I. Прямо пропорційні величини.
Нехай величина yзалежить від величини х. Якщо при збільшенні ху кілька разів величина узбільшується в стільки ж разів, то такі величини хі уназиваються прямо пропорційними.
приклади.
1 . Кількість купленого товару та вартість покупки (при фіксованій ціні однієї одиниці товару – 1 штуки або 1 кг тощо). У скільки разів більше товару купили, у стільки разів більше й заплатили.
2 . Пройдений шлях і витрачений нею час (за постійної швидкості). У скільки разів довша дорога, у стільки разів більше витратимо часу на те, щоб її пройти.
3 . Обсяг будь-якого тіла та його маса. ( Якщо один кавун у 2 рази більший за інший, то і маса його буде в 2 рази більша)
ІІ. Властивість прямої пропорційності величин.
Якщо дві величини прямо пропорційні, то відношення двох довільно взятих значень першої величини дорівнює відношенню двох відповідних значень другої величини.
Завдання 1.Для малинового варення взяли 12 кгмалини та 8 кгцукру. Скільки цукру потрібно, якщо взяли 9 кгмалини?
Рішення.
Міркуємо так: нехай буде потрібно х кгцукру на 9 кгмалини. Маса малини і маса цукру - прямо пропорційні величини: у скільки разів менше малини, у стільки ж разів потрібно менше цукру. Отже, відношення взятої (за масою) малини ( 12:9 ) буде дорівнює відношенню взятого цукру ( 8:х). Отримуємо пропорцію:
12: 9=8: х;
х = 9 · 8: 12;
х = 6. Відповідь:на 9 кгмалини потрібно взяти 6 кгцукру.
Рішення завданняможна було оформити і так:
Нехай на 9 кгмалини потрібно взяти х кгцукру.
(Стрілки на малюнку спрямовані в один бік, а вгору чи вниз — не має значення. Сенс: у скільки разів число 12 більше числа 9 , у стільки ж разів число 8 більше числа х, Т. е. тут пряма залежність).
Відповідь:на 9 кгмалини треба взяти 6 кгцукру.
Завдання 2.Автомобіль за 3:00проїхав відстань 264 км. За який час він проїде 440 кмякщо буде їхати з тією ж швидкістю?
Рішення.
Нехай за х годинавтомобіль пройде відстань 440 км.
Відповідь:автомобіль пройде 440 км за 5 годин.
Пропорційність - це взаємозв'язок між двома величинами, при якій зміна однієї з них спричиняє зміну іншої в стільки ж разів.
Пропорційність буває прямою та зворотною. У цьому уроці ми розглянемо кожну з них.
Зміст урокуПряма пропорційність
Припустимо, що автомобіль рухається зі швидкістю 50 км/год. Ми пам'ятаємо, що швидкість – це відстань, пройдена за одиницю часу (1 година, 1 хвилина або 1 секунда). У нашому прикладі автомобіль рухається зі швидкістю 50 км/год, тобто за одну годину він проїжджатиме відстань, що дорівнює п'ятдесяти кілометрам.
Зобразимо на малюнку відстань, пройдену автомобілем за 1 годину
Нехай автомобіль проїхав ще одну годину з тією ж швидкістю, що дорівнює п'ятдесяти кілометрів на годину. Тоді вийде, що автомобіль проїде 100 км.
Як видно з прикладу, збільшення часу вдвічі призвело до збільшення пройденої відстані в стільки ж разів, тобто вдвічі.
Такі величини, як і відстань називають прямо пропорційними. А взаємозв'язок між такими величинами називають прямою пропорційністю.
Прямою пропорційністю називають взаємозв'язок між двома величинами, при якій збільшення однієї з них спричиняє збільшення іншої в стільки ж разів.
і навпаки, якщо одна величина зменшується в кілька разів, то інша зменшується в стільки ж разів.
Припустимо, що спочатку планувалося проїхати автомобілем 100 км за 2 години, але проїхавши 50 км, водій вирішив відпочити. Тоді вийде, що зменшивши відстань вдвічі, час зменшиться в стільки ж разів. Іншими словами, зменшення пройденої відстані призведе до скорочення часу в стільки ж разів.
Цікава особливість прямо пропорційних величин у тому, що й ставлення завжди постійно. Тобто при зміні значень прямо пропорційних величин їхнє ставлення залишається незмінним.
У розглянутому прикладі відстань спочатку дорівнювала 50 км, а час одній годині. Відношення відстані на час є число 50.
