Cos x 1 2 график. График функции y=ctg(x)

Основными тригонометрическими функциями являются функции y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). Рассмотрим каждую из них в отдельности.

Y = sin(x)

График функции y=sin(x).

Основные свойства:

3. Функция нечетная.

Y = cos(x)

График функции y=cos(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось.

2. Функция ограниченная. Множество значений - отрезок [-1;1].

3. Функция четная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.

Y = tg(x)

График функции y=tg(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π/2 +π*k, где k - целое.

3. Функция нечетная.

Y = ctg(x)

График функции y=ctg(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π*k, где k - целое.

2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема:














Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тема урока: “Функция у=cosx”

Урок №1

Цели урока: Ознакомить учащихся со свойствами функции

Задачи урока.

Образовательная – формирование функциональных представлений на наглядном материале, формирование умений построения графиков функции у=cosx, формировать навыки свободного чтения графиков, умение отражать свойства функции на графике.

Ход урока

№ Этап урока Демонстрация слайдов Время
1 Организационный момент. Приветствие
2 Объявление темы и цели урока
3 Актуализация опорных знаний

Выполнение устных упражнений.

Фронтальный опрос
4 Изложение нового материала

Задача на построение графика у =cosx на отрезке

Обсуждение свойств функции у =cosx на отрезке

Задача на построение эскиза графика функции у = cosх

Обсуждение свойств функции у = cosx

Занесение свойств в таблицу
5

Решение задач по учебнику №708, №709

 Решение проходит в сопровождении cлайда №4
6 Задача на построение графика функции со сдвигом вдоль оси ординат и вдоль оси абсцисс.

Обсуждение свойств функции
7 Самостоятельная работа по учебнику

№710 (1;3), №711 (1;3), №711 (1;3)
Подведение итогов.

Итоги урока.

Выставление оценок.
9 Домашнее задание §40 №710(2;4), №711(2;4), №711(2;4). Построить графики функций у =cosx на и описать свойства этой функции.

Дополнительно №717 (1)

Цель урока: Ознакомить учащихся со свойствами функцииу=cosx, обучение построению графика функции у=cosx, чтению этого графика, использование свойств и графика функции при решении уравнений и неравенств.

2. Объявление темы и цели урока сопровождается слайдом №2

3. Актуализация опорных знаний

Выполнение устных упражнений.

  1. Повторить определение тригонометрических функций и знаки значений этих функций.
  2. Обратить внимание учащихся на то, что для любого действительного числа можно указать соответствующую точку на единичной окружности, а следовательно ее абсциссу и ординату, т.е. косинус и синус числа х: у = cosx и у = sinx, область определения которых – все действительные числа.

Затем учащиеся отвечают на вопросы:

  1. При каких значениях х функция у=cosx принимает значение, равное 0? 1? -1?
  2. Может ли функция у=cosx принимать значение больше 1, меньше -1?
  3. При каких значениях х функция у=cosx принимает наибольшее (наименьшее) значение?
  4. Каково множество значений функции у=cosx?

Ответы на эти и следующие вопросы сопровождаются иллюстрацией на единичной окружности.

Повторив знаки значений тригонометрических функций в каждой четверти координатной плоскости, учащимся предлагается показать несколько точек единичной окружности, соответствующих числам, косинус которых положительное (отрицательное) число. Затем ответить на вопросы:

1) Какой знак имеет значение функции у=cosx, если х=, х=,

0<х<, 0<х<, <х<, <х<2.5?

2) Укажите несколько значений х, при которых значения функции у = cosx положительны, отрицательны.

3) Можно ли назвать все значения числа , косинус которых положителен, отрицателен?

4) Можно ли назвать все значения аргумента х, при которых значения функции у = cosx положительны, отрицательны?

5) Четная или нечетная функция у= cosx.

6) Чему равен период этой функции?

4. Изложение нового материала.

Обобщение и конкретизация знаний полученных ранее: исследование области определения, множества значений, четности, периодичности позволяет построить график сначала на отрезке, затем на отрезке , а затем на всей числовой прямой. Объяснение сопровождается слайдом №3.

Затем учащиеся учатся изображать эскиз графика функции у= cosx по точкам (0;1), (;0),

(:-1), (;0), (;1) и обобщают свойства функции, записывая их в таблицу.

Проверяем с помощью слайда №4.

(На этом этапе выдаются опорные конспекты (приложение 1))

5. Закрепление первичных знаний.

С помощью эскиза графика функции у=cosx учащиеся отвечают на вопросы №708, с помощью таблицы свойств функции у=cosх отвечают на вопросы №709

6. Задача на построение графика функции со сдвигом вдоль оси ординат и вдоль оси абсцисс.

1. Слайд №5, 6

В ходе беседы обсуждаются свойства этих функций.

