INNSKRIVTE OG SIRKULÆRE POLYGONER,
§ 106. EGENSKAPER TIL INNSKRIVTE OG BESKRIVEDE KVADRIAGONER.
Teorem 1. Sum motsatte hjørner syklisk firkant er lik 180°.
La en firkant ABCD innskrives i en sirkel med sentrum O (fig. 412). Det kreves for å bevise det / A+ / C = 180° og / B + / D = 180°.
/
A, som innskrevet i sirkel O, måler 1/2 BCD.
/
C, som skrevet i samme sirkel, måler 1/2 DÅRLIG.
Følgelig blir summen av vinklene A og C målt ved halvsummen av buene BCD og BAD i sum utgjør disse buene en sirkel, dvs. de har 360°.
Herfra /
A+ /
C = 360°: 2 = 180°.
På samme måte er det bevist at / B + / D = 180°. Dette kan imidlertid utledes på en annen måte. Vi vet at beløpet indre hjørner konveks firkant lik 360°. Summen av vinklene A og C er lik 180°, som betyr at summen av de to andre vinklene på firkanten også forblir 180°.
Teorem 2(omvendt). Hvis i en firkant er summen av to motstående vinkler lik 180° , så kan en sirkel beskrives rundt en slik firkant.
La summen av de motsatte vinklene til firkanten ABCD være lik 180°, nemlig
/
A+ /
C = 180° og /
B + /
D = 180° (tegning 412).
La oss bevise at en sirkel kan beskrives rundt en slik firkant.
Bevis. Gjennom hvilke som helst 3 hjørner av denne firkanten kan du tegne en sirkel, for eksempel gjennom punktene A, B og C. Hvor vil punkt D ligge?
Punkt D kan kun oppta én av neste tre posisjoner: å være innenfor sirkelen, å være utenfor sirkelen, å være på omkretsen av sirkelen.
La oss anta at toppunktet er innenfor sirkelen og tar posisjon D" (fig. 413). Så i firkanten ABCD" vil vi ha:
/ B + / D" = 2 d.
Fortsetter vi side AD" til skjæringspunktet med sirkelen ved punkt E og forbinder punktene E og C, får vi den sykliske firkanten ABCE, der, ved den direkte teoremet
/ B+ / E = 2 d.
Av disse to likhetene følger det:
/
D" = 2 d - /
B;
/
E=2 d - /
B;
/ D" = / E,
men dette kan ikke være fordi / D", som er ekstern i forhold til trekanten CD"E, må være større enn vinkel E. Derfor kan ikke punkt D være innenfor sirkelen.
Det er også bevist at toppunktet D ikke kan ta posisjon D" utenfor sirkelen (fig. 414).
Det gjenstår å erkjenne at toppunktet D må ligge på omkretsen av sirkelen, dvs. sammenfalle med punktet E, noe som betyr at en sirkel kan beskrives rundt firkanten ABCD.
Konsekvenser. 1. En sirkel kan beskrives rundt ethvert rektangel.
2. Rundt likebenet trapes kan beskrive en sirkel.
I begge tilfeller er summen av motsatte vinkler 180°.
Teorem 3. I den beskrevne firkanten summene motsatte sider er like. La firkanten ABCD beskrives om en sirkel (fig. 415), dvs. dens sider AB, BC, CD og DA er tangent til denne sirkelen.
Det kreves å bevise at AB + CD = AD + BC. La oss betegne tangenspunktene med bokstavene M, N, K, P. Basert på egenskapene til tangenter trukket til en sirkel fra ett punkt (§ 75), har vi:
AR = AK;
VR = VM;
DN = DK;
CN = CM.
La oss legge til disse likestillingene termin for termin. Vi får:
AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,
dvs. AB + CD = AD + BC, som er det som måtte bevises.
Øvelser.
1. I en innskrevet firkant er to motstående vinkler i forholdet 3:5,
og de to andre er i forholdet 4:5. Bestem størrelsen på disse vinklene.
2. I den beskrevne firkanten er summen av to motsatte sider 45 cm. De resterende to sidene er i forholdet 0,2: 0,3. Finn lengden på disse sidene.
En firkant er innskrevet i en sirkel hvis alle toppunktene ligger på sirkelen. En slik sirkel er omskrevet om en firkant.
Akkurat som ikke alle firkanter kan beskrives rundt en sirkel, kan ikke alle firkanter skrives inn i en sirkel.
