Визначення: Числовою функцією називається відповідність, яка кожному числу х з деякого заданої множинизіставляє однина y.
Позначення:
де x - незалежна змінна (аргумент), y - залежна змінна (функція). Безліч значень x називається областю визначення функції (позначається D(f)). Безліч значень y називається областю значень функції (позначається E(f)). Графіком функції називається безліч точок площини з координатами (x, f(x))
Способи завдання функції.
- аналітичний метод (за допомогою математичної формули);
- табличний спосіб (за допомогою таблиці);
- описовий спосіб (за допомогою словесного опису);
- графічний метод (за допомогою графіка).
Основні характеристики функції.
1. Парність та непарність
Функція називається парною, якщо
– область визначення функції симетрична щодо нуля
f(-x) = f(x)
Графік парної функціїсиметричний щодо осі 0y
Функція називається непарною, якщо
– область визначення функції симетрична щодо нуля
– для будь-якого х з області визначення f(-x) = -f(x)
Графік непарної функціїсиметричний щодо початку координат.
2.Періодичність
Функція f(x) називається періодичною з періодом , якщо для будь-якого х з області визначення f(x) = f(x+Т) = f(x-Т) .
Графік періодичної функції складається з однакових фрагментів, що необмежено повторюються.
3. Монотонність (зростання, спадання)
Функція f(x) зростає на множині Р, якщо для будь-яких x 1 і x 2 з цієї множини, таких, що x 1
Функція f(x) зменшується на множині Р, якщо для будь-яких x 1 і x 2 з цієї множини, таких, що x 1 f(x 2) .
4. Екстремуми
Точка Х max називається точкою максимуму функції f(x) якщо для всіх х з деякої околиці Х max виконано нерівність f(х) f(X max).
Значення Ymax = f(Xmax) називається максимумом цієї функції.
Х max – точка максимуму
У max – максимум
Точка Х min називається точкою мінімуму функції f(x) , якщо всім х з деякої околиці Х min , виконано нерівність f(х) f(X min).
Значення Y min = f (X min) називається мінімум цієї функції.
X min – точка мінімуму
Y min – мінімум
X min , Х max – точки екстремуму
Y min , У max – екстремуми.
5. Нулі функції
Нулем функції y = f(x) називається таке значення аргументух, у якому функція перетворюється на нуль: f(x) = 0.
Х 1 Х 2 Х 3 - нулі функції y = f (x).
Завдання та тести на тему "Основні властивості функції"
- Властивості функцій - Числові функції 9 клас
Уроків: 2 Задань: 11 Тестів: 1
- Властивості логарифмів - Показова та логарифмічна функції 11 клас
Уроків: 2 Задань: 14 Тестів: 1
- Функція квадратного кореня, його властивості та графік - функція квадратного кореня. Властивості квадратного кореня 8 клас
Уроків: 1 Задань: 9 Тестів: 1
- Ступінні функції, їх властивості та графіки - Ступені та коріння. Ступінні функції 11 клас
Уроків: 4 Задань: 14 Тестів: 1
- Функції - Важливі темидля повторення ЄДІ з математики
Завдань: 24
Вивчивши цю тему, Ви повинні вміти знаходити область визначення різних функцій, визначати за допомогою графіків проміжки монотонності функції, досліджувати функції на парність та непарність. Розглянемо рішення подібних завданьна прикладах.
приклади.
1. Знайти область визначення функції.
Рішення:область визначення функції перебуває з умови
Довжина відрізка на координатної осізнаходиться за формулою:
Довжина відрізка на координатної площинишукається за формулою:
Для знаходження довжини відрізка у тривимірній системі координат використовується така формула:
Координати середини відрізка (для координатної осі використовується лише перша формула, для координатної площини - перші дві формули, для тривимірної системи координат - усі три формули) обчислюються за формулами:
Функція– це відповідність виду y= f(x) між змінними величинами, в силу якого кожному значенню, що розглядається, деякої змінної величини x(аргументу чи незалежної змінної) відповідає певне значенняінший змінної величини, y(Залежної змінної, іноді це значення просто називають значенням функції). Зверніть увагу, що функція передбачає, що одне значення аргументу хможе відповідати лише одне значення залежної змінної у. При цьому одне й те саме значення уможе бути отримано за різних х.
