Dalam artikel ini kita akan mempertimbangkan secara terperinci peraturan asas sedemikian topik penting kursus matematik, seperti membuka kurungan. Anda perlu mengetahui peraturan untuk membuka kurungan untuk menyelesaikan persamaan di mana ia digunakan dengan betul.
Cara membuka kurungan dengan betul semasa menambah
Kembangkan kurungan yang didahului dengan tanda "+".
Ini adalah kes yang paling mudah, kerana jika terdapat tanda tambahan di hadapan kurungan, tanda di dalamnya tidak berubah apabila kurungan dibuka. Contoh:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Cara mengembangkan kurungan didahului dengan tanda "-".
DALAM dalam kes ini anda perlu menulis semula semua istilah tanpa kurungan, tetapi pada masa yang sama menukar semua tanda di dalamnya kepada yang bertentangan. Tanda-tanda berubah hanya untuk istilah daripada kurungan yang didahului oleh tanda "-". Contoh:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Bagaimana untuk membuka tanda kurung apabila mendarab
Sebelum kurungan terdapat nombor pengganda
Dalam kes ini, anda perlu mendarab setiap sebutan dengan faktor dan membuka kurungan tanpa mengubah tanda. Jika pengganda mempunyai tanda "-", maka semasa pendaraban tanda-tanda istilah diterbalikkan. Contoh:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Bagaimana untuk membuka dua kurungan dengan tanda darab di antara mereka
Dalam kes ini, anda perlu mendarab setiap sebutan daripada kurungan pertama dengan setiap sebutan daripada kurungan kedua dan kemudian tambahkan hasilnya. Contoh:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Bagaimana untuk membuka kurungan dalam segi empat sama
Jika jumlah atau perbezaan dua sebutan adalah kuasa dua, kurungan hendaklah dibuka mengikut formula berikut:
(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.
Dalam kes tolak di dalam kurungan, formula tidak berubah. Contoh:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Bagaimana untuk mengembangkan kurungan ke tahap yang lain
Jika jumlah atau perbezaan istilah dinaikkan, sebagai contoh, kepada kuasa ke-3 atau ke-4, maka anda hanya perlu memecahkan kuasa kurungan menjadi "petak". Kuasa faktor yang sama ditambah, dan apabila membahagi, kuasa pembahagi ditolak daripada kuasa dividen. Contoh:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Bagaimana untuk membuka 3 kurungan
Terdapat persamaan di mana 3 kurungan didarab sekaligus. Dalam kes ini, anda mesti terlebih dahulu mendarab sebutan dua kurungan pertama bersama-sama, dan kemudian mendarabkan jumlah pendaraban ini dengan sebutan kurungan ketiga. Contoh:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Peraturan untuk membuka kurungan ini digunakan sama untuk menyelesaikan kedua-dua persamaan linear dan trigonometri.
Mengembangkan kurungan ialah sejenis transformasi ungkapan. Dalam bahagian ini kami akan menerangkan peraturan untuk membuka kurungan, dan juga melihat contoh masalah yang paling biasa.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Apakah tanda kurungan pembukaan?
Tanda kurung digunakan untuk menunjukkan susunan tindakan yang dilakukan dalam ungkapan angka, literal dan pembolehubah. Ia adalah mudah untuk beralih daripada ungkapan dengan kurungan kepada identik sama dengan ungkapan tanpa kurungan. Sebagai contoh, gantikan ungkapan 2 · (3 + 4) dengan ungkapan bentuk 2 3 + 2 4 tanpa kurungan. Teknik ini dipanggil kurungan pembukaan.
Definisi 1
Mengembangkan kurungan merujuk kepada teknik untuk menyingkirkan kurungan dan biasanya dipertimbangkan berkaitan dengan ungkapan yang mungkin mengandungi:
- tanda “+” atau “-” sebelum kurungan yang mengandungi jumlah atau perbezaan;
- hasil darab nombor, huruf atau beberapa huruf dan jumlah atau perbezaan, yang diletakkan dalam kurungan.
Ini adalah bagaimana kami digunakan untuk mempertimbangkan proses membuka kurungan dalam kursus kurikulum sekolah. Bagaimanapun, tiada siapa yang menghalang kami daripada melihat tindakan ini secara lebih meluas. Kita boleh memanggil kurungan membuka peralihan daripada ungkapan yang mengandungi nombor negatif dalam kurungan kepada ungkapan yang tidak mempunyai kurungan. Sebagai contoh, kita boleh pergi dari 5 + (− 3) − (− 7) kepada 5 − 3 + 7. Malah, ini juga merupakan pembukaan kurungan.