En konveks firkant innskrevet i en sirkel har egenskapen at dens motsatte vinkler summerer seg til 180°. Så hvis gitt en firkant ABCD, der vinkel A er motsatt av vinkel C, og vinkel B er motsatt vinkel D, så er ∠A + ∠C = 180° og ∠B + ∠D = 180°.
Generelt, hvis ett par med motsatte vinkler på en firkant summerer seg til 180°, vil det andre paret summere seg til samme mengde. Dette følger av det faktum at i en konveks firkant er summen av vinklene alltid lik 360°. I sin tur følger dette faktum av det faktum at konvekse polygoner summen av vinkler bestemmes av formelen 180° * (n – 2), der n er antall vinkler (eller sider).
Du kan bevise egenskapen til en påskrevet firkant på følgende måte. La en firkant ABCD skrives inn i sirkel O. Vi må bevise at ∠B + ∠D = 180°.
Vinkel B er innskrevet i en sirkel. Som kjent, en slik vinkel lik halvparten bue som den hviler på. I i dette tilfellet vinkel B støttes av bue ADC, som betyr ∠B = ½◡ADC. (Siden buen er lik vinkelen mellom radiene som danner den, kan vi skrive at ∠B = ½∠AOC, hvis indre område inneholder punkt D.)
På den andre siden hviler vinkel D på firkanten på bue ABC, det vil si ∠D = ½◡ABC.
Siden sidene av vinklene B og D skjærer sirkelen i de samme punktene (A og C), deler de sirkelen i bare to buer - ◡ADC og ◡ABC. Fordi full sirkel legger opp til 360°, deretter ◡ADC + ◡ABC = 360°.
Dermed ble følgende likheter oppnådd:
∠B = ½◡ADC
∠D = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360°
La oss uttrykke summen av vinkler:
∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC
La oss sette ½ i parentes:
∠B + ∠D = ½(◡ADC + ◡ABC)
La oss erstatte summen av buene med deres numeriske verdi:
∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°
Vi fant at summen av de motsatte vinklene til en innskrevet firkant er 180°. Det var dette som måtte bevises.
Det faktum at en innskrevet firkant har denne egenskapen (summen av motsatte vinkler er 180°) betyr ikke at en hvilken som helst firkant hvis sum av motsatte vinkler er 180° kan skrives inn i en sirkel. Selv om dette i virkeligheten er sant. Denne faktaen kalt innskrevet firkanttest og er formulert som følger: hvis summen av de motsatte vinklene til en konveks firkant er 180°, kan en sirkel beskrives rundt den (eller skrives inn i en sirkel).
Du kan bevise testen for en innskrevet firkant ved selvmotsigelse. La det gis en firkant ABCD hvis motsatte vinkler B og D summerer seg til 180°. I dette tilfellet ligger ikke vinkel D på sirkelen. Ta så et punkt E på linjen som inneholder segmentet CD slik at det ligger på sirkelen. Resultatet er en syklisk firkant ABCE. Denne firkanten har motsatte vinkler B og E, noe som betyr at de summerer seg til 180°. Dette følger av egenskapen til en innskrevet firkant.
Det viser seg at ∠B + ∠D = 180° og ∠B + ∠E = 180°. Vinkel D på firkant ABCD i forhold til trekant AED er imidlertid ekstern, og derfor større enn vinkel E til denne trekanten. Dermed har vi kommet frem til en motsetning. Dette betyr at hvis summen av de motsatte vinklene til en firkant summerer seg til 180°, kan den alltid skrives inn i en sirkel.
Teorem 1. Summen av de motsatte vinklene til en syklisk firkant er 180°.
La en firkant ABCD innskrives i en sirkel med sentrum O (fig. 412). Det kreves å bevise at ∠A + ∠C = 180° og ∠B + ∠D = 180°.
∠A, som skrevet inn i sirkelen O, måler 1 / 2 \(\breve(BCD)\).
∠C, som skrevet i samme sirkel, måler 1 / 2 \(\breve(BAD)\).
Følgelig blir summen av vinklene A og C målt ved halvsummen av buene BCD og BAD i sum utgjør disse buene en sirkel, dvs. har 360°.
Derfor ∠A + ∠C = 360°: 2 = 180°.
Det er på samme måte bevist at ∠B + ∠D = 180°. Dette kan imidlertid utledes på en annen måte. Vi vet at summen av de indre vinklene til en konveks firkant er 360°. Summen av vinklene A og C er lik 180°, som betyr at summen av de to andre vinklene på firkanten også forblir 180°.
Teorem 2 (omvendt). Hvis i en firkant er summen av to motstående vinkler lik 180° , så kan en sirkel beskrives rundt en slik firkant.
