Maendeleo ya hesabu na n hutolewa na masharti. Mada ya somo: “Mfumo wa jumla wa istilahi n za kwanza za maendeleo ya hesabu

Kauli mbiu ya somo letu itakuwa maneno ya mwanahisabati wa Urusi V.P. Ermakova: "Katika hisabati, mtu hapaswi kukumbuka fomula, lakini michakato ya kufikiria."

Wakati wa madarasa

Uundaji wa shida

Kwenye ubao kuna picha ya Gauss. Mwalimu au mwanafunzi aliyepewa jukumu la kuandaa ujumbe mapema anasema kwamba wakati Gauss alipokuwa shuleni, mwalimu aliwataka wanafunzi kuongeza nambari zote za asili kutoka 1 hadi 100. Gauss mdogo alitatua tatizo hili kwa dakika.

Swali . Gauss alipataje jibu?

Kutafuta suluhu

Wanafunzi wanaelezea mawazo yao, kisha muhtasari: kwa kutambua kwamba hesabu ni 1 + 100, 2 + 99, nk. ni sawa, Gauss alizidisha 101 kwa 50, ambayo ni, kwa idadi ya hesabu kama hizo. Kwa maneno mengine, aliona muundo ambao ni asili katika maendeleo ya hesabu.

Utoaji wa fomula ya jumla n masharti ya kwanza ya maendeleo ya hesabu

Andika mada ya somo ubaoni na kwenye madaftari yako. Wanafunzi pamoja na mwalimu huandika hitimisho la fomula:

Hebu a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; ...; n – 2 ; n – 1 ; n- maendeleo ya hesabu.

Ujumuishaji wa msingi

1. Kwa kutumia fomula (1), tunatatua tatizo la Gauss:

2. Kwa kutumia fomula (1), suluhisha matatizo kwa mdomo (masharti yao yameandikwa kwenye ubao au kanuni chanya), ( n) - maendeleo ya hesabu:

A) a 1 = 2, a 10 = 20. S 10 - ?

b) a 1 = –5, a 7 = 1. S 7 - ? [–14]

V) a 1 = –2, a 6 = –17. S 6 - ? [–57]

G) a 1 = –5, a 11 = 5. S 11 - ?

3. Kamilisha kazi.

Imetolewa: ( n) - maendeleo ya hesabu;

a 1 = 3, a 60 = 57.

Tafuta: S 60 .

Suluhisho. Wacha tutumie formula ya jumla n masharti ya kwanza ya maendeleo ya hesabu

Jibu: 1800.

Swali la nyongeza. Ni aina ngapi za shida tofauti zinaweza kutatuliwa kwa kutumia fomula hii?

Jibu. Aina nne za kazi:

Tafuta kiasi S n;

Tafuta muhula wa kwanza wa maendeleo ya hesabu a 1 ;

Tafuta n muda wa maendeleo ya hesabu n;

Tafuta idadi ya masharti ya maendeleo ya hesabu.

4. Kazi kamili: Nambari 369 (b).

Tafuta jumla ya istilahi sitini za kwanza za mwendelezo wa hesabu ( n), Kama a 1 = –10,5, a 60 = 51,5.

Suluhisho.

Jibu: 1230.

Swali la nyongeza. Andika formula n muda wa maendeleo ya hesabu.

Jibu: n = a 1 + d(n – 1).

5. Kokotoa fomula ya istilahi tisa za kwanza za mwendelezo wa hesabu ( b n),
Kama b 1 = –17, d = 6.

Je, inawezekana kuhesabu mara moja kwa kutumia formula?

Hapana, kwa sababu muhula wa tisa haujulikani.

Jinsi ya kuipata?

Kulingana na formula n muda wa maendeleo ya hesabu.

Suluhisho. b 9 = b 1 + 8d = –17 + 8∙6 = 31;

Jibu: 63.

Swali. Inawezekana kupata jumla bila kuhesabu muhula wa tisa wa maendeleo?

Uundaji wa shida

Tatizo: kupata formula ya jumla n masharti ya kwanza ya maendeleo ya hesabu, kujua muda wake wa kwanza na tofauti d.

(Kutoa fomula ubaoni na mwanafunzi.)

Tutaamua nambari 371 (a) juu ya fomula mpya (2):

Wacha tuweke fomula kwa maneno (2) ( masharti ya kazi yameandikwa kwenye ubao).

(n

1. a 1 = 3, d = 4. S 4 - ?

2. a 1 = 2, d = –5. S 3 - ? [–9]

Jua kutoka kwa wanafunzi ni maswali gani ambayo hayaeleweki.

Kazi ya kujitegemea

Chaguo 1

Imetolewa: (n) - maendeleo ya hesabu.

1. a 1 = –3, a 6 = 21. S 6 - ?

2. a 1 = 6, d = –3. S 4 - ?

