Аn арифметична. Сума арифметичної прогресії

Важливі зауваження!
1. Якщо замість формул ти бачиш абракадабру, почисти кеш. Як це зробити у твоєму браузері написано тут:
2. Перш ніж почнеш читати статтю, зверни увагу на наш навігатор по самих корисним ресурсудля

Числова послідовність

Отже, сядемо і почнемо писати якісь числа. Наприклад:
Писати можна будь-які числа, і може бути скільки завгодно (у разі їх). Скільки б чисел ми не написали, ми завжди можемо сказати, яке з них перше, яке друге і так далі до останнього, тобто можемо їх пронумерувати. Це і є приклад числової послідовності:

Числова послідовність
Наприклад, для нашої послідовності:

Присвоєний номер характерний лише однієї числа послідовності. Іншими словами, у послідовності немає трьох других чисел. Друге число (як і число) завжди одне.
Число з номером називається членом послідовності.

Всю послідовність ми зазвичай називаємо якоюсь літерою (наприклад,), і кожен член цієї послідовності - тією ж літерою з індексом, що дорівнює номеру цього члена: .

У нашому випадку:

Припустимо, у нас є числова послідовність, у якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює.
Наприклад:

і т.д.
Така числова послідовність називається арифметичною прогресією.
Термін «прогресія» був введений римським автором Боецієм ще в 6 столітті і розумівся на більш широкому значенніяк нескінченна числова послідовність. Назва «арифметична» було перенесено з теорії безперервних пропорцій, якими займалися давні греки.

Це числова послідовність, кожен член якої дорівнює попередньому, складеному з тим самим числом. Це число називається різницею арифметичної прогресії та позначається.

Спробуй визначити, які числові послідовності є арифметичною прогресією, а які:

a)
b)
c)
d)

Розібрався? Порівняємо наші відповіді:
Єарифметичною прогресією – b, c.
Не єарифметичною прогресією – a, d.

Повернемося до заданої прогресії() і спробуємо знайти значення її члена. Існує дваспособу його знаходження.

1. Спосіб

Ми можемо додавати до попереднього значення числа прогресії, поки не дійдемо до члена прогресії. Добре, що підсумувати нам залишилося небагато – лише три значення:

Отже, -ой член описаної арифметичної прогресії дорівнює.

2. Спосіб

А якщо нам потрібно було б знайти значення -го члена прогресії? Підсумовування зайняло б у нас не одну годину, і не факт, що ми не помилилися б при складанні чисел.
Зрозуміло, математики вигадали спосіб, у якому не потрібно додавати різницю арифметичної прогресії до попереднього значення. Придивись уважно до намальованого малюнка… Напевно, ти вже помітив якусь закономірність, а саме:

Наприклад, подивимося, з чого складається значення члена даної арифметичної прогресії:


Іншими словами:

Спробуй самостійно знайти у такий спосіб значення члена даної арифметичної прогресії.

Розрахував? Порівняй свої записи з відповіддю:

Зверніть увагу, що в тебе вийшло таке ж число, як і в попередньому способі, коли ми послідовно додавали до попереднього значення членів арифметичної прогресії.
Спробуємо «знеособити» цю формулу- Наведемо її в загальний виглядта отримаємо:

Рівняння арифметичної прогресії.

Арифметичні прогресії бувають зростаючі, а бувають спадні.

Зростаючі- прогресії, у яких кожне наступне значення членів більше попереднього.
Наприклад:

Знижені- прогресії, у яких кожне наступне значення членів менше попереднього.
Наприклад:

Виведена формула застосовується для членів як у зростаючих, і у спадних членах арифметичної прогресії.
Перевіримо це практично.
Нам дана арифметична прогресія, що складається з наступних чисел: Перевіримо, яке вийде число даної арифметичної прогресії, якщо при його розрахунку використовувати нашу формулу:

Тому що:

Таким чином, ми переконалися, що формула діє як у спадній, так і в зростаючій арифметичній прогресії.
Спробуй самостійно знайти члени цієї арифметичної прогресії.

Порівняємо отримані результати:

Властивість арифметичної прогресії

Ускладнимо завдання - виведемо властивість арифметичної прогресії.
Припустимо, нам дано таку умову:
- арифметична прогресія, знайти значення.
Легко, скажеш ти і почнеш вважати за вже відомою тобі формулою:

Нехай, а тоді:

Абсолютно правильно. Виходить ми спочатку знаходимо, потім додаємо його до першого числа і отримуємо шукане. Якщо прогресія представлена ​​невеликими значеннями, то нічого складного в цьому немає, а якщо нам за умови дані числа? Погодься, є ймовірність помилитися у обчисленнях.
А тепер подумай, чи можна вирішити це завдання в одну дію з використанням будь-якої формули? Звичайно, так, і саме її ми спробуємо зараз вивести.

Позначимо шуканий член арифметичної прогресії як формула його знаходження нам відома - це та сама формула, виведена нами на початку:
тоді:

• попередній член прогресії це:
• наступний член прогресії це:

Підсумуємо попередній та наступний члени прогресії:

Виходить, що сума попереднього та наступного членів прогресії – це подвоєне значення члена прогресії, що перебуває між ними. Іншими словами, щоб знайти значення члена прогресії при відомих попередніх та послідовних значеннях, необхідно скласти їх та розділити на.

Все вірно, ми отримали це число. Закріпимо матеріал. Вважай значення для прогресії самостійно, адже це зовсім нескладно.

Молодець! Ти знаєш про прогрес майже всі! Залишилося дізнатися тільки одну формулу, яку за легендами легко вивів для себе один з найбільших математиків усіх часів, «король математиків» - Карл Гаус...

Коли Карлу Гауссу було 9 років, вчитель, зайнятий перевіркою робіт учнів інших класів, поставив на уроці таке завдання: «Порахувати суму всіх натуральних чиселвід до (за іншими джерелами до) включно». Яке ж було здивування вчителя, коли один із його учнів (це і був Карл Гаусс) через хвилину дав правильну відповідь на поставлене завдання, при цьому більшість однокласників сміливця після довгих підрахунків отримали неправильний результат.

Юний Карл Гаусс помітив деяку закономірність, яку легко помітиш і ти.
Припустимо, у нас є арифметична прогресія, що складається з членів: Нам необхідно знайти суму даних членів арифметичної прогресії. Звичайно, ми можемо вручну підсумувати всі значення, але що робити, якщо в завданні потрібно буде знайти суму її членів, як це шукав Гаус?

