“Söz” kavramı önceliklidir. Mantıkta bir ifade şu şekilde anlaşılır: bildirim cümlesi doğru ya da yanlış olduğu söylenebilir. Her ifade ya doğrudur ya da yanlıştır ve hiçbir ifade hem doğru hem de yanlış değildir.
İfade örnekleri: evet çift sayı", "1 bir asal sayıdır." İlk iki ifadenin doğruluk değeri “doğruluk”, son ikisinin doğruluk değeri ise “doğruluk”tur.
Soru ve ünlem cümleleri ifade değildir. Tanımlar ifade değildir. Örneğin “bir tam sayının 2’ye bölünebilmesine rağmen öyle olduğu söylenir” tanımı bir ifade değildir. Bununla birlikte, "eğer bir tamsayı 2'ye bölünüyorsa çifttir" bildirim cümlesi bir ifadedir ve bu bakımdan doğrudur. Önerme mantığında kişi, bir ifadenin anlamsal içeriğinden soyutlama yapar ve kendisini, onu doğru ya da yanlış olduğu konumundan ele almakla sınırlar.
Aşağıda bir ifadenin anlamını onun doğruluk değeri (“doğru” veya “yanlış”) olarak anlayacağız. İfadeleri büyük harflerle göstereceğiz Latin harfleriyle ve anlamları, yani “doğru” veya “yanlış”, sırasıyla I ve L harfleriyle temsil edilir.
Önerme mantığı, temel ifadeler olarak adlandırılan, bazı ifadelerin diğerlerinden oluşturulma biçimiyle tamamen belirlenen bağlantıları inceler. Temel ifadeler parçalara ayrılamayan bir bütün olarak kabul edilir. iç yapı bununla ilgilenmeyeceğiz.
İfadelerde mantıksal işlemler.
Mantıksal işlemleri kullanarak temel ifadelerden yeni, daha karmaşık ifadeler elde edebilirsiniz. Karmaşık bir ifadenin doğruluk değeri, karmaşık ifadeyi oluşturan ifadelerin doğruluk değerlerine bağlıdır. Bu bağımlılık aşağıdaki tanımlarda oluşturulmuş ve doğruluk tablolarına yansıtılmıştır. Bu tabloların sol sütunları, söz konusu karmaşık ifadeyi doğrudan oluşturan ifadeler için tüm olası doğruluk değerleri dağılımlarını içerir. Sağdaki sütuna, karmaşık ifadenin doğruluk değerlerini her satırdaki dağılımlara göre yazın.
A ve B'nin doğruluk değerlerinin bilindiğini varsaymadığımız keyfi ifadeler olsun. Bir A bildiriminin olumsuzlanması, ancak ve ancak A'nın yanlış olması durumunda doğru olan yeni bir bildirimdir. A'nın olumsuzlaması ile gösterilir ve "A değil" veya "A olduğu doğru değildir" şeklinde okunur. Olumsuzlama işlemi tamamen doğruluk tablosu tarafından belirlenir
Örnek. I değerini alan "5'in çift sayı olduğu doğru değildir" ifadesi, "5 çift sayıdır" yanlış ifadesinin olumsuzudur.
Bağlaç işlemi kullanılarak, iki ifade A D B olarak gösterilen tek bir karmaşık ifade halinde oluşturulur. Tanım gereği, A D B ifadesi ancak ve ancak her iki ifadenin de doğru olması durumunda doğrudur. A ve B ifadelerine sırasıyla A D B bağlacının birinci ve ikinci üyeleri denir. “A D B” girdisi “L ve B” olarak okunur. Bağlacın doğruluk tablosu şu şekildedir:
Örnek. "7 bir asal sayıdır ve 6 bir asal sayıdır" ifadesi tek sayı"Biri yanlış olan iki ifadenin birleşimi olarak yanlıştır.
A ve B ifadelerinin ayrılığı, ile gösterilen bir ifadedir ve bu, ancak ve ancak A ve B ifadelerinden en az birinin doğru olması durumunda doğrudur.
Buna göre A V B ifadesi ancak ve ancak hem A hem de B'nin yanlış olması durumunda yanlıştır. A ve B ifadelerine sırasıyla A V B ayrıklığının birinci ve ikinci terimleri denir. A V B girişi “A veya B” olarak okunur. "veya" bağlacı bu durumda ayrılmaz bir anlamı vardır, çünkü her iki terim de doğru olsa bile A V B ifadesi doğrudur. Ayrışma aşağıdaki doğruluk tablosuna sahiptir:
Örnek. İfade “3 ile gösterilen bir ifade, yalnızca A doğru ve B yanlışsa yanlıştır, A öncülü ve B sonucuyla bir çıkarım olarak adlandırılır. A-+ B ifadesi “eğer A ise 5, o zaman 5, ” veya “A, B'yi ima eder” veya “A'dan B'yi takip eder.” Bu sonuca ilişkin doğruluk tablosu şu şekildedir:
Öncül ile sonuç arasında neden-sonuç ilişkisi olmayabilir, ancak bu, imanın doğruluğunu veya yanlışlığını etkileyemez. Örneğin, “eğer 5 asal sayı ise ortaydır” ifadesi eşkenar üçgen"ortancadır" ifadesi doğru olacaktır, ancak alışılagelmiş anlamda ikincisi birinciden gelmemektedir. “Eğer 2 + 2 = 5 ise 6 + 3 = 9” ifadesi de doğru olacaktır, çünkü sonucu doğrudur. Şu tarihte: bu tanım Eğer sonuç doğruysa, öncülün doğruluk değerine bakılmaksızın çıkarım da doğru olacaktır. Öncül yanlış olduğunda, sonucun doğruluk değeri ne olursa olsun çıkarım doğru olacaktır. Bu koşullar kısaca şu şekilde formüle edilmiştir: “her şeyden hakikat çıkar”, “her şey batıldan çıkar.”
Ders #2
Önermelerin cebiri. Mantıksal işlemler.
(önceki konunun tekrarını içeren birleşik ders,
yeni malzemenin tanıtılması ve konsolidasyon)
Dersin amacı:Öğrencilerde kavramları oluşturmak: mantıksal ifade, mantıksal işlemler.
Ders Hedefleri:
1. dersin ana materyallerini tekrarlayın (insan düşünme biçimleri: kavram, yargı, çıkarım);
Önermesel cebirin tanımını tanıtmak;
Temel mantıksal işlemleri tanıtın.
Bilgi ve beceriler için gereksinimler:
Öğrenciler şunları bilmelidir:
Önermesel cebir neyi inceler ve önermesel cebirin çalışmanın amacı nedir;
Kavramların Anlamları: Mantıksal ifade, Mantıksal işlemler;
Mantıksal işlemlerin doğruluk tabloları.
Öğrenciler şunları yapabilmelidir:
Mantıksal ifadelere örnekler verin;
Mantıksal ifadelerin anlamlarını belirleyin;
Mantıksal işlemleri adlandırın ve onlar için doğruluk tabloları oluşturun.