Область визначення функції– це значення незалежної змінної (аргументу функції, зазвичай це х), у яких функція визначено, тобто. її значення існує. Позначається область визначення D(y). За великим рахунком, Ви вже знайомі з цим поняттям. Область визначення функції інакше називається областю допустимих значень, або ОДЗ, яку Ви давно вмієте знаходити.
Область значень функції– це все можливі значеннязалежної змінної цієї функції. Позначається Е(у).
Функція зростаєна проміжку, на якому більшого значенняаргумент відповідає більшого значення функції. Функція зменшуєтьсяна проміжку, у якому більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.
Проміжки знаковості функції– це проміжки незалежної змінної, у яких залежна змінна зберігає свій позитивний чи негативний знак.
Нулі функції– це такі значення аргументу, у яких величина функції дорівнює нулю. У цих точках графік функції перетинає вісь абсцис (вісь ОХ). Найчастіше необхідність знайти нулі функції означає необхідність просто вирішити рівняння. Також часто необхідність знайти проміжки знаковості означає необхідність просто вирішити нерівність.
функцію y = f(x) називають парної х
Це означає, що для будь-яких протилежних значеньаргументу, значення парної функції дорівнюють. Графік парної функції завжди симетричний щодо осі ординат ОУ.
функцію y = f(x) називають непарноюякщо вона визначена на симетричній множині і для будь-якого хв галузі визначення виконується рівність:
Це означає, що для будь-яких протилежних значень аргументу значення непарної функції також протилежні. Графік непарної функції завжди симетричний щодо початку координат.
Сума коренів парної та непарної функцій (точок перетину осі абсцис ОХ) завжди дорівнює нулю, т.к. на кожен позитивний корінь хдоводиться негативний корінь –х.
Важливо: деяка функція необов'язково має бути парною чи непарною. Існує безліч функцій, що не є ні парними ні непарними. Такі функції називаються функціями загального вигляду і для них не виконується жодна з рівностей або властивостей наведених вище.
Лінійною функцієюназивають функцію, яку можна задати формулою:
Графік лінійної функціїявляє собою пряму і загальному випадкувиглядає в такий спосіб(наведено приклад для випадку коли k> 0, у разі функція зростаюча; для випадку k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Графік квадратичної функції (Парабола)
Графік параболи визначається квадратичною функцією:
Квадратична функція, як і будь-яка інша функція, перетинає вісь ОХ в точках є її корінням: ( x 1; 0) та ( x 2; 0). Якщо коріння немає, значить квадратична функція вісь ОХ не перетинає, якщо корінь один, значить у цій точці ( x 0; 0) квадратична функція лише стосується осі ОХ, але з перетинає її. Квадратична функція завжди перетинає вісь OY у точці з координатами: (0; c). Графік квадратичної функції(парабола) може виглядати так (на малюнку приклади, які далеко не вичерпують усі можливі видипарабол):
При цьому:
- якщо коефіцієнт a> 0, функції y = ax 2 + bx + c, то гілки параболи спрямовані вгору;
- якщо ж a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Координати вершини параболи можуть бути обчислені за наступним формулам. Ікс вершини (p- на рисунках вище) параболи (або точка в якій квадратний тричлен досягає свого найбільшого чи найменшого значення):
Гравець вершини (q- на рисунках вище) параболи або максимальне, якщо гілки параболи спрямовані вниз ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), значення квадратного тричлена:
Графіки інших функцій
Ступіньною функцією
Наведемо кілька прикладів графіків статечних функцій:
Назад пропорційною залежністюназивають функцію, задану формулою:
Залежно від знаку числа kграфік назад пропорційної залежностіможе мати два важливі варіанти:
Асимптота- це лінія, до якої лінія графіка функції нескінченно близько наближається, але з перетинає. Асимптотами для графіків зворотної пропорційностінаведених малюнку вище є осі координат, яких графік функції нескінченно близько наближається, але з перетинає їх.