Dengan cara yang sama, kita boleh menggantikan hasil darab ungkapan dalam kurungan bentuk (a + b) · (c + d) dengan hasil tambah a · c + a · d + b · c + b · d. Teknik ini juga tidak bercanggah dengan maksud membuka kurungan.
Ini satu lagi contoh. Kita boleh menganggap bahawa sebarang ungkapan boleh digunakan dan bukannya nombor dan pembolehubah dalam ungkapan. Sebagai contoh, ungkapan x 2 · 1 a - x + sin (b) akan sepadan dengan ungkapan tanpa tanda kurung dalam bentuk x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b).
Satu lagi perkara patut diberi perhatian khusus, yang berkenaan dengan keunikan keputusan rakaman semasa membuka kurungan. Kita boleh menulis ungkapan awal dengan kurungan dan hasil yang diperoleh selepas membuka kurungan sebagai kesamaan. Sebagai contoh, selepas mengembangkan kurungan dan bukannya ungkapan 3 − (5 − 7) kita dapat ungkapan 3 − 5 + 7 . Kita boleh menulis kedua-dua ungkapan ini sebagai kesamaan 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7.
Menjalankan tindakan dengan ekspresi yang menyusahkan mungkin memerlukan rakaman hasil perantaraan. Kemudian penyelesaiannya akan mempunyai bentuk rantai kesamaan. Sebagai contoh, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 atau 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .
Peraturan untuk membuka kurungan, contoh
Mari kita mula melihat peraturan untuk membuka kurungan.
Untuk nombor tunggal dalam kurungan
Nombor negatif dalam kurungan sering dijumpai dalam ungkapan. Contohnya, (− 4) dan 3 + (− 4) . Nombor positif dalam kurungan juga mempunyai tempat.
Mari kita rumuskan peraturan untuk membuka kurungan yang mengandungi nombor positif tunggal. Mari kita andaikan bahawa a ialah sebarang nombor positif. Kemudian kita boleh menggantikan (a) dengan a, + (a) dengan + a, - (a) dengan – a. Jika sebaliknya kita ambil nombor tertentu, maka mengikut peraturan: nombor (5) akan ditulis sebagai 5 , ungkapan 3 + (5) tanpa kurungan akan mengambil bentuk 3 + 5 , kerana + (5) digantikan dengan + 5 , dan ungkapan 3 + (− 5) adalah bersamaan dengan ungkapan itu 3 − 5 , kerana + (− 5) digantikan dengan − 5 .
Nombor positif biasanya ditulis tanpa menggunakan kurungan, kerana kurungan tidak diperlukan dalam kes ini.
Sekarang pertimbangkan peraturan untuk membuka kurungan yang mengandungi satu nombor negatif. + (− a) kita ganti dengan − a, − (− a) digantikan dengan + a. Jika ungkapan bermula dengan nombor negatif (−a), yang ditulis dalam kurungan, kemudian kurungan ditinggalkan dan sebaliknya (−a) tinggal − a.
Berikut adalah beberapa contoh: (− 5) boleh ditulis sebagai − 5, (− 3) + 0, 5 menjadi − 3 + 0, 5, 4 + (− 3) menjadi 4 − 3 , dan − (− 4) − (− 3) selepas membuka kurungan mengambil bentuk 4 + 3, kerana − (− 4) dan − (− 3) digantikan dengan + 4 dan + 3 .
Perlu difahami bahawa ungkapan 3 · (− 5) tidak boleh ditulis sebagai 3 · − 5. Mengenainya kita akan bercakap dalam perenggan berikut.
Mari lihat peraturan untuk membuka kurungan berdasarkan apa.
Mengikut peraturan, beza a − b adalah sama dengan a + (− b) . Berdasarkan sifat tindakan dengan nombor, kita boleh mencipta rantaian kesamaan (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a yang akan berlaku adil. Rantaian kesamaan ini, berdasarkan makna penolakan, membuktikan bahawa ungkapan a + (− b) ialah perbezaan a − b.
Berdasarkan sifat nombor berlawanan dan peraturan untuk menolak nombor negatif, kita boleh menyatakan bahawa − (− a) = a, a − (− b) = a + b.
