Инструкции
Прво ви се потребни првичните податоци за задачата. Факт е дека неговата состојба не може експлицитно да каже колкав е радиусот круг. Наместо тоа, проблемот може да ја даде должината на дијаметарот круг. Дијаметар круг- сегмент што поврзува две спротивни точки круг, минувајќи низ неговиот центар. Откако ги анализиравме дефинициите круг, можеме да кажеме дека должината на дијаметарот е двојно поголема од должината на радиусот.
Сега можеме да го прифатиме радиусот кругеднакво на R. Потоа за должината кругтреба да ја користите формулата:
L = 2πR = πD, каде што L е должината круг, D - дијаметар круг, што е секогаш 2 пати поголем од радиусот.
Забелешка
Круг може да се впише во многуаголник или да се опише околу него. Покрај тоа, ако кругот е впишан, тогаш на точките на допир со страните на многуаголникот ќе ги подели на половина. За да го дознаете радиусот на впишаниот круг, треба да ја поделите областа на многуаголникот со половина од неговиот периметар:
R = S/p.
Ако кругот е опкружен околу триаголник, тогаш неговиот радиус се наоѓа со помош на следнава формула:
R = a*b*c/4S, каде a, b, c се страните даден триаголник, S е плоштината на триаголникот околу кој е опкружен кругот.
Ако сакате да опишете круг околу четириаголник, тоа може да се направи ако се исполнети два услови:
Четириаголникот мора да биде конвексен.
Во целост спротивни агличетириаголниците мора да бидат 180°
Покрај традиционалниот дебеломер, матриците може да се користат и за цртање круг. Модерните матрици вклучуваат кругови со различни дијаметри. Овие матрици може да се купат во која било продавница за канцеларии.
Извори:
- Како да се најде обемот на кругот?
Круг е затворена крива линија, чиишто точки се вклучени еднакво растојаниеод една точка. Оваа точка е центарот на кругот, а отсечката помеѓу точката на кривата и нејзиниот центар се нарекува радиус на кругот.
Инструкции
Ако права линија е повлечена низ центарот на кругот, тогаш нејзиниот сегмент помеѓу две точки на пресек на оваа права со кругот се нарекува дијаметар на дадениот круг. Половина од дијаметарот, од центарот до точката каде што дијаметарот го пресекува кругот е радиусот
кругови. Ако кругот се сече на произволна точка, се исправи и мери, тогаш добиената вредност е должината на дадениот круг.
Нацртајте неколку кругови со различни решенија на компас. Визуелна споредбани овозможува да заклучиме дека поголемиот дијаметар контури поголем круг, ограниченсо подолга должина. Затоа, помеѓу дијаметарот на кругот и неговата должина постои директна врска пропорционална зависност.
Од страна на физичко значењепараметарот „должина на кругот“ одговара на , ограничен со прекината линија. Ако впишеме правилен n-аголник со страна b во круг, тогаш периметарот на таквата фигура е P еднаков на производотстраните b по бројот на страните n: P=b*n. Страната b може да се определи со формулата: b=2R*Sin (π/n), каде што R е радиусот на кругот во кој е впишан n-аголникот.
Како што се зголемува бројот на страни, периметарот на впишаниот многуаголник се повеќе ќе се приближува до L. Р= b*n=2n*R*Sin (π/n)=n*D*Sin (π/n). Односот помеѓу обемот L и неговиот дијаметар D е константен. Односот L/D=n*Sin (π/n) како што бројот на страни на впишаниот многуаголник се стреми кон бесконечност се стреми кон бројот π, константна вредност наречена „pi“ и изразена како бесконечна децимална дропка. За пресметки без примена компјутерска технологијасе прифаќа вредноста π=3,14. Обемот на кругот и неговиот дијаметар се поврзани со формулата: L= πD. За круг, поделете ја нејзината должина со π=3,14.
Многу често кога се одлучува училишни задачиво физиката, се поставува прашањето - како да се најде обемот на кругот, знаејќи го дијаметарот? Всушност, нема тешкотии во решавањето на овој проблем, само треба јасно да замислите што формулиЗа ова се потребни концепти и дефиниции.
Во контакт со
Основни поими и дефиниции
- Радиус е линијата што се поврзува центарот на кругот и неговата произволна точка. Таа е назначена Латинска буквар.
- Акорд е линија што поврзува две произволни точки кои лежат на круг.
- Дијаметарот е линијата што се поврзува две точки на круг и минува низ неговиот центар. Се означува со латинската буква d.
