Ułamki. Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

Na ostatniej lekcji nauczyliśmy się dodawać i odejmować ułamki dziesiętne (patrz lekcja „Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych”). Jednocześnie oceniliśmy, jak bardzo uproszczono obliczenia w porównaniu do zwykłych ułamków „dwupiętrowych”.

Niestety efekt ten nie występuje w przypadku mnożenia i dzielenia ułamków dziesiętnych. W niektórych przypadkach zapis dziesiętny nawet komplikuje te operacje.

Najpierw wprowadźmy nową definicję. Będziemy go widywać dość często, i to nie tylko na tej lekcji.

Znaczącą częścią liczby jest wszystko pomiędzy pierwszą i ostatnią cyfrą niezerową, łącznie z końcami. To jest o tylko w przypadku liczb, przecinek dziesiętny nie jest brany pod uwagę.

Liczby zawarte w znacząca część liczby nazywane są cyframi znaczącymi. Mogą się powtarzać, a nawet być równe zeru.

Rozważmy na przykład kilka ułamków dziesiętnych i zapisz odpowiednie części znaczące:

  1. 91,25 → 9125 (cyfry znaczące: 9; 1; 2; 5);
  2. 0,008241 → 8241 (cyfry znaczące: 8; 2; 4; 1);
  3. 15,0075 → 150075 (cyfry znaczące: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
  4. 0,0304 → 304 (cyfry znaczące: 3; 0; 4);
  5. 3000 → 3 (znacząca postać tylko jeden: 3).

Uwaga: zera w znacznej części liczby nigdzie nie idą. Z czymś podobnym spotkaliśmy się już, gdy uczyliśmy się konwertować ułamki dziesiętne na zwykłe (patrz lekcja „Dziesiętne”).

Ten punkt jest na tyle ważny, a błędy popełniane są tu tak często, że w najbliższej przyszłości opublikuję test na ten temat. Koniecznie ćwicz! A my, uzbrojeni w koncepcję znaczącej części, faktycznie przejdziemy do tematu lekcji.

Mnożenie ułamków dziesiętnych

Operacja mnożenia składa się z trzech kolejnych kroków:

  1. Dla każdego ułamka zapisz część znaczącą. Otrzymasz dwie zwykłe liczby całkowite - bez mianowników i kropek dziesiętnych;
  2. Pomnóż te liczby w dowolny dogodny sposób. Bezpośrednio, jeśli liczby są małe, lub w kolumnie. Otrzymujemy znaczną część pożądanej frakcji;
  3. Dowiedz się, gdzie i o ile cyfr przesunięto przecinek dziesiętny w ułamkach pierwotnych, aby uzyskać odpowiednią część znaczącą. Wykonaj przesunięcia wsteczne dla znacznej części uzyskanej w poprzednim kroku.

Jeszcze raz przypomnę, że zera po bokach części znaczącej nigdy nie są brane pod uwagę. Ignorowanie tej zasady prowadzi do błędów.

  1. 0,28 12,5;
  2. 6,3 · 1,08;
  3. 132,5 · 0,0034;
  4. 0,0108 1600,5;
  5. 5,25 · 10 000.

Pracujemy z pierwszym wyrażeniem: 0,28 · 12,5.

  1. Zapiszmy części znaczące liczb z tego wyrażenia: 28 i 125;
  2. Ich iloczyn: 28 · 125 = 3500;
  3. W pierwszym czynniku przecinek przesuwa się o 2 cyfry w prawo (0,28 → 28), a w drugim o 1 cyfrę więcej. W sumie potrzebujesz przesunięcia w lewo o trzy cyfry: 3500 → 3500 = 3,5.

Przyjrzyjmy się teraz wyrażeniu 6,3 · 1,08.

  1. Zapiszmy istotne części: 63 i 108;
  2. Ich iloczyn: 63 · 108 = 6804;
  3. Znów dwa przesunięcia w prawo: odpowiednio o 2 i 1 cyfrę. Razem - znowu 3 cyfry w prawo, więc odwrotne przesunięcie będzie wynosić 3 cyfry w lewo: 6804 → 6,804. Tym razem nie ma końcowych zer.

