Funksjonsgrense- Antall en vil være grensen for en eller annen variabel mengde hvis denne variable mengden nærmer seg på ubestemt tid under endringen. en.
Eller med andre ord, tallet EN er grensen for funksjonen y = f(x) på punktet x 0, hvis for noen sekvens av punkter fra domenet for definisjon av funksjonen , ikke lik x 0, og som konvergerer til poenget x 0 (lim x n = x0), sekvensen av tilsvarende funksjonsverdier konvergerer til tallet EN.
Grafen til en funksjon hvis grense, gitt et argument som har en tendens til uendelig, er lik L:
Betydning EN er grense (grenseverdi) for funksjonen f(x) på punktet x 0 i tilfelle for en hvilken som helst sekvens av punkter 
, som konvergerer til x 0, men som ikke inneholder x 0 som et av dets elementer (dvs. i den punkterte nærhet x 0), sekvens av funksjonsverdier 
konvergerer til EN.
Begrensning av en funksjon ifølge Cauchy.
Betydning EN vil være grensen for funksjonen f(x) på punktet x 0 hvis for et hvilket som helst ikke-negativt tall tatt på forhånd ε det tilsvarende ikke-negative tallet vil bli funnet δ = δ(ε) slik at for hvert argument x, som tilfredsstiller betingelsen 0 < | x - x0 | < δ , vil ulikheten tilfredsstilles | f(x)A |< ε .
Det vil være veldig enkelt hvis du forstår essensen av grensen og de grunnleggende reglene for å finne den. Hva er grensen for funksjonen f (x) på x streber etter en er lik EN, er skrevet slik:
Dessuten verdien som variabelen tenderer til x, kan ikke bare være et tall, men også uendelig (∞), noen ganger +∞ eller -∞, eller det er kanskje ingen grense i det hele tatt.
For å forstå hvordan finne grensene for en funksjon, er det best å se på eksempler på løsninger.
Det er nødvendig å finne grensene for funksjonen f (x) = 1/x på:
x→ 2, x→ 0, x→ ∞.
La oss finne en løsning på den første grensen. For å gjøre dette, kan du ganske enkelt erstatte x tallet det har en tendens til, dvs. 2, får vi:
La oss finne den andre grensen for funksjonen. Her erstatte ren 0 i stedet x det er umulig, fordi Du kan ikke dele på 0. Men vi kan ta verdier nær null, for eksempel 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 og så videre, og verdien av funksjonen f (x) vil øke: 100; 1000; 10000; 100 000 og så videre. Dermed kan det forstås at når x→ 0 verdien av funksjonen som står under grensetegnet vil øke uten grense, dvs. streve mot det uendelige. Som betyr:
Angående den tredje grensen. Den samme situasjonen som i forrige tilfelle, er umulig å erstatte ∞ i sin reneste form. Vi må vurdere tilfellet med ubegrenset økning x. Vi erstatter 1000 en etter en; 10000; 100 000 og så videre, vi har den verdien av funksjonen f (x) = 1/x vil redusere: 0,001; 0,0001; 0,00001; og så videre, med en tendens til null. Derfor:
Det er nødvendig å beregne grensen for funksjonen 
Når vi begynner å løse det andre eksemplet, ser vi usikkerhet. Herfra finner vi den høyeste graden av teller og nevner - dette er x 3, tar vi den ut av parentes i telleren og nevneren og reduserer den med:
Svar 
Det første steget inn finne denne grensen, bytt inn verdien 1 i stedet x, noe som resulterer i usikkerhet. For å løse det, la oss faktorisere telleren og gjøre dette ved å bruke metoden for å finne røttene til en kvadratisk ligning x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.
Så telleren blir:
Svar 
Dette er definisjonen av dens spesifikke verdi eller et bestemt område hvor funksjonen faller, som er begrenset av grensen.
Følg reglene for å løse grenser:
Etter å ha forstått essensen og hovedsaken regler for løsning av grensen, vil du få en grunnleggende forståelse av hvordan du løser dem.
Begrensning for en funksjon ved uendelig:
|f(x) - a|< ε
при |x| >N
Bestemmelse av Cauchy-grensen
La funksjonen f (x) er definert i et bestemt nabolag av punktet ved uendelig, med |x| > Tallet a kalles funksjonens grense f (x) som x har en tendens til uendelig (), hvis for et hvilket som helst, uansett hvor lite, positivt tall ε > 0
, er det et tall N ε >K, avhengig av ε, som for alle x, |x| > N ε, funksjonsverdiene tilhører ε-området til punkt a:
|f (x) - a|< ε
.
Grensen for en funksjon ved uendelig er angitt som følger:
.
Eller på .
Følgende notasjon brukes også ofte:
.
La oss skrive denne definisjonen ved å bruke de logiske symbolene på eksistens og universalitet:
.
Dette forutsetter at verdiene tilhører funksjonens domene.