- е права која се состои од сите точки лоцирани на еднакви растојанија од една избрана точка, наречена нејзин центар. Неговата должина ќе ја означиме со латинската буква l.
Областа на круг е целата територија затворен во круг. Се мери В квадратни единици и се означува со латинската буква s.
Користејќи ги нашите дефиниции, доаѓаме до заклучок дека дијаметарот на кругот е еднаков на неговата најголема акорд.
Внимание!Од дефиницијата за тоа колку е радиусот на кругот, можете да дознаете колкав е дијаметарот на кругот. Ова се два радиуси поставени во спротивни насоки!
Дијаметар на круг.
Наоѓање на обемот и плоштината на кругот
Ако ни е даден радиус на круг, тогаш дијаметарот на кругот се опишува со формулата d = 2*r. Така, за да се одговори на прашањето како да се најде дијаметарот на кругот, знаејќи го неговиот радиус, последниот е доволно помножете се со два.
Формулата за обемот на кругот, изразена во однос на неговиот радиус, ја има формата l = 2 * P * r.
Внимание!Латинската буква P (Pi) го означува односот на обемот на кругот до неговиот дијаметар, и ова е непериодична децимална дропка. ВО училишна математикасе смета за претходно позната табеларна вредност еднаква на 3,14!
Сега да ја преработиме претходната формула за да го најдеме обемот на кругот низ неговиот дијаметар, сеќавајќи се каква е неговата разлика во однос на радиусот. Ќе испадне: l = 2*P*r = 2*r*P = P*d.
Од курсот по математика знаеме дека формулата што ја опишува плоштината на круг има форма: s = П*r^2.
Сега да ја преработиме претходната формула за да ја пронајдеме областа на кругот низ неговиот дијаметар. добиваме,
s = П*r^2 = П*d^2/4.
Еден од повеќето тешки задачиво оваа тема е одредување плоштина на круг низ обемот и обратно. Да го искористиме фактот дека s = П*r^2 и l = 2*П*r. Од тука добиваме r = l/(2*П). Да го замениме добиениот израз за радиусот во формулата за областа, добиваме: s = l^2/(4П). На сосема сличен начин, обемот се одредува низ областа на кругот.
Одредување на должината и дијаметарот на радиусот
Важно!Прво на сите, ајде да научиме како да го измериме дијаметарот. Многу е едноставно - нацртајте кој било радиус, проширете го за спротивната странадодека не се вкрсти со лакот. Го мериме добиеното растојание со компас и користиме кој било метрички инструмент за да дознаеме што бараме!
Дозволете ни да одговориме на прашањето како да го дознаеме дијаметарот на кругот, знаејќи ја неговата должина. За да го направите ова, ние го изразуваме од формулата l = П * d. Добиваме d = l/P.
Ние веќе знаеме како да го најдеме неговиот дијаметар од обемот на кругот, а можеме да го најдеме и неговиот радиус на ист начин.
l = 2 * P * r, оттука r = l / 2 * P. Во принцип, за да се дознае радиусот, тој мора да се изрази во однос на дијаметарот и обратно.
Да претпоставиме дека сега треба да го одредите дијаметарот, знаејќи ја областа на кругот. Го користиме фактот дека s = П*d^2/4. Дозволете ни да го изразиме d од тука. Ќе успее d^2 = 4*s/P. За да го одредите самиот дијаметар, ќе треба да извлечете квадратен корен од десната страна. Излегува d = 2*sqrt(s/P).
Решавање на типични задачи
- Ајде да дознаеме како да го најдеме дијаметарот ако е даден обемот. Нека е еднакво на 778,72 километри. Потребно е да се најде г. d = 778,72/3,14 = 248 километри. Ајде да се потсетиме што е дијаметар и веднаш да го одредиме радиусот за да го направиме ова, ја делиме вредноста d одредена погоре на половина; Ќе успее r = 248/2 = 124километар
- Ајде да размислиме како да ја најдеме должината на даден круг, знаејќи го неговиот радиус. Нека r има вредност од 8 dm 7 cm Да го претвориме сето ова во сантиметри, тогаш r ќе биде еднакво на 87 сантиметри. Да ја користиме формулата за да ја најдеме непознатата должина на кругот. Тогаш нашата посакувана вредност ќе биде еднаква на l = 2 * 3,14 * 87 = 546,36 см. Да ја претвориме нашата добиена вредност во цели броеви на метрички величини l = 546,36 cm = 5 m 4 dm 6 cm 3,6 mm.