Але ми збільшили час руху в 2 рази, зробивши його рівною дві години. В результаті пройдена відстань збільшилася в стільки ж разів, тобто дорівнювало 100 км. Ставлення ста кілометрів до другої години знову ж таки є число 50
Число 50 називають коефіцієнтом прямої пропорційності. Він показує скільки відстані посідає годину руху. У разі коефіцієнт грає роль швидкості руху, оскільки швидкість це ставлення пройденого відстані до часу.
З прямо пропорційних величин можна становити пропорції. Наприклад, відносини і становлять пропорцію:
П'ятдесят кілометрів так відносяться до однієї години, як сто кілометрів відносяться до другої години.
Приклад 2. Вартість та кількість купленого товару є прямо пропорційними величинами. Якщо 1 кг цукерок коштує 30 рублів, то 2 кг цих цукерок обійдуться в 60 рублів, 3 кг в 90 рублів. Зі збільшенням вартості купленого товару його кількість збільшується в стільки ж разів.
Оскільки вартість товару та його кількість є прямо пропорційними величинами, їх відношення завжди постійно.
Запишемо чому дорівнює відношення тридцяти рублів до одного кілограма
Тепер запишемо чому рівне ставлення шістдесяти рублів до двох кілограмів. Це ставлення знову ж таки дорівнює тридцяти:
Тут коефіцієнтом прямої пропорційності є число 30. Цей коефіцієнт показує скільки рублів посідає кілограм цукерок. У цьому прикладі коефіцієнт грає роль ціни одного кілограма товару, оскільки ціна це відношення вартості товару на його кількість.
Зворотня пропорційність
Розглянемо наступний приклад. Відстань між двома містами – 80 км. Мотоцикліст виїхав з першого міста і зі швидкістю 20 км/год доїхав до другого міста за 4 години.
Якщо швидкість мотоцикліста склала 20 км/год це означає, що кожну годину він проїжджав відстань, що дорівнює двадцяти кілометрам. Зобразимо на малюнку відстань, пройдену мотоциклістом, та час його руху:
На зворотному шляху швидкість мотоцикліста була 40 км/год, і той самий шлях він витратив 2 години.
Легко помітити, що при зміні швидкості час руху змінився в стільки ж разів. Причому змінилося у зворотний бік — тобто швидкість збільшилася, а час навпаки зменшився.
Такі величини, як швидкість і час називають обернено пропорційними. А взаємозв'язок між такими величинами називають зворотною пропорційністю.
Зворотною пропорційністю називають взаємозв'язок між двома величинами, при якій збільшення однієї з них спричиняє зменшення іншої в стільки ж разів.
і навпаки, якщо одна величина зменшується в кілька разів, то інша збільшується в стільки ж разів.
Наприклад, якщо на зворотному шляху швидкість мотоцикліста склала б 10 км/год, то ті ж 80 км він подолав би за 8 годин:
Як бачимо з прикладу, зменшення швидкості призвело до збільшення часу руху в стільки ж разів.
Особливість обернено пропорційних величин полягає в тому, що їх твір завжди постійно. Тобто, при зміні значень обернено пропорційних величин, їх твір залишається незмінним.
У розглянутому прикладі відстань між містами дорівнювала 80 км. При зміні швидкості та часу руху мотоцикліста ця відстань завжди залишалася незмінною
Мотоцикліст міг проїхати цю відстань зі швидкістю 20 км/год за 4 години і зі швидкістю 40 км/год за 2 години, і зі швидкістю 10 км/год за 8 годин. У всіх випадках добуток швидкості і часу дорівнював 80 км
Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки
Типи залежностей
Розглянемо заряджання батареї. Як перша величина візьмемо час, який вона заряджається. Друга величина – час, який вона працюватиме після заряджання. Чим довше заряджається батарея, тим довше вона працюватиме. Процес триватиме, доки батарея не повністю зарядиться.
Залежність часу роботи батареї від часу, що вона заряджається
Зауваження 1
Така залежність називається прямий:
Зі збільшенням однієї величини збільшується і друга. Зі зменшенням однієї величини зменшується і друга величина.
Розглянемо інший приклад.
Чим більше книг прочитає учень, тим менше помилок зробить у диктанті. Або що вище піднятися в гори, то нижче буде атмосферний тиск.
Зауваження 2
Така залежність називається зворотній:
Зі збільшенням однієї величини зменшується друга. Зі зменшенням однієї величини збільшується друга величина.