Показовою функцієюз основою аназивають функцію, задану формулою:
aграфік показової функціїможе мати два важливі варіанти (наведемо також приклади, див. нижче):
Логарифмічною функцієюназивають функцію, задану формулою:
Залежно від того більше чи менше одиниці число aграфік логарифмічної функціїможе мати два важливі варіанти:
Графік функції y = |x| виглядає так:
Графіки періодичних (тригонометричних) функцій
Функція у = f(x) називається періодичноїякщо існує таке, нерівне нулю, число Т, що f(x + Т) = f(x), для будь-якого хз області визначення функції f(x). Якщо функція f(x) є періодичною з періодом T, то функція:
де: A, k, b – постійні числа, причому kне дорівнює нулю, також періодична з періодом T 1 який визначається формулою:
Більшість прикладів періодичних функцій- це тригонометричні функції. Наведемо графіки основних тригонометричних функцій. На наступному малюнку зображено частину графіка функції y= sin x(весь графік необмежено триває вліво та вправо), графік функції y= sin xназивають синусоїдою:
Графік функції y= cos xназивається косінусоїдою. Цей графік зображено на малюнку. Так як і графік синуса він нескінченно продовжується вздовж осі ОХ вліво та вправо:
Графік функції y= tg xназивають тангенсоідою. Цей графік зображено на малюнку. Як і графіки інших періодичних функцій, даний графікнеобмежено далеко повторюється вздовж осі ОХ вліво та вправо.
Ну і нарешті, графік функції y= ctg xназивається котангенсоідою. Цей графік зображено на малюнку. Як і графіки інших періодичних та тригонометричних функцій, цей графік необмежено далеко повторюється вздовж осі ОХ вліво та вправо.
Успішне, старанне та відповідальне виконання цих трьох пунктів дозволить Вам показати на ЦТ відмінний результатмаксимальний з того, на що Ви здатні.
Знайшли помилку?
Якщо Ви, як Вам здається, знайшли помилку у навчальних матеріалах, то напишіть, будь ласка, про неї на пошту. Написати про помилку можна також у соціальної мережі(). У листі вкажіть предмет (фізика чи математика), назву чи номер теми чи тесту, номер завдання, чи місце у тексті (сторінку) де на Вашу думку є помилка. Також опишіть у чому полягає ймовірна помилка. Ваш лист не залишиться непоміченим, помилка або буде виправлена, або Вам роз'яснять, чому це не помилка.
Функція- це математична величина, Що показує залежність одного елемента «у»від іншого "х".
Інакше сказати: залежність уназивається функцією змінної величини хякщо кожному значенню, яке може набувати хвідповідає одне чи кілька визначених значень у. Змінна х- це аргумент функції.
Величина узавжди залежить від величини х, отже, аргумент хє незалежної змінної, а функція у - залежною змінною.
Пояснимо на прикладі:
Нехай Т- це температура кипіння води, а Р - атмосферний тиск. При спостереженні встановлено, що кожному значенню, яке може набувати Р, відповідає завжди одне й те саме значення Т. Таким чином, Т- це функція аргументу Р.
Функціональна залежність Твід Рдозволяє при спостереженні температури кипіння води без барометра визначати тиск за спеціальними таблицями, наприклад таким:
Видно, що є значення аргументуТ, які температура кипіння приймати не може, наприклад, вона не може бути меншою. абсолютного нуля»(-273 ° С). Тобто неможливому значенню Т= - 300 °С, не відповідає жодному значенню Р. Тому у визначенні сказано: «кожному значенню, яке може набувати х ... », а не кожному значенню х…
При цьому Рє функцією аргументуТ. Таким чином, залежність Рвід Тдозволяє при спостереженні за тиском без термометра визначати температуру кипіння води за аналогічною таблицею:
Друге визначення функції.