Dotarliśmy do trzeciego wyrażenia: 132,5 · 0,0034.

  1. Istotne części: 1325 i 34;
  2. Ich iloczyn: 1325 · 34 = 45 050;
  3. W pierwszym ułamku przecinek przesuwa się w prawo o 1 cyfrę, a w drugim aż o 4. Razem: 5 w prawo. Przesuwamy o 5 w lewo: 45 050 → .45050 = 0,4505. Zero usunięto na końcu i dodano z przodu, tak aby nie pozostawić „gołego” przecinka dziesiętnego.

Następujące wyrażenie to: 0,0108 · 1600,5.

  1. Zapisujemy istotne części: 108 i 16 005;
  2. Mnożymy je: 108 · 16 005 = 1 728 540;
  3. Liczby liczymy po przecinku: w pierwszej liczbie jest 4, w drugiej 1. Suma znowu wynosi 5. Mamy: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. Na koniec usunięto „dodatkowe” zero.

Wreszcie, ostatnie wyrażenie: 5,25 · 10 000.

  1. Istotne części: 525 i 1;
  2. Mnożymy je: 525 · 1 = 525;
  3. Pierwszy ułamek jest przesunięty o 2 cyfry w prawo, a drugi ułamek o 4 cyfry w lewo (10 000 → 1,0000 = 1). Razem 4 - 2 = 2 cyfry w lewo. Wykonujemy przesunięcie odwrotne o 2 cyfry w prawo: 525, → 52 500 (trzeba było dodać zera).

Zwróć uwagę na ostatni przykład: Ponieważ przecinek dziesiętny porusza się w różnych kierunkach, całkowite przesunięcie oblicza się poprzez różnicę. To jest bardzo ważny punkt! Oto kolejny przykład:

Rozważmy liczby 1,5 i 12 500. Mamy: 1,5 → 15 (przesunięcie o 1 w prawo); 12500 → 125 (przesunięcie 2 w lewo). „Kroczymy” 1 cyfrę w prawo, a następnie 2 w lewo. W rezultacie przesunęliśmy się o 2 - 1 = 1 cyfrę w lewo.

Dzielenie dziesiętne

Podział jest chyba najtrudniejszą operacją. Oczywiście tutaj możesz postępować analogicznie do mnożenia: podziel znaczące części, a następnie „przesuń” przecinek dziesiętny. Ale w tym przypadku istnieje wiele subtelności, które negują potencjalne oszczędności.

Przyjrzyjmy się zatem algorytmowi uniwersalnemu, który jest nieco dłuższy, ale znacznie bardziej niezawodny:

  1. Zamień wszystkie ułamki dziesiętne na zwykłe. Przy odrobinie praktyki ten krok zajmie Ci kilka sekund;
  2. Otrzymane ułamki podziel w klasyczny sposób. Innymi słowy, pomnóż pierwszy ułamek przez „odwróconą” sekundę (patrz lekcja „Mnożenie i dzielenie ułamków liczbowych”);
  3. Jeśli to możliwe, przedstaw wynik jeszcze raz w formularzu dziesiętny. Ten krok jest również szybki, ponieważ mianownik jest często już potęgą dziesięciu.

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

  1. 3,51: 3,9;
  2. 1,47: 2,1;
  3. 6,4: 25,6:
  4. 0,0425: 2,5;
  5. 0,25: 0,002.

Rozważmy pierwsze wyrażenie. Najpierw zamieńmy ułamki zwykłe na dziesiętne:

Zróbmy to samo z drugim wyrażeniem. Licznik pierwszego ułamka zostanie ponownie rozłożony na czynniki:

W trzecim i czwartym przykładzie jest ważny punkt: po pozbyciu się Notacja dziesiętna powstają frakcje podlegające redukcji. Nie będziemy jednak przeprowadzać tej redukcji.

Ostatni przykład jest interesujący, ponieważ licznik drugiego ułamka zawiera liczbę pierwszą. Po prostu nie ma tu nic do rozłożenia na czynniki, więc rozważymy to od razu:

Czasami dzielenie daje liczbę całkowitą (mówię o ostatnim przykładzie). W tym przypadku trzeci krok w ogóle nie jest wykonywany.

