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.
f ’ (x)= =
Найдите эластичность функции f (x) в точке x0:
38. f(x) = x 4 , x 0 = 9.
Если указано правило, согласно которому с каждой точкой M плоскости (или какой-нибудь части плоскости) сопоставляется некоторое число u, то говорят, что на плоскости (или на части плоскости, «задана функция точки»; задание функции символически выражают равенством вида u - Число u, сопоставляемое с точкой M, называется значением данной функции в точке M. Например, если А - фиксированная точка плоскости, M - произвольная точка, то расстояние от А до M есть функция точки M. В данном случае f(M) = AM.
Пусть дана некоторая функция u = f(М) и вместе с тем введена система координат. Тогда произвольная точка M определяется координатами х, у. Соответственно этому и значение данной функции в точке M определяется координатами х, у, или, как еще говорят, u = f(M) есть функция двух переменных х и у. Функция двух переменных х, у обозначается символом f(x, у); если f(M) = f(x, y) то формула u = f(x, у) называется выражением данной функции в выбранной системе координат. Так, в предыдущем примере f(M)=AM; если ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точке А, то получим выражение этой функции:
u = √(x 2 + y 2)
146. Даны две точки Р и Q, расстояние между которыми равно а, и функция f(M) = d 2 1 - d 2 2 , где d 1 - МР и d 2 - MQ. Определить выражение этой функции, если в качестве начала координат принята точка Р, а ось Ох направлена по отрезку PQ .
147. При условиях задачи 146 определить выражение функции f(M) (непосредственно и при помощи преобра-зования координат, используя результат задачи 146), если:
1) начало координат выбрано в середине отрезка PQ , ось Ох направлена по отрезку PQ .
2) начало координат выбрано в точке Р, а ось Ох направлена по отрезку QP .
148. Даны: квадрат ABCD со стороной а и функция f(M) = d 2 1 - d 2 2 - d 2 3 + d 2 4 , где d 1 = MA, d 2 = MB, d 3 = MC и d 4 = MD. Определить выражение этой функции, если за оси координат приняты диагонали квадрата (причем ось Ох направлена по отрезку AC , ось Оу - по отрезку BD ).
149. При условиях задачи 148 определить выражение для f(M) (непосредственно и при помощи преобразования координат, используя результат задачи 148), если начало координат выбрано в точке А, а оси координат направлены по его сторонам (ось Ох - по отрезку AB , ось Оу - по отрезку AD ).
150. Дана функция f(х, у) = х 2 + у 2 - 6х + 8у. Определить выражение этой функции в новой координатной системе, если начало координат перенесено (без изменения направления осей) в точку O"(3; -4).
151. Дана функция f(x, у) = х 2 - у 2 - 16. Опреде-лить выражение этой функции в новой координатной системе, если оси координат повернуты на угол -45°.
152. Дана функция f(x, у) = x 2 + y 2 . Определить выражение этой функции в новой координатной системе, если оси координат повернуты на некоторый угол α.
153. Найти такую точку, чтобы при переносе в нее начала координат выражение функции f(x,y) = x 2 - 4у 2 - 6х + 8у + 3 после преобразования не содержало членов первой степени относительно новых переменных.
154. Найти такую точку, чтобы при переносе в нее начала координат выражение функции f(х, у) = х 2 - 4ху + 4у 2 + 2х + у - 7 не содержало членов первой степени относительно новых переменных.
155. На какой угол нужно повернуть оси координат, чтобы выражение функции f (x, у) = х 2 - 2ху + у 2 - 6х + З после преобразования не содержало члена с произведением новых переменных?
156. На какой угол нужно повернуть оси координат, чтобы выражение функции f{x, у) = Зх 2 + 2√3ху + у 2 после преобразования не содержало члена с произведением новых переменных?
2. Функции. Простейшие свойства функций 21
2.11. Докажите, что если f (x) периодическая функция
с периодом T , то функция f (ax) также периодическая с пери-
одом T /a.
Решение. Действительно, f = f (ax + T) = f (ax),
т.е. T /a один из периодов функции f (ax).