Terdapat ungkapan yang terdiri daripada nombor, tanda tolak dan beberapa pasang kurungan. Menggunakan peraturan di atas membolehkan anda membuang kurungan secara berurutan, bergerak dari kurungan dalam ke kurungan luar atau dalam arah terbalik. Contoh ungkapan sedemikian ialah − (− ((− (5)))) . Mari buka kurungan, bergerak dari dalam ke luar: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Contoh ini juga boleh dianalisis dalam arah yang bertentangan: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .
Di bawah a dan b boleh difahami bukan sahaja sebagai nombor, tetapi juga sebagai angka arbitrari atau ungkapan literal dengan tanda "+" di hadapan, yang bukan jumlah atau perbezaan. Dalam semua kes ini, anda boleh menggunakan peraturan dengan cara yang sama seperti yang kami lakukan untuk nombor tunggal dalam kurungan.
Sebagai contoh, selepas membuka kurungan ungkapan − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) akan mengambil bentuk 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . Bagaimana kami melakukannya? Kita tahu bahawa − (− 2 x) ialah + 2 x, dan kerana ungkapan ini didahulukan, maka + 2 x boleh ditulis sebagai 2 x, − (x 2) = − x 2, + (− 1 x) = − 1 x dan − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.
Dalam hasil dua nombor
Mari kita mulakan dengan peraturan untuk membuka kurungan dalam hasil darab dua nombor.
Mari kita berpura-pura itu a dan b ialah dua nombor positif. Dalam kes ini, hasil darab dua nombor negatif − a dan − b dalam bentuk (− a) · (− b) kita boleh gantikan dengan (a · b) , dan hasil darab dua nombor dengan tanda yang bertentangan daripada bentuk (− a) · b dan a · (− b) gantikan dengan (− a b). Mendarab tolak dengan tolak memberikan tambah, dan mendarab tolak dengan tambah, seperti mendarab tambah dengan tolak memberikan tolak.
Ketepatan bahagian pertama peraturan bertulis disahkan oleh peraturan untuk mendarab nombor negatif. Untuk mengesahkan bahagian kedua peraturan, kita boleh menggunakan peraturan untuk mendarab nombor dengan tanda yang berbeza.
Mari lihat beberapa contoh.
Contoh 1
Mari kita pertimbangkan algoritma untuk membuka kurungan dalam hasil darab dua nombor negatif - 4 3 5 dan - 2, dalam bentuk (- 2) · - 4 3 5. Untuk melakukan ini, gantikan ungkapan asal dengan 2 · 4 3 5 . Mari buka kurungan dan dapatkan 2 · 4 3 5 .
Dan jika kita mengambil hasil bagi nombor negatif (− 4) : (− 2), maka entri selepas membuka kurungan akan kelihatan seperti 4: 2
Sebagai ganti nombor negatif − a dan − b boleh menjadi sebarang ungkapan dengan tanda tolak di hadapan yang bukan jumlah atau perbezaan. Contohnya, ini boleh menjadi hasil darab, hasil bagi, pecahan, kuasa, punca, logaritma, fungsi trigonometri dan sebagainya.
Mari kita buka kurungan dalam ungkapan - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Mengikut peraturan, kita boleh membuat penjelmaan berikut: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.
Ungkapan (− 3) 2 boleh ditukar kepada ungkapan (− 3 2) . Selepas ini anda boleh mengembangkan kurungan: − 3 2.
2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5
Membahagi nombor dengan tanda yang berbeza juga mungkin memerlukan pengembangan awal kurungan: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 dan 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.
Peraturan boleh digunakan untuk melakukan pendaraban dan pembahagian ungkapan dengan tanda yang berbeza. Mari kita berikan dua contoh.
1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3
sin (x) (- x 2) = (- sin (x) x 2) = - sin (x) x 2
Dalam produk tiga atau lebih nombor
Mari kita beralih kepada produk dan hasil yang mengandungi Kuantiti yang besar nombor. Untuk mengembangkan kurungan akan berfungsi di sini peraturan seterusnya. Jika terdapat nombor genap nombor negatif, anda boleh meninggalkan kurungan dan menggantikan nombor dengan sebaliknya. Selepas ini, anda perlu melampirkan ungkapan yang terhasil dalam kurungan baharu. Jika terdapat nombor ganjil bagi nombor negatif, tinggalkan kurungan dan gantikan nombor itu dengan lawannya. Selepas ini, ungkapan yang dihasilkan mesti diletakkan dalam kurungan baru dan tanda tolak mesti diletakkan di hadapannya.