Таким чином, у випадку прямої залежностіобидві величини змінюються однаково (обидві або збільшуються, або зменшуються), а у випадку зворотної залежності- Протилежно (одна збільшується, а інша зменшується або навпаки).
Визначення залежностей між величинами
Приклад 1
Час, витрачений для походу в гості до друга, становить $20$ хвилин. При збільшенні швидкості (першої величини) у $2$ рази знайдемо, як зміниться час (друга величина), який буде витрачено на шлях до друга.
Очевидно, що час зменшиться у $2$ рази.
Примітка 3
Таку залежність називають пропорційною:
Скільки разів зміниться одна величина, стільки разів зміниться і друга.
Приклад 2
За $ 2 $ булки хліба в магазині потрібно заплатити 80 рублів. Якщо потрібно купити $4$ булки хліба (кількість хліба збільшується в $2$ рази), скільки разів доведеться більше заплатити?
Очевидно, що вартість також збільшиться у $2$ рази. Маємо приклад пропорційної залежності.
В обох прикладах було розглянуто пропорційні залежності. Але в прикладі з булками хліба величини змінюються в один бік, отже, залежність прямий. А в прикладі з походом до друга залежність між швидкістю та часом – зворотна. Таким чином, існує прямо пропорційна залежністьі назад пропорційна залежність.
Пряма пропорційність
Розглянемо $2$ пропорційні величини: кількість булок хліба та його вартість. Нехай $2$ булки хліба коштують $80$ рублів. При збільшенні кількості булок $4$ рази ($8$ булок) їх загальна вартість становитиме $320$ рублів.
Відношення кількості булок: $ frac (8) (2) = 4 $.
Відношення вартості булок: $ frac (320) (80) = 4 $.
Як видно, ці відносини рівні між собою:
$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.
Визначення 1
Рівність двох відносин називається пропорцією.
При прямо пропорційної залежності виходить відношення, коли зміна першої та другої величини збігається:
$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.
Визначення 2
Дві величини називаються прямо пропорційнимиякщо при зміні (збільшенні або зменшенні) однієї з них у стільки ж разів змінюється (збільшується або зменшується відповідно) та інша величина.
Приклад 3
Автомобіль проїхав $180$ за $2$ години. Знайти час, за який він з тією ж швидкістю проїде у $2$ рази більшу відстань.
Рішення.
Час прямо пропорційний відстані:
$t=\frac(S)(v)$.
У скільки разів збільшиться відстань, за постійної швидкості, у стільки ж разів збільшиться час:
$\frac(2S)(v)=2t$;
$\frac(3S)(v)=3t$.
Автомобіль проїхав $180$ км - за час $2$ години
Автомобіль проїде $180 \cdot 2=360$ км - за час $x$ годин
Чим більше відстань проїде автомобіль, тим більше йому знадобиться. Отже, залежність між величинами прямо пропорційна.
Складемо пропорцію:
$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;
$ x = \ frac (360 \ cdot 2) (180) $;
Відповідь: автомобілю знадобиться $4$ години.
Зворотня пропорційність
Визначення 3
Рішення.
Час назад пропорційно швидкості:
$t=\frac(S)(v)$.
У скільки разів збільшується швидкість, при тому ж шляху, у стільки ж разів зменшується час:
$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;
$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.
Запишемо умову завдання у вигляді таблиці:
Автомобіль проїхав $60$ км - за час $6$ годин
Автомобіль проїде $120$ км – за час $x$ годин
Чим більша швидкість автомобіля, тим менше часу йому знадобиться. Отже, залежність між величинами обернено пропорційна.
Складемо пропорцію.
Т.к. пропорційність зворотна, друге відношення у пропорції перевертаємо:
$ frac (60) (120) = frac (x) (6) $;
$ x = \ frac (60 \ cdot 6) (120) $;
Відповідь: автомобілю знадобиться $3$ години.
§ 129. Попередні роз'яснення.
Людина має справу з найрізноманітнішими величинами. Службовець та робітник намагаються до певного часу потрапити на службу, на роботу, пішохід поспішає дійти до відомого місця найкоротшим шляхом, опалювач парового опалення турбується про те, що температура в котлі повільно піднімається, господарник будує плани зниження вартості продукції і т.д.
