Firkantet trinomium øks 2 +bx+c kan faktoriseres til lineære faktorer ved hjelp av formelen:
ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2), Hvor x 1, x 2- røttene til andregradsligningen ax 2 +bx+c=0.
Utvide kvadratisk trinomium til lineære faktorer:
Eksempel 1). 2x 2 -7x-15.
Løsning. 2x 2 -7x-15=0.
en=2; b=-7; c=-15. Dette generell sak for en fullstendig andregradsligning. Finne diskriminanten D.
D=b 2 -4ac=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=132 >0; 2 ekte røtter.
La oss bruke formelen: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
2x 2 -7x-15=2 (x+1,5)(x-5)=(2x+3)(x-5). Vi introduserte dette trinomialet 2x 2 -7x-15 2x+3 Og x-5.
Svar: 2x 2 -7x-15= (2x+3)(x-5).
Eksempel 2). 3x 2 +2x-8.
Løsning. La oss finne røttene til den kvadratiske ligningen:
en=3; b=2;c=-8. Dette spesielt tilfelle for en fullstendig andregradsligning med en jevn andre koeffisient ( b=2). Finne diskriminanten D 1.
La oss bruke formelen: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
Vi introduserte trinomialet 3x 2 +2x-8 som et produkt av binomialer x+2 Og 3x-4.
Svar: 3x 2 +2x-8 =(x+2)(3x-4).
Eksempel 3). 5x 2 -3x-2.
Løsning. La oss finne røttene til den kvadratiske ligningen:
en=5; b=-3; c=-2. Dette er et spesielt tilfelle for en komplett kvadratisk ligning med følgende betingelse: a+b+c=0(5-3-2=0). I slike tilfeller første rot Alltid lik en, A andre rot lik kvotienten til frileddet delt på den første koeffisienten:
La oss bruke formelen: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
5x 2 -3x-2=5 (x-1)(x+0,4)=(x-1)(5x+2). Vi introduserte trinomialet 5x 2 -3x-2 som et produkt av binomialer x-1 Og 5x+2.
Svar: 5x 2 -3x-2= (x-1)(5x+2).
Eksempel 4). 6x 2 +x-5.
Løsning. La oss finne røttene til den kvadratiske ligningen:
en=6; b=1; c=-5. Dette er et spesielt tilfelle for en komplett kvadratisk ligning med følgende betingelse: a-b+c=0(6-1-5=0). I slike tilfeller første rot er alltid lik minus én, og andre rot er lik minuskvotienten ved å dele frileddet med den første koeffisienten:
La oss bruke formelen: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
Vi introduserte trinomialet 6x 2 +x-5 som et produkt av binomialer x+1 Og 6x-5.
Svar: 6x 2 +x-5= (x+1)(6x-5).
Eksempel 5). x 2 -13x+12.
Løsning. La oss finne røttene til den gitte kvadratiske ligningen:
x 2 -13x+12=0. La oss sjekke om det kan brukes. For å gjøre dette, la oss finne en diskriminant og sørge for at den er det perfekt firkant helt nummer.
en=1; b=-13; c=12. Finne diskriminanten D.
D=b2-4ac=13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .
La oss bruke Vietas teorem: summen av røttene må være lik den andre koeffisienten hentet fra motsatt tegn, og produktet av røttene må være lik frileddet:
x 1 + x 2 = 13; x 1 ∙ x 2 =12. Det er åpenbart at x 1 =1; x 2 = 12.
La oss bruke formelen: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
x 2 -13x+12=(x-1)(x-12).
Svar: x 2 -13x+12= (x-1)(x-12).
Eksempel 6). x 2 -4x-6.
Løsning. La oss finne røttene til den gitte kvadratiske ligningen:
en=1; b=-4; c=-6. Andre koeffisient - partall. Finn diskriminanten D 1.
Diskriminanten er ikke et perfekt kvadrat av et heltall, derfor vil ikke Vietas teorem hjelpe oss, og vi vil finne røttene ved å bruke formlene for den partall andre koeffisienten:
La oss bruke formelen: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) og skriv ned svaret.