Chaguo la 2

Imetolewa: (n) - maendeleo ya hesabu.

1.a 1 = 2, a 8 = –23. S 8 - ? [–84]

2.a 1 = –7, d = 4. S 5 - ?

Wanafunzi hubadilishana madaftari na kuangalia suluhisho za kila mmoja.

Fanya muhtasari wa ujifunzaji wa nyenzo kulingana na matokeo ya kazi ya kujitegemea.

Kiwango cha kwanza

Maendeleo ya hesabu. Nadharia ya kina na mifano (2019)

Mlolongo wa nambari

Kwa hivyo, hebu tukae chini na tuanze kuandika nambari kadhaa. Kwa mfano:
Unaweza kuandika nambari zozote, na kunaweza kuwa na nyingi kama unavyopenda (kwa upande wetu, zipo). Haijalishi ni nambari ngapi tunazoandika, tunaweza kusema kila wakati ni ipi ya kwanza, ni ipi ya pili, na kadhalika hadi ya mwisho, ambayo ni, tunaweza kuhesabu. Huu ni mfano wa mlolongo wa nambari:

Mlolongo wa nambari
Kwa mfano, kwa mlolongo wetu:

Nambari iliyopewa ni maalum kwa nambari moja tu katika mlolongo. Kwa maneno mengine, hakuna nambari tatu za pili katika mlolongo. Nambari ya pili (kama nambari ya th) ni sawa kila wakati.
Nambari iliyo na nambari inaitwa neno la th la mlolongo.

Kwa kawaida tunaita mfuatano mzima kwa herufi fulani (kwa mfano,), na kila mwanachama wa mfuatano huu ni herufi sawa na faharasa sawa na nambari ya mwanachama huyu: .

Kwa upande wetu:

Tuseme tunayo mlolongo wa nambari, ambayo tofauti kati ya nambari zilizo karibu ni sawa na sawa.
Kwa mfano:

na kadhalika.
Mlolongo huu wa nambari unaitwa kuendelea kwa hesabu.
Neno "maendeleo" lilianzishwa na mwandishi wa Kirumi Boethius nyuma katika karne ya 6 na lilieleweka zaidi. kwa maana pana, kama mlolongo wa nambari usio na kikomo. Jina "hesabu" lilihamishwa kutoka kwa nadharia ya uwiano unaoendelea, ambayo ilisomwa na Wagiriki wa kale.

Huu ni mlolongo wa nambari, kila mwanachama ambao ni sawa na wa awali ulioongezwa kwa nambari sawa. Nambari hii inaitwa tofauti ya maendeleo ya hesabu na imeteuliwa.

Jaribu kubainisha ni mfuatano wa nambari gani ni mwendelezo wa hesabu na ambao sio:

a)
b)
c)
d)

Nimeelewa? Wacha tulinganishe majibu yetu:
Je! maendeleo ya hesabu - b, c.
Sio maendeleo ya hesabu - a, d.

Hebu kurudi nyuma kutokana na maendeleo() na ujaribu kupata thamani ya mwanachama wake. Ipo mbili njia ya kuipata.

1. Mbinu

Tunaweza kuongeza nambari ya kuendelea kwa thamani iliyotangulia hadi tufikie muhula wa kuendelea. Ni vizuri kwamba hatuna mengi ya kufupisha - maadili matatu pekee:

Kwa hivyo, neno la th la maendeleo ya hesabu iliyoelezewa ni sawa na.

2. Mbinu

Je, ikiwa tungehitaji kupata thamani ya muhula wa maendeleo? Muhtasari huo ungetuchukua zaidi ya saa moja, na si ukweli kwamba hatungefanya makosa wakati wa kuongeza nambari.
Bila shaka, wanahisabati wamekuja na njia ambayo si lazima kuongeza tofauti ya maendeleo ya hesabu kwa thamani ya awali. Angalia kwa karibu picha iliyochorwa... Hakika tayari umeona muundo fulani, yaani:

Kwa mfano, hebu tuone ni nini thamani ya muhula wa th ya maendeleo ya hesabu hii inajumuisha:


Kwa maneno mengine:

Jaribu kupata thamani ya mwanachama wa maendeleo fulani ya hesabu mwenyewe kwa njia hii.

Je, ulihesabu? Linganisha maelezo yako na jibu:

Tafadhali kumbuka kuwa ulipata nambari sawa kabisa na njia ya awali, tulipoongeza masharti ya kuendelea kwa hesabu kwa thamani iliyotangulia.
Hebu jaribu "depersonalize" formula hii- wacha tumlete fomu ya jumla na tunapata:

Mlinganyo wa maendeleo ya hesabu.

Maendeleo ya hesabu yanaweza kuongezeka au kupungua.