- Дозволете ни да ја одредиме плоштината на даден круг користејќи ја формулата преку него познат дијаметар. Нека d = 815 метри. Да се потсетиме на формулата за наоѓање плоштина на круг. Да ги замениме вредностите што ни се дадени овде, добиваме s = 3,14*815^2/4 = 521416,625 кв. м.
- Сега ќе научиме како да ја пронајдеме областа на кругот, знаејќи ја должината на неговиот радиус. Нека радиусот е 38 cm Ја користиме формулата која ни е позната. Да ја замениме овде вредноста што ни е дадена по услов. Го добивате следново: s = 3,14*38^2 = 4534,16 sq. цм.
- Последната задача е да се одреди плоштината на кругот врз основа на познатиот обем. Нека l = 47 метри. s = 47^2/(4P) = 2209/12,56 = 175,87 кв. м.
Обем
- Ова рамна фигура, што е збир на точки на еднакво растојание од центарот. Сите тие се на исто растојание и формираат круг.
Се нарекува отсечка која го поврзува центарот на кругот со точките на неговиот обем радиус. Во секој круг, сите радиуси се еднакви еден на друг. Права линија што поврзува две точки на круг и минува низ центарот се нарекува дијаметар. Формулата за плоштината на кругот се пресметува со помош на математичка константа - бројот π..
Ова е интересно : Број π. го претставува односот на обемот на кругот со должината на неговиот дијаметар и е константна вредност. Вредноста π = 3,1415926 е искористена по работата на Л. Ојлер во 1737 година.
Површината на кругот може да се пресмета со помош на константата π. и радиусот на кругот. Формулата за плоштина на круг во однос на радиус изгледа вака:
Ајде да погледнеме пример за пресметување на површината на круг со помош на радиусот. Да ни биде даден круг со радиус R = 4 cm.
Површината на нашиот круг ќе биде 50,24 квадратни метри. цм.
Постои формула површина на круг низ дијаметар. Исто така, широко се користи за пресметување на потребните параметри. Овие формули може да се користат за пронаоѓање.
Ајде да разгледаме пример за пресметување на плоштината на кругот низ неговиот дијаметар, знаејќи го неговиот радиус. Да ни биде даден круг со радиус R = 4 cm Прво, да го најдеме дијаметарот, кој, како што знаеме, е двапати поголем од радиусот.
Сега ги користиме податоците за пример за пресметување на површината на круг користејќи ја горната формула:
Како што можете да видите, резултатот е истиот одговор како и во првите пресметки.
Знаење стандардни формулипресметувањето на површината на кругот ќе ви помогне лесно да одредите во иднина секторска области лесно да ги пронајдете количините што недостасуваат.
Веќе знаеме дека формулата за плоштина на круг се пресметува преку производот константна вредностπ по квадрат од радиусот на кругот. Радиусот може да се изрази во однос на обемот и да го замени изразот во формулата за плоштина на круг во однос на обемот:
Сега да ја замениме оваа еднаквост во формулата за пресметување на плоштина на круг и да добиеме формула за наоѓање на плоштина на круг користејќи го обемот
Да разгледаме пример за пресметување на плоштината на круг користејќи го обемот. Нека е даден круг со должина l = 8 cm Заменете ја вредноста во добиената формула: 
Вкупната површина на кругот ќе биде 5 квадратни метри. цм.
Плоштина на круг опкружена околу квадрат
Многу е лесно да се најде плоштината на кругот опкружен околу квадрат.
За да го направите ова, потребна ви е само страната на квадратот и познавање на едноставни формули. Дијагоналата на квадратот ќе биде еднаква на дијагоналата на ограничениот круг. Знаејќи ја страната a, може да се најде со помош на Питагоровата теорема: од тука.
Откако ќе ја најдеме дијагоналата, можеме да го пресметаме радиусот: .
И тогаш ќе замениме сè во основната формула за плоштината на кругот опкружен околу квадрат:
Многу предмети во околниот свет имаат тркалезна форма. Тоа се тркала, тркалезни отвори на прозори, цевки, разни садови и многу повеќе. Можете да ја пресметате должината на кругот со познавање на неговиот дијаметар или радиус.
Постојат неколку дефиниции за оваа геометриска фигура.
- Ова е затворена крива која се состои од точки кои се наоѓаат на исто растојание од дадена точка.
- Ова е крива која се состои од точките A и B, кои се краевите на сегментот, и сите точки од кои A и B се видливи под прав агол. Во овој случај, сегментот AB е дијаметар.