Ponadto podczas dzielenia często powstają „brzydkie” ułamki, których nie można zamienić na ułamki dziesiętne. To odróżnia dzielenie od mnożenia, gdzie wyniki są zawsze przedstawiane w postaci dziesiętnej. Oczywiście w tym przypadku ostatni krok ponownie nie jest wykonywany.

Zwróć także uwagę na przykłady 3 i 4. W nich nie skracamy celowo zwykłe ułamki, wyprowadzane z ułamków dziesiętnych. W przeciwnym razie będzie to skomplikowane problem odwrotny- ponowne przedstawienie ostatecznej odpowiedzi w postaci dziesiętnej.

Pamiętaj: podstawowa właściwość ułamka (jak każdej innej zasady matematycznej) sama w sobie nie oznacza, że ​​należy go stosować wszędzie i zawsze, przy każdej okazji.

Czysta matematyka jest na swój sposób poezją idei logicznej. Alberta Einsteina

W tym artykule oferujemy wybór prostych technik matematycznych, z których wiele jest bardzo przydatnych w życiu i pozwala szybciej liczyć.

1. Szybkie naliczanie odsetek

Być może w dobie pożyczek i planów ratalnych najistotniejszą umiejętnością matematyczną można nazwać mistrzowskie obliczanie odsetek w umyśle. Najbardziej w szybki sposób Oblicz pewien procent z liczby jest mnożenie dany procent przez tę liczbę, a następnie odrzucić dwie ostatnie cyfry wyniku, ponieważ procent to nic więcej niż jedna setna.

Ile to jest 20% z 70? 70 × 20 = 1400. Odrzucamy dwie cyfry i otrzymujemy 14. Przy zmianie układu czynników iloczyn się nie zmienia, a jeśli spróbujesz obliczyć 70% z 20, odpowiedzią będzie również 14.

Metoda ta jest bardzo prosta w przypadku liczb okrągłych, co jednak w przypadku konieczności obliczenia np. procentu liczby 72 lub 29? W takiej sytuacji będziesz musiał poświęcić dokładność na rzecz szybkości i zaokrąglenia liczby (w naszym przykładzie 72 zaokrągla się do 70, a 29 do 30), a następnie zastosuj tę samą technikę przy mnożeniu i odrzucaniu dwóch ostatnich cyfry.

2. Szybkie sprawdzenie podzielności

Czy można równo podzielić 408 cukierków pomiędzy 12 dzieci? Jeśli pamiętasz, łatwo jest odpowiedzieć na to pytanie bez pomocy kalkulatora proste znaki podzielność, której uczono nas w szkole.

  • Liczba jest podzielna przez 2, jeśli jej ostatnia cyfra jest podzielna przez 2.
  • Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma cyfr tworzących tę liczbę jest podzielna przez 3. Weźmy na przykład liczbę 501 i wyobraźmy ją sobie jako 5 + 0 + 1 = 6. 6 dzieli się przez 3, co oznacza, że ​​liczba sama liczba 501 jest podzielna przez 3.
  • Liczba jest podzielna przez 4, jeśli liczba utworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna przez 4. Weźmy na przykład 2340. Dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 40, która jest podzielna przez 4.
  • Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5.
  • Liczba jest podzielna przez 6, jeśli dzieli się przez 2 i 3.
  • Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma cyfr tworzących tę liczbę jest podzielna przez 9. Weźmy na przykład liczbę 6 390 i wyobraźmy ją sobie jako 6 + 3 + 9 + 0 = 18. 18 dzieli się przez 9, co oznacza, że ​​sama liczba wynosi 6 390 i jest podzielna przez 9.
  • Liczba jest podzielna przez 12, jeśli dzieli się przez 3 i 4.

3. Szybkie obliczanie pierwiastka kwadratowego

Pierwiastek kwadratowy z 4 wynosi 2. Każdy może to obliczyć. A co z pierwiastkiem kwadratowym z 85?

