Số phức và
điều phối
máy bay

Mô hình hình học của tập R số thực là trục số. Mọi số thực đều tương ứng với một điểm

TRÊN
trục số và điểm bất kỳ trên trục số
chỉ có một trận đấu
số thật!

Bằng cách thêm một chiều nữa vào trục số tương ứng với tập hợp tất cả các số thực - dòng chứa tập hợp số thuần túy

Bằng cách cộng vào trục số tương ứng với tập hợp
của tất cả các số thực có thêm một chiều nữa -
một đường thẳng chứa tập hợp các số thuần ảo –
chúng ta thu được một mặt phẳng tọa độ trong đó mỗi
số phức a+bi có thể liên kết với nhau
điểm (a; b) mặt phẳng tọa độ.
i=0+1i tương ứng với điểm (0;1)
2+3i ứng với điểm (2;3)
-i-4 tương ứng với điểm (-4;-1)
5=5+1i tương ứng với nỗi buồn (5;0)

Ý nghĩa hình học của phép chia động từ

! Hoạt động giao phối là trục
sự đối xứng qua trục hoành.
!! Liên hợp với nhau
số phức cách đều nhau
nguồn gốc.
!!! Các vectơ mô tả
số liên hợp, nghiêng với trục
bụng dưới cùng một góc, Nhưng
nằm theo các mặt khác nhau từ
trục này.

Hình ảnh số thực

Hình ảnh số phức

đại số
đường
hình ảnh:
số phức
a+bi được mô tả
điểm mặt phẳng
có tọa độ
(a;b)

Ví dụ về biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ

(Chúng tôi quan tâm
số phức
z=x+yi , trong đó
x=-4. Đây là phương trình
trực tiếp,
trục song song
thứ tự)
Tại
X= - 4
Có hiệu lực
một phần là -4
0
X

Vẽ trên mặt phẳng tọa độ tập hợp các số phức thỏa mãn:

Phần ảo
thậm chí là
rõ ràng
tự nhiên
con số
(Chúng tôi quan tâm
số phức
z=x+yi, trong đó
y=2,4,6,8.
Hình ảnh hình học
bao gồm bốn
thẳng, song song
trục x)
Tại
8
6
4
2
0
X

số phức

tưởng tượng Và số phức. Abscissa và tọa độ

số phức. Liên hợp số phức.

Các phép toán với số phức. hình học

hiệu suất số phức. Mặt phẳng phức tạp.

Môđun và đối số của số phức. lượng giác

dạng số phức. Các thao tác phức tạp

số trong dạng lượng giác. Công thức Moivre.

Thông tin ban đầuÔ tưởng tượng Và số phức được đưa ra trong phần “Số ảo và số phức”. Sự cần thiết của những số kiểu mới này nảy sinh khi giải phương trình bậc hai cho trường hợpD< 0 (здесь D– phân biệt đối xử phương trình bậc hai). Trong một thời gian dài những con số này không được tìm thấy ứng dụng vật lý, đó là lý do tại sao chúng được gọi là số "ảo". Tuy nhiên, hiện nay chúng được sử dụng rất rộng rãi trong nhiều lĩnh vực vật lý khác nhau.

và công nghệ: kỹ thuật điện, thủy văn và khí động học, lý thuyết đàn hồi, v.v.

số phức được viết dưới dạng:a+bi. Đây Một Và b – số thực , MỘT Tôi – đơn vị tưởng tượng, tức làđ. Tôi 2 = –1. Con số Một gọi điện cơ bụng, Một b – tọa độsố phứca + bi.Hai số phứca+bi Và a–bi được gọi là liên hợp số phức.

Các thỏa thuận chính:

1. Số thựcMỘTcũng có thể viết dưới dạngsố phức:một + 0 Tôi hoặc Một - 0 Tôi. Ví dụ: bản ghi 5 + 0Tôi và 5 – 0 Tôicó nghĩa là cùng một số 5 .

