Dzięki tej usłudze możesz znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji jedna zmienna f(x) z rozwiązaniem sformatowanym w programie Word. Jeżeli podana jest funkcja f(x,y), to należy znaleźć ekstremum funkcji dwóch zmiennych. Można także znaleźć przedziały funkcji rosnących i malejących.
Zasady wprowadzania funkcji:
Warunek konieczny na ekstremum funkcji jednej zmiennej
Równanie f” 0 (x *) = 0 to warunek konieczny ekstremum funkcji jednej zmiennej, tj. w punkcie x * pierwsza pochodna funkcji musi zniknąć. Identyfikuje punkty stacjonarne x c, w których funkcja nie rośnie ani nie maleje.Warunek wystarczający na ekstremum funkcji jednej zmiennej
Niech f 0 (x) będzie dwukrotnie różniczkowalne względem x należącego do zbioru D. Jeżeli w punkcie x* spełniony jest warunek:F” 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
Wtedy punkt x* jest punktem minimum lokalnego (globalnego) funkcji.
Jeżeli w punkcie x* spełniony jest warunek:
F” 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
Wtedy punkt x* jest maksimum lokalnym (globalnym).
Przykład nr 1. Znajdź największe i najmniejsza wartość funkcje: na segmencie .
Rozwiązanie. 
Punkt krytyczny to jeden x 1 = 2 (f’(x)=0). Ten punkt należy do odcinka. (Punkt x=0 nie jest krytyczny, ponieważ 0∉).
Obliczamy wartości funkcji na końcach odcinka i w punkcie krytycznym.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Odpowiedź: f min = 5 / 2 przy x=2; fmax =9 przy x=1
Przykład nr 2. Korzystając z pochodnych wyższego rzędu, znajdź ekstremum funkcji y=x-2sin(x) .
Rozwiązanie.
Znajdź pochodną funkcji: y’=1-2cos(x) . Znajdźmy punkty krytyczne: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Znajdujemy y’’=2sin(x), obliczamy , co oznacza, że x= π / 3 +2πk, k∈Z to punkty minimalne funkcji; 
, co oznacza, że x=- π / 3 +2πk, k∈Z są maksymalnymi punktami funkcji.
Przykład nr 3. Zbadaj funkcję ekstremum w pobliżu punktu x=0.
Rozwiązanie. Tutaj konieczne jest znalezienie ekstremów funkcji. Jeżeli ekstremum x=0, to znajdź jego typ (minimum lub maksimum). Jeżeli wśród znalezionych punktów nie ma x = 0, to oblicz wartość funkcji f(x=0).
Należy zauważyć, że gdy pochodna po każdej stronie danego punktu nie zmienia swojego znaku, to możliwe sytuacje nie wyczerpują się nawet dla funkcji różniczkowalnych: może się zdarzyć, że dla dowolnie małego otoczenia po jednej stronie punktu x 0 lub po obu stronach pochodna zmienia znak. W tych punktach konieczne jest zastosowanie innych metod badania funkcji w ekstremum.
Zobaczmy, jak zbadać funkcję za pomocą wykresu. Okazuje się, że patrząc na wykres możemy dowiedzieć się wszystkiego, co nas interesuje, a mianowicie:
- dziedzina funkcji
- zakres funkcji
- funkcje zerowe
- przedziały wzrostu i spadku
- maksymalna i minimalna liczba punktów
- największa i najmniejsza wartość funkcji w segmencie.
Wyjaśnijmy terminologię:
Odcięta jest poziomą współrzędną punktu.
Rzędna- współrzędna pionowa.
Oś odciętej- oś pozioma, zwana najczęściej osią.
Oś Y - Oś pionowa lub oś.
Argument- zmienna niezależna, od której zależą wartości funkcji. Najczęściej wskazane.
Innymi słowy wybieramy , podstawiamy funkcje do wzoru i otrzymujemy .
