Kwa ufupi, haya ni milinganyo ambayo kuna angalau kigezo kimoja katika dhehebu.
Kwa mfano:
\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)
Mfano Sivyo milinganyo ya kimantiki ya sehemu:
\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)
Je, milinganyo ya kimantiki ya sehemu hutatuliwaje?
Jambo kuu la kukumbuka kuhusu sehemu milinganyo ya busara- unahitaji kuandika ndani yao. Na baada ya kupata mizizi, hakikisha kuwaangalia kwa kukubalika. Vinginevyo, mizizi ya nje inaweza kuonekana, na uamuzi mzima utazingatiwa kuwa sio sahihi.
Algorithm ya kutatua equation ya busara ya sehemu:
Andika na "suluhisha" ODZ.
Zidisha kila neno katika mlinganyo kwa dhehebu la kawaida na kupunguza sehemu zinazosababisha. Madhehebu yatatoweka.
Andika mlinganyo bila kufungua mabano.
Tatua mlinganyo unaotokana.
Angalia mizizi iliyopatikana na ODZ.
Andika katika jibu lako mizizi iliyofaulu mtihani katika hatua ya 7.
Usikariri algorithm, equations 3-5 zilizotatuliwa na itakumbukwa yenyewe.
Mfano . Amua mlinganyo wa kimantiki wa sehemu \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)
Suluhisho:
Jibu: \(3\).
Mfano . Tafuta mizizi ya mlingano wa kimantiki wa sehemu \(=0\)
Suluhisho:
|
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) |
Tunaandika na "kutatua" ODZ. Tunapanua \(x^2+7x+10\) kuwa kulingana na fomula: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). |
|
|
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\) |
Kwa wazi, dhehebu la kawaida la sehemu ni \((x+2)(x+5)\). Tunazidisha equation nzima nayo. |
|
|
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) |
Kupunguza sehemu |
|
|
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\) |
Kufungua mabano |
|
|
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\) |
|
Tunawasilisha masharti yanayofanana |
|
\(2x^2+9x-5=0\) |
|
Kutafuta mizizi ya equation |
|
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\) |
|
Moja ya mizizi haifai ODZ, kwa hiyo tunaandika tu mizizi ya pili katika jibu. |
Jibu: \(\frac(1)(2)\).
§ Milinganyo 1 kamili na ya kimantiki
Katika somo hili tutaangalia dhana kama vile mlinganyo wa kimantiki, kujieleza kwa busara, usemi kamili, usemi wa sehemu. Wacha tufikirie kusuluhisha milinganyo ya busara.
Mlinganyo wa kimantiki ni mlinganyo ambapo pande za kushoto na kulia ni semi za kimantiki.
Maneno ya busara ni:
Sehemu.
Usemi kamili huundwa na nambari, vigeu, nguvu kamili kwa kutumia utendakazi wa kujumlisha, kutoa, kuzidisha na kugawanya kwa nambari tofauti na sifuri.
Kwa mfano:
KATIKA maneno ya sehemu kuna mgawanyiko kwa kutofautiana au kujieleza kwa kutofautiana. Kwa mfano:
Usemi wa sehemu haileti maana kwa maadili yote ya anuwai iliyojumuishwa ndani yake. Kwa mfano, usemi
saa x = -9 haina maana, kwa kuwa saa x = -9 denominator huenda kwa sifuri.
Hii ina maana kwamba mlinganyo wa kimantiki unaweza kuwa kamili au sehemu.
Mlinganyo mzima wa kimantiki ni mlingano wa kimantiki ambapo pande za kushoto na kulia ni usemi mzima.
Kwa mfano:
Mlinganyo wa kimantiki wa kimantiki ni mlinganyo wa kimantiki ambapo pande za kushoto au kulia ni vielezi vya sehemu.
Kwa mfano:
§ 2 Suluhisho la mlingano mzima wa kimantiki
Wacha tuangalie suluhisho la equation nzima ya busara.
Kwa mfano:
Wacha tuzidishe pande zote mbili za equation kwa dhehebu la kawaida zaidi la sehemu za sehemu zilizojumuishwa ndani yake.
Kwa hii; kwa hili:
1. pata dhehebu la kawaida kwa madhehebu 2, 3, 6. Ni sawa na 6;
2. pata kipengele cha ziada kwa kila sehemu. Ili kufanya hivyo, gawanya dhehebu la kawaida 6 kwa kila denominator
sababu ya ziada kwa sehemu
sababu ya ziada kwa sehemu
3. kuzidisha nambari za sehemu kwa sababu zao za ziada zinazolingana. Kwa hivyo, tunapata equation
ambayo ni sawa na mlinganyo uliotolewa
Wacha tufungue mabano upande wa kushoto, songa sehemu ya kulia kwenda kushoto, ukibadilisha ishara ya neno wakati wa kuhamishiwa kwa kinyume.