2. Số phức 0 + bigọi điện hoàn toàn là tưởng tượng con số. Ghibicó nghĩa giống như 0 + bi.

3. Hai số phứca+bi Vàc + diđược coi là bằng nhau nếua = c Và b = d. Nếu không thì số phức không bằng nhau.

Phép cộng. Tổng các số phứca+bi Và c + diđược gọi là số phức (a+c ) + (b+d ) Tôi.Như vậy, khi thêm số phức, hoành độ và tọa độ của chúng được cộng riêng.

Định nghĩa này tương ứng với các quy tắc thực hiện các phép tính với đa thức thông thường.

Phép trừ. Hiệu của hai số phứca+bi(giảm dần) và c + di(trừ) được gọi là số phức (a–c ) + (b–d ) Tôi.

Như vậy, Khi trừ hai số phức, hoành độ và tọa độ của chúng được trừ riêng.

Phép nhân. Tích của số phứca+bi Và c + di được gọi là số phức:

(ac-bd ) + (quảng cáo+bc ) Tôi.Định nghĩa này tuân theo hai yêu cầu:

1) số a+bi Và c + diphải được nhân như đại số nhị thức,

2) số Tôicó tài sản chính:Tôi 2 = – 1.

VÍ DỤ ( a+bi )(a–bi) = một 2 +b 2 . Kể từ đây, công việc

hai số phức liên hợp bằng số thực

một số dương.

Phân công. Chia một số phứca+bi (chia) cho người khácc + di(dải chia) - có nghĩa là tìm số thứ bae + f tôi(trò chuyện), khi nhân với số chiac + di, dẫn đến cổ tứca + bi.

Nếu số chia không bằng 0, phép chia luôn có thể thực hiện được.

VÍ DỤ Tìm (8 +Tôi ) : (2 – 3 Tôi) .

Giải: Viết lại tỉ số này dưới dạng phân số:

Nhân tử số và mẫu số của nó với 2 + 3Tôi

VÀ Thực hiện tất cả các phép biến đổi, ta được:

Biểu diễn hình học của số phức. Số thực được biểu diễn bằng các điểm trên trục số:

Đây là điểm MỘTnghĩa là số –3, dấu chấmB– số 2, và Ô- không. Ngược lại, số phức được biểu diễn bằng các điểm trên mặt phẳng tọa độ. Với mục đích này, chúng tôi chọn tọa độ hình chữ nhật (Cartesian) có cùng tỷ lệ trên cả hai trục. Khi đó số phứca+bi sẽ được biểu thị bằng dấu chấm P với abscissa a và thứ tự b (xem hình). Hệ tọa độ này được gọi là mặt phẳng phức tạp .

mô-đun số phức là độ dài của vectơOP, biểu diễn số phức trên tọa độ ( toàn diện) máy bay. Môđun của số phứca+bi ký hiệu | a+bi| hoặc thư r

Việc xác định số phức tương đương với việc xác định hai số thực a, b - phần thực và phần ảo của một số phức cho trước. Nhưng một cặp số có thứ tự được mô tả trong Descartes hệ thống hình chữ nhật tọa độ bởi một điểm có tọa độ. Do đó, điểm này có thể dùng làm ảnh cho số phức z: sự tương ứng một-một được thiết lập giữa số phức và các điểm trên mặt phẳng tọa độ. Khi sử dụng mặt phẳng tọa độ để biểu diễn số phức, trục Ox thường được gọi là trục thực (vì phần thực của số được lấy làm hoành độ của điểm) và trục Oy là trục ảo (vì phần ảo của số được lấy làm tọa độ của điểm). Số phức z biểu diễn bởi điểm (a, b) được gọi là số hữu tỉ của điểm này. Trong trường hợp này, số thực được biểu thị bằng các điểm nằm trên trục ảo và tất cả các số thuần ảo (với a = 0) được biểu thị bằng các điểm nằm trên trục ảo. Số 0 được biểu thị bằng điểm O.

Trong hình. 8 hình ảnh của các con số được xây dựng.

Hai số liên hợp phức được biểu diễn bằng các điểm đối xứng qua trục Ox (các điểm trong Hình 8).

Thường gắn liền với số phức không chỉ là điểm M, đại diện cho số này, mà còn là vectơ OM (xem đoạn 93), dẫn từ O đến M; Việc biểu diễn một số dưới dạng vectơ thuận tiện theo quan điểm giải thích hình học của hành động cộng và trừ các số phức.