Kuongezeka- maendeleo ambapo kila thamani inayofuata ya masharti ni kubwa kuliko ya awali.
Kwa mfano:

Kushuka- maendeleo ambayo kila thamani inayofuata ya masharti ni chini ya ya awali.
Kwa mfano:

Fomula inayotokana hutumika katika kukokotoa maneno katika masharti yanayoongezeka na yanayopungua ya uendelezaji wa hesabu.
Wacha tuangalie hii kwa vitendo.
Tunapewa maendeleo ya hesabu inayojumuisha nambari zifuatazo: Hebu tuangalie nambari ya th ya maendeleo haya ya hesabu itakuwaje ikiwa tutatumia fomula yetu kuikokotoa:


Tangu wakati huo:

Kwa hivyo, tuna hakika kwamba fomula hufanya kazi katika kupungua na kuongeza kasi ya hesabu.
Jaribu kupata masharti ya th na ya th ya maendeleo haya ya hesabu mwenyewe.

Wacha tulinganishe matokeo:

Mali ya maendeleo ya hesabu

Hebu tufanye shida - tutapata mali ya maendeleo ya hesabu.
Wacha tuseme tumepewa hali ifuatayo:
- maendeleo ya hesabu, pata thamani.
Rahisi, unasema na kuanza kuhesabu kulingana na fomula unayojua tayari:

Acha, ah, basi:

Sawa kabisa. Inabadilika kuwa tunapata kwanza, kisha tuiongeze kwa nambari ya kwanza na kupata kile tunachotafuta. Ikiwa maendeleo yanawakilishwa na maadili madogo, basi hakuna chochote ngumu kuhusu hilo, lakini ni nini ikiwa tunapewa namba katika hali hiyo? Kukubaliana, kuna uwezekano wa kufanya makosa katika mahesabu.
Sasa fikiria ikiwa inawezekana kutatua tatizo hili kwa hatua moja kwa kutumia fomula yoyote? Bila shaka ndiyo, na ndivyo tutakavyojaribu kuleta sasa.

Wacha tuonyeshe muda unaohitajika wa maendeleo ya hesabu kama, fomula ya kuipata inajulikana kwetu - hii ndio fomula ile ile tuliyopata mwanzoni:
, Kisha:

  • muda wa awali wa maendeleo ni:
  • muhula unaofuata wa mwendelezo ni:

Wacha tufanye muhtasari wa masharti yaliyotangulia na yanayofuata ya mwendelezo:

Inabadilika kuwa jumla ya masharti ya awali na ya baadaye ya maendeleo ni thamani mbili ya muda wa maendeleo ulio kati yao. Kwa maneno mengine, ili kupata thamani ya muda wa kuendeleza na maadili yanayojulikana ya awali na mfululizo, unahitaji kuwaongeza na kugawanya.

Hiyo ni kweli, tulipata nambari sawa. Hebu salama nyenzo. Kuhesabu thamani ya maendeleo mwenyewe, sio ngumu hata kidogo.

Umefanya vizuri! Unajua karibu kila kitu kuhusu maendeleo! Inabakia kujua formula moja tu, ambayo, kulingana na hadithi, ilitolewa kwa urahisi na mmoja wa wanahisabati wakubwa wa wakati wote, "mfalme wa wanahisabati" - Karl Gauss ...

Carl Gauss alipokuwa na umri wa miaka 9, mwalimu, akiwa na shughuli nyingi kuangalia kazi ya wanafunzi katika madarasa mengine, aliuliza tatizo lifuatalo darasani: “Hesabu hesabu ya yote. nambari za asili kutoka kwa (kulingana na vyanzo vingine hadi) pamoja." Hebu fikiria mshangao wa mwalimu wakati mmoja wa wanafunzi wake (huyu alikuwa Karl Gauss) dakika moja baadaye alitoa jibu sahihi kwa kazi hiyo, wakati wengi wa wanafunzi wa darasa la daredevil, baada ya mahesabu ya muda mrefu, walipokea matokeo mabaya ...

Carl Gauss mchanga aligundua muundo fulani ambao unaweza kugundua kwa urahisi pia.
Wacha tuseme tuna mwendelezo wa hesabu unaojumuisha maneno -th: Tunahitaji kupata jumla ya masharti haya ya maendeleo ya hesabu. Kwa kweli, tunaweza kujumlisha maadili yote kwa mikono, lakini vipi ikiwa kazi inahitaji kupata jumla ya masharti yake, kama Gauss alikuwa akitafuta?

Wacha tuonyeshe maendeleo tuliyopewa. Angalia kwa karibu nambari zilizoangaziwa na ujaribu kufanya shughuli mbali mbali za kihesabu nazo.


