ఫంక్షన్లను పెంచడం మరియు తగ్గించడం యొక్క విరామాలను ఎలా సూచించాలి. పెరుగుతున్న మరియు తగ్గుతున్న విరామాలు

పెరుగుతున్న ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం.

ఫంక్షన్ y=f(x)విరామంలో పెరుగుతుంది X, ఏదైనా ఉంటే మరియు అసమానత కలిగి ఉంటుంది. వేరే పదాల్లో - అధిక విలువవాదన ఫంక్షన్ యొక్క పెద్ద విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

తగ్గుతున్న ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం.

ఫంక్షన్ y=f(x)విరామంలో తగ్గుతుంది X, ఏదైనా ఉంటే మరియు అసమానత కలిగి ఉంటుంది . మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క పెద్ద విలువ ఫంక్షన్ యొక్క చిన్న విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

గమనిక: పెరుగుతున్న లేదా తగ్గుతున్న విరామం చివరల్లో ఫంక్షన్ నిర్వచించబడి మరియు నిరంతరంగా ఉంటే (ఎ;బి), అంటే, ఎప్పుడు x=aమరియు x=b, అప్పుడు ఈ పాయింట్లు పెరుగుతున్న లేదా తగ్గే విరామంలో చేర్చబడతాయి. ఇది విరామంలో పెరుగుతున్న మరియు తగ్గుతున్న ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనాలకు విరుద్ధంగా లేదు X.

ఉదాహరణకు, ప్రాథమిక ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల లక్షణాల నుండి మనకు తెలుసు y = sinxవాదన యొక్క అన్ని వాస్తవ విలువలకు నిర్వచించబడింది మరియు నిరంతరంగా ఉంటుంది. అందువల్ల, విరామంలో సైన్ ఫంక్షన్ పెరుగుదల నుండి, ఇది విరామంలో పెరుగుతుందని మేము నొక్కి చెప్పవచ్చు.

ఎక్స్‌ట్రీమమ్ పాయింట్‌లు, ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమా.

పాయింట్ అంటారు గరిష్ట పాయింట్విధులు y=f(x), అందరికీ ఉంటే xదాని పొరుగు ప్రాంతం నుండి అసమానత చెల్లుబాటు అవుతుంది. గరిష్ట బిందువు వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువ అంటారు ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్టంగామరియు సూచించండి.

పాయింట్ అంటారు కనీస పాయింట్విధులు y=f(x), అందరికీ ఉంటే xదాని పొరుగు ప్రాంతం నుండి అసమానత చెల్లుబాటు అవుతుంది. కనిష్ట బిందువు వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువ అంటారు కనీస ఫంక్షన్మరియు సూచించండి.

ఒక పాయింట్ యొక్క పొరుగును విరామంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు , తగినంత చిన్న సానుకూల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.

కనిష్ట మరియు గరిష్ట పాయింట్లు అంటారు తీవ్రమైన పాయింట్లు, మరియు ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లకు సంబంధించిన ఫంక్షన్ విలువలను అంటారు ఫంక్షన్ యొక్క తీవ్రత.

ఫంక్షన్ యొక్క అతి పెద్ద మరియు అతిచిన్న విలువలతో ఫంక్షన్ యొక్క తీవ్రతను కంగారు పెట్టవద్దు.

మొదటి చిత్రంలో అత్యధిక విలువఒక విరామంలో విధులు గరిష్ట బిందువు వద్ద చేరుకుంది మరియు ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట స్థాయికి సమానంగా ఉంటుంది మరియు రెండవ చిత్రంలో - ఫంక్షన్ యొక్క అత్యధిక విలువ పాయింట్ వద్ద సాధించబడుతుంది x=b, ఇది గరిష్ట పాయింట్ కాదు.

ఫంక్షన్లను పెంచడానికి మరియు తగ్గించడానికి తగిన పరిస్థితులు.

ఆధారిత తగినంత పరిస్థితులు(సంకేతాలు) పెరుగుతున్న మరియు తగ్గుతున్న ఫంక్షన్ల యొక్క విరామాలు పెరుగుతున్న మరియు తగ్గించే విధులు.

విరామంలో ఫంక్షన్లను పెంచడం మరియు తగ్గించడం యొక్క సంకేతాల సూత్రీకరణలు ఇక్కడ ఉన్నాయి:

ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం అయితే y=f(x)ఎవరికైనా అనుకూలమైనది xవిరామం నుండి X, అప్పుడు ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది X;

ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం అయితే y=f(x)ఎవరికైనా ప్రతికూలమైనది xవిరామం నుండి X, అప్పుడు ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది X.

అందువల్ల, ఫంక్షన్ యొక్క పెరుగుదల మరియు తగ్గుదల యొక్క విరామాలను నిర్ణయించడానికి, ఇది అవసరం:

అల్గారిథమ్‌ను వివరించడానికి ఫంక్షన్‌లను పెంచడం మరియు తగ్గించడం యొక్క విరామాలను కనుగొనే ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ.

ఫంక్షన్‌ను పెంచడం మరియు తగ్గించడం యొక్క విరామాలను కనుగొనండి.

పరిష్కారం.

మొదటి దశ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనాన్ని కనుగొనడం. మా ఉదాహరణలో, హారంలోని వ్యక్తీకరణ సున్నాకి వెళ్లకూడదు, కాబట్టి, .

ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి వెళ్దాం:

తగిన ప్రమాణం ఆధారంగా ఫంక్షన్ యొక్క పెరుగుదల మరియు తగ్గుదల యొక్క విరామాలను నిర్ణయించడానికి, మేము నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌పై అసమానతలను పరిష్కరిస్తాము. విరామం పద్ధతి యొక్క సాధారణీకరణను ఉపయోగిస్తాము. ఒకే ఒక నిజమైన రూట్న్యూమరేటర్ ఉంది x = 2, మరియు హారం వద్ద సున్నాకి వెళుతుంది x=0. ఈ పాయింట్లు నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను విరామాలుగా విభజిస్తాయి, దీనిలో ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం దాని చిహ్నాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఈ పాయింట్లను సంఖ్యా రేఖపై గుర్తు పెట్టుకుందాం. మేము సాంప్రదాయకంగా ఉత్పన్నం సానుకూలంగా లేదా ప్రతికూలంగా ఉండే విరామాలను ప్లస్‌లు మరియు మైనస్‌ల ద్వారా సూచిస్తాము. దిగువ బాణాలు సంబంధిత విరామంలో ఫంక్షన్ యొక్క పెరుగుదల లేదా తగ్గింపును క్రమపద్ధతిలో చూపుతాయి.

ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమా

నిర్వచనం 2

ఒక పాయింట్ $x_0$ ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట బిందువుగా పిలువబడుతుంది $f(x)$ ఈ బిందువు యొక్క పొరుగు ప్రాంతం ఉన్నట్లయితే, ఈ పరిసరాలలోని మొత్తం $x$కి అసమానత $f(x)\le f(x_0) $ కలిగి ఉంది.

నిర్వచనం 3

ఒక పాయింట్ $x_0$ ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట బిందువుగా పిలువబడుతుంది $f(x)$ ఈ పాయింట్ యొక్క పొరుగు ప్రాంతం ఉన్నట్లయితే, ఈ పొరుగున ఉన్న మొత్తం $x$కి అసమానత $f(x)\ge f(x_0) $ కలిగి ఉంది.

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమ్ యొక్క భావన ఒక ఫంక్షన్ యొక్క క్లిష్టమైన పాయింట్ యొక్క భావనతో దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉంటుంది. దాని నిర్వచనాన్ని పరిచయం చేద్దాం.

నిర్వచనం 4

$x_0$ అంటారు క్లిష్టమైన పాయింట్ఫంక్షన్ $f(x)$ అయితే:

1) $x_0$ - అంతర్గత పాయింట్డొమైన్స్ నిర్వచనం;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ లేదా ఉనికిలో లేదు.

ఎక్స్‌ట్రీమ్ భావన కోసం, మేము తగినంత మరియు సిద్ధాంతాలను రూపొందించవచ్చు అవసరమైన పరిస్థితులుఅతని ఉనికి.

సిద్ధాంతం 2

ఒక విపరీతానికి తగిన పరిస్థితి

$y=f(x)$ ఫంక్షన్‌కి $x_0$ పాయింట్ కీలకం మరియు $(a,b)$ విరామంలో ఉండనివ్వండి. డెరివేటివ్ $f"(x)$ ప్రతి విరామంలో $\ఎడమ(a,x_0\కుడి)\ మరియు\ (x_0,b)$ ఉండనివ్వండి మరియు సంరక్షించండి శాశ్వత సంకేతం. అప్పుడు:

1) విరామంలో $(a,x_0)$ డెరివేటివ్ $f"\left(x\right)>0$ అయితే $(x_0,b)$ అంతరంలో $f"\leఫ్ట్( x\కుడి)

2) విరామంలో $(a,x_0)$ $f"\left(x\right)0$ డెరివేటివ్ ఉంటే, అప్పుడు పాయింట్ $x_0$ ఈ ఫంక్షన్‌కి కనీస పాయింట్.

3) విరామం $(a,x_0)$ మరియు విరామం $(x_0,b)$ రెండింటిలో $f"\left(x\right) >0$ లేదా డెరివేటివ్ $f"\left(x) \కుడి)

ఈ సిద్ధాంతం మూర్తి 1లో వివరించబడింది.

మూర్తి 1. ఎక్స్‌ట్రీమా ఉనికికి తగిన పరిస్థితి

విపరీతమైన ఉదాహరణలు (Fig. 2).

మూర్తి 2. తీవ్ర పాయింట్ల ఉదాహరణలు

ఎక్స్‌ట్రీమ్ కోసం ఒక ఫంక్షన్‌ను అధ్యయనం చేయడానికి నియమం

2) $f"(x)$ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి;

7) సిద్ధాంతం 2ని ఉపయోగించి ప్రతి విరామంలో గరిష్ట మరియు కనిష్ట ఉనికి గురించి తీర్మానాలు చేయండి.

పనితీరును పెంచడం మరియు తగ్గించడం

ముందుగా ఫంక్షన్లను పెంచడం మరియు తగ్గించడం యొక్క నిర్వచనాలను పరిచయం చేద్దాం.

నిర్వచనం 5

$X$ విరామంలో నిర్వచించబడిన $y=f(x)$ ఏదైనా పాయింట్ల కోసం $x_1,x_2\n X$లో $x_1 వద్ద పెరుగుతుందని చెప్పబడింది.

నిర్వచనం 6

ఏదైనా పాయింట్ల కోసం $x_1,x_2\in X$లో $x_1f(x_2)$ కోసం $X$ విరామంలో $y=f(x)$ నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ తగ్గుతుందని చెప్పబడింది.

పెంచడం మరియు తగ్గించడం కోసం ఒక ఫంక్షన్‌ను అధ్యయనం చేయడం

మీరు ఉత్పన్నాన్ని ఉపయోగించి ఫంక్షన్లను పెంచడం మరియు తగ్గించడం గురించి అధ్యయనం చేయవచ్చు.

పెరుగుతున్న మరియు తగ్గే విరామాల కోసం ఒక ఫంక్షన్‌ని పరిశీలించడానికి, మీరు ఈ క్రింది వాటిని చేయాలి:

1) ఫంక్షన్ $f(x)$ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొనండి;

2) $f"(x)$ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి;

3) సమానత్వం $f"\left(x\right)=0$ కలిగి ఉన్న పాయింట్లను కనుగొనండి;

4) $f"(x)$ ఉనికిలో లేని పాయింట్లను కనుగొనండి;

5) కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో కనుగొనబడిన అన్ని పాయింట్లను మరియు ఈ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను గుర్తించండి;

6) ప్రతి ఫలిత విరామంపై $f"(x)$ ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయించండి;

7) ముగింపును గీయండి: $f"\ఎడమ(x\కుడి)0$ ఫంక్షన్ పెరిగే వ్యవధిలో.