Ensidige grenser
Venstre grense for en funksjon ved uendelig:
|f(x) - a|< ε
при x < -N
Det er ofte tilfeller der funksjonen er definert bare for positive eller negative verdier av variabelen x (mer presist, i nærheten av punktet eller ). Dessuten kan grensene ved uendelig for positive og negative verdier av x ha forskjellige verdier. Da brukes ensidige grenser.
Venstre grense ved uendelig eller grensen som x har en tendens til minus uendelig () er definert som følger:
.
Høyre grense ved uendelig eller grensen som x har en tendens til pluss uendelig ():
.
Ensidige grenser ved uendelig er ofte betegnet som følger:
;
.
Uendelig grense for en funksjon ved uendelig
Uendelig grense for en funksjon ved uendelig:
|f(x)| > M for |x| > N
Definisjon av den uendelige grensen ifølge Cauchy
La funksjonen f (x) er definert i et bestemt nabolag av punktet ved uendelig, med |x| > K, der K er et positivt tall. Funksjonsgrense f (x) som x har en tendens til uendelig (), er lik uendelig, hvis for et hvilket som helst vilkårlig stort antall M > 0
, det er et slikt tall N M >K, avhengig av M, som for alle x, |x| > N M , funksjonsverdiene tilhører nabolaget til punktet ved uendelig:
|f (x) | >M.
Den uendelige grensen da x har en tendens til uendelig er betegnet som følger:
.
Eller på .
Ved å bruke de logiske symbolene på eksistens og universalitet, kan definisjonen av den uendelige grensen til en funksjon skrives som følger:
.
På samme måte introduseres definisjoner av uendelige grenser for visse tegn lik og:
.
.
Definisjoner av ensidige grenser ved uendelig.
Venstre grenser.
.
.
.
Rette grenser.
.
.
.
Bestemmelse av grensen for en funksjon i henhold til Heine
La funksjonen f (x) definert på et eller annet område av punktet x ved uendelig 0
, hvor eller eller .
Tallet a (endelig eller uendelig) kalles grensen for funksjonen f (x) på punkt x 0
:
,
hvis for en hvilken som helst sekvens (xn), konvergerer til x 0
:
,
hvis elementer tilhører nabolaget, sekvens (f(xn)) konvergerer til en:
.
Hvis vi tar som et nabolag nabolaget til et usignert punkt ved uendelig: , så får vi definisjonen av grensen til en funksjon da x har en tendens til uendelig, . Hvis vi tar et venstre- eller høyresidig nabolag av punktet x ved uendelig 0 : eller , da får vi definisjonen av grensen da x har en tendens til henholdsvis minus uendelig og pluss uendelig.
Heine og Cauchy definisjoner av grense er likeverdige.
Eksempler
Eksempel 1
Bruker Cauchys definisjon for å vise det
.
La oss introdusere følgende notasjon:
.
La oss finne definisjonsdomenet til funksjonen. Siden telleren og nevneren til brøken er polynomer, er funksjonen definert for alle x unntatt punktene der nevneren forsvinner. La oss finne disse punktene. Løse en andregradsligning. ;
.
Røttene til ligningen:
;
.
Siden , da og .
Derfor er funksjonen definert ved . Vi vil bruke dette senere.
La oss skrive ned definisjonen av den endelige grensen for en funksjon ved uendelig i henhold til Cauchy:
.
La oss forvandle forskjellen:
.
Del telleren og nevneren med og gang med -1
:
.
La .
Deretter
;
;
;
.
Så vi fant ut at når,
.
.
Det følger at
kl , og .
Siden du alltid kan øke den, la oss ta . Så for hvem som helst,
kl.
Det betyr at .
Eksempel 2
La .
Ved å bruke Cauchy-definisjonen av en grense, vis at:
1)
;
2)
.
1) Løsning som x har en tendens til minus uendelig
Siden er funksjonen definert for alle x.
La oss skrive ned definisjonen av grensen for en funksjon som er lik minus uendelig:
.
La .
;
.
Så vi fant ut at når,
.
Deretter
.
Skriv inn positive tall og:
.
Det følger at for ethvert positivt tall M, er det et tall, slik at for ,
Det betyr at .
2) Løsning som x har en tendens til pluss uendelig
.
La oss forvandle den opprinnelige funksjonen. Multipliser telleren og nevneren for brøken med og bruk kvadratforskjellen formel:
.
Vi har:
.
La oss skrive ned definisjonen av høyre grense for funksjonen ved:
La oss forvandle forskjellen:
.
La oss introdusere notasjonen: .
.
Multipliser telleren og nevneren med:
.
Deretter
;
.
Så vi fant ut at når,
.
Deretter
.
Det følger at
La
kl og .
.
Siden dette gjelder for ethvert positivt tall, altså
Referanser:
CM. Nikolsky. Kurs i matematisk analyse. Bind 1. Moskva, 1983.