Je, umejaribu? Umeona nini? Haki! Jumla yao ni sawa


Sasa niambie, ni jozi ngapi kama hizo kwa jumla katika maendeleo tuliyopewa? Kwa kweli, nusu ya nambari zote, yaani.
Kulingana na ukweli kwamba jumla ya maneno mawili ya maendeleo ya hesabu ni sawa, na jozi zinazofanana ni sawa, tunapata hiyo. Jumla ni sawa na:
.
Kwa hivyo, fomula ya jumla ya masharti ya kwanza ya maendeleo yoyote ya hesabu itakuwa:

Katika shida zingine hatujui muhula wa th, lakini tunajua tofauti ya maendeleo. Jaribu kubadilisha fomula ya neno la th kwenye fomula ya jumla.
Ulipata nini?

Umefanya vizuri! Sasa wacha turudi kwenye shida ambayo Carl Gauss aliuliza: jihesabu mwenyewe jumla ya nambari zinazoanza kutoka th ni sawa na jumla ya nambari zinazoanzia th.

Ulipata kiasi gani?
Gauss aligundua kuwa jumla ya masharti ni sawa, na jumla ya masharti. Je, ndivyo ulivyoamua?

Kwa kweli, formula ya jumla ya masharti ya maendeleo ya hesabu ilithibitishwa na mwanasayansi wa zamani wa Uigiriki Diophantus nyuma katika karne ya 3, na kwa wakati huu wote. watu wajanja ilitumia kikamilifu sifa za maendeleo ya hesabu.
Kwa mfano, fikiria Misri ya Kale na wengi zaidi ujenzi wa kiwango kikubwa wakati huo - ujenzi wa piramidi ... Picha inaonyesha upande mmoja wake.

Maendeleo yapo wapi hapa, unasema? Angalia kwa uangalifu na utafute muundo katika idadi ya vitalu vya mchanga katika kila safu ya ukuta wa piramidi.


Kwa nini sio maendeleo ya hesabu? Kuhesabu ni vitalu ngapi vinahitajika kujenga ukuta mmoja ikiwa matofali ya kuzuia yanawekwa kwenye msingi. Natumai hutahesabu unaposogeza kidole chako kwenye kifuatiliaji, unakumbuka fomula ya mwisho na kila kitu tulichosema kuhusu maendeleo ya hesabu?

KATIKA kwa kesi hii maendeleo inaonekana kama kwa njia ifuatayo: .
Tofauti ya maendeleo ya hesabu.
Idadi ya masharti ya maendeleo ya hesabu.
Wacha tubadilishe data yetu katika fomula za mwisho (hesabu idadi ya vizuizi kwa njia 2).

Mbinu 1.

Mbinu 2.

Na sasa unaweza kuhesabu kwenye mfuatiliaji: kulinganisha maadili yaliyopatikana na idadi ya vitalu vilivyo kwenye piramidi yetu. Nimeelewa? Umefanya vizuri, umefahamu jumla ya masharti ya nth ya maendeleo ya hesabu.
Bila shaka, huwezi kujenga piramidi kutoka kwa vitalu kwenye msingi, lakini kutoka? Jaribu kuhesabu ngapi matofali ya mchanga yanahitajika ili kujenga ukuta na hali hii.
Je, uliweza?
Jibu sahihi ni vitalu:

Mafunzo

Kazi:

  1. Masha anapata sura nzuri kwa majira ya joto. Kila siku yeye huongeza idadi ya squats kwa. Masha atafanya squats mara ngapi kwa wiki ikiwa alifanya squats kwenye kikao cha kwanza cha mafunzo?
  2. Ni jumla gani ya nambari zote zisizo za kawaida zilizomo ndani.
  3. Wakati wa kuhifadhi magogo, wakataji huweka kwa njia ambayo kila moja safu ya juu ina kumbukumbu moja ndogo kuliko ya awali. Ni magogo ngapi katika uashi mmoja, ikiwa msingi wa uashi ni magogo?

Majibu:

  1. Hebu tufafanue vigezo vya maendeleo ya hesabu. Kwa kesi hii
    (wiki = siku).

    Jibu: Katika wiki mbili, Masha anapaswa kufanya squats mara moja kwa siku.

  2. Kwanza nambari isiyo ya kawaida, nambari ya mwisho.
    Tofauti ya maendeleo ya hesabu.
    Idadi ya nambari zisizo za kawaida ndani ni nusu, hata hivyo, hebu tuangalie ukweli huu kwa kutumia fomula ya kupata muhula wa th wa maendeleo ya hesabu:

    Nambari zina nambari zisizo za kawaida.
    Wacha tubadilishe data inayopatikana kwenye fomula:

    Jibu: Jumla ya nambari zote zisizo za kawaida zilizomo ndani ni sawa.

  3. Hebu tukumbuke tatizo kuhusu piramidi. Kwa upande wetu, a , kwa kuwa kila safu ya juu imepunguzwa na logi moja, basi kwa jumla kuna kundi la tabaka, yaani.
    Wacha tubadilishe data kwenye fomula:

    Jibu: Kuna magogo katika uashi.

