ఉదాహరణలతో సూత్రాలను వేరు చేయడానికి నియమాలు. వ్యుత్పన్నం, నియమాలు మరియు భేదం యొక్క సూత్రాలు

భేదం అనేది ఉత్పన్నం యొక్క గణన.

1. భేద సూత్రాలు.

ప్రధాన భేద సూత్రాలు పట్టికలో ఉన్నాయి. వాటిని గుర్తుపెట్టుకోవాల్సిన అవసరం లేదు. కొన్ని నమూనాలను అర్థం చేసుకున్న తర్వాత, మీరు కొన్ని సూత్రాల నుండి స్వతంత్రంగా ఇతరులను పొందగలుగుతారు.

1) ఫార్ములాతో ప్రారంభిద్దాం (k x+ m)′ = k.
దీని ప్రత్యేక సందర్భాలు సూత్రాలు x′ = 1 మరియు C′ = 0.

y = kx + m రూపం యొక్క ఏదైనా ఫంక్షన్‌లో, ఉత్పన్నం సమానంగా ఉంటుంది వాలుకె.

ఉదాహరణకు, y = 2 ఫంక్షన్ ఇవ్వబడింది X+ 4. ఏ సమయంలోనైనా దాని ఉత్పన్నం 2కి సమానంగా ఉంటుంది:

(2 x + 4)′ = 2 .

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం వద్ద = 9 X+ 5 ఏ సమయంలోనైనా సమానం 9 . మొదలైనవి

y = 5 ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి X. దీన్ని చేయడానికి, 5ని ఊహించుకుందాం Xరూపంలో (5 X+ 0). మేము మునుపటి మాదిరిగానే వ్యక్తీకరణను అందుకున్నాము. అర్థం:

(5X)′ = (5 X+ 0)′ = 5.

చివరగా, ఇది దేనికి సమానమో తెలుసుకుందాం x′.
మునుపటి ఉదాహరణ నుండి సాంకేతికతను వర్తింపజేద్దాం: ఊహించుకోండి X 1 గా X+ 0. అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది:

x′ = (1 X+ 0)′ = 1.

అందువలన, మేము స్వతంత్రంగా పట్టిక నుండి సూత్రాన్ని పొందాము:

(0 · x+ m)′ = 0.

కానీ అప్పుడు అది m′ కూడా 0కి సమానం అని తేలింది. m = C, ఇక్కడ C అనేది ఏకపక్ష స్థిరాంకం. అప్పుడు మనం మరొక సత్యానికి వస్తాము: స్థిరాంకం యొక్క ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానం. అంటే, మేము పట్టిక నుండి మరొక సూత్రాన్ని పొందుతాము.

వీడియో కోర్సు "గెట్ ఎ ఎ" విజయవంతం కావడానికి అవసరమైన అన్ని అంశాలను కలిగి ఉంటుంది ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షలో ఉత్తీర్ణతగణితంలో 60-65 పాయింట్లు. పూర్తిగా అన్ని సమస్యలు 1-13 ప్రొఫైల్ యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్గణితం. గణితంలో బేసిక్ యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో ఉత్తీర్ణత సాధించడానికి కూడా అనుకూలంగా ఉంటుంది. మీరు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షలో 90-100 పాయింట్లతో ఉత్తీర్ణత సాధించాలనుకుంటే, మీరు 30 నిమిషాల్లో మరియు తప్పులు లేకుండా పార్ట్ 1ని పరిష్కరించాలి!

10-11 తరగతులకు, అలాగే ఉపాధ్యాయులకు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష కోసం ప్రిపరేషన్ కోర్సు. మీరు గణితం (మొదటి 12 సమస్యలు) మరియు సమస్య 13 (త్రికోణమితి)లో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లోని పార్ట్ 1ని పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉంది. మరియు ఇది యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో 70 పాయింట్ల కంటే ఎక్కువ, మరియు 100-పాయింట్ విద్యార్థి లేదా హ్యుమానిటీస్ విద్యార్థి వాటిని లేకుండా చేయలేరు.