Den første bemerkelsesverdige grensen er følgende likhet:
\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)
- Siden vi for $\alpha\to(0)$ har $\sin\alpha\to(0)$, sier de at den første bemerkelsesverdige grensen avslører en usikkerhet på formen $\frac(0)(0)$. Generelt sett, i formel (1), i stedet for variabelen $\alpha$, kan et hvilket som helst uttrykk plasseres under sinustegnet og i nevneren, så lenge to betingelser er oppfylt:
- Uttrykkene under sinustegnet og i nevneren tenderer samtidig mot null, dvs. det er usikkerhet på formen $\frac(0)(0)$.
Uttrykkene under sinustegnet og i nevneren er de samme.
Følger fra den første bemerkelsesverdige grensen brukes også ofte:
\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(ligning) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(ligning)
Elleve eksempler er løst på denne siden. Eksempel nr. 1 er viet beviset for formlene (2)-(4). Eksemplene nr. 2, nr. 3, nr. 4 og nr. 5 inneholder løsninger med detaljerte kommentarer. Eksemplene nr. 6-10 inneholder løsninger med praktisk talt ingen kommentarer, fordi det er gitt detaljerte forklaringer i tidligere eksempler. Løsningen bruker noen trigonometriske formler som kan finnes.
La meg merke seg at tilstedeværelsen av trigonometriske funksjoner kombinert med usikkerheten $\frac (0) (0)$ ikke nødvendigvis betyr anvendelsen av den første bemerkelsesverdige grensen. Noen ganger er enkle trigonometriske transformasjoner tilstrekkelig - se for eksempel.
Eksempel nr. 1
Bevis at $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\venstre|\frac(0)(0)\høyre| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
Siden $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ og $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, At:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) La oss gjøre endringen $\alpha=\sin(y)$. Siden $\sin(0)=0$, har vi fra betingelsen $\alpha\to(0)$ $y\to(0)$. I tillegg er det et nabolag på null der $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, så:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\venstre|\frac(0)(0)\høyre| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Likheten $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ er bevist.
c) La oss erstatte $\alpha=\tg(y)$. Siden $\tg(0)=0$, så er betingelsene $\alpha\to(0)$ og $y\to(0)$ likeverdige. I tillegg er det et nabolag på null der $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, derfor, basert på resultatene av punkt a), vil vi ha:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\venstre|\frac(0)(0)\høyre| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Likheten $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ er bevist.
Likheter a), b), c) brukes ofte sammen med den første bemerkelsesverdige grensen.
Eksempel nr. 2
Beregn grensen $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$.
Siden $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ og $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, dvs. og telleren og nevneren til brøken har en tendens til null samtidig, så har vi her å gjøre med en usikkerhet på formen $\frac(0)(0)$, dvs. ferdig. I tillegg er det klart at uttrykkene under sinustegnet og i nevneren sammenfaller (dvs. og er tilfredsstilt):
Så begge betingelsene som er oppført på begynnelsen av siden er oppfylt. Det følger av dette at formelen er anvendelig, dvs. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\venstre(\frac(x^2-4)(x+7)\høyre))(\frac(x^2-4)(x+ 7) ))=1$.
Svar: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\venstre(\frac(x^2-4)(x+7)\høyre))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
Eksempel nr. 3
Finn $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.
Siden $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ og $\lim_(x\to(0))x=0$, så har vi å gjøre med en usikkerhet av formen $\frac (0 )(0)$, dvs. ferdig. Uttrykkene under sinustegnet og i nevneren er imidlertid ikke sammenfallende. Her må du justere uttrykket i nevneren til ønsket form. Vi trenger uttrykket $9x$ for å være i nevneren, så blir det sant. I hovedsak mangler vi en faktor på $9$ i nevneren, noe som ikke er så vanskelig å angi – bare multipliser uttrykket i nevneren med $9$. Naturligvis, for å kompensere for multiplikasjon med $9$, må du umiddelbart dele med $9$:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\venstre|\frac(0)(0)\høyre| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
Nå er uttrykkene i nevneren og under sinustegnet sammenfallende. Begge betingelsene for grensen $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ er oppfylt. Derfor er $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Og dette betyr at:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
Eksempel nr. 4
Finn $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.
Siden $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ og $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, har vi her å gjøre med usikkerhet i formen $\frac(0)(0)$. Imidlertid brytes formen til den første bemerkelsesverdige grensen. En teller som inneholder $\sin(5x)$ krever en nevner på $5x$. I denne situasjonen er den enkleste måten å dele telleren med $5x$, og umiddelbart gange med $5x$. I tillegg vil vi utføre en lignende operasjon med nevneren, multiplisere og dele $\tg(8x)$ med $8x$:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\venstre|\frac(0)(0)\høyre| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
Ved å redusere med $x$ og ta konstanten $\frac(5)(8)$ utenfor grensetegnet, får vi:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
Merk at $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ fullt ut tilfredsstiller kravene til den første bemerkelsesverdige grensen. For å finne $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$, gjelder følgende formel:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
Eksempel nr. 5
Finn $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.