Ders adımları
BEN. Organizasyon anı. Ders hedefinin belirlenmesi. 2 dakika
II. Tekrarlama. 7 dakika.
III. Ev ödevlerini kontrol ediyorum. 5 dakika
IV. Yeni malzemenin tanıtılması. 20 dakika
V. Konsolidasyon. 7 dakika
VI. Dersi özetlemek. 3 dakika
VII. Ev ödevi ayarlama. 1 dakika.
Ders ilerlemesi
II. Tekrarlama.
1) 1. dersteki temel tanım ve kavramların tekrarı:
· Konsept - yansıtan bir düşünme biçimi temel özellikler nesneler.
O Konsept kapsamı– her biri kavramın içeriğini oluşturan özelliklere sahip bir dizi nesne.
Örnekler verin.
· Yargı (ifade, ifade) - nesneler, onların özellikleri veya aralarındaki ilişkiler hakkında bir şeyin onaylandığı veya reddedildiği bir düşünme biçimi.
O Karar şekli– bu onun yapısı, bileşenlerinin bağlanma şeklidir.
· Çıkarım - belirli çıkarım kurallarına göre öncüller adı verilen bir veya daha fazla yargıdan bir yargı-sonuç (çıkarım) elde ettiğimiz bir düşünme biçimi
- Aşağıdaki ifadelerden hangilerinin ifade olduğunu ve nedenini belirleyin?
1. General olmak ne kadar güzel!
2.
3. Kendini tanı.
4. Bütün ayılar kuzeyde yaşar.
5. Bir devrim barışçıl ve kansız olamaz.
6.
7.
(Örnek 1 ve 3 ifade değildir çünkü ünlem niteliğindedir ve teşvik teklifleri sırasıyla).
- Şimdi önermelerin basit mi yoksa bileşik mi olduğunu belirleyin.
(Örnek 5 iki basit ifadeye ayrılabilir, yani bileşiktir.)
- İfadelerin anlamını belirleyin (doğru veya yanlış).
Örnek 6'da bir ifadenin içeriğinin çoğunlukla öznel bir özellik olduğuna ikna olduk. Basit ifadelerin doğruluğunun veya yanlışlığının gerekçelendirilmesine mantık biliminin dışında karar verilir. Örneğin, sizin durumunuza göre yaşam deneyimi, biz atarız belirli değer yargı 6.
Örnek 4'te olduğu gibi Rus atasözleri her zaman doğru olacaktır çünkü bunlar tüm nesillerin yaşam deneyimlerine dayanmaktadır.
Örnek 7'de geometri dersinde ifadenin anlamına, tarih dersinde ifade 5'te ise ifadenin anlamına karar verilmektedir.
Sonuçlar aşağıdaki tabloda sunulmaktadır:
Cümleler | İfadeler | Doğru veya yanlış | Basit sözler |
1. General olmak ne kadar güzel! | |||
2. Havuzdan zorluk çekmeden balık yakalayamazsınız. | |||
3. Kendinizi tanıyın. | |||
4. Bütün ayılar kuzeyde yaşar. | |||
5. Bir devrim barışçıl ve kansız olamaz. | |||
6. Yetenek her zaman yolunu bulacaktır. | |||
7. Bir üçgenin açılarının toplamı 1800'dür. |
Geçen derste her ifadenin üç unsurdan oluştuğunu söylemiştik:
konu, yüklem ve bağlaç. Ders(S) -
konuyla ilgili kavram. yüklem(P)- bir nesnenin özellikleri ve ilişkileri kavramı. Bağlantı -
özne ve yüklem arasındaki ilişki.
Basit ifadelerde özne, yüklem ve bağlayıcının ne olduğunu belirleyin.
Bir göletten balık bile zorluk çekmeden yakalayamazsınız.
Bütün ayılar kuzeyde yaşar.
Yetenek her zaman yolunu bulacaktır.
Üçgenin iç açılarının toplamı 1800'dür.
III. Ödev kontrolü:
Ev ödevi kartı |
1. Verilen basit ifadelerden en az 3 bileşik ifadeyi oluşturun ve yazın: 1) Hadi kulübeye gidelim. 2) Güzel hava. 3) Kötü hava. 4) Sahile gideceğiz. 5) Anton bizi tiyatroya davet ediyor. |
2. Mümkünse her öncül çiftinden bir sonuç çıkarın: A) Bütün kuşlar hayvandır. Bütün serçeler kuştur. B) Bazı dersler zordur. Zor olan her şey dikkat gerektirir. İÇİNDE) Hiçbir iyilik yasadışı değildir. Yasal olan her şey korkmadan yapılabilir. |
|
A) Kel olanların tarağa ihtiyacı yoktur. Tek bir kertenkelenin bile saçı yoktur. Bu nedenle kertenkelelerin tarağa ihtiyacı yoktur. B) 3. çeyreği bitiren herkese bilgisayar hediye edilecektir. 3. çeyreği üçlüksüz tamamladınız. Öyleyse hediye olarak bir bilgisayar almaya hazır olun. |
VI. Yeni malzemenin açıklaması
Önerme cebiri
Fırsat fikri mantığın matematikleştirilmesi 17. yüzyılda ifade edildi. Yaratmaya çalıştı evrensel dil yardımıyla her bir kavramın ve ifadenin verilebileceği sayısal karakteristik ve kişinin belirli bir ifadenin doğru mu yanlış mı olduğunu anında belirlemesine olanak tanıyan bu sayılarla çalışmak için kurallar oluşturun. Yani insanlar arasındaki anlaşmazlıklar hesapla çözülebilirdi. Leibniz'in fikrinin yanlış olduğu ortaya çıktı, çünkü insan düşüncesini bazı matematiksel hesaplamalara indirgemek imkansızdır (hiçbir yol bulunamamıştır).
Ancak bu bilimin gerçek ilerlemesi, öncelikle J. Boole'un çalışmaları sayesinde 19. yüzyılın ortalarında sağlandı." Matematiksel analiz Mantık." Yasaları ve kuralları mantığa aktardı cebirsel işlemler, mantıksal işlemleri tanıttı, ifadeleri sembolik biçimde yazmanın bir yolunu önerdi.
Matematiksel mantığın geliştirilmesinde birçok kişi yer aldı seçkin matematikçiler ve mantık XIX sonu ve 20. yüzyıl, K. Gödel (Avusturya), D. Gilbert (Alman), S. Kleene (Amerikan), E. Post (Amerikan), A. Turing (İngilizce), A. Church (Amerikan) ve diğerleri .
Modern matematikleştirilmiş biçimsel mantık kapsamlı bir temsil eder bilimsel alan Hem matematiğin içinde (matematiğin temellerinin incelenmesi) hem de dışında (otomatik cihazların sentezi ve analizi, teorik sibernetik, özellikle yapay zeka) yaygın olarak kullanılmaktadır.
Dolayısıyla mantık cebirinin çalışma nesneleri ifadelerdir.
Altında ifade (yargı) doğru mu yanlış mı olduğunu açıkça söyleyebileceğimiz bir bildirim cümlesini anlayacağız.
İfadeleri büyük Latin harfleriyle göstereceğiz. A ifadesi doğru ise “A = 1” yazıp “A doğrudur” deriz. X ifadesi yanlış ise “X = 0” yazıp “X yanlıştır” deriz.
Basit ifadelerin doğruluğunun veya yanlışlığının gerekçelendirilmesine mantık cebiri dışında karar verilir. Örneğin “Bir üçgenin açılarının toplamı 180°dir” ifadesinin doğruluğu ya da yanlışlığı geometri tarafından belirlenir ve bu ifade Öklid geometrisinde doğru, Lobaçevski geometrisinde ise yanlıştır.