Mål:
- Systematisere og generalisere kunnskap og ferdigheter om emnet: Løsninger av likninger av tredje og fjerde grad.
- Utdype kunnskapen din ved å fullføre en rekke oppgaver, hvorav noen er ukjente enten i type eller løsningsmetode.
- Å danne en interesse for matematikk gjennom studiet av nye kapitler i matematikk, pleie en grafisk kultur gjennom konstruksjon av grafer av ligninger.
Leksjonstype: kombinert.
Utstyr: grafisk projektor.
Synlighet: tabell "Vietes teorem".
I løpet av timene
1. Muntlig telling
a) Hva er resten av delingen av polynomet p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 med binomialet x-a?
b) Hvor mange røtter kan en kubikkligning ha?
c) Hvordan løser vi likninger av tredje og fjerde grad?
d) Hvis b er et partall i en andregradsligning, hva er verdien av D og x 1?
2. Selvstendig arbeid(i grupper)
Skriv en ligning hvis røttene er kjent (svar på oppgaver er kodet) "Vieta's Theorem" brukes
1 gruppe
Røtter: x 1 = 1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = 6
Lag en ligning:
B=1-2-3+6=2; b=-2
c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23
d=6-12+36-18=12; d= -12
e=1(-2)(-3)6=36
x 4 -2 x 3 - 23 x 2 - 12 x + 36 = 0(denne ligningen løses deretter av gruppe 2 på tavlen)
Løsning . Vi ser etter hele røtter blant delere av tallet 36.
р = ±1;±2;±3;±4;±6…
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Tallet 1 tilfredsstiller ligningen, derfor er =1 roten til ligningen. Etter Horners opplegg
p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36
p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2
p2(x) = x2-3x -18=0
x 3 =-3, x 4 = 6
Svar: 1;-2;-3;6 sum av røtter 2 (P)
2. gruppe
Røtter: x 1 = -1; x 2 = x 3 = 2; x 4 = 5
Lag en ligning:
B=-1+2+2+5-8; b= -8
c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15
D=-4-10+20-10=-4; d=4
e=2(-1)2*5=-20;e=-20
8+15+4x-20=0 (gruppe 3 løser denne ligningen på brettet)
р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.
p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20
p 3 (2) = 8 -36+48 -20=0
p2(x) = x2-7x +10 = 0 x 1 = 2; x 2 = 5
Svar: -1;2;2;5 sum av røtter 8(P)
3 gruppe
Røtter: x 1 = -1; x 2 = 1; x 3 = -2; x 4 = 3
Lag en ligning:
В=-1+1-2+3=1;В=-1
с=-1+2-3-2+3-6=-7; с=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
e=-1*1*(-2)*3=6
x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(gruppe 4 løser denne ligningen senere på tavlen)
Løsning. Vi ser etter hele røtter blant divisorene til tallet 6.
р = ±1;±2;±3;±6
p 4 (1)=1-1-7+1+6=0
p 3 (x) = x 3 - 7 x -6
р3 (-1) = -1+7-6=0
p2(x) = x2-x-6 = 0; x 1 = -2; x 2 = 3
Svar: -1;1;-2;3 Sum av røtter 1(O)
4 gruppe
Røtter: x 1 = -2; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -3
Lag en ligning:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
c=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36
x 4 +4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(denne ligningen løses deretter av gruppe 5 på tavlen)
Løsning. Vi ser etter hele røtter blant divisorene til tallet -36
р = ±1;±2;±3…
p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0
p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0
p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0
p2(x) = x2-9 = 0; x=±3
Svar: -2; -2; -3; 3 Sum av røtter-4 (F)
5 gruppe
Røtter: x 1 = -1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -4
Skriv en ligning
x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(denne ligningen løses deretter av gruppe 6 på tavlen)
Løsning . Vi ser etter hele røtter blant delere av tallet 24.