Siden $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (husk at $\cos(0)=1$) og $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, da har vi å gjøre med usikkerhet av formen $\frac(0)(0)$. Men for å bruke den første bemerkelsesverdige grensen, bør du kvitte deg med cosinus i telleren, gå videre til sinus (for deretter å bruke formelen) eller tangenter (for deretter å bruke formelen). Dette kan gjøres med følgende transformasjon:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
La oss gå tilbake til grensen:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\venstre|\frac(0)(0)\høyre| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\høyre) $$
Brøkdelen $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ er allerede nær formen som kreves for den første bemerkelsesverdige grensen. La oss jobbe litt med brøken $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, og justere den til den første bemerkelsesverdige grensen (merk at uttrykkene i telleren og under sinusen må samsvare):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\venstre(\frac(\sin(5x))(5x)\høyre)^2$$
La oss gå tilbake til den aktuelle grensen:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Eksempel nr. 6
Finn grensen $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.
Siden $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ og $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, så vi har å gjøre med usikkerhet $\frac(0)(0)$. La oss avsløre det ved hjelp av den første bemerkelsesverdige grensen. For å gjøre dette, la oss gå fra cosinus til sinus. Siden $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, så:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Går vi til sinus i den gitte grensen, vil vi ha:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\venstre|\frac(0)(0)\høyre| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\venstre(\ frac(\sin(3x))(3x)\høyre)^2\cdot(9x^2))(\venstre(\frac(\sin(x))(x)\høyre)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\venstre(\frac(\sin(x))(x)\høyre)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
Eksempel nr. 7
Beregn grensen $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ underlagt $\alpha\neq \ beta$.
Detaljerte forklaringer ble gitt tidligere, men her merker vi bare at det igjen er usikkerhet $\frac(0)(0)$. La oss gå fra cosinus til sinus ved å bruke formelen
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
Ved å bruke denne formelen får vi:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\venstre|\frac(0)( 0)\høyre| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\venstre(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\høyre)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\alpha-\beta)(2)\høyre))(x)\høyre)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\venstre(\frac(\sin\venstre(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\venstre(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\venstre(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.
Eksempel nr. 8
Finn grensen $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.
Siden $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (husk at $\sin(0)=\tg(0)=0$) og $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, så her har vi å gjøre med usikkerhet av formen $\frac(0)(0)$. La oss dele det ned som følger:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\venstre|\frac(0)(0)\høyre| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\venstre(\frac(1)(\cos(x))-1\høyre))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\venstre(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$
Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Eksempel nr. 9
Finn grensen $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.
Siden $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ og $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, så er det usikkerhet på formen $\frac(0)(0)$. Før du fortsetter til utvidelsen, er det praktisk å gjøre en endring av variabelen på en slik måte at den nye variabelen har en tendens til null (merk at i formlene er variabelen $\alpha \to 0$). Den enkleste måten er å introdusere variabelen $t=x-3$. Men for enkelhets skyld for ytterligere transformasjoner (denne fordelen kan sees i løpet av løsningen nedenfor), er det verdt å gjøre følgende erstatning: $t=\frac(x-3)(2)$. Jeg legger merke til at begge erstatningene gjelder i dette tilfellet, det er bare at den andre erstatningen lar deg jobbe mindre med brøker. Siden $x\to(3)$, deretter $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\venstre|\frac (0)(0)\høyre| =\venstre|\begin(justert)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(justert)\høyre| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ til(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\venstre(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\høyre) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
Svar: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
Eksempel nr. 10
Finn grensen $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.
Nok en gang har vi å gjøre med usikkerhet $\frac(0)(0)$. Før du fortsetter til utvidelsen, er det praktisk å gjøre en endring av variabel på en slik måte at den nye variabelen har en tendens til null (merk at i formlene er variabelen $\alpha\to(0)$). Den enkleste måten er å introdusere variabelen $t=\frac(\pi)(2)-x$. Siden $x\to\frac(\pi)(2)$, deretter $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\venstre(\frac(\pi)(2)-x\høyre)^2) =\venstre|\frac(0)(0)\høyre| =\venstre|\begin(justert)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(justert)\høyre| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\venstre(\frac(\pi)(2)-t\høyre))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\venstre(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\høyre)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
Svar: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
Eksempel nr. 11
Finn grensene $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
I dette tilfellet trenger vi ikke bruke den første fantastiske grensen. Vær oppmerksom på at både den første og andre grensen inneholder kun trigonometriske funksjoner og tall. Ofte i eksempler av denne typen er det mulig å forenkle uttrykket plassert under grensetegnet. Dessuten, etter den nevnte forenklingen og reduksjonen av noen faktorer, forsvinner usikkerheten. Jeg ga dette eksemplet for bare ett formål: å vise at tilstedeværelsen av trigonometriske funksjoner under grensetegnet ikke nødvendigvis betyr bruken av den første bemerkelsesverdige grensen.