Mantık cebiri, ifadelerin anlamsal içeriğinden soyutlanmıştır. Yalnızca tek bir gerçekle ilgileniyor; belirli bir ifadenin doğru mu yanlış mı olduğu. Böyle bir çıkar yargısı, cebirsel yöntemler kullanarak ifadeleri incelemeyi mümkün kılar.
Mantıksal işlemler
Mantık cebirinde ifadeler üzerinde çeşitli işlemler yapılabilir (cebirde olduğu gibi) gerçek sayılar sayılar üzerinde toplama, bölme ve üs alma işlemleri tanımlanmıştır). Bunlardan yalnızca en önemlilerinden bazılarını ele alacağız:
- Ayrışma (mantıksal ekleme) Anlam (mantıksal sonuç) Eşdeğerlik (mantıksal eşitlik)
1) Ters çevirme (mantıksal olumsuzlama)
Ters çevirme (mantıksal olumsuzlama) verilen her ifadeyi yeni bir ifadeyle ilişkilendiren mantıksal bir işlemdir; verilen ifade yanlışsa doğrudur, verilen ifade doğruysa yanlıştır.
Mantıksal işlemler belirtildi doğruluk tabloları kullanılarak grafiksel olarak gösterilebilir. Euler çevreleri Adını büyük matematikçi, fizikçi ve gökbilimci Leonhard Euler'den almıştır ()
Ters çevirme sembolü: ; Olumsuz A ; A; OLUMSUZ A
0 " stil = "kenar daraltma: daraltma; kenarlık: yok">
A
Oluşturuldu basit ifade yüklemlere DEĞİL parçacığını ekleyerek veya bir mecaz kullanarak "BU DOĞRU DEĞİL..."
Örnek: A = "Dışarıda yağmur yağıyor"
= "Dışarıda yağmur yağdığı doğru değil"
Görev 1. Bir ifadeye ve onun olumsuzlamasına bir örnek verin.
Her birinin gerçeğini belirleyin.
Yani bir ifadenin ters çevrilmesi, ifade yanlış olduğunda doğrudur.
2) Bağlaç (mantıksal çarpma)
ancak ve ancak her iki orijinal ifadenin de doğru olması durumunda doğrudur.
Bağlaç gösterimi: A&İÇİNDE, A Ve İÇİNDE, A L İÇİNDE, A İÇİNDE.
Doğruluk tablosu:
|
||
A&İÇİNDE
İki ifadenin bağlaç kullanılarak tek bir ifadede birleştirilmesiyle oluşturulur "VE"
Örnek: A = "Dışarıda yağmur yağıyor"
B= "Gökyüzü mavidir"
A&İÇİNDE = "Dışarıda yağmur yağıyor ve gökyüzü mavi"
Görev 2. a) İki ifadeye örnekler verin ve “AND” mantıksal bağlacını kullanarak bileşik bir ifade elde edin.
Dolayısıyla, iki ifadenin birleşimi ancak ve ancak her iki orijinal ifadenin de doğru olması durumunda doğrudur.
3) Ayrışma (mantıksal ekleme) her iki ifadeyi yeni bir ifadeyle ilişkilendiren mantıksal bir işlemdir.
doğru ancak ve ancak iki orijinal ifadeden en az birinin doğru olması durumunda.
Ayrışma notasyonu: A V İÇİNDE, A VEYA İÇİNDE, A+İÇİNDE.
0 " stil = "kenar daraltma: daraltma; kenarlık: yok">
A V İÇİNDE
İki ifadenin "VEYA" bağlacı kullanılarak birleştirilmesiyle oluşturulur
Örnek: A = "Dışarıda yağmur yağıyor"
B= "Gökyüzü mavidir"
A V İÇİNDE = "Dışarıda yağmur mu yağıyor yoksa gökyüzü mavi mi"
Görev 3. a) İki ifadeye örnekler vererek “OR” bağlacını kullanarak bileşik bir ifade elde edin.
Dolayısıyla, iki ifadenin ayrılması ancak ve ancak iki orijinal ifadeden en az birinin doğru olması durumunda doğrudur.
4) Anlam (mantıksal sonuç) her iki ifadeyi yeni bir ifadeyle ilişkilendiren mantıksal bir işlemdir.
yalnızca ilk ifadenin (koşul) doğru ve ikinci ifadenin (sonucun) yanlış olması durumunda yanlıştır.
Ayrışma notasyonu: A ® İÇİNDE.
Doğruluk tablosu: Euler diyagramı:
"EĞER..., O ZAMAN..."
Yemin verilmişse yerine getirilmesi gerekir.
Bir sayı 9'a bölünüyorsa 3'e de bölünür.
Örnek: A = "Dışarıda yağmur yağıyor"
B= "Gökyüzü mavidir"
A ® İÇİNDE = "Dışarıda yağmur yağıyorsa gökyüzü mavidir"
Görev 4. a) İki ifadeye örnekler verin ve “IF, THEN...” bağlacını kullanarak bileşik bir ifade elde edin.
b) Üç ifadenin her birinin doğruluğunu veya yanlışlığını belirleyin
Dolayısıyla, iki ifadenin anlamı, ancak ve ancak ilk ifadenin (koşul) doğru ve ikinci ifadenin (sonucun) yanlış olması durumunda yanlıştır.
5) Eşdeğerlik (mantıksal eşitlik) her iki ifadeyi yeni bir ifadeyle ilişkilendiren mantıksal bir işlemdir.
ancak ve ancak her iki orijinal ifadenin de aynı anda doğru veya aynı anda yanlış olması durumunda doğrudur.
Ayrışma notasyonu: A « B, A = B, A≡B.
Doğruluk tablosu: Euler diyagramı:
Bir mecaz kullanılarak iki ifadenin bir araya getirilmesiyle oluşturulur “...O ZAMAN VE SADECE NE ZAMAN...”
Bir açıya ancak ve ancak 900'e eşitse dik denir
Matematiğin, fiziğin tüm kanunları, tüm tanımlar ifadelerin denkliğidir
İki doğru ancak ve ancak kesişmiyorlarsa paraleldir.
Örnek: A = "Dışarıda yağmur yağıyor"
B= "Gökyüzü mavidir"
A « İÇİNDE = "Dışarıda yağmur yağıyor ancak ve ancak gökyüzü maviyse"
Görev 5. a) İki ifadeye örnekler verin ve “...O ZAMAN VE SADECE NE ZAMAN...” konuşma bağlacını kullanarak bileşik bir ifade elde edin.
b) Üç ifadenin her birinin doğruluğunu veya yanlışlığını belirleyin.
Yani iki ifadenin denkliği doğrudur ancak ve ancak her iki ilk ifadenin de aynı anda doğru veya aynı anda yanlış olması durumunda.
VI. Öğrenilenlerin pekiştirilmesi.
1. Aşağıdaki cümlelerin neden ifade olmadığını açıklayın :
· Bu ev ne renk?
· X sayısı bir'i geçmez.
· Pencereden dışarı bakın.
· Domates suyu iç!
· Bu konu sıkıcı.
· Tiyatroya gittiniz mi?
