Перетин у кубі. «Переріз куба площиною та практичне їх застосування у завданнях»

Завдання на Побудова перерізів куба D1
С1
Е
А1
B1
D
А
F
B
З

Перевірна робота.

1 варіант
2 варіант
1. тетраедр
1. паралелепіпед
2. Властивості паралелепіпеда

Сікучою площиною куба називається будь-яка площина, по обидва боки якої є точки даного куба.

Сікуча
площина перетинає грані куба по
відрізкам.
Багатокутник, сторонами якого є
дані відрізки називається перетином куба.
Перерізами куба можуть бути трикутники,
чотирикутники, п'ятикутники та
шестикутники.
При побудові перерізів слід враховувати той
факт, що якщо січна площина перетинає дві
протилежні грані за якимись відрізками, то
ці відрізки паралельні. (Поясніть, чому).

B1
C1
D1
A1
M
K
ВАЖЛИВО!
B
З
D
ЯкщоAсічна площина перетинає
протилежні грані, то вона
K DCC1
перетинає їх паралельним
M BCC1
відрізкам.

три дані точки, що є серединами ребер. Знайдіть периметр перерізу, якщо ребро

Побудуйте перетин куба площиною, що проходить через
три дані точки, що є серединами ребер.
Знайдіть периметр перерізу, якщо ребро куба дорівнює а.
D1
N
K
А1
D
А
С1
B1
M
З
B

Побудуйте перетин куба площиною, що проходить через три точки, що є його вершинами. Знайдіть периметр перерізу, якщо ребро куба

Побудуйте перетин куба площиною, що проходить через
три дані точки, що є його вершинами. Знайдіть
периметр перерізу, якщо ребро куба дорівнює а.
D1
С1
А1
B1
D
А
З
B

D1
С1
А1
М
B1
D
А
З
B

Побудуйте перетин куба площиною через три дані точки. Знайдіть периметр перерізу, якщо ребро куба дорівнює а.

D1
С1
А1
B1
N
D
А
З
B

Побудуйте перетин куба площиною, що проходить через три дані точки, що є серединами його ребер.

С1
D1
B1
А1
K
D
З
N
Е
А
M
B

Цілі уроку

• Формування в учнів навичок розв'язання завдань побудова перерізів.
• Формування та розвиток у учнів просторової уяви.
• Розвиток графічної культури та математичної мови.
• Формування вміння працювати індивідуально та у колективі.

Тип уроку:урок формування та вдосконалення знань.

Форми організації навчальної діяльності:групова, індивідуальна, колективна.

Технічне забезпечення уроку:комп'ютер, мультимедійний проектор, екран, набір геометричних тіл (куб, паралелепіпед, тетраедр).

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент

Клас розбивається на 3 групи по 5-6 осіб. На кожному столі – індивідуальні та групові завдання щодо побудови перерізу, набір тел. Знайомство учнів із темою та цілями уроку.

2. Актуалізація опорних знань

Опитування теорії:

- Аксіоми стереометрії.
– Поняття паралельних прямих у просторі.
– Теорема про паралельні прямі.
– Паралельність трьох прямих.
– Взаємне розташування прямої та площини у просторі.
– Ознака паралельності прямої та площини.
– Визначення паралельності площин.
– Ознака паралельності двох площин.
– Властивості паралельних площин.
- Тетраедр. Паралелепіпед. Властивості паралелепіпеда.

3. Вивчення нового матеріалу

Слово вчителя:При вирішенні багатьох стереометричних задач використовується переріз багатогранника площиною. Назвемо січною площиною багатогранника будь-яку площину, по обидва боки якої є точки даного багатогранника.
Січна площина перетинає грані по відрізках. Багатокутник, сторонами якого є ці відрізки, називається перетином багатогранника.
За допомогою малюнків 38-39 давайте з'ясуємо: Яка кількість сторін може мати перетин тетраедра та паралелепіпеда?

Учніаналізують малюнки та роблять висновки. Вчителькоригує відповіді учнів, вказуючи на той факт, що якщо січна площина перетинає дві протилежні грані паралелепіпеда по якихось відрізках, то ці відрізки є паралельними.

Аналізвирішення завдань 1, 2, 3, наведених у підручнику (усна колективна робота).

4. Закріплення вивченого матеріалу(за групами)

1 групі:поясніть, як побудувати перетин тетраедра площиною, що проходить через дані точки М, N, К і в задачах 1-3 знайти периметр перерізу, якщо М, N, К – середини ребер і кожне ребро тетраедра дорівнює а.

