Ikiwa mistari 2 inayofanana inakatiza 3 basi. Usawa wa mistari - ishara na masharti ya usawa

Ufafanuzi:

Simu mbili za moja kwa moja pa-ral-lel-ny-mi, ikiwa hawavuka (Mchoro 1). Hii ndio maana yake:.

Kupitia hatua ambayo haipo kwenye mstari uliopewa, mstari mmoja tu wa moja kwa moja unapita, sambamba na uliyopewa (Mchoro 2) .

Corollaries kutoka kwa axiom

Matokeo1:

Ikiwa mstari wa moja kwa moja unavuka moja ya mistari inayofanana, basi inavuka nyingine pia.

Imetolewa:.

Thibitisha:.

Uthibitisho:

Hebu tuzungumze juu yake kutoka upande mwingine. Hebu kujifanya hivyo Na haivuki mstari b(Mchoro 4).

Kisha: (kwa sharti), (kwa dhamira). Hiyo ni, kupitia hatua M kuna mistari miwili iliyonyooka ( A Na c), sambamba moja kwa moja b. Na hii ni pro-ti-vo-re-chit ak-sio-me. Hii ina maana kwamba dhana yetu si sahihi. Kisha ni sawa c msalaba-moja kwa moja b.

Nambari ya 2:

Ikiwa mistari miwili ya moja kwa moja inafanana na mstari wa tatu wa moja kwa moja, basi ni sawa(Kielelezo 5) .

Imetolewa:.

Thibitisha:.

Uthibitisho:

Hebu tuzungumze juu yake kutoka upande mwingine. Fikiria kwamba wao ni sawa a Na b per-re-se-ka-yut-sya wakati fulani M(Mchoro 6).

Kwa njia hii, hebu tuzungumze juu yake na ak-si-o-mine: kupitia hatua M mistari miwili ya moja kwa moja hupita, wakati huo huo sambamba na mstari wa tatu wa moja kwa moja.

Ijayo, dhana yetu si sahihi. Kisha.

Nadharia juu ya mali ya mistari inayofanana

Nadharia ya 1:

Ikiwa mistari miwili ya moja kwa moja inaingiliana, basi pembe kwenye msalaba ni sawa(Mchoro 7).

Imetolewa:.

Thibitisha:.

Uthibitisho:

Hebu tuzungumze juu yake kutoka upande mwingine. Wacha tujifanye kuwa:.

Kisha kutoka kwa boriti MN inawezekana kuweka pembe moja ∠ PMN, ambayo itakuwa sawa ∠ 2 ( Mchele. 7). Lakini basi ∠ PMN Na ∠ 2 - uongo crosswise na sawa. Kisha moja kwa moja P.M. Na b- par-ral-lel-ny. Kisha kupitia hatua M mistari miwili iliyonyooka hupita, sambamba ya tatu. Yaani:

Wacha tuzungumze na ak-si-o-moy. Hii ina maana kwamba dhana yetu si sahihi. Hiyo ni: .

Matokeo:

Ikiwa mstari wa moja kwa moja ni per-pen-di-ku-lyar-kwenye moja ya mistari sawa sawa, basi ni per-pen-di-ku-lyar-on na ya pili.

Imetolewa:

Thibitisha:

Uthibitisho:

1. Na per-re-se-ka-et A, ambayo ina maana, na re-se-ka-et mstari wa moja kwa moja sambamba nayo, yaani b. Kisha Na- se-ku-shchaya kutoka-no-she-niyu hadi A Na b.

2. mradi tu waonekane juu ya msalaba wamelala chini. Kisha. Hiyo ni .

Theo-re-ma 2:

Ikiwa mistari miwili ya moja kwa moja inayofanana inaingiliana, basi pembe zinazofanana ni sawa.

Imetolewa:- s-ku-shaya.

Thibitisha:(Mchoro 9).

Uthibitisho:

Ikiwa , basi kutoka kwa nadharia ya awali inafuata kwamba pembe kwenye msalaba ni sawa. Hiyo ni .

Ishara za usawa wa mistari miwili

Nadharia 1. Iwapo, mistari miwili inapopishana na sekunde:

pembe zilizovuka ni sawa, au

pembe zinazolingana ni sawa, au

jumla ya pembe za upande mmoja ni 180 °, basi

mistari ni sambamba(Mchoro 1).