Wacha tulete masharti sawa ya polynomial na tupate
Tunaona kwamba equation ni ya mstari.
Baada ya kuitatua, tunapata kwamba x = 0.5.
§ 3 Suluhisho la mlingano wa kimantiki wa sehemu
Wacha tuzingatie kusuluhisha mlinganyo wa kimantiki wa sehemu.
Kwa mfano:
1.Zidisha pande zote mbili za mlingano kwa kikokoteo cha chini kabisa cha kawaida cha visehemu vya kimantiki vilivyojumuishwa ndani yake.
Wacha tupate dhehebu la kawaida la madhehebu x + 7 na x - 1.
Ni sawa na bidhaa zao (x + 7) (x - 1).
2. Wacha tupate sababu ya ziada kwa kila sehemu ya busara.
Ili kufanya hivyo, gawanya dhehebu la kawaida (x + 7) (x - 1) kwa kila denominator. Sababu ya ziada kwa sehemu
sawa na x - 1,
sababu ya ziada kwa sehemu
sawa na x+7.
3. Zidisha nambari za sehemu kwa vipengele vyake vya ziada vinavyolingana.
Tunapata mlinganyo (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), ambayo ni sawa na mlinganyo huu.
4. Zidisha binomial kwa binomial upande wa kushoto na kulia na upate mlinganyo ufuatao.
5. Tunasonga upande wa kulia kwenda kushoto, kubadilisha ishara ya kila neno wakati wa kuhamisha kinyume chake:
6. Wacha tuwasilishe istilahi zinazofanana za polynomial:
7. Pande zote mbili zinaweza kugawanywa na -1. Tunapata mlinganyo wa quadratic:
8. Baada ya kutatua, tutapata mizizi
Tangu katika Eq.
pande za kushoto na kulia ni semi za sehemu, na katika misemo ya sehemu kwa baadhi ya maadili dhehebu la kutofautiana inaweza kwenda kwa sifuri, basi ni muhimu kuangalia ikiwa denominator ya kawaida haiendi kwa sifuri wakati x1 na x2 zinapatikana.
Saa x = -27, denominator ya kawaida (x + 7) (x - 1) haipotei;
Kwa hiyo, mizizi yote -27 na -1 ni mizizi ya equation.
Wakati wa kutatua equation ya busara ya sehemu, ni bora kuonyesha mara moja anuwai ya maadili yanayokubalika. Ondoa maadili ambayo dhehebu la kawaida huenda hadi sifuri.
Wacha tuchunguze mfano mwingine wa kusuluhisha mlinganyo wa kimantiki wa sehemu.
Kwa mfano, hebu tutatue equation
Tunazingatia dhehebu la sehemu upande wa kulia wa equation
Tunapata equation
Wacha tupate dhehebu la kawaida kwa madhehebu (x - 5), x, x (x - 5).
Itakuwa usemi x(x - 5).
Sasa hebu tupate anuwai ya maadili yanayokubalika ya equation
Ili kufanya hivyo, tunalinganisha dhehebu la kawaida kwa sifuri x (x - 5) = 0.
Tunapata equation, kutatua ambayo tunapata kwamba kwa x = 0 au kwa x = 5 denominator ya kawaida huenda kwa sifuri.
Hii ina maana kwamba x = 0 au x = 5 haiwezi kuwa mizizi ya equation yetu.
Vizidishi vya ziada sasa vinaweza kupatikana.
Sababu ya ziada kwa sehemu za busara
sababu ya ziada kwa sehemu
itakuwa (x - 5),
na kipengele cha ziada cha sehemu
Tunazidisha nambari kwa sababu za ziada zinazolingana.
Tunapata equation x (x - 3) + 1 (x - 5) = 1 (x + 5).
Wacha tufungue mabano upande wa kushoto na kulia, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.
Wacha tuhamishe masharti kutoka kulia kwenda kushoto, tukibadilisha ishara ya maneno yaliyohamishwa:
X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0
Na baada ya kuleta maneno sawa, tunapata equation ya quadratic x2 - 3x - 10 = 0. Baada ya kutatua, tunapata mizizi x1 = -2; x2 = 5.
Lakini tayari tumegundua kuwa saa x = 5 denominator ya kawaida x(x - 5) huenda hadi sifuri. Kwa hiyo, mzizi wa equation yetu
itakuwa x = -2.
§ 4 Muhtasari mfupi somo
Muhimu kukumbuka:
Wakati wa kutatua milinganyo ya kimantiki, endelea kama ifuatavyo:
1. Tafuta dhehebu la kawaida la sehemu zilizojumuishwa kwenye mlinganyo. Kwa kuongezea, ikiwa dhehebu za sehemu zinaweza kuzingatiwa, basi ziangazie na kisha utafute dhehebu la kawaida.
2. Zidisha pande zote mbili za mlingano kwa kiashiria cha kawaida: tafuta vipengele vya ziada, zidisha nambari kwa vipengele vya ziada.