р = ±1;±2;±3
p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0
p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O
p 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0
Svar: -1;-2;-3;-4 sum-10 (I)
6 gruppe
Røtter: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = -3; x 4 = 8
Skriv en ligning
B=1+1-3+8=7;b=-7
c=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24=-43; d=43
x 4 - 7 x 3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (denne ligningen løses deretter av gruppe 1 på tavlen)
Løsning . Vi ser etter hele røtter blant divisorene til tallet -24.
p 4 (1)=1-7-13+43-24=0
p 3 (1)=1-6-19+24=0
p 2 (x)= x 2 -5x - 24 = 0
x 3 =-3, x 4 = 8
Svar: 1;1;-3;8 sum 7 (L)
3. Løse ligninger med en parameter
1. Løs ligningen x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; hvis en av røttene er lik (-1)
Skriv svaret i stigende rekkefølge
R=P3(-1)=-1+3-m-15=0
x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
Ved betingelse x 1 = - 1; D=1+15=16
P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0
x 2 = -1-4 = -5;
x 3 = -1 + 4 = 3;
Svar: - 1; 3
I stigende rekkefølge: -5;-1;3. (b N S)
2. Finn alle røttene til polynomet x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6, hvis restene fra inndelingen i binomene x-1 og x +2 er like.
Løsning: R=P 3 (1) = P 3 (-2)
P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a
P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a
x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18
x 2 (x-3)-6(x-3) = 0
(x-3)(x 2-6) = 0
3) a=0, x2-0*x2+0 = 0; x 2 = 0; x 4 = 0
a=0; x=0; x=1
a>0; x=1; x=a ± √a
2. Skriv en ligning
1 gruppe. Røtter: -4; -2; 1; 7;
2. gruppe. Røtter: -3; -2; 1; 2;
3 gruppe. Røtter: -1; 2; 6; 10;
4 gruppe. Røtter: -3; 2; 2; 5;
5 gruppe. Røtter: -5; -2; 2; 4;
6 gruppe. Røtter: -8; -2; 6; 7.
Bruksanvisning
Substitusjonsmetode Uttrykk en variabel og bytt den inn i en annen ligning. Du kan uttrykke hvilken som helst variabel etter eget skjønn. Uttrykk for eksempel y fra den andre ligningen:
x-y=2 => y=x-2 Deretter erstatter du alt i den første ligningen:
2x+(x-2)=10 Flytt alt uten "x" til høyre side og beregn:
2x+x=10+2
3x=12 Deretter, for å få x, del begge sider av ligningen med 3:
x=4 Så du fant "x. Finn "y. For å gjøre dette, sett inn "x" i ligningen du uttrykte "y" fra:
y=x-2=4-2=2
y=2.
Gjør en sjekk. For å gjøre dette, erstatte de resulterende verdiene i ligningene:
2*4+2=10
4-2=2
De ukjente er funnet riktig!
En måte å legge til eller subtrahere ligninger. Bli kvitt en hvilken som helst variabel med en gang. I vårt tilfelle er dette lettere å gjøre med "y.
Siden i "y" er det et "+" -tegn, og i det andre "-", kan du utføre tilleggsoperasjonen, dvs. venstre side legg den til den venstre og legg den høyre til den høyre:
2x+y+(x-y)=10+2Konverter:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Sett ut "x" i en hvilken som helst ligning og finn "y":
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Ved den første metoden kan du se at de ble funnet riktig.
Hvis det ikke er klart definerte variabler, er det nødvendig å transformere ligningene litt.
I den første ligningen har vi "2x", og i den andre har vi ganske enkelt "x". For at x skal reduseres under addisjon, multipliser den andre ligningen med 2:
x-y=2
2x-2y=4 Trekk så den andre fra den første ligningen:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Legg merke til at hvis det er et minus før braketten, så etter åpning, endre det til motsatt:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
finn y=2x ved å uttrykke fra en hvilken som helst ligning, dvs.
x=4
Video om emnet
Tips 2: Hvordan løse en lineær ligning i to variabler
Ligningen, skrevet på generell form ax+by+c=0, kalles en lineær ligning med to variabler. Selve ligningen inneholder uendelig sett løsninger, derfor er det i problemer alltid supplert med noe - en annen ligning eller begrensende betingelser. Avhengig av forholdene gitt av oppgaven, løs en lineær ligning med to variabler bør forskjellige måter.