అన్నీ అవసరమైన సిద్ధాంతం. త్వరిత మార్గాలుఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష యొక్క పరిష్కారాలు, ఆపదలు మరియు రహస్యాలు. FIPI టాస్క్ బ్యాంక్ నుండి పార్ట్ 1 యొక్క అన్ని ప్రస్తుత టాస్క్‌లు విశ్లేషించబడ్డాయి. కోర్సు పూర్తిగా యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ 2018 యొక్క అవసరాలకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

కోర్సులో 5 ఉన్నాయి పెద్ద విషయాలు, 2.5 గంటలు ఒక్కొక్కటి. ప్రతి అంశం మొదటి నుండి సరళంగా మరియు స్పష్టంగా ఇవ్వబడింది.

వందలాది యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ టాస్క్‌లు. పద సమస్యలుమరియు సంభావ్యత సిద్ధాంతం. సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సులభమైన మరియు గుర్తుంచుకోవడానికి సులభమైన అల్గారిథమ్‌లు. జ్యామితి. సిద్ధాంతం, సూచన పదార్థం, అన్ని రకాల యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ పనుల విశ్లేషణ. స్టీరియోమెట్రీ. గమ్మత్తైన పరిష్కారాలు, ఉపయోగకరమైన చీట్ షీట్లు, అభివృద్ధి ప్రాదేశిక కల్పన. మొదటి నుండి సమస్య వరకు త్రికోణమితి 13. క్రామింగ్‌కు బదులుగా అర్థం చేసుకోవడం. దృశ్య వివరణ సంక్లిష్ట భావనలు. బీజగణితం. రూట్స్, పవర్స్ మరియు లాగరిథమ్స్, ఫంక్షన్ మరియు డెరివేటివ్. పరిష్కారం కోసం ఆధారం క్లిష్టమైన పనులుఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షలో 2 భాగాలు.

“Get an A” వీడియో కోర్సు మీకు అవసరమైన అన్ని అంశాలను కలిగి ఉంటుంది విజయవంతంగా పూర్తి 60-65 పాయింట్ల కోసం గణితంలో ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష. గణితంలో ప్రొఫైల్ యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లోని 1-13 వరకు అన్ని పనులు. గణితంలో బేసిక్ యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో ఉత్తీర్ణత సాధించడానికి కూడా అనుకూలంగా ఉంటుంది. మీరు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షలో 90-100 పాయింట్లతో ఉత్తీర్ణత సాధించాలనుకుంటే, మీరు 30 నిమిషాల్లో మరియు తప్పులు లేకుండా పార్ట్ 1ని పరిష్కరించాలి!

10-11 తరగతులకు, అలాగే ఉపాధ్యాయులకు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష కోసం ప్రిపరేషన్ కోర్సు. మీరు గణితం (మొదటి 12 సమస్యలు) మరియు సమస్య 13 (త్రికోణమితి)లో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లోని పార్ట్ 1ని పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉంది. మరియు ఇది యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో 70 పాయింట్ల కంటే ఎక్కువ, మరియు 100-పాయింట్ విద్యార్థి లేదా హ్యుమానిటీస్ విద్యార్థి వాటిని లేకుండా చేయలేరు.

అన్ని అవసరమైన సిద్ధాంతం. ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష యొక్క శీఘ్ర పరిష్కారాలు, ఆపదలు మరియు రహస్యాలు. FIPI టాస్క్ బ్యాంక్ నుండి పార్ట్ 1 యొక్క అన్ని ప్రస్తుత టాస్క్‌లు విశ్లేషించబడ్డాయి. కోర్సు పూర్తిగా యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ 2018 యొక్క అవసరాలకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

కోర్సులో 5 పెద్ద అంశాలు, ఒక్కొక్కటి 2.5 గంటలు ఉంటాయి. ప్రతి అంశం మొదటి నుండి సరళంగా మరియు స్పష్టంగా ఇవ్వబడింది.

వందలాది యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ టాస్క్‌లు. పద సమస్యలు మరియు సంభావ్యత సిద్ధాంతం. సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సులభమైన మరియు గుర్తుంచుకోవడానికి సులభమైన అల్గారిథమ్‌లు. జ్యామితి. థియరీ, రిఫరెన్స్ మెటీరియల్, యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ పనుల యొక్క అన్ని రకాల విశ్లేషణ. స్టీరియోమెట్రీ. గమ్మత్తైన పరిష్కారాలు, ఉపయోగకరమైన చీట్ షీట్లు, ప్రాదేశిక కల్పన అభివృద్ధి. మొదటి నుండి సమస్య వరకు త్రికోణమితి 13. క్రామింగ్‌కు బదులుగా అర్థం చేసుకోవడం. సంక్లిష్ట భావనల స్పష్టమైన వివరణలు. బీజగణితం. రూట్స్, పవర్స్ మరియు లాగరిథమ్స్, ఫంక్షన్ మరియు డెరివేటివ్. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ యొక్క పార్ట్ 2 యొక్క సంక్లిష్ట సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఒక ఆధారం.