2 групі:поясніть, як побудувати перетин куба площиною, що проходить через три дані точки, що є або вершинами куба, або серединами його ребер (три дані точки на малюнках виділено), в задачах 1-4 і 6 знайдіть периметр перерізу, якщо ребро куба дорівнює а.у задачі 5 доведіть, що АЕ = а/3

3 групі:побудувати перетин паралелепіпеда АВСDА 1 В 1 З 1 D 1площиною, що проходить через крапки:

Усі виконані завдання група захищає біля дошки з використанням слайдів.

5. Самостійна робота № 85, № 105.

6. Підбиття підсумків уроку

Оцінка роботи учнів під час уроку.

7. Домашнє завдання: індивідуальні картки.

Завдання на Побудова перерізів куба D1
С1
Е
А1
B1
D
А
F
B
З

Перевірна робота.

1 варіант
2 варіант
1. тетраедр
1. паралелепіпед
2. Властивості паралелепіпеда

Сікучою площиною куба називається будь-яка площина, по обидва боки якої є точки даного куба.

Сікуча
площина перетинає грані куба по
відрізкам.
Багатокутник, сторонами якого є
дані відрізки називається перетином куба.
Перерізами куба можуть бути трикутники,
чотирикутники, п'ятикутники та
шестикутники.
При побудові перерізів слід враховувати той
факт, що якщо січна площина перетинає дві
протилежні грані за якимись відрізками, то
ці відрізки паралельні. (Поясніть, чому).

B1
C1
D1
A1
M
K
ВАЖЛИВО!
B
З
D
ЯкщоAсічна площина перетинає
протилежні грані, то вона
K DCC1
перетинає їх паралельним
M BCC1
відрізкам.

три дані точки, що є серединами ребер. Знайдіть периметр перерізу, якщо ребро

Побудуйте перетин куба площиною, що проходить через
три дані точки, що є серединами ребер.
Знайдіть периметр перерізу, якщо ребро куба дорівнює а.
D1
N
K
А1
D
А
С1
B1
M
З
B

Побудуйте перетин куба площиною, що проходить через три точки, що є його вершинами. Знайдіть периметр перерізу, якщо ребро куба

Побудуйте перетин куба площиною, що проходить через
три дані точки, що є його вершинами. Знайдіть
периметр перерізу, якщо ребро куба дорівнює а.
D1
С1
А1
B1
D
А
З
B

D1
С1
А1
М
B1
D
А
З
B

Побудуйте перетин куба площиною через три дані точки. Знайдіть периметр перерізу, якщо ребро куба дорівнює а.

D1
С1
А1
B1
N
D
А
З
B

Побудуйте перетин куба площиною, що проходить через три дані точки, що є серединами його ребер.

С1
D1
B1
А1
K
D
З
N
Е
А
M
B

Тип уроку: Комбінований урок.

Цілі та завдання:

• освітня – формування та розвиток у учнів просторових уявлень; вироблення навичок вирішення завдань на побудову перерізів найпростіших багатогранників;
• виховна - виховувати волю та наполегливість для досягнення кінцевих результатів при побудові перерізів найпростіших багатогранників; виховувати любов та інтерес до вивчення математики.
• розвиваюча – розвиток у учнів логічного мислення, просторових уявлень, розвиток навичок самоконтролю

Обладнання: комп'ютери із спеціально розробленою програмою, роздатковий матеріал у вигляді готових кресленьіз завданнями, тіла багатогранників, індивідуальні картки із домашнім завданням.

Структура уроку:

1. Повідомлення теми та мети уроку (2 хв).
2. Інструктування виконання завдань на комп'ютері (2 хв).
3. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів (4 хв).
4. Тестування із самоперевіркою (3 хв).
5. Розв'язання задач із поясненням ходу рішення вчителем (15 хв).
6. Самостійна робота із самоперевіркою (10 хв).
7. Постановка домашнього завдання (2 хв).
8. Підбиття підсумків (2 хв).

Хід уроку

1. Повідомлення теми та мети уроку

Після перевірки готовності класу до уроку вчитель повідомляє, що сьогодні проводиться урок на тему “Побудова перерізів багатогранників”, будуть розглянуті завдання на побудову перерізів деяких найпростіших багатогранників площинами, що проходять через три точки, що належать ребрам багатогранників. Урок проходитиме за допомогою комп'ютерної презентації, виконаної в Power Point.

