Nummerrekkefølge.
Først, la oss tenke på selve ordet: hva er sekvens? Sekvens er når noe følger etter noe. For eksempel en sekvens av handlinger, en sekvens av årstider. Eller når noen befinner seg bak noen. For eksempel en sekvens av mennesker i en kø, en sekvens av elefanter på stien til et vannhull.
La oss avklare umiddelbart karakteristiske trekk sekvenser. For det første, sekvensmedlemmer befinner seg strengt tatt i i en bestemt rekkefølge . Så hvis to personer i køen byttes, vil dette allerede være det annen etterfølge. For det andre, alle sekvensmedlem Du kan tilordne et serienummer:
Det er det samme med tall. La til hver naturverdi etter en eller annen regel kompatibel ekte nummer. Så sier de at det er gitt en numerisk rekkefølge.
Ja, inn matematiske problemer I motsetning til livssituasjoner sekvensen inneholder nesten alltid uendelig mange tall.
Hvori:
Kalt første medlem sekvenser;
– andre medlem sekvenser;
– tredje medlem sekvenser;
– nth eller felles medlem sekvenser;
I praksis er sekvensen vanligvis gitt vanlig begrepsformel, For eksempel:
– sekvens av positive partall:
Dermed bestemmer posten unikt alle medlemmer av sekvensen - dette er regelen (formelen) som naturverdier 
tall settes i korrespondanse. Derfor er sekvensen ofte kort betegnet med et vanlig begrep, og i stedet for "x" kan andre brukes bokstaver, For eksempel:
Sekvens av positive oddetall:
En annen vanlig sekvens:
Som mange sikkert har lagt merke til, spiller «en»-variabelen rollen som en slags teller.
Faktisk tok vi for oss tallsekvenser på ungdomsskolen. La oss huske aritmetisk progresjon. Jeg vil ikke omskrive definisjonen; la oss berøre essensen med et spesifikt eksempel. La være første termin, og – steg aritmetisk progresjon. Deretter:
– andre termin av denne progresjonen;
– tredje termin av denne progresjonen;
- fjerde;
- femte;
Og åpenbart er det n-te leddet gitt tilbakevendende formel
Merk: V tilbakevendende formel hvert påfølgende medlem uttrykkes gjennom det forrige medlemmet eller til og med gjennom et helt sett med tidligere medlemmer.
Den resulterende formelen er til liten nytte i praksis - for å komme for eksempel til , må du gå gjennom alle de foregående begrepene. Og i matematikk er det utledet et mer praktisk uttrykk for det n-te leddet i en aritmetisk progresjon: 
. I vårt tilfelle:
Bytt inn naturlige tall i formelen og kontroller riktigheten av det som er konstruert ovenfor nummerrekkefølge.
Lignende beregninger kan gjøres for geometrisk progresjon, hvis n-te ledd er gitt av formelen , hvor er det første leddet, og – nevner progresjon. I matematikkoppgaver er første ledd ofte lik én.
Eksempler:
progresjon setter rekkefølgen 
;
progresjon 
setter sekvensen;
progresjon 
setter rekkefølgen 
;
progresjon 
setter rekkefølgen 
.
Jeg håper alle vet at –1 til en oddetall er lik –1, og til en partall – en.
Progresjon kalles uendelig minkende, hvis (de to siste tilfellene).
La oss legge til to nye venner til listen vår, hvorav den ene nettopp har banket på skjermens matrise:
Sekvensen i matematisk sjargong kalles en "blinker":
Dermed, sekvensmedlemmer kan gjentas. Så, i det betraktede eksemplet, består sekvensen av to uendelig alternerende tall.
Skjer det at sekvensen består av identiske tall? Sikkert. For eksempel spør den uendelig antall"tre". For esteter er det et tilfelle når "en" fortsatt formelt vises i formelen:
Faktoriell:
Bare et komprimert opptak av verket:
Ikke en grafomani i det hele tatt, det vil være nyttig for oppgaver;-) Jeg anbefaler å forstå det, huske det og til og med kopiere det inn i en notatbok. ...Et spørsmål kom til hjernen: hvorfor lager ingen så nyttig graffiti? En mann rir på et tog, ser ut av vinduet og studerer factorials. Punkerne hviler =)
Kanskje noen lesere fortsatt ikke helt forstår hvordan de skal beskrive medlemmene i en sekvens, og kjenner det vanlige medlemmet. At sjeldent tilfelle, når kontrollskuddet kommer til live igjen:
La oss ta for oss sekvensen 
.