Trong hình. 9, a cho thấy rằng vectơ biểu thị tổng các số phức được lấy dưới dạng đường chéo của hình bình hành được xây dựng trên các vectơ biểu thị các số hạng.

Quy tắc cộng vectơ này được gọi là quy tắc hình bình hành (ví dụ, để cộng lực hoặc vận tốc trong một khóa học vật lý). Phép trừ có thể được rút gọn thành phép cộng với vectơ đối diện(Hình 9, b).

Như đã biết (mục 8), vị trí của một điểm trên mặt phẳng cũng có thể được xác định bằng tọa độ cực của nó. Như vậy, số phức - tiếp điểm của điểm cũng sẽ được xác định bằng nhiệm vụ Từ Hình 2. 10 rõ ràng rằng mô đun đồng thời của một số phức là: bán kính cực của điểm biểu thị số đó, bằng mô đun con số này.

Góc cực của điểm M được gọi là đối số của số được biểu thị bởi điểm này. Đối số của một số phức (như góc cực của một điểm) không được định nghĩa một cách mơ hồ; nếu là một trong các giá trị của nó thì tất cả các giá trị của nó được biểu thị bằng công thức

Tất cả các giá trị của đối số được ký hiệu chung bằng ký hiệu.

Vì vậy, mọi số phức đều có thể liên kết với một cặp số thực: môđun và đối số số đã cho và đối số được xác định một cách mơ hồ. Ngược lại, nó tương ứng với mô-đun và đối số đã cho số ít, có mô-đun và đối số đã cho. Thuộc tính đặc biệt có số 0: mô đun của nó bằng 0 và không có giá trị cụ thể nào được gán cho đối số.

Để đạt được sự rõ ràng trong định nghĩa đối số của số phức, người ta có thể đồng ý gọi một trong các giá trị của đối số là giá trị chính. Nó được chỉ định bởi biểu tượng. Thông thường, giá trị chính của đối số được chọn là giá trị thỏa mãn các bất đẳng thức

(trong các trường hợp khác là bất đẳng thức).

Chúng ta cũng chú ý đến các giá trị của đối số của số thực và số ảo thuần túy:

Phần thực và phần ảo của số phức (như tọa độ Descartesđiểm) được thể hiện thông qua mô đun và đối số của nó ( tọa độ cựcđiểm) theo công thức (8.3):

và một số phức có thể được viết dưới dạng lượng giác sau.

số phức

Khái niệm cơ bản

Dữ liệu ban đầu về con số có từ thời đồ đá - thời kỳ đồ đá cũ. Đó là “một”, “ít” và “nhiều”. Chúng được ghi lại dưới dạng vết khía, nút thắt, v.v. Sự phát triển của quá trình lao động và sự xuất hiện của tài sản buộc con người phải phát minh ra các con số và tên của chúng. Người đầu tiên xuất hiện số tự nhiên N, thu được bằng cách đếm các đối tượng. Sau đó, cùng với nhu cầu đếm, con người còn có nhu cầu đo chiều dài, diện tích, thể tích, thời gian và các đại lượng khác, trong đó họ phải tính đến các phần của thước đo được sử dụng. Đây là cách phân số ra đời. Sự biện minh chính thức của các khái niệm về phân số và số âmđược thực hiện vào thế kỷ 19. Tập hợp số nguyên Z– là các số tự nhiên, số tự nhiên có dấu trừ và bằng 0. Toàn bộ và số phân sốđã thành lập một bộ sưu tập số hữu tỉ Q, nhưng hóa ra nó cũng không đủ để nghiên cứu sự thay đổi liên tục biến. Genesis một lần nữa cho thấy sự không hoàn hảo của toán học: không thể giải được phương trình có dạng X 2 = 3, đó là lý do xuất hiện số vô tỷ TÔI. Hợp của tập hợp số hữu tỉ Q Và số vô tỉ TÔI– tập hợp số thực (hoặc thực) R. Kết quả là trục số đã được điền: mỗi số thực tương ứng với một điểm trên đó. Nhưng trên nhiều R không có cách nào để giải phương trình dạng X 2 = – MỘT 2. Do đó, lại nảy sinh nhu cầu mở rộng khái niệm về số. Đây là cách số phức xuất hiện vào năm 1545. Người tạo ra chúng, J. Cardano, gọi chúng là “hoàn toàn tiêu cực”. Cái tên “tưởng tượng” được người Pháp R. Descartes giới thiệu vào năm 1637, năm 1777 Euler đề xuất sử dụng chữ cái đầu tiên số Pháp Tôiđể biểu thị đơn vị tưởng tượng. Biểu tượng này được sử dụng phổ biến nhờ K. Gauss.