Domena funkcje - zbiór tych (i tylko tych) wartości argumentów, dla których funkcja istnieje.
Wskazane przez: lub .
Na naszym rysunku dziedziną definicji funkcji jest odcinek. To na tym odcinku rysowany jest wykres funkcji. Tylko tutaj tę funkcję istnieje.
Zakres funkcji to zbiór wartości, jakie przyjmuje zmienna. Na naszym rysunku jest to segment - od najniższej do najwyższej wartości.
Zera funkcji- punkty, w których wartość funkcji wynosi zero, tj. Na naszym rysunku są to punkty i .
Wartości funkcji są dodatnie Gdzie . Na naszym rysunku są to odstępy i .
Wartości funkcji są ujemne Gdzie . Dla nas jest to przedział (lub przedział) od do .
Kluczowe idee - Funkcja rosnąca i malejąca na jakimś planie. Jako zbiór możesz wziąć odcinek, przedział, sumę przedziałów lub całą oś liczbową.
Funkcjonować wzrasta
Innymi słowy, im więcej, tym bardziej, czyli wykres idzie w prawo i w górę.
Funkcjonować maleje na planie , jeśli w ogóle i , należący do wielu, nierówność implikuje nierówność.
Dla funkcji malejącej wyższa wartość odpowiada mniejszej wartości. Wykres idzie w prawo i w dół.
Na naszym rysunku funkcja rośnie na przedziale i maleje na przedziałach i .
Zdefiniujmy, co to jest punkty maksymalne i minimalne funkcji.
Maksymalny punkt- jest to punkt wewnętrzny dziedziny definicji taki, że wartość funkcji w nim jest większa niż we wszystkich punktach wystarczająco blisko niego.
Innymi słowy, punkt maksymalny to punkt, w którym wartość funkcji więcej niż w sąsiednich. To lokalne „wzgórze” na mapie.
Na naszym rysunku jest punkt maksymalny.
Minimalny punkt- punkt wewnętrzny dziedziny definicji taki, że wartość funkcji w nim jest mniejsza niż we wszystkich punktach dostatecznie blisko niego.
Oznacza to, że punkt minimalny jest taki, że wartość funkcji w nim jest mniejsza niż u sąsiadów. Jest to lokalna „dziura” na wykresie.
Na naszym rysunku jest punkt minimalny.
Rzecz jest granicą. Nie jest to punkt wewnętrzny dziedziny definicji i dlatego nie pasuje do definicji punktu maksymalnego. W końcu nie ma sąsiadów po lewej stronie. W ten sam sposób na naszym wykresie nie może być punktu minimalnego.
Nazywa się punkty maksymalne i minimalne łącznie ekstrema funkcji. W naszym przypadku jest to i .
Co zrobić, jeśli musisz znaleźć np. funkcja minimalna na segmencie? W w tym przypadku odpowiedź: . Ponieważ funkcja minimalna jest jego wartością w punkcie minimalnym.
Podobnie maksimum naszej funkcji wynosi . Osiąga się go w punkcie .
Można powiedzieć, że ekstrema funkcji są równe i .
Czasami problemy wymagają znalezienia największe i najmniejsze wartości funkcji NA dany segment. Niekoniecznie pokrywają się one ze skrajnościami.
W naszym przypadku najmniejsza wartość funkcji na odcinku jest równa i pokrywa się z minimum funkcji. Ale jego największa wartość w tym segmencie jest równa . Dochodzi do lewego końca segmentu.
W każdym razie największe i najmniejsze wartości funkcja ciągła na segmencie osiąga się albo w punktach ekstremalnych, albo na końcach segmentu.
Niech funkcja y =F(X) jest ciągła na przedziale [ a, b] Jak wiadomo, taka funkcja osiąga w tym segmencie swoje wartości maksymalne i minimalne. Funkcja może również przyjmować te wartości punkt wewnętrzny człon [ a, b] lub na granicy segmentu.
Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w segmencie [ a, b] niezbędny:
1) znajdź punkty krytyczne funkcji w przedziale ( a, b);
2) obliczyć wartości funkcji w znalezionych punktach krytycznych;
3) obliczyć wartości funkcji na końcach segmentu, czyli kiedy X=A i x = B;
4) ze wszystkich obliczonych wartości funkcji wybierz największą i najmniejszą.
Przykład. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji
na segmencie.
Znajdowanie punktów krytycznych:
Punkty te leżą wewnątrz odcinka; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
w tym punkcie X= 3 i w punkcie X= 0.
Badanie funkcji wypukłości i punktu przegięcia.
Funkcjonować y = F (X) zwany wypukły pomiędzy (A, B) , jeśli jego wykres leży pod styczną narysowaną w dowolnym punkcie tego przedziału, i nazywa się wypukły w dół (wklęsły), jeśli jego wykres leży powyżej stycznej.
Nazywa się punkt, w którym wypukłość zostaje zastąpiona wklęsłością lub odwrotnie punkt przegięcia.
Algorytm badania wypukłości i punktu przegięcia:
1. Znajdź punkty krytyczne drugiego rodzaju, czyli takie, w których druga pochodna jest równa zeru lub nie istnieje.
2. Narysuj punkty krytyczne na osi liczbowej, dzieląc je na przedziały. Znajdź znak drugiej pochodnej w każdym przedziale; jeśli , to funkcja jest wypukła w górę, jeśli, to funkcja jest wypukła w dół.
3. Jeżeli przy przejściu przez punkt krytyczny drugiego rodzaju znak się zmieni i w tym momencie druga pochodna będzie równa zero, to punkt ten będzie odciętą punktu przegięcia. Znajdź jego rzędną.
Asymptoty wykresu funkcji. Badanie funkcji dla asymptot.
Definicja. Nazywa się asymptotą wykresu funkcji prosty, który ma tę właściwość, że odległość od dowolnego punktu na wykresie do tej linii dąży do zera, gdy punkt na wykresie porusza się w nieskończoność od początku.
Istnieją trzy rodzaje asymptot: pionowe, poziome i nachylone.
Definicja. Linia prosta nazywa się pionowa asymptota grafika funkcyjna y = f(x), jeśli przynajmniej jedna z jednostronnych granic funkcji w tym punkcie jest równa nieskończoności, czyli
gdzie jest punktem nieciągłości funkcji, czyli nie należy ona do dziedziny definicji.
Przykład.
D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
X= 2 – punkt przerwania.
Definicja. Prosty y =A zwany asymptota pozioma grafika funkcyjna y = f(x) o, jeśli
Przykład.
|
X | |||
|
y |
Definicja. Prosty y =kx +B (k≠ 0) nazywa się asymptota ukośna grafika funkcyjna y = f(x) o, gdzie
Ogólny schemat badania funkcji i konstruowania wykresów.
Algorytm badania funkcjiy = f(x) :
1. Znajdź dziedzinę funkcji D (y).
2. Znajdź (jeśli to możliwe) punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych (jeśli X= 0 i przy y = 0).
3. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji ( y (‒ X) = y (X) ‒ parytet; y(‒ X) = ‒ y (X) ‒ dziwne).
4. Znajdź asymptoty wykresu funkcji.
5. Znajdź przedziały monotoniczności funkcji.
6. Znajdź ekstrema funkcji.
7. Znajdź przedziały wypukłości (wklęsłości) i punkty przegięcia wykresu funkcji.
8. Na podstawie przeprowadzonych badań skonstruuj wykres funkcji.
Przykład. Zbadaj funkcję i skonstruuj jej wykres.
1) D (y) =
X= 4 – punkt przerwania.
2) Kiedy X = 0,
(0; ‒ 5) – punkt przecięcia z Oh.