Hebu tujumuishe

  1. - mlolongo wa nambari ambayo tofauti kati ya nambari zilizo karibu ni sawa na sawa. Inaweza kuongezeka au kupungua.
  2. Kutafuta formula Muda wa th wa maendeleo ya hesabu umeandikwa na formula - , ambapo ni idadi ya nambari katika maendeleo.
  3. Mali ya wanachama wa maendeleo ya hesabu- - iko wapi idadi ya nambari zinazoendelea.
  4. Jumla ya masharti ya maendeleo ya hesabu inaweza kupatikana kwa njia mbili:

    , nambari ya maadili iko wapi.

MAENDELEO YA HESABU. KIWANGO CHA WASTANI

Mlolongo wa nambari

Hebu tukae chini tuanze kuandika baadhi ya namba. Kwa mfano:

Unaweza kuandika nambari zozote, na kunaweza kuwa nyingi kama unavyopenda. Lakini tunaweza kusema kila wakati ni ipi ya kwanza, ni ipi ya pili, na kadhalika, ambayo ni, tunaweza kuhesabu. Huu ni mfano wa mlolongo wa nambari.

Mlolongo wa nambari ni seti ya nambari, ambayo kila moja inaweza kupewa nambari ya kipekee.

Kwa maneno mengine, kila nambari inaweza kuhusishwa na nambari fulani ya asili, na ya kipekee. Na hatutagawa nambari hii kwa nambari nyingine yoyote kutoka kwa seti hii.

Nambari iliyo na nambari inaitwa mwanachama wa th wa mlolongo.

Kwa kawaida tunaita mfuatano mzima kwa herufi fulani (kwa mfano,), na kila mwanachama wa mfuatano huu ni herufi sawa na faharasa sawa na nambari ya mwanachama huyu: .

Ni rahisi sana ikiwa neno la th la mlolongo linaweza kubainishwa na fomula fulani. Kwa mfano, formula

huweka mlolongo:

Na formula ni mlolongo ufuatao:

Kwa mfano, maendeleo ya hesabu ni mlolongo (neno la kwanza hapa ni sawa, na tofauti ni). Au (, tofauti).

fomula ya muhula wa nth

Tunaita fomula inayorudiwa ambayo, ili kujua neno, unahitaji kujua yaliyotangulia au kadhaa yaliyopita:

Ili kupata, kwa mfano, muhula wa th wa kuendelea kwa kutumia fomula hii, itabidi tuhesabu tisa zilizopita. Kwa mfano, basi. Kisha:

Kweli, ni wazi sasa formula ni nini?

Katika kila mstari tunaongeza, kuzidishwa na nambari fulani. Gani? Rahisi sana: hii ndio nambari ya mshiriki wa sasa kutoa:

Inafaa zaidi sasa, sivyo? Tunaangalia:

Amua mwenyewe:

Katika mwendelezo wa hesabu, tafuta fomula ya muhula wa nth na utafute muhula wa mia.

Suluhisho:

Muda wa kwanza ni sawa. Tofauti ni nini? Hapa ni nini:

(Hii ndiyo sababu inaitwa tofauti kwa sababu ni sawa na tofauti ya masharti yanayofuatana ya mwendelezo).

Kwa hivyo, formula:

Kisha neno la mia ni sawa na:

Je, ni jumla gani ya nambari zote asilia kutoka hadi?

Kulingana na hadithi, mwanahisabati mkubwa Karl Gauss, kama mvulana wa miaka 9, alihesabu kiasi hiki kwa dakika chache. Aligundua kuwa jumla ya nambari ya kwanza na ya mwisho ni sawa, jumla ya nambari ya pili na ya mwisho ni sawa, jumla ya ya tatu na ya 3 kutoka mwisho ni sawa, na kadhalika. Je, kuna jozi ngapi kama hizo kwa jumla? Hiyo ni kweli, nusu ya idadi ya nambari zote, yaani. Kwa hiyo,

Fomula ya jumla ya jumla ya masharti ya kwanza ya maendeleo yoyote ya hesabu itakuwa:

Mfano:
Tafuta jumla ya yote nambari za tarakimu mbili, nyingi.

Suluhisho:

Nambari ya kwanza kama hii ni hii. Kila baadae hupatikana kwa kuongeza tarehe iliyopita. Kwa hivyo, nambari ambazo tunavutiwa nazo huunda maendeleo ya hesabu na muhula wa kwanza na tofauti.

Mfumo wa muhula wa maendeleo haya:

Je, kuna maneno mangapi katika mwendelezo ikiwa yote yanapaswa kuwa na tarakimu mbili?

Rahisi sana: .

Muda wa mwisho wa maendeleo utakuwa sawa. Kisha jumla:

Jibu:.