Først, la oss erstatte verdien i det n-te leddet og utføre beregningene nøye:
Deretter kobler vi inn følgende nummer:
Fire:
Vel, nå er det ingen skam å tjene en utmerket karakter:
Konseptet med en sekvensgrense.
For bedre å forstå følgende informasjon, er det tilrådelig å FORSTÅ hva det er grensen for en funksjon. Selvfølgelig i standardkurset matematisk analyse først vurderer de grensen for sekvensen og først deretter grensen for funksjonen, men faktum er at jeg allerede har snakket i detalj om selve essensen av grensen. I teorien betraktes dessuten en tallsekvens som et spesialtilfelle av en funksjon, og folk som er kjent med grensen for en funksjon vil ha mye mer moro.
La oss invitere en enkel venn til å danse:
Hva skjer når "en" øker til det uendelige? Det er klart at medlemmene i sekvensen vil være det uendelig nær nærme seg null. Dette er grensen for denne sekvensen, som er skrevet som følger:
Hvis grensen for sekvensen lik null, da heter det uendelig liten.
I teorien om matematisk analyse er det gitt streng definisjon av rekkefølgegrensen gjennom det såkalte epsilon-nabolaget. Den neste artikkelen vil bli viet til denne definisjonen, men la oss nå se på betydningen:
La oss skildre på talllinjen vilkårene for sekvensen og nabolagets symmetriske med hensyn til null (grense):
Klem nå det blå området med kantene på håndflatene og begynn å redusere det, trekk det mot grensen (rødt punkt). Et tall er grensen for en sekvens hvis FOR NOEN forhåndsvalgt -nabolag (så liten du vil) det vil være inne uendelig mange medlemmer av sekvensen, og UTENFOR den - bare endelig antall medlemmer (eller ingen i det hele tatt). Det vil si at epsilon-området kan være mikroskopisk, og enda mindre, men den "uendelige halen" av sekvensen må før eller siden helt inn i dette nabolaget.
Det er til og med en slik oppgave - bevis grensen for sekvensen ved å bruke definisjonen.
Sekvensen er også uendelig liten: med den forskjellen at medlemmene ikke hopper frem og tilbake, men nærmer seg grensen utelukkende fra høyre.
Naturligvis kan grensen være lik hvilken som helst annen endelig antall, elementært eksempel:
Her har brøken en tendens til null, og følgelig er grensen lik "to".
Hvis sekvensen finnes endelig grense , da heter det konvergent(spesielt, uendelig liten kl). I ellers – avvikende, i dette tilfellet er to alternativer mulige: enten eksisterer ikke grensen i det hele tatt, eller så er den uendelig. I sistnevnte tilfelle sekvensen kalles uendelig stor. La oss galoppere gjennom eksemplene i første avsnitt:
Sekvenser 
er uendelig stor, mens medlemmene deres selvsikkert beveger seg mot "pluss uendelighet":
En aritmetisk progresjon med første ledd og trinn er også uendelig stor:
Forresten, enhver aritmetisk progresjon divergerer, med unntak av tilfellet med null trinn - når skal spesifikt nummer legges til i det uendelige. Grensen for en slik sekvens eksisterer og sammenfaller med det første leddet.
Sekvensene har en lignende skjebne:
Enhver uendelig avtagende geometrisk progresjon, som det fremgår av navnet, uendelig liten:
Hvis nevneren for den geometriske progresjonen er , er sekvensen uendelig stor:
Hvis for eksempel grensen ikke eksisterer i det hele tatt, siden medlemmene utrettelig hopper enten til "pluss uendelig" eller til "minus uendelig". EN sunn fornuft og Matans teoremer antyder at hvis noe strever et sted, så er dette det eneste kjære stedet.
Etter en liten åpenbaring 
det blir klart at det "blinkende lyset" er skyld i det ukontrollerbare kastingen, som forresten divergerer av seg selv.