Aby uzyskać szybkie przybliżone rozwiązanie, znajdujemy rozwiązanie najbliższe podanemu liczba kwadratowa, V w tym przypadku to jest 81 = 9^2.

Teraz znajdujemy następny najbliższy kwadrat. W tym przypadku jest to 100 = 10^2.

Pierwiastek kwadratowy z 85 znajduje się gdzieś pomiędzy 9 a 10, a ponieważ 85 jest bliżej 81 niż 100, to Pierwiastek kwadratowy ta liczba będzie wynosić 9-coś.

4. Szybkie obliczenie czasu, po którym wpłata gotówkowa o określonej wartości procentowej ulegnie podwojeniu

Chcesz szybko dowiedzieć się ile czasu zajmie Twojemu depozyt pieniężny podwoić przy określonej stopie procentowej? Tutaj też nie potrzebujesz kalkulatora, wystarczy znać „zasadę 72”.

Dzielimy liczbę 72 przez naszą stopę procentową, po czym otrzymujemy Przybliżony czas, dzięki czemu wkład zostanie podwojony.

Jeśli inwestycja będzie dokonywana na poziomie 5% rocznie, jej podwojenie zajmie nieco ponad 14 lat.

Dlaczego dokładnie 72 (czasami biorą 70 lub 69)? Jak to działa? Wikipedia szczegółowo odpowie na te pytania.

5. Szybkie obliczenie czasu, po którym wpłata gotówkowa o określonym procencie ulegnie potrojeniu

W takim przypadku oprocentowanie lokaty powinno stać się dzielnikiem liczby 115.

Jeśli inwestycja będzie dokonywana na poziomie 5% rocznie, jej potrojenie zajmie 23 lata.

6. Szybko oblicz stawkę godzinową

Wyobraź sobie, że uczestniczysz w rozmowie kwalifikacyjnej z dwoma pracodawcami, którzy nie podają wynagrodzenia w zwykłym formacie „rubli miesięcznie”, ale mówią o rocznych wynagrodzeniach i Stawka godzinowa. Jak szybko obliczyć, gdzie płacą więcej? Gdzie roczna pensja wynosi 360 000 rubli, czy gdzie płacą 200 rubli za godzinę?

Aby obliczyć wynagrodzenie za godzinę pracy przy ogłaszaniu rocznego wynagrodzenia, należy odrzucić trzy ostatnie cyfry podanej kwoty, a następnie podzielić uzyskaną liczbę przez 2.

360 000 zamienia się na 360 ÷ 2 = 180 rubli za godzinę. Inne niż to równe warunki Okazuje się, że druga propozycja jest lepsza.

7. Zaawansowana matematyka na palcach

Twoje palce potrafią znacznie więcej niż tylko proste dodawanie i odejmowanie.

Używając palców, możesz łatwo pomnożyć przez 9, jeśli nagle zapomnisz tabliczkę mnożenia.

Ponumerujmy palce od lewej do prawej od 1 do 10.

Jeśli chcemy pomnożyć 9 przez 5, to zginamy piąty palec w lewo.

Teraz spójrzmy na ręce. Okazuje się, że cztery niezgięte palce są przed zgiętym. Reprezentują dziesiątki. I pięć niezgiętych palców po zgiętym. Reprezentują jednostki. Odpowiedź: 45.

Jeśli chcemy pomnożyć 9 przez 6, to zginamy szósty palec w lewo. Dostajemy pięć niezgiętych palców przed zgiętym palcem i cztery po. Odpowiedź: 54.

W ten sposób możesz odtworzyć całą kolumnę mnożenia przez 9.

8. Szybko pomnóż przez 4

Jest niezwykle łatwy sposób nawet błyskawiczne mnożenie duże liczby przez 4. Aby to zrobić, wystarczy rozłożyć operację na dwie akcje, mnożąc żądaną liczbę przez 2, a następnie ponownie przez 2.

Sam zobacz. Nie każdy potrafi w głowie pomnożyć 1223 przez 4. Teraz robimy 1223 × 2 = 2446, a następnie 2446 × 2 = 4892. Jest to znacznie prostsze.