2. Інструктування з техніки безпеки під час роботи в комп'ютерному класі

Вчитель. Звертаю вашу увагу на те, що ви приступаєте до роботи в комп'ютерному класі, і вам необхідно дотримуватись правил поведінки та роботи за комп'ютером. Зафіксуйте висувні стільниці та стежте за правильною посадкою.

3. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів

Вчитель. Для вирішення багатьох геометричних завдань пов'язаних з багатогранниками, корисно вміти будувати на малюнку їх перерізи різними площинами, знаходити точку перетину даної прямої з даною площиною, знаходити лінію перетину двох даних площин. На попередніх уроках ми розглядали перерізи багатогранників площинами, паралельними ребрам та граням багатогранників. На цьому уроці ми розглянемо завдання на побудову перерізів площиною, яка проходить через три точки, розташовані на ребрах багатогранників. Для цього розглянемо найпростіші багатогранники. Що це за багатогранники? (Демонструються моделі куба, тетраедра, правильної чотирикутної піраміди, прямої трикутної призми).

Учні мають визначити вид багатогранника.

Вчитель. Давайте подивимося, як вони виглядають на екрані монітора. Від зображення до зображення переходимо натисканням лівої клавіші миші.

На екрані одне за одним з'являються зображення багатогранників.

Вчитель. Згадаймо, що називається перетином багатогранника.

Учень. Багатокутник, сторонами якого є відрізки, що належать граням багатогранника, з кінцями на ребрах багатогранника, одержаний в результаті перетину багатогранника довільною площею, що січе.

Вчитель. Які багатокутники можуть бути перерізами даних багатогранників.

Учень. Перетину куба: трьох - шести-кутники. Перерізи тетраедра: трикутники, чотирикутники. Переріз чотирикутної піраміди та трикутної призми: трьох - п'яти-кутники.

4. Тестування із самоперевіркою

Вчитель. Відповідно до поняття перерізу багатогранників, знань аксіом стереометрії та взаємного розташування прямих і площин у просторі, вам пропонується відповісти на запитання тесту. Комп'ютер оцінить вас. Максимальна оцінка 3 бали – за 3 правильні відповіді. На кожному слайді потрібно натиснути кнопку з номером відповіді. Ви працюєте в парі, тому кожен з вас отримає однакову, вказану комп'ютером кількість балів. Натисніть курсор переходу на наступний слайд. На виконання завдання приділяється 3 хвилини.

I. На якому малюнку зображено переріз куба площиною ABC?

ІІ. На якому малюнку зображено переріз піраміди площиною, що проходить через діагональ основи BDпаралельно ребру SA?

ІІІ. На якому малюнку зображено переріз тетраедра, що проходить через точку Мпаралельно площині ABS?

5. Розв'язання задач з поясненням ходу рішення вчителем

Вчитель. Перейдемо безпосередньо до вирішення завдань. Натисніть курсор переходу на наступний слайд.

Завдання 1 Це завданнярозглянемо усно з покроковим показом побудови монітора. Перехід здійснюється на кліку миші.

Даний куб ABCDAA 1 B 1 C 1 D 1 . На його ребрі ВВ 1 дана точка М. Знайти точку перетину прямої C 1 Mз площиною грані куба ABCD.

Розглянемо зображення куба ABCDAA 1 B 1 C 1 D 1 з точкою Мна ребрі ВВ 1 Крапки Мі З 1 належать площині ВВ 1 З 1 Що можна сказати про пряму C 1 M ?

Учень. Пряма C 1 Mналежить площині ВВ 1 З 1

Вчитель. Шукана точка Xналежить прямий C 1 M,а значить і площині ВВ 1 З 1 . Яке взаємне розташуванняплощин ВВ 1 З 1 та ABC?

Учень. Дані площини перетинаються прямою BC.

Вчитель. Значить усе спільні точкиплощин ВВ 1 З 1 та ABCналежать прямий BC. Шукана точка Xповинна належати одночасно площинам двох граней: ABCDі BB 1 C 1 C; з цього випливає, що точка X повинна лежати на лінії їх перетину, тобто на прямій НД. Значить, точка X повинна лежати одночасно на двох прямих: З 1 Мі НДі, отже, є точкою перетину. Побудова шуканої точкиРозглянемо на екрані монітора. Послідовність побудови ви побачите після натискання лівої клавіші миші: продовжуємо З 1 Мі НДдо перетину в точці X, яка є шукана точка перетину прямої З 1 Мз площиною грані ABCD.

Вчитель. Щоб перейти до наступного завдання, скористайтеся вказівником переходу до наступного слайда. Це завдання розглянемо з коротким записом побудови.