Trong thế kỷ 17 và 18, cuộc thảo luận về bản chất số học của các ảo ảnh và cách giải thích hình học của chúng vẫn tiếp tục. Người Đan Mạch G. Wessel, người Pháp J. Argan và người Đức K. Gauss đã độc lập đề xuất biểu diễn số phức dưới dạng một điểm trên mặt phẳng tọa độ. Sau đó hóa ra việc biểu diễn một số không phải bằng chính điểm đó mà bằng một vectơ đi từ gốc đến điểm này thậm chí còn thuận tiện hơn.

Chỉ đến cuối thế kỷ 18 và đầu thế kỷ 19, số phức mới có vị trí xứng đáng trong phân tích toán học. Công dụng đầu tiên của chúng là trên lý thuyết phương trình vi phân và trong lý thuyết thủy động lực học.

Định nghĩa 1.số phứcđược gọi là một biểu thức có dạng , trong đó x Và y là số thực và Tôi– đơn vị ảo, .

Hai số phức và bình đẳng nếu và chỉ nếu , .

Nếu , thì số đó được gọi hoàn toàn là tưởng tượng; nếu , thì số đó là số thực, điều này có nghĩa là tập hợp R VỚI, Ở đâu VỚI- tập hợp số phức

liên hợp cho số phức được gọi là số phức.

Hình ảnh hình học số phức.

Mọi số phức đều có thể biểu diễn bằng một điểm M(x, y) máy bay Oxy. Cặp số thực còn biểu thị tọa độ của vectơ bán kính , tức là giữa tập vectơ trên mặt phẳng và tập số phức có thể thiết lập được mối tương ứng một-một: .

Định nghĩa 2.Phần thực X.

Chỉ định: x=Lại z(từ tiếng Latin Realis).

Định nghĩa 3.Phần ảo số phức là số thực y.

Chỉ định: y= tôi z(từ tiếng Latin Imaginarius).

Nốt Rê zđược đặt trên trục ( Ồ), Tôi zđược đặt trên trục ( Ồ), thì vectơ tương ứng với số phức là vectơ bán kính của điểm M(x, y), (hoặc M(Nốt Rê z, Tôi z)) (Hình 1).

Định nghĩa 4. Một mặt phẳng có các điểm liên kết với một tập hợp số phức được gọi là mặt phẳng phức tạp. Trục hoành được gọi là trục thực, vì nó chứa số thực. Trục tọa độ được gọi là trục ảo, nó chứa các số phức hoàn toàn là tưởng tượng. Tập hợp số phức được ký hiệu VỚI.

Định nghĩa 5.mô-đun số phức z = (x, y) được gọi là độ dài của vectơ: , tức là .

Định nghĩa 6.Lý lẽ số phức là góc giữa chiều dương của trục ( Ồ) và vectơ: .

Có các dạng số phức sau: đại số(x+iy), lượng giác(r(cos+isin )), biểu thị(tôi lại ).

Mọi số phức z=x+iy đều có thể được biểu diễn trên Máy bay XOU dưới dạng một điểm A(x,y).

Mặt phẳng biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng biến phức z (ta đặt ký hiệu z trên mặt phẳng).

Trục OX là trục thực, tức là nó chứa số thực. OU là trục ảo chứa các số ảo.

x+iy- Dạng đại số của số phức.

Chúng ta hãy rút ra dạng lượng giác của cách viết số phức.

Chúng tôi thay thế các giá trị thu được vào dạng ban đầu: , tức là.

r(cos+isin) - Dạng lượng giác của cách viết số phức.