- За истиот сегмент AB, оваа крива ги вклучува сите точки C така што односот AC/BC е константен и не е еднаков на 1.
- Ова е крива која се состои од точки за кои е точно следново: ако ги соберете квадратите на растојанијата од една точка на две дадени други точки А и Б, ќе добиете постојан број, поголема од 1/2 од сегментот што ги поврзува А и Б. Оваа дефиниција е изведена од Питагоровата теорема.
Забелешка!Постојат и други дефиниции. Круг е област во круг. Периметарот на кругот е неговата должина. Од страна на различни дефинициикругот може или не може да ја вклучува самата крива, која е нејзината граница.
Дефиниција за круг
Формули
Како да се пресмета обемот на круг користејќи го радиусот? Ова е направено со помош на едноставна формула:
каде L е саканата вредност,
π е бројот pi, приближно еднаков на 3,1413926.
Обично, за да се најде потребната вредност, доволно е да се користи π до втората цифра, односно 3,14, ова ќе ја обезбеди потребната точност. На калкулаторите, особено на инженерските, може да има копче што автоматски ја внесува вредноста на бројот π.
Ознаки
За да го пронајдете дијаметарот, постои следнава формула:
Ако L е веќе познат, радиусот или дијаметарот може лесно да се дознаат. За да го направите ова, L мора да се подели со 2π или π, соодветно.
Ако веќе е даден круг, треба да разберете како да го пронајдете обемот од овие податоци. Областа на кругот е S = πR2. Од тука го наоѓаме радиусот: R = √(S/π). Потоа
L = 2πR = 2π√(S/π) = 2√(Sπ).
Пресметувањето на плоштината во однос на L е исто така лесно: S = πR2 = π(L/(2π))2 = L2/(4π)
Сумирајќи, можеме да кажеме дека постојат три основни формули:
- низ радиусот – L = 2πR;
- преку дијаметар – L = πD;
- низ областа на кругот - L = 2√(Sπ).
Пи
Без бројот π нема да биде можно да се реши проблемот што се разгледува. Бројот π првпат беше пронајден како однос на обемот на кругот до неговиот дијаметар. Тоа го правеле древните Вавилонци, Египќани и Индијци. Тие го открија сосема точно - нивните резултати се разликуваа од моментално познатата вредност на π за не повеќе од 1%. Константата беше приближна со фракции како 25/8, 256/81, 339/108.
Понатаму, вредноста на оваа константа беше пресметана не само од гледна точка на геометријата, туку и од гледна точка математичка анализапреку збирови од серии. Означувањето на оваа константа Грчко писмоΤο π првпат го користел Вилијам Џонс во 1706 година и станал популарен по делото на Ојлер.
Сега е познато дека оваа константа е бесконечна непериодична децимална, тој е ирационален, односно не може да се претстави како сооднос од два цели броеви. Со помош на пресметки на суперкомпјутер, 10-трилионитиот знак на константата беше откриен во 2011 година.
Ова е интересно!За да ги запомните првите неколку цифри од бројот π, разновидни мнемонички правила. Некои ви дозволуваат да складирате во меморија голем бројброеви, на пример, една француска песна ќе ви помогне да запомните пи до 126-та цифра.
Ако ви треба обемот, онлајн калкулатор ќе ви помогне во ова. Има многу такви калкулатори, само треба да го внесете радиусот или дијаметарот. Некои од нив ги имаат двете од овие опции, други го пресметуваат резултатот само преку R. Некои калкулатори можат да ја пресметаат саканата вредност со различна прецизност, треба да го наведете бројот на децимални места. Можете исто така да ја пресметате областа на кругот користејќи онлајн калкулатори.
Таквите калкулатори лесно се наоѓаат со кој било пребарувач. Исто така има мобилни апликации, што ќе помогне да се реши проблемот како да се најде обемот на кругот.
Корисно видео: обем
Практична употреба
Решавањето на ваков проблем најчесто им е потребно на инженерите и архитектите, но во секојдневните животни знаења потребни формулиможе исто така да ни се најде. На пример, треба да завиткате хартиена лента околу торта печена во калап со дијаметар од 20 см, тогаш нема да биде тешко да ја пронајдете должината на оваа лента.
L = πD = 3,14 * 20 = 62,8 cm.
Друг пример: треба да изградите ограда околу кружен базен на одредено растојание. Ако радиусот на базенот е 10 m, а оградата треба да се постави на растојание од 3 m, тогаш R за добиениот круг ќе биде 13 m.