Ushahidi. Tunajiwekea kikomo kwa kuthibitisha kesi 1.

Acha mistari inayokatiza a na b iwe ya kuvuka na pembe AB ziwe sawa. Kwa mfano, ∠ 4 = ∠ 6. Hebu tuthibitishe kwamba || b.

Tuseme kwamba mistari a na b haiwiani. Kisha huingiliana kwa wakati fulani M na, kwa hiyo, moja ya pembe 4 au 6 itakuwa pembe ya nje ya pembetatu ABM. Kwa uhakika, acha ∠ 4 iwe pembe ya nje ya pembetatu ABM, na ∠ 6 ya ndani. Kutoka kwa nadharia kuhusu pembe ya nje pembetatu inafuata kwamba ∠ 4 ni kubwa kuliko ∠ 6, na hii inapingana na hali, ambayo ina maana kwamba mistari a na 6 haiwezi kuingiliana, kwa hiyo zinafanana.

Muhimu 1. Mistari miwili tofauti katika ndege perpendicular kwa mstari huo ni sambamba(Mchoro 2).

Maoni. Njia ambayo tumethibitisha kisa cha 1 cha Nadharia ya 1 inaitwa njia ya uthibitisho kwa kupingana au kupunguza kwa upuuzi. Njia hii ilipata jina lake la kwanza kwa sababu mwanzoni mwa hoja dhana hufanywa ambayo ni kinyume (kinyume) na kile kinachohitaji kuthibitishwa. Inaitwa kuongoza kwa upuuzi kutokana na ukweli kwamba, kufikiri juu ya msingi wa dhana iliyofanywa, tunakuja kwenye hitimisho la upuuzi (kwa upuuzi). Kupokea hitimisho kama hilo hutulazimisha kukataa dhana iliyofanywa mwanzoni na kukubali ile iliyohitaji kuthibitishwa.

Jukumu la 1. Tengeneza mstari unaopita hatua hii M na sambamba na mstari uliopeanwa a, bila kupita sehemu ya M.

Suluhisho. Tunatoa mstari wa moja kwa moja p kupitia hatua ya M perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja a (Mchoro 3).

Kisha tunatoa mstari b kupitia hatua M perpendicular kwa mstari p. Mstari b ni sambamba na mstari a kulingana na mfululizo wa Nadharia ya 1.

Hitimisho muhimu linafuata kutoka kwa shida inayozingatiwa:
kupitia hatua isiyolala kwenye mstari uliopewa, inawezekana kila wakati kuteka mstari sambamba na uliyopewa.

Sifa kuu ya mistari inayofanana ni kama ifuatavyo.

Axiom ya mistari sambamba. Kupitia hatua fulani ambayo haiko kwenye mstari fulani, kuna mstari mmoja tu unaofanana na uliopewa.

Wacha tuzingatie sifa zingine za mistari inayofanana inayofuata kutoka kwa axiom hii.

1) Ikiwa mstari unaingilia moja ya mistari miwili inayofanana, basi pia huingiliana na nyingine (Mchoro 4).

2) Ikiwa mistari miwili tofauti ni sawa na mstari wa tatu, basi ni sawa (Mchoro 5).

Nadharia ifuatayo pia ni kweli.

Nadharia ya 2. Ikiwa mistari miwili inayofanana imekatizwa na kivuka, basi:

pembe za msalaba ni sawa;

pembe zinazofanana ni sawa;

jumla ya pembe za upande mmoja ni 180 °.

Muhimu 2. Ikiwa mstari ni perpendicular kwa moja ya mistari miwili sambamba, basi pia ni perpendicular kwa nyingine.(tazama Mchoro 2).

Maoni. Nadharia ya 2 inaitwa kinyume cha Nadharia 1. Hitimisho la Nadharia 1 ni hali ya Nadharia 2. Na hali ya Nadharia 1 ni hitimisho la Nadharia 2. Sio kila nadharia ina kinyume, yaani ikiwa nadharia hii ni kweli, basi nadharia ya mazungumzo inaweza isiwe kweli.

Hebu tueleze hili kwa kutumia mfano wa nadharia kwenye pembe za wima. Nadharia hii inaweza kutengenezwa kama ifuatavyo: ikiwa pembe mbili ni wima, basi ni sawa. Nadharia ya kubadilishana itakuwa: ikiwa pembe mbili ni sawa, basi ni wima. Na hii, bila shaka, si kweli. Mbili pembe sawa sio lazima iwe wima hata kidogo.

