Tanım gereği bir polinom cebirsel ifade bu tek terimlilerin toplamıdır.
Örneğin: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 polinomlardır ve z/(x - x*y^2 + 4) ifadesi bir polinom değildir çünkü tek terimlilerin toplamı değildir. Bir polinom bazen polinom olarak da adlandırılır ve bir polinomun parçası olan monomlar, bir polinomun veya monomiyallerin üyeleridir.
Polinomun karmaşık kavramı
Bir polinom iki terimden oluşuyorsa buna binom, üç terimden oluşuyorsa buna trinom denir. Fournomial, fivenomial ve diğerleri isimleri kullanılmaz ve bu gibi durumlarda sadece polinom denir. Bu tür isimler, terim sayısına bağlı olarak her şeyi yerine koyar.
Ve tek terimli terimi sezgisel hale geliyor. Matematiksel açıdan bakıldığında monom, polinomun özel bir durumudur. Bir monom, bir terimden oluşan bir polinomdur.
Tıpkı bir monom gibi, bir polinomun da kendine ait bir yapısı vardır. standart görünüm. Bir polinomun standart formu, içinde terim olarak yer alan tüm monomların standart bir formda yazıldığı ve benzer terimlerin verildiği bir polinomun böyle bir gösterimidir.
Polinomun standart formu
Bir polinomu standart forma indirgeme prosedürü, monomların her birini standart forma indirgemek ve ardından tüm benzer monomları bir araya toplamaktır. Bir polinomun benzer terimlerinin toplanmasına benzerlerin indirgenmesi denir.
Mesela verelim benzer terimler 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b polinomunda.
4*a*b^2*c^3 ve 6*a*b^2*c^3 terimleri burada benzerdir. Bu terimlerin toplamı 10*a*b^2*c^3 tek terimli olacaktır. Bu nedenle, orijinal polinom 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b, 10*a*b^2*c^3 - a* olarak yeniden yazılabilir. B . Bu giriş bir polinomun standart formu olacaktır.
Herhangi bir mononomun standart bir forma indirgenebileceği gerçeğinden, aynı zamanda herhangi bir polinomun standart bir forma indirgenebileceği sonucu çıkar.
Bir polinom standart bir forma indirgendiğinde polinomun derecesi gibi bir kavramdan bahsedebiliriz. Bir polinomun derecesi, içerdiği monomiyalin en yüksek derecesidir. verilen polinom.
Yani örneğin 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 beşinci dereceden bir polinomdur, çünkü maksimum derece(5*x^3*y^2) beşinci polinomun içerdiği tek terim.
Veya, kesinlikle, formun sonlu resmi toplamıdır
∑ ben c ben x 1 ben 1 x 2 i 2 ⋯ x n ben n (\ displaystyle \ toplam _(I)c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\ cdots x_(n)^(i_(n)))), NeredeÖzellikle, bir değişkendeki bir polinom, formun sonlu resmi toplamıdır.
c 0 + c 1 x 1 + ⋯ + c m x m (\displaystyle c_(0)+c_(1)x^(1)+\dots +c_(m)x^(m)), NeredeBir polinom kullanılarak “cebirsel denklem” ve “cebirsel fonksiyon” kavramları türetilir.
Çalışma ve uygulama[ | ]
Polinom denklemleri ve çözümlerinin incelenmesi belki de "klasik cebirin" ana amacıydı.
Polinomların incelenmesiyle ilgili bütün bir seri matematikte dönüşümler: sıfır, negatif ve ardından karmaşık sayıların dikkate alınmasına giriş, ayrıca grup teorisinin matematiğin bir dalı olarak ortaya çıkışı ve analizde özel fonksiyon sınıflarının tanımlanması.
Daha fazlasına kıyasla polinomları içeren hesaplamaların teknik basitliği karmaşık sınıflar fonksiyonların yanı sıra polinom kümesinin, Öklid uzayının kompakt alt kümeleri üzerindeki sürekli fonksiyonlar uzayında yoğun olması (bkz. Weierstrass'ın yaklaşım teoremi), matematiksel analizde seri genişletme ve polinom enterpolasyon yöntemlerinin geliştirilmesine katkıda bulundu.
Polinomlar da oynuyor anahtar rol cebirsel geometride, amacı polinom sistemlerinin çözümleri olarak tanımlanan kümelerdir.
Polinomları çarparken katsayıları dönüştürmenin özel özellikleri cebirsel geometri, cebir, düğüm teorisi ve matematiğin diğer dallarında polinomlardaki çeşitli nesnelerin özelliklerini kodlamak veya ifade etmek için kullanılır.