Таких прикладів можна було б навести скільки завгодно. Час, відстань, температура, вартість - це різноманітні величини. У першій і в другій частинах цієї книги ми ознайомилися з деякими величинами, що особливо часто зустрічаються: площею, об'ємом, вагою. З багатьма величинами ми зустрічаємося щодо фізики та інших наук.
Уявіть, що ви їдете в поїзді. Час від часу ви дивитеся на годинник і помічаєте, як довго ви вже перебуваєте в дорозі. Ви кажете, наприклад, що з часу відправлення вашого поїзда пройшло 2, 3, 5, 10, 15 годин і т. д. Ці числа означають різні проміжки часу; вони називаються значеннями цієї величини (часу). Або ви дивитеся у вікно і стежте за дорожніми стовпами за відстанню, яка проходить ваш поїзд. Перед вами з'являються числа 110, 111, 112, 113, 114 км. Ці числа позначають різні відстані, які пройшов поїзд від місця відправлення. Вони теж називаються значеннями, на цей раз іншої величини (шляху чи відстані між двома пунктами). Таким чином, одна величина, наприклад, час, відстань, температура, може приймати скільки завгодно різних значень.
Людина майже ніколи не розглядає тільки одну величину, а завжди зв'язує її з якими-небудь іншими величинами. Йому доводиться одночасно мати справу з двома, трьома та більшим числом величин. Уявіть собі, що вам потрібно до 9 години потрапити до школи. Ви дивитеся на годинник і бачите, що у вашому розпорядженні 20 хвилин. Тоді ви швидко розумієте, чи варто вам сідати в трамвай, чи ви встигнете дійти до школи пішки. Подумавши, ви вирішуєте йти пішки. Зверніть увагу, що в той час, коли ви думали, ви вирішували деяке завдання. Це завдання стало простим і звичним, тому що ви вирішуєте такі завдання щодня. У ній ви швидко зіставили кілька величин. Саме ви подивилися на годинник, значить, врахували час, потім ви подумки уявили собі відстань від вашого будинку до школи; нарешті, ви порівняли дві величини: швидкість вашого кроку і швидкість трамвая, і зробили висновок, що за цей час (20 хв) ви встигнете дійти пішки. З цього простого прикладу ви бачите, що в нашій практиці деякі величини пов'язані між собою, тобто залежать одна від одної
На чолі дванадцятому було розказано про відношення однорідних величин. Наприклад, якщо один відрізок дорівнює 12 м, а інший 4 м, відношення цих відрізків буде 12: 4.
Ми говорили, що це є відношення двох однорідних величин. Можна сказати інакше, що це є відношення двох чисел одного найменування.
Тепер, коли ми більше познайомилися з величинами та запровадили поняття значення величини, можна по-новому висловити визначення відносини. Справді, коли ми розглядали два відрізки 12 м і 4 м, то ми говорили про одну величину – довжину, а 12 м та 4 м – це були лише два різні значення цієї величини.
Тому надалі, коли ми говоритимемо про відношенні, то будемо розглядати при цьому два значення однієї якоїсь величини, а ставленням одного значення величини до іншого значення тієї ж величини називатимемо приватне від розподілу першого значення на друге.
§ 130. Величини прямо пропорційні.
Розглянемо задачу, в умову якої входять дві величини: відстань та час.
Завдання 1.Тіло, що рухається прямолінійно і рівномірно, проходить у кожну секунду 12 см. Визначити шлях, пройдений тілом 2, 3, 4, ..., 10 секунд.
Складемо таблицю, за якою можна було б стежити за зміною часу та відстані.
Таблиця дає можливість порівняти ці дві низки значень. Ми бачимо з неї, що коли значення першої величини (часу) поступово збільшуються у 2, 3, ..., 10 разів, то й значення другої величини (відстань) теж збільшуються у 2, 3,..., 10 разів. Таким чином, при збільшенні значень однієї величини в кілька разів значення іншої величини збільшуються в стільки ж разів, а при зменшенні значень однієї величини в кілька разів значення іншої величини зменшуються в стільки ж разів.
Розглянемо тепер завдання, до якого входять дві такі величини: кількість матерії та її вартість.
Завдання 2. 15 м тканини коштують 120 руб. Обчислити вартість цієї тканини для кількох інших кількостей метрів, зазначених у таблиці.
По цій таблиці ми можемо простежити, як поступово зростає вартість товару в залежності від збільшення його кількості. Незважаючи на те, що в цьому завданні фігурують зовсім інші величини (у першому завданні - час і відстань, а тут - кількість товару та його вартість), проте в поведінці цих величин можна виявити велику схожість.