ఉత్పన్నాల పట్టిక ప్రాథమిక విధులు

నిర్వచనం 1

ఉత్పన్న గణన అంటారు భేదం.

$y"$ లేదా $\frac(dy)(dx)$ ఉత్పన్నాన్ని సూచించండి.

గమనిక 1

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి, భేదం యొక్క ప్రాథమిక నియమాల ప్రకారం, అది మరొక ఫంక్షన్‌గా మార్చబడుతుంది.

ఉత్పన్నాల పట్టికను చూద్దాం. ఫంక్షన్‌లు, వాటి ఉత్పన్నాలను కనుగొన్న తర్వాత, ఇతర ఫంక్షన్‌లుగా రూపాంతరం చెందుతాయి అనే వాస్తవాన్ని మనం దృష్టిలో ఉంచుకుందాం.

$y=e^x$ మాత్రమే మినహాయింపు, ఇది దానిలోకి మారుతుంది.

ఉత్పన్నాల భేదం కోసం నియమాలు

చాలా తరచుగా, ఉత్పన్నాలను కనుగొనేటప్పుడు, మీరు ఉత్పన్నాల పట్టికను మాత్రమే చూడకూడదు, కానీ మొదట ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క భేదం మరియు రుజువు యొక్క నియమాలను వర్తింపజేయాలి, ఆపై మాత్రమే ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాల పట్టికను ఉపయోగించండి.

1. స్థిరాంకం ఉత్పన్న సంకేతం నుండి తీసివేయబడుతుంది

$C$ అనేది స్థిరాంకం.

ఉదాహరణ 1

$y=7x^4$ ఫంక్షన్‌ని వేరు చేయండి.

పరిష్కారం.

$y"=(7x^4)"$ని కనుగొనండి. ఉత్పన్న సంకేతం నుండి $7$ సంఖ్యను తీసుకుంటే, మనకు లభిస్తుంది:

$y"=(7x^4)"=7(x^4)"=$

పట్టికను ఉపయోగించి, మీరు పవర్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క విలువను కనుగొనాలి:

$=7 \cdot 4x^3=$

ఫలితాన్ని గణితంలో ఆమోదించిన రూపానికి మారుద్దాం:

సమాధానం:$28x^3$.

2. మొత్తం (తేడా) యొక్క ఉత్పన్నం ఉత్పన్నాల మొత్తానికి (తేడా) సమానం:

$(u \pm v)"=u" \pm v"$.

ఉదాహరణ 2

$y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x$ ఫంక్షన్‌ని వేరు చేయండి.

పరిష్కారం.

$y"=(7+x-5x^5+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x)"=$

ఉత్పన్న మొత్తం మరియు వ్యత్యాసాన్ని వేరు చేయడానికి మేము నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4 \sin x)"-(9\sqrt(x^2))"+(\frac(4)(x^4) )"-(11\cot x)"=$

భేదం చేస్తున్నప్పుడు, అన్ని శక్తులు మరియు మూలాలను తప్పనిసరిగా $x^(\frac(a)(b))$ రూపానికి మార్చాలి;

ఉత్పన్న సంకేతం నుండి అన్ని స్థిరాంకాలను తీసుకుందాం:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4\sin x)"-(9x^(\frac(2)(5)))"+(4x^(-4) )"-(11\cot x)"=$

$=(7)"+(x)"-5(x^5)"+4(\sin x)"-9(x^(\frac(2)(5)))"+4(x^( -4))"-11(\cot x)"=$

భేదం యొక్క నియమాలను అర్థం చేసుకున్న తరువాత, వాటిలో కొన్ని (ఉదాహరణకు, చివరి రెండు వంటివి) సుదీర్ఘ వ్యక్తీకరణను తిరిగి వ్రాయకుండా ఉండటానికి ఏకకాలంలో వర్తించబడతాయి;