Contoh 2
Sebagai contoh, ambil ungkapan 5 · (− 3) · (− 2) , iaitu hasil darab tiga nombor. Terdapat dua nombor negatif, oleh itu kita boleh menulis ungkapan sebagai (5 · 3 · 2) dan kemudian akhirnya buka kurungan, mendapatkan ungkapan 5 · 3 · 2.
Dalam hasil darab (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) lima nombor adalah negatif. oleh itu (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . Setelah akhirnya membuka kurungan, kami dapat −2.5 3:2 4:1.25:1.
Peraturan di atas boleh dibenarkan dengan cara berikut. Pertama, kita boleh menulis semula ungkapan tersebut sebagai produk, menggantikannya dengan pendaraban dengan nombor timbal balik pembahagian. Kami mewakili setiap nombor negatif sebagai hasil darab nombor dan - 1 atau - 1 digantikan dengan (− 1) a.
Menggunakan sifat komutatif pendaraban, kita menukar faktor dan memindahkan semua faktor sama dengan − 1 , ke permulaan ungkapan. Hasil darab nombor genap tolak satu adalah sama dengan 1, dan hasil darab nombor ganjil adalah sama dengan − 1 , yang membolehkan kita menggunakan tanda tolak.
Jika kita tidak menggunakan peraturan, maka rantai tindakan untuk membuka kurungan dalam ungkapan - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 akan kelihatan seperti ini:
2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1 ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6
Peraturan di atas boleh digunakan apabila membuka kurungan dalam ungkapan yang mewakili produk dan hasil bahagi dengan tanda tolak yang bukan jumlah atau perbezaan. Kita ambil contoh ungkapan
x 2 · (- x): (- 1 x) · x - 3: 2 .
Ia boleh dikurangkan kepada ungkapan tanpa kurungan x 2 · x: 1 x · x - 3: 2.
Mengembangkan kurungan didahului dengan tanda +
Pertimbangkan peraturan yang boleh digunakan untuk mengembangkan kurungan yang didahului dengan tanda tambah dan "kandungan" kurungan tersebut tidak didarab atau dibahagikan dengan sebarang nombor atau ungkapan.
Mengikut peraturan, kurungan, bersama-sama dengan tanda di hadapannya, ditinggalkan, manakala tanda-tanda semua istilah dalam kurungan dipelihara. Jika tiada tanda sebelum istilah pertama dalam kurungan, maka anda perlu meletakkan tanda tambah.
Contoh 3
Sebagai contoh, kita memberikan ungkapan (12 − 3 , 5) − 7 . Dengan meninggalkan kurungan, kami menyimpan tanda istilah dalam kurungan dan meletakkan tanda tambah di hadapan sebutan pertama. Entri akan kelihatan seperti (12 − 3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7. Dalam contoh yang diberikan, tidak perlu meletakkan tanda di hadapan sebutan pertama, kerana + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7.
Contoh 4
Mari kita lihat contoh lain. Mari kita ambil ungkapan x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x dan laksanakan tindakan dengannya x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x
Berikut ialah contoh lain untuk mengembangkan kurungan:
Contoh 5
2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2
Bagaimanakah tanda kurungan didahului oleh tanda tolak dikembangkan?
Mari kita pertimbangkan kes di mana terdapat tanda tolak di hadapan kurungan, dan yang tidak didarab (atau dibahagikan) dengan sebarang nombor atau ungkapan. Mengikut peraturan untuk membuka kurungan didahului dengan tanda "-", kurungan dengan tanda "-" ditinggalkan, dan tanda semua istilah di dalam kurungan diterbalikkan.
Contoh 6
Cth:
1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2
Ungkapan dengan pembolehubah boleh ditukar menggunakan peraturan yang sama:
X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,
kita dapat x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .
Membuka kurungan apabila mendarab nombor dengan kurungan, ungkapan dengan kurungan
Di sini kita akan melihat kes di mana anda perlu mengembangkan kurungan yang didarab atau dibahagikan dengan beberapa nombor atau ungkapan. Formula bentuk (a 1 ± a 2 ± … ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± … ± a n b) atau b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n), Di mana a 1 , a 2 , … , a n dan b ialah beberapa nombor atau ungkapan.
Contoh 7
Sebagai contoh, mari kita kembangkan kurungan dalam ungkapan (3 − 7) 2. Mengikut peraturan, kita boleh menjalankan transformasi berikut: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . Kami mendapat 3 · 2 − 7 · 2 .
Membuka kurungan dalam ungkapan 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, kita mendapat 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.
