Ось таке питання: "Паралелепіпед. Поясніть, де в нього шість граней?". Якщо математики не зуміли вам чітко пояснити конструкцію паралелепіпеда, тоді я спробую це зробити. Говоритимемо тільки про межі паралелепіпеда, не вникаючи в інші конструктивні деталі даної математичної моделі, адже ми не в автосалоні, а я не менеджер, який намагається продати вам застарілу модель паралелепіпеда.
І так, уявіть, що ви, як ні в чому не бувало, заснули у своїй прямокутній (це уточнення дуже важливе) кімнаті. І ось серед ночі ви прокидаєтеся всередині діючої моделі паралелепіпеда в натуральну величину! Не треба впадати у паніку. Спокійно починаємо вважати межі цього математичного дива. Стіна з вікном – це перша грань. Стіна навпроти вікна – це друга грань. Стіни ліворуч і праворуч від вікна - це третя та четверта грані. Підлога - це п'ята грань. Стеля - це шоста, і остання грань. Велике математичне одкровення: кількість граней залежить від порядку їх перерахунку, головне - нічого пропустити.
Якщо ви до цього моменту ще не заснули, наступне питання: що робити далі? Подумки розгортаємо математичний папірус під назвою "Теорія множин", шукаємо розділ "Безкіне математичне безліч баранів" і починаємо рахувати. Люди кажуть, ця математична процедура дуже добре допомагає від безсоння.
Відразу хочу чесно зізнатися, що я вам трохи збрехав. Не прямокутна кімната є моделлю прямокутного паралелепіпеда, що діє, а зовсім навпаки - є математичною моделлю кімнати. Особливо добре це видно під час. Площа стін буде площею поверхні бічних граней прямокутного паралелепіпеда. Площа підлоги або стелі визначається також як площа основи в паралелепіпеді. Звичайно, будівельники внесли свої нюанси до математичних правил визначення площ, але ми їх зараз уточнювати не будемо.
До речі, і прямокутність кімнати цілком залежить від якості будівництва. Це тільки в Стародавній Греції математика була настільки розвинена, що знаменита будівля Парфенона в Афінах побудована майже без прямих кутів і прямих ліній. Там основою архітектури будівлі було закладено не математична бездоганність, а оптичні ілюзії. Боюся, сучасним математикам подібне завдання вже не під силу - занадто високо в хмарах вони витають. Але ми трохи відволіклися від граней паралелепіпеда.
Якщо перерахувати грані паралелепіпеда вам закортіло вдень, а не вночі, тоді дістаємо з гардеробу прямокутну коробку з туфлями. денце коробки - це одна грань, вона ж нижня основа паралелепіпеда. Кришка коробки - це друга грань, вона ж верхня основа. Чотири стінки взуттєвої коробки - це грані з третьої по шосту.
Вище ми розглядали шість граней прямокутного паралелепіпеда. А якщо кути не прямі, а криві? У цьому випадку ми маємо справу зі звичайним паралелепіпедом, не прямокутним. На кількість граней це не впливає. Ну подумаєш, трохи пом'яли паралелепіпед. До речі, як математики викривляють прямокутні паралелепіпеди чи вирівнюють звичайні? Мені на алгебру процесу цікаво подивитися. Втім, у математиків все просто: промовили священне заклинання "Нехай нам дано паралелепіпед" і ось він уже біліє крейдою на дошці. У житті все складніше. Існує безліч способів викривлення та випрямлення паралелепіпедів - від важкої кувалди, до кокетливого "Ну, будь ласка!". Про алгебру цих методів можна навіть запитувати.
Якщо говорити серйозно, то алгебра і прямокутного, і звичайного паралелепіпедів абсолютно однакова. Викривляється та вирівнюється паралелепіпед за допомогою синусів кутів між ребрами. У прямокутних паралелепіпедів усі кути прямі та його синуси рівні одиниці. Ледачі математики просто не пишуть ці синуси у формулах. У звичайних паралелепіпедах синуси кутів менше одиниці, так що мимоволі їх математикам доводиться у формулах писати.
На закінчення, як люблять говорити вчителі, закріпимо пройдений матеріал. Як закріплювач використовуємо просте дитяче забарвлення, на якому зафарбуємо всі шість граней паралелепіпеда.
Мал. 1
Тобто: маємо два рівні паралелограми АВСD і А1 В1 С1 D1 (основи), вони лежать у паралельних площинах так, що бічні ребра АА1 , ВВ1 , DD1 , СС1 паралельні. Таким чином, складена з паралелограм поверхню називається паралелепіпедом.
Властивості паралелепіпеда.
1. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні та рівні.
(Фігури рівні, тобто їх можна поєднати накладенням)
Наприклад:
АВСD = А1 В1 С1 D1 (рівні паралелограми за визначенням),
АА1 В1 В = DD1 С1 С (оскільки АА1 В1 В і DD1 С1 С – протилежні грані паралелепіпеда),
АА1 D1 D = ВВ1 С1 С (оскільки АА1 D1 D і ВВ1 С1 С – протилежні грані паралелепіпеда).
2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл.
Діагоналі АС1 , В1 D, А1 С, D1 перетинаються в одній точці О, і кожна діагональ ділиться цією точкою навпіл (рис. 2).
Мал. 2
3. Є три четвірки рівних і паралельних ребер: 1 - АВ, А1 В1, D1 C1, DC, 2 - AD, A1 D1, B1 C1, BC, 3 - АА1, ВВ1, СС1, DD1.
Визначення . Паралелепіпед називається прямим, якщо його бічні ребра перпендикулярні до основ.
Нехай бічне ребро АА1 перпендикулярне до основи (рис. 3). Це означає, що пряма АА1 перпендикулярна до прямих АD і АВ, які лежать у площині основи. Отже, в бічних гранях лежать прямокутники. А в основах лежать довільні паралелограми. Позначимо, ∠BAD = φ, кут φ може бути будь-яким.
Мал. 3
Визначення . Паралелепіпед називається прямокутним, якщо його бічні ребра перпендикулярні до основи. Основи є прямокутниками.
Паралелепіпед АВСDА1 В1 С1 D1 – прямокутний (рис. 4), якщо:
1. АА1 ⊥ АВСD (бічне ребро перпендикулярно площині основи, тобто паралелепіпед прямої).
2. ∠ВАD = 90°, тобто в основі лежить прямокутник.
Мал. 4
Прямокутний паралелепіпед має всі властивості довільного паралелепіпеда. Але є додаткові властивості, що виводяться з визначення прямокутного паралелепіпеда.
1. У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней прямокутники.
АВСD та А1 В1 С1 D1 – прямокутники за визначенням.
2. Бічні ребра перпендикулярні до основи. Значить, усі бічні грані прямокутники.
3. Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.
Розглянемо, наприклад, двогранний кут із ребром АВ, тобто двогранний кут між площинами АВВ1 та АВС.
АВ - ребро, точка А1 лежить в одній площині - у площині АВВ1, а точка D в іншій - у площині А1 В1 С1 D1. Тоді розглянутий двогранний кут можна позначити так: ∠А1 АВD.
Візьмемо точку А на ребері АВ. АА1 – перпендикуляр до ребра АВ у площині АВВ1, AD перпендикуляр до ребра АВ у площині АВС. Отже, ∠А1 АD – лінійний кут цього двогранного кута. ∠А1 АD = 90°, отже, двогранний кут при ребері АВ дорівнює 90°.