2. Herhangi bir teoremin ifadesinin neden bir ifade olduğunu açıklayın.
3. Matematik, biyoloji, tarih, bilgisayar bilimi ve edebiyattan doğru ve yanlış ifadelere 2 örnek verin.
4. Aşağıdaki cümlelerden ifade niteliğinde olanları seçin:
- Kolya sordu: “Nasıl gidilir? Bolşoy Tiyatrosu? Kütüphaneye nasıl gidilir? Picasso'nun resimleri çok soyut. Sorun çözümü – bilgi süreci. 2 sayısı bazı sayı sistemlerinde 7 sayısının bölenidir.
5. Doğru ifadeleri seçin:
· “28 sayısı mükemmel sayı”
· “Emek harcamadan göletten balık tutamazsınız”
· “Yetenek her zaman yolunu bulur”
· “Bazı hayvanlar düşünür”
· “Bilişim – algoritma bilimi”
· “2+3*5=30”
· “Bütün öğrenciler bilgisayar bilimini sever”
6.
7. Bu doğruluk tablosuna hangi mantıksal işlem karşılık gelir?
8. Bu doğruluk tablosuna hangi mantıksal işlem karşılık gelir?
9. Bu doğruluk tablosuna hangi mantıksal işlem karşılık gelir?
10. Bu doğruluk tablosuna hangi mantıksal işlem karşılık gelir?
Ders özeti:
- Mantıksal cebirin temel kavramlarına aşina oldunuz. Mantıksal işlemlere baktık. Her mantıksal işlem için doğruluk tablosunu analiz ettik ve LO'yu Euler çemberlerini kullanarak gösterdik.
2. Defterinizdeki tüm tanımları ders notlarından öğreniniz.
3. Örneğin her mantıksal işlemi için ifadeleri seçin)
Önerme mantığı Önerme mantığı olarak da adlandırılan önerme mantığı, mantıksal işlemler kullanılarak basit veya temel ifadelerden oluşturulan karmaşık ifadelerin mantıksal biçimlerini inceleyen bir matematik ve mantık dalıdır.
Önerme mantığı, ifadelerin içeriğinden soyutlama yapar ve onların doğruluk değerini, yani ifadenin doğru mu yanlış mı olduğunu inceler.
Yukarıdaki resim Yalancı Paradoksu olarak bilinen bir olgunun bir örneğidir. Aynı zamanda projenin yazarına göre bu tür paradokslar ancak siyasi sorunlardan arınmış olmayan, birinin önsel olarak yalancı olarak etiketlenebileceği ortamlarda mümkündür. Doğal çok katmanlı dünyada “Doğruluk” veya “yanlışlık” konusu yalnızca bireysel ifadeler değerlendirilir . Ve bu derste daha sonra tanıtılacaksınız bu konudaki birçok ifadeyi kendiniz değerlendirme fırsatı (ve sonra doğru cevaplara bakın). Daha basit olanların mantıksal işlem işaretleriyle birbirine bağlandığı karmaşık ifadeler dahil. Ama önce bu işlemleri ifadelerin kendileri üzerinde ele alalım.
Önerme mantığı, bilgisayar bilimlerinde ve programlamada, mantıksal değişkenlerin bildirilmesi ve bunlara programın daha fazla yürütülmesinin bağlı olduğu "yanlış" veya "doğru" mantıksal değerlerinin atanması şeklinde kullanılır. Yalnızca bir boole değişkeninin yer aldığı küçük programlarda, boole değişkenine genellikle "flag" gibi bir ad verilir ve değişkenin değeri "true" olduğunda "flag is up", "flag is down" olduğunda ise anlam "flag is up" olur. bu değişkenin değeri "yanlış"tır. Programlarda büyük hacimli Birkaç veya hatta çok sayıda mantıksal değişkenin olduğu durumlarda, profesyonellerin mantıksal değişkenler için, onları diğer mantıksal değişkenlerden ayıran ve bu konuda çalışacak diğer profesyoneller tarafından anlaşılabilir, ifadeler biçiminde ve anlamsal bir anlamı olan isimler bulmaları gerekir. Bu programın metnini okuyun.
Böylece, "UserRegistered" (veya bunun İngilizce dilindeki analogu) adındaki mantıksal bir değişken, kayıt verilerinin gönderildiği koşulların karşılanması durumunda "true" mantıksal değeri atanabilen bir ifade biçiminde bildirilebilir. Kullanıcı tarafından bu veriler program tarafından geçerli olarak tanınır. Daha sonraki hesaplamalarda, UserRegistered değişkeninin mantıksal değerine (true veya false) bağlı olarak değişkenlerin değerleri değişebilir. Diğer durumlarda, örneğin "Günden Üç Günden Fazla Kaldı" adlı bir değişkene, belirli bir hesaplama bloğundan önce "Doğru" değeri atanabilir ve programın daha sonraki yürütülmesi sırasında bu değer şu şekilde ayarlanabilir: kaydedildi veya "yanlış" olarak değiştirildi ve daha sonraki yürütmenin ilerlemesi bu değişken programların değerine bağlıdır.
Bir program, adları ifade biçiminde olan birkaç mantıksal değişken kullanıyorsa ve bunlardan daha karmaşık ifadeler oluşturulmuşsa, programı geliştirmeden önce tüm işlemleri yazarsak, programı geliştirmek çok daha kolaydır. İfade mantığında kullanılan formüller şeklindeki ifadeler sırasında yapacağımız işlemler Bu derste yapacağımız şey budur.
İfadelerde mantıksal işlemler
Matematiksel ifadeler için her zaman "doğru" ve "yanlış" olmak üzere iki farklı alternatif arasında seçim yapılabilir, ancak "sözlü" dilde yapılan ifadeler için "doğru" ve "yanlış" kavramları biraz daha belirsizdir. Ancak örneğin böyle sözlü formlar"Eve git" ve "Yağmur yağıyor mu?" gibi ifadeler değildir. Bu nedenle açıktır ki ifadeler bir şeyin ifade edildiği sözlü formlardır . Soru veya ünlem cümleleri, itirazlar, dilek veya talepler beyan değildir. "Doğru" ve "yanlış" değerleri ile değerlendirilemezler.
Aksine, ifadeler iki anlam alabilen nicelikler olarak düşünülebilir: “doğru” ve “yanlış”.
Örneğin şu yargılara varılmaktadır: “Köpek hayvandır”, “Paris İtalya’nın başkentidir”, “3
Bu ifadelerden birincisi “doğru”, ikincisi “yanlış”, üçüncüsü “doğru” ve dördüncüsü “yanlış” simgesiyle değerlendirilebilir. İfadelerin bu şekilde yorumlanması önermesel cebirin konusudur. İfadeleri büyük Latin harfleriyle göstereceğiz A, B, ... ve anlamları, yani sırasıyla doğru ve yanlış VE Ve L. İÇİNDE sıradan konuşma“ve”, “veya” ve diğerleri arasındaki bağlantılar kullanılır.
Bu bağlantılar, farklı ifadeleri birbirine bağlayarak yeni ifadelerin oluşmasına olanak tanır. karmaşık ifadeler . Örneğin "ve" bağlacı. Şu ifadeler verilsin: " π 3'ten fazla" ve ifadesi " π 4"ten az. Yeni ve karmaşık bir ifade düzenleyebilirsiniz " π 3'ten fazla ve π 4'ten az". Açıklama "eğer π o zaman mantıksız π ² de irrasyoneldir" ifadesi, iki ifadeyi "eğer - o zaman" bağlacı ile bağlayarak elde edilir. Son olarak, orijinal ifadeyi reddederek herhangi bir ifadeden yeni bir karmaşık ifade elde edebiliriz.