For en sekvens er det faktisk lett å velge et -nabolag som for eksempel bare klemmer tallet –1. Som et resultat vil et uendelig antall sekvensmedlemmer ("pluss en") forbli utenfor dette nabolaget. Men per definisjon må den "uendelige halen" av sekvensen fra et bestemt øyeblikk (naturlig tall). fullt gå inn i ENHVER nærhet av grensen din. Konklusjon: himmelen er grensen.
Faktoriell er uendelig stor sekvens:
Dessuten vokser det med stormskritt, så det er et tall som har mer enn 100 sifre (siffer)! Hvorfor akkurat 70? På den ber min tekniske mikrokalkulator om nåde.
Med et kontrollskudd er alt litt mer komplisert, og vi har akkurat kommet til den praktiske delen av forelesningen, der vi skal analysere kampeksempler:
Hvordan finne grensen for en sekvens.
Men nå er det nødvendig å kunne løse grensene for funksjoner, i det minste på nivået to grunnleggende leksjoner: Grenser. Eksempler på løsninger Og Fantastiske grenser. Fordi mange løsningsmetoder vil være like. Men først av alt, la oss analysere de grunnleggende forskjellene mellom grensen for en sekvens og grensen for en funksjon:
I grensen for sekvensen kan den "dynamiske" variabelen "en" ha en tendens bare til "pluss uendelig"– mot å øke naturlige tall 
.
I grensen for funksjonen kan "x" rettes hvor som helst - til "pluss/minus uendelig" eller til et vilkårlig reelt tall.
Etterfølge diskret(diskontinuerlig), det vil si at den består av individuelle isolerte medlemmer. En, to, tre, fire, fem gikk kaninen ut på tur. Argumentet til en funksjon er preget av kontinuitet, det vil si at "X" jevnt, uten hendelser, tenderer til en eller annen verdi. Og følgelig vil funksjonsverdiene også kontinuerlig nærme seg grensen.
På grunn av diskrethet innenfor sekvensene er det sine egne signatur-ting, for eksempel factorials, "blinkende lys", progresjoner, etc. Og nå skal jeg prøve å analysere grensene som er spesifikke for sekvenser.
La oss starte med progresjoner:
Eksempel 1
Løsning: noe som ligner på en uendelig avtagende geometrisk progresjon, men er det virkelig det? For klarhets skyld, la oss skrive ned de første begrepene: 
Siden da snakker vi om beløp termer av en uendelig avtagende geometrisk progresjon, som beregnes av formelen.
Vi tar en avgjørelse:
Vi bruker formelen for summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon: . I i dette tilfellet: – første ledd, – nevneren for progresjonen.
Det viktigste er å takle fire-etasjers brøkdel:
Spise.
Eksempel 2
Skriv de fire første leddene i sekvensen og finn grensen 
Dette er et eksempel for uavhengig avgjørelse. For å eliminere usikkerheten i telleren, må du bruke formelen for summen av de første leddene i en aritmetisk progresjon:
, hvor er det første og a er det n'te leddet i progresjonen.
Siden innenfor sekvenser "no" alltid har en tendens til "pluss uendelig", er det ikke overraskende at usikkerhet er en av de mest populære.
Og mange eksempler løses på nøyaktig samme måte som funksjonsgrenser!
Hvordan beregne disse grensene? Se eksempel nr. 1-3 i leksjonen Grenser. Eksempler på løsninger.
Eller kanskje noe mer komplisert som 
? Sjekk ut eksempel nr. 3 i artikkelen Metoder for å løse grenser.
Fra et formelt synspunkt vil forskjellen bare være i én bokstav - "x" her og "en" her.
Teknikken er den samme - telleren og nevneren må i høyeste grad deles med "en".
Dessuten er usikkerhet innenfor sekvenser ganske vanlig. Hvordan løse grenser som 
finnes i eksempel nr. 11-13 i samme artikkel.
For å forstå grensen, se eksempel nr. 7 i leksjonen Fantastiske grenser(sekund fantastisk grense er også gyldig for det diskrete tilfellet). Løsningen blir igjen som en karbonkopi med én bokstavforskjell.
De neste fire eksemplene (nr. 3-6) er også "tosidige", men i praksis er de av en eller annen grunn mer karakteristiske for sekvensgrenser enn for funksjonsgrenser:
Eksempel 3
Finn grensen for sekvensen
Løsning: først komplett løsning, og deretter trinnvise kommentarer:
(1) I telleren bruker vi formelen to ganger.