విపరీత బిందువుల పెరుగుదల, తగ్గుదల మరియు ఉనికి కోసం విధులను అధ్యయనం చేయడంలో సమస్యల ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 1

పెంచడం మరియు తగ్గించడం మరియు గరిష్ట మరియు కనిష్ట పాయింట్ల ఉనికిని పరిశీలించండి: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

మొదటి 6 పాయింట్లు ఒకేలా ఉన్నందున, ముందుగా వాటిని అమలు చేద్దాం.

1) పరిధి - ప్రతిదీ వాస్తవ సంఖ్యలు;

2) $f"\ఎడమ(x\కుడి)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\ఎడమ(x\కుడి)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ యొక్క అన్ని పాయింట్ల వద్ద ఉంది;

5) కోఆర్డినేట్ లైన్:

మూర్తి 3.

6) ప్రతి విరామంలో $f"(x)$ ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయించండి:

\ \ .

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క అంత్య భాగాలకు తగిన పరిస్థితులు.

ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్టాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు ఫంక్షన్ వారి షరతులను సంతృప్తిపరిచినట్లయితే, మీరు ఎక్స్‌ట్రీమ్ యొక్క మూడు సంకేతాలలో దేనినైనా ఉపయోగించవచ్చు. అత్యంత సాధారణ మరియు అనుకూలమైన వాటిలో మొదటిది.

ఒక విపరీతానికి మొదటి తగినంత షరతు.

y=f(x) ఫంక్షన్ పాయింట్ యొక్క -నైబర్‌హుడ్‌లో భేదం మరియు పాయింట్‌లోనే నిరంతరంగా ఉండనివ్వండి.

వేరే పదాల్లో:

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమ్ యొక్క మొదటి సంకేతం ఆధారంగా ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లను కనుగొనే అల్గారిథమ్.

• మేము ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొంటాము.
• మేము నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌లో ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొంటాము.
• మేము న్యూమరేటర్ యొక్క సున్నాలు, ఉత్పన్నం యొక్క హారం యొక్క సున్నాలు మరియు డెరివేటివ్ ఉనికిలో లేని నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ యొక్క పాయింట్లను నిర్ణయిస్తాము (అన్ని జాబితా చేయబడిన పాయింట్లు అంటారు సాధ్యమయ్యే తీవ్రత యొక్క పాయింట్లు, ఈ పాయింట్ల గుండా వెళితే, ఉత్పన్నం దాని గుర్తును మార్చగలదు).
• ఈ పాయింట్లు ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను విరామాలుగా విభజిస్తాయి, దీనిలో ఉత్పన్నం దాని చిహ్నాన్ని కలిగి ఉంటుంది. మేము ప్రతి వ్యవధిలో ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నాలను నిర్ణయిస్తాము (ఉదాహరణకు, ఒక నిర్దిష్ట విరామంలో ఏ సమయంలోనైనా ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క విలువను లెక్కించడం ద్వారా).
• మేము ఫంక్షన్ నిరంతరంగా ఉండే పాయింట్‌లను ఎంచుకుంటాము మరియు దాని గుండా వెళితే, ఉత్పన్న మార్పుల సంకేతం - ఇవి ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్లు.

చాలా పదాలు ఉన్నాయి, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమ్ కోసం మొదటి తగినంత షరతును ఉపయోగించి ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లు మరియు ఎక్స్‌ట్రీమాను కనుగొనే కొన్ని ఉదాహరణలను బాగా చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

ఫంక్షన్ యొక్క తీవ్రతను కనుగొనండి.

పరిష్కారం.

ఫంక్షన్ డొమైన్ అనేది x=2 తప్ప వాస్తవ సంఖ్యల మొత్తం సెట్.

ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడం:

న్యూమరేటర్ యొక్క సున్నాలు x=-1 మరియు x=5 పాయింట్లు, హారం x=2 వద్ద సున్నాకి వెళుతుంది. సంఖ్య అక్షం మీద ఈ పాయింట్లను గుర్తించండి

మేము ప్రతి విరామంలో ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతాలను నిర్ణయిస్తాము; దీన్ని చేయడానికి, మేము ప్రతి విరామం యొక్క ఏదైనా పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం యొక్క విలువను గణిస్తాము, ఉదాహరణకు, పాయింట్లు x=-2, x=0, x=3 మరియు x=6.

అందువల్ల, విరామంలో ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉంటుంది (చిత్రంలో మేము ఈ విరామంపై ప్లస్ గుర్తును ఉంచాము). అలాగే

కాబట్టి, మేము రెండవ విరామం కంటే మైనస్‌ను, మూడవదానిపై మైనస్‌ను మరియు నాల్గవదానిపై ప్లస్‌ను ఉంచాము.

ఫంక్షన్ నిరంతరంగా మరియు దాని ఉత్పన్న మార్పుల సంకేతం ఉన్న పాయింట్లను ఎంచుకోవడానికి ఇది మిగిలి ఉంది. ఇవి విపరీతమైన పాయింట్లు.

పాయింట్ వద్ద x=-1 ఫంక్షన్ నిరంతరాయంగా ఉంటుంది మరియు ఉత్పన్నం సంకేతం ప్లస్ నుండి మైనస్‌కు మారుతుంది, కాబట్టి, ఎక్స్‌ట్రంమ్ యొక్క మొదటి సంకేతం ప్రకారం, x=-1 గరిష్ట బిందువు, ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్టం దానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది .

పాయింట్ వద్ద x=5 ఫంక్షన్ నిరంతరాయంగా ఉంటుంది మరియు ఉత్పన్న మార్పుల సంకేతం మైనస్ నుండి ప్లస్‌కి ఉంటుంది, కాబట్టి, x=-1 అనేది కనీస బిందువు, ఫంక్షన్ యొక్క కనిష్టం దానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది .

గ్రాఫిక్ ఇలస్ట్రేషన్.

సమాధానం:

దయచేసి గమనించండి: ఒక ఎక్స్‌ట్రీమ్ కోసం మొదటి తగినంత ప్రమాణం పాయింట్‌లోనే ఫంక్షన్ యొక్క భేదం అవసరం లేదు.

ఉదాహరణ.

ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లు మరియు ఎక్స్‌ట్రీమాను కనుగొనండి .

పరిష్కారం.

ఫంక్షన్ డొమైన్ అనేది వాస్తవ సంఖ్యల మొత్తం సెట్. ఫంక్షన్‌ను ఇలా వ్రాయవచ్చు:

ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:

పాయింట్ వద్ద x=0 ఉత్పన్నం ఉనికిలో లేదు, ఎందుకంటే ఆర్గ్యుమెంట్ సున్నాకి మారినప్పుడు ఏకపక్ష పరిమితుల విలువలు ఏకీభవించవు:

అదే సమయంలో, అసలైన ఫంక్షన్ x=0 పాయింట్ వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది (కొనసాగింపు కోసం ఫంక్షన్‌ని అధ్యయనం చేసే విభాగాన్ని చూడండి):

ఉత్పన్నం సున్నాకి వెళ్లే ఆర్గ్యుమెంట్ విలువను కనుగొనండి:

సంఖ్య రేఖపై పొందిన అన్ని పాయింట్లను గుర్తించండి మరియు ప్రతి అంతరాలలో ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయించండి. దీన్ని చేయడానికి, మేము ఉత్పన్నం యొక్క విలువలను గణిస్తాము ఏకపక్ష పాయింట్లుప్రతి విరామం, ఉదాహరణకు, ఎప్పుడు x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

అంటే,

అందువలన, ఒక ఎక్స్ట్రీమ్ యొక్క మొదటి సంకేతం ప్రకారం, కనీస పాయింట్లు , గరిష్ట పాయింట్లు .

మేము ఫంక్షన్ యొక్క సంబంధిత కనిష్టాన్ని గణిస్తాము

మేము ఫంక్షన్ యొక్క సంబంధిత గరిష్టాన్ని గణిస్తాము

గ్రాఫిక్ ఇలస్ట్రేషన్.

సమాధానం:

.

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క అంత్య భాగం యొక్క రెండవ సంకేతం.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క అంత్య భాగం యొక్క ఈ సంకేతానికి పాయింట్ వద్ద కనీసం రెండవ క్రమానికి ఉత్పన్నం అవసరం.

ఫంక్షన్ యొక్క స్వభావాన్ని నిర్ణయించడానికి మరియు దాని ప్రవర్తన గురించి మాట్లాడటానికి, పెరుగుదల మరియు తగ్గుదల యొక్క విరామాలను కనుగొనడం అవసరం. ఈ ప్రక్రియను ఫంక్షన్ రీసెర్చ్ మరియు గ్రాఫింగ్ అంటారు. ఫంక్షన్ యొక్క అతిపెద్ద మరియు అతిచిన్న విలువలను కనుగొనేటప్పుడు ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్ ఉపయోగించబడుతుంది, ఎందుకంటే వాటి వద్ద ఫంక్షన్ విరామం నుండి పెరుగుతుంది లేదా తగ్గుతుంది.

ఈ వ్యాసం నిర్వచనాలను వెల్లడిస్తుంది, విరామంలో పెరుగుదల మరియు తగ్గుదల యొక్క తగినంత సంకేతాన్ని మరియు ఒక విపరీతమైన ఉనికికి ఒక షరతును రూపొందిస్తుంది. ఇది ఉదాహరణలు మరియు సమస్యలను పరిష్కరించడానికి వర్తిస్తుంది. డిఫరెన్సియేటింగ్ ఫంక్షన్‌ల విభాగం పునరావృతం చేయాలి, ఎందుకంటే పరిష్కారం ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడం అవసరం.

Yandex.RTB R-A-339285-1 నిర్వచనం 1

ఏదైనా x 1 ∈ X మరియు x 2 ∈ X, x 2 > x 1, అసమానత f (x 2) > f (x 1) సంతృప్తి చెందినప్పుడు y = f (x) ఫంక్షన్ విరామం xపై పెరుగుతుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క పెద్ద విలువ ఫంక్షన్ యొక్క పెద్ద విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

నిర్వచనం 2

ఏదైనా x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1, సమానత్వం f (x 2) > f (x 1) అయినప్పుడు y = f (x) ఫంక్షన్ విరామం xపై తగ్గుతున్నట్లు పరిగణించబడుతుంది. నిజమని భావిస్తారు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, పెద్ద ఫంక్షన్ విలువ చిన్న ఆర్గ్యుమెంట్ విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. దిగువ బొమ్మను పరిగణించండి.

వ్యాఖ్య: ఫంక్షన్ పెరుగుతున్న మరియు తగ్గే విరామం యొక్క చివరలలో ఖచ్చితమైన మరియు నిరంతరంగా ఉన్నప్పుడు, అంటే (a; b), ఇక్కడ x = a, x = b, పాయింట్లు పెరుగుతున్న మరియు తగ్గే విరామంలో చేర్చబడతాయి. ఇది నిర్వచనానికి విరుద్ధంగా లేదు; ఇది విరామం xలో జరుగుతుందని అర్థం.

ప్రాథమిక లక్షణాలు ప్రాథమిక విధులుటైప్ y = sin x – ఖచ్చితత్వం మరియు కొనసాగింపు వద్ద నిజమైన విలువలువాదనలు. ఇక్కడ నుండి మనం సైన్ విరామంలో పెరుగుతుందని పొందుతాము - π 2; π 2, అప్పుడు సెగ్మెంట్పై పెరుగుదల రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది - π 2; π 2.

