Eneo ni nini?
Eneo ni tabia ya takwimu ya kijiometri iliyofungwa (mduara, mraba, pembetatu, nk), ambayo inaonyesha ukubwa wake. Eneo lililopimwa sentimita za mraba mita, nk. Inaonyeshwa na barua S(mraba).
Jinsi ya kupata eneo la pembetatu?
S= a h
Wapi a- urefu wa msingi, h- urefu wa pembetatu inayotolewa kwa msingi.
Kwa kuongeza, msingi sio lazima uwe chini. Hiyo itafanya pia.
Ikiwa pembetatu butu, basi urefu hupunguzwa kwa mwendelezo wa msingi:
Ikiwa pembetatu mstatili, basi msingi na urefu ni miguu yake:
2. Fomula nyingine, ambayo sio muhimu sana, lakini ambayo kwa sababu fulani husahaulika kila wakati:
S= a b dhambi
Wapi a Na b- pande mbili za pembetatu, dhambi ni sine ya pembe kati ya pande hizi.
Hali kuu ni kwamba angle inachukuliwa kati ya pande mbili zinazojulikana.
3. Mfumo wa eneo kwa pande tatu (formula ya Heron):
S=
Wapi a, b Na Na ni pande za pembetatu, na R - nusu mzunguko uk = (a+b+c)/2.
4. Mfumo wa eneo la pembetatu kulingana na radius ya duara:
S=
Wapi a, b Na Na ni pande za pembetatu, na R - radius ya duara iliyozungushwa.
5. Mfumo wa eneo la pembetatu kulingana na radius ya duara iliyoandikwa:
S= p · r
Wapi R - nusu ya mzunguko wa pembetatu, na r - radius ya duara iliyoandikwa.
Jinsi ya kupata eneo la mstatili?
1. Eneo la mstatili linapatikana kwa urahisi kabisa:
S=a b
Hakuna ujanja.
Jinsi ya kupata eneo la mraba?
1. Kwa kuwa mraba ni mstatili na pande zote sawa, fomula sawa inatumika kwake:
S=a · a = a 2
2. Pia, eneo la mraba linaweza kupatikana kupitia diagonal yake:
S= d 2
Jinsi ya kupata eneo la parallelogram?
1. Eneo la parallelogram linapatikana kwa formula:
S=a h
Hii ni kwa sababu ya ukweli kwamba ikiwa utakata pembetatu ya kulia kutoka kwayo kulia na kuiweka upande wa kushoto, utapata mstatili:
2. Pia, eneo la parallelogram linaweza kupatikana kupitia pembe kati ya pande mbili:
S=a · b · sinα
Jinsi ya kupata eneo la rhombus?
Rombus kimsingi ni msambamba na pande zote sawa. Kwa hiyo, formula za eneo sawa zinatumika kwake.
1. Eneo la rhombus kupitia urefu:
S=a h
Fomula zote za eneo takwimu za gorofa
Eneo la trapezoid ya isosceles
1. Mfumo wa eneo la trapezoid ya isosceles kwa kutumia pande na pembe
a - msingi wa chini
b - msingi wa juu
c - sawa pande
α - pembe kwenye msingi wa chini
Mfumo wa eneo la trapezoid ya isosceles kupitia pande, (S):
Mfumo wa eneo la trapezoid ya isosceles kwa kutumia pande na pembe, (S):
2. Mfumo wa eneo la isosceles trapezoid kulingana na radius ya duara iliyoandikwa.
R - radius ya mduara ulioandikwa
D - kipenyo cha mduara ulioandikwa
O - katikati ya mduara ulioandikwa
α, β - pembe za trapezoid
Mfumo wa eneo la trapezoid ya isosceles kwa suala la radius ya duara iliyoandikwa, (S):
FAIR, kwa mduara ulioandikwa kwenye trapezoid ya isosceles:
3. Mfumo wa eneo la trapezoid ya isosceles kupitia diagonals na pembe kati yao.
d- diagonal ya trapezoid
α,β- pembe kati ya diagonal
Mfumo wa eneo la trapezoid ya isosceles kupitia diagonal na pembe kati yao, (S):
4. Mfumo wa eneo la trapezoid ya isosceles kupitia mstari wa kati, upande na kona kwenye msingi
c- upande
m - katikati ya trapezoid
α, β - pembe kwenye msingi
Mfumo wa eneo la trapezoid ya isosceles kwa kutumia mstari wa kati, upande wa nyuma na pembe ya msingi,
(S): 
5. Mfumo wa eneo la trapezoid ya isosceles kwa kutumia besi na urefu
a - msingi wa chini
b - msingi wa juu
h - urefu wa trapezoid
Mfumo wa eneo la trapezoid ya isosceles kwa kutumia besi na urefu, (S):
Eneo la pembetatu kulingana na upande na pembe mbili, formula.