Зобразимо задану прогресію. Придивись уважно до виділених чисел та спробуй зробити з ними різні математичні дії.


Спробував? Що ти помітив? Правильно! Їхні суми рівні

А тепер дай відповідь, скільки всього набереться таких пар у заданій нам прогресії? Звичайно, рівно половина всіх чисел, тобто.
Виходячи з того, що сума двох членів арифметичної прогресії дорівнює, а подібних рівних пар ми отримуємо, що загальна сумадорівнює:
.
Таким чином, формула для суми перших членів будь-якої арифметичної прогресії буде такою:

У деяких завданнях нам невідомий член, але відома різниця прогресії. Спробуй підставити формулу суми, формулу -го члена.
Що в тебе вийшло?

Молодець! Тепер повернемося до завдання, яке задали Карлу Гаусс: порахуй самостійно, чому дорівнює сума чисел, починаючи від -го, і сума чисел починаючи від -го.

Скільки у тебе вийшло?
Гаус вийшов, що сума членів дорівнює, а сума членів. Чи ти так вирішував?

Насправді формула суми членів арифметичної прогресії була доведена давньогрецьким вченим Діофантом ще у 3 столітті, та й упродовж усього цього часу дотепні людищосили користувалися властивостями арифметичної прогресії.
Наприклад, уяви Стародавній Єгипеті саму масштабне будівництвотого часу - будівництво піраміди… На малюнку представлено одну її сторону.

Де тут прогресія скажеш ти? Подивися уважно та знайди закономірність у кількості піщаних блоків у кожному ряді стіни піраміди.


Чим не арифметична прогресія? Порахуй, скільки всього блоків необхідно для будівництва однієї стіни, якщо в основу кладеться цегла. Сподіваюся, ти не вважатимеш, водячи пальцем по монітору, ти ж пам'ятаєш останню формулу і все, що ми говорили про арифметичну прогресію?

У даному випадкупрогресія виглядає в такий спосіб: .
Різниця арифметичної прогресії.
Кількість членів арифметичної прогресії.
Підставимо останні формули наші дані (порахуємо кількість блоків 2 способами).

Спосіб 1.

Спосіб 2.

А тепер можна і на моніторі порахувати: порівняй отримані значення з тією кількістю блоків, яка є в нашій піраміді. Зійшлося? Молодець, ти освоїв суму членів арифметичної прогресії.
Звичайно, з блоків у підставі піраміду не побудуєш, а от із? Спробуй розрахувати, скільки необхідно піщаної цегли, щоб побудувати стіну з такою умовою.
Впорався?
Вірна відповідь - блоків:

Тренування

Завдання:

1. Маша приходить у форму до літа. Щодня вона збільшує кількість присідань. Скільки разів присідатиме Маша через тижні, якщо на першому тренуванні вона зробила присідань.
2. Якою є сума всіх непарних чисел, що містяться в.
3. Лісоруби при зберіганні колод укладають їх таким чином, що кожен верхній шармістить одну колоду менше, ніж попередній. Скільки колод знаходиться в одній кладці, якщо основою кладки є колод.

Відповіді:

1. Визначимо параметри арифметичної прогресії. В даному випадку
   (Тижня = днів).

   Відповідь:Через два тижні Маша повинна присідати щодня.

2. Перше непарне число, останнє число.
   Різниця арифметичної прогресії.
   Кількість непарних чисел в - половина, проте, перевіримо цей факт, використовуючи формулу знаходження члена арифметичної прогресії:

   У числах справді міститься непарних чисел.
   Наявні дані підставимо у формулу:

   Відповідь:Сума всіх непарних чисел, що містяться, дорівнює.

3. Згадаймо завдання для піраміди. Для нашого випадку a , так як кожен верхній шар зменшується на одну колоду, то всього в купі шарів, тобто.
   Підставимо дані у формулу:

   Відповідь:У кладці знаходиться колод.

Підіб'ємо підсумки

1. - Чисельна послідовність, в якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює. Вона буває зростаючою та спадною.
2. Формула знаходження-го члена арифметичної прогресії записується формулою - , де - Число чисел в прогресії.
3. Властивість членів арифметичної прогресії- де - кількість чисел у прогресії.
4. Суму членів арифметичної прогресіїможна знайти двома способами:
   
   де - кількість значень.

АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ. СЕРЕДНИЙ РІВЕНЬ

Числова послідовність

Давай сядемо і почнемо писати якісь числа. Наприклад:

Писати можна будь-які числа, і їх може бути скільки завгодно. Але завжди можна сказати, яке з них перше, яке - друге і таке інше, тобто можемо їх пронумерувати. Це і є приклад числової послідовності.

Числова послідовність- це безліч чисел, кожному з яких можна надати унікальний номер.

Іншими словами, кожному числу можна поставити у відповідність якесь натуральне число, причому єдине. І цей номер ми не надамо більше жодному іншому числу з даної множини.

Число з номером називається членом послідовності.

Всю послідовність ми зазвичай називаємо якоюсь літерою (наприклад,), і кожен член цієї послідовності - тією ж літерою з індексом, що дорівнює номеру цього члена: .

Дуже зручно, якщо член послідовності можна задати який-небудь формулою. Наприклад, формула

задає послідовність:

А формула – таку послідовність:

Наприклад, арифметичною прогресією є послідовність (перший член тут дорівнює, а різниця). Або (, різниця).

Формула n-го члена

Рекурентною ми називаємо таку формулу, в якій щоб дізнатися член, потрібно знати попередній або кілька попередніх:

Щоб знайти за такою формулою, наприклад, член прогресії, нам доведеться обчислити попередні дев'ять. Наприклад, хай. Тоді:

Ну що, зрозуміло тепер якась формула?

У кожному рядку ми додаємо, помножене на якесь число. На яке? Дуже просто: це номер поточного члена мінус:

Тепер набагато зручніше, правда? Перевіряємо:

Виріши сам:

В арифметичній прогресії знайти формулу n-го члена та знайти сотий член.

Рішення:

Перший член дорівнює. А чому дорівнює різниця? А ось чому:

(Вона тому і називається різницею, що дорівнює різниці послідовних членів прогресії).

Отже, формула:

Тоді сотий член дорівнює:

Чому дорівнює сума всіх натуральних чисел від до?

За легендою, великий математикКарл Гаус, будучи 9-річним хлопчиком, порахував цю суму за кілька хвилин. Він зауважив, що сума першого та останнього числа дорівнює, сума другого та передостаннього – теж, сума третього та 3-го з кінця – теж, і так далі. Скільки всього набереться таких пар? Правильно, рівно половина кількості всіх чисел, тобто. Отже,

Загальна формула для суми перших членів будь-якої арифметичної прогресії буде такою:

Приклад:
Знайдіть суму всіх двоцифрових чиселкратних.