నిర్వచనం 3

పాయింట్ x 0 అంటారు గరిష్ట పాయింట్ y = f (x) ఫంక్షన్ కోసం, x యొక్క అన్ని విలువలకు అసమానత f (x 0) ≥ f (x) చెల్లుబాటు అవుతుంది. గరిష్ట పనితీరుఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువ, మరియు y m a x ద్వారా సూచించబడుతుంది.

x యొక్క అన్ని విలువలకు అసమానత f (x 0) ≤ f (x) చెల్లుబాటు అయినప్పుడు x 0ని ఫంక్షన్ y = f (x) కోసం కనిష్ట బిందువు అంటారు. కనీస విధులుఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువ మరియు y m i n రూపం యొక్క హోదాను కలిగి ఉంటుంది.

పాయింట్ x 0 యొక్క పరిసర ప్రాంతాలు పరిగణించబడతాయి తీవ్రమైన పాయింట్లు,మరియు ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లకు అనుగుణంగా ఉండే ఫంక్షన్ విలువ. దిగువ బొమ్మను పరిగణించండి.

ఫంక్షన్ యొక్క అతి పెద్ద మరియు అతి చిన్న విలువ కలిగిన ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమా. దిగువ బొమ్మను పరిగణించండి.

మొదటి ఫిగర్ సెగ్మెంట్ నుండి ఫంక్షన్ యొక్క అతిపెద్ద విలువను కనుగొనడం అవసరం అని చెప్పింది [a; బి ] . ఇది గరిష్ట పాయింట్లు మరియు సమానాలను ఉపయోగించి కనుగొనబడింది గరిష్ట విలువఫంక్షన్, మరియు రెండవ సంఖ్య x = b వద్ద గరిష్ట బిందువును కనుగొనడం వంటిది.

ఫంక్షన్ పెరగడానికి మరియు తగ్గడానికి తగిన పరిస్థితులు

ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్టం మరియు కనిష్టాన్ని కనుగొనడానికి, ఫంక్షన్ ఈ పరిస్థితులను సంతృప్తిపరిచే సందర్భంలో ఎక్స్‌ట్రీమ్ యొక్క సంకేతాలను వర్తింపజేయడం అవసరం. మొదటి సంకేతం చాలా తరచుగా ఉపయోగించేదిగా పరిగణించబడుతుంది.

ఒక విపరీతానికి మొదటి తగినంత షరతు

నిర్వచనం 4

ఒక ఫంక్షన్ y = f (x) ఇవ్వబడనివ్వండి, ఇది పాయింట్ x 0 యొక్క ε పొరుగు ప్రాంతంలో భేదం ఉంటుంది మరియు ఇచ్చిన పాయింట్ x 0 వద్ద కొనసాగింపు ఉంటుంది. ఇక్కడ నుండి మేము దానిని పొందుతాము

• f " (x) > 0 తో x ∈ (x 0 - ε ; x 0) మరియు f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• ఎప్పుడు f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) కోసం 0, ఆపై x 0 అనేది కనిష్ట పాయింట్.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, గుర్తును సెట్ చేయడానికి మేము వారి షరతులను పొందుతాము:

• x 0 పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ నిరంతరంగా ఉన్నప్పుడు, అది మారుతున్న గుర్తుతో ఉత్పన్నాన్ని కలిగి ఉంటుంది, అంటే + నుండి -, అంటే పాయింట్‌ను గరిష్టంగా పిలుస్తారు;
• x 0 పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ నిరంతరంగా ఉన్నప్పుడు, అది - నుండి + నుండి మారుతున్న సంకేతంతో ఉత్పన్నాన్ని కలిగి ఉంటుంది, అంటే పాయింట్‌ను కనిష్టంగా పిలుస్తారు.

ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్ట పాయింట్లను సరిగ్గా గుర్తించడానికి, మీరు వాటిని కనుగొనడానికి అల్గోరిథంను అనుసరించాలి:

• ఫైండ్ డొమైన్ నిర్వచనం;
• ఈ ప్రాంతంలో ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి;
• ఫంక్షన్ ఉనికిలో లేని సున్నాలు మరియు పాయింట్లను గుర్తించండి;
• విరామాలలో ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయించడం;
• ఫంక్షన్ సంకేతాలను మార్చే పాయింట్లను ఎంచుకోండి.

ఫంక్షన్ యొక్క తీవ్రతను కనుగొనే అనేక ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం ద్వారా అల్గోరిథంను పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ 1

గరిష్ట మరియు కనిష్ట పాయింట్లను కనుగొనండి ఇచ్చిన ఫంక్షన్ y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

పరిష్కారం

ఈ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ x = 2 మినహా అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు. ముందుగా, ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొని, పొందండి:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

ఇక్కడ నుండి మనం ఫంక్షన్ యొక్క సున్నాలు x = - 1, x = 5, x = 2 అని చూస్తాము, అంటే, ప్రతి బ్రాకెట్ తప్పనిసరిగా సున్నాకి సమానంగా ఉండాలి. సంఖ్య అక్షం మీద దాన్ని గుర్తించి, పొందండి:

ఇప్పుడు మేము ప్రతి విరామం నుండి ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతాలను నిర్ణయిస్తాము. విరామంలో చేర్చబడిన పాయింట్‌ను ఎంచుకోవడం మరియు దానిని వ్యక్తీకరణలో ప్రత్యామ్నాయం చేయడం అవసరం. ఉదాహరణకు, పాయింట్లు x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

మేము దానిని పొందుతాము

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, అంటే విరామం - ∞ ; - 1 సానుకూల ఉత్పన్నాన్ని కలిగి ఉంటుంది. అదేవిధంగా, మేము దానిని కనుగొంటాము