Du vil trenge
- - lineær ligning med to variabler;
- - andre ligning eller tilleggsbetingelser.
Bruksanvisning
Hvis gitt et system på to lineære ligninger, løs det på følgende måte. Velg en av ligningene der koeffisientene er variabler mindre og uttrykk en av variablene, for eksempel x. Bytt deretter inn denne verdien som inneholder y i den andre ligningen. I den resulterende ligningen vil det bare være én variabel y, flytt alle deler med y til venstre side, og frie til høyre. Finn y og bytt inn i en av de opprinnelige ligningene for å finne x.
Det er en annen måte å løse et system med to ligninger på. Multipliser en av likningene med et tall slik at koeffisienten til en av variablene, for eksempel x, er den samme i begge likningene. Trekk så en av likningene fra den andre (hvis høyresiden ikke er lik 0, husk å trekke fra høyresiden på samme måte). Du vil se at x-variabelen har forsvunnet og bare én y-variabel gjenstår. Løs den resulterende ligningen, og erstatte den funnet verdien av y med noen av de opprinnelige likhetene. Finn x.
Den tredje måten å løse et system med to lineære ligninger på er grafisk. Tegn et koordinatsystem og tegn graf to rette linjer hvis likninger er gitt i systemet ditt. For å gjøre dette, bytt inn to x-verdier i ligningen og finn den tilsvarende y - dette vil være koordinatene til punktene som tilhører linjen. Den mest praktiske måten å finne skjæringspunktet med koordinataksene på er ganske enkelt å erstatte verdiene x=0 og y=0. Koordinatene til skjæringspunktet mellom disse to linjene vil være oppgavene.
Hvis det bare er én lineær ligning i problemforholdene, så har du fått tilleggsbetingelser som du kan finne en løsning gjennom. Les problemet nøye for å finne disse forholdene. Hvis variabler x og y indikerer distanse, hastighet, vekt – still gjerne grensen x≥0 og y≥0. Det er godt mulig at x eller y skjuler antall epler osv. – da kan verdiene bare være . Hvis x er sønnens alder, er det klart at han ikke kan være det eldre enn far, så angi dette i oppgavebetingelsene.
Kilder:
- hvordan løse en likning med én variabel
Av seg selv ligningen med tre ukjent har mange løsninger, så som oftest er det supplert med ytterligere to likninger eller betingelser. Avhengig av hva de første dataene er, vil forløpet av beslutningen i stor grad avhenge.
Du vil trenge
- - et system med tre ligninger med tre ukjente.
Bruksanvisning
Hvis to av de tre systemene bare har to av de tre ukjente, prøv å uttrykke noen variabler i form av de andre og erstatte dem med ligningen med tre ukjent. Målet ditt i dette tilfellet er å gjøre det til normalt ligningen med en ukjent person. Hvis dette er , er den videre løsningen ganske enkel - bytt den funnet verdien inn i andre ligninger og finn alle de andre ukjente.
Noen ligningssystemer kan trekkes fra en ligning med en annen. Se om det er mulig å multiplisere en av eller en variabel slik at to ukjente blir kansellert på en gang. Hvis det er en slik mulighet, dra nytte av den mest sannsynlig, den etterfølgende løsningen vil ikke være vanskelig. Husk at når du multipliserer med et tall, må du gange både venstre og høyre side. På samme måte, når du trekker fra ligninger, må du huske at høyre side også må trekkes fra.
Hvis de forrige metodene ikke hjalp, bruk på en generell måte løsninger på alle ligninger med tre ukjent. For å gjøre dette, omskriv likningene i formen a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Lag nå en matrise med koeffisienter for x (A), en matrise med ukjente (X) og en matrise med frie variabler (B). Vær oppmerksom på at ved å multiplisere matrisen av koeffisienter med matrisen av ukjente, vil du få en matrise av frie ledd, det vil si A*X=B.
Finn matrise A i potensen (-1) ved først å finne , merk at det ikke skal være det lik null. Etter dette, multipliser den resulterende matrisen med matrise B, som et resultat vil du motta den ønskede matrisen X, som indikerer alle verdiene.