Рішення:

Перше таке число – це. Кожне наступне виходить додаванням до попереднього числа. Таким чином, цікаві для нас числа утворюють арифметичну прогресію з першим членом і різницею.

Формула члена для цієї прогресії:

Скільки членів у прогресії, якщо всі вони мають бути двозначними?

Дуже легко: .

Останній член прогресії дорівнюватиме. Тоді сума:

Відповідь: .

Тепер виріши сам:

1. Щодня спортсмен пробігає на м більше, ніж у попередній день. Скільки всього кілометрів він пробіжить за тижні, якщо першого дня він пробіг км?
2. Велосипедист проїжджає щодня на км більше, ніж попереднього. Першого дня він проїхав км. Скільки днів йому треба їхати, щоб подолати кілометри? Скільки кілометрів він проїде за останній день шляху?
3. Ціна холодильника в магазині щорічно зменшується на ту саму суму. Визначте, на скільки щороку зменшувалася ціна холодильника, якщо виставлений на продаж за рублів через шість років був проданий за рублів.

Відповіді:

1. Тут найголовніше - розпізнати арифметичну прогресію та визначити її параметри. У цьому випадку (тижня = днів). Визначити потрібно суму перших членів цієї прогресії:
   .
   Відповідь:
2. Тут дано: треба знайти.
   Очевидно, потрібно використовувати ту ж формулу суми, що і в попереднього завдання:
   .
   Підставляємо значення:

   Корінь, очевидно, не підходить, отже, відповідь.
   Порахуємо шлях, пройдений за останній день за допомогою формули члена:
   (Км).
   Відповідь:

3. Дано: . Знайти: .
   Простіше не буває:
   (Руб).
   Відповідь:

АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Це числова послідовність, у якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює.

Арифметична прогресіябуває зростаючою () та спадною ().

Наприклад:

Формула знаходження n-ого члена арифметичної прогресії

записується формулою, де - кількість чисел у прогресії.

Властивість членів арифметичної прогресії

Воно дозволяє легко знайти член прогресії, якщо відомі його сусідні члени – де – кількість чисел у прогресії.

Сума членів арифметичної прогресії

Існує два способи знаходження суми:

Де – кількість значень.

Де – кількість значень.

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Навіщо?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які отримали хороша освіта, заробляють набагато більше, ніж ті, хто не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостейі життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розбором і вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанти:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 499 руб

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Сума арифметичної прогресії.

Сума арифметичної прогресії – штука проста. І за змістом, і за формулою. Але завдання з цієї теми бувають усілякі. Від елементарних до цілком солідних.

Спочатку розберемося із змістом та формулою суми. А потім і вирішуємо. На своє задоволення.) Сенс суми простий, як мукання. Щоб знайти суму арифметичної прогресії, треба просто акуратно скласти всі її члени. Якщо цих членів мало, можна складати без будь-яких формул. Але якщо багато, або дуже багато... додавання напружує.) У цьому випадку рятує формула.

Формула суми виглядає просто:

Розберемося, що за літери входять у формулу. Це багато чого прояснить.

S n - Сума арифметичної прогресії. Результат додавання всіхчленів, з першогопо останній.Це важливо. Складаються саме всечлени поспіль, без перепусток та перескоків. І, саме, починаючи з першого.У завданнях типу знайти суму третього і восьмого членів, або суму членів з п'ятого по двадцятий - пряме застосуванняформули розчарує.)

a 1 - першийчлен прогресії. Тут все зрозуміло, це просто першеЧисло ряду.

a n- Останнійчлен прогресії. Остання кількість ряду. Не дуже звична назва, але, у застосуванні до суми, дуже годиться. Далі самі побачите.

n - Номер останнього члена. Важливо розуміти, що у формулі цей номер збігається з кількістю членів, що складаються.

Визначимося з поняттям останньогочлена a n. Питання на засипку: який член буде останнім,якщо дана нескінченнаарифметична прогресія?)

Для впевненої відповіді треба розуміти елементарний зміст арифметичної прогресії та... уважно читати завдання!)

У завданні на пошук суми арифметичної прогресії завжди фігурує (прямо чи опосередковано) останній член, яким слід обмежитися.Інакше кінцевої, конкретної суми просто не існує.Для вирішення не має значення, яка задана прогресія: кінцева, або нескінченна. Не має значення, як вона задана: поруч чисел, або формулою n-го члена.

Найголовніше - розуміти, що формула працює з першого члена прогресії до члена з номером n.Власне, повна назва формули виглядає так: сума перших членів арифметичної прогресії.Кількість цих перших членів, тобто. n, Визначається виключно завданням. У завданні вся ця цінна інформація часто зашифровується, так ... Але нічого, в прикладах нижче ми ці секрети розкриваємо.)

Приклади завдань у сумі арифметичної прогресії.

Насамперед, корисна інформація:

Основна складність у завданнях на суму арифметичної прогресії полягає в правильному визначенніелементів формули.

Ці елементи складники завдань шифрують з безмежною фантазією.) Тут головне – не боятися. Розуміючи суть елементів, просто їх розшифрувати. Докладно розберемо кілька прикладів. Почнемо із завдання на основі реального ДІА.

1. Арифметична прогресія задана умовою: an = 2n-3,5. Знайдіть суму перших 10 її членів.

Хороше завдання. Легке.) Нам визначення суми за формулою чого треба знати? Перший член a 1, останній член a n, та номер останнього члена n.

Де взяти номер останнього члена n? Та там же, за умови! Там сказано: знайти суму перших 10 членів.Ну і з яким номером буде останній,десятий член?) Ви не повірите, його номер - десятий!) Отже, замість a nу формулу будемо підставляти a 10, а замість n- десятку. Повторюю, номер останнього члена збігається з кількістю членів.

Залишилось визначити a 1і a 10. Це легко вважається за формулою n-го члена, яка дана за умови завдання. Чи не знаєте, як це зробити? Завітайте до попереднього уроку, без цього - ніяк.

a 1= 2 · 1 - 3,5 = -1,5

a 10= 2 · 10 - 3,5 = 16,5

S n = S 10.

Ми з'ясували значення всіх елементів формули суми арифметичної прогресії. Залишається підставити їх, та порахувати:

Ось і всі справи. Відповідь: 75.