İfadeleri anlam kazanan nicelikler olarak düşünmek VE Ve L, daha ayrıntılı olarak tanımlayacağız ifadeler üzerinde mantıksal işlemler bu ifadelerden yeni karmaşık ifadeler elde etmemizi sağlar.
İki keyfi ifade verilsin A Ve B.
1 . Bu ifadeler üzerindeki ilk mantıksal işlem -bağlaç- yeni bir ifadenin oluşumunu temsil eder. A ∧ B ve bu ancak ve ancak şu durumda doğrudur A Ve B bunlar doğrudur. Sıradan konuşmada bu işlem, ifadelerin "ve" bağlacı ile bağlantısına karşılık gelir.
Bağlaç için doğruluk tablosu:
| A | B | A ∧ B |
| VE | VE | VE |
| VE | L | L |
| L | VE | L |
| L | L | L |
2 . İfadelerde ikinci mantıksal işlem A Ve B- ayrıklık şu şekilde ifade edilir: A ∨ B, şu şekilde tanımlanır: ancak ve ancak orijinal ifadelerden en az birinin doğru olması durumunda doğrudur. Sıradan konuşmada bu işlem, ifadeleri "veya" bağlacı ile bağlamaya karşılık gelir. Ancak burada, "ya da" anlamında anlaşılan, bölmeyen bir "veya" vardır. A Ve B her ikisi de doğru olamaz. Önerme mantığını tanımlarken A ∨ B hem ifadelerden yalnızca biri doğruysa hem de her iki ifade de doğruysa doğrudur A Ve B.
Ayrışma için doğruluk tablosu:
| A | B | A ∨ B |
| VE | VE | VE |
| VE | L | VE |
| L | VE | VE |
| L | L | L |
3 . İfadelerdeki üçüncü mantıksal işlem A Ve B olarak ifade edilir A → B; bu şekilde elde edilen ifade ancak ve ancak şu durumlarda yanlıştır: A doğru ama B YANLIŞ. A isminde parsele göre , B - sonuçlar ve beyan A → B - takip etme ima da denir. Sıradan konuşmada bu işlem "if-then" bağlacına karşılık gelir: "if A, O B". Ancak önermeler mantığının tanımında bu ifade, ifadenin doğru ya da yanlış olmasına bakılmaksızın her zaman doğrudur. B. Bu durum kısaca şu şekilde formüle edilebilir: "Her şey sahte olandan çıkar." Buna karşılık, eğer A doğru ama B yanlış ise ifadenin tamamı A → B YANLIŞ. Bu ancak ve ancak şu şekilde doğru olacaktır: A, Ve B bunlar doğrudur. Kısaca bu şu şekilde formüle edilebilir: “yanlış, doğrudan çıkamaz.”
İzlenecek doğruluk tablosu (gösterim):
| A | B | A → B |
| VE | VE | VE |
| VE | L | L |
| L | VE | VE |
| L | L | VE |
4 . İfadeler üzerinde, daha doğrusu bir ifade üzerinde dördüncü mantıksal işleme, bir ifadenin olumsuzlanması denir. A ve ~ ile gösterilir A(yukarıda ~ simgesinin değil, ¬ simgesinin kullanımını ve ayrıca üst çizgiyi de bulabilirsiniz.) A). ~ A yanlış olan bir ifade var A doğru ve ne zaman doğru A YANLIŞ.
Olumsuzlamanın doğruluk tablosu:
| A | ~ A |
| L | VE |
| VE | L |
5 . Ve son olarak, ifadeler üzerindeki beşinci mantıksal işleme eşdeğerlik adı verilir ve şu şekilde gösterilir: A ↔ B. Ortaya çıkan ifade A ↔ B bir ifade ancak ve ancak şu durumda doğrudur A Ve B her ikisi de doğrudur veya her ikisi de yanlıştır.
Eşdeğerlik için doğruluk tablosu:
| A | B | A → B | B → A | A ↔ B |
| VE | VE | VE | VE | VE |
| VE | L | L | VE | L |
| L | VE | VE | L | L |
| L | L | VE | VE | VE |
Çoğu programlama dilinde ifadelerin mantıksal anlamlarını belirtmek için özel semboller bulunur; bunlar hemen hemen tüm dillerde doğru ve yanlış olarak yazılır.
Yukarıdakileri özetleyelim. Önerme mantığı Temel olarak adlandırılan, tamamen bazı ifadelerin diğerlerinden oluşturulma biçimiyle belirlenen bağlantıları inceler. Bu durumda, temel ifadeler parçalara ayrılamayan bir bütün olarak kabul edilir.
İfadelerdeki mantıksal işlemlerin adlarını, notasyonlarını ve anlamlarını aşağıdaki tabloda sistematize edelim (örnek çözmek için yakında bunlara tekrar ihtiyacımız olacak).
| Demet | Tanım | Operasyon adı |
| Olumsuz | olumsuzluk | |
| Ve | bağlaç | |
| veya | ayrılık | |
| eğer... o zaman... | ima | |
| o zaman ve ancak o zaman | denklik |
Mantıksal işlemler için doğru cebir mantığı yasaları basitleştirmek için kullanılabilir mantıksal ifadeler. Önerme mantığında kişinin bir ifadenin anlamsal içeriğinden soyutladığı ve kendisini onu doğru ya da yanlış olduğu konumundan ele almakla sınırladığı belirtilmelidir.
Örnek 1.
1) (2 = 2) VE (7 = 7) ;
2) Yok(15;
3) ("Çam" = "Meşe") VEYA ("Kiraz" = "Akçaağaç");
4) Not("Çam" = "Meşe");
5) (Değil(15 20) ;
6) (“Görmek için gözler verilmiştir”) Ve (“Üçüncü katın altı ikinci kattır”);
7) (6/2 = 3) VEYA (7*5 = 20) .
1) Birinci parantez içindeki ifadenin anlamı “doğrudur”, ikinci parantez içindeki ifadenin anlamı da doğrudur. Her iki ifade de "VE" mantıksal işlemiyle bağlantılıdır (yukarıdaki bu işlemin kurallarına bakın), dolayısıyla bu ifadenin tamamının mantıksal değeri "doğru"dur.
2) Parantez içindeki ifadenin anlamı “yanlış”tır. Bu ifadeden önce mantıksal bir olumsuzlama işlemi vardır, dolayısıyla tüm bu ifadenin mantıksal anlamı “doğrudur”.
3) Birinci parantez içindeki ifadenin anlamı “yanlış”, ikinci parantez içindeki ifadenin anlamı da “yanlış”tır. İfadeler "OR" mantıksal işlemiyle bağlanır ve ifadelerin hiçbiri "true" değerine sahip değildir. Dolayısıyla bu ifadenin tamamının mantıksal anlamı “yanlış”tır.
4) Parantez içindeki ifadenin anlamı “yanlış”tır. Bu ifadeden önce olumsuzlamanın mantıksal işlemi gelir. Dolayısıyla bu ifadenin tamamının mantıksal anlamı “doğrudur”.