7. Самостоятельная работа по учебнику

№710(1;3), №711(1;3), №711(1;3), №710

Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном из них функция у = cosx возрастала, а на другом убывала:

Убывает; - возрастает

Убывает; - возрастает

Используя свойство возрастания или убывания функции у = cosx, сравнить числа:

На отрезке функция у = cosx убывает; , следовательно, .

На отрезке функция у = cosx возрастает;

<, следовательно, cos < cos

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку :

1) cosx = х = ±+2n, n Z

Ответ: ; ; .

2) cosx = - х = ±

8. Подведение итогов.

Выставление оценок.

На уроке научились строить график функции у = cosx, читать свойства этого графика, строить эскиз графика, решать задачи связанные с использованием графика и свойств функции у = cosx.

9. Домашнее задание.

§40 №710(2;4), №711(2;4), №711(2;4). Построить графики функций у =cosx на и описать свойства этой функции.

Дополнительно №717(1).

Тема: “Функция у=cosx”

Урок №2

Цели урока: Повторить правила построения графика функцииу=cosx, научиться применять приемы преобразования графика, чтению этого графика, использование свойств и графика функции при решении уравнений и неравенств.

Задачи урока.

Образовательная – формирование функциональных представлений на наглядном материале, формирование умений построения графиков функции у=cosx при различных преобразованиях, формировать навыки свободного чтения графиков, умение отражать свойства функции на графике.

Развивающая – формирование способности анализировать, обобщать полученные знания. Формирование логического мышления.

Воспитательная – активизировать интерес к получению новых знаний, воспитание графической культуры, формирование точности и аккуратности при выполнении чертежей.

Оснащене: мультимедийный проектор, экран, операционная система Microsoft Windows 98/Me/2000/XP, программа MS Office 2003: Power Point, Microsoft Word, Microsoft Excel.

Ход урока

№ Этап урока Демонстрация слайдов Время
1 Организационный момент. Приветствие 1
2 Объявление темы и цели урока 2
3 Проверка домашнего задания

№717(1), Слайд №7

 5
4 Изложение нового материала

Задача на построение графика путем сжатия и растяжения к оси ОХ

Обсуждение свойств функции у =k·cosx при k>1 и 0

Задача на построение графика путем сжатия и растяжения к ори ОУ

Обсуждение свойств функции у = cos(k·x) при k>1 и 0

Слайд №8, 9

 12
5 Закрепление первичных знаний. Решение задач по учебнику

№713(1;3), №715(1) №716(1)

 №717(2) учебник стр. 208. При решении №715(1), №716(1) использовать построенный график функции у = cos2x. Слайд №10 5
6 Задача на построение графика функции симметричного относительно оси абсцисс.

1. Организационный момент. Приветствие.

2. Объявление темы и цели урока сопровождается слайдом №2.

3. Проверка домашнего задания

4. Изложение нового материала

1. Задача на построение графика путем сжатия и растяжения к оси ОХ.

Обсуждение свойств функции у =k·cosx при k>1 и 0

Слайд № 8

2. Задача на построение графика путем сжатия и растяжения к оси ОУ.

Обсуждение свойств функции у = cos(kx) при k>1 и 0

Слайд № 9

5. Закрепление первичных знаний

Решение задач по учебнику №713(1;3), №715(1) №716(1)

Задание №715(1) №716(1) проверяем с помощью слайда №10

6. Задача на построение графика функции симметричного относительно оси абсцисс

Обсуждение свойств функции. Слайд №11 (использовать опорный конспект (приложение 1))

7. Самостоятельная работа

Решение тестовых задач. (Половина учащихся решает тесты в XL (приложение 2), за компьютерами,вторая половина на раздаточном материале (приложение 3). Затем учащиеся меняются местами.)

8. Итоги урока.

В результате изучения темы учащиеся научились строить график функции у = cosх, читать свойства функции, строить графики функции используя различные преобразования, читать свойства графиков с преобразованиями, решать простейшие задачи используя графики и свойства функции у = cosх.

Выставление оценок.

9. Домашнее задание.

§40 №717(3), №713(4), №715(4), №716(2). Дополнительно №719(2) (Проверка слайд №13)

В начале следующего урока можно предложить учащимся выполнить работу по построению графиков на готовых раздаточных материалах (

Урок и презентация на тему: "Функция y=cos(x). Определение и график функции"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"

Что будем изучать:
1. Определение.
2. График функции.
3. Свойства функции Y=cos(X).
4. Примеры.

Определение функции косинуса у=cos(x)

Ребята, мы уже познакомились с функцией Y=sin(X).

Давайте вспомним одну из формул привидения : sin(X + π/2) = cos(X).

Благодаря этой формуле, мы можем утверждать, что функции sin(X + π/2) и cos(X) тождественны, и их графики функций совпадают.