a, b, c - pande za pembetatu
α, β, γ - pembe za kinyume
Eneo la pembetatu kupitia upande na pembe mbili (S):
Mfumo wa eneo la poligoni ya kawaida
a - upande wa poligoni
n - idadi ya pande
Eneo la poligoni ya kawaida, (S):
Mfumo (Heron) wa eneo la pembetatu kupitia nusu ya mzunguko (S):
Eneo la pembetatu ya usawa ni:
Njia za kuhesabu eneo la pembetatu ya usawa.
a - upande wa pembetatu
h - urefu
Jinsi ya kuhesabu eneo la pembetatu ya isosceles?
b - msingi wa pembetatu
a - pande sawa
h - urefu
3. Mfumo wa eneo la trapezoid kwa kutumia pande nne
a - msingi wa chini
b - msingi wa juu
c, d - pande
Radi ya mduara unaozunguka wa trapezoid kando ya pande na diagonals
a - pande za nyuma za trapezoid
c - msingi wa chini
b - msingi wa juu
d - diagonal
h - urefu
Fomula ya mzunguko wa trapezoid, (R)
pata mduara wa pembetatu ya isosceles kwa kutumia pande
Kujua pande za pembetatu ya isosceles, unaweza kutumia fomula ili kupata radius ya mduara unaozunguka pembetatu hii.
a, b - pande za pembetatu
Circumradius ya pembetatu ya isosceles (R):
Radi ya duara iliyoandikwa katika hexagon
a - upande wa hexagon
Radius ya duara iliyoandikwa katika hexagon, (r):
Radi ya mduara ulioandikwa kwenye rhombus
r - radius ya mduara ulioandikwa
a - upande wa rhombus
D, d - diagonals
h - urefu wa rhombus
Radi ya mduara ulioandikwa katika trapezoid ya equilateral
c - msingi wa chini
b - msingi wa juu
a - pande
h - urefu
Radi ya duara iliyoandikwa katika pembetatu ya kulia
a, b - miguu ya pembetatu
c - hypotenuse
Radi ya duara iliyoandikwa katika pembetatu ya isosceles
a, b - pande za pembetatu
Thibitisha kuwa eneo la pembe nne iliyoandikwa ni
\/(р - а)(р - b) (р - с) (р - d),
ambapo p ni nusu mzunguko na a, b, c na d ni pande za quadrilateral.
Thibitisha kuwa eneo la quadrilateral iliyoandikwa kwenye duara ni sawa na
1/2 (ab + cb) · sin α, ambapo a, b, c na d ni pande za pembe nne na α ni pembe kati ya pande a na b.
S = √[ a ƀ c d] dhambi ½ (α + β). - Soma zaidi kwenye FB.ru:
Mraba kiholela quadrilateral(Mchoro 1.13) inaweza kuonyeshwa kupitia pande zake a, b, c na jumla ya jozi ya pembe tofauti:
ambapo p ni nusu ya mzunguko wa quadrilateral.
Eneo la pembe nne lililoandikwa kwenye mduara () (Mchoro 1.14, a) huhesabiwa kwa kutumia fomula ya Brahmagupta.
na ilivyoelezwa (Mchoro 1.14, b) () - kulingana na formula
Ikiwa quadrilateral imeandikwa na kuelezewa kwa wakati mmoja (Mchoro 1.14, c), basi formula inakuwa rahisi sana:
Fomu ya kuchagua
Ili kukadiria eneo la poligoni kwenye karatasi iliyotiwa alama, inatosha kuhesabu ni seli ngapi zinazofunika poligoni (tunachukua eneo la seli kama moja). Kwa usahihi zaidi, ikiwa S ni eneo la poligoni, ni idadi ya seli ambazo ziko ndani ya poligoni kabisa, na ni idadi ya seli ambazo zina angalau nukta moja ya kawaida na mambo ya ndani ya poligoni.