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

రెండవ విరామం సున్నా కంటే తక్కువగా ఉన్నందున, విరామంపై ఉత్పన్నం ప్రతికూలంగా ఉంటుందని అర్థం. మూడవది మైనస్‌తో, నాల్గవది ప్లస్‌తో. కొనసాగింపును నిర్ణయించడానికి, మీరు ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నానికి శ్రద్ధ వహించాలి; అది మారితే, ఇది ఒక విపరీతమైన పాయింట్.

x = - 1 పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ నిరంతరాయంగా ఉంటుందని మేము కనుగొన్నాము, అంటే డెరివేటివ్ గుర్తును + నుండి -కి మారుస్తుంది. మొదటి సంకేతం ప్రకారం, మనకు x = - 1 గరిష్ట బిందువు, అంటే మనం పొందుతాము

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

పాయింట్ x = 5 ఫంక్షన్ నిరంతరాయంగా ఉందని సూచిస్తుంది మరియు ఉత్పన్నం గుర్తును – నుండి +కి మారుస్తుంది. దీని అర్థం x = -1 అనేది కనిష్ట బిందువు మరియు దాని నిర్ణయానికి రూపం ఉంటుంది

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

గ్రాఫిక్ చిత్రం

సమాధానం: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

ఎక్స్‌ట్రీమ్ కోసం మొదటి తగినంత ప్రమాణం యొక్క ఉపయోగం పాయింట్ x 0 వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క భేదం అవసరం లేదు అనే వాస్తవాన్ని దృష్టిలో ఉంచుకోవడం విలువ, ఇది గణనను సులభతరం చేస్తుంది.

ఉదాహరణ 2

ఫంక్షన్ y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్ట పాయింట్లను కనుగొనండి.

పరిష్కారం.

ఫంక్షన్ డొమైన్ మొత్తం వాస్తవ సంఖ్యలు. ఇది రూపం యొక్క సమీకరణాల వ్యవస్థగా వ్రాయవచ్చు:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

అప్పుడు మీరు ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనాలి:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

పాయింట్ x = 0కి ఉత్పన్నం లేదు, ఎందుకంటే ఏకపక్ష పరిమితుల విలువలు భిన్నంగా ఉంటాయి. మేము దానిని పొందుతాము:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 లిమ్ y "x → 0 + 0 = లిమ్ y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

x = 0 పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ నిరంతరంగా ఉంటుందని ఇది అనుసరిస్తుంది, అప్పుడు మేము గణిస్తాము

లిమ్ y x → 0 - 0 = లిమ్ x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 లిమ్ y x → 0 + 0 = లిమ్ x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

ఉత్పన్నం అయినప్పుడు వాదన యొక్క విలువను కనుగొనడానికి గణనలను చేయడం అవసరం సున్నాకి సమానం:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

ప్రతి విరామం యొక్క చిహ్నాన్ని గుర్తించడానికి అన్ని పొందిన పాయింట్లు తప్పనిసరిగా సరళ రేఖలో గుర్తించబడాలి. అందువల్ల, ప్రతి విరామం కోసం ఏకపక్ష పాయింట్ల వద్ద ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించడం అవసరం. ఉదాహరణకు, మేము x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6 విలువలతో పాయింట్లను తీసుకోవచ్చు. మేము దానిని పొందుతాము

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y " (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

సరళ రేఖలో చిత్రం కనిపిస్తుంది

దీని అర్థం మనం ఒక విపరీతమైన మొదటి సంకేతాన్ని ఆశ్రయించాల్సిన అవసరం ఉందని మేము నిర్ధారణకు వచ్చాము. దానిని లెక్కించి కనుక్కుందాము

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , ఆపై ఇక్కడ నుండి గరిష్ట పాయింట్లు x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3 విలువలను కలిగి ఉంటాయి

కనిష్టాలను గణించడానికి వెళ్దాం:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్టాన్ని గణిద్దాం. మేము దానిని పొందుతాము

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

గ్రాఫిక్ చిత్రం

సమాధానం:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 y 27 = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

ఒక ఫంక్షన్ f " (x 0) = 0 ఇచ్చినట్లయితే, f "" (x 0) > 0 అయితే, f "" (x 0) అయితే x 0 కనిష్ట బిందువు అని మనం పొందుతాము.< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

ఉదాహరణ 3

y = 8 x x + 1 ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్టాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం

మొదట, మేము నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొంటాము. మేము దానిని పొందుతాము

D(y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

ఫంక్షన్‌ను వేరు చేయడం అవసరం, దాని తర్వాత మనకు లభిస్తుంది

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

x = 1 వద్ద, ఉత్పన్నం సున్నా అవుతుంది, అంటే పాయింట్ సాధ్యమయ్యే ఎక్స్‌ట్రీమ్ అని అర్థం. స్పష్టం చేయడానికి, రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొని, x = 1 వద్ద విలువను లెక్కించడం అవసరం. మాకు దొరికింది:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 "x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

దీనర్థం, ఒక ఎక్స్‌ట్‌రంమ్‌కు 2 సరిపడా షరతును ఉపయోగించి, మేము x = 1 గరిష్ట పాయింట్ అని పొందుతాము. లేకపోతే, ఎంట్రీ y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 లాగా కనిపిస్తుంది.

గ్రాఫిక్ చిత్రం

సమాధానం: y m a x = y (1) = 4 ..

నిర్వచనం 5

y = f (x) ఫంక్షన్ ε పరిసరాల్లో nవ క్రమం వరకు దాని ఉత్పన్నాన్ని కలిగి ఉంటుంది ఇచ్చిన పాయింట్ x 0 మరియు పాయింట్ x 0 వద్ద n + 1వ ఆర్డర్ వరకు ఉత్పన్నం. అప్పుడు f " (x 0) = f "" (x 0) = f "" " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

ఇది n సరి సంఖ్య అయినప్పుడు, x 0 అనేది ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌గా పరిగణించబడుతుంది, n బేసి సంఖ్య అయినప్పుడు, x 0 అనేది ఒక విపరీత బిందువు మరియు f (n + 1) (x 0) > 0, ఆపై x 0 అనేది కనిష్ట పాయింట్, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

ఉదాహరణ 4

y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్ట పాయింట్లను కనుగొనండి.

