vòng tròn số là một đường tròn đơn vị có các điểm tương ứng với một số thực nhất định.
Đường tròn đơn vị là đường tròn có bán kính 1.
Tổng quan về vòng tròn số.
1) Bán kính của nó được lấy làm đơn vị đo.
2) Đường kính ngang và dọc được chia vòng tròn số bốn phần tư (xem hình). Chúng lần lượt được gọi là quý một, quý hai, quý ba và quý bốn.
3) Đường kính ngang được ký hiệu là AC, với A là điểm ngoài cùng bên phải.
Đường kính thẳng đứng được ký hiệu là BD, với B là điểm cao nhất.
Tương ứng:
tứ giác thứ nhất là cung AB
quý 2 – cung BC
quý 3 – arc CD
quý 4 – cung DA
4) Điểm bắt đầu của vòng tròn số là điểm A.
Đếm dọc theo vòng tròn số có thể được thực hiện theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ.
Đếm từ điểm A ngược chiều kim đồng hồ gọi là hướng tích cực.
Đếm từ điểm A theo chiều kim đồng hồ được gọi là hướng tiêu cực.
Vòng tròn số đang bật mặt phẳng tọa độ.
Tâm bán kính của vòng tròn số tương ứng với gốc (số 0).
Đường kính ngang tương ứng với trục x, trục dọc y.
Điểm đầu A của đường tròn số nằm trên trục x và có tọa độ (1; 0).
Giá trịx Vày trong một phần tư của vòng tròn số:
Các đại lượng cơ bản của vòng tròn số:
Tên và vị trí các điểm chính trên vòng tròn số:
Cách nhớ tên vòng tròn số.
Có một số mẫu đơn giản sẽ giúp bạn dễ dàng nhớ tên cơ bản của vòng tròn số.
Trước khi bắt đầu, hãy để chúng tôi nhắc bạn: việc đếm được thực hiện theo hướng dương, nghĩa là từ điểm A (2π) ngược chiều kim đồng hồ.
1) Hãy bắt đầu với điểm cực trị trên các trục tọa độ.
Điểm bắt đầu là 2π (điểm ngoài cùng bên phải trên trục X, bằng 1).
Như bạn đã biết, 2π là chu vi của một hình tròn. Điều này có nghĩa là nửa đường tròn là 1π hoặc π. Trục X chia vòng tròn chính xác làm đôi. Theo đó, điểm ngoài cùng bên trái trên trục X bằng -1 được gọi là π.
Điểm cao nhất trên trục Tại, bằng 1, chia hình bán nguyệt trên làm đôi. Điều này có nghĩa là nếu hình bán nguyệt là π thì nửa hình bán nguyệt là π/2.
Đồng thời, π/2 cũng là một phần tư hình tròn. Hãy đếm ba phần tư như vậy từ phần thứ nhất đến phần thứ ba - và chúng ta sẽ đến điểm thấp nhất trên trục Tại, bằng -1. Nhưng nếu nó bao gồm ba phần tư thì tên của nó là 3π/2.
2) Bây giờ hãy chuyển sang các điểm còn lại. Xin lưu ý: tất cả các điểm đối diện đều có cùng tử số - và đây là những điểm đối diện so với trục Tại, cả hai đều liên quan đến tâm của các trục và liên quan đến trục X. Điều này sẽ giúp chúng ta biết được giá trị điểm của họ mà không cần nhồi nhét.
Bạn chỉ cần nhớ ý nghĩa các điểm của quý 1: π/6, π/4 và π/3. Và sau đó chúng ta sẽ “thấy” một số mẫu:
- So với trục y tại các điểm của quý 2, ngược lại với các điểm của quý 1, các số ở tử số nhỏ hơn độ lớn của mẫu số 1 đơn vị. Ví dụ: lấy điểm π/6. Điểm đối diện với nó so với trục Tại cũng có 6 ở mẫu số và 5 ở tử số (ít hơn 1). Tức là tên của điểm này là: 5π/6. Điểm đối diện với π/4 cũng có 4 ở mẫu số và 3 ở tử số (1 nhỏ hơn 4) - tức là điểm 3π/4.
Điểm đối diện với π/3 cũng có 3 ở mẫu số và nhỏ hơn 1 ở tử số: 2π/3.