మేము ఉత్పన్న సంకేతం క్రింద ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల నుండి వ్యక్తీకరణను పొందాము; ఉత్పన్నాల పట్టికను ఉపయోగిస్తాము:

$=0+1-5 \cdot 5x^4+4\cos x-9 \cdot \frac(2)(5) x^(-\frac(3)(5))+12x^(-5)- 11 \cdot \frac(-1)(\sin^2 x)=$

దానిని గణితంలో ఆమోదించిన రూపానికి మారుద్దాం:

$=1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x) $

దయచేసి ఫలితాన్ని కనుగొనేటప్పుడు, నిబంధనలను గమనించండి పాక్షిక శక్తులుమూలాలకు, మరియు ప్రతికూల వాటితో - భిన్నాలకు మార్చండి.

సమాధానం: $1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x )$.

3. ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నం కోసం ఫార్ములా:

$(uv)"=u" v+uv"$.

ఉదాహరణ 3

$y=x^(11) \ln x$ ఫంక్షన్‌ని వేరు చేయండి.

పరిష్కారం.

మొదట, మేము ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించడానికి నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము, ఆపై మేము ఉత్పన్నాల పట్టికను ఉపయోగిస్తాము:

$y"=(x^(11) \ln x)"=(x^(11))" \ln x+x^(11) (\lnтx)"=11x^(10) \ln x+x^ (11) \cdot \frac(1)(x)=11x^(10) \ln x-\frac(x^(11))(x)=11x^(10) \ln x-x^(10)=x ^(10) (11 \ln x-1)$.

సమాధానం: $x^(10) (11 \ln x-1)$.

4. పాక్షిక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం కోసం ఫార్ములా:

$(\frac(u)(v))"=\frac(u" v-uv")(v^2)$.

ఉదాహరణ 4

ఫంక్షన్ $y=\frac(3x-8)(x^5-7)$ని వేరు చేయండి.

పరిష్కారం.

$y"=(\frac(3x-8)(x^5-7))"=$

ప్రాధాన్యత నిబంధనల ప్రకారం గణిత కార్యకలాపాలుమొదట మేము విభజన చేస్తాము, ఆపై కూడిక మరియు వ్యవకలనం చేస్తాము, కాబట్టి మేము మొదట భాగస్వామ్యం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించడానికి నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము:

$=\frac((3x-8)" (x^5-7)-(3x-8) (x^5-7)")((x^5-7)^2) =$

సమ్ మరియు డిఫరెన్స్ డెరివేటివ్‌ల నియమాలను వర్తింపజేద్దాం, బ్రాకెట్‌లను తెరిచి వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేద్దాం:

$=\frac(3(x^5-7)-5x^4 (3x-8))((x^5-7)^2) =\frac(3x^5-21-15x^5+40x^ 4)((x^5-7)^2) =\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$ .

సమాధానం:$\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$.

ఉదాహరణ 5

ఫంక్షన్ $y=\frac(x^7-2x+3)(x)$ని వేరు చేద్దాం.

పరిష్కారం.

ఫంక్షన్ y అనేది రెండు ఫంక్షన్‌ల యొక్క గుణకం, కాబట్టి మీరు గుణకం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించడానికి నియమాన్ని వర్తింపజేయవచ్చు, అయితే ఈ సందర్భంలో మీరు గజిబిజిగా ఉండే ఫంక్షన్‌ను పొందుతారు. ఈ ఫంక్షన్‌ను సరళీకృతం చేయడానికి, మీరు పదం ద్వారా హారం పదం ద్వారా న్యూమరేటర్‌ను విభజించవచ్చు:

$y=\frac(x^7-13x+9)(x)=x^6-13+\frac(9)(x)$.

ఫంక్షన్‌ల మొత్తం మరియు వ్యత్యాసాన్ని సరళీకృత ఫంక్షన్‌కి భేదం చేయడానికి నియమాన్ని వర్తింపజేద్దాం:

$y"=(x^6-13+\frac(9)(x))"=(x^6)"+(-13)"+9(x^(-1))"=6x^5+ 0+9 \cdot (-x^(-2))=$

$=6x^5-\frac(9)(x^2)$.

సమాధానం: $6x^5-\frac(9)(x^2)$.