Siden $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (husk at $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) og $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (la meg minne deg på at $\cos\frac(\pi)(2)=0$), så har vi håndtere usikkerhet av formen $\frac(0)(0)$. Dette betyr imidlertid ikke at vi trenger å bruke den første fantastiske grensen. For å avsløre usikkerheten er det nok å ta hensyn til at $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\venstre|\frac(0)(0)\høyre| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Det er en lignende løsning i Demidovichs løsningsbok (nr. 475). Når det gjelder den andre grensen, som i de foregående eksemplene i denne delen, har vi en usikkerhet på formen $\frac(0)(0)$. Hvorfor oppstår det? Det oppstår fordi $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ og $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Vi bruker disse verdiene til å transformere uttrykkene i telleren og nevneren. Målet med våre handlinger er å skrive ned summen i telleren og nevneren som et produkt. Forresten, ofte innenfor en lignende type er det praktisk å endre en variabel, laget på en slik måte at den nye variabelen har en tendens til null (se for eksempel eksempel nr. 9 eller nr. 10 på denne siden). I dette eksemplet er det imidlertid ingen vits i å erstatte, men om ønskelig er det ikke vanskelig å erstatte variabelen $t=x-\frac(2\pi)(3)$.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ til\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\venstre(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \venstre(x-\frac(2\pi)(3)\høyre))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\venstre(x-\frac(2\pi)(3)\høyre))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3) ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\høyre)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
Som du kan se, trengte vi ikke bruke den første fantastiske grensen. Selvfølgelig kan du gjøre dette hvis du vil (se merknad nedenfor), men det er ikke nødvendig.
Hva er løsningen med den første bemerkelsesverdige grensen? Vis skjul
Ved å bruke den første bemerkelsesverdige grensen får vi:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\venstre(\frac(\sin\venstre(x-\frac(2\pi)(3)\ høyre))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Svar: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
Vi fortsetter å analysere ferdige svar på teorien om grenser, og i dag vil vi kun fokusere på tilfellet når en variabel i en funksjon eller et tall i en sekvens har en tendens til uendelig. Instruksjoner for å beregne grensen for en variabel som tenderer mot uendelig ble gitt tidligere her vil vi kun dvele ved enkelttilfeller som ikke er åpenbare og enkle for alle.
Eksempel 35. Vi har en sekvens i form av en brøk, der teller og nevner inneholder rotfunksjoner.
Vi må finne grensen når tallet har en tendens til uendelig.
Her er det ikke nødvendig å avsløre irrasjonaliteten i telleren, men bare analysere røttene nøye og finne hvor en høyere potens av tallet finnes.
I den første er røttene til telleren multiplikator n^4, det vil si at n^2 kan tas ut av parentes.
La oss gjøre det samme med nevneren.
Deretter vurderer vi betydningen av radikale uttrykk når vi går til grensen.
Vi fikk deling på null, noe som er feil i skoleløpet, men i passeringen til det ytterste er det akseptabelt.
Bare med en endring "for å anslå hvor funksjonen er på vei."
Derfor kan ikke alle lærere tolke notasjonen ovenfor som riktig, selv om de forstår at resultatet ikke vil endre seg.
La oss se på svaret satt sammen i henhold til kravene til lærere i henhold til teorien.
For å forenkle vil vi kun evaluere hovedtilleggene under roten 
Videre, i telleren er potensen lik 2, i nevneren 2/3, derfor vokser telleren raskere, noe som betyr at grensen har en tendens til uendelig.
Tegnet avhenger av faktorene til n^2, n^(2/3), så det er positivt.
Eksempel 36. Tenk på et eksempel på en grense for deling av eksponentielle funksjoner. Det er få praktiske eksempler av denne typen, så ikke alle elever ser så lett hvordan de kan avsløre usikkerheten som oppstår.
Maksimal faktor for telleren og nevneren er 8^n, og vi forenkler med det 
Deretter evaluerer vi bidraget fra hvert semester
Begrepene 3/8 har en tendens til null når variabelen går til uendelig, siden 3/8<1
(свойство степенно-показательной функции).
Eksempel 37. Grensen for en sekvens med faktorialer avsløres ved å skrive ned faktorialet til den største fellesfaktoren for teller og nevner.
Deretter reduserer vi den og evaluerer grensen basert på verdien av tallindikatorene i telleren og nevneren.
I vårt eksempel vokser nevneren raskere, så grensen er null. 
Følgende brukes her
faktoriell eiendom.
Eksempel 38. Uten å bruke L'Hopitals regler sammenligner vi maksimumsindikatorene for variabelen i telleren og nevneren til brøken.