5) İç parantez içindeki ifade ilk parantezde olumsuzlanır. İç parantez içindeki bu ifade "yanlış" anlamına gelir, bu nedenle olumsuzlaması mantıksal olarak "doğru" anlamına gelecektir. İkinci parantez içindeki ifade "yanlış" anlamına gelmektedir. Bu iki ifade “VE” mantıksal işlemiyle bağlanır, yani “doğru VE yanlış” elde edilir. Dolayısıyla bu ifadenin tamamının mantıksal anlamı “yanlış”tır.
6) Birinci parantez içindeki ifadenin anlamı “doğru”, ikinci parantez içindeki ifadenin anlamı da “doğru”dur. Bu iki ifade “VE” mantıksal işlemiyle bağlanır, yani “doğru VE gerçek” elde edilir. Dolayısıyla bu ifadenin tamamının mantıksal anlamı “doğrudur”.
7) İlk parantez içindeki ifadenin anlamı “doğrudur”. İkinci parantez içindeki ifadenin anlamı "yanlış"tır. Bu iki ifade "VEYA" mantıksal işlemiyle bağlanır, yani sonuç "doğru VEYA yanlış" olur. Dolayısıyla bu ifadenin tamamının mantıksal anlamı “doğrudur”.
Örnek 2. Mantıksal işlemleri kullanarak aşağıdaki karmaşık ifadeleri yazın:
1) "Kullanıcı kayıtlı değil";
2) “Bugün Pazar ve bazı çalışanlar işte”;
3) “Kullanıcı ancak ve ancak kullanıcı tarafından gönderilen verilerin geçerli sayılması durumunda kaydolur.”
1) P- tek ifade “Kullanıcı kayıtlıdır”, mantıksal işlem: ;
2) P- tek bir açıklama “Bugün Pazar”, Q- "Bazı çalışanlar iş başında", mantıksal işlem: ;
3) P- tek bildirim “Kullanıcı kayıtlıdır”, Q- “Kullanıcı tarafından gönderilen veriler geçerli bulundu”, mantıksal işlem: .
Önerme mantığı örneklerini kendiniz çözün ve ardından çözümlere bakın
Örnek 3. Aşağıdaki ifadelerin mantıksal değerlerini hesaplayın:
1) (“Bir dakika 70 saniyedir”) VEYA (“Çalışan bir saat zamanı gösterir”);
2) (28 > 7) VE (300/5 = 60) ;
3) ("Televizyon - elektrikli cihaz") Ve ("Cam - ahşap");
4) Not((300 > 100) VEYA ("Susuzluğunuzu suyla giderebilirsiniz"));
5) (75 < 81) → (88 = 88) .
Örnek 4. Mantıksal işlemleri kullanarak aşağıdaki karmaşık ifadeleri yazın ve mantıksal değerlerini hesaplayın:
1) “Saat zamanı yanlış gösteriyorsa derse yanlış zamanda varabilirsiniz”;
2) “Aynada yansımanızı ve ABD'nin başkenti Paris'i görebilirsiniz”;
Örnek 5. Bir İfadenin Boolean Değerini Belirleme
(P → Q) ↔ (R → S) ,
P = "278 > 5" ,
Q= "Elma = Turuncu",
P = "0 = 9" ,
S= "Şapka kafayı örter".
Önerme mantığı formülleri
Karmaşık bir ifadenin mantıksal biçimi kavramı, kavram kullanılarak açıklığa kavuşturulur. önerme mantığı formülleri .
Örnek 1 ve 2'de mantıksal işlemleri kullanarak karmaşık ifadeler yazmayı öğrendik. Aslında bunlara önermesel mantık formülleri denir.
İfadeleri belirtmek için söz konusu örnekte olduğu gibi harfleri kullanmaya devam edeceğiz.
P, Q, R, ..., P 1 , Q 1 , R 1 , ...
Bu harfler “true” ve “false” doğruluk değerlerini değer olarak alan değişkenlerin rolünü oynayacaktır. Bu değişkenlere aynı zamanda önermesel değişkenler de denir. Onları ayrıca arayacağız temel formüller veya atomlar .
Önerme mantığı formülleri oluşturmak için yukarıda belirtilen harflere ek olarak mantıksal işlem işaretleri de kullanılır.
~, ∧, ∨, →, ↔,
formüllerin net bir şekilde okunmasını sağlayan sembollerin yanı sıra sol ve sağ parantez.
Konsept önerme mantığı formülleri şöyle tanımlayalım:
1) temel formüller(atomlar) önerme mantığının formülleridir;
2) eğer A Ve B- önerme mantığı formülleri, o zaman ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) aynı zamanda önerme mantığının formülleridir;
3) yalnızca bu ifadeler, 1) ve 2)'den çıkan önerme mantığı formülleridir.
Bir önerme mantığı formülünün tanımı, bu formüllerin oluşumuna ilişkin kuralların bir listesini içerir. Tanıma göre her önermesel mantık formülü ya bir atomdur ya da bunun sonucunda atomlardan oluşmuştur. tutarlı uygulama kurallar 2).
Örnek 6.İzin vermek P- tek ifade (atom) “Her şey rasyonel sayılar geçerlidir" Q- "Bazı reel sayılar rasyonel sayılardır" R- "bazı rasyonel sayılar gerçektir." Aşağıdaki önerme mantığı formüllerini sözlü ifadeler biçimine çevirin:
6) 
.
1) “Rasyonel olan gerçek sayılar yoktur”;
2) “Eğer tüm rasyonel sayılar gerçek değilse, o zaman gerçek olan hiçbir rasyonel sayı yoktur”;
3) “eğer bütün rasyonel sayılar reel ise, o zaman bazı reel sayılar rasyonel sayılardır ve bazı rasyonel sayılar reeldir”;
4) “Bütün reel sayılar rasyonel sayılardır ve bazı reel sayılar rasyonel sayılardır ve bazı rasyonel sayılar da reel sayılardır”;
5) “tüm rasyonel sayılar, ancak ve ancak tüm rasyonel sayıların gerçek olmaması durumunda gerçektir”;
6) “Tüm rasyonel sayıların reel olmadığı ve rasyonel olan reel sayıların olmadığı veya reel olan rasyonel sayıların bulunmadığı bir durum söz konusu değildir.”
Örnek 7.Önerme mantığı formülü için bir doğruluk tablosu oluşturun 
Tabloda belirlenebilecek olan F
.
Çözüm. Tekil ifadeler (atomlar) için değerleri (“doğru” veya “yanlış”) kaydederek bir doğruluk tablosu derlemeye başlarız. P , Q Ve R. Tüm olası değerler Tablonun sekiz satırında yazılmıştır. Ayrıca, çıkarım işleminin değerlerini belirlerken ve tabloda sağa doğru ilerlerken, "doğru"dan "yanlış" çıktığında değerin "yanlış"a eşit olduğunu hatırlıyoruz.
| P | Q | R | F | ||||
| VE | VE | VE | VE | VE | VE | VE | VE |
| VE | VE | L | VE | VE | VE | L | VE |
| VE | L | VE | VE | L | L | L | L |
| VE | L | L | VE | L | L | VE | VE |
| L | VE | VE | L | VE | L | VE | VE |
| L | VE | L | L | VE | L | VE | L |
| L | L | VE | VE | VE | VE | VE | VE |
| L | L | L | VE | VE | VE | L | VE |
Hiçbir atomun ~ biçimine sahip olmadığına dikkat edin. A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B). Karmaşık formüller bu türe sahiptir.