Насправді, у верхньому рядку таблиці йдуть числа, що позначають число метрів тканини, під кожним із них написано число, яке виражає вартість відповідної кількості товару. Навіть при побіжному погляді на цю таблицю видно, що числа і у верхньому і нижньому ряду зростають ; при більш ж уважному розгляді таблиці і при порівнянні окремих стовпців виявляється, що у всіх випадках значення другої величини зростають у стільки ж разів, скільки зростають значення першої, тобто якщо значення першої величини зросло, припустимо, в 10 разів, то і значення другої величини збільшилося також у 10 разів.
Якщо ми переглядатимемо таблицю справа наліво , то виявимо, що зазначені значення величин будуть зменшуватися в однакове число разів. У цьому сенсі між першим завданням і другою є безумовна схожість.
Пари величин, з якими ми зустрілися у першому та другому завданнях, називаються прямо пропорційними.
Таким чином, якщо дві величини пов'язані між собою так, що зі збільшенням (зменшенням) значення однієї з них у кілька разів значення іншої збільшується (зменшується) у стільки ж разів, такі величини називаються прямо пропорційними.
Про такі величини говорять також, що вони пов'язані між собою прямо пропорційною залежністю.
У природі і в навколишньому житті зустрічається безліч подібних величин. Наведемо приклади:
1. Часроботи (день, два дні, три дні і т. д.) та заробіток, отриманий цей час при денної оплаті труда.
2. Об `ємякогось предмета, зробленого з однорідного матеріалу, та вагацього предмета.
§ 131. Властивість прямо пропорційних величин.
Візьмемо завдання, до якого входять такі дві величини: робочий час та заробіток. Якщо щоденний заробіток 20 руб., то заробіток за 2 дні буде 40 руб., І т. д. Найзручніше скласти таблицю, в якій певному числу днів відповідатиме певний заробіток.
Розглядаючи цю таблицю, бачимо, що обидві величини набули 10 різних значень. Кожному значенню першої величини відповідає певне значення другої величини, наприклад, 2 днями відповідають 40 руб.; 5 дням відповідають 100 руб. У таблиці ці числа написані одне під одним.
Ми вже знаємо, що якщо дві величини прямо пропорційні, то кожна з них у процесі своєї зміни збільшується в стільки ж разів, скільки разів збільшується й інша. Звідси одразу випливає: якщо ми візьмемо відношення якихось двох значень першої величини, то воно дорівнюватиме двох відповідних значень другої величини. Справді:
Чому це відбувається? А тому, що ці величини прямо пропорційні, тобто коли одна з них (час) збільшилась у 3 рази, то й інша (заробіток) збільшилась у 3 рази.
Ми дійшли, отже, такого висновку: якщо взяти два якихось значення першої величини і розділити їх одне на інше, а потім розділити одне на інше відповідні їм значення другої величини, то в обох випадках вийде одне і те ж число, т.е. е. одне й те саме ставлення. Отже, два відносини, які ми написали вище, можна поєднати знаком рівності, тобто.
Немає сумніву в тому, що якби ми взяли не ці відносини, а інші й не в тому порядку, а у зворотному, то також здобули б рівність відносин. Справді, розглядатимемо значення наших величин зліва направо і візьмемо треті та дев'яті значення:
60:180 = 1 / 3 .
Отже, ми можемо написати:
Звідси випливає такий висновок: якщо дві величини прямо пропорційні, то відношення двох довільно взятих значень першої величини дорівнює відношенню двох відповідних значень другої величини.
§ 132. Формула прямої пропорційності.
Складемо таблицю вартості різних кількостей цукерок, якщо 1 кг їх коштує 10,4 руб.
Тепер зробимо таким чином. Візьмемо будь-яке число другого рядка та розділимо його на відповідне число першого рядка. Наприклад:
Ви бачите, що в приватному весь час виходить те саме число. Отже, для цієї пари прямо пропорційних величин приватне від розподілу будь-якого значення однієї величини на відповідне значення іншої величини є постійне число (тобто не змінюється). У нашому прикладі це частка дорівнює 10,4. Це постійне число називається коефіцієнтом пропорційності. У разі воно виражає ціну одиниці виміру, т. е. одного кілограма товару.
Як знайти чи обчислити коефіцієнт пропорційності? Щоб це зробити, потрібно взяти будь-яке значення однієї величини та розділити його на відповідне значення іншої.