İlgili tanımlar[ | ]
- Formun polinomu c x 1 ben 1 x 2 ben 2 ⋯ x n ben n (\displaystyle cx_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_(n))) isminde tek terimli veya tek terimliçoklu indeks ben = (i 1 , … , ben n) (\displaystyle I=(i_(1),\dots ,\,i_(n))).
- Çoklu indekse karşılık gelen tek terimli ben = (0 , … , 0) (\displaystyle I=(0,\noktalar ,\,0)) isminde ücretsiz üye.
- Tam derece(sıfır olmayan) tek terimli c ben x 1 ben 1 x 2 ben 2 ⋯ x n ben n (\displaystyle c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_ (N))) tamsayı denir |.
- ben | = ben 1 + ben 2 + ⋯ + ben n (\displaystyle |I|=i_(1)+i_(2)+\dots +i_(n)) Birçok çoklu indeks BEN, bunun için katsayılar c ben (\displaystyle c_(I)) sıfır olmayan, denir polinomun taşıyıcısı.
- ve dışbükey gövdesi monomlarının kuvvetlerinin maksimumu denir. Aynı sıfırın derecesi ayrıca değerle belirlenir. − ∞ (\displaystyle -\infty).
- İki tek terimlinin toplamı olan polinoma denir binom veya binom,
- Üç tek terimlinin toplamı olan polinoma denir üç terimli.
- Polinomun katsayıları genellikle belirli bir değişmeli halkadan alınır. R (\displaystyle R)(çoğunlukla alanlar, örneğin gerçek veya karmaşık sayı alanları). Bu durumda toplama ve çarpma işlemlerine göre polinomlar bir halka oluşturur (ayrıca halka üzerinde birleşimli-değişmeli bir cebir) R (\displaystyle R) sıfır bölenler olmadan) belirtilir R[ x 1 , x 2 , … , x n ] .
- (\displaystyle R.) Bir polinom için p (x) (\displaystyle p(x)) bir değişken, denklemi çözme p (x) = 0 (\displaystyle p(x)=0)
kökü denir.[ | ]
Polinom fonksiyonları İzin vermek bir (\displaystyle A) R (\displaystyle R) bir halka üzerinde bir cebir var . Keyfi polinom p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] (\displaystyle p(x)\in R)
bir polinom fonksiyonunu tanımlar.p R : A → A (\displaystyle p_(R):A\to A) En sık ele alınan durum.
A = R (\displaystyle A=R) R (\displaystyle R) Durumunda gerçek veya karmaşık sayılardan oluşan bir alandır (aynı zamanda sonsuz sayı elemanlar), fonksiyon f p: R n → R (\displaystyle f_(p):R^(n)\to R) p polinomunu tamamen tanımlar. Ancak, genel durum bu yanlıştır, örneğin: polinomlar p 1 (x) ≡ x (\displaystyle p_(1)(x)\equiv x) Ve p 2 (x) ≡ x 2 (\displaystyle p_(2)(x)\equiv x^(2)) itibaren Z 2 [ x ] (\displaystyle \mathbb (Z)_(2)[x]) aynı şekilde belirlenir eşit fonksiyonlar.
Z 2 → Z 2 (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)\to \mathbb (Z) _(2))
Bir gerçek değişkenin polinom fonksiyonuna tam rasyonel fonksiyon denir.[ | ]
Polinom türleri [ | ]
Özellikler [ | ]
Bölünebilme İndirgenemez polinomların polinom halkasındaki rolü, asal sayıların tamsayılar halkasındaki rolüne benzer. Örneğin teorem doğrudur: eğer polinomların çarpımı p q (\displaystyle pq) indirgenemez bir polinomla bölünebilirse, o zaman veya P Q bölünmüşλ (\displaystyle \lambda)
. Sıfırdan büyük dereceli her polinom, belirli bir alanda benzersiz bir şekilde indirgenemez faktörlerin bir çarpımına (sıfır dereceli faktörlere kadar) ayrıştırılabilir. Örneğin, bir polinom x 4 − 2 (\displaystyle x^(4)-2) , alanda indirgenemez rasyonel sayılar , reel sayılar alanında üç faktöre, alanda ise dört faktöre ayrışır.
Genel olarak, bir değişkendeki her polinom x (\displaystyle x) gerçek sayılar alanında birinci ve ikinci dereceden faktörlere, karmaşık sayılar alanında birinci dereceden faktörlere (cebirin temel teoremi) ayrışır.
İki kişilik ve Daha değişkenler artık ifade edilemez. Herkes için her alanın üstünde n > 2 (\displaystyle n>2) polinomlar var n (\displaystyle n) Bu alanın herhangi bir uzantısında indirgenemeyen değişkenler. Bu tür polinomlara kesinlikle indirgenemez denir.