- So với tâm các trục tọa độ mọi thứ lại ngược lại: các số trong tử số của các điểm đối diện (trong quý thứ ba) bằng 1 giá trị lớn hơn mẫu số. Hãy lấy lại điểm π/6. Điểm đối diện với nó so với tâm cũng có mẫu số là 6, và ở tử số, số lớn hơn 1 - tức là 7π/6.
Điểm đối diện với điểm π/4 cũng có mẫu số là 4, ở tử số số đó lớn hơn 1: 5π/4.
Điểm đối diện với điểm π/3 cũng có mẫu số là 3, ở tử số số đó lớn hơn 1: 4π/3.
- Tương đối với trục X(quý 4) sự việc còn phức tạp hơn. Ở đây, bạn cần thêm vào giá trị của mẫu số một số nhỏ hơn 1 - tổng này sẽ bằng phần số của tử số điểm đối diện. Hãy bắt đầu lại với π/6. Hãy thêm vào giá trị mẫu số bằng 6 một số nhỏ hơn số này 1 - tức là 5. Ta được: 6 + 5 = 11. Điều này có nghĩa là nó ngược với trục Xđiểm sẽ có 6 ở mẫu số và 11 ở tử số - tức là 11π/6.
Điểm π/4. Chúng ta thêm vào giá trị của mẫu số một số ít hơn 1: 4 + 3 = 7. Điều này có nghĩa là nó ngược với trục Xđiểm có 4 ở mẫu số và 7 ở tử số - tức là 7π/4.
Điểm π/3. Mẫu số là 3. Thêm vào 3 bằng một số nhỏ hơn- tức là 2. Chúng ta được 5. Điều này có nghĩa là điểm đối diện với nó có 5 trong tử số - và đây là điểm 5π/3.
3) Một mẫu khác cho các điểm giữa của các phần tư. Rõ ràng mẫu số của chúng là 4. Chúng ta hãy chú ý đến tử số. Tử số ở giữa quý 1 là 1π (nhưng thông lệ không viết là 1). Tử số của giữa quý 2 là 3π. Tử số của giữa quý 3 là 5π. Tử số của giữa quý IV là 7π. Hóa ra tử số của các phần tư giữa chứa bốn số lẻ đầu tiên theo thứ tự tăng dần:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Điều này cũng rất đơn giản. Vì trung điểm của tất cả các phần tư có mẫu số là 4 nên chúng ta đã biết chúng tên đầy đủ: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.
Đặc điểm của vòng tròn số So sánh với trục số.
Như bạn đã biết, trên trục số mỗi điểm tương ứng với số ít. Ví dụ: nếu điểm A trên một dòng bằng 3 thì nó không thể bằng bất kỳ số nào khác nữa.
Nó khác trên vòng tròn số vì nó là hình tròn. Ví dụ: để đi từ điểm A của đường tròn đến điểm M, bạn có thể thực hiện như thể trên một đường thẳng (chỉ đi qua một cung), hoặc bạn có thể đi vòng quanh toàn bộ đường tròn rồi đến điểm M. Phần kết luận:
Cho điểm M bằng một số t. Như chúng ta đã biết, chu vi của một hình tròn là 2π. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể viết một điểm trên đường tròn t theo hai cách: t hoặc t + 2π. Đây là những giá trị tương đương.
Nghĩa là, t = t + 2π. Sự khác biệt duy nhất là trong trường hợp đầu tiên, bạn đến điểm M ngay lập tức mà không cần thực hiện một vòng tròn, và trong trường hợp thứ hai, bạn đã thực hiện một vòng tròn nhưng cuối cùng lại ở cùng một điểm M. Bạn có thể thực hiện hai, ba hoặc hai trăm như vậy vòng tròn . Nếu chúng ta biểu thị số vòng tròn bằng chữ cái k, thì chúng ta nhận được một biểu thức mới:
t = t + 2π k.
Do đó công thức:
Phương trình vòng tròn số
(phương trình thứ hai nằm trong phần “Sine, cosin, tang, cotang”):
x 2 + y 2 = 1 |
Duy trì sự riêng tư của bạn là quan trọng đối với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng xem lại các biện pháp bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.
Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân
Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để nhận dạng hoặc liên hệ với một người cụ thể.
Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.
Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.
Chúng tôi thu thập những thông tin cá nhân nào:
- Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ của bạn e-mail vân vân.
Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:
- Được chúng tôi sưu tầm thông tin cá nhân cho phép chúng tôi liên lạc với bạn và thông báo cho bạn về ưu đãi độc đáo, chương trình khuyến mãi và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
- Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
- Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ như kiểm toán, phân tích dữ liệu và nghiên cứu khác nhauđể cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất liên quan đến dịch vụ của chúng tôi.
- Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.
Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba
Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.
Ngoại lệ:
- Trong trường hợp cần thiết, theo quy định của pháp luật, thủ tục tố tụng, V sự thử nghiệm và/hoặc dựa trên yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ cơ quan chính phủ trên lãnh thổ Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
- Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.
Bảo vệ thông tin cá nhân
Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.
Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty
Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ phân tích rất chi tiết định nghĩa của vòng tròn số, tìm ra tính chất chính của nó và sắp xếp các số 1,2,3, v.v. Về cách đánh dấu các số khác trên đường tròn (bao gồm số pi) sẽ được thảo luận ở phần sau.
vòng tròn số gọi là đường tròn bán kính đơn vị có các điểm tương ứng , sắp xếp theo tuân theo các quy tắc:
1) Gốc tọa độ ở điểm ngoài cùng bên phải của đường tròn;
2) Ngược chiều kim đồng hồ - hướng dương; theo chiều kim đồng hồ - âm;
3) Nếu chúng ta vẽ khoảng cách \(t\) trên đường tròn theo hướng dương thì chúng ta sẽ đến một điểm có giá trị \(t\);
4) Nếu chúng ta vẽ khoảng cách \(t\) trên đường tròn theo hướng âm thì chúng ta sẽ đến một điểm có giá trị \(–t\).
Tại sao gọi là hình tròn số?
Bởi vì nó có số trên đó. Theo cách này, đường tròn tương tự như trục số - trên đường tròn, giống như trên trục, có một điểm cụ thể cho mỗi số.
Tại sao biết vòng tròn số là gì?
Sử dụng vòng tròn số, các giá trị của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang được xác định. Vì vậy, để biết lượng giác và vượt qua kỳ thi quốc gia thống nhấtđể đạt trên 60 điểm, bạn phải hiểu vòng tròn số là gì và cách đặt dấu chấm trên đó.
Những từ "...của bán kính đơn vị..." có nghĩa là gì trong định nghĩa?
Điều này có nghĩa là bán kính của hình tròn này bằng \(1\). Và nếu chúng ta dựng một đường tròn như vậy với tâm là gốc tọa độ thì nó sẽ cắt các trục tại các điểm \(1\) và \(-1\).
Không nhất thiết phải vẽ nhỏ; bạn có thể thay đổi “kích thước” của các đường chia dọc theo trục, khi đó hình ảnh sẽ lớn hơn (xem bên dưới).
Tại sao bán kính chính xác là một? Điều này thuận tiện hơn, vì trong trường hợp này, khi tính chu vi bằng công thức \(l=2πR\), chúng ta nhận được:
Độ dài của vòng tròn số là \(2π\) hoặc xấp xỉ \(6,28\).
“…các điểm tương ứng với số thực” nghĩa là gì?
Như đã nói ở trên, trên vòng tròn số bất kỳ số thực chắc chắn sẽ có “vị trí” của nó - một điểm tương ứng với con số này.
Tại sao phải xác định gốc và hướng trên vòng tròn số?
Mục tiêu chính vòng tròn số - mỗi số xác định duy nhất điểm của nó. Nhưng làm thế nào bạn có thể xác định được vị trí đặt điểm nếu bạn không biết phải đếm từ đâu và di chuyển đến đâu?
Ở đây điều quan trọng là không nhầm lẫn gốc tọa độ và trên vòng tròn số - đây là hai hệ thống khác nhauđếm ngược! Và cũng đừng nhầm lẫn \(1\) trên trục \(x\) và \(0\) trên đường tròn - đây là những điểm trên các đối tượng khác nhau.
Những điểm nào tương ứng với các số \(1\), \(2\), v.v.?
Hãy nhớ rằng chúng ta đã giả định rằng vòng tròn số có bán kính \(1\)? Đây sẽ là phân đoạn đơn vị của chúng ta (bằng cách tương tự với trục số), mà chúng ta sẽ vẽ trên đường tròn.
Để đánh dấu một điểm trên vòng tròn số tương ứng với số 1, bạn cần đi từ 0 đến một khoảng bằng bán kính theo hướng dương.
Để đánh dấu một điểm trên đường tròn tương ứng với số \(2\), bạn cần di chuyển một khoảng cách bằng hai bán kính tính từ gốc tọa độ, sao cho \(3\) là khoảng cách bằng ba bán kính, v.v.