పరిష్కారం

అసలు ఫంక్షన్ అనేది హేతుబద్ధమైన మొత్తం ఫంక్షన్, అంటే నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు. ఫంక్షన్‌ను వేరు చేయడం అవసరం. మేము దానిని పొందుతాము

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

ఈ ఉత్పన్నం x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3 వద్ద సున్నాకి వెళుతుంది. అంటే, పాయింట్లు సాధ్యమయ్యే ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లు కావచ్చు. ఇది తీవ్రమైన కోసం మూడవ తగినంత పరిస్థితి దరఖాస్తు అవసరం. రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడం గరిష్టంగా మరియు కనిష్టంగా ఫంక్షన్ యొక్క ఉనికిని ఖచ్చితంగా గుర్తించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. రెండవ ఉత్పన్నం దాని సాధ్యం అంత్య భాగాల వద్ద లెక్కించబడుతుంది. మేము దానిని పొందుతాము

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

అంటే x 2 = 5 7 గరిష్ట బిందువు. 3వ తగినంత ప్రమాణాన్ని వర్తింపజేస్తే, మేము n = 1 మరియు f (n + 1) 5 7 కోసం దాన్ని పొందుతాము< 0 .

x 1 = - 1, x 3 = 3 పాయింట్ల స్వభావాన్ని గుర్తించడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి, మీరు మూడవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొని, ఈ పాయింట్ల వద్ద విలువలను లెక్కించాలి. మేము దానిని పొందుతాము

y "" " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y """ (- 1) = 96 ≠ 0 y "" " (3) = 0

అంటే n = 2 మరియు f (n + 1) (- 1) ≠ 0 కోసం x 1 = - 1 అనేది ఫంక్షన్ యొక్క ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్. x 3 = 3 పాయింట్‌ను పరిశోధించడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి, మేము 4 వ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొని, ఈ సమయంలో గణనలను చేస్తాము:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

పైన నిర్ణయించిన దాని నుండి మేము x 3 = 3 ఫంక్షన్ యొక్క కనీస బిందువు అని నిర్ధారించాము.

గ్రాఫిక్ చిత్రం

సమాధానం: x 2 = 5 7 గరిష్ట పాయింట్, x 3 = 3 అనేది ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క కనిష్ట పాయింట్.

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

మోనోటోన్

చాలా ముఖ్యమైన ఆస్తిఫంక్షన్ దాని మోనోటోనిసిటీ. వివిధ ఈ ఆస్తి తెలుసుకోవడం ప్రత్యేక విధులు, వివిధ భౌతిక, ఆర్థిక, సామాజిక మరియు అనేక ఇతర ప్రక్రియల ప్రవర్తనను గుర్తించడం సాధ్యమవుతుంది.

హైలైట్ చేయండి క్రింది రకాలువిధుల ఏకస్వామ్యం:

1) ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది, ఒక నిర్దిష్ట విరామంలో ఉంటే, ఏదైనా రెండు పాయింట్లు మరియు ఈ విరామం అలాంటివి . ఆ. పెద్ద ఆర్గ్యుమెంట్ విలువ పెద్ద ఫంక్షన్ విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది;

2) ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది, ఒక నిర్దిష్ట విరామంలో ఉంటే, ఏదైనా రెండు పాయింట్లు మరియు ఈ విరామం అలాంటివి . ఆ. పెద్ద ఆర్గ్యుమెంట్ విలువ చిన్న ఫంక్షన్ విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది;

3) ఫంక్షన్ తగ్గనిది, ఒక నిర్దిష్ట విరామంలో ఉంటే, ఏదైనా రెండు పాయింట్లు మరియు ఈ విరామం అలాంటివి ఉంటే;

4) ఫంక్షన్ పెరగదు, ఒక నిర్దిష్ట విరామంలో ఉంటే, ఏదైనా రెండు పాయింట్లు మరియు ఈ విరామం అలాంటివి .

2. మొదటి రెండు సందర్భాలలో, "కఠినమైన మోనోటోనిసిటీ" అనే పదం కూడా ఉపయోగించబడుతుంది.

3. రెండు తాజా కేసులునిర్దిష్టమైనవి మరియు సాధారణంగా అనేక ఫంక్షన్ల కూర్పుగా పేర్కొనబడతాయి.

4. విడిగా, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క పెరుగుదల మరియు తగ్గుదల ఎడమ నుండి కుడికి పరిగణించబడాలని మరియు మరేమీ కాదని మేము గమనించాము.

2. సరి బేసి.

ఫంక్షన్ బేసి అంటారు, ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క గుర్తు మారినప్పుడు, అది దాని విలువను వ్యతిరేకతకు మారుస్తుంది. దీని ఫార్ములా ఇలా కనిపిస్తుంది . అన్ని x ల స్థానంలో "మైనస్ x" విలువలను ఫంక్షన్‌లోకి మార్చిన తర్వాత, ఫంక్షన్ దాని గుర్తును మారుస్తుంది. అటువంటి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ మూలం గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది.

బేసి ఫంక్షన్లకు ఉదాహరణలు మొదలైనవి.

ఉదాహరణకు, గ్రాఫ్ వాస్తవానికి మూలం గురించి సమరూపతను కలిగి ఉంది:

ఫంక్షన్ ఈవెన్ అంటారు, వాదన యొక్క గుర్తు మారినప్పుడు, అది దాని విలువను మార్చదు. దీని ఫార్ములా ఇలా కనిపిస్తుంది. దీనర్థం, అన్ని xల స్థానంలో "మైనస్ x" విలువలను ఫంక్షన్‌లోకి మార్చిన తర్వాత, ఫంక్షన్ ఫలితంగా మారదు. అటువంటి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ అక్షం గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది.