Якщо кожному значенню аргументу хвідповідає одне значення функції у, то функція називається однозначною; якщо два і більше, то багатозначною(двозначною, тризначною). Якщо не застерігається, що функція багатозначна, слід розуміти, що вона однозначна.
Наприклад:
Сума ( S) кутів багатокутника - це функція числа (n) сторін. Аргумент nможе приймати лише цілі значення, але не менше, ніж 3 . Залежність Sвід nвиражається через формулу:
S = π (n - 2).
За одиницю виміру в даному прикладіприйнятий радіан. При цьому n- це функція аргументу Sі функціональна залежність nвід Sвиражається формулою:
n = S/ π + 2.
АргументSможе приймати лише значення, які кратні π , (π , 2 π , 3 π і т.д.).
Пояснимо на ще одному прикладі:
Сторона квадрата хє функцією його площі S (x = √ S). Аргумент може набувати будь-яких позитивних значень.
Аргумент- це завжди змінна величина, функція, як правило, теж змінна величина, що залежить від аргументу, але не виключена можливість її сталості.
Наприклад:
Відстань точки, що рухається від нерухомої - це функція часу перебування в дорозі, вона зазвичай змінюється, але при русі точки по колу відстань від центру залишається постійною.
При цьому, тривалість руху по колу не є функцією відстанівід центру.
Таким чином, коли функція є постійною величиною , то аргумент та функцію не можна міняти місцями.
1) Область визначення функції та область значень функції.
Область визначення функції - це безліч усіх допустимих дійсних значеньаргументу x(змінною x), при яких функція y = f(x)визначено. Область значень функції - це безліч усіх дійсних значень y, що приймає функцію.
У елементарної математикививчаються функції лише з безлічі дійсних чисел.
2) Нулі функції.
Нуль функції – таке значення аргументу, у якому значення функції дорівнює нулю.
3) Проміжки знаковості функції.
Проміжки знакостійності функції – такі безлічі значень аргументу, у яких значення функції лише позитивні чи лише негативні.
4) Монотонність функції.
Зростаюча функція (у певному проміжку) - функція, яка має більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше значення функції.
Зменшуюча функція (у певному проміжку) - функція, яка має більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає менше значення функції.
5) парність (непарність) функції.
Четна функція - функція, у якої область визначення симетрична щодо початку координат та для будь-якого хв галузі визначення виконується рівність f(-x) = f(x). Графік парної функції симетричний щодо осі ординат.
Непарна функція - функція, у якої область визначення симетрична щодо початку координат та для будь-якого хв галузі визначення справедлива рівність f(-x) = - f(x). Графік непарної функції симетричний щодо початку координат.
6) Обмежена та необмежена функції.
Функція називається обмеженою, якщо існує таке позитивне число M, що | f (x) | ≤ M для всіх значень x. Якщо такої кількості немає, то функція - необмежена.
7) Періодичність функції.
Функція f(x) - періодична, якщо існує таке відмінне від нуля число T, що для будь-якого x з області визначення функції має місце: f(x+T) = f(x). Таке найменше називається періодом функції. Усі тригонометричні функції є періодичними. (Тригонометричні формули).
19. Основні елементарні функції, їх властивості та графіки. Застосування функцій економіки.
Основні елементарні функції. Їх властивості та графіки
1. Лінійна функція.
Лінійною функцією називається функція виду , де х - змінна, а і b - дійсні числа.
Число аназивають кутовим коефіцієнтомпрямий, він дорівнює тангенсукута нахилу цієї прямої до позитивного напрямку осі абсцис. Графік лінійної функції є пряма лінія. Вона визначається двома точками.
Властивості лінійної функції
1. Область визначення - безліч всіх дійсних чисел: Д(y) = R
2. Безліч значень - безліч всіх дійсних чисел: Е(у) = R
3. Функція набуває нульового значення при або.
4. Функція зростає (зменшується) по всій області визначення.
5. Лінійна функція безперервна по всій області визначення, диференційована і .
2. Квадратична функція.
Функція виду , де х – змінна, коефіцієнти а, b, с – дійсні числа, називається квадратичні.