2.12. Найдите период функции f (x) = cos2 x.
1 + cos 2x
Решение. Можем записать: cos2 x = . Видим, что
2
период функции cos 2 x совпадает с периодом функции cos 2x.
Так как период функции cos x равен 2π, то согласно задаче 2.11
период функции cos 2x равен π.
2.13. Найдите период функций: а) f (x) = sin 2πx;
б) f (x) = | cos x|.
Ответ: а) T = 1; б) T = π.
Задачи для самостоятельного решения
2.14. Пусть f (x) = x2 и ϕ(x) = 2x . Найдите: а) f [ϕ(x)],
б) ϕ.
2.15. Найдите f (x + 1), если f (x − 1) = x2 .
1
2.16. Дана функция f (x) = .
1−x
Найдите ϕ(x) = f {f }.
2.17. Дана функция f (x) = 3x2 − 4x − 2. Докажите, что
функция f (2x + 1) может быть представлена в виде f (2x+1) =
= Ax2 + Bx + C. Найдите значения констант A, B, C.
2.18. Даны две линейные функции f1 (x) = 5x + 4 и
f2 (x) = 3x − 1. Докажите, что функция f (x) = f2 также
линейна, т. е. имеет вид f (x) = Ax + B. Найдите значения кон-
стант A и B.
3x + 7 5x + 4
2.19. Даны две функции f1 (x) = и f2 (x) = ,
5x + 6 2x − 8
называемые дробно-линейными. Докажите, что функция
f (x) = f1 также дробно-линейна, т. е. имеет вид
Ax + B
f (x) = . Укажите значения констант A, B, C, D.
Cx + D
22 Введение в математический анализ
2.20. Для некоторой функции f: X ⊂ R → Y ⊂ R извест-
но, что f (3x + 5) = 45x2 − 12x + 3. Докажите, что функция
f (x) может быть представлена в виде f (x) = Ax2 + Bx + C.
Найдите значения констант A, B, C.
2.21. Найдите область определения следующих функций:
√ 2+x
а) f (x) = x + 1; б) f (x) = lg ;
√ 2−x
в) f (x) = 2 + x − x2 ; г) f (x) = arcsin(log2 x);
1 + x2
д) f (x) = cos(sin x) + arcsin .
2x
2.22. Найдите область определения следующих функций:
√ 1
а) f (x) = x2 + 33x + 270; б) f (x) = 2 ;
x + 26x + 168
x+2
в) f (x) = lg[(1 + x)(12 − x)]; г) f (x) = arcsin ;
x−6
д) f (x) = (x + 9)(x + 8)(x − 14);
15
е) f (x) = arcsin ;
x − 11
−x
ж) f (x) = x2 + 13x + 42 + arcsin
.
13
2.23. Постройте область определения следующих функций:
а) f (x, y) = log2 (x + y);
√
б) f (x, y) = x2 − 4 + 4 − y 2 ;
x2 + y 2
в) f (x, y) = arcsin ;
4
√
г) f (x, y) = xy.
2.24. Найдите область определения следующих функций:
1 − lg x 3 − 2x
arcsin
а) f (x) = 1 ; б) f (x) = √ 5 .
√
x2 − 4x 3−x
2. Функции. Простейшие свойства функций 23
2.25. Найдите и постройте область определения следующих
функций:
4x − y 2
а) f (x, y) = ;
lg(1 − x2 − y 2)
x2 + 2x + y 2
б) f (x, y) = .
x2 − 2x + y 2
2.26. Докажите, что функции
2 2x + 2−x
а) f1 (x) = 2−x , f2 (x) = ,
2
f3 (x) = |x + 1| + |x − 1| чётные;
2x − 2−x 3x + 1
б) ϕ1 (x) = , ϕ2 (x) = x ,
2 3 −1
1+x
ϕ3 (x) = lg нечётные;
1−x
2
в) ψ1 (x) = sin x − cos x, ψ2 (x) = 2x−x ,
ψ3 (x) = x3 + x2 − 2 общего вида.