Ще завдання з урахуванням ГИА. Трохи складніше:

2. Дана арифметична прогресія (a n), різниця якої дорівнює 3,7; a 1 = 2,3. Знайти суму перших 15 її членів.

Відразу пишемо формулу суми:

Ця формулка дозволяє нам знайти значення будь-якого члена за його номером. Шукаємо простою підстановкою:

a 15 = 2,3 + (15-1) · 3,7 = 54,1

Залишилося підставити всі елементи у формулу суми арифметичної прогресії та порахувати відповідь:

Відповідь: 423.

До речі, якщо у формулу суми замість a nпросто підставимо формулу n-го члена, отримаємо:

Наведемо подібні, отримаємо нову формулусуми членів арифметичної прогресії:

Як бачимо, тут не потрібно n-й член a n. У деяких завданнях ця формула чудово рятує, так... Можна цю формулу запам'ятати. А можна в потрібний моментїї просто вивести як тут. Адже формулу суми і формулу n-го члена треба пам'ятати.)

Тепер завдання у вигляді короткого шифрування):

3. Знайти суму всіх позитивних двоцифрових чисел, кратних трьом.

Ось як! Ні тобі першого члена, ні останнього, ні прогресії взагалі... Як жити?

Прийде думати головою і витягати з умови всі елементи суми арифметичної прогресії. Що таке двоцифрові числа - знаємо. З двох циферок складаються.) Яке двозначне число буде першим? 10, треба думати.) А останнєдвоцифрове число? 99, зрозуміло! За ним уже тризначні підуть...

Кратні трьом... Гм... Це такі числа, які діляться на три націло, ось! Десятка не ділиться на три, 11 не ділиться... 12... ділиться! Так, дещо вимальовується. Вже можна записати ряд за умовою завдання:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Чи буде цей ряд арифметичною прогресією? Звісно! Кожен член відрізняється від попереднього на трійку. Якщо члену додати 2, чи 4, скажімо, результат, тобто. нове число, що вже не поділиться націло на 3. До купи можна відразу і різницю арифметичної прогресії визначити: d=3.Стане в нагоді!)

Отже, можна сміливо записати деякі параметри прогресії:

А який буде номер nостаннього члена? Той, хто думає, що 99 – фатально помиляється... Номери – вони завжди поспіль йдуть, а члени у нас – через трійку перескакують. Чи не збігаються вони.

Тут два шляхи вирішення. Один шлях – для надпрацьовитих. Можна розписати прогресію, весь ряд чисел, і порахувати пальчиком кількість членів. Другий шлях - для вдумливих. Потрібно згадати формулу n-го члена. Якщо формулу застосувати до нашого завдання, то отримаємо, що 99 - це тридцятий член прогресії. Тобто. n = 30.

Дивимося на формулу суми арифметичної прогресії:

Дивимося, і радіємо.) Ми витягли з умови завдання все необхідне розрахунку суми:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Залишається елементарна арифметика. Підставляємо числа у формулу та вважаємо:

Відповідь: 1665

Ще один тип популярних завдань:

4. Дана арифметична прогресія:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Знайти суму членів із двадцятого по тридцять четвертий.

Дивимося на формулу суми і... засмучуємось.) Формула, нагадаю, вважає суму з першогочлена. А в завданні треба рахувати суму з двадцятого...Чи не спрацює формула.

Можна, звичайно, розписати всю прогресію до ряду, та поскладувати члени з 20 по 34. Але... якось тупо і довго виходить, правда?)

Є більше елегантне рішення. Розіб'ємо наш ряд на дві частини. Перша частина буде з першого члена до дев'ятнадцятого.Друга частина - з двадцятого до тридцять четвертого.Зрозуміло, що якщо ми порахуємо суму членів першої частини S 1-19, так складемо із сумою членів другої частини S 20-34, отримаємо суму прогресії з першого члена по тридцять четвертий S 1-34. Ось так:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Звідси видно, що знайти суму S 20-34можна простим відніманням

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Обидві суми у правій частині вважаються з першогочлена, тобто. до них цілком застосовна стандартна формуласуми. Приступаємо?

Витягуємо з умови завдання парметри прогресії:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Для розрахунку сум перших 19 та перших 34 членів нам потрібні будуть 19-й та 34-й члени. Вважаємо їх за формулою n-го члена, як у задачі 2:

a 19= -21,5 + (19-1) · 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 + (34-1) · 1,5 = 28

Залишається нічого. Від суми 34 членів відібрати суму 19 членів:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Відповідь: 262,5

Одне важливе зауваження! У вирішенні цього завдання є дуже корисна фішка. Замість прямого розрахунку того, що потрібно (S 20-34),ми порахували те, що, здавалося б, не потрібне - S 1-19 .А вже потім визначили і S 20-34, Відкинувши від повного результату непотрібне. Такий "фінт вухами" часто рятує в злих завданнях.)

У цьому уроці ми розглянули завдання, на вирішення яких достатньо розуміти сенс суми арифметичної прогресії. Ну і пару формул знати треба.)

Практична порада:

При вирішенні будь-якого завдання на суму арифметичної прогресії рекомендую відразу виписувати дві основні формули цієї теми.

Формулу n-го члена:

Ці формули одразу підкажуть, що потрібно шукати, у якому напрямку думати, щоб вирішити завдання. Допомагає.

А тепер – завдання для самостійного вирішення.

5. Знайти суму всіх двоцифрових чисел, які не діляться націло на три.

Круто?) Підказка прихована у зауваженні до завдання 4. Та й завдання 3 допоможе.

6. Арифметична прогресія задана умовою: a 1 = -5,5; an+1 = an+0,5. Знайдіть суму перших 24 її членів.

Незвично?) Це рекурентна формула. Про неї можна прочитати у попередньому уроці. Не ігноруйте посилання, такі завдання в ДПА часто зустрічаються.

7. Вася накопичив до Свята грошей. Цілих 4550 рублів! І вирішив подарувати найулюбленішій людині (собі) кілька днів щастя). Пожити красиво, ні в чому не відмовляючи. Витратити в перший день 500 рублів, а кожного наступного дня витрачати на 50 рублів більше, ніж у попередній! Поки не скінчиться запас грошей. Скільки днів щастя вийшло у Васі?

Складно?) Допоможе додаткова формулаіз завдання 2.

Відповіді (безладно): 7, 3240, 6.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Тип уроку: вивчення нового матеріалу.

Мета уроку: Формування поняття арифметичної прогресії як із видів послідовностей, виведення формули n-го члена, знайомство з характеристичним властивістю членів арифметичної прогресії. Розв'язання задач.

