Sử dụng máy tính trực tuyến, bạn có thể tìm thấy điểm uốn và khoảng lồi của đồ thị hàm số với việc thiết kế giải pháp trong Word. Hàm hai biến f(x1,x2) có lồi hay không được quyết định bằng ma trận Hessian.
Quy tắc nhập hàm:
Hướng lồi của đồ thị hàm số. Điểm uốn
Định nghĩa: Đường cong y=f(x) được gọi là lồi hướng xuống trong khoảng (a; b) nếu nó nằm phía trên tiếp tuyến tại bất kỳ điểm nào trong khoảng này.Định nghĩa: Đường cong y=f(x) được gọi là lồi lên trong khoảng (a; b) nếu nó nằm dưới tiếp tuyến tại bất kỳ điểm nào trong khoảng này. 
Định nghĩa: Các khoảng lồi lên hoặc lồi xuống của đồ thị hàm số gọi là khoảng lồi của đồ thị hàm số.
Độ lồi hướng xuống hoặc hướng lên của một đường cong là đồ thị của hàm số y=f(x) được đặc trưng bởi dấu của đạo hàm bậc hai: nếu trong một khoảng f''(x) > 0 thì đường cong đó là lồi đi xuống trong khoảng thời gian này; nếu f’’(x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.
Định nghĩa: Một điểm trên đồ thị của hàm số y=f(x) phân cách các khoảng lồi hướng ngược nhau của đồ thị này được gọi là điểm uốn. 
Điểm uốn chỉ có thể phục vụ điểm quan trọng Loại II, tức là các điểm thuộc miền định nghĩa của hàm y = f(x) tại đó đạo hàm bậc hai f’’(x) triệt tiêu hoặc gián đoạn.
Quy tắc tìm điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x)
- Tìm đạo hàm bậc hai f’’(x) .
- Tìm các điểm tới hạn thuộc loại thứ hai của hàm y=f(x), tức là điểm tại đó f''(x) biến mất hoặc trải qua một sự gián đoạn.
- Xét dấu của đạo hàm bậc hai f''(x) trong khoảng mà các điểm tới hạn tìm được chia miền định nghĩa của hàm f(x). Nếu điểm tới hạn x 0 ngăn cách các khoảng lồi của các hướng ngược nhau thì x 0 là hoành độ của điểm uốn của đồ thị hàm số.
- Tính các giá trị hàm tại các điểm uốn.
Ví dụ 1. Tìm các khoảng lồi và điểm uốn của đường cong sau: f(x) = 6x 2 –x 3.
Lời giải: Tìm f ‘(x) = 12x – 3x 2 , f ‘’(x) = 12 – 6x.
Hãy tìm các điểm tới hạn của đạo hàm bậc hai bằng cách giải phương trình 12-6x=0. x=2 . 
f(2) = 6*2 2 – 2 3 = 16
Trả lời: Hàm lồi hướng lên trên x∈(2; +∞) ; hàm số lồi hướng xuống tại x∈(-∞; 2) ; điểm uốn (2;16) .
Ví dụ 2. Hàm số có điểm uốn không: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1
Ví dụ 3. Tìm các khoảng trong đó đồ thị của hàm số lồi và cong: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4
Đồ thị của hàm số y=f(x) gọi điện lồi trên khoảng thời gian (a; b), nếu nó nằm bên dưới bất kỳ tiếp tuyến nào của nó trên khoảng này.
Đồ thị của hàm số y=f(x) gọi điện lõm trên khoảng thời gian (a; b), nếu nó nằm phía trên bất kỳ tiếp tuyến nào của nó trong khoảng này.
Hình vẽ cho thấy một đường cong lồi tại (a; b) và lõm trên (b;c).
Ví dụ.
Chúng ta hãy xem xét một tiêu chuẩn đủ để xác định liệu đồ thị của hàm số có nằm trong khoảng nhất định lồi hoặc lõm.
Định lý. Cho phép y=f(x) có thể phân biệt bằng (a; b). Nếu tại mọi điểm của khoảng (a; b)đạo hàm bậc hai của hàm y = f(x) tiêu cực, tức là f ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 – lõm.
Bằng chứng. Chúng ta hãy giả định chắc chắn rằng f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.