Du kan også finne en løsning på et system med tre ligninger ved hjelp av Cramers metode. For å gjøre dette, finn tredjeordens determinanten ∆ som tilsvarer systemmatrisen. Finn deretter tre flere determinanter ∆1, ∆2 og ∆3 suksessivt, og bytt ut verdiene til de frie leddene i stedet for verdiene til de tilsvarende kolonnene. Finn nå x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.
Kilder:
- løsninger på ligninger med tre ukjente
Å løse et ligningssystem er utfordrende og spennende. Hvordan mer komplekst system, jo mer interessant er det å løse det. Oftest i matematikk videregående skole det finnes ligningssystemer med to ukjente, men i høyere matematikk det kan være flere variabler. Systemer kan løses ved hjelp av flere metoder.
Bruksanvisning
Den vanligste metoden for å løse et likningssystem er substitusjon. For å gjøre dette må du uttrykke en variabel i form av en annen og erstatte den med den andre ligningen systemer, og dermed ledende ligningen til én variabel. For eksempel gitt følgende ligninger: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.
Fra det andre uttrykket er det praktisk å uttrykke en av variablene, flytte alt annet til høyre side av uttrykket, ikke glemme å endre fortegnet til koeffisienten: x = 3-y.
Åpne parentesene: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Vi erstatter den resulterende verdien y i uttrykket: x=3-y;x=3-1;x=2 .
I det første uttrykket er alle ledd 2, du kan sette 2 i parentes fordelingseiendom multiplikasjon: 2*(2x-y-3)=0. Nå kan begge deler av uttrykket reduseres med dette tallet, og deretter uttrykkes som y, siden modulkoeffisienten for det er lik en: -y = 3-2x eller y = 2x-3.
Akkurat som i det første tilfellet, erstatter vi dette uttrykket i den andre ligningen og vi får: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Sett inn den resulterende verdien i uttrykket: y=2x -3;y=4-3=1.
Vi ser at koeffisienten for y er den samme i verdi, men forskjellig i fortegn, derfor vil vi, hvis vi legger til disse ligningene, bli kvitt y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0; x=2 Bytt inn verdien av x i en av de to likningene i systemet og få y=1.
Video om emnet
Biquadratisk ligningen representerer ligningen fjerde grad, generell form som er representert ved uttrykket ax^4 + bx^2 + c = 0. Løsningen er basert på bruken av metoden for substitusjon av ukjente. I i dette tilfellet x^2 erstattes av en annen variabel. Dermed er resultatet en vanlig firkant ligningen, som må løses.
Bruksanvisning
Løs kvadratet ligningen, som følge av utskiftingen. For å gjøre dette, beregne først verdien i samsvar med formelen: D = b^2? 4ac. I dette tilfellet er variablene a, b, c koeffisientene til ligningen vår.
Finn røttene biquadratisk ligning. For å gjøre dette, ta kvadratroten av løsningene som er oppnådd. Hvis det var én løsning, vil det være to - en positiv og negativ verdi av kvadratroten. Hvis det var to løsninger, vil den biquadratiske ligningen ha fire røtter.
Video om emnet
En av de klassiske metodene for å løse systemer med lineære ligninger er Gauss-metoden. Den ligger i konsekvent ekskludering variabler når et ligningssystem bruker enkle transformasjoner er oversatt til et trinnvis system, hvorfra alle variabler er sekvensielt funnet, og starter med den siste.
Bruksanvisning
Først, bring likningssystemet til en slik form når alle de ukjente er i streng rekkefølge. i en bestemt rekkefølge. For eksempel vil alle ukjente X-er vises først på hver linje, alle Y-er vil komme etter X-er, alle Z-er vil komme etter Y-er, og så videre. Det skal ikke være ukjente på høyre side av hver ligning. Bestem mentalt koeffisientene foran hver ukjente, samt koeffisientene på høyre side av hver ligning.
For å lære hvordan du løser ligninger med en modul, må du huske og lære definisjonen av en modul.