Завдання уроку:

• Освітні- запровадити поняття арифметичної прогресії; формули n-го члена; характеристична властивість, Які мають члени арифметичних прогресій.
• Розвиваючі- Виробляти вміння порівнювати математичні поняття, Знаходити подібності та відмінності, вміння спостерігати, помічати закономірності, проводити міркування за аналогією; сформувати вміння будувати та інтерпретувати математичну модельдеякої реальної ситуації.
• Виховні- сприяти вихованню інтересу до математики та її додатків, активності, вмінню спілкуватися, аргументовано відстоювати свої погляди

Устаткування: комп'ютер, мультимедійний проектор, презентація (Додаток 1)

Навчальні посібники: Алгебра 9, Ю.М.Макаричев, Н.Г.Міндюк, К.Н.Нешков, С.Б.Суворова за редакцією С.А.Теляковського, ВАТ "Московські підручники", 2010

План уроку:

1. Організаційний момент, постановка задачі
2. Актуалізація знань, усна робота
3. Вивчення нового матеріалу
4. Первинне закріплення
5. Підбиття підсумків уроку
6. Домашнє завдання

З метою підвищення наочності та зручності роботи з матеріалом, урок йде у супроводі презентації. Однак це не є обов'язковою умовою, і той же урок може бути проведений у класах, які не оснащені мультимедійним обладнанням. Для цього необхідні дані можуть бути підготовлені на дошці або у вигляді таблиць та плакатів.

Хід уроку

I. Організаційний момент, постановка задачі.

Вітання.

Тема сьогоднішнього уроку – арифметична прогресія. На цьому уроці ми дізнаємося, що таке арифметична прогресія, який загальний вигляд вона має, з'ясуємо, як відрізнити арифметичну прогресію від інших послідовностей та вирішимо завдання, де використовуються властивості арифметичних прогресій.

ІІ. Актуалізація знань, усна робота.

Послідовність () задана формулою: =. Який номер має член цієї послідовності, якщо він дорівнює 144? 225? 100? Чи є членами цієї послідовності 48? 49? 168?

Про послідовність () відомо, що , . Як називається такий спосіб завдання послідовності? Знайдіть перші чотири члени цієї послідовності.

Про послідовність () відомо, що . Як називається такий спосіб завдання послідовності? Знайдіть, якщо?

ІІІ. Вивчення нового матеріалу.

Прогресія - послідовність величин, кожна наступна з яких знаходиться в якійсь, спільній для всієї прогресії, залежно від попередньої. Термін нині багато в чому застарів і зустрічається лише у поєднаннях "арифметична прогресія" та "геометрична прогресія".

Термін "прогресія" має латинське походження (progression, що означає "рух уперед") і був запроваджений римським автором Боецієм (VI ст.). Цим терміном у математиці раніше іменували будь-яку послідовність чисел, побудовану за законом, що дозволяє необмежено продовжувати цю послідовність щодо одного напрямі. В даний час термін "прогресія" в спочатку широкому значенні не вживається. Два важливі приватні види прогресій - арифметична та геометрична - зберегли свої назви.

Розглянемо послідовності чисел:

• 2, 6, 10, 14, 18, :.
• 11, 8, 5, 2, -1, :.
• 5, 5, 5, 5, 5, :.

Чому дорівнює третій член першої послідовності? Наступний член? Попередній член? Чому дорівнює різниця між другим та першим членами? Третім та другим членами? Четвертим та третім?

Якщо послідовність побудована за одним законом, зробіть висновок, якою буде різниця між шостим та п'ятим членами першої послідовності? Між сьомим та шостим?

Назвіть двох наступних членів кожної послідовності. Чому Ви так вважаєте?

(Відповіді учнів)

Яким загальною властивістюмають ці послідовності? Сформулюйте цю властивість.

(Відповіді учнів)

Числові послідовності, Що мають цю властивість, називаються арифметичними прогресіями. Запропонувати учням самим спробувати сформулювати визначення.

Визначення арифметичної прогресії: арифметичною прогресією називається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, складеному з одним і тим самим числом:

( - Арифметична прогресія, якщо , Де деяке число.

Число d, Що показує, наскільки наступний член послідовності відрізняється від попереднього, називається різницею прогресії: .

Давайте ще раз подивимося на послідовності та поговоримо про відмінності. Які особливості мають кожна послідовність і з чим вони пов'язані?

Якщо в арифметичній прогресії різниця позитивна, то прогресія є зростаючою: 2, 6, 10, 14, 18,:. (

Якщо в арифметичній прогресії різниця негативна ( , то прогресія є спадною: 11, 8, 5, 2, -1, :. (

У разі, якщо різниця дорівнює нулю () і всі члени прогресії дорівнюють одному й тому ж числу, послідовність називається стаціонарною: 5, 5, 5, 5, :.

Як поставити арифметичну прогресію? Розглянемо таке завдання.

Завдання. На складі 1-го числа було 50 тонн вугілля. Щодня протягом місяця на склад приходить машина із 3 тоннами вугілля. Скільки вугілля буде на складі 30 числа, якщо протягом цього часу вугілля зі складу не витрачалося.

Якщо виписати кількість вугілля, що знаходиться на складі кожного числа, отримаємо арифметичну прогресію. Як вирішити це завдання? Невже доведеться прораховувати кількість вугілля у кожен із днів місяця? Чи можна обійтися без цього? Зауважуємо, що до 30 числа на склад прийде 29 машин із вугіллям. Таким чином, 30 числа складі буде 50+329=137 тонн вугілля.

Таким чином, знаючи лише перший член арифметичної прогресії та різницю, ми можемо знайти будь-який член послідовності. Чи завжди це так?

Проаналізуємо, як залежить кожен член послідовності від першого члена та різниці:

Таким чином, ми отримали формулу n-ого члена арифметичної прогресії.

приклад 1. Послідовність ()-арифметична прогресія. Знайдіть якщо і .

Скористаємося формулою n-ого члена ,

Відповідь: 260.

Розглянемо таке завдання:

В арифметичній прогресії парні члени виявилися затертими: 3, :, 7, :, 13: Чи можна відновити втрачені числа?

Учні, швидше за все, спочатку обчислять різницю прогресії, а потім знаходитимуть невідомі члени прогресії. Тоді можна запропонувати їм знайти залежність між невідомим членом послідовності, попереднім та наступним.

Рішення:Скористаємося тим, що в арифметичній прогресії різниця між сусідніми членами є постійною. Нехай - член послідовності, що шукається. Тоді

.