Khi nhìn vào bức ảnh này, có thể bạn sẽ có 2 câu hỏi:
1. Điều gì xảy ra khi vòng tròn “kết thúc” (tức là chúng ta thực hiện một vòng quay hoàn toàn)?
Trả lời: chúng ta hãy đi đến vòng thứ hai! Và khi phần thứ hai kết thúc, chúng ta sẽ chuyển sang phần thứ ba, v.v. Do đó, trên vòng tròn bạn có thể áp dụng số vô hạn những con số.
2. Họ sẽ ở đâu số âm?
Trả lời: ngay đó! Chúng cũng có thể được sắp xếp, đếm từ 0 số bán kính cần thiết, nhưng bây giờ theo hướng âm.
Thật không may, rất khó để biểu thị số nguyên trên vòng tròn số. Điều này là do độ dài của vòng tròn số sẽ không bằng một số nguyên: \(2π\). Và ngay lúc đó những nơi thuận tiện(tại các điểm giao nhau với các trục) cũng sẽ không có số nguyên mà là phân số
Bài học và thuyết trình về chủ đề: “Vòng tròn số trên mặt phẳng tọa độ”
Tài liệu bổ sung
Kính gửi người dùng, đừng quên để lại nhận xét, đánh giá, lời chúc của bạn! Tất cả các tài liệu đã được kiểm tra bằng chương trình chống vi-rút.
Sách hướng dẫn và mô phỏng trong cửa hàng trực tuyến Integral dành cho lớp 10 từ 1C
Bài toán đại số có tham số, lớp 9–11
Giải các bài toán về hình học. Nhiệm vụ xây dựng tương tác cho lớp 7-10
Những gì chúng ta sẽ nghiên cứu:
1. Định nghĩa.
2. Tọa độ quan trọng của vòng tròn số.
3. Làm thế nào để tìm tọa độ của vòng tròn số?
4. Bảng tọa độ chính của vòng tròn số.
5. Ví dụ về giải quyết vấn đề.
Định nghĩa vòng tròn số trên mặt phẳng tọa độ
Ta đặt đường tròn số trong mặt phẳng tọa độ sao cho tâm của đường tròn trùng với gốc tọa độ và bán kính của nó lấy làm đoạn đơn vị. Điểm bắt đầu của vòng tròn số A thẳng hàng với điểm (1;0).Mỗi điểm trên vòng tròn số có tọa độ x và y riêng trong mặt phẳng tọa độ và:
1) với $x > 0$, $y > 0$ - trong quý đầu tiên;
2) với $x 0$ - trong quý thứ hai;
3) với $x 4) với $x > 0$, $y
Với mọi điểm $M(x; y)$ trên vòng tròn số, các bất đẳng thức sau được thỏa mãn: $-1
Ghi nhớ phương trình đường tròn số: $x^2 + y^2 = 1$.
Điều quan trọng là chúng ta phải học cách tìm tọa độ các điểm trên vòng tròn số được trình bày trong hình. 
Hãy tìm tọa độ của điểm $\frac(π)(4)$
Điểm $M(\frac(π)(4))$ là giữa quý đầu tiên. Chúng ta thả đường vuông góc MR từ điểm M xuống đường thẳng OA và xét tam giác OMP. Vì cung AM bằng một nửa cung AB nên $∠MOP=45°$. Vậy tam giác OMP là tam giác cân tam giác vuông và $OP=MP$, tức là tại điểm M tọa độ và tọa độ bằng nhau: $x = y$.
Vì tọa độ của điểm $M(x;y)$ thỏa mãn phương trình đường tròn số nên để tìm được chúng bạn cần giải hệ phương trình:
$\begin (trường hợp) x^2 + y^2 = 1,\\ x = y. \end (trường hợp)$
Đã quyết định hệ thống này, chúng ta nhận được: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
Điều này có nghĩa là tọa độ của điểm M, tương ứng với số$\frac(π)(4)$, sẽ là $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))(2);\frac(\sqrt(2)) (2))$.
Tọa độ của các điểm được trình bày trong hình trước được tính theo cách tương tự.
Tọa độ các điểm trên vòng tròn số
Hãy xem xét các ví dụ
Ví dụ 1.Tìm tọa độ của một điểm trên vòng tròn số: $P(45\frac(π)(4))$.