Hãy lấy các hàm trên đồ thị y = f(x) điểm tùy ý M0 với cơ hoành x 0 Î ( Một; b) và vẽ qua điểm M0đường tiếp tuyến. Phương trình của cô ấy. Ta phải chứng minh rằng đồ thị của hàm số trên (a; b) nằm bên dưới tiếp tuyến này, tức là ở cùng một giá trị x tọa độ của đường cong y = f(x) sẽ nhỏ hơn tọa độ của tiếp tuyến.
Vậy phương trình của đường cong là y = f(x). Chúng ta hãy biểu thị tọa độ của tiếp tuyến tương ứng với hoành độ x. Sau đó . Do đó, sự khác biệt giữa tọa độ của đường cong và tiếp tuyến đối với cùng một giá trị x sẽ .
Sự khác biệt f(x) – f(x 0) biến đổi theo định lý Lagrange, trong đó c giữa x Và x 0.
Như vậy,
Chúng ta lại áp dụng định lý Lagrange cho biểu thức trong ngoặc vuông: , trong đó c 1 giữa c 0 Và x 0. Theo điều kiện của định lý f ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.
Do đó, bất kỳ điểm nào trên đường cong đều nằm dưới tiếp tuyến của đường cong đối với mọi giá trị x Và x 0 Î ( Một; b), có nghĩa là đường cong lồi. Phần thứ hai của định lý được chứng minh theo cách tương tự.
Ví dụ.
điểm đồ thị hàm liên tục, tách phần lồi của nó khỏi phần lõm, được gọi là điểm uốn.
Rõ ràng, tại điểm uốn, tiếp tuyến, nếu tồn tại, sẽ cắt đường cong, bởi vì ở một phía của điểm này, đường cong nằm dưới tiếp tuyến và ở phía bên kia - phía trên nó.
Hãy xác định điều kiện đủ để điểm nhất địnhđường cong là điểm uốn.
Định lý. Hãy để đường cong được xác định bởi phương trình y = f(x). Nếu như f ""(x 0) = 0 hoặc f ""(x 0) không tồn tại ngay cả khi truyền qua giá trị x = x 0 phái sinh f ""(x) đổi dấu thì điểm trên đồ thị của hàm số với hoành độ x = x 0 có một điểm uốn.
Bằng chứng. Cho phép f ""(x) < 0 при x < x 0 Và f ""(x) > 0 tại x > x 0. Sau đó tại x < x 0đường cong lồi và khi x > x 0– lõm. Vì vậy, điểm MỘT, nằm trên đường cong, có cơ hoành x 0 có một điểm uốn. Trường hợp thứ hai có thể xét tương tự khi f ""(x) > 0 tại x < x 0 Và f ""(x) < 0 при x > x 0.
Vì vậy, các điểm uốn chỉ nên tìm trong số những điểm mà đạo hàm bậc hai triệt tiêu hoặc không tồn tại.
Ví dụ. Tìm các điểm uốn và xác định các khoảng lồi, lõm của các đường cong.
CÁC TƯƠNG TÍN CỦA ĐỒ HỌA HÀM
Khi nghiên cứu một hàm số, điều quan trọng là thiết lập hình dạng của đồ thị của nó ở khoảng cách không giới hạn từ điểm đồ thị đến gốc tọa độ.
Điều đặc biệt quan tâm là trường hợp khi đồ thị của một hàm số, khi điểm biến của nó bị loại bỏ đến vô cùng, tiến vô thời hạn đến một đường thẳng nhất định.
Đường thẳng được gọi là đường tiệm cậnđồ họa chức năng y = f(x), nếu khoảng cách từ điểm biến Mđồ họa vào dòng này khi xóa một điểm Mđến vô cùng có xu hướng bằng không, tức là một điểm trên đồ thị của một hàm số, vì nó có xu hướng tiến tới vô cùng, phải tiến tới tiệm cận vô hạn một cách vô hạn.
Một đường cong có thể tiến tới tiệm cận của nó trong khi vẫn ở một phía của nó hoặc ở phía trên các mặt khác nhau, tập vô hạn một lần đi qua đường tiệm cận và di chuyển từ bên này sang bên kia.
Nếu chúng ta biểu thị bằng d khoảng cách từ điểm Mđường cong tới tiệm cận thì rõ ràng d có xu hướng bằng 0 khi điểm di chuyển ra xa Mđến vô cùng.