Mfano 1. Mistari miwili sambamba huvukwa na theluthi. Inajulikana kuwa tofauti kati ya pembe mbili za ndani za upande mmoja ni 30 °. Tafuta pembe hizi.

Suluhisho. Hebu Mchoro wa 6 ukidhi hali hiyo.

Tunajua kuwa mistari miwili ni sambamba ikiwa, inapokatiza mstari wa tatu, pembe zinazolingana ni sawa, au pembe za ndani au za nje zinazolala kwa njia ya kuvuka ni sawa, au jumla ya ndani, au jumla ya pembe za nje za upande mmoja ni sawa na 2 d. Wacha tuthibitishe kuwa nadharia za mazungumzo pia ni za kweli, ambazo ni:

Ikiwa mistari miwili inayofanana imevukwa na ya tatu, basi:

1. pembe zinazofanana ni sawa;
2. pembe za ndani za msalaba ni sawa;
3. pembe za nje za msalaba ni sawa;
4. jumla ya pembe za ndani za upande mmoja ni 2d;
5. Jumla ya pembe za nje za upande mmoja ni 2d.

Hebu tuthibitishe, kwa mfano, kwamba ikiwa mistari miwili inayofanana imeunganishwa na mstari wa tatu, basi pembe zinazofanana ni sawa.

Acha mistari ya moja kwa moja AB na CD ziwe sambamba, na MN iwe secant yao (Mtini.). Hebu tuthibitishe kwamba pembe zinazofanana 1 na 2 ni sawa kwa kila mmoja.

Hebu tuchukulie kuwa ∠1 na ∠2 si sawa. Kisha kwa uhakika O inawezekana kujenga ∠MOK, inayolingana na sawa na ∠2 (Mtini.).

Lakini ikiwa ∠MOK = ∠2, basi mstari wa moja kwa moja sawa utakuwa sambamba na CD.

Tuligundua kuwa mistari miwili iliyonyooka AB na Sawa zilichorwa kupitia nukta O, sambamba na CD ya mstari wa moja kwa moja. Lakini hii haiwezi kuwa.

Tulifikia ukinzani kwa sababu tulidhani kuwa ∠1 na ∠2 si sawa. Kwa hivyo, dhana yetu si sahihi na ∠1 lazima iwe sawa na ∠2, yaani, pembe zinazolingana ni sawa.

Wacha tuanzishe uhusiano kati ya pembe zilizobaki. Acha mistari ya moja kwa moja AB na CD ziwe sambamba, na MN iwe secant yao (Mtini.).

Tumethibitisha tu kwamba katika kesi hii pembe zinazofanana ni sawa. Wacha tuchukue kuwa yoyote kati yao ina 119 ° kila moja. Wacha tuhesabu saizi ya kila moja ya pembe zingine sita. Kulingana na mali ya karibu na pembe za wima tunapata kwamba pembe nne kati ya nane zitakuwa na 119 °, na wengine watakuwa na 61 °.

Ilibadilika kuwa pembe zote za ndani na za nje ni sawa kwa jozi, na jumla ya pembe za ndani au za nje za upande mmoja ni sawa na 180 ° (au 2d).

Vile vile vitafanyika kwa thamani nyingine yoyote ya pembe zinazolingana.

Muhimu 1. Ikiwa kila moja ya mistari miwili AB na CD ni sambamba na mstari wa tatu wa MN, basi mistari miwili ya kwanza ni sambamba kwa kila mmoja. .

Kwa kweli, kwa kuchora secant EF (Mtini.), tunapata:

a) ∠1 = ∠3, kwa kuwa AB || MN; b) ∠ 2 = ∠3, kwa kuwa CO || MN.

Hii ina maana kwamba ∠1 = ∠2, na hizi ni pembe zinazolingana katika mistari AB na CD na EF secant, kwa hiyo, mistari AB na CD ni sambamba.

Muhimu 2. Ikiwa mstari ni perpendicular kwa moja ya mistari miwili sambamba, basi pia ni perpendicular kwa nyingine. .

Hakika, ikiwa EF ⊥ AB, basi ∠1 = d; ikiwa AB || CD, kisha ∠1 = ∠2.

Kwa hiyo, ∠ 2 = d yaani EF ⊥ CD.