9. Szybko określ wymagane minimum

Wyobraź sobie, że przystępujesz do serii pięciu testów, aby... pomyślne którego potrzebujesz minimalny wynik 92. Pozostaje ostatni test, a poprzednie wyniki są następujące: 81, 98, 90, 93. Jak obliczyć wymagane minimum, które należy uzyskać w ostatnim teście?

W tym celu liczymy, ile punktów straciliśmy/przewyższyliśmy w testach, które już zdaliśmy, co wskazuje na niedobór liczby ujemne i wyniki są więcej niż pozytywne.

Zatem 81 - 92 = -11; 98 - 92 = 6; 90 - 92 = -2; 93 - 92 = 1.

Dodając te liczby, otrzymujemy dostosowanie do wymaganego minimum: −11 + 6 − 2 + 1 = −6.

Efektem jest deficyt 6 punktów, co oznacza, że ​​wymagane minimum wzrasta: 92 + 6 = 98. Jest źle. :(

10. Szybko przedstaw wartość ułamka

Przybliżona wartość ułamek wspólny można bardzo szybko przedstawić jako ułamek dziesiętny, jeśli najpierw sprowadzisz go do prostych i zrozumiałych proporcji: 1/4, 1/3, 1/2 i 3/4.

Na przykład mamy ułamek 28/77, który jest bardzo blisko 28/84 = 1/3, ale ponieważ zwiększyliśmy mianownik, pierwotna liczba będzie nieco większa, to znaczy nieco większa niż 0,33.

11. Sztuczka ze zgadywaniem liczb

Możesz wcielić się w małego Davida Blaine'a i zaskoczyć znajomych ciekawą, ale bardzo prostą sztuczką matematyczną.

  1. Poproś znajomego, aby odgadł dowolną liczbę całkowitą.
  2. Niech pomnoży to przez 2.
  3. Następnie do otrzymanej liczby doda 9.
  4. Teraz pozwól mu odjąć 3 od wynikowej liczby.
  5. Teraz niech podzieli wynikową liczbę na pół (w każdym razie zostanie ona podzielona bez reszty).
  6. Na koniec poproś go, aby odjął od otrzymanej liczby liczbę, którą odgadł na początku.

Odpowiedź zawsze będzie wynosić 3.

Tak, to bardzo głupie, ale często efekt przekracza wszelkie oczekiwania.

Premia

I oczywiście nie mogliśmy się powstrzymać, aby nie dodać do tego posta tego samego zdjęcia z bardzo fajną metodą mnożenia.

) i mianownik po mianowniku (otrzymujemy mianownik iloczynu).

Wzór na mnożenie ułamków:

Na przykład:

Zanim zaczniesz mnożyć liczniki i mianowniki, musisz sprawdzić, czy ułamek można skrócić. Jeśli uda Ci się zmniejszyć ułamek, łatwiej będzie Ci przeprowadzić dalsze obliczenia.

Dzielenie ułamka zwykłego przez ułamek.

Dzielenie ułamków zawierających liczby naturalne.

To nie jest tak straszne, jak się wydaje. Podobnie jak w przypadku dodawania, liczbę całkowitą zamieniamy na ułamek mający jedynkę w mianowniku. Na przykład:

Mnożenie ułamków mieszanych.

Zasady mnożenia ułamków zwykłych (mieszane):

  • zamień ułamki mieszane na ułamki niewłaściwe;
  • mnożenie liczników i mianowników ułamków;
  • zmniejsz ułamek;
  • Jeśli otrzymasz ułamek niewłaściwy, zamieniamy ułamek niewłaściwy na ułamek mieszany.

Notatka! Mnożyć frakcja mieszana do innej mieszanej frakcji, musisz najpierw doprowadzić je do formy ułamki niewłaściwe, a następnie pomnóż zgodnie z zasadą mnożenia ułamków zwykłych.

Drugi sposób pomnożenia ułamka przez liczbę naturalną.

Bardziej wygodne może być użycie drugiej metody mnożenia ułamka zwykłego przez liczbę.

Notatka! Aby pomnożyć ułamek przez Liczba naturalna Konieczne jest podzielenie mianownika ułamka przez tę liczbę i pozostawienie licznika bez zmian.