Önerme mantığı formüllerindeki parantezlerin sayısı şu şekilde kabul edilirse azaltılabilir:
1) içinde karmaşık formül dıştaki parantez çiftini atlayacağız;
2) Mantıksal işlemlerin işaretlerini “öncelik sırasına göre” sıralayalım:
↔, →, ∨, ∧, ~ .
Bu listede ↔ işareti en çok geniş alan eylemler ve ~ işareti en küçüğüdür. Bir işlem işaretinin kapsamı, söz konusu işaretin oluşumunun uygulandığı (üzerinde etki ettiği) önerme mantığı formülünün bölümlerine atıfta bulunur. Bu nedenle, herhangi bir formülde, "öncelik sırası" dikkate alınarak geri yüklenebilecek parantez çiftlerinin çıkarılması mümkündür. Ve parantezleri geri yüklerken, önce ~ işaretinin tüm geçtiği yerlerle ilgili tüm parantezler yerleştirilir (soldan sağa doğru hareket ederiz), sonra ∧ işaretinin tüm geçtiği yerlere vb.
Örnek 8.Önerme mantığı formülündeki parantezleri geri yükleyin B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .
Çözüm. Braketler aşağıdaki gibi adım adım geri yüklenir:
B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A
B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)
B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))
(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))
Her önerme mantığı formülü parantezsiz yazılamaz. Örneğin formüllerde A → (B → C) ve ~( A → B) braketlerin daha fazla hariç tutulması mümkün değildir.
Totolojiler ve çelişkiler
Mantıksal totolojiler (veya basitçe totolojiler), önerme mantığının formülleridir; öyle ki, harflerin keyfi olarak ifadelerle (doğru veya yanlış) değiştirilmesi durumunda sonuç her zaman doğru bir ifade olacaktır.
Karmaşık ifadelerin doğruluğu veya yanlışlığı, her biri belirli bir harfe karşılık gelen ifadelerin içeriğine değil, yalnızca anlamlarına bağlı olduğundan, belirli bir ifadenin totoloji olup olmadığının kontrolü şu şekilde yapılabilir. İncelenen ifadede 1 ve 0 değerleri (sırasıyla “doğru” ve “yanlış”) harflerin yerine mümkün olan tüm yollarla ikame edilir ve ifadelerin mantıksal değerleri mantıksal işlemler kullanılarak hesaplanır. Tüm bu değerler 1'e eşitse, incelenen ifade bir totolojidir ve en az bir ikame 0 verirse, o zaman bu bir totoloji değildir.
Böylece bu formülde yer alan atomların değerlerinin herhangi bir dağılımı için “doğru” değerini alan önerme mantığı formülüne denir. gerçek formülle aynı veya totoloji .
Bunun tersi anlam mantıksal bir çelişkidir. İfadelerin tüm değerleri 0'a eşitse ifade mantıksal bir çelişkidir.
Böylece, bu formülde yer alan atomların değerlerinin herhangi bir dağılımı için “yanlış” değerini alan bir önerme mantığı formülüne denir. aynı yanlış formül veya çelişki .
Totolojilere ve mantıksal çelişkilere ek olarak, önermeler mantığının ne totoloji ne de çelişki olmayan formülleri vardır.
Örnek 9.Önermesel mantık formülü için bir doğruluk tablosu oluşturun ve bunun totoloji mi, çelişki mi yoksa ikisi de mi olduğunu belirleyin.
Çözüm. Bir doğruluk tablosu oluşturalım:
| VE | VE | VE | VE | VE |
| VE | L | L | L | VE |
| L | VE | L | VE | VE |
| L | L | L | L | VE |
İmanın anlamlarında “doğru”dan “yanlış”ın çıktığı bir çizgi bulamıyoruz. Orijinal ifadenin tüm değerleri "true" değerine eşittir. Buradan, bu formülÖnerme mantığı bir totolojidir.
Cebir geniş anlamda bu kelime bilimdir genel operasyonlarçeşitli matematiksel nesneler üzerinde gerçekleştirilebilen toplama ve çarpma işlemine benzer.
Birçok matematiksel nesneler(tamsayı ve rasyonel sayılar, polinomlar, vektörler, kümeler) bir okul cebir dersinde okursunuz; burada sayıların cebiri, polinomların cebiri, kümelerin cebiri vb. gibi matematik dallarıyla tanışırsınız. Bilgisayar bilimi için Matematiğin mantığın cebiri olarak adlandırılan bölümü önemlidir; Mantık cebirinin nesneleri önermelerdir.
Bir ifade, herhangi bir dilde, içeriğinin kesin olarak doğru veya yanlış olduğu belirlenebilen bir cümledir.
Örnek:
Örneğin “Büyük Rus bilim adamı M.V. Lomonosov \(1711\)’de doğmuştur” ve “İki artı altı sekiz eder” cümleleriyle ilgili olarak bunların kesinlikle doğru olduğunu söyleyebiliriz. “Serçeler kış uykusuna yatar” cümlesi yanlıştır. Dolayısıyla bu cümleler birer ifadedir.
Rusça'da ifadeler bildirim cümleleriyle ifade edilir.
Dikkat etmek!
Ancak her bildirim cümlesi bir ifade değildir.
Örnek:
Örneğin “Bu cümle yanlıştır” cümlesi bir ifade değildir çünkü çelişki yaratmadan doğru mu yanlış mı olduğu söylenemez. Nitekim cümlenin doğru olduğunu kabul edersek bu söylenenlerle çelişiyor demektir. Eğer cümlenin yanlış olduğunu kabul edersek, o zaman onun doğru olduğu sonucu çıkar.
Teşvik ve soru cümleleri açıklamalar değildir.
Örneğin: “Yazın” gibi cümleler Ev ödevi", "Kütüphaneye nasıl gidilir?", "Bize kim geldi?"
İfadeler çeşitli işaretler kullanılarak oluşturulabilir resmi diller- matematik, fizik, kimya vb.
İfade örnekleri şunlar olabilir:
“Na metaldir” (doğru ifade);
“Newton'un ikinci yasası \(F = ma\) (doğru ifade) formülüyle ifade edilir;
“Kenar uzunlukları \(a\) ve \(b\) olan bir dikdörtgenin çevresi \(ab\)'ye eşittir” (yanlış ifade).
Sayısal ifadeler ifade değil, ikiden sayısal ifadeler Bunları eşit veya eşitsizlik işaretleriyle bağlayarak bir açıklama yapabilirsiniz. Örneğin:
- 3 + 5 = 2 ⋅ 4 (doğru ifade);
- “II + VI > VIII” (yanlış ifade).
Değişken içeren eşitlikler ve eşitsizlikler de ifade değildir.
Örneğin, \("x" cümlesi< 12»\) становится высказыванием только при замене переменной каким-либо özel anlam: \("5< 12»\) - истинное высказывание; \(«12 < 12»\) - ложное высказывание.