Eserin metni görseller ve formüller olmadan yayınlanmaktadır.
Tam sürümÇalışmaya PDF formatında "Çalışma Dosyaları" sekmesinden ulaşılabilir
Lagrange enterpolasyon polinomunu kullanarak beşinci dereceden bir polinomun ikinci dereceden çarpanlara ayrılması
Beşinci derece Lagrange interpolasyon polinomunun tanımı.
İndirgenmiş polinomu genişletmek için beşinci dereceleri faktörlere ayırmak için şu eşitliğin sağlanması gerekir: f(x)=φ(x)·g(x). Bu durumda φ(x) ve g(x) polinomlarının derecesi beşten büyük olmamalıdır.
Bir tamsayı polinomunu tanımlamak için beşinciden yüksek değil Belirli bir değer tablosuna sahip derecelerin bir formülü vardır Lagrange enterpolasyon polinomu (IML)):
φ(x) = F(x)· , burada F(x)=(x-x 1)·(x-x 2)·(x-x 3)·(x-x 4)·(x-x 5)(x-x 6), Fʹ(x k) F(x) fonksiyonunun x k noktalarındaki türevinin değerleri.
Düzlemdeki altı noktanın koordinatlarının ayarlanmasının gerekli olduğu yer.
φ(x) ve g(x) faktörlerini belirlemek için keyfi olarak altı tamsayı değeri x= x 1 seçiyoruz; x2; x3; x4; x 5; x 6 ve bunları f(x)= φ(x)·g(x) eşitliğinde yerine koyalım. Şunu elde ederiz:
f(x 1)= φ(x 1) g(x 1) ; f(x 2)= φ(x 2) g(x 2); f(x 3)= φ(x 3) g(x 3);
f(x 4)= φ(x 4) g(x 4) ; f(x 5)=φ(x 5) g(x 5); f(x 6)= φ(x 6) g(x 6).
Bu eşitlikler, istenilen φ(x) faktörünün her φ(x k) değerinin, f(x k) sayısının bir böleni olduğunu gösterir.
φ(x) faktörünü oluşturmak için kullandığımız IML ve f(xk) olarak keyfi A k tam sayılarını değiştireceğiz ve x k değerlerini sıfıra yakın ardışık tam sayılar biçiminde seçeceğiz, yani.
x1 = -3; x2 = -2; x3 = -1; x4 =0; x 5 =1; x 6 =2.
Genişletilmiş IMLφ(x) şuna benzer:
φ(x) = F(x) , burada F(x)=(x+3)·(x+2)·(x+1)·x·(x-1)·(x-2). (2).
φ(x) faktörünü oluşturmak için IML sayılar belirtilmelidir A 1 ; A 2 ; A 3 ; A 4 ; A 5 ; A 6 .
Tanım: sayılar A 1; A2; A3; bir 4; bir 5; Ve 6 formülden alınmıştır IML arka arkaya yazılanlara denir Yakınlarda Lagrangiyen.
Bir polinomun IML kullanılarak doğrusal faktörlere ayrıştırılması.
Teorem 1(Horner şemasının genelleştirilmesi)
φ(x) polinomu eğer sayılar A 1 ise doğrusaldır; A2; A3; bir 4; bir 5; Ve 6 artan bir tamsayı dizisi oluşturur.
Kanıt: polinomu (2) en küçüğüne indirgeyelim ortak payda, yani 120· F(x)'e kadar, elde edilen payı, katsayıları A 1 sayılarını içeren beşinci dereceden bir polinom biçiminde yazıyoruz; A2; A3; bir 4; bir 5; 6. (2) polinomunun doğrusal olabilmesi için beşinci, dördüncü, üçüncü ve ikinci dereceden “x”teki katsayıların sıfıra, birinci dereceden “x”teki katsayıların ise 120’ye eşitlenmesi gerekmektedir. Sonuç olarak, altı değişkenli aşağıdaki beş denklem sistemini elde ederiz:
5 A 2 +80 A 3 -150 A 4 +80 A 4 -5 A 6 =0
4 A 1 +30 A 2 -120 A 3 +40 A 4 +60 A 5 -6 A 6 =120.
A 6 sayısını sabitlersek geri kalan her şey ifade edilecektir. aşağıdaki formüller: A 1 =A 6 -5; A 2 =A 6 -4; A 3 =A 6 -3; A 4 =A 6 -2; A 5 =A 6 -1.
Artan bir tamsayı dizisi elde ettik.
Doğrusal çarpanın sahip olduğu teoreminden şu sonuç çıkar: sonraki görünüm: φ(x)=x+A 4 (3).