Z powyższego przykładu jasno wynika, że ​​​​ta opcja jest wygodniejsza w użyciu, gdy mianownik ułamka jest dzielony bez reszty przez liczbę naturalną.

Ułamki wielopiętrowe.

W szkole średniej często spotyka się frakcje trzypiętrowe (lub więcej). Przykład:

Aby doprowadzić taki ułamek do jego zwykłej postaci, użyj dzielenia przez 2 punkty:

Notatka! Przy dzieleniu ułamków bardzo ważna jest kolejność dzielenia. Uważaj, łatwo się tu pomylić.

Notatka, Na przykład:

Dzieląc jeden przez dowolny ułamek, wynikiem będzie ten sam ułamek, tylko odwrócony:

Praktyczne wskazówki dotyczące mnożenia i dzielenia ułamków zwykłych:

1. Najważniejszą rzeczą podczas pracy z wyrażeniami ułamkowymi jest dokładność i uważność. Wszystkie obliczenia wykonuj ostrożnie i dokładnie, w skupieniu i wyraźnie. Lepiej dopisać kilka dodatkowych linijek w wersji roboczej, niż zatracać się w myślowych kalkulacjach.

2. W zadaniach z różne rodzaje ułamki - przejdź do postaci ułamków zwykłych.

3. Redukujemy wszystkie ułamki tak długo, aż nie da się już redukować.

4. Wielokondygnacyjny wyrażenia ułamkowe doprowadzamy je do zwykłej postaci, stosując dzielenie przez 2 punkty.

5. Podziel w głowie jednostkę przez ułamek, po prostu odwracając ułamek.


Przykład.

Znajdź iloczyn ułamków algebraicznych i .

Rozwiązanie.

Przed pomnożeniem ułamków rozkładamy wielomian na czynniki w liczniku pierwszego ułamka i mianowniku drugiego. Pomogą nam w tym odpowiednie skrócone wzory na mnożenie: x 2 +2·x+1=(x+1) 2 i x 2 −1=(x−1)·(x+1) . Zatem, .

Oczywiście uzyskaną frakcję można zmniejszyć (proces ten omawialiśmy w artykule o redukcji ułamków algebraicznych).

Pozostaje tylko zapisać wynik w formularzu ułamek algebraiczny, dla którego należy pomnożyć jednomian przez wielomian w mianowniku: .

Zwykle rozwiązanie zapisuje się bez wyjaśnienia jako ciąg równości:

Odpowiedź:

.

Czasami w przypadku ułamków algebraicznych, które należy pomnożyć lub podzielić, trzeba wykonać pewne przekształcenia, aby operacja była łatwiejsza i szybsza.

Przykład.

Podziel ułamek algebraiczny przez ułamek.

Rozwiązanie.

Uprośćmy formę ułamka algebraicznego, pozbywając się współczynnik ułamkowy. Aby to zrobić, mnożymy jego licznik i mianownik przez 7, co pozwala nam stworzyć główną właściwość ułamka algebraicznego, mamy .

Teraz stało się jasne, że mianownik powstałego ułamka i mianownik ułamka, przez który musimy podzielić, są wyrażeniami przeciwnymi. Zmieńmy znaki licznika i mianownika ułamka, które mamy .

Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Ta operacja jest o wiele przyjemniejsza niż dodawanie-odejmowanie! Ponieważ tak jest łatwiej. Dla przypomnienia, aby pomnożyć ułamek przez ułamek, należy pomnożyć liczniki (będzie to licznik wyniku) i mianowniki (to będzie mianownik). To jest:

Na przykład:

Wszystko jest niezwykle proste. I proszę, nie patrz wspólny mianownik! Nie jest on tu potrzebny...