Chúng ta sẽ phân biệt rõ hơn giữa các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.
tiệm cận dọc
Hãy để tại x→ x 0 từ bất kỳ chức năng bên nào y = f(x) tăng vô hạn về giá trị tuyệt đối, tức là hoặc hoặc 
. Khi đó từ định nghĩa đường tiệm cận suy ra rằng đường thẳng x = x 0 là một tiệm cận. Điều ngược lại cũng hiển nhiên nếu đường x = x 0 là một tiệm cận, tức là .
Như vậy, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x)được gọi là đường thẳng nếu f(x)→ ∞ theo ít nhất một trong các điều kiện x→ x 0– 0 hoặc x → x 0 + 0, x = x 0
Do đó, để tìm các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) cần tìm những giá trị đó x = x 0, tại đó hàm số tiến tới vô cùng (có sự gián đoạn vô hạn). Sau đó tiệm cận đứng có phương trình x = x 0.
Ví dụ.
TIỆN LỢI NGHỈ
Vì tiệm cận là một đường thẳng nên nếu đường cong y = f(x) có một tiệm cận xiên thì phương trình của nó sẽ là y = kx + b. Nhiệm vụ của chúng ta là tìm các hệ số k Và b.
Định lý. Thẳng y = kx + bđóng vai trò là một tiệm cận xiên tại x→ +∞ cho đồ thị của hàm số y
= f(x) khi đó và chỉ khi nào 
. Một tuyên bố tương tự là đúng cho x → –∞.
Bằng chứng. Cho phép nghị sĩ- chiều dài của đoạn, bằng khoảng cách từ điểm Mđến tiệm cận. Theo điều kiện. Chúng ta hãy biểu thị bằng φ góc nghiêng của đường tiệm cận với trục Con bò đực. Sau đó từ ∆MNP nó theo sau đó. Vì φ là một góc không đổi (φ ≠ π/2), nên , nhưng
Khi nghiên cứu một hàm số và xây dựng đồ thị của nó, ở một giai đoạn chúng ta xác định các điểm uốn và các khoảng lồi. Những dữ liệu này, cùng với các khoảng tăng và giảm, giúp có thể biểu diễn dưới dạng sơ đồ đồ thị của hàm đang nghiên cứu.
Phần trình bày tiếp theo giả định rằng bạn có thể thực hiện tối đa một số đơn đặt hàng và các loại khác nhau.
Hãy bắt đầu nghiên cứu tài liệu với định nghĩa cần thiết và các khái niệm. Tiếp theo, chúng ta sẽ nói về mối liên hệ giữa giá trị đạo hàm bậc hai của một hàm trên một khoảng nhất định và hướng lồi của nó. Sau này, chúng ta sẽ chuyển sang các điều kiện cho phép chúng ta xác định các điểm uốn của đồ thị hàm số. Theo văn bản chúng tôi sẽ cung cấp ví dụ điển hình với các giải pháp chi tiết.
Điều hướng trang.
Tính lồi, tính lõm của hàm số, điểm uốn.
Sự định nghĩa.
lồi xuống trên khoảng X nếu đồ thị của nó nằm không thấp hơn tiếp tuyến với nó tại bất kỳ điểm nào của khoảng X.
Sự định nghĩa.
Hàm cần lấy vi phân được gọi là lồi lên trên khoảng X nếu đồ thị của nó nằm không cao hơn tiếp tuyến của nó tại bất kỳ điểm nào trong khoảng X.
Hàm lồi hướng lên thường được gọi là lồi, và lồi xuống – lõm.
Nhìn vào hình vẽ minh họa các định nghĩa này.
Sự định nghĩa.
Điểm đó được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số y=f(x) nếu tại một điểm cho trước có một tiếp tuyến với đồ thị của hàm số (nó có thể song song với trục Oy) và có một lân cận của điểm nằm bên trái và bên phải của điểm M đồ thị của hàm số có các hướng lồi khác nhau.
Nói cách khác, điểm M được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số nếu có một tiếp tuyến tại điểm này và đồ thị của hàm thay đổi hướng của lồi, đi qua nó.
Nếu cần, hãy tham khảo phần để nhớ lại các điều kiện tồn tại của tiếp tuyến không thẳng đứng và tiếp tuyến thẳng đứng.
Hình dưới đây cho thấy một số ví dụ về điểm uốn (được đánh dấu bằng các chấm màu đỏ). Lưu ý rằng một số hàm có thể không có điểm uốn, trong khi những hàm khác có thể có một, một số hoặc vô số điểm uốn.