Fra definisjonen er det klart at modulen til ethvert tall er ikke-negativ. I tillegg viser definisjonen hvordan det er mulig bli kvitt modultegnet i Eq.
I praksis gjøres dette slik:
1) Finn verdiene til variabelen der uttrykkene under modultegnet blir null.
2) Merk alle nuller på tallinjen. De vil dele denne linjen inn i stråler og intervaller der alle submodulære uttrykk har et konstant fortegn.
3) Vi bestemmer tegnene til submodulære uttrykk ved hvert intervall og utvider alle moduler (erstatter dem med submodulære uttrykk med et plusstegn eller et minustegn, avhengig av tegnet til det submodulære uttrykket).
4) Vi løser de resulterende ligningene på hvert intervall (like mange intervaller, like mange ligninger) Vær oppmerksom på at vi nødvendigvis bare velger de løsningene som er i et gitt intervall (de resulterende løsningene hører kanskje ikke til intervallet).
Nok teori allerede, det er på tide å se på eksempler for å se hvordan ligninger med modul løses. La oss starte med noe enklere.
Løse ligninger med moduler
Eksempel 1. Løs ligningen.
Løsning. Siden da. Hvis , da , og ligningen tar formen .
Herfra får vi .
Eksempel 2. Løs ligningen.
Løsning. Det følger av ligningen at .
Derfor har , , , og ligningen formen eller .
Siden har den opprinnelige ligningen ingen røtter.
Svar: ingen røtter.
Eksempel 3. Løs ligningen.
Løsning. La oss omskrive ligningen i ekvivalent form.
Den resulterende ligningen tilhører ligninger av typen .
Det er kjent at en ligning av denne typen tilsvarer en ulikhet. Derfor har vi her eller .
Svar: .
Jeg tror du allerede har funnet ut hvordan du løser denne typen ligninger med en modul. La oss prøve å håndtere mer kompleks ligning.
Eksempel 4. Løs ligningen: |x 2 + 2x| – |2 – x| = |x 2 – x|
Finne nuller av submodulære uttrykk:
x 2 + 2x = 0, x(x + 2) = 0, x = 0 eller x = ‒ 2. I dette tilfellet er parabelen y = x 2 + 2x positiv på intervallene (–∞; –2) og (0; +∞ ), og på intervallet (–2; 0) er det negativt (se figur).
x 2 ‒ x = 0, x(x – 1) = 0, x = 0 eller x = 1. Denne parabelen y = x 2 ‒ x er positiv på intervallene (–∞; 0) og (1; +∞) , og på intervallet (0; 1) er det negativt (se figur).
2 – x = 0, x = 2, modulen er positiv på intervallet (–∞; 0) og tar negative verdier på intervallet (2; +∞) (se figur).
Nå løser vi likningene på intervaller:
1) x ≤ ‒2: x = 1/2
2) –2 ≤ x<0: ‒(x 2 + 2x) – (2 – x) = x 2 ‒ x, ‒x 2 ‒ 2x – 2 + x = x 2 ‒ x, ‒2 x 2 = 2, x 2 = ‒1, det er ingen løsninger.
3) 0 ≤ x<1:
x 2 + 2x ‒ (2 – x) = ‒ (x 2 ‒ x), x 2 + 2x ‒ 2 + x = ‒x 2 + x, 2x 2 + 2x – 2 = 0, x 2 + x – 1 = 0, √D = √5,
x 1 = (‒1 ‒ √5)/2 og x 2 = (‒1 + √5)/2.
Siden den første roten er negativ, hører den ikke til vårt intervall, og den andre roten er større enn null og mindre enn en dette er vår løsning på dette intervallet.
4) 1 ≤ x<2: x 2 + 2x – (2 – x) = x 2 – x, x 2 + 2x – 2 + x = x 2 – x, 4x = 2, x= 1/2(ikke inkludert i perioden under vurdering)
5) x ≥ 2: x 2 + 2x –(‒(2 – x)) = x 2 – x, x 2 + 2x + 2 – x = x 2 – x, 2x = – 2, x = ‒1(ikke inkludert i den aktuelle perioden).
Svar: (‒1 + √5)/2 .