Mendarab kurungan dengan kurungan
Pertimbangkan hasil darab dua kurungan bentuk (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Ini akan membantu kami mendapatkan peraturan untuk membuka kurungan semasa melakukan pendaraban kurungan demi kurungan.
Untuk menyelesaikan contoh yang diberikan, kami menandakan ungkapan (b 1 + b 2) seperti b. Ini akan membolehkan kita menggunakan peraturan untuk mendarab kurungan dengan ungkapan. Kita dapat (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b. Dengan melakukan penggantian terbalik b dengan (b 1 + b 2), sekali lagi gunakan peraturan mendarab ungkapan dengan kurungan: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2
Terima kasih kepada beberapa teknik mudah, kita boleh sampai pada jumlah produk bagi setiap istilah dari kurungan pertama dengan setiap istilah dari kurungan kedua. Peraturan boleh dilanjutkan kepada sebarang bilangan istilah di dalam kurungan.
Marilah kita merumuskan peraturan untuk mendarab kurungan dengan kurungan: untuk mendarab dua jumlah bersama-sama, anda perlu mendarab setiap sebutan bagi jumlah pertama dengan setiap sebutan bagi jumlah kedua dan tambah hasilnya.
Formula akan kelihatan seperti:
(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n
Mari kembangkan kurungan dalam ungkapan (1 + x) · (x 2 + x + 6) Ia ialah hasil darab dua jumlah. Mari tulis penyelesaiannya: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6
Perlu disebutkan secara berasingan kes yang terdapat tanda tolak dalam kurungan bersama dengan tanda tambah. Sebagai contoh, ambil ungkapan (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .
Mula-mula, mari kita bentangkan ungkapan dalam kurungan sebagai jumlah: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Sekarang kita boleh menggunakan peraturan: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))
Mari buka kurungan: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .
Mengembangkan kurungan dalam produk berbilang kurungan dan ungkapan
Jika terdapat tiga atau lebih ungkapan dalam kurungan dalam ungkapan, kurungan mesti dibuka secara berurutan. Anda perlu memulakan transformasi dengan meletakkan dua faktor pertama dalam kurungan. Dalam kurungan ini kita boleh melakukan transformasi mengikut peraturan yang dibincangkan di atas. Contohnya, kurungan dalam ungkapan (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .
Ungkapan itu mengandungi tiga faktor sekaligus (2 + 4) , 3 dan (5 + 7 8) . Kami akan membuka kurungan secara berurutan. Mari sertakan dua faktor pertama dalam satu kurungan lagi, yang akan kita jadikan merah untuk kejelasan: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).
Selaras dengan peraturan untuk mendarab kurungan dengan nombor, kita boleh melakukan tindakan berikut: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .
Darab kurungan dengan kurungan: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .
Kurungan dalam jenis
Darjah yang asasnya ialah beberapa ungkapan yang ditulis dalam kurungan, dengan dalam bentuk barang boleh dianggap sebagai hasil daripada beberapa kurungan. Lebih-lebih lagi, mengikut peraturan kedua-duanya perenggan sebelumnya mereka boleh ditulis tanpa kurungan ini.
Pertimbangkan proses mengubah ungkapan (a + b + c) 2 . Ia boleh ditulis sebagai hasil darab dua kurungan (a + b + c) · (a + b + c). Mari darab kurungan dengan kurungan dan dapatkan a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.
Mari lihat contoh lain:
Contoh 8
1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2
Membahagi kurungan dengan nombor dan kurungan dengan kurungan
Membahagikan kurungan dengan nombor memerlukan semua istilah yang disertakan dalam kurungan dibahagikan dengan nombor. Contohnya, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .
Pembahagian boleh digantikan dengan pendaraban dahulu, selepas itu anda boleh menggunakan peraturan yang sesuai untuk membuka kurungan dalam produk. Peraturan yang sama digunakan apabila membahagikan kurungan dengan kurungan.
Sebagai contoh, kita perlu membuka kurungan dalam ungkapan (x + 2) : 2 3 . Untuk melakukan ini, mula-mula gantikan pembahagian dengan mendarab dengan nombor salingan (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3. Darabkan kurungan dengan nombor (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .
Berikut ialah satu lagi contoh pembahagian mengikut kurungan:
Contoh 9
1 x + x + 1: (x + 2) .
Mari gantikan pembahagian dengan pendaraban: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.
Mari kita lakukan pendaraban: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .
Susunan kurungan pembukaan
Sekarang pertimbangkan susunan pemakaian peraturan yang dibincangkan di atas dalam ungkapan Pandangan umum, iaitu dalam ungkapan yang mengandungi jumlah dengan perbezaan, produk dengan hasil bagi, tanda kurung ke tahap semula jadi.
Prosedur:
- langkah pertama ialah menaikkan kurungan kepada kuasa semula jadi;
- pada peringkat kedua, pembukaan kurungan dalam kerja dan hasil bagi dijalankan;
- Langkah terakhir ialah membuka kurungan dalam jumlah dan perbezaan.
Mari kita pertimbangkan susunan tindakan menggunakan contoh ungkapan (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Mari kita ubah daripada ungkapan 3 · (− 2) : (− 4) dan 6 · (− 7) , yang sepatutnya dalam bentuk (3 2:4) dan (− 6 · 7) . Apabila menggantikan hasil yang diperoleh ke dalam ungkapan asal, kita memperoleh: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7). Buka kurungan: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.
Apabila berurusan dengan ungkapan yang mengandungi kurungan dalam kurungan, adalah mudah untuk melakukan transformasi dengan bekerja dari dalam ke luar.
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
Dalam pelajaran lepas kita telah membincangkan pemfaktoran. Kami telah menguasai dua kaedah: mengambil keluar pengganda biasa di luar kurungan dan pengelompokan. Dalam pelajaran ini - kaedah berkuasa berikut: rumus pendaraban yang disingkatkan. Pendek kata - FSU.
Rumus pendaraban yang disingkatkan (jumlah dan beza kuasa dua, jumlah dan kubus beza, perbezaan kuasa dua, hasil tambah dan beza kubus) amat diperlukan dalam semua cabang matematik. Ia digunakan dalam memudahkan ungkapan, menyelesaikan persamaan, mendarab polinomial, mengurangkan pecahan, menyelesaikan kamiran, dsb. dan sebagainya. Pendek kata, ada sebab untuk berurusan dengan mereka. Fahami dari mana asalnya, mengapa ia diperlukan, cara mengingatinya dan cara menggunakannya.
Adakah kita faham?)
Dari manakah datangnya formula pendaraban yang disingkatkan?
Persamaan 6 dan 7 tidak ditulis dengan cara yang sangat biasa. Ia agak bertentangan. Ini dengan sengaja.) Sebarang kesaksamaan berfungsi dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri. Entri ini menjadikannya lebih jelas dari mana FSU berasal.
Ia diambil daripada pendaraban.) Contohnya:
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2
Itu sahaja, tiada helah saintifik. Kami hanya mendarabkan kurungan dan memberikan yang serupa. Begini rupanya semua rumus pendaraban yang disingkatkan. Disingkatkan pendaraban adalah kerana dalam formula itu sendiri tidak ada pendaraban kurungan dan pengurangan yang serupa. Disingkatkan.) Keputusan segera diberikan.
FSU perlu diketahui dengan hati. Tanpa tiga pertama anda tidak perlu mengimpikan C, tanpa selebihnya - B atau A.)
Mengapakah kita memerlukan formula pendaraban yang disingkatkan?
Terdapat dua sebab untuk belajar, malah menghafal, formula ini. Yang pertama ialah jawapan siap secara automatik mengurangkan bilangan ralat. Tetapi ini bukan yang paling sebab utama. Tetapi yang kedua...
Jika anda suka laman web ini...
By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)
Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)
Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.
Fungsi utama kurungan adalah untuk menukar susunan tindakan semasa mengira nilai. Sebagai contoh, V secara berangka\(5·3+7\) pendaraban akan dikira dahulu, dan kemudian penambahan: \(5·3+7 =15+7=22\). Tetapi dalam ungkapan \(5·(3+7)\) penambahan dalam kurungan akan dikira terlebih dahulu, dan kemudian pendaraban: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Contoh.
Kembangkan kurungan: \(-(4m+3)\).
Penyelesaian
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Contoh.
Buka kurungan dan berikan istilah serupa \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Penyelesaian
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Contoh.
Kembangkan kurungan \(5(3-x)\).
Penyelesaian
: Dalam kurungan kita ada \(3\) dan \(-x\), dan sebelum kurungan ada lima. Ini bermakna setiap ahli kurungan didarab dengan \(5\) - Saya mengingatkan anda bahawa Tanda darab antara nombor dan kurungan tidak ditulis dalam matematik untuk mengurangkan saiz entri.
Contoh.
Kembangkan kurungan \(-2(-3x+5)\).