Tìm khoảng lồi của hàm số.
Chúng ta hãy xây dựng một định lý cho phép chúng ta xác định các khoảng lồi của một hàm số.
Định lý.
Nếu hàm y=f(x) có đạo hàm bậc hai hữu hạn trên khoảng X và nếu bất đẳng thức đúng 
(), thì đồ thị của hàm số có độ lồi hướng xuống (hướng lên) bởi X.
Định lý này cho phép bạn tìm các khoảng lõm và lồi của một hàm; bạn chỉ cần giải các bất đẳng thức và tương ứng trên miền định nghĩa của hàm ban đầu.
Cần lưu ý rằng các điểm tại đó hàm y=f(x) được xác định và đạo hàm bậc hai không tồn tại sẽ được đưa vào các khoảng lõm và lồi.
Hãy hiểu điều này bằng một ví dụ.
Ví dụ.
Tìm các khoảng mà đồ thị hàm số 
có độ lồi hướng lên trên và độ lồi hướng xuống dưới.
Giải pháp.
Miền xác định của hàm là toàn bộ tập hợp số thực.
Hãy tìm đạo hàm thứ hai. 
Miền định nghĩa của đạo hàm bậc hai trùng với miền định nghĩa của hàm số ban đầu, do đó, để tìm ra các khoảng lồi, lõm chỉ cần giải và theo đó là đủ. 
Do đó, hàm lồi xuống trên khoảng và lồi lên trên khoảng .
Minh họa đồ họa.
Phần của đồ thị hàm số trong khoảng lồi được hiển thị bằng màu xanh lam và trong khoảng lõm – có màu đỏ.
Bây giờ hãy xem xét một ví dụ khi miền định nghĩa của đạo hàm bậc hai không trùng với miền định nghĩa của hàm số. Trong trường hợp này, như chúng ta đã lưu ý, các điểm trong miền định nghĩa tại đó không tồn tại đạo hàm bậc hai hữu hạn nên được đưa vào các khoảng lồi và (hoặc) lõm.
Ví dụ.
Tìm các khoảng lồi và lõm của đồ thị hàm số.
Giải pháp.
Hãy bắt đầu với miền của hàm:
Hãy tìm đạo hàm thứ hai: 
Miền định nghĩa của đạo hàm bậc hai là tập hợp 
. Như bạn có thể thấy, x=0 thuộc miền của hàm số ban đầu, nhưng không thuộc miền của đạo hàm bậc hai. Đừng quên điểm này; nó sẽ cần phải được đưa vào khoảng lồi và (hoặc) lõm.
Bây giờ chúng ta giải các bất đẳng thức trên miền định nghĩa của hàm ban đầu. Hãy nộp đơn. Tử số của biểu thức 
tiến tới 0 tại 
hoặc 
, mẫu số – tại x = 0 hoặc x = 1. Chúng tôi vẽ sơ đồ các điểm này trên trục số và tìm ra dấu của biểu thức trên mỗi khoảng có trong miền định nghĩa của hàm ban đầu (nó được hiển thị dưới dạng vùng bóng mờ trên trục số phía dưới). Đối với giá trị dương, chúng ta đặt dấu cộng, đối với giá trị âm, chúng ta đặt dấu trừ. 
Như vậy,
Và 
Do đó, bằng cách đưa điểm x=0 vào, chúng ta sẽ có câu trả lời.
Tại 
đồ thị của hàm số có độ lồi hướng xuống dưới, với 
- độ lồi hướng lên trên.
Minh họa đồ họa.
Phần đồ thị của hàm số trên khoảng lồi được mô tả bằng màu xanh lam, trên các khoảng lõm - màu đỏ, đường chấm màu đen là tiệm cận đứng.
Điều kiện cần và đủ để uốn.
Điều kiện cần để uốn.
Hãy xây dựng điều kiện cần thiết sự uốn congđồ họa chức năng.
Giả sử đồ thị của hàm y=f(x) uốn tại một điểm và có đạo hàm bậc hai liên tục thì đẳng thức giữ nguyên.
Từ điều kiện này, suy ra rằng trục hoành của các điểm uốn phải được tìm trong số những điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai của hàm số biến mất. NHƯNG, điều kiện này là không đủ, nghĩa là không phải tất cả các giá trị trong đó đạo hàm bậc hai bằng 0 đều là hoành độ của các điểm uốn.