(2) Vi presenterer lignende vilkår i telleren.
(3) For å eliminere usikkerhet, del telleren og nevneren med ("en" i høyeste grad).
Som du kan se, ingenting komplisert.
Eksempel 4
Finn grensen for sekvensen
Dette er et eksempel for deg å løse på egen hånd, forkortede multiplikasjonsformlerå hjelpe.
Innen s veiledende Sekvenser bruker en lignende metode for å dele telleren og nevneren:
Eksempel 5
Finn grensen for sekvensen
Løsning La oss ordne det i henhold til samme skjema:
(1) Ved hjelp av egenskaper til grader, la oss fjerne alt unødvendig fra indikatorene, og la bare "en" være der.
(2) Vi ser på hvilke eksponentielle sekvenser som er i grensen: og velger en sekvens med den største grunnlag: . For å eliminere usikkerhet, del telleren og nevneren med .
(3) Vi utfører terminvis inndeling i teller og nevner. Siden det er uendelig minkende geometrisk progresjon, så har den en tendens til null. Og enda mer, konstanten delt på den økende progresjonen har en tendens til null: . Vi gjør passende notater og skriver ned svaret.
Eksempel 6
Finn grensen for sekvensen
Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd.
På en eller annen måte, ufortjent, forble stilig håndskrift, iboende bare til grensen for konsistens, i glemselen. Det er på tide å fikse situasjonen:
Eksempel 7
Finn grensen for sekvensen
Løsning: for å bli kvitt den "evige rivalen" må du skrive faktorene i form av produkter. Men før vi begynner med matematisk graffiti, la oss vurdere spesifikt eksempel, For eksempel: .
Den siste faktoren i produktet er seks. Hva må gjøres for å få forrige multiplikator? Trekk fra én: 6 – 1 = 5. For å få en multiplikator, som er plassert enda lenger, må du trekke én fra fem igjen: 5 – 1 = 4. Og så videre.
Ikke bekymre deg, dette er ikke en leksjon i første klasse. kriminalomsorgsskolen, Faktisk vi blir kjent med en viktig og universell algoritme har krav på " hvordan utvide en hvilken som helst faktoriell" La oss håndtere den mest ondsinnede flommeren i chatten vår:
Selvfølgelig vil den siste faktoren i produktet være .
Hvordan få den forrige multiplikatoren? Trekk fra en:
Hvordan få oldefar? Trekk fra en igjen: .
Vel, la oss gå et skritt dypere:
Dermed vil monsteret vårt signere som følger:
Med tellerfaktorer er alt enklere, ok, små hooligans.
Vi tar en avgjørelse:
(1) Vi beskriver factorials
(2) Telleren har TO ledd. Vi tar ut av parentes alt som kan tas ut, i dette tilfellet er dette arbeidet. Firkantede parenteser, som jeg sa et sted et par ganger, skiller seg fra parenteser bare i sin firkantethet.
(3) Reduser telleren og nevneren med .... ...hmmm, det er virkelig mye lo her.
(4) Forenkle telleren
(5) Reduser telleren og nevneren med . Her inne til en viss grad heldig. I generell sakøverst og nederst får du vanlige polynomer, hvoretter du må utføre standardhandlingen - dele telleren og nevneren med "en" til høyeste potens.
Mer avanserte elever som lett kan bryte ned factorials i hodet kan løse eksemplet mye raskere. På det første trinnet deler vi telleren med nevneren begrep for begrep og mentalt utfører forkortelsene:
Men nedbrytningsmetoden er fortsatt mer grundig og pålitelig.
Eksempel 8
Finn grensen for sekvensen
Som i ethvert samfunn er det ekstravagante individer blant tallsekvensene.
Teorem: arbeid begrenset rekkefølge til en infinitesimal sekvens - det er en infinitesimal sekvens.
Hvis du ikke virkelig forstår begrepet "begrensning", vennligst studer artikkelen Om elementære funksjoner og grafer.
Et lignende teorem gjelder forresten for funksjoner: produktet begrenset funksjon på ubestemt tid liten funksjon- er en uendelig funksjon.