Позначимо це довільне значення однієї величини буквою у , а відповідне значення іншої величини - буквою х тоді коефіцієнт пропорційності (позначимо його До) знайдемо у вигляді поділу:
У цій рівності у - ділене, х - дільник та До- приватне, оскільки за властивістю розподілу ділене одно дільнику, помноженому на приватне, можна написати:
y = K x
Отримана рівність називається формулою прямої пропорційності.Користуючись цією формулою, ми можемо обчислити скільки завгодно значень однієї з прямо пропорційних величин, якщо знаємо відповідні значення іншої величини та коефіцієнт пропорційності.
приклад.З фізики ми знаємо, що вага Рбудь-якого тіла дорівнює його питомій вазі d , помноженому на об'єм цього тіла V, тобто. Р = d V.
Візьмемо п'ять залізних болванок різного об'єму; знаючи питому вагу заліза (7,8), можемо обчислити ваги цих болванок за формулою:
Р = 7,8 V.
Порівнюючи цю формулу з формулою у = До х бачимо, що у = Р, х = V, а коефіцієнт пропорційності До= 7,8. Формула та сама, тільки літери інші.
Користуючись цією формулою, складемо таблицю: нехай об'єм 1-ї болванки дорівнює 8 куб. см, тоді вага її дорівнює 78 8 = 624 (г). Об'єм 2-ї болванки 27 куб. див. Її вага дорівнює 7,8 27 = 210,6 (г). Таблиця матиме такий вигляд:
Обчисліть самі числа, відсутні в цій таблиці, користуючись формулою Р= d V.
§ 133. Інші способи вирішення завдань із прямо пропорційними величинами.
У попередньому параграфі ми вирішили завдання, за умови якого входили прямо пропорційні величини. Для цього ми попередньо вивели формулу прямої пропорційності і потім цю формулу застосовували. Тепер ми покажемо два інші способи вирішення таких завдань.
Складемо задачу за числовими даними, наведеними в таблиці попереднього параграфа.
Завдання.Болванка об'ємом 8 куб. см важить 62,4 г. Скільки важитиме болванка об'ємом 64 куб. см?
Рішення.Вага заліза, як відомо, пропорційна його обсягу. Якщо 8 куб. див важать 62,4 м, то 1 куб. см буде важити у 8 разів менше, тобто.
62,4: 8 = 7,8(г).
Болванка об'ємом 64 куб. см важитиме в 64 рази більше, ніж болванка в 1 куб. див, тобто.
7,8 64 = 499,2 (г).
Ми вирішили наше завдання способом приведення до одиниці. Сенс цієї назви виправдовується тим, що для її вирішення нам довелося у першому питанні знайти вагу одиниці обсягу.
2. Спосіб пропорції.Вирішимо це завдання способом пропорції.
Оскільки вага заліза та її обсяг - величини прямо пропорційні, то відношення двох значень однієї величини (об'єму) дорівнює відношенню двох відповідних значень інший величини (ваги), тобто.
(буквою Рми позначили невідому вагу болванки). Звідси:
(г).
Завдання вирішено способом пропорцій. Це означає, що з її рішення було складено пропорція з чисел, які входять у умову.
§ 134. Величини обернено пропорційні.
Розглянемо таке завдання: «П'ять мулярів можуть скласти цегляні стіни будинку за 168 днів. Визначити, скільки днів могли б виконати ту ж роботу 10, 8, 6 і т. д. мулярів».
Якщо 5 мулярів склали стіни будинку за 168 днів, то (за однакової продуктивності праці) 10 мулярів могли б виконати це вдвічі швидше, тому що в середньому 10 осіб виконують роботу вдвічі більшу, ніж 5 осіб.
Складемо таблицю, за якою можна було б стежити за зміною числа робітників та робочого часу.
Наприклад, щоб дізнатися, скільки днів потрібно 6 робітникам, треба спочатку обчислити, скільки днів потрібно одному робітникові (168 5 = 840), а потім - шести робітникам (840: 6 = 140). Розглядаючи цю таблицю, бачимо, що обидві величини прийняли шість різних значень. Кожному значенню першої величини відповідає більш визначено; значення другої величини, наприклад 10 відповідає 84, числу 8 - число 105 і т. д.