Hapo chini tutazingatia tu poligoni ambazo wima zote ziko kwenye nodi za karatasi iliyotiwa alama - zile ambazo mistari ya gridi ya taifa huingiliana. Inabadilika kuwa kwa polygons kama hizo mtu anaweza kutaja fomula ifuatayo:
eneo liko wapi, r ni idadi ya nodi ambazo ziko ndani ya poligoni kabisa.
Njia hii inaitwa "Chagua formula" - baada ya mtaalam wa hesabu ambaye aliigundua mnamo 1899.
Ili kutatua shida za jiometri, unahitaji kujua fomula - kama eneo la pembetatu au eneo la parallelogram - na vile vile. mbinu rahisi, ambayo tutazungumzia.
Kwanza, hebu tujifunze fomula za maeneo ya takwimu. Tumezikusanya haswa kwenye meza inayofaa. Chapisha, jifunze na utume maombi!
Kwa kweli, sio fomula zote za jiometri ziko kwenye meza yetu. Kwa mfano, kutatua matatizo katika jiometri na stereometry katika sehemu ya pili wasifu Mtihani wa Jimbo Pamoja Katika hisabati, fomula zingine za eneo la pembetatu pia hutumiwa. Hakika tutakuambia juu yao.
Lakini vipi ikiwa unahitaji kupata sio eneo la trapezoid au pembetatu, lakini eneo la takwimu ngumu? Kula mbinu zima! Tutawaonyesha kwa kutumia mifano kutoka kwa benki ya kazi ya FIPI.
1. Jinsi ya kupata eneo la takwimu isiyo ya kawaida? Kwa mfano, quadrilateral holela? Mbinu rahisi - hebu tugawanye takwimu hii kwa wale ambao tunajua kila kitu kuhusu, na kupata eneo lake - kama jumla ya maeneo ya takwimu hizi.
Wacha tugawanye hii pande nne mstari wa usawa katika pembetatu mbili msingi wa pamoja, sawa na. Urefu wa pembetatu hizi ni sawa na na. Kisha eneo la quadrilateral ni sawa na jumla ya maeneo ya pembetatu mbili: .
Jibu:.
2. Katika hali nyingine, eneo la takwimu linaweza kuwakilishwa kama tofauti ya maeneo fulani.
Si rahisi sana kuhesabu ni nini msingi na urefu wa pembetatu hii ni sawa! Lakini tunaweza kusema kwamba eneo lake ni sawa na tofauti kati ya maeneo ya mraba na upande na tatu za mstatili pembetatu. Unawaona kwenye picha? Tunapata:.
Jibu:.
3. Wakati mwingine katika kazi unahitaji kupata eneo la sio takwimu nzima, lakini sehemu yake. Kawaida tunazungumza juu ya eneo la sekta - sehemu ya duara. Tafuta eneo la sekta ya mduara wa radius ambao urefu wa arc ni sawa na .
Katika picha hii tunaona sehemu ya duara. Eneo la mduara mzima ni sawa na . Inabakia kujua ni sehemu gani ya duara iliyoonyeshwa. Kwa kuwa urefu wa mzunguko mzima ni sawa (tangu), na urefu wa arc ya sekta iliyotolewa ni sawa, kwa hiyo, urefu wa arc ni mara kadhaa chini ya urefu wa mzunguko mzima. Pembe ambayo arc hii inakaa pia ni mara kadhaa chini ya mduara kamili(hiyo ni digrii). Hii ina maana kwamba eneo la sekta hiyo litakuwa ndogo mara kadhaa kuliko eneo la mzunguko mzima.
Viwanja maumbo ya kijiometri - maadili ya nambari, sifa ya ukubwa wao katika nafasi mbili-dimensional. Thamani hii inaweza kupimwa katika vitengo vya mfumo na visivyo vya mfumo. Kwa hiyo, kwa mfano, kitengo kisicho cha utaratibu cha eneo ni mia moja, hekta. Hii ndio kesi ikiwa uso unaopimwa ni kipande cha ardhi. Kitengo cha mfumo wa eneo ni mraba wa urefu. Katika mfumo wa SI inakubaliwa kwa ujumla kuwa kitengo cha eneo la uso wa gorofa ni mita ya mraba. KATIKA Kitengo cha GHS eneo linaonyeshwa kwa sentimita ya mraba.