Siden nevneren inneholder den høyeste eksponenten av variabelen 4>2, vokser den raskere.
Fra dette konkluderer vi med at grensen for funksjonen har en tendens til null.
Eksempel 39. Vi avslører særegenheten til formen uendelig delt på uendelig ved å fjerne x^4 fra telleren og nevneren til brøken.
Som et resultat av å gå til grensen, oppnår vi uendelighet.
Eksempel 40. Vi har en inndeling av polynomer vi må bestemme grensen da variabelen har en tendens til uendelig.
Den høyeste graden av variabelen i telleren og nevneren er 3, som betyr at grensen eksisterer og er lik den gjeldende.
La oss ta ut x^3 og utføre passasjen til det ytterste
Eksempel 41. Vi har en singularitet av type en til uendelig makt.
Dette betyr at uttrykket i parentes og selve indikatoren må bringes inn under den andre viktige grensen.
La oss skrive ned telleren for å markere uttrykket i den som er identisk med nevneren.
Deretter går vi videre til et uttrykk som inneholder ett pluss et ledd.
Graden skal utmerkes med faktoren 1/(term).
Dermed får vi eksponenten til potensen av grensen for brøkfunksjonen. 
For å evaluere singulariteten brukte vi den andre grensen: 
Eksempel 42. Vi har en singularitet av type en til uendelighetens makt.
For å avsløre det, bør man redusere funksjonen til den andre bemerkelsesverdige grensen.
Hvordan du gjør dette er vist i detalj i følgende formel 
Du kan finne mange lignende problemer. Essensen deres er å oppnå den nødvendige graden i eksponenten, og den er lik den inverse verdien av begrepet i parentes ved én.
Ved å bruke denne metoden får vi eksponenten. Videre beregning reduseres til å beregne grensen for eksponentgraden.
Her har eksponentialfunksjonen en tendens til uendelig, siden verdien er større enn én e=2,72>1.
Eksempel 43 I nevneren av brøken har vi en usikkerhet av typen uendelig minus uendelig, som egentlig er lik divisjon med null.
For å bli kvitt roten multipliserer vi med det konjugerte uttrykket, og bruker deretter formelen for kvadratforskjellen for å omskrive nevneren.
Vi får usikkerheten til uendelighet delt på uendelig, så vi tar ut variabelen i størst grad og reduserer den med den.
Deretter evaluerer vi bidraget til hvert ledd og finner grensen for funksjonen ved uendelig 
Teorien om grenser er en av grenene til matematisk analyse. Spørsmålet om å løse grenser er ganske omfattende, siden det finnes dusinvis av metoder for å løse grenser av ulike typer. Det er dusinvis av nyanser og triks som lar deg løse denne eller den grensen. Likevel vil vi fortsatt forsøke å forstå hovedtypene av grenser som man oftest møter i praksis.
La oss starte med selve konseptet med en grense. Men først en kort historisk bakgrunn. Det bodde en franskmann, Augustin Louis Cauchy, på 1800-tallet, som ga strenge definisjoner til mange av begrepene matan og la dens grunnlag. Det må sies at denne respekterte matematikeren var, er og vil være i marerittene til alle studenter ved fysikk- og matematikkavdelinger, siden han beviste et stort antall teoremer for matematisk analyse, og det ene teoremet er mer dødelig enn det andre. I denne forbindelse vil vi ikke vurdere ennå bestemmelse av Cauchy-grensen, men la oss prøve å gjøre to ting:
1. Forstå hva en grense er.
2. Lær å løse hovedtypene grenser.
Jeg beklager noen uvitenskapelige forklaringer, det er viktig at materialet er forståelig selv for en tekanne, som faktisk er prosjektets oppgave.
Så hva er grensen?
Og bare et eksempel på hvorfor å raggete bestemor....
Enhver grense består av tre deler:
1) Det velkjente grenseikonet.
2) Oppføringer under grenseikonet, i dette tilfellet . Oppføringen lyder "X har en tendens til en." Oftest - nøyaktig, selv om det i stedet for "X" i praksis er andre variabler. I praktiske oppgaver kan plassen til en være absolutt et hvilket som helst tall, så vel som uendelig ().
3) Fungerer under grensetegnet, i dette tilfellet .
Selve opptaket 
lyder slik: "grensen for en funksjon som x har en tendens til enhet."
La oss se på det neste viktige spørsmålet - hva betyr uttrykket "x"? streber til en"? Og hva betyr egentlig "streve"?
Konseptet med en grense er et konsept, så å si, dynamisk. La oss bygge en sekvens: først , deretter , , …, 
, ….
Det vil si uttrykket "x streber til en" skal forstås som følger: "x" tar konsekvent på verdiene som nærmer seg enhet uendelig nært og praktisk talt sammenfaller med den.