Якщо ми розглядатимемо значення обох величин зліва направо, то побачимо, що значення верхньої величини зростають , a значення нижньої зменшуються . Зростання і спад підпорядковано наступному закону: значення числа робочих збільшуються в стільки ж разів, у скільки разів зменшуються значення витраченого робочого часу. Ще простіше цю думку можна висловити так: чим більше зайнято в якійсь справі робітників, тим менше їм потрібно часу для виконання певної роботи. Дві величини, з якими ми зустрілися у цьому завданні, називаються обернено пропорційними.
Таким чином, якщо дві величини пов'язані між собою так, що зі збільшенням (зменшенням) значення однієї з них у кілька разів значення іншої зменшується (збільшується) у стільки ж разів, то такі величини називаються пропорційними.
У житті є багато подібних величин. Наведемо приклади.
1. Якщо на 150 руб. потрібно купити кілька кілограмів цукерок, то кількість цукерок буде залежати від ціни одного кілограма. Що ціна, то менше можна купити ці гроші товару; це видно з таблиці:
З підвищенням у кілька разів ціни цукерок зменшується в стільки ж кількість кілограмів цукерок, яке можна купити на 150 руб. У цьому випадку дві величини (вага товару та його ціна) обернено пропорційні.
2. Якщо відстань між двома містами 1200 км, то вона може бути пройдена в різний час залежно від швидкості пересування. Існують різні способи пересування: пішки, на коні, на велосипеді, на пароплаві, в автомобілі, поїздом, літаком. Чим менше швидкість , тим більше часу потрібно для пересування. Це видно з таблиці:
Зі збільшенням швидкості у кілька разів час пересування зменшується у стільки ж разів. Отже, за цих умов швидкість і час - величини обернено пропорційні.
§ 135. Властивість обернено пропорційних величин.
Візьмемо другий приклад, який ми розглядали у попередньому параграфі. Там ми мали справу з двома величинами – швидкістю руху та часом. Якщо ми розглядатимемо за таблицею значення цих величин зліва направо, то побачимо, що значення першої величини (швидкості) зростають, а значення другої (часу) зменшуються, причому швидкість збільшується в стільки ж разів, скільки разів зменшується час.Неважко збагнути, що й написати відношення якихось значень однієї величини, воно буде однаково відношенню відповідних значень інший величини. Справді, якщо ми візьмемо відношення четвертого значення верхньої величини до сьомого значення (40: 80), то воно не буде рівним відношенню четвертого і сьомого значень нижньої величини (30: 15). Це можна написати так:
40: 80 не дорівнює 30: 15, або 40: 80 = / = 30: 15.
Але якщо замість одного з цих відносин взяти протилежне, то вийде рівність, тобто із цих відносин можна буде скласти пропорцію. Наприклад:
80: 40 = 30: 15,
40: 80 = 15: 30."
На підставі викладеного ми можемо зробити такий висновок: якщо дві величини обернено пропорційні, то відношення двох довільно взятих значень однієї величини дорівнює зворотному відношенню відповідних значень іншої величини.
§ 136. Формула зворотної пропорційності.
Розглянемо завдання: «Є 6 шматків шовкової тканини різної величини та різних сортів. Вартість всіх шматків однакова. В одному шматку 100 м тканини ціною по 20 руб. за метр. Скільки метрів у кожному з інших п'яти шматків, якщо метр тканини в цих шматках відповідно коштує 25, 40, 50, 80, 100 руб.? Для вирішення цього завдання складемо таблицю:
Нам потрібно заповнити порожні клітини у верхньому рядку таблиці. Спробуємо спочатку визначити, скільки метрів у другому шматку. Це можна зробити в такий спосіб. З умови завдання відомо, вартість всіх шматків однакова. Вартість першого шматка визначити легко: у ньому 100 м і кожен метр коштує 20 руб., Отже, у першому шматку шовку на 2000 руб. Так як у другому шматку шовку на стільки ж рублів, то розділивши 2 000 руб. на ціну одного метра, тобто на 25, ми знайдемо величину другого шматка: 2000: 25 = 80 (м). Так само ми знайдемо величину всіх інших шматків. Таблиця набуде вигляду:
Неважко бачити, що між числом метрів та ціною існує обернено пропорційна залежність.
Якщо ви самі зробите необхідні обчислення, то помітите, що кожного разу вам доведеться ділити число 2 000 на ціну 1 м. Навпаки, якщо ви тепер почнете множити величину шматка в метрах на ціну 1 м, то весь час отримуватимете число 2 000. Цього і треба було очікувати, оскільки кожен шматок коштує 2000 руб.