Зауваження. Ця властивістьарифметичної прогресії є її характеристичною властивістю. Це означає, що в будь-якій арифметичній прогресії кожен член, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному попереднього і наступного ( . І, навпаки, будь-яка послідовність, у якій кожен член, починаючи з другого дорівнює середньому арифметичному попереднього та наступного, є арифметичною прогресією.

IV. Первинне закріплення.

• № 575 аб - усно
• № 576 авд - усно
• № 577б – самостійно з перевіркою

Послідовність (- арифметична прогресія. Знайдіть , якщо і

Скористаємося формулою n-ого члена ,

Відповідь: -24,2.

Знайдіть 23-й та n-ий члени арифметичної прогресії -8; -6,5; :

Рішення:Перший член арифметичної прогресії дорівнює -8. Знайдемо різницю арифметичної прогресії, при цьому треба з наступного члена послідовності відняти попередній: -6,5-(-8)=1,5.

Скористаємося формулою n-ого члена.

Урок та презентація на тему: "Числові послідовності. Арифметична прогресія"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники в інтернет-магазині "Інтеграл" для 9 класу до підручників
Макарічева Ю.М. Алімова Ш.А. Мордковіча А.Г. Муравіна Г.К.

То що таке арифметична прогресія?

Числова послідовність, у якій кожен член, починаючи з другого, дорівнює суміпопереднього та деякого фіксованого числа, називається арифметичною прогресією.

Арифметична прогресія – рекурентно задана числова прогресія.

Давайте запишемо рекурентну форму: $a_(1)=a$; $a_(n)=a_(n-1)+d$, число d – різницю прогресії. а та d – певні задані числа.

приклад. 1,4,7,10,13,16… Арифметична прогресія, яка має $а=1, d=3$.

приклад. 3,0,-3,-6,-9… Арифметична прогресія, яка має $а=3, d=-3$.

приклад. 5,5,5,5,5… Арифметична прогресія, яка має $а=5, d=0$.

Арифметична прогресія має властивості монотонності, якщо різниця прогресії більше нуля, то послідовність зростаюча, якщо різниця прогресії менше нуля, то послідовність спадна.

Якщо в арифметичній прогресії кількість елементів звичайно, то прогрес називається кінцевою арифметичною прогресією.

Якщо задана послідовність $a_(n)$, і є арифметичної прогресією, то прийнято позначати: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.

Формула n-ого члена арифметичної прогресії

Арифметичну прогресію можна ставити і в аналітичній формі. Давайте подивимося, як це зробити:
$a_(1)=a_(1)$.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(3)=a_(2)+d=a_(1)+d+d=a_(1)+2d$.
$a_(4)=a_(3)+d=a_(1)+3d$.
$a_(5)=a_(4)+d=a_(1)+4d$.
Ми легко помічаємо закономірність: $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$.
Наша формула називається – формулою n-ого члена арифметичної прогресії.

Повернімося до наших прикладів і запишемо нашу формулу для кожного з прикладів.

приклад. 1,4,7,10,13,16… Арифметична прогресія, яка а=1, d=3. $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$.

приклад. 3,0,-3,-6,-9… Арифметична прогресія, яка а=3, d=-3. $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$.

приклад. Дана арифметична прогресія: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.
а) Відомо, що $a_(1)=5$, $d=3$. Знайти $a_(23)$.
б) Відомо, що $a_(1)=4$, $d=5$, $a_(n)=109$. Знайти n.
в) Відомо, що $d=-1$, $a_(22)=15$. Знайти $a_(1)$.
г) Відомо, що $a_(1)=-3$, $a_(10)=24$. Знайти d.
Рішення.
а) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$.
б) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$.
$5n=110=>n=22$.
в) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$.
г) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>d=3$.

приклад. При розподілі дев'ятого члена арифметичної прогресії на другий член у частці залишається 7, а при розподілі дев'ятого члена на п'ятий у частці виходить 2, а в залишку 5. Знайти тридцятий член прогресії.
Рішення.
Запишемо послідовно формули 2,5 та 9 членів нашої прогресії.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(5)=a_(1)+4d$.
$a_(9)=a_(1)+8d$.
Також з умови знаємо:
$a_(9)=7a_(2)$.
$a_(9)=2a_(5)+5$.
Або:
$a_(1)+8d=7(a_(1)+d)$.
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5$.
Складемо систему рівнянь:
$\begin(cases)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\end(cases)$.
$\begin(cases)d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\end(cases)$.
Вирішивши систему отримуємо: $ d = 6, a_ (1) = 1 $.
Знайдемо $a_(30)$.
$a_(30)=a_(1)+29d=175$.

Сума кінцевої арифметичної прогресії

Нехай ми маємо кінцеву арифметичну прогресію. Постає питання, а чи можна порахувати суму всіх її членів?
Спробуймо розібратися в цьому питанні.
Нехай дана кінцева арифметична прогресія: $a_(1),a_(2),...a_(n-1),a_(n)$.
Введемо позначення суми її членів: $S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
Давайте розглянемо, на конкретному прикладі, Чому дорівнює сума.

Нехай нам дано арифметична прогресія 1,2,3,4,5…100.
Сума її членів тоді представимо ось так:
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
Але подібна формула застосовна для будь-якої арифметичної прогресії:
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$.
Давайте запишемо нашу формулу в загальному випадку: $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$, де $k<1$.
Давайте виведемо формулу для обчислення суми членів арифметичної прогресії, запишемо двічі формулу у різних порядках:
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$.
Складемо між собою ці формули:
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a_ (n) + a_ (1)) $.
У правій частині нашої рівності n доданків, і ми знаємо, що кожен з них дорівнює $a_(1)+a_(n)$.
Тоді:
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n)))(2)$.
Також нашу формулу можна переписати у вигляді: оскільки $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$,
$S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$.
Найчастіше зручніше користуватися саме цією формулою, тому добре б її запам'ятати!

приклад. Дана кінцева арифметична прогресія.
Знайти:
а) $ s_ (22), якщо a_ (1) = 7, d = 2 $.
б) d,якщо $a_(1)=9$, $s_(8)=144$.
Рішення.
а) Скористаємося другою формулою суми $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2)*22 = 616 $.
б) У цьому прикладі скористаємося першою формулою: $S_(8)=\frac(8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$.
$144=36+4a_(8)$.
$a_(8)=27$.
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$.
$ d = 2 \ frac (4) (7) $.