Tanım: bu ilişkilerin verdiği sayı dizisi A 1 = A 6 -5; A2 = A6-4; A3 = A6-3; A4 = A6-2; A5 = A6-1; Ve 6'ya doğrusal Lagrangian serisi denir.
Tanım: Doğrusal bir Lagrangian serisine " denir aday» eğer tüm A k sayıları f(x k) fonksiyonunun karşılık gelen değerlerinin bölenleriyse, burada k=1;2;3;4;5;6.
Tüm adaylar için formül (3)'ü kullanarak doğrusal bir φ(x) faktörü oluştururuz ve bunun f(x) ile bölünebilirliğini kontrol ederiz.
Teoremden doğrusal çarpanın aşağıdaki forma sahip olduğu sonucu çıkar φ(x)=x+A 4 ,
burada A4 serbest terimin böleni, yani. f(0). İndirgenmiş polinomun doğrusal faktörü, Horner şeması kullanılarak benzer şekilde belirlenir.
Örnek: f(x)= x 5 -8x 4 +2x 3 -16x 2 +x-8. Horner şemasını kullanarak polinomun değerini x = -3'te buluyoruz; -2; -1; 0;1;2. Bunu yapmak için tablo 1'i oluşturalım:
Tablo 1'in son sütununu tablo 2'nin ilk satırıyla yeniden yazalım. Bu satırda şu sayıya sahip bir sayı seçelim: en küçük sayı bölücüler. Örneğimizde bu sayı -8'dir. Tüm bölenlerini bir sütuna yazalım. -8 sayısının her böleni için bir satıra doğrusal Lagrangian serisi yazıyoruz. Ortaya çıkan Lagrangian serisinden “adayları” seçeceğiz. "Adayları" kullanarak formül (3)'e göre bir φ(x) polinomu oluşturacağız ve bunların verilen f(x)= x 5 -8x 4 +2x 3 -16x 2 +x-8 polinomuyla bölünebilirliğini kontrol edeceğiz.
Tablo 2:
|
"aday" |
Yukarıdaki tabloda 2 tanesi gölgelendirilmiştir gri f(x) fonksiyonunun karşılık gelen değerlerinin böleni olmayan sayıları içeren dikdörtgenler. Bu tablo, f(x) fonksiyonunun karşılık gelen değerlerinin bölenleri olan tüm sayıların bir satırını veya Lagrangian serisini içerir. Bu seri tek aday. Bu seride A 4 = -8, formülde φ(x)=x- A 4'ü yerine koyarsak φ(x)=x- 8'i buluruz.
Muayene: x 5 -8x 4 +2x 3 -16x 2 +x-8=(x-8)·(x 4 +2x 2 +1). Gerçek aday siyah renkle vurgulanacaktır.
IML kullanılarak polinom ikinci dereceden faktörlerin genişletilmesi.
Teorem 2. A 1 sayıları varsa φ(x) faktörü ikinci derecedendir; A2; A3; bir 4; bir 5; Ve 6 aşağıdaki ilişkilerle birbirine bağlıdır:
A 1 =5 (A 5 +4)-4 A 6
A 2 =4 (A 5 +3)-3 A 6
A 3 =3 (A 5 +2)-2 A 6
A 4 =2·(A 5 +1)-1·A 6
Kanıt: Kanıt: Polinomu (1) en küçük ortak paydaya indirelim; 120· F(x)'e kadar, elde edilen payı, katsayıları A 1 sayılarını içeren beşinci dereceden bir polinom biçiminde yazıyoruz; A2; A3; bir 4; bir 5; 6. (1) polinomunun ikinci dereceden olabilmesi için beşinci, dördüncü ve üçüncü dereceden “x”in katsayılarını sıfıra, ikinci dereceden “x”in katsayısını ise 120’ye eşitlemek gerekir. Sonuç olarak, altı değişkenli aşağıdaki dört denklem sistemini elde ederiz:
A 1 +5 A 2 -10 A 3 +10 A 4 -5 A 5 +A 6 =0
5 A 2 -20 A 3 +30 A 4 -20 A 5 +5 A 6 =0
5 A 1 -35 A 2 +70 A 3 -50 A 4 +5 A 5 +5 A 6 =0
5 A 2 +80 A 3 -150 A 4 +80 A 5 -5 A 6 =120.
İki A 5 ve A 6 sayısını sabitlersek, geri kalan her şey aşağıdaki formüllerle ifade edilecektir:
A 1 =5·(A 5 +4)-4·A 6; A 2 =4·(A 5 +3)-3·A 6;
A 3 =3·(A 5 +2)-2·A 6; A 4 =2·(A 5 +1)-1·A 6.