SURA YA III.
PARALLEL DIRECT

§ 38. UTEGEMEZI KATI YA ANGELI,
IMEUNGWA KWA MISTARI MIWILI INAYOENDANA NA SEKONDARI.

Ikiwa mistari miwili inayofanana imevukwa na ya tatu, basi:

1) pembe zinazofanana ni sawa;
2) pembe za ndani za msalaba ni sawa;
3) pembe za nje ni sawa;
4) jumla ya pembe za ndani za upande mmoja ni sawa na 2 d ;
5) jumla ya pembe za nje za upande mmoja ni sawa na 2 d .

Hebu tuthibitishe, kwa mfano, kwamba ikiwa mistari miwili inayofanana imeunganishwa na mstari wa tatu, basi pembe zinazofanana ni sawa.

Hebu mistari ya moja kwa moja AB na CD iwe sambamba, na MN iwe secant yao (Mchoro 202) Hebu tuthibitishe kwamba pembe zinazofanana 1 na 2 ni sawa kwa kila mmoja.

Hebu tuchukulie hivyo / 1 na / 2 si sawa. Kisha kwa uhakika O tunaweza kujenga / IOC, inayolingana na sawa / 2 (mchoro 203).

Lakini ikiwa / MOQ = / 2, kisha mstari wa moja kwa moja sawa utakuwa sambamba na CD (§ 35).

Tuligundua kuwa mistari miwili iliyonyooka AB na Sawa zilichorwa kupitia nukta O, sambamba na CD ya mstari wa moja kwa moja. Lakini hii haiwezi kuwa (§ 37).

Tulifika kwenye mkanganyiko kwa sababu tulidhani hivyo / 1 na / 2 si sawa. Kwa hiyo, dhana yetu si sahihi na / 1 lazima iwe sawa / 2, i.e. pembe zinazolingana ni sawa.

Wacha tuanzishe uhusiano kati ya pembe zilizobaki. Hebu mistari ya moja kwa moja AB na CD iwe sambamba, na MN iwe secant yao (Mchoro 204).

Tumethibitisha tu kwamba katika kesi hii pembe zinazofanana ni sawa. Wacha tuchukue kuwa yoyote kati yao ina 119 ° kila moja. Wacha tuhesabu saizi ya kila moja ya pembe zingine sita. Kulingana na mali ya pembe za karibu na za wima, tunaona kwamba pembe nne kati ya nane zitakuwa na 119 ° kila mmoja, na wengine watakuwa na 61 ° kila mmoja.

Ilibadilika kuwa pembe zote za ndani na za nje ni sawa katika jozi, na jumla ya pembe za ndani au za nje za upande mmoja ni sawa na 180 ° (au 2). d).

Vile vile vitafanyika kwa thamani nyingine yoyote ya pembe zinazolingana.

Muhimu 1. Ikiwa kila moja ya mistari miwili AB na CD ni sambamba na mstari wa tatu wa MN, basi mistari miwili ya kwanza ni sambamba kwa kila mmoja. (mchoro 205).

Kwa kweli, kwa kuchora secant EF (Kielelezo 206), tunapata:
A) / 1 = / 3, tangu AB || MN; b) / 2 = / 3, tangu CO || MN.

Ina maana, / 1 = / 2, na hizi ni pembe zinazofanana na mistari AB na CD na EF secant, kwa hiyo, mistari AB na CD ni sawa.

Muhimu 2. Ikiwa mstari ni perpendicular kwa moja ya mistari miwili sambamba, basi pia ni perpendicular kwa nyingine. (mchoro 207).

Hakika, ikiwa EF _|_ AB, basi / 1 = d; ikiwa AB || CD, basi / 1 = / 2.

Kwa hivyo, / 2 = d yaani EF _|_ CD .

Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.

Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi

Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.

Unaweza kuulizwa kutoa yako habari za kibinafsi wakati wowote unawasiliana nasi.

Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.

Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:

Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, anwani Barua pepe na kadhalika.

Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:

Taarifa za kibinafsi tunazokusanya huturuhusu kuwasiliana nawe na kukujulisha matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani kama vile ukaguzi, uchambuzi wa data na masomo mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.

Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine

Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.

Vighairi:

Ikiwa ni lazima, kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, V jaribio, na/au kulingana na maombi ya umma au maombi kutoka mashirika ya serikali kwenye eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.

Ulinzi wa habari za kibinafsi

Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.

Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni

Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.