Penyelesaian
: Seperti dalam contoh sebelumnya, \(-3x\) dan \(5\) dalam kurungan didarab dengan \(-2\).
Contoh.
Permudahkan ungkapan: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Penyelesaian
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Ia kekal untuk mempertimbangkan keadaan terakhir.
Apabila mendarab kurungan dengan kurungan, setiap sebutan kurungan pertama didarabkan dengan setiap sebutan kedua:
\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)
Contoh.
Kembangkan kurungan \((2-x)(3x-1)\).
Penyelesaian
: Kami mempunyai produk kurungan dan ia boleh dikembangkan serta-merta menggunakan formula di atas. Tetapi untuk tidak keliru, mari lakukan semuanya langkah demi langkah.
Langkah 1. Keluarkan kurungan pertama - darabkan setiap sebutannya dengan kurungan kedua:
Langkah 2. Kembangkan produk kurungan dan faktor seperti yang diterangkan di atas:
- Perkara pertama dahulu...
Kemudian yang kedua.
Langkah 3. Sekarang kita darab dan membentangkan istilah yang serupa:
Ia tidak perlu untuk menerangkan semua transformasi secara terperinci, anda boleh mendarabkannya dengan segera. Tetapi jika anda baru belajar membuka kurungan, tulis secara terperinci, peluang untuk membuat kesilapan akan berkurangan.
Nota kepada keseluruhan bahagian. Sebenarnya, anda tidak perlu mengingati keempat-empat peraturan, anda hanya perlu mengingati satu, yang ini: \(c(a-b)=ca-cb\) . kenapa? Kerana jika anda menggantikan satu dan bukannya c, anda mendapat peraturan \((a-b)=a-b\) . Dan jika kita menggantikan tolak satu, kita mendapat peraturan \(-(a-b)=-a+b\) . Nah, jika anda menggantikan kurungan lain dan bukannya c, anda boleh mendapatkan peraturan terakhir.
Kurungan dalam kurungan
Kadang-kadang dalam amalan terdapat masalah dengan kurungan bersarang di dalam kurungan lain. Berikut ialah contoh tugas sedemikian: ringkaskan ungkapan \(7x+2(5-(3x+y))\).
Untuk menyelesaikan dengan jayanya tugasan yang serupa, perlu:
- teliti memahami sarang kurungan - yang mana satu;
- buka kurungan secara berurutan, bermula, sebagai contoh, dengan yang paling dalam.
Ia penting apabila membuka salah satu kurungan jangan sentuh seluruh ungkapan, hanya menulis semula seperti sedia ada.
Mari kita lihat tugasan yang ditulis di atas sebagai contoh.
Contoh.
Buka kurungan dan berikan istilah serupa \(7x+2(5-(3x+y))\).
Penyelesaian:
Contoh.
Buka kurungan dan berikan istilah serupa \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Penyelesaian
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Terdapat tiga sarang kurungan di sini. Mari kita mulakan dengan yang paling dalam (diserlahkan dengan warna hijau). Terdapat tambah di hadapan kurungan, jadi ia hanya tertanggal. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Kini anda perlu membuka kurungan kedua, yang pertengahan. Tetapi sebelum itu kita akan mudahkan ungkapan hantu istilah yang serupa dalam kurungan kedua itu. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Sekarang kita membuka kurungan kedua (diserlahkan dengan warna biru). Sebelum kurungan adalah faktor - jadi setiap sebutan dalam kurungan didarab dengannya. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
Dan buka kurungan terakhir. Terdapat tanda tolak di hadapan kurungan, jadi semua tanda diterbalikkan. |
||
Memperluas kurungan adalah kemahiran asas dalam matematik. Tanpa kemahiran ini, adalah mustahil untuk mempunyai gred melebihi C dalam gred 8 dan 9. Oleh itu, saya mengesyorkan agar anda memahami topik ini dengan baik.
Sekarang mari kita pertimbangkan kuasa dua binomial dan, menggunakan sudut pandangan aritmetik, kita akan bercakap tentang kuasa dua hasil tambah, iaitu (a + b)², dan kuasa dua perbezaan dua nombor, iaitu (a – b)².
Oleh kerana (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),
maka kita dapati: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², i.e.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Adalah berguna untuk mengingati keputusan ini dalam bentuk kesamaan yang diterangkan di atas dan dalam perkataan: kuasa dua hasil tambah dua nombor sama dengan segi empat sama nombor pertama ditambah hasil darab dua dengan nombor pertama dan nombor kedua, ditambah kuasa dua nombor kedua.