2.27. Даны функции:
1
а) y = sin2 x; б) y = sin x2 ; в) y = 1 + tg x; г) y = sin .
x
Какие из них являются периодическими?
2x
2.28. Докажите, что функция y = имеет обратную,
1 + 2x
и найдите её.
2.29. Докажите, что функция y = x2 − 2x имеет две обрат-
√ √
ных: y1 = 1 + x + 1 и y2 = 1 − x + 1.
2.30. Докажите, что следующие функции ограничены
снизу:
а) f1 (x) = x6 − 6x4 + 11x2 ; б) f2 (x) = x4 − 8x3 + 22x2 .
2.31. Докажите, что следующие функции ограничены
сверху:
1 5
а) f1 (x) = √ ; б) f1 (x) = √ .
4x2 − 16x + 36 5x 2 − 10x + 55
24 Введение в математический анализ
2.32. Найдите наименьшее и наибольшее значения следую-
щих функций:
а) f1 (x) = 3 sin x + 4 cos x; б) f2 (x) = 5 sin x + 12 cos x.
2.33. Охарактеризуйте вид графика следующих функций:
а) z = 1 − x2 − y 2 ; б) z = x2 + y 2 ;
в) z = x2 + y 2 ; г) z = x2 − y 2 .
2.34. Начертите линии уровня данных функций, придавая
z значения от −3 до +3 через 1: а) z = xy; б) z = y(x2 + 1).
2.35. Постройте график функции y = 2 −3(x + 1) − 0,5 с
√
помощью преобразования графика функции y = x.
2.36. Постройте график функции y = 3 sin(2x − 4) с помо-
щью преобразования графика функции y = sin x.
2.37. Применяя элементарное исследование функций (без
использования производной), постройте графики следующих
функций:
1 x
а) y = 2 ; б) y = 2 ;
x +1 x +1
1
в) y = x4 − 2x2 + 5; г) y = 2 ;
x + 4x + 5
2x − 5
д) y = ; е) y = x2 + 6x + 9 + 10.
x−3
2.38. Постройте графики следующих функций:
x, если − ∞ < x < 1;
1 1
а) f (x) = x + , если 1 ≤ x ≤ 3;
2
2
4, если 3 < x < +∞;
б) f (x) = |x − 1| + |x + 3|;
в) f (x) = |x2 − 2x + 1|;
г) f (x) = sin x + | sin x|, если 0 ≤ x ≤ 3π;
д) f (x) = arccos(cos x);
t+5 t+1
е) f (t) = ; ж) f (t) = .
t−7 t2 + 2t + 2
3. Предел функции 25
3. Предел функции
Рекомендуется по учебному пособию изучить подразде-
лы 1.4 и 1.5. Следует обратить особое внимание на подраздел
1.4 и знать все типы окрестностей, их обозначения и формы
записи в виде неравенств.
Утверждение lim f (x) = A означает: для любой окрестно-
x→x0
сти U (A) (в частности, сколь угодно малой) элемента A най-
˙
дётся проколотая окрестность V (x0) элемента x0 такая, что из
условия x ∈ V˙ (x0) ∩ X следует, f (x) ∈ U (A), где X область
определения функции f (x), а x0 предельная точка множе-
ства X.
Часто вместо произвольной окрестности U (A) рассматри-
вают симметричную окрестность Uε (A). При этом окрестность
˙
V (x0) может получиться как симметричной, так и несиммет-
ричной, но из всякой несимметричной окрестности можно вы-
˙ ˙
делить симметричную Vδ (x0). Поскольку окрестность V (x0)
проколотая, т.е. не содержит точку x0 , то x = x0 , и в точке
x0 функция f (x) может быть не определена.
Чтобы доказать, что lim f (x) = A, достаточно найти
x→x0
множество {x} тех значений x, для которых справедливо
включение f (x) ⊂ U (A) для любой окрестности U (A). Если
найденное множество {x} является окрестностью x0 , то утвер-
ждение lim f (x) = A справедливо, в противном случае оно
x→x0
неверно. В частности, если функция f (x) в точке x0 опреде-
лена и lim f (x) = f (x0), то множество {x} будет содержать и
x→x0
точку x0 .