Teoremden ikinci dereceden faktörün formülle ifade edilebileceği sonucu çıkar. φ(x)=x 2 +(Bir 6 - A 5 -3) x+ Bir 4 . (4)
Tanım: Aşağıdakilerle verilen tam sayıların sırası
ilişkiler A 1 =5·(A 5 +4)-4·A 6; A 2 =4·(A 5 +3)-3·A 6; A 3 =3·(A 5 +2)-2·A 6; A 4 =2·(A 5 +1)-1·A 6'ya ikinci dereceden Lagrangian serisi denir
Tanım: ikinci dereceden bir Lagrange serisine, tüm A k sayıları f(x k), k=1;2;3;4;5;6 fonksiyonunun karşılık gelen değerlerinin bölenleri ise "aday" adı verilir.
Tüm adaylar için, formül (4)'ü kullanarak ikinci dereceden φ(x) faktörünü oluşturuyoruz ve bunun f(x) ile bölünebilirliğini kontrol ediyoruz.
İkinci dereceden Lagrangian serisinin basitleştirilmiş şekli.
İkinci dereceden Lagrangian serisinin formülleri basitleştirilebilir. Bunu yapmak için A 5 - A 6 farkını belirtmek için “d” harfini kullanalım, o zaman ikinci dereceden Lagrangian serisinin sayıları daha çok görünecektir basit formüller ve inşaatları için uygun:
Örnek: A5 =7; Ve 6 =10 ikinci dereceden Lagrange serisini oluşturur.
Tablodaki formülleri kullanarak d=7-10=-3'ü bulalım. sayıları bulalım bu serinin:
Cevap: 15; 10; 7; 6; 7; 10.
Beşinci derecenin indirgenmiş polinomunu çarpanlarına ayırmanın bir örneğini ele alalım: f(x)=x 5 -5x 4 +13x 3 -22x 2 +27x-20.
Belirli bir polinomun olup olmadığını belirleyelim, doğrusalçarpanlar. Bunu yapmak için, ortaya çıkan fonksiyon değerlerini 3 numaralı tablo satırına yazıyoruz. Bunlardan bölen sayısı en az olan sayıyı seçiyoruz. Örneğimizde bu “2” sayısıdır. Tamsayı bölenlerinin tamamını bir sütuna yazalım. “2” sayısının her böleni için doğrusal Lagrangian serisini bir satıra yazıyoruz. Adayları onlardan seçeceğiz ve verilen f(x) polinomuyla bölünebilirliğini kontrol edeceğiz.
Horner'ın şemasını kullanarak fonksiyonun değerlerini x=-3'te bulacağız; -2;-1; 0;1;2. Bunu yapmak için bir tablo oluşturalım:
Tablo No.3:
3 numaralı bu tabloda, f(x) fonksiyonunun karşılık gelen değerlerinin bölenleri olmayan sayıları içeren hücreler gri renkle işaretlenmiştir. Gri hücrede bir sayı bulunan oluşturulmuş ikinci dereceden Lagrange serisi kesinlikle bir "aday" olmadığından, boş hücreleri doldurmaya gerek yoktur. 3 numaralı tablodan “aday” olmadığı açıkça görülüyor. Bu, f(x)=x 5 -5x 4 +13x 3 -22x 2 +27x-20 polinomunun doğrusal faktörlere genişletilemeyeceği anlamına gelir.
Belirli bir polinomun ikinci dereceden çarpanlara sahip olup olmadığını belirleyelim. Bunu yapmak için ortaya çıkan fonksiyon değerlerini 4 numaralı tablo satırına yazıyoruz. Bunlardan bölen sayısı en az olan iki sayıyı seçiyoruz. Örneğimizde bunlar “2” ve “-6” sayılarıdır; bölenlerini sütunlara yazacağız. “2” ve “-6” sayılarının her bölen çifti için ikinci dereceden Lagrangian serisini bir satıra yazıyoruz. Bunlardan adayları seçeceğiz ve verilen f(x) polinomuyla bölünebilirliklerini kontrol edeceğiz.
Tablo No.4:
4 numaralı tabloda iki “aday” görüyoruz. Onların yardımıyla, φ(x)=x 2 +(A 6 - A 5 -3) x+ A 4 formülünü kullanarak şunu buluruz: kare faktörler: φ 1 (x)=x 2 -3x+ 4; φ 2 (x)=x 2 +x-4.
Kontrol, iki faktörden birinin doğru olduğunu, bunun φ 1 (x) = x 2 -3x+ 4 olduğunu ve diğer faktörün konu dışı olduğunu gösteriyor.
Cevap: x 5 -5x 4 +13x 3 -22x 2 +27x-20=(x 2 -3x+ 4)·(x 3 -2x 2 +3x-5).