Giải pháp:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
Điều này có nghĩa là số $45\frac(π)(4)$ tương ứng với cùng một điểm trên vòng tròn số với số $\frac(5π)(4)$. Nhìn vào giá trị của điểm $\frac(5π)(4)$ trong bảng, chúng ta nhận được: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.
Ví dụ 2.
Tìm tọa độ của một điểm trên vòng tròn số: $P(-\frac(37π)(3))$.
Giải pháp:
Bởi vì các số $t$ và $t+2π*k$, trong đó k là số nguyên, tương ứng với cùng một điểm trên vòng tròn số thì:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
Điều này có nghĩa là số $-\frac(37π)(3)$ tương ứng với cùng một điểm trên vòng tròn số với số $–\frac(π)(3)$ và số –$\frac(π) (3)$ tương ứng với cùng một điểm với $\frac(5π)(3)$. Nhìn vào giá trị của điểm $\frac(5π)(3)$ trong bảng, chúng ta nhận được:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.
Ví dụ 3.
Tìm các điểm trên vòng tròn số có tọa độ $y =\frac(1)(2)$ và viết ra $t$ chúng tương ứng với những số nào?
Giải pháp: 
Đường thẳng $y =\frac(1)(2)$ cắt đường tròn số tại các điểm M và P. Điểm M tương ứng với số $\frac(π)(6)$ (từ dữ liệu bảng). Điều này có nghĩa là bất kỳ số nào có dạng: $\frac(π)(6)+2π*k$. Điểm P tương ứng với số $\frac(5π)(6)$, và do đó tương ứng với bất kỳ số nào có dạng $\frac(5π)(6) +2 π*k$.
Chúng tôi đã nhận được, như người ta thường nói trong những trường hợp như vậy, hai chuỗi giá trị:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ và $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Trả lời: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ và $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.
Ví dụ 4.
Tìm các điểm trên vòng tròn số có hoành độ $x ≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ và viết ra những số $t$ mà chúng tương ứng.
Giải pháp:
Đường thẳng $x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ cắt đường tròn số tại các điểm M và P. Bất đẳng thức $x ≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ tương ứng đến các điểm của cung PM. Điểm M tương ứng với số $3\frac(π)(4)$ (từ dữ liệu bảng). Điều này có nghĩa là bất kỳ số nào có dạng $-\frac(3π)(4) +2π*k$. Điểm P tương ứng với số $-\frac(3π)(4)$, và do đó tương ứng với bất kỳ số nào có dạng $-\frac(3π)(4) +2π*k$.
Sau đó, chúng ta nhận được $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.
Trả lời: $-\frac(3π)(4) +2 π*k Φt≤\frac(3π)(4) +2πk$.
Vấn đề cần giải quyết độc lập
1) Tìm tọa độ của một điểm trên vòng tròn số: $P(\frac(61π)(6))$.2) Tìm tọa độ của một điểm trên vòng tròn số: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Tìm các điểm trên vòng tròn số có tọa độ $y = -\frac(1)(2)$ và viết ra những số $t$ mà chúng tương ứng.
4) Tìm các điểm trên vòng tròn số có tọa độ $y ≥ -\frac(1)(2)$ và viết ra những số $t$ mà chúng tương ứng.
5) Tìm các điểm trên vòng tròn số có hoành độ $x ≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ và viết ra những số $t$ mà chúng tương ứng.
Khá nhiều thời gian được dành cho vòng tròn số ở lớp 10. Điều này là do tầm quan trọng của việc này đối tượng toán học cho toàn bộ môn toán.
Giá trị lớn cho hấp thụ tốt tài liệu có sự lựa chọn phù hợp về đồ dùng dạy học. Những công cụ hiệu quả nhất như vậy bao gồm các video hướng dẫn. TRONG gần đây họ đạt đến đỉnh cao của sự nổi tiếng. Vì vậy, tác giả đã không bị tụt hậu so với thời đại và đã biên soạn một cuốn cẩm nang tuyệt vời để giúp đỡ các giáo viên dạy toán - một bài học video về chủ đề “Vòng tròn số trên mặt phẳng tọa độ”.
Bài học này kéo dài 15:22 phút. Thực tế là thời gian tối đa mà giáo viên có thể dành để giải thích độc lập tài liệu về chủ đề này. Vì phải mất rất nhiều thời gian để giải thích tài liệu mới nên cần phải chọn những nhiệm vụ và bài tập hiệu quả nhất để củng cố, đồng thời chọn một bài học khác để học sinh giải các nhiệm vụ về chủ đề này.