График функции sin(X + π/2) получается из графика функции sin(X) параллельным переносом на π/2 единиц влево. Это и будет график функции Y=cos(X).

График функции Y=cos(X) так же называют синусоидой.

Свойства функции cos(x)

    Запишем свойства нашей функции:
  • Область определения – множество действительных чисел.
  • Функция четная. Давайте вспомним определение четной функции. Функция называется четной, если выполняется равенство y(-x)=y(x). Как мы помним из формул привидения: cos(-x)=-cos(x), определение выполнилось, тогда косинус – четная функция.
  • Функция Y=cos(X) убывает на отрезке и возрастает на отрезке [π; 2π]. В этом мы можем убедиться на графике нашей функции.
  • Функция Y=cos(X) ограничена снизу и сверху. Данное свойство следует из того, что
    -1 ≤ cos(X) ≤ 1
  • Наименьшее значение функции равно -1 (при х = π + 2πk). Наибольшее значение функции равно 1 (при х = 2πk).
  • Функция Y=cos(X) является непрерывной функцией. Посмотрим на график и убедимся, что у нашей функции нет разрывов, это и означает непрерывность.
  • Область значений отрезок [- 1; 1]. Это также хорошо видно из графика.
  • Функция Y=cos(X) - периодическая функция. Посмотрим опять на график и увидим, что функция принимает одни и те же значения через некоторые промежутки.

Примеры с функцией cos(x)

1. Решить уравнение cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

Решение: Построим 2 графика функции: y=cos(x) и y=(x - 2π) 2 + 1 (см. рисунок).


y=(x - 2π) 2 + 1 - это парабола, смещенная вправо на 2π и вверх на 1. Наши графики пересекаются в одной точке А(2π;1), это и есть ответ: x = 2π.

2. Построить график функции Y=cos(X) при х ≤ 0 и Y=sin(X) при x ≥ 0

Решение: Чтобы построить требуемый график, давайте построим два графика функции по "кусочкам". Первый кусочек: y=cos(x) при х ≤ 0. Второй кусочек: y=sin(x)
при x ≥ 0. Изобразим оба "кусочка" на одном графике.




3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции Y=cos(X) на отрезке [π; 7π/4]

Решение: Построим график функции и рассмотрим наш отрезок [π; 7π/4]. На графике видно, что наибольшие и наименьшие значения достигаются на концах отрезка: в точках π и 7π/4 соответственно.
Ответ: cos(π) = -1 – наименьшее значение, cos(7π/4) = наибольшее значение.




4. Построить график функции y=cos(π/3 - x) + 1

Решение: cos(-x)= cos(x), тогда искомый график получится путем переноса графика функции y=cos(x) на π/3 единиц вправо и 1 единицу вверх.



Задачи для самостоятельного решения

1)Решить уравнение: cos(x)= x – π/2.
2) Решить уравнение: cos(x)= - (x – π) 2 - 1.
3) Построить график функции y=cos(π/4 + x) - 2.
4) Построить график функции y=cos(-2π/3 + x) + 1.
5) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=cos(x) на отрезке .
6) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=cos(x) на отрезке [- π/6; 5π/4].

На этом уроке мы подробно рассмотрим функцию у = cos х, ее основные свойства и график.В начале урока дадим определение тригонометрической функции у = cost на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока решим несколько простейших задач с использованием графика функции и ее свойств.

Тема: Тригонометрические функции

Урок: Функция y=cost, её основные свойства и график

Функцией называется закон, по которому каждому значению независимого аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.

Вспомним определение функции Пусть t - любое действительное число. Ему соответствует единственная точка M на числовой окружности. У точки M есть единственная абсцисса. Она и называется косинусом числа t. Каждому значению аргумента t соответствует только одно значение функции (рис. 1).

Центральный угол численно равен величине дуги в радианах, т.е. числу Поэтому аргументом может быть и действительное число, и угол в радианах.

Если мы умеем для каждого значения определить то можем построить график функции

Можно получить график функции и другим способом. По формулам приведения поэтому график косинуса - это синусоида, сдвинутая по оси x на влево (рис.2).

Свойства функции

1) Область определения:

2) Область значений:

3) Функция четная:

4) Наименьший положительный период:

5) Координаты точек пересечения с осью абсцисс:

6) Координаты точки пересечения с осью ординат:

7) Промежутки, на которых функция принимает положительные значения:

8) Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения:

9) Промежутки возрастания:

10) Промежутки убывания:

11) Точки минимума:

12) Минимум функции: .

13) Точки максимума:

14) Максимум функции:

Мы рассмотрели основные свойства и график функции Далее они будут использоваться при решении задач.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

№№ 16.6, 16.7, 16.9.

Дополнительные веб-ресурсы

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().