а)Побудувати перетин куба площиною, що проходить через крапки. А 1 , МD 1 C 1 та NDD 1 та б)Знайти лінію перетину січної площини з площиною нижньої основи куба.

Рішення. I. Січна площина має з гранню A 1 B 1 C 1 D 1 дві спільні точки А 1 та Мі, отже, перетинається з нею прямою, що проходить через ці точки. З'єднуючи точки А 1 та Мвідрізком прямий, знаходимо лінію перетину площини майбутнього перерізу та площини верхньої грані. Цей факт записуватимемо в такий спосіб: А 1 М.Натискаємо ліву клавішу миші, повторним натисканням буде побудовано цю пряму.

Аналогічно знаходимо лінії перетину січної площини з гранями АА 1 D 1 Dі DD 1 З 1 З.Натискаючи клавішу миші, ви бачитимете короткий запис і хід побудови.

Таким чином, A 1 NМ? шуканий переріз.

Перейдемо до другої частини завдання. Знайдемо лінію перетину січної площини з площиною нижньої основи куба.

ІІ. Січна площина з площиною основи куба перетинається прямою. Щоб зобразити цю пряму досить знайти дві точки які належать даної прямий, тобто. загальні точки січної площини та площини грані ABCD. Спираючись на попереднє завданнятакими точками будуть: точка X=. Натисніть клавішу, ви будете бачити короткий запис та побудова. І крапка YЯк ви думаєте, хлопці, як її отримати?

Учень. Y =

Вчитель. Подивимося на екрані її побудова. Натисніть клавішу миші. З'єднуючи точки Xі Y(Запис X-Y), отримаємо пряму - лінію перетину січної площини з площиною нижньої основи куба. Натисніть ліву клавішу миші – короткий запис та побудова.

Завдання 3Побудувати перетин куба площиною, що проходить через крапки:

Також, натискаючи клавішу миші, ви будете бачити на екрані монітора хід побудови та короткий запис. Спираючись на поняття перерізу, нам достатньо знайти в площині кожної грані дві точки для побудови лінії перетину площини, що січе, і площині кожної грані куба. Крапки Mі Nналежать площині А 1 У 1 З 1 . З'єднавши їх, отримаємо лінію перетину січної площини та площини верхньої грані куба (натискаємо клавішу миші). Продовжимо прямі MNі D 1 C 1 до перетину. Отримаємо точку Х, що належить як площині А 1 У 1 З 1 , так і площині DD 1 C 1 (клік миші). Крапки Nі Доналежать площині ВВ 1 З 1 . З'єднавши їх, отримаємо лінію перетину січної площини та грані ВВ 1 З 1 З. (Клік миші). З'єднуємо точки Хі До, і продовжуємо пряму ХКдо перетину з прямої DC. Отримаємо точку Рта відрізок КР -лінію перетину січної площини та грані DD 1 C 1 C. (Клік миші). Продовжуючи прямі КРі DD 1 до перетину, отримаємо точку Y, що належить площині АА 1 D 1 . (Клік миші). У площині цієї грані нам потрібна ще одна точка, яку отримуємо в результаті перетину прямих MNі А 1 D 1 . Це точка . (Клік миші). З'єднуємо точки Yі Z, отримаємо та . (Клік миші). З'єднавши Qі Р, Rі M, отримаємо? шуканий переріз.

Короткий запис побудови:

2) ;

6) ;

7) ;

13)? шуканий переріз.

Тема уроку: Завдання на побудову перерізів.

Мета уроку:

Виробити навички розв'язання задач на побудову перерізів тетраедра та паралелограма.

Хід уроку

I. Організаційний момент.

ІІ. Перевірка домашнього завдання

Відповіді на запитання 14, 15.

14. Чи існує тетраедр, який має п'ять кутів граней прямі?

(Відповідь: ні, тому що граней всього 4, вони є трикутниками, а трикутника з двома прямими кутами не існує.)

15. чи існує паралелепіпед, у якого: а) лише одна грань-прямокутник;

б) лише дві суміжні грані-ромби; в) усі кути граней гострі; г) усі кути граней прямі; д) число всіх гострих граней не дорівнює числу всіх тупих кутів граней?

(Відповідь: а) ні (протилежні грані рівні); б) ні (з тієї ж причини); в) ні (таких паралелограмів немає); г) так ( прямокутний паралелепіпед); д) ні (у кожній грані два гострі і два тупого кута, чи всі прямі).

ІІІ. Вивчення нового матеріалу

Теоретична частина. Практична частина. Теоретична частина.