Bài học bắt đầu bằng hình ảnh vòng tròn số trong hệ tọa độ. Tác giả xây dựng vòng tròn này và giải thích hành động của mình. Sau đó tác giả đặt tên các giao điểm của đường tròn số với các trục tọa độ. Phần sau đây giải thích tọa độ của các điểm của vòng tròn trong các phần khác nhau.
Sau đó, tác giả nhắc chúng ta phương trình của đường tròn trông như thế nào. Và người nghe được giới thiệu hai mô hình mô tả một số điểm trên đường tròn. Nhờ đó, trên bước tiếp theo tác giả hướng dẫn cách tìm tọa độ các điểm trên đường tròn tương ứng với con số nhất địnhđánh dấu trên các mẫu. Điều này tạo ra một bảng giá trị cho các biến x và y trong phương trình đường tròn.
Tiếp theo, chúng tôi đề xuất xem xét một ví dụ trong đó cần xác định tọa độ của các điểm trên đường tròn. Trước khi bắt đầu giải ví dụ, một số nhận xét được đưa ra sẽ giúp giải quyết nó. Và sau đó một giải pháp hoàn chỉnh, có cấu trúc rõ ràng và minh họa sẽ xuất hiện trên màn hình. Ở đây cũng có các bảng giúp bạn hiểu bản chất của ví dụ dễ dàng hơn.
Sau đó, sáu ví dụ nữa sẽ được xem xét, ít tốn nhiều công sức hơn ví dụ đầu tiên nhưng không kém phần quan trọng và phản ánh ý chính bài học. Ở đây các giải pháp được trình bày trong đầy đủ, Với một câu chuyện chi tiết và với các yếu tố rõ ràng. Cụ thể, giải pháp chứa các hình vẽ minh họa tiến trình của giải pháp và ký hiệu toán học, hình thành nên năng lực toán học của học sinh.
Giáo viên có thể giới hạn bản thân trong các ví dụ được thảo luận trong bài học, nhưng điều này có thể không đủ để học tài liệu chất lượng cao. Vì vậy, việc lựa chọn nhiệm vụ để củng cố đơn giản là vô cùng quan trọng.
Bài học có thể hữu ích không chỉ đối với giáo viên, những người luôn có thời gian hạn chế mà còn đối với học sinh. Đặc biệt là những người nhận giáo dục gia đình hoặc đang tham gia vào việc tự học. Những học sinh đã bỏ lỡ bài học về chủ đề này có thể sử dụng tài liệu này.
GIẢI MÃ VĂN BẢN:
Chủ đề bài học của chúng ta là “Vòng tròn số trên mặt phẳng tọa độ”
Chúng ta đã quen thuộc với hệ tọa độ chữ nhật Descartes xOy (x o y). Trong hệ tọa độ này, chúng ta sẽ định vị đường tròn số sao cho tâm của đường tròn thẳng hàng với gốc tọa độ và bán kính của nó sẽ được lấy làm một đoạn tỷ lệ.
Điểm bắt đầu A của vòng tròn số được kết hợp với một điểm có tọa độ (1;0), B - với một điểm (0;1), C - với (-1;0) (trừ một, 0) và D - với (0; - 1)(không, trừ một).
(xem hình 1)
Vì mỗi điểm trên vòng tròn số có tọa độ riêng trong hệ xOy (x o y), nên đối với các điểm của quý thứ nhất yx lớn hơn 0 và y lớn hơn 0;
Thứ hai, ikx nhỏ hơn 0 và yk lớn hơn 0,
đối với điểm của quý thứ ba ikx nhỏ hơn 0 và yk nhỏ hơn 0,
và trong quý thứ tư ikx lớn hơn 0 và yk nhỏ hơn 0
Với điểm E(x;y) bất kỳ (có tọa độ x, y) của đường tròn số, có các bất đẳng thức -1 x 1, -1 y 1 (x lớn hơn hoặc bằng trừ một nhưng nhỏ hơn hoặc bằng một; y lớn hơn hoặc bằng trừ một nhưng nhỏ hơn hoặc bằng một).
Nhắc lại rằng phương trình đường tròn bán kính R có tâm tại gốc tọa độ có dạng x 2 + y 2 = R 2 (x bình phương cộng y bình phương bằng er bình phương). Và đối với vòng tròn đơn vị R =1, do đó ta có x 2 + y 2 = 1
(x bình phương cộng y bình phương bằng một).