Hvordan løser jeg eksemplet ovenfor? Basert på det ovenfor, trenger du bare å erstatte en i funksjonen under grensetegnet:
Så den første regelen: Når det er gitt en grense, prøver vi først å koble nummeret til funksjonen.
Vi har vurdert den enkleste grensen, men disse forekommer også i praksis, og ikke så sjelden!
Eksempel med uendelighet:
La oss finne ut hva det er? Dette er tilfellet når det øker uten grenser, det vil si: først, så, så, så, og så videre i det uendelige.
Hva skjer med funksjonen på dette tidspunktet?
, , 
, …
Så: hvis , så har funksjonen en tendens til minus uendelig:
Grovt sett, i henhold til vår første regel, i stedet for "X" erstatter vi uendelig i funksjonen og får svaret.
Et annet eksempel med uendelighet:
Igjen begynner vi å øke til det uendelige og ser på funksjonen til funksjonen: 
Konklusjon: når funksjonen øker ubegrenset:
Og en annen rekke eksempler:
Prøv å mentalt analysere følgende selv og husk de enkleste typene grenser:
, , , , 
, , , , 
,
Hvis du er i tvil, kan du ta opp en kalkulator og øve litt.
I tilfelle det , prøv å konstruere sekvensen , , . Hvis da , , .
! Merk: Strengt tatt er denne tilnærmingen til å konstruere sekvenser av flere tall feil, men for å forstå de enkleste eksemplene er den ganske egnet.
Vær også oppmerksom på følgende ting. Selv om en grense er gitt med et stort tall øverst, eller til og med med en million: , så er det det samme 
, siden før eller senere "X" vil begynne å ta på seg så gigantiske verdier at en million i sammenligning vil være en ekte mikrobe.
Hva trenger du å huske og forstå fra ovenstående?
1) Når det er gitt en grense, prøver vi først å erstatte tallet i funksjonen.
2) Du må forstå og umiddelbart løse de enkleste grensene, som f.eks 
, , etc.
Dessuten har grensen en veldig god geometrisk betydning. For en bedre forståelse av temaet anbefaler jeg at du leser lærestoffet Grafer og egenskaper til elementære funksjoner. Etter å ha lest denne artikkelen, vil du ikke bare endelig forstå hva en grense er, men også bli kjent med interessante tilfeller når grensen for en funksjon generelt eksisterer ikke!
I praksis er det dessverre få gaver. Og derfor går vi videre til å vurdere mer komplekse grenser. Forresten, om dette emnet er det intensivt kurs i pdf-format, noe som er spesielt nyttig hvis du har VELDIG liten tid til å forberede deg. Men nettstedets materialer er selvfølgelig ikke verre:
Nå skal vi vurdere gruppen av grenser når , og funksjonen er en brøk hvis teller og nevner inneholder polynomer
Eksempel:
Beregn grense 
I henhold til vår regel vil vi prøve å erstatte uendelig i funksjonen. Hva får vi på toppen? Evighet. Og hva skjer nedenfor? Også uendelig. Dermed har vi det som kalles artsusikkerhet. Man kan tro det, og svaret er klart, men i det generelle tilfellet er dette ikke i det hele tatt, og det er nødvendig å bruke en eller annen løsningsteknikk, som vi nå vil vurdere.
Hvordan løse grenser av denne typen?
Først ser vi på telleren og finner den høyeste potensen: 
Den ledende potensen i telleren er to.
Nå ser vi på nevneren og finner den også i høyeste makt: 
Den høyeste graden av nevneren er to.
Deretter velger vi den høyeste potensen av telleren og nevneren: i dette eksemplet er de like og lik to.
Så løsningsmetoden er som følger: for å avsløre usikkerheten, er det nødvendig å dele telleren og nevneren med høyeste potens.
Her er det, svaret, og ikke uendelig i det hele tatt.
Hva er grunnleggende viktig i utformingen av en beslutning?
Først angir vi usikkerhet, hvis noen.
For det andre er det tilrådelig å avbryte løsningen for mellomliggende forklaringer. Jeg bruker vanligvis tegnet, det har ikke noen matematisk betydning, men betyr at løsningen avbrytes for en mellomforklaring.
For det tredje, i grensen er det tilrådelig å merke hva som skal hvor. Når arbeidet er tegnet opp for hånd, er det mer praktisk å gjøre det på denne måten: 
Det er bedre å bruke en enkel blyant for notater.
Selvfølgelig trenger du ikke å gjøre noe av dette, men da vil kanskje læreren påpeke mangler i løsningen eller begynne å stille flere spørsmål om oppgaven. Trenger du det?
Eksempel 2
Finn grensen 
Igjen i telleren og nevneren finner vi i høyeste grad: 
Maksimal grad i teller: 3
Maksimal grad i nevner: 4
Velge størst verdi, i dette tilfellet fire.
I henhold til vår algoritme, for å avsløre usikkerhet, deler vi telleren og nevneren med .