Для вирішення багатьох геометричних завдань, пов'язаних з тетраедром і паралелепіпедом, корисно вміти будувати на малюнку їх перерізи різними площинами. Під перетином будемо розуміти будь-яку площину (назвемо її площею, що січе), по обидва боки від якої є точки даної фігури (тобто тетраедра або паралелепіпеда). Січна площина перетинає тетраедр (паралелепіпед) по відрізках. Багатокутник, який буде утворений цими відрізками, є перетином фігури. Так як тетраедр має чотири грані, його перетином можуть бути трикутники і чотирикутники. Паралелепіпед має шість граней. Його перетином може бути трикутники, чотирикутники, п'ятикутники, шестикутники.

При побудові перерізу паралелепіпеда враховуємо той факт, що якщо січна площина перетинає дві протилежні грані по якихось відрізках, то ці відрізки паралельні (властивість 1, п.11: Якщо дві паралельні площиниперетнуті третьою, то лінії їх перетину паралельні).

Для побудови перерізу досить побудувати точки перетину січної площини з ребрами тетраедра (паралелепіпеда), після чого провести відрізки, що з'єднують кожні дві побудовані точки, що лежить в одній і тій же грані.

Чи може у перерізі тетраедра площиною вийти чотирикутник, зображений на малюнку?

https://pandia.ru/text/78/630/images/image002_130.gif" width="626" height="287 src=">

2.2. Побудувати перетин куба площиною, що проходить через крапки. E, F, Gлежачи на ребрах куб.

E, F, G,

проведемо пряму EFі позначимо Pїї точку перетину з AD.

Позначимо Qточку перетину прямих PGі AB.

З'єднаємо точки Eі Q, Fі G.

Отримана трапеція EFGQбуде шуканим перетином.

https://pandia.ru/text/78/630/images/image004_91.gif" width="624" height="287">

2.4. Побудувати перетин куба площиною, що проходить через крапки. E, Fлежачи на ребрах куб і вершину B.

Рішення. Для побудови перерізу куба, що проходить через крапки E, Fі вершину B,

З'єднаємо відрізками крапки Eі B, Fі B.

Через крапки Eі Fпроведемо прямі, паралельні BFі BEвідповідно.

Отриманий паралелограм BFGEбуде шуканим перетином.

2.5. Побудувати перетин куба площиною, що проходить через крапки. E, F, Gлежачи на ребрах куб.

Рішення. Для побудови перерізу куба, що проходить через крапки E, F, G,

проведемо пряму EFі позначимо Pїї точку перетину з AD.

Позначимо Q,Rточки перетину прямої PGз ABі DC.

Позначимо Sточку перетину FR c СС 1.

З'єднаємо точки Eі Q, Gі S.

Отриманий п'ятикутник EFSGQбуде шуканим перетином.

2.6. Побудувати перетин куба площиною, що проходить через крапки. E, F, Gлежачи на ребрах куб.

Рішення. Для побудови перерізу куба, що проходить через крапки E, F, G,

знайдемо точку Pперетину прямий EFта площині грані ABCD.

Позначимо Q, Rточки перетину прямої PGз ABі CD.

Проведемо пряму RFі позначимо S, Tїї точки перетину з CC 1 та DD 1.

Проведемо пряму TEі позначимо Uїї точку перетину з A 1D 1.

З'єднаємо точки Eі Q, Gі S, F та U.

Отриманий шестикутник EUFSGQбуде шуканим перетином.

2.7. Побудувати перетин тетраедра ABCD ADі проходить через точки E, F.

Рішення. З'єднаємо точки Eі F. Через точкуF проведемо прямуFG, паралельнуAD.

З'єднаємо точки Gі E.

Отриманий трикутник EFGбуде шуканим перетином.

2.8. Побудувати перетин тетраедра ABCDплощиною, паралельному ребру CDі проходить через точки E, F .

Рішення. Через крапки Eі Fпроведемо прямі EGі FH, паралельні CD.

З'єднаємо точки Gі F, Eі H.

Отриманий трикутник EFGбуде шуканим перетином.

2.9. Побудувати перетин тетраедра ABCDплощиною, що проходить через точки E, F, G.

Рішення. Для побудови перерізу тетраедра, що проходить через крапки E, F, G,

проведемо пряму EFі позначимо Pїї точку перетину з BD.

Позначимо Qточку перетину прямих PGі CD.

З'єднаємо точки Fі Q, Eі G.

Отриманий чотирикутник EFQGбуде шуканим перетином.

IV. Підсумок уроку.

V. Домашнє завдання п.14, стор.27 № 000-варіант1, 2.