4 numaralı bu tabloda 32 adet ikinci dereceden Lagrangian serisi elde ettik. Bu sayı, iki bitişik sütunda yer alan iki fonksiyon değerinin hem pozitif hem de negatif farklı bölen çiftlerinin sayısıyla belirlenir.
İkinci dereceden Lagrangian serilerinin sayısının azaltılması.
Minimum olan bölen sayısı fonksiyonunun değerleri yakınlarda bulunmuyorsa, aşağıdaki teoremi kullanabilirsiniz:
Teorem 3 A 4 ve A 6 bilinsin, o zaman A 5 = (A 4 + A 6 1): 2-1
A 3 ve A 6 bilinsin, o zaman A 5 = (A 3 + A 6 2):3-2
A 2 ve A 6 bilinsin, o zaman A 5 = (A 2 + A 6 3):4-3
A 1 ve A 6 bilinsin, o zaman A 5 = (A 1 + A 6 ·4): 5-4.
İspat: son eşitliği A 5 =(A 1 +A 6 ·4):5-4 olarak kanıtlayalım. İkinci dereceden Lagrangian sayıların tanımına göre, A 1 =5·(A 5 +4)-4·A 6, bu sayıyı orijinal eşitlikte yerine koyarız ve A 5 =(5·(A 5 +4)-4· elde ederiz. A 6 +A 6 4):5-4=(5 ·A 5 +20):5-4=A 5 +4-4=A 5 ki bunun kanıtlanması gerekiyordu. Diğer eşitlikler de benzer şekilde kanıtlanabilir.
Bu teorem ikinci dereceden Lagrange serilerinin sayısını azaltmamızı sağlar. Daha önce çözdüğümüz bir örneğe bakalım f(x)=x 5 -5x 4 +13x 3 -22x 2 +27x-20
ve A 4 ve A 6 bölenleri kullanılarak oluşturulan ikinci dereceden Lagrangian serilerini ele aldığımız durum için bunu çözelim.
Tablo No.5:
|
(A4 + A61):2-1 |
|||||||
5 numaralı bu tabloda 24 ikinci dereceden Lagrangian serisini aldık. Formülde A 4 ve A 6'nın toplamının 2'ye bölünmesi gerektiğinden, A 4 ve A 6 bölenlerinin ya her ikisi de çift ya da her ikisi de tek olmalıdır. Bu nedenle ikinci dereceden Lagrange serilerinin sayısı azalmıştır. Eğer kullanırsan bu teorem A 1 ve A 6 kullanılarak oluşturulan ikinci dereceden Lagrange serisi 3 yazıldığında seri sayısı 12'ye düşürülecektir.
Tablo No.6:
Tablo 6'da ikinci dereceden Lagrange serisinin sayısı 12'ye düşürülmüştür, çünkü A 5 (4A 1 + A 6): 5-4 formülüne göre bulunur ve bir tamsayı olarak A 5'in kendisinden küçük veya eşit olması gerekir -6'ya kadar. Tüm tablolarda siyahla vurgulanan satır "geçerli adaydır". Geriye kalan adaylar ise “hayali”.
Altıncı dereceden bir polinom için ikinci dereceden faktörün şu formül kullanılarak bulunabileceği kanıtlanabilir: φ(x)=x 2 +(A 7 - A 6 - 5) x+ A 4, burada sayılar A 1'dir ; A2; A3; bir 4; bir 5; bir 6; Ve 7 ikinci dereceden bir Lagrangian serisi oluşturur.
Sonuçlar:
IML kullanan bu ayrıştırma yöntemi Horner şemasının bir genellemesidir.
Bu yöntem, beşinci derecenin üzerindeki polinomlar için ikinci dereceden faktörleri belirlemek için kullanılabilir.
Bu yöntemi kullanarak Lagrangian sayılarının özelliklerini keşfederek şunları belirleyebilirsiniz: kübik polinomlar beşinci ve daha yüksek derecedeki polinomların genişletilmesinde.
Edebiyat:
1. A. N. Chebotarev “Galois teorisinin temelleri”, OMTI GTTI, 1934, 1 saat.
2. A.A. tarafından derlenen “Sayılar ve polinomlar”. Egorov - M .: Bureau Quantum, 2000/ “Quantum” No. 6, 2000 dergisine ek.
Tek terimlileri inceledikten sonra polinomlara geçiyoruz. Bu makale size herkesi anlatacak gerekli bilgiler, bunlar üzerinde işlem yapmak için gerekli. Bir polinomu şununla tanımlayacağız: eşlik eden tanımlar bir polinomun terimi, yani serbest ve benzer, standart formdaki bir polinomu düşünün, bir derece girin ve onu nasıl bulacağınızı öğrenin, katsayılarıyla çalışın.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Polinom ve terimleri - tanımlar ve örnekler
Bir polinomun tanımı eskiden gerekliydi 7 Tek terimlileri inceledikten sonra ders. Tam tanımına bakalım.