Aby podzielić ułamek przez ułamek, musisz odwrócić drugi(to ważne!) ułamek i pomnóż, czyli:

Na przykład:

Jeśli natkniesz się na mnożenie lub dzielenie liczb całkowitych i ułamków, nie ma problemu. Podobnie jak w przypadku dodawania, z liczby całkowitej tworzymy ułamek zwykły z jedynką w mianowniku - i dalej! Na przykład:

W szkole średniej często masz do czynienia z ułamkami trzypiętrowymi (a nawet czteropiętrowymi!). Na przykład:

Jak mogę sprawić, aby ta frakcja wyglądała przyzwoicie? Tak, bardzo proste! Użyj podziału dwupunktowego:

Ale nie zapomnij o kolejności dzielenia! W przeciwieństwie do mnożenia, jest to tutaj bardzo ważne! Oczywiście nie będziemy mylić 4:2 z 2:4. Ale łatwo jest popełnić błąd w ułamku trzech pięter. Zwróć uwagę na przykład:

W pierwszym przypadku (wyrażenie po lewej):

W drugim (wyrażenie po prawej):

Czy czujesz różnicę? 4 i 1/9!

Co decyduje o kolejności podziału? Albo w nawiasach, albo (jak tutaj) z długością poziomych linii. Rozwijaj swoje oko. A jeśli nie ma nawiasów ani myślników, np.:

potem dziel i mnóż w kolejności od lewej do prawej!

A także bardzo proste i ważna technika. W działaniach ze stopniami będzie ci bardzo przydatny! Podzielmy jeden przez dowolny ułamek, na przykład przez 13/15:

Strzał się odwrócił! I to zawsze się zdarza. Dzieląc 1 przez dowolny ułamek, otrzymasz ten sam ułamek, tylko odwrócony do góry nogami.

To tyle, jeśli chodzi o operacje na ułamkach. Rzecz jest dość prosta, ale daje więcej niż wystarczającą liczbę błędów. Notatka praktyczne porady, a będzie ich mniej (błędów)!

Praktyczne wskazówki:

1. Najważniejszą rzeczą podczas pracy z wyrażeniami ułamkowymi jest dokładność i uważność! Nie jest Pospolite słowa, a nie dobre życzenia! To pilna konieczność! Wykonuj wszystkie obliczenia na egzaminie Unified State Exam jako pełnoprawne zadanie, skupione i jasne. Lepiej napisać dwie dodatkowe linijki w wersji roboczej, niż zepsuć obliczenia w pamięci.

2. W przykładach z różnymi rodzajami ułamków przechodzimy do ułamków zwykłych.

3. Redukujemy wszystkie ułamki, aż się zatrzymają.

4. Wielopoziomowe wyrażenia ułamkowe redukujemy do zwykłych, stosując dzielenie przez dwa punkty (zachowujemy kolejność dzielenia!).

5. Podziel w głowie jednostkę przez ułamek, po prostu odwracając ułamek.

Oto zadania, które zdecydowanie musisz wykonać. Odpowiedzi podawane są po wszystkich zadaniach. Skorzystaj z materiałów na ten temat i praktycznych wskazówek. Oszacuj, ile przykładów udało Ci się poprawnie rozwiązać. Pierwszy raz! Bez kalkulatora! I wyciągnij właściwe wnioski...

Pamiętaj - prawidłowa odpowiedź to otrzymane za drugim (zwłaszcza trzecim) razem się nie liczy! Takie jest surowe życie.

Więc, rozwiązać w trybie egzaminu ! Nawiasem mówiąc, jest to już przygotowanie do egzaminu Unified State Exam. Rozwiązujemy przykład, sprawdzamy go, rozwiązujemy następny. Zdecydowaliśmy o wszystkim - sprawdziliśmy ponownie od pierwszego do ostatniego. Lecz tylko Następnie spójrz na odpowiedzi.

Oblicz:

Czy zdecydowałeś?

Szukamy odpowiedzi pasujących do Twoich. Celowo spisałem je w nieładzie, z dala od pokus, że tak powiem... Oto odpowiedzi zapisane średnikami.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Teraz wyciągamy wnioski. Jeśli wszystko się udało, cieszę się razem z Tobą! Podstawowe obliczenia z ułamkami - to nie twój problem! Możesz zrobić więcej poważne rzeczy. Jeśli nie...

Masz więc jeden z dwóch problemów. Lub jedno i drugie na raz.) Brak wiedzy i (lub) nieuwaga. Ale to rozpuszczalny Problemy.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.