Fomula za jiometri na eneo zimeunganishwa kwa njia isiyoweza kutenganishwa. Uunganisho huu upo katika ukweli kwamba hesabu ya maeneo ya takwimu za ndege inategemea kwa usahihi maombi yao. Kwa takwimu nyingi, chaguo kadhaa zinatokana na ambayo vipimo vyao vya mraba vinahesabiwa. Kulingana na data kutoka kwa taarifa ya shida, tunaweza kuamua suluhisho rahisi zaidi. Hii itawezesha hesabu na kupunguza uwezekano wa makosa ya hesabu kwa kiwango cha chini. Kwa kufanya hivyo, fikiria maeneo makuu ya takwimu katika jiometri.
Njia za kupata eneo la pembetatu yoyote zinawasilishwa kwa chaguzi kadhaa:
1) Eneo la pembetatu linahesabiwa kutoka msingi a na urefu h. Msingi unachukuliwa kuwa upande wa takwimu ambayo urefu umepungua. Kisha eneo la pembetatu ni:
2) Eneo pembetatu ya kulia inahesabiwa kwa njia sawa ikiwa hypotenuse inachukuliwa kuwa msingi. Ikiwa tunachukua mguu kama msingi, basi eneo la pembetatu ya kulia litakuwa sawa na bidhaa ya miguu iliyokatwa nusu.
Njia za kuhesabu eneo la pembetatu yoyote haziishii hapo. Usemi mwingine una pande a,b na kazi ya sinusoidal ya pembe γ kati ya a na b. Thamani ya sine inapatikana kwenye majedwali. Unaweza pia kuipata kwa kutumia kikokotoo. Kisha eneo la pembetatu ni:
Kutumia usawa huu, unaweza pia kuhakikisha kuwa eneo la pembetatu ya kulia limedhamiriwa kupitia urefu wa miguu. Kwa sababu pembe γ ni pembe ya kulia, kwa hivyo eneo la pembetatu ya kulia huhesabiwa bila kuzidisha na kazi ya sine.
3) Fikiria kesi maalum - pembetatu ya kawaida, ambaye upande wake a unajulikana kwa hali au urefu wake unaweza kupatikana katika suluhisho. Hakuna kinachojulikana zaidi juu ya takwimu kwenye shida ya jiometri. Kisha jinsi ya kupata eneo chini ya hali hii? Katika kesi hii, formula ya eneo la pembetatu ya kawaida inatumika:
Mstatili
Jinsi ya kupata eneo la mstatili na kutumia vipimo vya pande ambazo zina vertex ya kawaida? Neno la kuhesabu ni:
Ikiwa unahitaji kutumia urefu wa diagonal kuhesabu eneo la mstatili, basi utahitaji kazi ya sine ya pembe inayoundwa wakati zinaingiliana. Njia hii ya eneo la mstatili ni:
Mraba
Eneo la mraba limedhamiriwa kama nguvu ya pili ya urefu wa upande:
Uthibitisho unafuata kutokana na ufafanuzi kwamba mraba ni mstatili. Pande zote zinazounda mraba zina vipimo sawa. Kwa hivyo, kuhesabu eneo la mstatili kama huo hupungua hadi kuzidisha moja baada ya nyingine, i.e., kwa nguvu ya pili ya upande. Na formula ya kuhesabu eneo la mraba itachukua fomu inayotaka.
Eneo la mraba linaweza kupatikana kwa njia nyingine, kwa mfano, ikiwa unatumia diagonal:
Jinsi ya kuhesabu eneo la takwimu ambayo imeundwa na sehemu ya ndege, kupunguzwa na mduara? Ili kuhesabu eneo, fomula ni:
Parallelogram
Kwa parallelogram, formula ina vipimo vya mstari wa upande, urefu na uendeshaji wa hisabati - kuzidisha. Ikiwa urefu haujulikani, basi jinsi ya kupata eneo la parallelogram? Kuna njia nyingine ya kuhesabu. Inahitajika thamani maalum, ambayo itakubali kazi ya trigonometric angle inayoundwa na pande za karibu, pamoja na urefu wao.