приклад. Знайти суму всіх непарних двоцифрових чисел.
Рішення.
Члени нашої прогресії є: $a_(1)=11$, $a_(2)=13$, …, $a_(n)=99$.
Давайте знайдемо номер останнього члена прогресії:
$a_(n)=a_(1)+d(n-1)$.
$ 99 = 11 +2 (n-1) $.
$ n = 45 $.
Тепер знайдемо суму: $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=2475$.

приклад. Хлопці вирушили у похід. Відомо, що за першу годину вони пройшли 500 м, потім стали проходити на 25 метрів менше, ніж у першу годину. За скільки годин вони пройдуть 2975 метрів?
Рішення.
Шлях, пройдений за кожну годину, можна представити у вигляді арифметичної прогресії:
$a_(1)=500$, $a_(2)=475$, $a_(3)=450…$.
Різниця арифметичної прогресії дорівнює $d=-25$.
Шлях, пройдений 2975 метрів, є сумою членів арифметичної прогресії.
$S_(n)=2975$, де n - годинник витрачені на дорогу.
Тоді:
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$, $n=2975$.
$1000n-25(n-1)n=5950$.
Розділимо обидві частини на 25.
$40n-(n-1)n=238$.
$ n ^ 2-41n + 238 = 0 $.
$n_(1)=7$, $n_(2)=34$.
Очевидно, що логічніше вибрати $n = 7 $.
Відповідь. Хлопці були у дорозі 7 годин.

Характеристична властивість арифметичної прогресії

Діти, нехай дана арифметична прогресія, давайте розглянемо довільних три послідовні члени прогресії: $a_(n-1)$, $a_(n)$, $a_(n+1)$.
Ми знаємо що:
$a_(n-1)=a_(n)-d$.
$a_(n+1)=a_(n)+d$.
Давайте складемо наші вирази:
$a_(n-1)+a_(n+1)=2a_(n)$.
$a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.

Якщо прогресія кінцева, це рівність виконується всім членів, крім першого і останнього.
Якщо заздалегідь невідомо, який вид послідовності, але відомо що: $a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.
Тоді можна сміливо казати, що це арифметична прогресія.

Числова послідовність є арифметичною прогресією, коли кожен член цієї прогресії дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх членів нашої прогресії (не забуваймо, що для кінцевої прогресії ця умова не виконується для першого та останнього члена прогресії).

приклад. Знайти такі х, що $ 3х + 2 $; $x-1$; $4x+3$ – три послідовні члени арифметичної прогресії.
Рішення. Скористаємося нашою формулою:
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$.
$2x-2=7x+5$.
$-5x = 7 $.
$ x = -1 \ frac (2) (5) = -1,4 $.
Перевіримо, наші вирази набудуть вигляду: -2,2; -2,4; -2,6.
Вочевидь, це члени арифметичної прогресії і $d=-0,2$.

Завдання для самостійного вирішення

1. Знайдіть двадцять перший член арифметичної прогресії 38; 30; 22 ...
2. Знайдіть п'ятнадцятий член арифметичної прогресії 10,21,32…
3. Відомо, що $a_(1)=7$, $d=8$. Знайти $a_(31)$.
4. Відомо, що $a_(1)=8$, $d=-2$, $a_(n)=-54$. Знайти n.
5. Знайдіть суму перших сімнадцяти членів арифметичної прогресії 3;12;21….
6. Знайти такі х, що $ 2х-1 $; $3x+1$; $5x-7$ – три послідовні члени арифметичної прогресії.

Наприклад, послідовність (2); \ (5 \); \ (8 \); \ (11 \); \(14\)... є арифметичною прогресією, тому що кожен наступний елемент відрізняється від попереднього на три (може бути отриманий з попереднього додаванням трійки):

У цій прогресії різниця (d) позитивна (рівна (3)), і тому кожен наступний член більший за попередній. Такі прогресії називаються зростаючими.

Однак (d) може бути і негативним числом. Наприклад, в арифметичній прогресії \(16\); \ (10 ​​\); \ (4 \); \(-2\); \ (-8 \) ... Різниця прогресії \ (d \) дорівнює мінус шести.

І в цьому випадку кожен наступний елемент буде меншим, ніж попередній. Ці прогресії називаються спадаючими.

Позначення арифметичної прогресії

Прогресію позначають маленькою латинською літерою.

Числа, що утворюють прогресію, називають її членами(або елементами).

Їх позначають тією ж літерою як і арифметичну прогресію, але з числовим індексом, рівним номеру елемента по порядку.

Наприклад, арифметична прогресія (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \) складається з елементів \ (a_1 = 2 \); \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) і так далі.

Іншими словами, для прогресії (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \)

Розв'язання задач на арифметичну прогресію

У принципі, викладеної вище інформації вже достатньо, щоб вирішувати практично будь-яке завдання на арифметичну прогресію (у тому числі з тих, що пропонують на ОДЕ).

Приклад (ОДЕ). Арифметична прогресія задана умовами (b_1 = 7; d = 4). Знайдіть (b_5).
Рішення:

Відповідь: \ (b_5 = 23 \)

Приклад (ОДЕ). Дано перші три члени арифметичної прогресії: \(62; 49; 36…\) Знайдіть значення першого негативного члена цієї прогресії.
Рішення:

	Нам дано перші елементи послідовності та відомо, що вона – арифметична прогресія. Тобто, кожен елемент відрізняється від сусіднього на те саме число. Дізнаємось на яке, віднімаючи з наступного елемента попередній: \(d=49-62=-13\).
	Тепер ми можемо відновити нашу прогресію до потрібного (першого негативного) елемента.
	Готово. Можна писати відповідь.

Відповідь: \(-3\)

Приклад (ОДЕ). Дано кілька елементів арифметичної прогресії, що йдуть поспіль: \(…5; x; 10; 12,5...\) Знайдіть значення елемента, позначеного буквою \(x\).
Рішення:

	Щоб знайти (x), нам потрібно знати наскільки наступний елемент відрізняється від попереднього, інакше кажучи - різницю прогресії. Знайдемо її з двох відомих сусідніх елементів: (d = 12,5-10 = 2,5).
	Нині ж без проблем знаходимо шукане: \(x=5+2,5=7,5\).
	Готово. Можна писати відповідь.

Відповідь: \(7,5\).

Приклад (ОДЕ). Арифметична прогресія задана такими умовами: (a_1=-11); \(a_(n+1)=a_n+5\) Знайдіть суму перших шести членів цієї прогресії.
Рішення:

	Нам потрібно знайти суму перших шістьох членів прогресії. Але ми не знаємо їх значень, нам дано лише перший елемент. Тому спочатку обчислюємо значення по черзі, використовуючи дане нам: \ (n = 1 \); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \ (n = 2 \); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \ (n = 3 \); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) А обчисливши потрібні нам шість елементів – знаходимо їхню суму.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Шукану суму знайдено.