Mengetahui hasil ini, kita boleh menulis dengan segera, sebagai contoh:
(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1
(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2
Mari lihat contoh kedua ini. Kita perlu kuasa duakan hasil tambah dua nombor: nombor pertama ialah 3ab, yang kedua 1. Hasilnya hendaklah: 1) kuasa dua nombor pertama, iaitu (3ab)², yang sama dengan 9a²b²; 2) hasil darab dua dengan nombor pertama dan kedua, iaitu 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) kuasa dua nombor ke-2, iaitu 1² = 1 - ketiga-tiga sebutan ini mesti ditambah bersama.
Kami juga memperoleh formula untuk mengkuadangkan perbezaan dua nombor, iaitu untuk (a – b)²:
(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b².
(a – b)² = a² – 2ab + b²,
iaitu kuasa dua selisih dua nombor adalah sama dengan kuasa dua nombor pertama, tolak hasil darab dua dengan nombor pertama dan kedua, ditambah kuasa dua nombor kedua.
Mengetahui keputusan ini, kita boleh segera melakukan kuasa dua binomial, yang, dari sudut aritmetik, mewakili perbezaan dua nombor.
(m – n)² = m² – 2mn + n²
(5ab 3 – 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2 
(a n-1 – a) 2 = a 2n-2 – 2a n + a 2, dsb.
Mari kita jelaskan contoh ke-2. Di sini kita mempunyai dalam kurungan perbezaan dua nombor: nombor pertama ialah 5ab 3 dan nombor kedua ialah 3a 2 b. Hasilnya hendaklah: 1) kuasa dua nombor pertama, iaitu (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) hasil darab dua dengan nombor 1 dan nombor ke-2, iaitu 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 dan 3) kuasa dua nombor kedua, iaitu (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2 ; Sebutan pertama dan ketiga mesti diambil dengan tambah, dan yang ke-2 dengan tolak, kita mendapat 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. Untuk menerangkan contoh ke-4, kita hanya ambil perhatian bahawa 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... eksponen mesti didarab dengan 2 dan 2) hasil darab dua dengan nombor 1 dan dengan 2 = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .
Jika kita mengambil sudut pandangan algebra, maka kedua-dua kesamaan: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² dan 2) (a – b)² = a² – 2ab + b² menyatakan perkara yang sama, iaitu: kuasa dua binomial adalah sama dengan kuasa dua sebutan pertama, ditambah hasil darab nombor (+2) dengan sebutan pertama dan kedua, ditambah kuasa dua sebutan kedua. Ini jelas kerana persamaan kita boleh ditulis semula sebagai:
1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a – b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b)²
Dalam sesetengah kes, adalah mudah untuk mentafsirkan persamaan yang terhasil dengan cara ini:
(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²
Di sini kita kuasa dua binomial yang sebutan pertamanya = –4a dan kedua = –3b. Seterusnya kita dapat (–4a)² = 16a², (+2) (–4a) (–3b) = +24ab, (–3b)² = 9b² dan akhirnya:
(–4a – 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²
Ia juga mungkin untuk mendapatkan dan mengingati formula untuk menduakan trinomial, kuadrinomial atau mana-mana polinomial secara umum. Walau bagaimanapun, kami tidak akan melakukan ini, kerana kami jarang perlu menggunakan formula ini, dan jika kami perlu menggandakan sebarang polinomial (kecuali binomial), kami akan mengurangkan perkara itu kepada pendaraban. Sebagai contoh:
31. Mari kita gunakan 3 kesamaan yang diperolehi iaitu:
(a + b) (a – b) = a² – b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
kepada aritmetik.
Biarkan ia menjadi 41 ∙ 39. Kemudian kita boleh mewakili ini dalam bentuk (40 + 1) (40 – 1) dan mengurangkan perkara itu kepada kesamaan pertama - kita mendapat 40² – 1 atau 1600 – 1 = 1599. Terima kasih kepada ini, adalah mudah untuk melakukan pendaraban seperti 21 ∙ 19; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69, dsb.
Biarkan ia menjadi 41 ∙ 41; ia sama dengan 41² atau (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Juga 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Jika anda memerlukan 37 ∙ 37 maka ini bersamaan dengan (40 – 3)² = 1600 – 240 + 9 = 1369. Pendaraban serupa (atau kuasa dua nombor dua digit) mudah dilakukan, dengan sedikit kemahiran, dalam fikiran.