Dạng hàm mũ của cách viết số phức tuân theo công thức Euler:
,Sau đó

z= nốt Rê Tôi - Viết số phức theo dạng mũ.

Các phép toán trên số phức.

1. phép cộng. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);

2 . phép trừ. z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);

3. phép nhân. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);

4 . phân công. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=

Hai số phức chỉ khác nhau về dấu của đơn vị ảo, tức là z=x+iy (z=x-iy) được gọi là liên hợp.

Công việc.

z1=r(cos +isin ); z2=r(cos +isin ).

Tích z1*z2 của số phức được tìm thấy: , tức là mô đun của tích bằng tích của các mô đun và đối số của tích bằng tổng các đối số của các thừa số.

;
;

Riêng tư.

Nếu số phức được cho dưới dạng lượng giác.

Nếu số phức được đưa ra dưới dạng hàm mũ.

lũy thừa.

1. Số phức đã cho trong đại số hình thức.

z=x+iy, thì z n được tìm thấy bởi Công thức nhị thức Newton:

- số cách kết hợp n phần tử của m (số cách lấy n phần tử từ m).

;
.

n!=1*2*…*n; 0!=1;

Áp dụng cho số phức

Trong biểu thức kết quả, bạn cần thay thế lũy thừa i bằng giá trị của chúng: i 0 =1 Từ đây đến trường hợp chung

tôi 1 = tôi tôi 4k+1 = tôi

tôi 2 =-1 tôi 4k+2 =-1

tôi 3 =-i tôi 4k+3 =-i

Ví dụ.

tôi 31 = tôi 28 tôi 3 =-i

tôi 1063 = tôi 1062 tôi=tôi

2. lượng giác hình thức.

z=r(cos +isin ), Cái đó

- công thức Moivre.

Ở đây n có thể là “+” hoặc “-” (số nguyên).

3. Nếu cho số phức vào biểu thị hình thức:

Chiết xuất rễ.

Xét phương trình:
.

Nghiệm của nó sẽ là căn bậc n của số phức z:
.

Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm (giá trị). Gốc của ngày hiện tại bậc thứ n chỉ có một giải pháp. Trong những cái phức tạp có n giải pháp.

Nếu cho số phức vào lượng giác hình thức:

z=r(cos +isin ), thì căn bậc n của z được tìm thấy theo công thức:

, trong đó k=0,1…n-1.

Hàng. Dãy số.

Cho biến a nhận tuần tự các giá trị a 1, a 2, a 3,…, an n. Một tập hợp các số được đánh số lại như vậy được gọi là một dãy. Nó là vô tận.

Dãy số là biểu thức a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= . Các số a 1, a 2, a 3,..., n đều thuộc dãy số đó.

Ví dụ.

và 1 là số hạng đầu tiên của chuỗi.

và n là số hạng thứ n hoặc số hạng chung của dãy.

Một chuỗi được coi là đã cho nếu biết số hạng thứ n (số hạng chung của chuỗi).

Dãy số có số vô hạn các thành viên.

Tử số – cấp số cộng (1,3,5,7…).

Số hạng thứ n được tìm thấy theo công thức a n = a 1 + d(n-1); d=a n -a n-1 .

Mẫu số – cấp số nhân. b n =b 1 q n-1 ;
.

Xét tổng n số hạng đầu tiên của dãy và ký hiệu là Sn.

Sn=a1+a2+…+a n.

Sn – thứ n một phần số tiền hàng ngang.

Hãy xem xét giới hạn:

S là tổng của chuỗi.

Hàng ngang hội tụ , nếu giới hạn này là hữu hạn (tồn tại giới hạn hữu hạn S).

Hàng ngang khác nhau , nếu giới hạn này là vô hạn.

Trong tương lai, nhiệm vụ của chúng tôi là như sau: thiết lập hàng nào.

Một trong những chuỗi đơn giản nhất nhưng phổ biến nhất là cấp số nhân.

, C=const.

Tiến trình hình học làhội tụ gần, Nếu như
, và phân kỳ nếu
.

Cũng tìm thấy chuỗi điều hòa(hàng ngang
). Hàng này khác nhau .