Eksempel 9
Finn grensen for sekvensen
Løsning: sekvens – begrenset: 
, og sekvensen er uendelig liten, noe som betyr, ifølge det tilsvarende teoremet: 
Definisjonen av en numerisk sekvens er gitt. Eksempler på uendelig økende, konvergerende og divergerende sekvenser vurderes. En sekvens som inneholder alle rasjonelle tall vurderes.
Definisjon .
Numerisk rekkefølge (xn)
kalt loven (regelen), ifølge hvilken alle naturlig tall n= 1, 2, 3, . . .
et visst tall x n er tildelt.
Elementet x n kalles nte termin eller et element i en sekvens.
Sekvensen er betegnet som det n'te leddet omsluttet av krøllete klammeparenteser: . Følgende betegnelser er også mulige: . De indikerer eksplisitt at indeksen n tilhører settet av naturlige tall og at sekvensen i seg selv har et uendelig antall ledd. Her er noen eksempler på sekvenser:
,
,
.
Med andre ord er en tallsekvens en funksjon hvis definisjonsdomene er settet av naturlige tall. Antall elementer i sekvensen er uendelig. Blant elementene kan det også være medlemmer som har samme verdier. En sekvens kan også betraktes som et nummerert sett med tall som består av et uendelig antall medlemmer.
Vi vil hovedsakelig være interessert i spørsmålet om hvordan sekvenser oppfører seg når n har en tendens til uendelig: . Dette materialet er presentert i avsnittet Grense for en sekvens - grunnleggende teoremer og egenskaper. Her skal vi se på noen eksempler på sekvenser.
Sekvenseksempler
Eksempler på uendelig økende sekvenser
Vurder sekvensen. Det vanlige medlemmet i denne sekvensen er . La oss skrive ned de første begrepene:
.
Man kan se at når tallet n øker, øker elementene i det uendelige mot positive verdier. Vi kan si at denne sekvensen har en tendens til å: for .
Tenk nå på en sekvens med en felles term. Her er de første medlemmene:
.
Når tallet n øker, øker elementene i denne sekvensen i det uendelige absolutt verdi, men har ikke konstant tegn. Det vil si at denne sekvensen har en tendens til å: kl.
Eksempler på sekvenser som konvergerer til et endelig tall
Vurder sekvensen. Hennes felles medlem. De første begrepene har følgende form:
.
Det kan sees at når tallet n øker, nærmer elementene seg i denne sekvensen sin grenseverdi a = 0
: kl. = 0
Så hvert påfølgende ledd er nærmere null enn det forrige. På en måte kan vi vurdere at det er en omtrentlig verdi for tallet a > 0
med feil. Det er klart at når n øker, har denne feilen en tendens til null, det vil si at ved å velge n kan feilen gjøres så liten som ønsket. Dessuten, for enhver gitt feil ε
du kan spesifisere et tall N slik at for alle elementer med tall større enn N:, vil tallets avvik fra grenseverdien a ikke overstige feilen ε:.
.
Deretter vurdere sekvensen. Hennes felles medlem. Her er noen av de første medlemmene: = 0
I denne sekvensen er ledd med partall lik null. Leder med oddetall n er like. Derfor, når n øker, nærmer verdiene seg grenseverdien a
.
. Dette følger også av at > 0
Akkurat som i forrige eksempel kan vi spesifisere en vilkårlig liten feil ε = 0
, hvor det er mulig å finne et tall N slik at elementer med tall større enn N vil avvike fra grenseverdien a = 0
med et beløp som ikke overstiger den angitte feilen. Derfor konvergerer denne sekvensen til verdien a
: kl.
Eksempler på divergerende sekvenser
Tenk på en sekvens med følgende vanlige begrep:
.
Her er de første medlemmene:
,
Det kan sees at termer med partall: 1 = 0
konvergere til verdien a . Medlemmer med:
,
Det kan sees at termer med partall: 2 = 2
. Selve sekvensen, når n vokser, konvergerer ikke til noen verdi.
Sekvens med termer fordelt i intervallet (0;1)
La oss nå se på en mer interessant sekvens. La oss ta et segment på talllinjen. La oss dele det i to. Vi får to segmenter. La
.
La oss dele hvert av segmentene i to igjen. Vi får fire segmenter. La
.
La oss dele hvert segment i to igjen. La oss ta
.