Du la merke til at denne ligningen er løst på samme måte som de forrige, forskjellen er i antall intervaller. Siden det er kvadratiske uttrykk under modulen, er det flere røtter, og følgelig flere hull.
Men hvordan løser man en ligning der modulen er under modulen? La oss se på et eksempel.
Eksempel 5. Løs ligningen |3 – |x – 2|| = 1
Det submodulære uttrykket kan ha verdien enten 1 eller – 1. Vi får to ligninger:
3 ‒ |x ‒ 2|= ‒1 eller 3 ‒ |x ‒ 2|= 1
Vi løser hver ligning separat.
1)
3 ‒ |x ‒ 2|= ‒1, ‒|x ‒ 2|= ‒1 – 3, ‒|x ‒ 2|= ‒4, |x ‒ 2|= 4,
x ‒ 2= 4 eller x ‒ 2= ‒ 4, hvorfra vi får x 1 = 6, x 2 = ‒2.
2)
3 ‒ |x ‒ 2|= 1, ‒|x ‒ 2|= 1 ‒ 3, ‒|x – 2|= ‒2, |x – 2|= 2,
x – 2 = 2 eller x – 2 = ‒2,
x 3 = 4, x 4 = 0.
Jeg håper at etter å ha studert denne artikkelen vil du være i stand til å løse modulo-ligninger. Hvis du har spørsmål, meld deg på leksjoner hos meg. Lærer Valentina Galinevskaya.
nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves det en lenke til kilden.
å løse matematikk. Finn raskt løse en matematisk ligning i modus på nett. Nettstedet www.site tillater løse ligningen nesten hvilken som helst gitt algebraisk, trigonometrisk eller transcendental ligning online. Når du studerer nesten hvilken som helst gren av matematikk på forskjellige stadier, må du bestemme deg ligninger på nettet. For å få svar umiddelbart, og viktigst av alt et nøyaktig svar, trenger du en ressurs som lar deg gjøre dette. Takket være nettstedet www.site løse ligninger på nett vil ta noen minutter. Den største fordelen med www.site når du løser matematiske ligninger på nettet- dette er hastigheten og nøyaktigheten til svaret som gis. Siden er i stand til å løse eventuelle algebraiske ligninger på nettet, trigonometriske ligninger på nettet, transcendentale ligninger på nettet, og ligninger med ukjente parametere i modus på nett. Ligninger tjene som et kraftig matematisk apparat løsninger praktiske problemer. Med hjelp matematiske ligninger det er mulig å uttrykke fakta og sammenhenger som kan virke forvirrende og komplekse ved første øyekast. Ukjente mengder ligninger kan finnes ved å formulere problemet i matematisk språk i formen ligninger Og Bestemme seg for mottatt oppgave i modus på nett på nettsiden www.site. Noen algebraisk ligning, trigonometrisk ligning eller ligninger inneholder transcendental funksjoner du enkelt kan Bestemme seg for online og få det nøyaktige svaret. Når du studerer naturvitenskap, møter du uunngåelig behovet løse ligninger. I dette tilfellet må svaret være nøyaktig og må innhentes umiddelbart i modusen på nett. Derfor for løse matematiske ligninger på nettet vi anbefaler nettstedet www.site, som vil bli din uunnværlige kalkulator for løse algebraiske ligninger online, trigonometriske ligninger på nettet, og transcendentale ligninger på nettet eller ligninger med ukjente parametere. For praktiske problemer med å finne røttene til ulike matematiske ligninger ressurs www.. Løsning ligninger på nettet selv, er det nyttig å sjekke det mottatte svaret ved hjelp av online ligningsløsning på nettsiden www.site. Du må skrive ligningen riktig og umiddelbart få nettløsning, hvoretter det gjenstår bare å sammenligne svaret med løsningen din på ligningen. Å sjekke svaret tar ikke mer enn et minutt, det er nok løse ligningen på nettet og sammenligne svarene. Dette vil hjelpe deg å unngå feil i beslutning og korriger svaret i tide når løse ligninger på nett enten algebraisk, trigonometrisk, transcendental eller ligningen med ukjente parametere.