Na y = 0,
3)
y(‒
X)=
funkcjonować ogólna perspektywa(ani parzyste, ani nieparzyste).
4) Sprawdzamy asymptoty.
a) pionowe
b) poziome
c) znajdź asymptoty ukośne gdzie
– równanie asymptoty ukośnej
5) B dane równanie nie ma potrzeby znajdowania przedziałów monotoniczności funkcji.
6)
Te punkty krytyczne dzielą całą dziedzinę definicji funkcji na przedział (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) i (10; +∞). Otrzymane wyniki wygodnie jest przedstawić w formie poniższej tabeli.
Proces poszukiwania najmniejszych i największych wartości funkcji na odcinku przypomina fascynujący lot helikopterem wokół obiektu (wykresu funkcji), strzelanie w określone punkty z armaty dalekiego zasięgu i wybieranie bardzo specjalne punkty z tych punktów za strzały kontrolne. Punkty dobierane są w określony sposób i wg pewne zasady. Według jakich zasad? Porozmawiamy o tym dalej.
Jeśli funkcja y = F(X) jest ciągła na przedziale [ A, B] , wówczas dociera do tego segmentu najmniej I najwyższe wartości . Może się to zdarzyć zarówno w punkty ekstremalne lub na końcach segmentu. Dlatego znaleźć najmniej I największe wartości funkcji , ciągły na przedziale [ A, B], musisz w sumie obliczyć jego wartości punkt krytyczny i na końcach odcinka, a następnie wybierz z nich najmniejszy i największy.
Niech na przykład musisz określić najwyższa wartość Funkcje F(X) w segmencie [ A, B] . Aby to zrobić, musisz znaleźć wszystkie jego punkty krytyczne leżące na [ A, B] .
Punkt krytyczny zwany punktem, w którym zdefiniowana funkcja, i jej pochodna albo równa zeru, albo nie istnieje. Następnie należy obliczyć wartości funkcji w punktach krytycznych. I na koniec należy porównać wartości funkcji w punktach krytycznych i na końcach odcinka ( F(A) I F(B)). Największa z tych liczb będzie największa wartość funkcji w segmencie [A, B] .
Problemy ze znalezieniem najmniejsze wartości funkcji .
Szukamy wspólnie najmniejszych i największych wartości funkcji
Przykład 1. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji 
na segmencie [-1, 2]
.
Rozwiązanie. Znajdź pochodną tej funkcji. Przyrównajmy pochodną do zera () i uzyskajmy dwa punkty krytyczne: i . Aby znaleźć najmniejsze i największe wartości funkcji na danym odcinku, wystarczy obliczyć jej wartości na końcach odcinka i w punkcie, ponieważ punkt nie należy do odcinka [-1, 2]. Te wartości funkcji to: , , . Wynika, że najmniejsza wartość funkcji(zaznaczone na czerwono na poniższym wykresie), równe -7, osiąga się na prawym końcu odcinka – w punkcie , oraz największy(na wykresie również czerwony) wynosi 9, - w punkcie krytycznym.
Jeżeli funkcja jest ciągła w pewnym przedziale i przedział ten nie jest segmentem (ale jest np. przedziałem; różnica między przedziałem a odcinkiem: punkty graniczne przedziału nie są wliczane do przedziału, ale punkty graniczne odcinka wchodzą w skład odcinka), to wśród wartości funkcji może nie być najmniejszej i największej. Zatem np. funkcja pokazana na poniższym rysunku jest ciągła w zakresie ]-∞, +∞[ i nie ma największej wartości.
Jednakże dla dowolnego przedziału (zamkniętego, otwartego lub nieskończonego) prawdziwa jest następująca właściwość funkcji ciągłych.
Przykład 4. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji na segmencie [-1, 3] .
Rozwiązanie. Pochodną tej funkcji znajdujemy jako pochodną ilorazu:
.