Og så videre.
Som et resultat får vi en sekvens hvis elementer er fordelt i åpent intervall (0; 1) . Uansett hvilket poeng vi tar fra det lukkede intervallet , kan vi alltid finne medlemmer av sekvensen som vil være vilkårlig nær dette punktet eller falle sammen med det.
Så fra den opprinnelige sekvensen kan man velge en undersekvens som vil konvergere til vilkårlig poeng fra intervallet . Det vil si at etter hvert som tallet n øker, vil medlemmene av undersekvensen komme nærmere og nærmere det forhåndsvalgte punktet.
For eksempel for punkt a = 0
du kan velge følgende etterfølge:
.
= 0
.
For punkt a = 1
La oss velge følgende etterfølge:
.
Vilkårene i denne undersekvensen konvergerer til verdien a = 1
.
Siden det er undersekvenser som konvergerer til forskjellige betydninger, så konvergerer ikke selve den opprinnelige sekvensen til noe tall.
Sekvens som inneholder alle rasjonelle tall
La oss nå konstruere en sekvens som inneholder alle rasjonelle tall. Dessuten vil hvert rasjonelt tall vises i en slik sekvens et uendelig antall ganger.
Et rasjonelt tall r kan representeres i følgende skjema:
,
hvor er et heltall; - naturlig.
Vi må tilordne hvert naturlig tall n til et tallpar p og q slik at et hvilket som helst par p og q er inkludert i sekvensen vår.
For å gjøre dette, tegn p- og q-aksene på planet. Vi tegner rutenettlinjer gjennom heltallsverdiene til p og q. Da vil hver node i dette rutenettet korrespondere rasjonalt tall. Hele settet med rasjonelle tall vil bli representert av et sett med noder. Vi må finne en måte å nummerere alle nodene slik at vi ikke går glipp av noen noder. Dette er enkelt å gjøre hvis du nummererer nodene etter firkanter, hvis sentre er plassert i punktet (0; 0) (se bilde). I dette tilfellet vil de nedre delene av rutene med q < 1 vi trenger det ikke. Derfor er de ikke vist i figuren.
Så for den øverste siden av den første firkanten har vi:
.
Deretter nummererer vi øverste del følgende firkant:
.
Vi nummererer den øverste delen av følgende firkant:
.
Og så videre.
På denne måten får vi en sekvens som inneholder alle rasjonelle tall. Du kan legge merke til at et hvilket som helst rasjonelt tall vises i denne sekvensen et uendelig antall ganger. Faktisk, sammen med noden , vil denne sekvensen også inkludere noder , der er et naturlig tall. Men alle disse nodene tilsvarer det samme rasjonelle tallet.
Så fra sekvensen vi har konstruert, kan vi velge en undersekvens (som har et uendelig antall elementer), hvis elementer er lik et forhåndsbestemt rasjonelt tall. Siden sekvensen vi konstruerte har undersekvenser som konvergerer til forskjellige tall, så konvergerer ikke sekvensen til noe tall.
Konklusjon
Her har vi gitt en presis definisjon av tallrekkefølgen. Vi tok også opp spørsmålet om dens konvergens, basert på intuitive ideer. Nøyaktig definisjon konvergens er diskutert på siden Determining the Limit of a Sequence. Relaterte egenskaper og teoremer er oppgitt på siden
Numerisk rekkefølge er en numerisk funksjon definert på settet av naturlige tall .
Hvis funksjonen er definert på settet med naturlige tall 
, da vil settet med funksjonsverdier kunne telles og hvert tall 
samsvarer med tallet 
. I dette tilfellet sier de at det er gitt nummerrekkefølge. Tall kalles elementer eller medlemmer av en sekvens, og nummeret 
– generelt eller 
-te medlem av sekvensen. Hvert element 
har et påfølgende element 
. Dette forklarer bruken av begrepet "sekvens".
Rekkefølgen spesifiseres vanligvis enten ved å liste opp elementene, eller ved å indikere loven som elementet med tall beregnes etter. 
, dvs. angir formelen 
-det medlem 
.
Eksempel.Etterfølge
kan gis av formelen:
.
Vanligvis er sekvenser betegnet som følger: etc., hvor formelen for det er angitt i parentes 
medlem.