Hãy tìm tọa độ các điểm trên vòng tròn số được thể hiện trên hai bố cục (xem Hình 2, 3)
Cho điểm E tương ứng với
(pi x 4) - giữa quý đầu tiên được hiển thị trong hình. Từ điểm E ta hạ đường vuông góc EK xuống đường thẳng OA và xét tam giác OEK. Góc AOE = 45 0 vì cung AE bằng nửa cung AB. Do đó tam giác OEK là tam giác vuông cân nên OK = EC. Điều này có nghĩa là hoành độ và tọa độ của điểm E bằng nhau, tức là x bằng trò chơi. Để tìm tọa độ điểm E, ta giải hệ phương trình: (x bằng y - phương trình thứ nhất của hệ và x bình phương cộng y bình phương bằng 1 - phương trình thứ hai của hệ phương trình). phương trình của hệ, thay x, ta thay y, ta được 2y 2 = 1 (hai y bình phương bằng một), từ đó y = = (y bằng một chia cho căn hai bằng căn bậc hai chia cho hai) (cung độ là dương). Điều này có nghĩa là điểm E trong hệ thống hình chữ nhật tọa độ có tọa độ (,)(gốc của hai chia cho hai, căn của hai chia cho hai).
Lập luận tương tự, ta tìm tọa độ các điểm tương ứng với các số khác của cách bố trí thứ nhất và nhận được: điểm tương ứng có tọa độ (- ,) (trừ căn hai chia cho hai, căn hai chia cho hai) ; for - (- ,-) (trừ căn hai chia cho hai, trừ căn hai chia cho hai); for (bảy pi trên bốn) (,)(căn hai chia cho hai, trừ căn hai chia cho hai).
Đặt điểm D tương ứng với (Hình 5). Chúng ta thả đường vuông góc từ DP(de pe) xuống OA và xét tam giác ODP. Cạnh huyền của tam giác OD này bằng bán kính của đường tròn đơn vị, nghĩa là một và góc DOP bằng ba mươi độ, vì cung AD = digi AB (a de bằng một phần ba a be) và cung AB bằng chín mươi độ. Do đó, DP = (de pe bằng một nửa O de bằng một nửa) Vì chân nằm đối diện với góc ba mươi độ bằng một nửa cạnh huyền, tức là y = (y bằng một nửa) . Áp dụng định lý Pythagore, chúng ta thu được OR 2 = OD 2 - DP 2 (o pe bình phương bằng o de bình phương trừ de pe bình phương), nhưng OR = x (o pe bằng x). Điều này có nghĩa là x 2 = OD 2 - DP 2 =
điều này có nghĩa là x 2 = (x bình phương bằng ba phần tư) và x = (x bằng căn bậc ba của ba nhân hai).
X dương vì là trong quý đầu tiên. Ta thấy điểm D trong hệ tọa độ chữ nhật có tọa độ (,) nghiệm của ba chia cho hai, một nửa.
Suy luận theo cách tương tự, chúng ta sẽ tìm tọa độ các điểm tương ứng với các số khác của bố cục thứ hai và ghi tất cả dữ liệu thu được vào các bảng:
Hãy xem xét các ví dụ.
VÍ DỤ 1. Tìm tọa độ các điểm trên vòng tròn số: a) C 1 ();
b) C 2 (); c) C 3 (41π); d) C 4 (- 26π). (tse một tương ứng với ba mươi lăm pi nhân bốn, tse hai tương ứng với âm bốn mươi chín pi nhân ba, tse ba tương ứng với bốn mươi mốt pi, tse bốn tương ứng với âm hai mươi sáu pi).