La summen av de motsatte vinklene til firkanten ABCD være lik 180°, nemlig
∠A + ∠C = 180° og ∠B + ∠D = 180° (fig. 412).
La oss bevise at en sirkel kan beskrives rundt en slik firkant.
Bevis. Gjennom hvilke som helst 3 hjørner av denne firkanten kan du tegne en sirkel, for eksempel gjennom punktene A, B og C. Hvor vil punkt D ligge?
Punkt D kan bare oppta ett av følgende tre stillinger: å være innenfor sirkelen, å være utenfor sirkelen, å være på omkretsen av sirkelen.
La oss anta at toppunktet er innenfor sirkelen og tar posisjon D’ (fig. 413). Så i firkanten ABCD’ vil vi ha:
∠B + ∠D’ = 2 d.
Fortsetter vi side AD’ til skjæringspunktet med sirkelen i punkt E og forbinder punktene E og C, får vi den sykliske firkanten ABCE, der, ved den direkte teoremet
∠B + ∠E = 2 d.
Av disse to likhetene følger det:
∠D’ = 2 d- ∠B;
∠E = 2 d- ∠B;
men dette kan ikke være det, siden ∠D’, som er ekstern i forhold til trekanten CD’E, må være større enn vinkel E. Derfor kan ikke punkt D være innenfor sirkelen.
Det er også bevist at toppunktet D ikke kan ta posisjon D" utenfor sirkelen (fig. 414).
Det gjenstår å erkjenne at toppunktet D må ligge på omkretsen av sirkelen, dvs. sammenfalle med punktet E, noe som betyr at en sirkel kan beskrives rundt firkanten ABCD.
Konsekvenser.
1. En sirkel kan beskrives rundt ethvert rektangel.
2. En sirkel kan beskrives rundt en likebenet trapes.
I begge tilfeller er summen av motsatte vinkler 180°.
Teorem 3. I den omskrevne firkanten er summene av motsatte sider like. La firkanten ABCD beskrives om en sirkel (Fig. 415), det vil si at dens sider AB, BC, CD og DA er tangent til denne sirkelen.
Det kreves å bevise at AB + CD = AD + BC. La oss betegne tangenspunktene med bokstavene M, N, K, P. Basert på egenskapene til tangenter trukket til en sirkel fra ett punkt, har vi:
La oss legge til disse likestillingene termin for termin. Vi får:
AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,
dvs. AB + CD = AD + BC, som er det som måtte bevises.
Andre materialerEmne: «Sirkel beskrevet rundt vanlig polygon» er omtalt i detalj innenfor skolepensum. Til tross for dette, oppgaver knyttet til denne seksjonen planimetri forårsaker visse vanskeligheter for mange videregående elever. Forstå samtidig prinsippet for løsningen Unified State Exam problemer med en sirkel beskrevet rundt en polygon, må nyutdannede med et hvilket som helst treningsnivå.
Hvordan forberede seg til Unified State-eksamenen?
For å Unified State Exam-oppgaver om emnet "En sirkel omskrevet om en vanlig polygon" forårsaket ingen vanskeligheter for studenter, studer sammen med utdanningsportalen "Shkolkovo". Hos oss kan du gjenta teoretisk materiale om emner som gir deg vanskeligheter. Teoremer og formler som tidligere virket ganske kompliserte presenteres på en tilgjengelig og forståelig måte.
For å friske opp minnet om de grunnleggende definisjonene og konseptene om vinklene og midten av en sirkel omskrevet rundt en polygon, samt teoremer relatert til lengden på segmenter, trenger kandidater bare å gå til delen "Teoretisk hjelp". Her har vi lagt ut materiale satt sammen av våre erfarne ansatte spesielt for studenter med ulike nivåer forberedelse.
For å konsolidere informasjonen som er lært, kan elever på videregående skole øve på å gjøre øvelser. På utdanningsportal"Shkolkovo" i "Katalog"-delen presenterer en stor database med oppgaver av varierende kompleksitet for maksimal effektiv forberedelse til Unified State-eksamenen. Hver oppgave på nettstedet inneholder en løsningsalgoritme og det riktige svaret. Shkolkovo treningsdatabasen blir jevnlig oppdatert og supplert.
Studenter fra Moskva og andre land øver på å fullføre oppgaver på nettsiden vår russiske byer kan gjøres online. Om nødvendig kan enhver øvelse lagres i "Favoritter"-delen. I fremtiden vil det være mulig å gå tilbake til denne oppgaven og for eksempel diskutere algoritmen for å løse den med skole lærer eller en veileder.