Звідси можна зробити такий висновок: для цієї пари обернено пропорційних величин добуток будь-якого значення однієї величини на відповідне значення іншої величини є число постійне (тобто не змінюється).
У нашому завданні цей твір дорівнює 2 000. Перевірте, що і в попередньому завданні, де йшлося про швидкість руху та часу, необхідний для переїзду з одного міста в інше, існувало також постійне для цього завдання число (1 200).
Зважаючи на все сказане, легко вивести формулу зворотної пропорційності. Позначимо деяке значення однієї величини буквою х , а відповідне значення іншої величини - буквою у . Тоді на підставі викладеного твір х на у має дорівнювати певній постійній величині, яку позначимо буквою До, тобто.
х у = До.
У цій рівності х - множинне, у - множник та K- твір, добуток. За властивістю множення множник дорівнює добутку, поділеному на множину. Значить,
Це і є формула зворотної пропорційності. Користуючись нею, ми можемо обчислити скільки завгодно значень однієї зі зворотно пропорційних величин, знаючи значення іншої та постійне число До.
Розглянемо ще завдання: «Автор одного твору розрахував, що його книга матиме звичайний формат, то ній буде 96 сторінок, якщо ж кишеньковий формат, то ній виявиться 300 сторінок. Він випробував різні варіанти, почав із 96 сторінок, і тоді у нього на сторінці вийшло 2500 літер. Потім він узяв ті числа сторінок, які вказані нижче в таблиці, і знову обчислив, скільки літер буде на сторінці».
Спробуємо і обчислити, скільки буде букв на сторінці, якщо в книзі буде 100 сторінок.
У всій книзі 240 000 букв, тому що 250096 = 240000.
Зважаючи на це, скористаємося формулою зворотної пропорційності ( у - Число літер на сторінці, х - Число сторінок):
У нашому прикладі До= 240 000, отже,
Отже, на сторінці 2400 букв.
Подібно до цього дізнаємося, що якщо в книзі буде 120 сторінок, то число літер на сторінці буде:
Наша таблиця набуде вигляду:
Інші клітини заповніть самостійно.
§ 137. Інші способи вирішення завдань із обернено пропорційними величинами.
У попередньому параграфі ми вирішували завдання, до умов яких входили обернено пропорційні величини. Ми попередньо вивели формулу зворотної пропорційності і потім цю формулу застосовували. Тепер ми покажемо для таких завдань два інші способи вирішення.
1. Спосіб приведення до одиниці.
Завдання. 5 токарів можуть зробити деяку роботу за 16 днів. У скільки днів може виконати цю роботу 8 токарів?
Рішення.Між числом токарів та робочим часом існує обернено пропорційна залежність. Якщо 5 токарів роблять роботу за 16 днів, то одній людині при цьому знадобиться в 5 разів більше часу, тобто.
5 токарів виконують роботу в 16 днів,
1 токар виконає їх у 16 5 = 80 днів.
У задачі запитується, скільки днів виконають роботу 8 токарів. Очевидно, вони впораються з роботою у 8 разів швидше, ніж 1 токар, тобто за
80: 8 = 10 (днів).
Це і рішення завдання способом приведення до одиниці. Тут довелося насамперед визначити час виконання роботи одним робітником.
2. Спосіб пропорції.Розв'яжемо ту ж задачу другим способом.
Так як між числом робочих і робочим часом існує обернено пропорційна залежність, то можна написати: тривалість роботи 5 токарів нове число токарів (8) тривалість роботи 8 токарів колишнє число токарів (5) Позначимо шукану тривалість роботи буквою х і підставимо у пропорцію, виражену словами, необхідні числа:
Те саме завдання вирішена способом пропорцій. Для її вирішення нам довелося скласти пропорцію з чисел, що входять до умови завдання.
Примітка.У попередніх параграфах ми розглянули питання про пряму та зворотну пропорційність. Природа і життя дають нам безліч прикладів прямої та зворотної пропорційної залежності величин. Однак слід зауважити, що ці два види залежності є лише найпростішими. Поруч із ними зустрічаються інші, складніші залежності між величинами. Крім того, не потрібно думати, що якщо якісь дві величини одночасно зростають, то між ними обов'язково існує пряма пропорційність. Це не так. Наприклад, плата за проїзд залізницею зростає в залежності від відстані: чим далі ми їдемо, тим більше платимо, але це не означає, що плата пропорційна відстані.