Eksempel.Etterfølge
‑dette er en sekvens
Settet med alle elementer i en sekvens 
betegnet med 
.
La 
Og 
- to sekvenser.
MED ummah sekvenser 
Og 
kalt en sekvens 
, Hvor 
, dvs..
R forskjell av disse sekvensene kalles en sekvens 
, Hvor 
, dvs..
Hvis 
Og
‑
konstanter, deretter sekvensen
,
kalt lineær kombinasjon
sekvenser 
Og 
, dvs.
Arbeidet sekvenser 
Og 
kalt sekvensen med 
medlem 
, dvs. 
.
Hvis 
, så kan vi bestemme privat
.
Sum, differanse, produkt og kvotient av sekvenser 
Og 
de kalles algebraiskkomposisjoner.
Eksempel.Vurder sekvensene 
Og 
, Hvor. Deretter 
, dvs. etterfølge 
har alle elementer lik null.
,
, dvs. alle elementer i produktet og kvotienten er like 
.
Hvis du krysser ut noen elementer i sekvensen 
slik at den forblir uendelig sett elementer, så får vi en annen sekvens kalt etterfølge sekvenser 
. Hvis du krysser ut de første elementene i sekvensen 
, Det ny sekvens kalt resten.
Etterfølge 
begrensetovenfor(nedenfra), hvis settet 
begrenset ovenfra (nedenfra). Sekvensen kalles begrenset, hvis den er avgrenset over og under. En sekvens er begrenset hvis og bare hvis noen av restene er avgrenset.
Konvergerende sekvenser
De sier det etterfølge 
konvergerer hvis det er et tall 
slik for hvem som helst 
det er noe slikt 
det for hvem som helst 
, ulikheten gjelder: 
.
Antall 
kalt grensen for sekvensen
. Samtidig skriver de ned 
eller 
.
Eksempel.
.
La oss vise det 
. La oss sette et hvilket som helst tall 
. Ulikhet 
utført for 
, slik at 
, at definisjonen av konvergens er tilfredsstilt for tallet 
. Midler, 
.
Med andre ord 
betyr at alle medlemmer av sekvensen 
med tilstrekkelig store tall skiller seg lite fra antallet 
, dvs. starter fra et tall 
(hvis) elementene i sekvensen er i intervallet 
som kalles 
– punktets nabolag 
.
Etterfølge 
, hvis grense er null ( 
, eller 
på 
) er kalt uendelig liten.
I forhold til infinitesimals er følgende utsagn sanne:
Summen av to infinitesimaler er infinitesimal;
Produktet av en uendelig og en endelig størrelse er uendelig.
Teorem
.For rekkefølgen 
hadde en grense, det var nødvendig og tilstrekkelig for 
, Hvor 
- konstant; 
– uendelig liten
.
Grunnleggende egenskaper til konvergerende sekvenser:
Egenskaper 3. og 4. er generalisert til tilfellet av et hvilket som helst antall konvergerende sekvenser.
Legg merke til at når du beregner grensen for en brøk hvis teller og nevner er lineære kombinasjoner av potenser 
, brøkgrense lik grensen forholdet til seniormedlemmer (dvs. medlemmer som inneholder de største gradene 
teller og nevner).
Etterfølge 
kalt:
Alle slike sekvenser kalles monotont.
Teorem
.
Hvis sekvensen 
monotont økende og avgrenset ovenfor, så konvergerer den og grensen er lik dens eksakte øverste kant; hvis sekvensen er avtagende og avgrenset under, så konvergerer den til sin infimum.
Konseptet med en tallsekvens.
La hvert naturlig tall n tilsvare et tall a n , da sier vi at det er gitt en funksjon a n =f(n), som kalles en tallrekke. Angitt med en n ,n=1,2,... eller (a n ).
Tallene a 1 , a 2 , ... kalles medlemmer av sekvensen eller dens elementer, a n er det generelle medlemmet av sekvensen, n er tallet til medlemmet a n .
Per definisjon inneholder enhver sekvens et uendelig antall elementer.
Eksempler på tallrekker.
Aritmetikk progresjon – numerisk progresjon av skjemaet:
det vil si en sekvens av tall (vilkår for progresjonen), som hver, fra den andre, er hentet fra den forrige ved å legge til et konstant tall d (trinn eller forskjell i progresjonen): 
.