Sasa amua mwenyewe:

  1. Kila siku mwanariadha anaendesha mita zaidi kuliko siku iliyopita. Je, atakimbia kilomita ngapi kwa wiki ikiwa alikimbia km m siku ya kwanza?
  2. Mwendesha baiskeli husafiri kilomita zaidi kila siku kuliko siku iliyotangulia. Siku ya kwanza alisafiri km. Ni siku ngapi anahitaji kusafiri ili kufikia kilomita? Je, atasafiri kilomita ngapi katika siku ya mwisho ya safari yake?
  3. Bei ya jokofu katika duka hupungua kwa kiasi sawa kila mwaka. Tambua ni kiasi gani bei ya jokofu ilipungua kila mwaka ikiwa, kuweka kwa ajili ya kuuza kwa rubles, miaka sita baadaye iliuzwa kwa rubles.

Majibu:

  1. Jambo muhimu zaidi hapa ni kutambua maendeleo ya hesabu na kuamua vigezo vyake. Katika kesi hii, (wiki = siku). Unahitaji kuamua jumla ya masharti ya kwanza ya maendeleo haya:
    .
    Jibu:
  2. Hapa imetolewa:, lazima ipatikane.
    Ni wazi, unahitaji kutumia fomula sawa na katika kazi ya awali:
    .
    Badilisha maadili:

    Mzizi ni wazi haufai, kwa hivyo jibu ni.
    Wacha tuhesabu njia iliyosafirishwa kwa siku ya mwisho kwa kutumia fomula ya neno la th:
    (km).
    Jibu:

  3. Imetolewa:. Tafuta:.
    Haiwezi kuwa rahisi zaidi:
    (sugua).
    Jibu:

MAENDELEO YA HESABU. KWA UFUPI KUHUSU MAMBO MAKUU

Huu ni mlolongo wa nambari ambapo tofauti kati ya nambari zilizo karibu ni sawa na sawa.

Maendeleo ya hesabu yanaweza kuongezeka () na kupungua ().

Kwa mfano:

Mfumo wa kutafuta muhula wa nth wa maendeleo ya hesabu

imeandikwa na formula, ambapo ni idadi ya idadi katika maendeleo.

Mali ya wanachama wa maendeleo ya hesabu

Inakuruhusu kupata kwa urahisi muda wa kuendelea ikiwa masharti ya jirani yake yanajulikana - ambapo ni idadi ya nambari katika mwendelezo.

Jumla ya masharti ya maendeleo ya hesabu

Kuna njia mbili za kupata kiasi:

Idadi ya maadili iko wapi.

Idadi ya maadili iko wapi.


Kwa mfano, mlolongo \(2\); \(5\); \(8\); \(kumi na moja\); \(14\)... ni mwendelezo wa hesabu kwa sababu kila moja kipengele kinachofuata hutofautiana na ile ya awali kwa tatu (inaweza kupatikana kutoka kwa ile ya awali kwa kuongeza tatu):

Katika mwendelezo huu, tofauti \(d\) ni chanya (sawa na \(3\)), na kwa hivyo kila muhula unaofuata ni mkubwa kuliko uliopita. Maendeleo kama haya yanaitwa kuongezeka.

Walakini, \(d\) pia inaweza kuwa nambari hasi. Kwa mfano, katika maendeleo ya hesabu \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... tofauti ya uendelezaji \(d\) ni sawa na minus sita.

Na katika kesi hii, kila kipengele kinachofuata kitakuwa kidogo kuliko kilichotangulia. Maendeleo haya yanaitwa kupungua.

Nukuu ya maendeleo ya hesabu

Maendeleo yanaonyeshwa kwa herufi ndogo ya Kilatini.

Nambari zinazounda mwendelezo huitwa wanachama(au vipengele).

Zinaonyeshwa kwa herufi sawa na maendeleo ya hesabu, lakini kwa faharisi ya nambari sawa na nambari ya kitu kwa mpangilio.

Kwa mfano, maendeleo ya hesabu \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) inajumuisha vipengele \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) na kadhalika.

Kwa maneno mengine, kwa mwendelezo \(a_n = \kushoto\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Kutatua matatizo ya maendeleo ya hesabu

Kimsingi, habari iliyowasilishwa hapo juu tayari inatosha kutatua karibu shida yoyote ya maendeleo ya hesabu (pamoja na zile zinazotolewa katika OGE).

Mfano (OGE). Ukuaji wa hesabu hubainishwa na masharti \(b_1=7; d=4\). Tafuta \(b_5\).
Suluhisho:

Jibu: \(b_5=23\)

Mfano (OGE). Masharti matatu ya kwanza ya mwendelezo wa hesabu yametolewa: \(62; 49; 36…\) Tafuta thamani ya neno hasi la kwanza la mwendelezo huu.
Suluhisho:

Tunapewa vipengele vya kwanza vya mlolongo na tunajua kwamba ni maendeleo ya hesabu. Hiyo ni, kila kipengele hutofautiana na jirani yake kwa idadi sawa. Wacha tujue ni ipi kwa kutoa iliyotangulia kutoka kwa kipengele kinachofuata: \(d=49-62=-13\).