Cũng cần lưu ý rằng định nghĩa về điểm uốn đòi hỏi sự tồn tại của một đường tiếp tuyến hoặc một đường thẳng đứng. Điều này có nghĩa là gì? Và điều này có nghĩa như sau: hoành độ của các điểm uốn có thể là mọi thứ từ miền định nghĩa của hàm mà theo đó 
Và 
. Đây thường là những điểm mà tại đó mẫu số của đạo hàm bậc nhất biến mất.
Điều kiện đủ thứ nhất để uốn.
Sau khi tất cả những gì có thể là điểm uốn đã được tìm thấy, bạn nên sử dụng điều kiện đủ thứ nhất để uốnđồ họa chức năng.
Giả sử hàm y=f(x) liên tục tại một điểm, có một tiếp tuyến (có thể thẳng đứng) tại nó, và để hàm này có đạo hàm bậc hai trong một lân cận nào đó của điểm. Sau đó, nếu trong vùng lân cận bên trái và bên phải của , đạo hàm bậc hai có dấu hiệu khác nhau, khi đó là điểm uốn của đồ thị hàm số.
Như bạn có thể thấy đầu tiên đủ điều kiện không yêu cầu sự tồn tại của đạo hàm bậc hai tại chính điểm đó mà yêu cầu sự tồn tại của nó trong lân cận của điểm.
Bây giờ hãy tóm tắt tất cả thông tin dưới dạng thuật toán.
Thuật toán tìm điểm uốn của hàm số.
Chúng tôi tìm thấy tất cả các điểm uốn có thể có của đồ thị hàm số (hoặc Và ) và tìm ra bằng cách đi qua đạo hàm bậc hai đổi dấu. Các giá trị như vậy sẽ là hoành độ của các điểm uốn và các điểm tương ứng sẽ là điểm uốn của đồ thị hàm số.
Hãy xem xét hai ví dụ về việc tìm điểm uốn để làm rõ.
Ví dụ.
Tìm các điểm uốn và các khoảng lồi, lõm của đồ thị hàm số 
.
Giải pháp.
Miền xác định của hàm số là toàn bộ tập hợp số thực.
Hãy tìm đạo hàm bậc nhất: 
Miền định nghĩa của đạo hàm bậc nhất cũng là toàn bộ tập số thực, do đó các đẳng thức Và không được đáp ứng cho bất kỳ .
Hãy tìm đạo hàm thứ hai:
Hãy cùng tìm hiểu xem giá trị nào của đối số x đạo hàm bậc hai bằng 0: 
Do đó, hoành độ của các điểm uốn có thể là x=-2 và x=3.
Bây giờ vẫn còn phải kiểm tra, sử dụng một dấu uốn vừa đủ, tại điểm nào trong số các điểm này đạo hàm bậc hai thay đổi dấu. Để làm điều này, hãy vẽ các điểm x=-2 và x=3 trên trục số và, như trong phương pháp khoảng tổng quát, chúng ta đặt dấu của đạo hàm bậc hai trên mỗi khoảng. Trong mỗi khoảng, hướng lồi của đồ thị hàm số được thể hiện dưới dạng sơ đồ bằng các cung. 
Đạo hàm bậc hai đổi dấu từ cộng sang trừ, đi qua điểm x=-2 từ trái sang phải và đổi dấu từ âm sang dương, đi qua x=3. Do đó, cả x=-2 và x=3 đều là hoành độ của các điểm uốn của đồ thị hàm số. Chúng tương ứng với các điểm đồ thị và .
Nhìn lại trục số và dấu của đạo hàm bậc hai trên các khoảng của nó, chúng ta có thể rút ra kết luận về các khoảng lồi và lõm. Đồ thị của hàm số lồi trên khoảng và lõm trên các khoảng và .
Minh họa đồ họa.
Phần của đồ thị hàm số trên khoảng lồi được hiển thị bằng màu xanh lam, trên khoảng lõm – có màu đỏ và các điểm uốn được hiển thị dưới dạng các chấm đen.
Ví dụ.
Tìm hoành độ của tất cả các điểm uốn của đồ thị hàm số 
.
Giải pháp.
Miền định nghĩa của hàm này là toàn bộ tập hợp số thực.
Hãy tìm đạo hàm. 