Hele oppgaven kan se slik ut:
Del teller og nevner med
Eksempel 3
Finn grensen 
Maksimal grad av "X" i telleren: 2
Maksimal grad av "X" i nevneren: 1 (kan skrives som)
For å avdekke usikkerheten er det nødvendig å dele teller og nevner med . Den endelige løsningen kan se slik ut:
Del teller og nevner med
Notasjon betyr ikke divisjon med null (du kan ikke dele med null), men divisjon med et uendelig tall.
Dermed kan vi, ved å avdekke artsusikkerhet, være i stand til det endelig nummer, null eller uendelig.
Grenser med usikkerhet om type og metode for å løse dem
Den neste gruppen av grenser er noe lik grensene som nettopp er vurdert: telleren og nevneren inneholder polynomer, men "x" har ikke lenger en tendens til uendelig, men til endelig antall.
Eksempel 4
Løs grensen 
La oss først prøve å erstatte -1 i brøken: 
I dette tilfellet oppnås den såkalte usikkerheten.
Generell regel: hvis telleren og nevneren inneholder polynomer, og det er usikkerhet i formen, så for å avsløre det du må faktorisere telleren og nevneren.
For å gjøre dette må du oftest løse en andregradsligning og/eller bruke forkortede multiplikasjonsformler. Hvis disse tingene har blitt glemt, besøk siden Matematiske formler og tabeller og lese lærestoffet Hete formler for skolematematikkkurs. Forresten, det er best å skrive det ut det kreves veldig ofte, og informasjon absorberes bedre fra papir.
Så la oss løse grensen vår 
Faktor telleren og nevneren
For å faktorisere telleren må du løse andregradsligningen: 
Først finner vi diskriminanten:
Og kvadratroten av det: .
Hvis diskriminanten er stor, for eksempel 361, bruker vi en kalkulator funksjonen for å trekke ut kvadratroten på den enkleste kalkulatoren.
! Hvis roten ikke trekkes ut i sin helhet (det oppnås et brøktall med komma), er det svært sannsynlig at diskriminanten ble beregnet feil eller at det var en skrivefeil i oppgaven.
Deretter finner vi røttene: 
Dermed:
Alle. Telleren er faktorisert.
Nevner. Nevneren er allerede den enkleste faktoren, og det er ingen måte å forenkle den på.
Det kan selvsagt forkortes til:
Nå erstatter vi -1 i uttrykket som forblir under grensetegnet:
Naturligvis blir løsningen aldri beskrevet så detaljert i en test, test eller eksamen. I den endelige versjonen skal designet se omtrent slik ut:
La oss faktorisere telleren. 
Eksempel 5
Beregn grense 
Først "finish"-versjonen av løsningen
La oss faktorisere telleren og nevneren.
Teller:
Nevner: 
, 
Hva er viktig i dette eksemplet?
For det første må du ha en god forståelse av hvordan telleren avsløres, først tok vi 2 ut av parentes, og brukte deretter formelen for forskjellen på kvadrater. Dette er formelen du trenger å vite og se.
Anbefaling: Hvis det i en grense (av nesten hvilken som helst type) er mulig å ta et tall ut av parentes, så gjør vi det alltid.
Dessuten er det tilrådelig å flytte slike tall utover grenseikonet. For hva? Ja, bare slik at de ikke kommer i veien. Det viktigste er å ikke miste disse tallene senere under løsningen.
Vær oppmerksom på at i sluttfasen av løsningen tok jeg de to ut av grenseikonet, og deretter minus.
! Viktig
Under løsningen oppstår et typefragment veldig ofte. Reduser denne fraksjonendet er forbudt
. Først må du endre fortegnet på telleren eller nevneren (sett -1 i parentes).
, det vil si at det vises et minustegn, som tas i betraktning ved beregning av grensen, og det er ikke nødvendig å miste det i det hele tatt.
Generelt la jeg merke til at man oftest må løse to andregradsligninger for å finne grenser av denne typen, det vil si at både telleren og nevneren inneholder kvadratiske trinomialer.
Metode for å multiplisere telleren og nevneren med det konjugerte uttrykket
Vi fortsetter å vurdere usikkerheten til skjemaet
Den neste typen grenser er lik den forrige typen. Det eneste, i tillegg til polynomer, vil vi legge til røtter.
Eksempel 6
Finn grensen 
La oss begynne å bestemme oss.
Først prøver vi å sette inn 3 i uttrykket under grensetegnet
Jeg gjentar nok en gang - dette er det første du trenger å gjøre for ENHVER grense. Denne handlingen utføres vanligvis mentalt eller i utkastform.
Det er oppnådd en usikkerhet om formen som må elimineres. 
Som du sikkert har lagt merke til, inneholder telleren vår forskjellen mellom røttene. Og i matematikk er det vanlig å kvitte seg med røtter, hvis mulig. For hva? Og uten dem er livet lettere.