Sasa tunaweza kurejesha uendelezaji wetu kwa kipengele (cha kwanza hasi) tunachohitaji.

Tayari. Unaweza kuandika jibu.

Jibu: \(-3\)

Mfano (OGE). Kwa kuzingatia vipengele kadhaa mfululizo vya maendeleo ya hesabu: \(…5; x; 10; 12.5...\) Tafuta thamani ya kipengele kilichoteuliwa na herufi \(x\).
Suluhisho:


Ili kupata \(x\), tunahitaji kujua ni kiasi gani kipengele kinachofuata kinatofautiana na kilichotangulia, kwa maneno mengine, tofauti ya maendeleo. Hebu tutafute kutoka kwa vipengele viwili vinavyojulikana jirani: \(d=12.5-10=2.5\).

Na sasa tunaweza kupata kile tunachotafuta kwa urahisi: \(x=5+2.5=7.5\).


Tayari. Unaweza kuandika jibu.

Jibu: \(7,5\).

Mfano (OGE). Maendeleo ya hesabu yanatolewa masharti yafuatayo: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Tafuta jumla ya masharti sita ya kwanza ya mwendelezo huu.
Suluhisho:

Tunahitaji kupata jumla ya masharti sita ya kwanza ya mwendelezo. Lakini hatujui maana zao; tumepewa kipengele cha kwanza tu. Kwa hivyo, kwanza tunahesabu maadili moja baada ya nyingine, kwa kutumia kile tulichopewa:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
Na baada ya kuhesabu vipengele sita tunavyohitaji, tunapata jumla yao.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Kiasi kinachohitajika kimepatikana.

Jibu: \(S_6=9\).

Mfano (OGE). Katika maendeleo ya hesabu \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Tafuta tofauti ya mwendelezo huu.
Suluhisho:

Jibu: \(d=7\).

Fomula muhimu za maendeleo ya hesabu

Kama unaweza kuona, shida nyingi juu ya maendeleo ya hesabu zinaweza kutatuliwa kwa kuelewa jambo kuu - kwamba maendeleo ya hesabu ni mlolongo wa nambari, na kila kipengele kinachofuata kwenye mlolongo huu kinapatikana kwa kuongeza nambari sawa kwa ile iliyotangulia ( tofauti ya maendeleo).

Hata hivyo, wakati mwingine kuna hali wakati kuamua "kichwa-juu" ni mbaya sana. Kwa mfano, fikiria kwamba katika mfano wa kwanza kabisa hatuhitaji kupata kipengele cha tano \(b_5\), lakini mia tatu na themanini na sita \(b_(386)\). Je, tuongeze mara nne \(385\)? Au fikiria kuwa katika mfano wa mwisho unahitaji kupata jumla ya vitu sabini na tatu vya kwanza. Utakuwa umechoka kuhesabu ...

Kwa hivyo, katika hali kama hizi hazisuluhishi vitu "kichwa-juu", lakini hutumia fomula maalum zinazotokana na maendeleo ya hesabu. Na kuu ni fomula ya muhula wa nth wa kuendelea na fomula ya jumla ya \(n\) maneno ya kwanza.

Mfumo wa neno \(n\)th: \(a_n=a_1+(n-1)d\), ambapo \(a_1\) ni muhula wa kwanza wa mwendelezo;
\(n\) - nambari ya kipengele kinachohitajika;
\(a_n\) - muda wa kuendelea na nambari \(n\).


Njia hii inaruhusu sisi kupata haraka hata kipengele cha mia tatu au milioni, tukijua tu ya kwanza na tofauti ya maendeleo.

Mfano. Maendeleo ya hesabu yanabainishwa na masharti: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Tafuta \(b_(246)\).
Suluhisho:

Jibu: \(b_(246)=1850\).

Fomula ya jumla ya maneno n ya kwanza: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), ambapo



\(a_n\) - muhtasari wa mwisho;


Mfano (OGE). Mwendelezo wa hesabu hubainishwa na masharti \(a_n=3.4n-0.6\). Tafuta jumla ya masharti ya \(25\) ya kwanza ya mwendelezo huu.
Suluhisho:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)

Ili kuhesabu jumla ya maneno ishirini na tano ya kwanza, tunahitaji kujua thamani ya maneno ya kwanza na ishirini na tano.
Maendeleo yetu yanatolewa na fomula ya neno la nth kulingana na nambari yake (kwa maelezo zaidi, angalia). Hebu tuhesabu kipengele cha kwanza kwa kubadilisha moja kwa \(n\).