Ethvert ledd i progresjonen kan beregnes ved å bruke den generelle termformelen:
Ethvert medlem av en aritmetisk progresjon, fra den andre, er det aritmetiske gjennomsnittet av forrige og neste medlem av progresjonen: 
Summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon kan uttrykkes med formlene: 
Summen av n påfølgende ledd av en aritmetisk progresjon som starter med ledd k: 
Et eksempel på summen av en aritmetisk progresjon er summen av en serie naturlige tall opp til n inklusive:
Geometrisk progresjon - rekkefølge av tall 
(medlemmer av en progresjon), der hvert påfølgende tall, fra det andre, hentes fra det forrige ved å multiplisere det med et visst tall q (nevneren for progresjonen), der 
,
:
Ethvert ledd i en geometrisk progresjon kan beregnes ved å bruke formelen: 
Hvis b 1 > 0 og q > 1, er progresjonen en økende sekvens hvis 0 Progresjonen har fått navnet sitt fra sin karakteristiske egenskap: Produktet av de første n leddene i en geometrisk progresjon kan beregnes ved å bruke formelen: Produktet av leddene til en geometrisk progresjon som starter med det k-te leddet og slutter med det n-te leddet kan beregnes ved å bruke formelen: Summen av de første n leddene i en geometrisk progresjon: Hvis Konsistensgrense. En sekvens kalles økende hvis hvert medlem er større enn det forrige. En sekvens kalles avtagende hvis hvert medlem er mindre enn det forrige. En sekvens x n kalles avgrenset hvis det er tall m og M slik at for et hvilket som helst naturlig tall n er betingelsen oppfylt Det kan skje at alle medlemmer av sekvensen (a n ) med ubegrenset vekst av tallet n vil nærme seg et visst antall m. Et tall a kalles grensen for sekvensen X n hvis det for hver Ε>0 er et tall (avhengig av Ε) n 0 =n o (Ε) slik at for I dette tilfellet skriver de Konvergens av sekvenser. En sekvens hvis grense er endelig sies å konvergere til en: Hvis en sekvens ikke har en endelig (telbar) grense, vil den bli kalt divergent. Geometrisk betydning. Hvis Teorem 1) Om grensens unikhet: Hvis sekvensen konvergerer, det vil si har en grense, så er denne grensen unik. Teorem 2) Hvis sekvensen a n konvergerer til a: Teorem 3) Forutsetning eksistensen av en grense. Hvis en sekvens konvergerer, det vil si har en grense, så er den avgrenset. Bevis: la oss velge n>N slik at: Teorem 4) Tilstrekkelig betingelse for eksistensen av en grense. Hvis en sekvens er monoton og avgrenset, har den en grense. . Teorem 5) La Tresekvensteorem. Hvis Begrens egenskaper. Hvis (xn) og (yn) har grenser, så: Grense for forholdet mellom polynomer (brøker). La x n og y n være polynomer i henholdsvis grad k, det vil si: x n =P k (n)=a 0 n k +a 1 n k-1 +...+a k, y n =Q m (n)=b 0 n m +b 1 n m-1 +...+b m Grensen for forholdet mellom polynomer er lik grensen for forholdet mellom deres ledende ledd: Hvis graden av telleren er lik graden av nevneren, er grensen lik forholdet mellom koeffisientene ved høyere potenser. Hvis graden av telleren er mindre enn graden av nevneren, er grensen null. Hvis graden av telleren er større enn graden av nevneren, tenderer grensen til uendelig.
det vil si at hvert ledd er lik det geometriske gjennomsnittet av naboene.
, da når 
, Og
på 
.
.
ulikhet holder 
for alle (naturlige)n>n 0 .
eller 
.
, så vil alle medlemmer av denne sekvensen, med unntak av det siste tallet, falle inn i et vilkårlig Ε-område til punkt a. Geometrisk betyr avgrensningen til en sekvens at alle verdiene ligger på et bestemt segment.
, deretter en hvilken som helst etterfølger av den 
har samme grense.
∎
og la betingelsen x n ≤y n være oppfylt for enhver n, da 
og for sekvenser x n , y n , z n er betingelsen x n ≤ y n ≤z n oppfylt, deretter for 
bør 
.