Giải pháp. Chúng ta hãy sử dụng phát biểu thu được trước đó: nếu điểm D của vòng tròn số tương ứng với số t, thì nó tương ứng với bất kỳ số nào có dạng t + 2πk(te cộng với hai đỉnh), trong đó ka là số nguyên bất kỳ, tức là. kϵZ (ka thuộc z).
a) Ta được = ∙ π = (8 +) ∙π = + 2π ∙ 4. (ba mươi lăm pi nhân bốn bằng ba mươi lăm nhân bốn, nhân với pi bằng tổng tám và ba phần tư, nhân với pi bằng ba pi nhân bốn cộng với tích của hai pi nhân bốn). Điều này có nghĩa là số ba mươi lăm pi nhân bốn tương ứng với cùng một điểm trên vòng tròn số với số ba pi nhân bốn. Sử dụng Bảng 1, ta được C 1 () = C 1 (- ;) .
b) Tương tự tọa độ C 2: = ∙ π = - (16 + ∙π = + 2π ∙ (- 8), tức là số
tương ứng với cùng một điểm trên vòng tròn số với số đó. Và số đó ứng với cùng một điểm trên vòng tròn số với số đó
(hiển thị bố cục thứ hai và bảng 2). Đối với một điểm chúng ta có x = , y =.
c) 41π = 40π + π = π + 2π ∙ 20. Điều này có nghĩa là số 41π ứng với cùng một điểm trên vòng tròn số với số π - đây là điểm có tọa độ (-1; 0).
d) - 26π = 0 + 2π ∙ (- 13), tức là số - 26π ứng với cùng một điểm trên vòng tròn số với số 0 - đây là điểm có tọa độ (1;0).
VÍ DỤ 2. Tìm điểm trên vòng tròn số có hoành độ y =
Giải pháp. Đường thẳng y = cắt đường tròn số tại hai điểm. Một dấu chấm tương ứng với một số, dấu chấm thứ hai tương ứng với một số,
Do đó, chúng ta nhận được tất cả các điểm bằng cách cộng một lượt đầy đủ 2πk trong đó k hiển thị có bao nhiêu cuộc cách mạng đầy đủđưa ra một quan điểm, tức là chúng tôi nhận được,
và với bất kỳ số nào, tất cả các số có dạng + 2πk. Thông thường trong những trường hợp như vậy, họ nói rằng họ nhận được hai chuỗi giá trị: + 2πk, + 2πk.
VÍ DỤ 3. Tìm các điểm trên vòng tròn số có hoành độ x = và viết ra những số t tương ứng với chúng.
Giải pháp. Thẳng X= cắt đường tròn số tại hai điểm. Một dấu chấm tương ứng với một số (xem bố cục thứ hai),
và do đó bất kỳ số nào có dạng + 2πk. Và điểm thứ hai tương ứng với một số, và do đó tương ứng với bất kỳ số nào có dạng + 2πk. Hai chuỗi giá trị này có thể được bao gồm trong một mục: ± + 2πk (cộng trừ hai pi nhân ba cộng hai pi).
VÍ DỤ 4. Tìm điểm có tọa độ trên vòng tròn số Tại> và viết ra những số tương ứng với chúng.
Đường thẳng y = cắt đường tròn số tại hai điểm M và P. Và bất đẳng thức y > ứng với các điểm của cung hở MR, tức là các cung không có đầu (tức là không có u), khi di chuyển quanh đường tròn ngược chiều kim đồng hồ , bắt đầu từ điểm M và kết thúc tại điểm P. Điều này có nghĩa là cốt lõi của ký hiệu giải tích của cung MR là bất đẳng thức< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
VÍ DỤ5. Tìm điểm tọa độ trên vòng tròn số Tại < и записать, каким числам t они соответствуют.
Đường thẳng y = cắt đường tròn số tại hai điểm M và P. Và bất đẳng thức y< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид
2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).
VÍ DỤ 6. Tìm điểm có hoành độ trên vòng tròn số X> và viết ra những số tương ứng với chúng.
Đường thẳng x = cắt đường tròn số tại hai điểm M và P. Bất đẳng thức x > tương ứng với các điểm thuộc cung mở PM khi di chuyển dọc đường tròn ngược chiều kim đồng hồ có điểm đầu tại điểm P tương ứng, và điểm cuối tại điểm cuối M, tương ứng. Điều này có nghĩa là cốt lõi của ký hiệu giải tích của cung PM là bất đẳng thức< t <
(te lớn hơn trừ hai pi nhân ba, nhưng nhỏ hơn hai pi nhân ba) và ký hiệu phân tích của chính cung có dạng + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
VÍ DỤ 7. Tìm điểm có hoành độ trên vòng tròn số X < и записать, каким числам t они соответствуют.
Đường thẳng x = cắt đường tròn số tại hai điểm M và P. Bất đẳng thức x< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <
(te lớn hơn hai pi nhân ba, nhưng nhỏ hơn bốn pi nhân ba) và ký hiệu phân tích của chính cung có dạng + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).