Tanım 1
Polinom tek terimlilerin toplamı dikkate alınır ve tek terimlinin kendisi özel durum polinom.
Tanımdan polinom örneklerinin farklı olabileceği anlaşılmaktadır: 5 , 0 , − 1 , X, 5 a b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z vb. Tanımdan şunu anlıyoruz 1+x, a 2 + b 2 ve x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x ifadesi polinomlardır.
Biraz daha tanımlara bakalım.
Tanım 2
Polinomun üyeleri onu oluşturan tek terimlilere denir.
3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3 polinomunun 4 terimden oluştuğu bir örneği düşünün: 3 x 4, − 2 x y, 3 ve - y 3. Böyle bir monom, bir terimden oluşan bir polinom olarak düşünülebilir.
Tanım 3
2, 3 trinom içeren polinomlar karşılık gelen adı taşır - binom p 1 (x) ≡ x (\displaystyle p_(1)(x)\equiv x) üç terimli.
Bu, formun bir ifadesinin olduğu anlamına gelir x+y– bir binomdur ve 2 x 3 q − q x x x + 7 b ifadesi bir üç terimlidir.
İle okul müfredatı a ve b'nin bazı sayılar ve x'in bir değişken olduğu a · x + b formundaki doğrusal bir binomla çalıştı. Örneklerle birlikte x + 1, x 7, 2 − 4 formundaki doğrusal binom örneklerini ele alalım. kare trinomialler x 2 + 3 x − 5 ve 2 5 x 2 - 3 x + 11 .
Dönüştürmek ve çözmek için benzer terimleri bulup getirmek gerekir. Örneğin, 1 + 5 x − 3 + y + 2 x formundaki bir polinomun benzer terimleri 1 ve - 3, 5 x ve 2 x'tir. Polinomun benzer üyeleri adı verilen özel bir gruba ayrılırlar.
Tanım 4
Bir polinomun benzer terimleri bir polinomda bulunan benzer terimlerdir.
Yukarıdaki örnekte 1 ve - 3, 5 x ve 2 x'in polinomun benzer terimleri veya benzer terimler olduğunu görüyoruz. İfadeyi basitleştirmek için benzer terimleri bulun ve azaltın.
Standart formun polinomu
Tüm monomların ve polinomların kendi özel isimleri vardır.
Tanım 5
Standart formun polinomu içine dahil edilen her üyenin standart formda bir monomiye sahip olduğu ve benzer terimler içermediği bir polinom olarak adlandırılır.
Tanımdan, standart formdaki polinomları azaltmanın mümkün olduğu açıktır, örneğin 3 x 2 − x y + 1 ve __formula__ ve giriş standart biçimdedir. 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z ve 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z ifadeleri standart formdaki polinomlar değildir, çünkü bunlardan ilki benzer terimlere sahiptir. 3 · x 2 formu ve - x 2 ikincisi ise standart polinomdan farklı olan x · y 3 · x · z 2 formunda bir monom içerir.
Koşullar gerektiriyorsa bazen polinom standart bir forma indirgenir. Bir polinomun serbest terimi kavramı aynı zamanda standart biçimdeki bir polinom olarak kabul edilir.
Tanım 6
Bir polinomun serbest terimi değişmez bir kısmı olmayan standart biçimdeki bir polinomdur.
Başka bir deyişle, standart formdaki bir polinomun bir numarası varsa buna serbest üye denir. O halde 5 sayısı, x 2 z + 5 polinomunun serbest bir terimidir ve 7 a + 4 a b + b 3 polinomunun bir serbest terimi yoktur.
Bir polinomun derecesi - nasıl bulunur?
Bir polinomun derecesinin tanımı, standart formdaki bir polinomun tanımına ve onun bileşenleri olan monomların derecelerine dayanmaktadır.
Tanım 7
Standart formdaki bir polinomun derecesi gösteriminde yer alan derecelerin en büyüğü denir.
Bir örneğe bakalım. 5 x 3 − 4 polinomunun derecesi 3'e eşittir çünkü bileşimindeki monomlar sırasıyla 3 ve 0 derecelerine sahiptir ve bunlardan büyük olanı 3'tür. 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x polinomundan derecenin tanımı sayıların en büyüğüne eşittir, yani 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 ve 1, yani 5 .
Derecenin kendisinin nasıl bulunduğunu bulmak gerekir.
Tanım 8
Polinom derecesi herhangi bir sayı karşılık gelen polinomun standart formdaki derecesidir.