సమాన విధులకు ఉదాహరణలు మొదలైనవి.

ఉదాహరణకు, అక్షం గురించి గ్రాఫ్ యొక్క సమరూపతను చూపిద్దాం:

ఫంక్షన్ ఒకదానికి చెందినది కాకపోతే పేర్కొన్న రకాలు, అప్పుడు అది సరి లేదా బేసి లేదా అని పిలువబడదు ఫంక్షన్ సాధారణ వీక్షణ . ఇటువంటి విధులకు సమరూపత ఉండదు.

అటువంటి ఫంక్షన్, ఉదాహరణకు, మేము ఇటీవల సమీక్షించినది సరళ ఫంక్షన్షెడ్యూల్‌తో:

3. ప్రత్యేక ఆస్తివిధులు ఉంది ఆవర్తనము.

వాస్తవం ఏమిటంటే ఆవర్తన విధులు, ఇవి ప్రమాణంలో పరిగణించబడతాయి పాఠశాల పాఠ్యాంశాలు, త్రికోణమితి విధులు మాత్రమే. సంబంధిత అంశాన్ని అధ్యయనం చేసేటప్పుడు మేము ఇప్పటికే వాటి గురించి వివరంగా మాట్లాడాము.

ఆవర్తన ఫంక్షన్ఒక నిర్దిష్ట స్థిరమైన సున్నా కాని సంఖ్యను ఆర్గ్యుమెంట్‌కు జోడించినప్పుడు దాని విలువలను మార్చని ఫంక్షన్.

ఈ కనీస సంఖ్య అంటారు ఫంక్షన్ యొక్క కాలంమరియు లేఖ ద్వారా సూచించబడతాయి.

దీని ఫార్ములా ఇలా కనిపిస్తుంది క్రింది విధంగా: .

సైన్ గ్రాఫ్ యొక్క ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఈ ఆస్తిని చూద్దాం:

ఫంక్షన్ల కాలం మరియు ఇది , మరియు కాలం మరియు ఇది అని గుర్తుంచుకోండి.

మేము ఇప్పటికే తెలిసిన, కోసం త్రికోణమితి విధులుతో సంక్లిష్ట వాదనప్రామాణికం కాని కాలం ఉండవచ్చు. దీని గురించిరూపం యొక్క విధుల గురించి:

వారి కాలం సమానంగా ఉంటుంది. మరియు విధుల గురించి:

వారి కాలం సమానంగా ఉంటుంది.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, కొత్త కాలాన్ని లెక్కించడానికి, ప్రామాణిక వ్యవధి కేవలం వాదనలోని కారకం ద్వారా విభజించబడింది. ఇది ఫంక్షన్ యొక్క ఇతర మార్పులపై ఆధారపడి ఉండదు.

పరిమితి.

ఫంక్షన్ y=f(x) ఏదైనా xϵX కోసం అసమానత f(x) కలిగి ఉండే ఒక సంఖ్య ఉన్నట్లయితే X⊂D(f) సెట్‌లో క్రింద నుండి సరిహద్దులుగా పిలువబడుతుంది< a.

ఫంక్షన్ y=f(x) ఏదైనా хϵХ అసమానత f(x)ని కలిగి ఉండే ఒక సంఖ్య ఉంటే X⊂D(f) సెట్‌లో పై నుండి పరిమితి అంటారు< a.

విరామం X పేర్కొనబడకపోతే, నిర్వచనానికి సంబంధించిన మొత్తం డొమైన్‌లో ఫంక్షన్ పరిమితంగా పరిగణించబడుతుంది. పైన మరియు క్రింద రెండు సరిహద్దులుగా ఉన్న ఫంక్షన్‌ను బౌండెడ్ అంటారు.

ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి గ్రాఫ్ నుండి చదవడం సులభం. మీరు కొంత పంక్తి y=a గీయవచ్చు మరియు ఫంక్షన్ ఈ పంక్తి కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, అది దిగువ నుండి పరిమితం చేయబడుతుంది.

క్రింద ఉంటే, తదనుగుణంగా పైన. క్రింద ఉన్న ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ క్రింద ఉంది. షెడ్యూల్ పరిమిత ఫంక్షన్గైస్, మీరే గీయడానికి ప్రయత్నించండి.

అంశం: ఫంక్షన్ల లక్షణాలు: పెరుగుతున్న మరియు తగ్గే విరామాలు; గొప్ప మరియు అతి చిన్న విలువ; ఎక్స్ట్రీమ్ పాయింట్లు (స్థానిక గరిష్ట మరియు కనిష్ట), ఫంక్షన్ యొక్క కుంభాకారం.

పెరుగుతున్న మరియు తగ్గే విరామాలు.

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క పెరుగుదల మరియు తగ్గుదల కోసం తగిన పరిస్థితుల (సంకేతాలు) ఆధారంగా, ఫంక్షన్ యొక్క పెరుగుదల మరియు తగ్గుదల యొక్క విరామాలు కనుగొనబడతాయి.

విరామంలో ఫంక్షన్లను పెంచడం మరియు తగ్గించడం యొక్క సంకేతాల సూత్రీకరణలు ఇక్కడ ఉన్నాయి:

· ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం అయితే y=f(x)ఎవరికైనా అనుకూలమైనది xవిరామం నుండి X, అప్పుడు ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది X;

· ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం అయితే y=f(x)ఎవరికైనా ప్రతికూలమైనది xవిరామం నుండి X, అప్పుడు ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది X.

అందువల్ల, ఫంక్షన్ యొక్క పెరుగుదల మరియు తగ్గుదల యొక్క విరామాలను నిర్ణయించడానికి, ఇది అవసరం:

· ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొనండి;

· ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి;

· నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌లో అసమానతలను పరిష్కరించండి;