İfadelerin doğruluğunun veya yanlışlığının gerekçesi, ait oldukları bilimlere göre belirlenir. Mantık cebiri, ifadelerin anlamsal içeriğinden soyutlanmıştır. Yalnızca belirli bir ifadenin doğru mu yanlış mı olduğuyla ilgilenir. Mantıksal cebirde ifadeler harflerle gösterilir ve denir. mantıksal değişkenler. Ayrıca, eğer ifade doğruysa, karşılık gelen mantıksal değişkenin değeri bir \((A = 1)\) ile ve yanlışsa - sıfır \((B = 0)\) ile gösterilir.
Mantıksal değişkenlerin değerlerini ifade eden \(0\) ve \(1\) denir mantıksal değerler.
Ders: Mantıksal ifadeler ve mantıksal işlemler.
Ders hedefleri:
Form kavramları: mantıksal ifade, mantıksal nicelikler, mantıksal işlemler.
Öğrenciler şunları bilmelidir: Kavramların anlamı: mantıksal ifade, mantıksal nicelikler, mantıksal işlemler.
Öğrenciler şunları yapabilmelidir:
- mantıksal ifadelere örnekler verin;
- Mantıksal büyüklükleri, mantıksal işlemleri adlandırın.
Ders ilerlemesi
Ders eşlik ediyor bilgisayar sunumu. (Başvuru)
I. Organizasyon anı
Son dersimizde Mantık biliminden bahsetmiştik. Mantık biliminin birkaç bölümü olduğunu zaten biliyoruz. Bölümlerden biri - Önermelerin cebiri.
Başlığı yazalım: Önermelerin cebiri.
II. Yeni malzemenin açıklaması
(Slayt 1)
AÇIKLAMA, doğru ya da yanlış olduğu söylenebilen bildirim niteliğinde bir cümledir.
Örneğin:
Dünya - gezegen güneş sistemi. (Doğru.)
2 + 8 < 5 (YANLIŞ.)
5 5 = 25 (Doğru.)
Her kare bir paralelkenardır. (Doğru.)
Her paralelkenar bir karedir. (YANLIŞ.)
2 2 = 5 (YANLIŞ.)
Her cümle bir ifade değildir.
1) Ünlem ve soru cümleleri ifade değildir.
- “Bu ev ne renk?”
- “Domates suyu iç!”
2) Tanımlar ve ifadeler ifade değildir.
“Üçgenin tepe noktasını karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına medyan diyelim.”
Tanımlar doğru ya da yanlış değildir; yalnızca terimlerin kabul edilen kullanımını kaydederler.
3) Gibi cümleler "Gri gözlü bir adam" veya " x-4x + 3=0"- hangisi olduğunu belirtmiyorlar adam yürüyor konuşma veya hangi sayı için X eşitlik doğrudur. Bu tür tekliflere denir ifade biçimleri.
Etkileyici biçim doğrudan veya dolaylı olarak en az bir değişkeni içeren ve tüm değişkenlerin değerleri ile değiştirildiğinde bir ifade haline gelen bildirim niteliğinde bir cümledir.
(Slayt 2)
İÇİNDE matematiksel mantıkİfadenin spesifik içeriği dikkate alınmaz, yalnızca doğru veya yanlış olması önemlidir. Bu yüzden ifade bazı kişiler tarafından temsil edilebilir değişken değeri yalnızca 0 veya 1 olabilen . İfade doğruysa değeri 1, yanlışsa değeri 0'dır.
Basit ifadeler denir mantıksal değişkenler ve kayıt kolaylığı için Latin harfleriyle gösterilirler: A, B, C...
Ay, Dünya'nın bir uydusudur. bir = 1
Moskova Almanya'nın başkentidir. B = 0
Karmaşık ifadelere denir mantıksal işlevler . Mantıksal fonksiyon değerleri de yalnızca 0 veya 1 değerlerini alabilir.
Başlığı yazalım:
TEMEL LOJİK İŞLEMLER
(Slayt 3)
Önermesel cebirde, sıradan cebirde olduğu gibi, bir takım işlemler tanıtılmaktadır. Mantıksal bağlayıcılar AND, OR ve NOT mantıksal operatörlerle değiştirilir: birleşme, ayrılma ve inversiyon . Bunlar herhangi bir mantıksal fonksiyonu yazabileceğiniz temel mantıksal işlemlerdir.
(Slayt 4)
BORUDAN SU NE ZAMAN ÇIKACAK?
(Slayt 5)
MANTIKLI ÇARPLAMA
İfadelerin her birini Latin harfleriyle gösterelim.
A – “Bugün güneş parlıyor.”
B- “Bugün yağmur yağıyor.”
Bir birlik kullanarak bağlanalım VE karmaşık bir ifade elde ederiz. Bu mantıksal çarpma olacaktır.
Tanımını yazalım: Mantıksal çarpma (bağlaç), iki (veya daha fazla) ifadenin "ve" bağlacı kullanılarak birleştirilmesiyle oluşturulur.
Bir doğruluk tablosu oluşturalım.(Slayt 6)
Tanım: &, ^, *.
Birlik doğal dil: Ve.
İfadelerin doğru - 1 veya yanlış - 0 olabileceği durumlar için tabloda tüm seçenekleri ayarlayalım. Şimdi bakalım sonunda ne elde edeceğiz?
Başka bir seçeneği ele alalım: BORUDAN SU NE ZAMAN AKACAK?
(Slayt 7)
(Slayt 8) MANTIKLI EKLEME
A – Otoparkta bir Mercedes var.
B – Otoparkta bir Zhiguli var.
Bir birlik kullanarak bağlanalım VEYA karmaşık bir ifade elde ederiz. Bu mantıklı bir ekleme olacaktır.
Tanımını yazalım: Mantıksal toplama (ayrılma), iki (veya daha fazla) ifadenin "veya" bağlacı kullanılarak birleştirilmesiyle oluşturulur.
Bir doğruluk tablosu oluşturalım. (Slayt 9)
Tanım: +, V.
Doğal dilde bağlaç: veya.
(Slayt 10)
Ayrılık ve kavuşumu hatırlamanın ne kadar kolay olduğunu görün.
Ayrıklık sözcüğünde VEYA anlamına gelen iki harf I vardır ve bağlaç sözcüğünde I anlamına gelen bir I harfi vardır.
Sonraki işlem: MANTIKLI OLUMSUZLUK. (Slayt 11)
Her bir ifadeyi yine Latin harfleriyle gösterelim.
Tanımını yazalım: Mantıksal olumsuzlama (tersine çevirme), yüklemlere "değil" edatının eklenmesiyle veya "bu doğru değil..." şeklinde bir ifadenin kullanılmasıyla oluşturulur.
Bir doğruluk tablosu oluşturalım. (Slayt 12)
Tanım: ¬.
Doğal dilde bağlaç: değil; Bu doğru değil...
Sonraki işlem: MANTIKLI TAKİP. (Slayt 13)
Tanım: →.
Doğal dilde bağlaç: eğer..., o zaman....
Tanımını yazalım: Mantıksal sonuç (çıkarma), "eğer..., o zaman..." şeklindeki konuşma şekli kullanılarak iki ifadenin tek bir ifadede birleştirilmesiyle oluşturulur.
Bir doğruluk tablosu oluşturalım. (Slayt 14)
III. Ders özeti
Bugün mantıksal ifadelere ve mantıksal işlemlere baktık. Bu konu hakkında sorusu olan var mı?