3.Tatua mlingano mzima unaotokana.
4. Ondoa kutoka kwenye mizizi yake wale ambao hufanya denominator ya kawaida kutoweka.
Orodha ya fasihi iliyotumika:
- Makarychev Yu.N., N.G Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Iliyohaririwa na Telyakovsky S.A. Algebra: kitabu cha maandishi. kwa daraja la 8. elimu ya jumla taasisi. - M.: Elimu, 2013.
- Mordkovich A.G. Aljebra. Daraja la 8: Katika sehemu mbili. Sehemu ya 1: Kitabu cha maandishi. kwa elimu ya jumla taasisi. - M.: Mnemosyne.
- Rurukin A.N. Maendeleo ya msingi wa somo katika aljebra: daraja la 8 - M.: VAKO, 2010.
- Algebra daraja la 8: mipango ya masomo kulingana na kitabu cha maandishi na Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasyeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: Mwalimu, 2005.
Tayari tumejifunza jinsi ya kutatua milinganyo ya quadratic. Sasa wacha tuongeze njia zilizosomwa kwa milinganyo ya busara.
Usemi wa busara ni nini? Tayari tumekutana na dhana hii. Maneno ya busara ni semi zinazoundwa na nambari, vigeu, nguvu zao na alama za shughuli za hisabati.
Ipasavyo, milinganyo ya kimantiki ni milinganyo ya fomu: , wapi 
- maneno ya busara.
Hapo awali, tulizingatia milinganyo ya busara tu ambayo inaweza kupunguzwa hadi ya mstari. Sasa hebu tuangalie milinganyo ya kimantiki ambayo inaweza kupunguzwa hadi milinganyo ya quadratic.
Mfano 1
Tatua mlingano:.
Suluhisho:
Sehemu ni sawa na 0 ikiwa na ikiwa tu nambari yake ni sawa na 0 na denominator yake si sawa na 0.
Tunapata mfumo ufuatao:
Equation ya kwanza ya mfumo ni equation ya quadratic. Kabla ya kuitatua, hebu tugawanye coefficients zake zote na 3. Tunapata:
Tunapata mizizi miwili:; .
Kwa kuwa 2 hailingani na 0, masharti mawili lazima yatimizwe: 
. Kwa kuwa hakuna mizizi ya equation iliyopatikana hapo juu inayoambatana na maadili batili vigezo ambavyo vilipatikana kwa kutatua usawa wa pili, zote mbili ni suluhisho kupewa equation.
Jibu:.
Kwa hivyo, wacha tuunda algorithm ya kutatua hesabu za busara:
1. Hamisha masharti yote kwa upande wa kushoto, ili upande wa kulia ugeuke kuwa 0.
2. Badilisha na kurahisisha upande wa kushoto, kuleta sehemu zote kwa dhehebu la kawaida.
3. Sawazisha sehemu inayotokana na 0 kwa kutumia algoriti ifuatayo: 
.
4. Andika mizizi hiyo iliyopatikana katika mlingano wa kwanza na ukidhi usawa wa pili katika jibu.
Hebu tuangalie mfano mwingine.
Mfano 2
Tatua mlinganyo: 
.
Suluhisho
Mwanzoni kabisa, hebu tuhamishe masharti yote upande wa kushoto, ili 0 ibaki kulia Tunapata:
Sasa wacha tulete upande wa kushoto wa equation kwa dhehebu la kawaida:
Equation hii ni sawa na mfumo:
Equation ya kwanza ya mfumo ni equation ya quadratic.
Coefficients ya mlingano huu:. Tunahesabu ubaguzi:
Tunapata mizizi miwili:; .
Sasa wacha tusuluhishe usawa wa pili: bidhaa ya sababu sio sawa na 0 ikiwa na tu ikiwa hakuna sababu yoyote ni sawa na 0.
Masharti mawili lazima yatimizwe: 
. Tunaona kwamba kati ya mizizi miwili ya equation ya kwanza, ni moja tu inayofaa - 3.
Jibu:.
Katika somo hili, tulikumbuka usemi wa busara ni nini, na pia tulijifunza jinsi ya kutatua milinganyo ya kimantiki, ambayo hupunguza hadi milinganyo ya quadratic.
Katika somo linalofuata tutaangalia milinganyo ya kimantiki kama mifano ya hali halisi, na pia tutaangalia matatizo ya mwendo.
Bibliografia
- Bashmakov M.I. Algebra, daraja la 8. - M.: Elimu, 2004.
- Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. na wengine Algebra, 8. 5th ed. - M.: Elimu, 2010.
- Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, daraja la 8. Mafunzo kwa taasisi za elimu. - M.: Elimu, 2006.
- Tamasha mawazo ya ufundishaji "Somo la umma" ().
- School.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com ().
Kazi ya nyumbani