\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)

Sasa hebu tutafute muhula wa ishirini na tano kwa kubadilisha ishirini na tano badala ya \(n\).

\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)

Naam, sasa tunaweza kuhesabu kwa urahisi kiasi kinachohitajika.

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\)
\(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)

Jibu liko tayari.

Jibu: \(S_(25)=1090\).

Kwa jumla \(n\) ya maneno ya kwanza, unaweza kupata fomula nyingine: unahitaji tu \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\)\ (\cdot 25\ ) badala ya \(a_n\) badilisha fomula yake \(a_n=a_1+(n-1)d\). Tunapata:

Fomula ya jumla ya maneno n ya kwanza: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), ambapo

\(S_n\) - jumla inayohitajika ya \(n\) vipengele vya kwanza;
\(a_1\) - muhtasari wa kwanza;
\(d\) - tofauti ya maendeleo;
\(n\) - idadi ya vipengele kwa jumla.

Mfano. Pata jumla ya masharti ya kwanza \(33\)-ex ya maendeleo ya hesabu: \(17\); \(15.5\); \(14\)...
Suluhisho:

Jibu: \(S_(33)=-231\).

Matatizo magumu zaidi ya maendeleo ya hesabu

Sasa una kila kitu taarifa muhimu kwa kutatua karibu tatizo lolote la maendeleo ya hesabu. Wacha tumalizie mada kwa kuzingatia shida ambazo hauitaji tu kutumia fomula, lakini pia fikiria kidogo (katika hisabati hii inaweza kuwa muhimu ☺)

Mfano (OGE). Pata jumla ya masharti yote mabaya ya maendeleo: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Suluhisho:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)

Kazi ni sawa na ile iliyopita. Tunaanza kutatua kitu kimoja: kwanza tunapata \(d\).

\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)

Sasa ningependa kubadilisha \(d\) katika fomula ya jumla... na hapa nuance ndogo inaibuka - hatujui \(n\). Kwa maneno mengine, hatujui ni maneno mangapi yatahitaji kuongezwa. Jinsi ya kujua? Hebu fikiria. Tutaacha kuongeza vipengele tutakapofikia kipengele chanya cha kwanza. Hiyo ni, unahitaji kujua idadi ya kipengele hiki. Vipi? Hebu tuandike fomula ya kukokotoa kipengele chochote cha maendeleo ya hesabu: \(a_n=a_1+(n-1)d\) kwa kesi yetu.

\(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)

Tunahitaji \(a_n\) kuwa kubwa kuliko sifuri. Wacha tujue ni nini \(n\) hii itatokea.

\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)

\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)

Tunagawanya pande zote mbili za ukosefu wa usawa kwa \(0.3\).

\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)

Tunahamisha minus moja, bila kusahau kubadilisha ishara

\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)

Hebu tuhesabu...

\(n>65,333…\)

...na inabadilika kuwa kipengele cha kwanza chanya kitakuwa na nambari \(66\). Ipasavyo, hasi ya mwisho ina \(n=65\). Ikiwezekana, wacha tuangalie hii.

\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\)
\(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)

Kwa hivyo tunahitaji kuongeza vitu \(65\) vya kwanza.

\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdoti (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\)
\(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)

Jibu liko tayari.

Jibu: \(S_(65)=-630.5\).

Mfano (OGE). Maendeleo ya hesabu yanabainishwa na masharti: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Pata jumla kutoka \(26\)th hadi \(42\) kipengele kikiwa pamoja.
Suluhisho:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)

Katika tatizo hili unahitaji pia kupata jumla ya vipengele, lakini kuanzia si kutoka kwa kwanza, lakini kutoka \(26\)th. Kwa kesi kama hiyo hatuna fomula. Jinsi ya kuamua?
Ni rahisi - kupata jumla kutoka \(26\)th hadi \(42\)th, lazima kwanza upate jumla kutoka \(1\)th hadi \(42\)th, na kisha utoe. kutoka kwake jumla kutoka kwa kwanza hadi \(25\)th (tazama picha).


Kwa maendeleo yetu \(a_1=-33\), na tofauti \(d=4\) (baada ya yote, tunaongeza nne kwa kipengele kilichotangulia ili kupata kinachofuata). Kujua hili tupate jumla vipengele \(42\)-y vya kwanza.

\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdoti (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdoti 42=\)
\(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)

Sasa jumla ya vipengele \(25\) vya kwanza.

\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdoti (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\)
\(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)

Na hatimaye, tunahesabu jibu.

\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Jibu: \(S=1683\).

Kwa maendeleo ya hesabu, kuna fomula kadhaa zaidi ambazo hatukuzingatia katika nakala hii kwa sababu ya matumizi yao ya chini ya vitendo. Hata hivyo, unaweza kupata yao kwa urahisi.