Приведённое определение предела применимо для любого
класса функций. В этом разделе мы будем в основном зани-
маться числовыми функциями одного числового аргумента.
3.1. Исходя из определения предела, доказать:
1 1
а) lim x = x0 ; б) lim = ;
x→x0 x→2 x 2
1 1 1
в) lim = lim = lim = 0;
x→+∞ x x→−∞ x x→∞ x
26 Введение в математический анализ
1 1
г) lim = +∞; д) lim = −∞;
x→0+0 x x→0−0 x
1
е) lim = 2; ж) lim x2 = 4.
x→1 x x→2
Решение: а) утверждение lim x = x0 непосредственно
x→x0
следует из определения предела. Если окрестность Uε (x0)
˙
(|x − x0 | < ε) дана, то в качестве окрестности Vδ (x0) можно
принять |x − x0 | < δ = ε, т.е. положить δ = ε;
1 1
б) докажем, что lim = . По определению предела
x→2 x 2
мы должны доказать, что для любой заданной окрестности
1 ˙
Uε , ε > 0 существует окрестность V (2) такая, что если
2
˙ 1 1 1 1
x ∈ V (2), то − < ε, т.е. ∈ Uε , что равносильно сле-
x 2 x 2
дующим двум неравенствам:
1 1
−ε < − < +ε
или x 2
1 1 1
− ε < < + ε.
2 x 2
Так как при достаточ-
но малом ε все части
этого неравенства по-
ложительны, то
2 2
Пусть даны две функции полезности
U(x) и U* (х) = h + y U(x) с д > 0.
Лицо, принимающее решение, приходит на основе второй функции полезности при изучении двух альтернатив к результату А і h А2. Что изменится, если оно вместо этого будет ориентироваться на первую функцию полезности?
Как бы выглядел ваш ответ, если вторая функция полезности имела бы форму U*(x) = h - у и (і) с у > 0?
Как упорядочиваются альтернативы при U*(x) = h?
* *
"к
1. Две функции полезности приводят к принятию одинаковых решений тогда, когда их можно взаимно «перевести» друг в друга посредством положительного линейного преобразования (см. по этому поводу также с. 74). Если нам удастся показать, что U(x) является положительным линейным преобразованием функции U*(x), то тогда выбор функции полезности не окажет влияния на упорядочение альтернатив. Мы ищем два числа а и b при b > 0, так чтобы было верно
a + bU*(x) = U(x).
Если подставить вторую функцию полезности, то будет иметь место
а + Ь (h + gU{x)) = U(x).
На первом этапе мы определяем 6 таким образом, что фактор, на который умножается U(x), приобретает значение единицы. Очевидно, что мы должны обозначить b = 1 /д. Таким образом, получается
а + - + U (х) = U (.г). 9
После этого мы должны выбрать а так, чтобы в обеих частях уравнения осталось лишь U(x). Это получится при а = -h/g.
Теперь мы ищем преобразование формы
a + b{h-gU(x)) = U(x).
Чтобы получить желаемый результат, мы должны обозначить Ь = - - l/h. Это было бы отрицательным линейным преобразованием и изменило бы ранговый порядок с точностью до наоборот.
Лицо, принимающее решение и имеющее эту функцию полезности, оценивает все альтернативы с тем же значением. Поэтому оно должно прийти и при осуществлении выбора между альтернативами А\ и А.2 к результату А і ~
Еще по теме 2.1.5. Однозначность функции полезности:
- 1. Потребительские предпочтения и предельная полезность. Функция полезности.
- 2.3.2. Квадратичная функция полезности и ожидаемая полезность
- Полезность и рациональный потребитель. Общая и предельная полезность. Закон убывающей предельной полезности. Принцип максимизации полезности
- Количественная теория полезности. Понятия полезности, потребительского выбора, общей и предельной полезности.