Відповідь: \ (S_6 = 9 \).

Приклад (ОДЕ). В арифметичній прогресії \(a_(12)=23\); \ (a_ (16) = 51 \). Знайдіть різницю цієї прогресії.
Рішення:

Відповідь: \ (d = 7 \).

Важливі формули арифметичної прогресії

Як бачите, багато завдань з арифметичної прогресії можна вирішувати, просто зрозумівши головне – те, що арифметична прогресія є ланцюжок чисел, і кожен наступний елемент у цьому ланцюжку виходить додаванням до попереднього одного і того ж числа (різниці прогресії).

Однак часом трапляються ситуації, коли вирішувати «в лоб» дуже незручно. Наприклад, уявіть, що в першому прикладі нам потрібно знайти не п'ятий елемент \(b_5\), а триста вісімдесят шостий \(b_(386)\). Це що ж, нам (385) разів додавати четвірку? Або уявіть, що у передостанньому прикладі треба знайти суму перших сімдесяти трьох елементів. Вважати замучаєшся ...

Тому в таких випадках «у лоб» не вирішують, а використовують спеціальні формули, виведені для арифметичної прогресії. І головні їх це формула енного члена прогресії і формула суми (n) перших членів.

Формула \(n\)-го члена: \(a_n=a_1+(n-1)d\), де \(a_1\) - перший член прогресії;
\ (n \) - Номер шуканого елемента;
\(a_n\) - член прогресії з номером \(n\).

Ця формула дозволяє нам швидко знайти хоч триста, хоч мільйонний елемент, знаючи лише перший і різницю прогресії.

приклад. Арифметична прогресія задана умовами: (b_1=-159); (d = 8,2). Знайдіть \(b_(246)\).
Рішення:

Відповідь: \ (b_ (246) = 1850).

Формула суми n перших членів: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), де

\(a_n\) – останній підсумований член;

Приклад (ОДЕ). Арифметична прогресія задана умовами (a_n = 3,4n-0,6 \). Знайдіть суму перших (25) членів цієї прогресії.
Рішення:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Щоб обчислити суму перших двадцяти п'яти елементів, нам потрібно знати значення першого та двадцять п'ятого члена. Наша прогресія задана формулою енного члена в залежності від його номера (детальніше дивись). Давайте обчислимо перший елемент, підставивши замість (n) одиницю.
\(n = 1; \) \ (a_1 = 3,4 · 1-0,6 = 2,8 \)		Тепер знайдемо двадцять п'ятий член, підставивши замість двадцять п'ять.
\ (n = 25; \) \ (a_ (25) = 3,4 · 25-0,6 = 84,4 \)		Ну, а зараз без проблем обчислюємо потрібну суму.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Відповідь готова.

Відповідь: \ (S_ (25) = 1090 \).

Для суми перших членів можна отримати ще одну формулу: потрібно просто в (S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\ ) замість \(a_n\) підставити формулу для нього \(a_n=a_1+(n-1)d\). Отримаємо:

Формула суми n перших членів: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), де

\ (S_n \) - Шукана сума \ (n \) перших елементів;
\(a_1\) – перший сумований член;
(d) - різниця прогресії;
\(n\) – кількість елементів у сумі.

приклад. Знайдіть суму перших (33)-їх членів арифметичної прогресії: (17); \ (15,5 \); \ (14 \) ...
Рішення:

Відповідь: \ (S_ (33) = -231 \).

Більш складні завдання на арифметичну прогресію

Тепер у вас є вся необхідна інформація для вирішення практично будь-якого завдання на арифметичну прогресію. Завершимо тему розглядом завдань, у яких треба не просто застосовувати формули, але й трохи думати (в математиці це корисно ☺)

Приклад (ОДЕ). Знайдіть суму всіх негативних членів прогресії: (-19,3); \ (-19 \); \ (-18,7 \) ...
Рішення:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Завдання дуже схоже на попереднє. Починаємо вирішувати також: спочатку знайдемо (d).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Тепер би підставити (d) у формулу для суми… і ось тут спливає маленький нюанс – ми не знаємо (n). Інакше кажучи, не знаємо, скільки членів потрібно буде скласти. Як це з'ясувати? Давайте думати. Ми припинимо складати елементи тоді, коли дійдемо першого позитивного елемента. Тобто потрібно дізнатися номер цього елемента. Як? Запишемо формулу обчислення будь-якого елемента арифметичної прогресії: (a_n=a_1+(n-1)d) для нашого випадку.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Нам потрібно, щоб (a_n) став більше нуля. З'ясуємо, за якого \(n\) це станеться.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Ділимо обидві частини нерівності на (0,3).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Переносимо мінус одиницю, не забуваючи міняти знаки
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Обчислюємо…
\(n>65,333…\)		…і з'ясовується, що перший позитивний елемент матиме номер (66). Відповідно, останній негативний має \(n=65\). Про всяк випадок, перевіримо це.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Таким чином, нам потрібно скласти перші (65) елементів.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Відповідь готова.

Відповідь: \ (S_ (65) = -630,5 \).

Приклад (ОДЕ). Арифметична прогресія задана умовами: (a_1=-33); \(a_(n+1)=a_n+4\). Знайдіть суму від \(26\)-го до \(42\) елемента включно.
Рішення:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	У цьому завдання також потрібно знайти суму елементів, але починаючи не з першого, а з (26)-го. Для такої нагоди у нас формули немає. Як вирішувати? Легко - щоб отримати суму з \(26\)-го до \(42\)-ой, треба спочатку знайти суму з \(1\)-ого ​​по \(42\)-ой, а потім відняти від неї суму з першого до (25)-ого ​​(см картинку).
	Для нашої прогресії \(a_1=-33\), а різниця \(d=4\) (адже саме четвірку ми додаємо до попереднього елементу, щоб визначити наступний). Знаючи це, знайдемо суму перших (42)-ух елементів.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Тепер суму перших (25) елементів.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Ну і нарешті обчислюємо відповідь.
\ (S = S_ (42)-S_ (25) = 2058-375 = 1683 \)

Відповідь: (S = 1683).

Для арифметичної прогресії існує ще кілька формул, які ми не розглядали в цій статті через їхню малу практичну корисність. Однак ви легко можете знайти їх .