Przyrównujemy pochodną do zera, co daje nam jeden punkt krytyczny: . Należy do segmentu [-1, 3] . Aby znaleźć najmniejsze i największe wartości funkcji na danym odcinku, znajdujemy jej wartości na końcach odcinka oraz w znalezionym punkcie krytycznym:
Porównajmy te wartości. Wniosek: równy -5/13, w punkcie i najwyższa wartość równy 1 w punkcie .
Nadal wspólnie szukamy najmniejszych i największych wartości funkcji
Są nauczyciele, którzy na temat znajdowania najmniejszych i największych wartości funkcji nie dają uczniom do rozwiązania przykładów bardziej złożonych niż te właśnie omówione, czyli takich, w których funkcja jest wielomianem lub ułamek, którego licznik i mianownik są wielomianami. Ale nie będziemy ograniczać się do takich przykładów, ponieważ wśród nauczycieli są tacy, którzy lubią zmuszać uczniów do pełnego myślenia (tabela derywatów). Dlatego użyte zostaną logarytm i funkcja trygonometryczna.
Przykład 6. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji na segmencie .
Rozwiązanie. Znajdujemy pochodną tej funkcji jako pochodna produktu :
Przyrównujemy pochodną do zera, co daje jeden punkt krytyczny: . Należy do segmentu. Aby znaleźć najmniejsze i największe wartości funkcji na danym odcinku, znajdujemy jej wartości na końcach odcinka oraz w znalezionym punkcie krytycznym:
Wynik wszystkich działań: funkcja osiąga wartość minimalną, równy 0, w punkcie i w punkcie i najwyższa wartość, równy mi², w punkcie.
Przykład 7. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji 
na segmencie .
Rozwiązanie. Znajdź pochodną tej funkcji:
Przyrównujemy pochodną do zera:
Jedyny punkt krytyczny należy do segmentu. Aby znaleźć najmniejsze i największe wartości funkcji na danym odcinku, znajdujemy jej wartości na końcach odcinka oraz w znalezionym punkcie krytycznym:
Wniosek: funkcja osiąga wartość minimalną, równe , w punkcie i najwyższa wartość, równy , w punkcie .
W stosowanych problemach ekstremalnych znalezienie najmniejszych (maksymalnych) wartości funkcji z reguły sprowadza się do znalezienia minimum (maksimum). Jednak to nie same minima i maksima są bardziej interesujące w praktyce, ale wartości argumentu, przy których są one osiągane. Pojawia się przy rozwiązywaniu stosowanych problemów dodatkowa trudność- kompilacja funkcji opisujących rozpatrywane zjawisko lub proces.
Przykład 8. Zbiornik o pojemności 4, mający kształt równoległościanu podstawa kwadratowa i otwórz u góry, musisz wyłowić cyną. Jakie wymiary powinien mieć zbiornik, aby go zakryć? najmniejsza ilość materiał?
Rozwiązanie. Pozwalać X- strona podstawy, H- wysokość zbiornika, S- jego powierzchnia bez osłony, V- jego objętość. Powierzchnię zbiornika wyraża się wzorem tj. jest funkcją dwóch zmiennych. Wyrazić S jako funkcję jednej zmiennej używamy faktu, że , skąd . Podstawianie znalezionego wyrażenia H do wzoru na S:
Zbadajmy tę funkcję aż do jej ekstremum. Jest zdefiniowany i różniczkowalny wszędzie w ]0, +∞[ i
.
Przyrównujemy pochodną do zera () i znajdujemy punkt krytyczny. Dodatkowo, gdy pochodna nie istnieje, ale wartość ta nie wchodzi w zakres definicji i dlatego nie może być punktem ekstremalnym. Jest to więc jedyny krytyczny punkt. Sprawdźmy to pod kątem obecności ekstremum, korzystając z drugiego znaku wystarczającego. Znajdźmy drugą pochodną. Gdy druga pochodna jest większa od zera (). Oznacza to, że gdy funkcja osiągnie minimum 
. Od tego minimum jest jedynym ekstremum tej funkcji, jest to jej najmniejsza wartość. Zatem bok podstawy zbiornika powinien wynosić 2 m, a jego wysokość powinna wynosić .