L = 2πR = 2 * 3,14 * 13 = 81,68 m.
Корисно видео: круг - радиус, дијаметар, обем
Крајна линија
Периметарот на кругот може лесно да се пресмета со едноставни формули, вклучувајќи дијаметар или радиус. Посакуваната количина можете да ја пронајдете и преку плоштината на кругот. Онлајн калкулатори или мобилни апликации во кои треба да внесете еднина– дијаметар или радиус.
Концепт на круг
Дефиниција 1
Заокружете -- геометриска фигура, кој се состои од сите точки лоцирани на еднакви растојанија од дадена точка.
Дефиниција 2
Во рамките на дефиницијата 1, поставена точканаречен центар на кругот.
Дефиниција 3
Отсечката што го поврзува центарот на кругот со која било од неговите точки се нарекува радиус на кругот $(r)$ (сл. 1).
Слика 1. Кружи со центар во точката $O$ и радиус $r$
Равенка на круг
Да ја изведеме равенката на круг во Декартов системкоординати $xOy$. Нека центарот на кругот $C$ има координати $(x_0,y_0)$, а радиусот на кругот е еднаков на $r$. Нека точка $M$ со координати $(x,y)$ -- произволна точкаовој круг (сл. 2).
Слика 2. Круг во Декартов координатен систем
Растојанието од центарот на кругот до точката $M$ се пресметува на следниов начин
Но, бидејќи $M$ лежи на кругот, тогаш по дефиниција 3, добиваме $CM=r$. Потоа го добиваме следново
Равенката (1) е равенка на круг со центар во точката $(x_0,y_0)$ и радиус $r$.
Особено, ако центарот на кругот се совпаѓа со потеклото. Таа равенка на круг има форма
Обем
Да ја изведеме формулата за обемот на кругот $C$ во однос на неговиот радиус. За да го направите ова, разгледајте два круга со должина $C$ и $C"$ и радиуси $R$ и $R"$. Дозволете ни да впишеме во него правилни $n-gons$ со периметри $P$ и $P"$ и должини на страните $a$ и $a"$, соодветно. Како што знаеме, страната на впишаниот триаголник е еднаква на
Потоа добиваме
Оттука
Неограничено зголемување на бројот на страни на правилни многуаголници $n$ го добиваме тоа
Од тука добиваме
Откривме дека односот на обемот на кругот и неговиот дијаметар е константен број за кој било круг. Оваа константа обично се означува со бројот $\pi \приближно 3,14$. Така, добиваме
Формулата (2) е формулата за пресметување на обемот.
Површина на круг
Дефиниција 4
Заокружете-- дел од рамнина ограничена со круг.
Дозволете ни да изведеме формула за пресметување на плоштината на кругот.
Размислете за следнава ситуација. Да ни биде даден круг со радиус $R$. Да ја означиме неговата површина со $S$. Во него е впишан обичен -gon со површина $S_n$, во кој, пак, е впишан круг со површина $(S")_n$ (сл. 3).
Слика 3.
Од сликата е очигледно дека
Ние го користиме следново добро позната формулаЗа правилен многуаголник:
Сега ќе го зголемиме бројот на страни на правилен многуаголник без ограничување. Потоа, за $n\до \infty $, добиваме
Според формулата, областа на правилен многуаголник е еднаква на $S_n=\frac(1)(2)P_nr$, $P_n\до 2\pi R$, затоа
Формулата (3) е формулата за пресметување на плоштината на кругот.
Пример проблем за концептот на круг
Пример 1
Најдете ја равенката на круг со центар во точката $(1,\ 1)$. поминувајќи низ потеклото, пронајдете ја должината на дадениот круг и плоштината на кругот ограничена со дадениот круг.
Решение.
Ајде прво да ја најдеме равенката на овој круг. За ова ќе ја користиме формулата (1). Бидејќи центарот на кругот лежи во точката $(1,\ 1)$, добиваме
\[((x-1))^2+((y-1))^2=r^2\]
Да го најдеме радиусот на кругот како растојание од точката $(1,\ 1)$ до точката $(0,0)$
Откриваме дека равенката на кругот има форма:
\[((x-1))^2+((y-1))^2=2\]
Ајде да го најдеме обемот користејќи ја формулата (2). Добиваме
Ајде да ја најдеме областа со помош на формулата (3)
Одговор:$((x-1))^2+((y-1))^2=2$, $C=2\sqrt(2)\pi $, $S=2\pi $