Njia za eneo la parallelogram ni:
Rhombus
Jinsi ya kupata eneo la quadrilateral inayoitwa rhombus? Eneo la rhombus imedhamiriwa kwa kutumia rahisi shughuli za hisabati yenye diagonal. Uthibitisho unategemea ukweli kwamba sehemu za diagonal katika d1 na d2 zinaingiliana kwa pembe za kulia. Kutoka kwa meza ya sines inaweza kuonekana kuwa kwa pembe ya kulia kipengele hiki sawa na moja. Kwa hivyo, eneo la rhombus huhesabiwa kama ifuatavyo:
Eneo la rhombus pia linaweza kupatikana kwa njia nyingine. Hii pia si vigumu kuthibitisha, kutokana na kwamba pande zake ni sawa kwa urefu. Kisha ubadilishe bidhaa zao katika usemi sawa na msambamba. Baada ya yote, kesi maalum ya takwimu hii ni rhombus. Hapa γ - kona ya ndani rhombus Eneo la rhombus imedhamiriwa kama ifuatavyo:
Trapezoid
Jinsi ya kupata eneo la trapezoid kupitia besi (a na b), ikiwa shida inaonyesha urefu wao? Hapa bila thamani inayojulikana urefu wa urefu h, haitawezekana kuhesabu eneo la trapezoid kama hiyo. Kwa sababu thamani hii ina usemi wa kuhesabu:
Ukubwa wa mraba trapezoid ya mstatili pia inaweza kuhesabiwa kwa njia sawa. Inazingatiwa kuwa katika trapezoid ya mstatili dhana za urefu na upande zimeunganishwa. Kwa hiyo, kwa trapezoid ya mstatili, unahitaji kutaja urefu wa upande wa upande badala ya urefu.
Silinda na parallelepiped
Hebu fikiria kile kinachohitajika kuhesabu uso wa silinda nzima. Eneo la takwimu iliyopewa ni jozi ya miduara inayoitwa besi, na uso wa upande. Miduara inayounda miduara ina urefu wa radius sawa na r. Kwa eneo la silinda, hesabu ifuatayo hufanyika:
Jinsi ya kupata eneo la parallelepiped ambalo lina jozi tatu za nyuso? Vipimo vyake vinalingana na jozi maalum. Nyuso zinazopingana zina vigezo sawa. Kwanza, pata S (1), S (2), S (3) - vipimo vya mraba vya nyuso zisizo sawa. Kisha eneo la uso wa parallelepiped ni:
Pete
Miduara miwili na kituo cha kawaida kuunda pete. Pia hupunguza eneo la pete. Wakati huo huo, wote wawili fomula za hesabu kuzingatia vipimo vya kila duara. Ya kwanza yao, kuhesabu eneo la pete, ina R na radii ndogo zaidi. Mara nyingi zaidi huitwa nje na ndani. Katika usemi wa pili, eneo la pete linahesabiwa kupitia D kubwa na kipenyo kidogo cha d. Kwa hivyo, eneo la pete kulingana na radii inayojulikana huhesabiwa kama ifuatavyo:
Eneo la pete, kwa kutumia urefu wa kipenyo, imedhamiriwa kama ifuatavyo:
Poligoni
Jinsi ya kupata eneo la poligoni ambalo umbo lake sio la kawaida? Fomula ya jumla Hakuna takwimu kama hizo za eneo. Lakini ikiwa ameonyeshwa kuratibu ndege kwa mfano inaweza kuwa karatasi ya checkered, basi jinsi ya kupata eneo la uso katika kesi hii? Hapa wanatumia njia ambayo hauhitaji takriban kupima takwimu. Wanafanya hivi: ikiwa wanapata pointi zinazoanguka kwenye kona ya seli au zina kuratibu nzima, basi ni wao tu wanaozingatiwa. Ili kujua eneo hilo ni nini, tumia fomula iliyothibitishwa na Peake. Inahitajika kuongeza idadi ya alama ziko ndani ya mstari uliovunjika na nusu ya alama ziko juu yake, na toa moja, i.e. imehesabiwa hivi:
ambapo B, G - idadi ya pointi ziko ndani na kwenye mstari mzima uliovunjika, kwa mtiririko huo.