Przykład 9. Z punktu A zlokalizowanej na linii kolejowej, do p Z, położony w pewnej odległości od niego l, ładunek musi zostać przetransportowany. Koszt transportu jednostki masy na jednostkę odległości koleją jest równy , a autostradą równy . Do jakiego momentu M linie kolej żelazna należy zbudować autostradę, z której będzie można transportować ładunki A V Z był najbardziej ekonomiczny (sekcja AB zakłada się, że linia kolejowa jest prosta)?
Badanie takiego obiektu Analiza matematyczna jako funkcja jest świetna oznaczający oraz w innych dziedzinach nauki. Na przykład w analiza ekonomiczna zachowanie wymaga ciągłej oceny Funkcje zysku, a mianowicie ustalenia jego największego oznaczający i opracować strategię jego osiągnięcia.
Instrukcje
Badanie każdego zachowania powinno zawsze rozpoczynać się od poszukiwania dziedziny definicji. Zwykle według stanu Szczególnym zadaniem konieczne jest określenie największego oznaczający Funkcje albo na całym tym obszarze, albo na określonym jego odcinku z otwartymi lub zamkniętymi granicami.
Na podstawie , największy jest oznaczający Funkcje y(x0), w którym dla dowolnego punktu dziedziny definicji zachodzi nierówność y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0). Graficznie punkt ten będzie najwyższy, jeżeli wartości argumentów umieścimy na osi odciętych, a samą funkcję na osi rzędnych.
Aby określić największego oznaczający Funkcje, postępuj zgodnie z trzyetapowym algorytmem. Pamiętaj, że musisz umieć pracować z jednostronnymi i , a także obliczać pochodną. Niech więc zostanie podana pewna funkcja y(x) i trzeba znaleźć jej największą oznaczający w pewnym przedziale z wartościami granicznymi A i B.
Dowiedz się, czy ten przedział mieści się w zakresie definicji Funkcje. Aby to zrobić, musisz go znaleźć, biorąc pod uwagę wszystkie możliwe ograniczenia: obecność ułamka w wyrażeniu, pierwiastek kwadratowy itp. Dziedziną definicji jest zbiór wartości argumentów, dla których funkcja ma sens. Określić, czy dany interwał jego podzbiór. Jeśli tak, przejdź do Następny etap.
Znajdź pochodną Funkcje i rozwiąż powstałe równanie, przyrównując pochodną do zera. W ten sposób uzyskasz wartości tzw punkty stacjonarne. Oceń, czy przynajmniej jeden z nich należy do przedziału A, B.
Na trzecim etapie rozważ te punkty i podstaw ich wartości do funkcji. W zależności od typu interwału wykonaj następujące dodatkowe kroki. Jeśli istnieje odcinek postaci [A, B], punkty graniczne są zawarte w przedziale; jest to zaznaczone w nawiasach. Oblicz wartości Funkcje dla x = A i x = B. Jeśli przerwa otwarta(A, B), wartości graniczne są przebijane, tj. nie są w nim uwzględnione. Rozwiąż jednostronne granice dla x → A i x → B. Złożony przedział postaci [A, B) lub (A, B), którego jedna granica do niego należy, a druga nie. Znajdź granicę jednostronną, gdy x dąży do wartości przebitej, i podstaw drugą funkcja. Nieskończony dwustronny przedział (-∞, +∞) lub jednostronny nieskończony przedział postaci: , (-∞, B). Dla granic rzeczywistych A i B postępuj zgodnie z już opisanymi zasadami oraz dla nieskończonych, poszukaj granic odpowiednio dla x → - ∞ i x → + ∞.
Zadanie na tym etapie