Đạo hàm cấp một, không giống như hàm số ban đầu, không được xác định tại x=3. Nhưng 
Và 
. Do đó, tại điểm có trục hoành x=3 có một tiếp tuyến thẳng đứng với đồ thị của hàm số ban đầu. Do đó, x=3 có thể là hoành độ của điểm uốn của đồ thị hàm số.
Chúng ta tìm đạo hàm bậc hai, phạm vi định nghĩa của nó và các điểm mà tại đó nó triệt tiêu: 
Chúng tôi thu được thêm hai trục hoành của các điểm uốn. Chúng tôi đánh dấu cả ba điểm trên trục số và xác định dấu của đạo hàm bậc hai trên mỗi khoảng kết quả. 
Đạo hàm bậc hai đổi dấu khi đi qua từng điểm nên đều là trục hoành của các điểm uốn.
Hướng dẫn
Điểm sự uốn cong chức năng phải thuộc miền định nghĩa của nó, miền này phải được tìm thấy trước tiên. Lịch trình chức năng là một đường có thể liên tục hoặc có điểm ngắt, tăng hoặc giảm đơn điệu, có mức tối thiểu hoặc tối đa điểm(tiệm cận), lồi hoặc lõm. Sự thay đổi rõ rệt ở hai trạng thái cuối cùng được gọi là điểm uốn.
Điều kiện cần để tồn tại sự uốn cong chức năng bao gồm sự bằng nhau của giây bằng 0. Do đó, bằng cách đạo hàm hàm hai lần và làm biểu thức thu được bằng 0, chúng ta có thể tìm được hoành độ của các điểm có thể sự uốn cong.
Điều kiện này suy ra từ định nghĩa tính chất lồi, lõm của đồ thị chức năng, tức là tiêu cực và giá trị dươngđạo hàm thứ hai. Tại điểm sự uốn cong thay đổi đột ngột những tính chất này, có nghĩa là đạo hàm vượt qua điểm 0. Tuy nhiên, bằng 0 vẫn chưa đủ để biểu thị sự uốn cong.
Có hai điều kiện đủ mà trục hoành tìm được ở bước trước thuộc điểm sự uốn cong: Qua điểm này có thể vẽ tiếp tuyến của chức năng. Đạo hàm bậc hai có dấu khác nhau ở bên phải và bên trái của đạo hàm dự kiến điểm sự uốn cong. Vì vậy, sự tồn tại của nó tại điểm đó là không cần thiết; chỉ cần xác định rằng tại đó nó đổi dấu là đủ. chức năng bằng 0, còn số thứ ba thì không.
Giải pháp: Tìm . TRONG trong trường hợp này không có hạn chế nào nên nó là toàn bộ không gian của các số thực. Tính đạo hàm bậc nhất: y’ = 3 ∛(x - 5) + (3 x + 3)/∛(x - 5)².
Xin lưu ý. Từ đó dẫn đến phạm vi định nghĩa của đạo hàm bị hạn chế. Điểm x = 5 bị chọc thủng nghĩa là một tiếp tuyến có thể đi qua nó, điều này phần nào ứng với dấu hiệu đầu tiên của sự đủ sự uốn cong.
Xác định biểu thức thu được của x → 5 – 0 và x → 5 + 0. Chúng bằng -∞ và +∞. Bạn đã chứng minh được một tiếp tuyến thẳng đứng đi qua điểm x=5. Điểm này có thể trở thành một điểm sự uốn cong, nhưng trước tiên hãy tính đạo hàm bậc hai: Y'' = 1/∛(x - 5)² + 3/∛(x - 5)² – 2/3 (3 x + 3)/∛(x - 5)^5 = (2 x – 22)/∛(x - 5)^5.
Bỏ qua mẫu số vì bạn đã tính đến điểm x = 5. Giải phương trình 2 x – 22 = 0. Nó có một nghiệm duy nhất x = 11. Bước cuối cùng là chứng minh rằng điểm x=5 và x=11 là điểm sự uốn cong. Phân tích hành vi của đạo hàm bậc hai trong vùng lân cận của chúng. Rõ ràng tại điểm x = 5 nó đổi dấu từ “+” thành “-”, và tại điểm x = 11 - ngược lại. Kết luận: cả hai điểm là điểm sự uốn cong. Điều kiện đủ đầu tiên được thỏa mãn.