Bir polinom standart formda yazılmadığında ancak derecesini bulmanız gerektiğinde, onu standart forma indirgemeniz ve ardından gerekli dereceyi bulmanız gerekir.
Örnek 1
Bir polinomun derecesini bulun 3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.
Çözüm
Öncelikle polinomu standart formda sunalım. Formun bir ifadesini alıyoruz:
3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2
Standart biçimde bir polinom elde ederken, bunlardan ikisinin açıkça öne çıktığını görüyoruz - 2 · a 2 · b 2 · c 2 ve y 2 · z 2 . Dereceleri bulmak için sayarız ve 2 + 2 + 2 = 6 ve 2 + 2 = 4 olduğunu buluruz. Bunlardan en büyüğünün 6 olduğu görülmektedir. Tanımdan, 6'nın − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 polinomunun derecesi ve dolayısıyla orijinal değer olduğu sonucu çıkar.
Cevap: 6 .
Polinom terimlerinin katsayıları
Tanım 9Bir polinomun tüm terimleri standart formun monomları olduğunda, bu durumda, onların adı vardır. polinom terimlerinin katsayıları. Başka bir deyişle bunlara polinomun katsayıları denilebilir.
Örneği göz önüne aldığımızda, 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 formundaki bir polinomun 4 polinom içerdiği açıktır: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x ve 7, bunlara karşılık gelen katsayılar 2, − 0, 5, 3 ve 7. Bu, 2, − 0, 5, 3 ve 7'nin, 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 formundaki belirli bir polinomun terimlerinin katsayıları olarak kabul edildiği anlamına gelir. Dönüştürme yaparken değişkenlerin önündeki katsayılara dikkat etmek önemlidir.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Polinom kavramı
Polinomun tanımı: Bir polinom, tek terimlilerin toplamıdır. Polinom örneği:
burada iki tek terimlinin toplamını görüyoruz ve bu bir polinomdur, yani. monomiyallerin toplamı.
Bir polinomu oluşturan terimlere polinomun terimleri denir.
Tek terimlilerin farkı bir polinom mudur? Evet öyle, çünkü fark kolaylıkla bir toplama indirgenebilir, örneğin: 5a – 2b = 5a + (-2b).
Monomiyaller aynı zamanda polinomlar olarak da kabul edilir. Ancak tek terimlinin toplamı yoktur, öyleyse neden polinom olarak kabul ediliyor? Ve buna sıfır ekleyip sıfır tek terimli toplamını alabilirsiniz. Yani bir monom, bir polinomun özel bir durumudur; bir terimden oluşur.
Sıfır sayısı sıfır polinomudur.
Polinomun standart formu
Standart form polinomu nedir? Bir polinom, monomların toplamıdır ve polinomu oluşturan tüm bu monomlar standart biçimde yazılmışsa ve aralarında benzer olmaması gerekiyorsa, polinom standart biçimde yazılır.
Standart formdaki bir polinom örneği:
burada polinom, her biri standart bir forma sahip olan 2 monomdan oluşur; monomlar arasında benzerleri yoktur.
Şimdi standart bir formu olmayan bir polinom örneği:
burada iki tek terimli: 2a ve 4a benzerdir. Bunları toplamamız gerekiyor, sonra polinom standart formu alacaktır:
Başka bir örnek:
Bu polinom standart forma indirgenmiş mi? Hayır, ikinci dönemi standart biçimde yazılmadı. Bunu standart formda yazarak standart formda bir polinom elde ederiz:
Polinom derecesi
Bir polinomun derecesi nedir?
Polinom derece tanımı:
Bir polinomun derecesi, belirli bir standart formdaki polinomu oluşturan monomların sahip olduğu en yüksek derecedir.
Örnek. 5h polinomunun derecesi nedir? 5h polinomunun derecesi bire eşittir çünkü bu polinom yalnızca bir monom içerir ve derecesi bire eşittir.
Başka bir örnek. 5a 2 h 3 s 4 +1 polinomunun derecesi nedir? 5a 2 h 3 s 4 + 1 polinomunun derecesi dokuza eşittir, çünkü bu polinom iki monomiyal içerir, en yüksek derece ilk tek terimi 5a 2 h 3 s 4'tür ve derecesi 9'dur.
Başka bir örnek. 5 numaralı polinomun derecesi nedir? Bir polinom 5'in derecesi sıfırdır. Yani, yalnızca sayıdan oluşan bir polinomun derecesi, yani; Harfler olmadan sıfıra eşittir.
Son örnek. Sıfır polinomunun derecesi nedir? sıfır? Sıfır polinomunun derecesi tanımlanmamıştır.